Η επαγωγή είναι μια μέθοδος λήψης μιας γενικής δήλωσης από συγκεκριμένες παρατηρήσεις. Στην περίπτωση που μια μαθηματική πρόταση αφορά έναν πεπερασμένο αριθμό αντικειμένων, μπορεί να αποδειχθεί με δοκιμή για κάθε αντικείμενο. Για παράδειγμα, η δήλωση: «Κάθε διψήφιος ζυγός αριθμός είναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών», προκύπτει από μια σειρά ισοτήτων που είναι αρκετά εφικτό να καθοριστούν:
10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.
Μια μέθοδος απόδειξης στην οποία μια δήλωση επαληθεύεται για έναν πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων που εξαντλούν όλες τις πιθανότητες ονομάζεται πλήρης επαγωγή. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται σχετικά σπάνια, καθώς οι μαθηματικές δηλώσεις, κατά κανόνα, αφορούν όχι πεπερασμένα, αλλά άπειρα σύνολα αντικειμένων. Για παράδειγμα, η δήλωση σχετικά με άρτιους διψήφιους αριθμούς που αποδείχθηκε παραπάνω με πλήρη επαγωγή είναι μόνο μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος: «Οποιοσδήποτε άρτιος αριθμός είναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών». Αυτό το θεώρημα δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή απορριφθεί.
Η μαθηματική επαγωγή είναι μια μέθοδος απόδειξης μιας ορισμένης πρότασης για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n με βάση την αρχή της μαθηματικής επαγωγής: «Αν μια πρόταση είναι αληθής για n=1 και η εγκυρότητά της για n=k συνεπάγεται την εγκυρότητα αυτής της πρότασης για n=k +1, τότε ισχύει για όλα τα n " Η μέθοδος απόδειξης με μαθηματική επαγωγή είναι η εξής:
1) βάση επαγωγής: αποδεικνύουν ή επαληθεύουν άμεσα την εγκυρότητα της δήλωσης για n=1 (μερικές φορές n=0 ή n=n 0).
2) επαγωγικό βήμα (μετάβαση): υποθέτουν την εγκυρότητα της πρότασης για κάποιο φυσικό αριθμό n=k και, βάσει αυτής της υπόθεσης, αποδεικνύουν την εγκυρότητα της πρότασης για n=k+1.
Προβλήματα με λύσεις
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, ο αριθμός 3 2n+1 +2 n+2 διαιρείται με το 7.
Ας συμβολίσουμε A(n)=3 2n+1 +2 n+2.
Επαγωγική βάση. Αν n=1, τότε A(1)=3 3 +2 3 =35 και, προφανώς, διαιρείται με το 7.
Υπόθεση επαγωγής. Έστω το A(k) διαιρούμενο με το 7.
Επαγωγική μετάβαση. Ας αποδείξουμε ότι το A(k+1) διαιρείται με το 7, δηλαδή την εγκυρότητα της δήλωσης του προβλήματος για n=k.
A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=
3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.
Ο τελευταίος αριθμός διαιρείται με το 7, αφού είναι η διαφορά δύο ακεραίων που διαιρούνται με το 7. Επομένως, το 3 2n+1 +2 n+2 διαιρείται με το 7 για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n.
2. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, ο αριθμός 2 3 n +1 διαιρείται με το 3 n+1 και δεν διαιρείται με το 3 n+2.
Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: a i =2 3 i +1.
Για n=1 έχουμε, και 1 =2 3 +1=9. Άρα, ένα 1 διαιρείται με το 3 2 και δεν διαιρείται με το 3 3.
Έστω για n=k ο αριθμός a k διαιρείται με το 3 k+1 και δεν διαιρείται με το 3 k+2, δηλαδή a k =2 3 k +1=3 k+1 m, όπου το m δεν διαιρείται με το 3. Τότε
και k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=
3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).
Προφανώς, ένα k+1 διαιρείται με 3 k+2 και δεν διαιρείται με 3 k+3.
Επομένως, η πρόταση αποδεικνύεται για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n.
3. Είναι γνωστό ότι το x+1/x είναι ακέραιος. Αποδείξτε ότι το x n +1/x n είναι επίσης ακέραιος για κάθε ακέραιο n.
Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: a i =х i +1/х i και αμέσως σημειώνουμε ότι a i =а –i, οπότε θα συνεχίσουμε να μιλάμε για φυσικούς δείκτες.
Σημείωση: a 1 είναι ένας ακέραιος κατά σύμβαση. και το 2 είναι ακέραιος, αφού a 2 = (a 1) 2 –2; και 0 =2.
Ας υποθέσουμε ότι το k είναι ακέραιος για κάθε φυσικό αριθμό k που δεν υπερβαίνει το n. Τότε a 1 ·a n είναι ακέραιος, αλλά a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 και a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . Ωστόσο, το n–1, σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, είναι ακέραιος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι ένα n+1 είναι επίσης ακέραιος. Επομένως, το x n +1/x n είναι ένας ακέραιος αριθμός για οποιονδήποτε ακέραιο n, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
4. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n μεγαλύτερο του 1 η διπλή ανίσωση είναι αληθής
5. Να αποδείξετε ότι για φυσικό n > 1 και |x|
(1–x)n +(1+x)n
Για n=2 η ανισότητα είναι αληθής. Πραγματικά,
(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2
Αν η ανισότητα είναι αληθής για n=k, τότε για n=k+1 έχουμε
(1–x) k+1 +(1+x) k+1
Η ανισότητα έχει αποδειχθεί για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n > 1.
6. Υπάρχουν n κύκλοι σε ένα επίπεδο. Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διάταξη αυτών των κύκλων, ο χάρτης που σχηματίζουν μπορεί να χρωματιστεί σωστά με δύο χρώματα.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Για n=1 η δήλωση είναι προφανής.
Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάθε χάρτη που σχηματίζεται από n κύκλους, και ας υπάρχουν n+1 κύκλοι στο επίπεδο. Αφαιρώντας έναν από αυτούς τους κύκλους, παίρνουμε έναν χάρτη που, λόγω της υπόθεσης που έγινε, μπορεί να χρωματιστεί σωστά με δύο χρώματα (δείτε την πρώτη εικόνα παρακάτω).
Στη συνέχεια θα επαναφέρουμε τον πεταμένο κύκλο και στη μία πλευρά του, για παράδειγμα μέσα, θα αλλάξουμε το χρώμα κάθε περιοχής προς το αντίθετο (δείτε τη δεύτερη εικόνα). Είναι εύκολο να δούμε ότι σε αυτή την περίπτωση θα πάρουμε έναν χάρτη σωστά χρωματισμένο με δύο χρώματα, αλλά μόνο τώρα για n+1 κύκλους, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
7. Θα ονομάσουμε ένα κυρτό πολύγωνο "όμορφο" εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) καθεμία από τις κορυφές του είναι βαμμένη σε ένα από τα τρία χρώματα.
2) οποιεσδήποτε δύο γειτονικές κορυφές είναι βαμμένες σε διαφορετικά χρώματα.
3) τουλάχιστον μία κορυφή του πολυγώνου είναι ζωγραφισμένη σε καθένα από τα τρία χρώματα.
Αποδείξτε ότι κάθε όμορφο n-gon μπορεί να κοπεί με ασύνδετες διαγώνιους σε «όμορφα» τρίγωνα.
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Επαγωγική βάση. Με το μικρότερο δυνατό n=3, η δήλωση του προβλήματος είναι προφανής: οι κορυφές του «όμορφου» τριγώνου βάφονται σε τρία διαφορετικά χρώματα και δεν χρειάζονται κοψίματα.
Υπόθεση επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση του προβλήματος ισχύει για οποιοδήποτε «όμορφο» n-gon.
Βήμα επαγωγής. Ας εξετάσουμε ένα αυθαίρετο «όμορφο» (n+1)-gon και ας αποδείξουμε, χρησιμοποιώντας την υπόθεση της επαγωγής, ότι μπορεί να κοπεί από ορισμένες διαγώνιους σε «όμορφα» τρίγωνα. Ας συμβολίσουμε με A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 τις διαδοχικές κορυφές του (n+1)-gon. Εάν μόνο μία κορυφή ενός (n+1)-γώνου είναι χρωματισμένη σε οποιοδήποτε από τα τρία χρώματα, τότε συνδέοντας αυτήν την κορυφή με διαγώνιες σε όλες τις κορυφές που δεν γειτνιάζουν με αυτό, λαμβάνουμε την απαραίτητη κατάτμηση του (n+1 )-gon σε «όμορφα» τρίγωνα.
Αν τουλάχιστον δύο κορυφές ενός (n+1)-γώνου είναι χρωματισμένες σε καθένα από τα τρία χρώματα, τότε συμβολίζουμε το χρώμα της κορυφής A 1 με τον αριθμό 1 και το χρώμα της κορυφής A 2 με τον αριθμό 2. Έστω k ο μικρότερος αριθμός έτσι ώστε η κορυφή A k να χρωματίζεται στο τρίτο χρώμα. Είναι σαφές ότι k > 2. Ας αποκόψουμε το τρίγωνο A k–2 A k–1 A k από το (n+1)-γώνιο με διαγώνιο A k–2 A k . Σύμφωνα με την επιλογή του αριθμού k, όλες οι κορυφές αυτού του τριγώνου είναι βαμμένες σε τρία διαφορετικά χρώματα, δηλαδή αυτό το τρίγωνο είναι "όμορφο". Το κυρτό n-gon A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , που παραμένει, θα είναι επίσης, δυνάμει της επαγωγικής υπόθεσης, «όμορφο», που σημαίνει χωρίζεται σε «όμορφα» τρίγωνα, τα οποία και έπρεπε να αποδειχθούν.
8. Να αποδείξετε ότι σε ένα κυρτό n-γώνιο είναι αδύνατο να επιλέξετε περισσότερες από n διαγώνιους έτσι ώστε οποιαδήποτε δύο από αυτές να έχουν ένα κοινό σημείο.
Ας πραγματοποιήσουμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Ας αποδείξουμε μια γενικότερη πρόταση: σε ένα κυρτό n-γώνιο είναι αδύνατο να επιλέξουμε περισσότερες από n πλευρές και διαγώνιες έτσι ώστε οποιαδήποτε δύο από αυτές να έχουν ένα κοινό σημείο. Για n = 3 η δήλωση είναι προφανής. Ας υποθέσουμε ότι αυτή η πρόταση ισχύει για ένα αυθαίρετο n-gon και, χρησιμοποιώντας αυτό, θα αποδείξουμε την εγκυρότητά του για ένα αυθαίρετο (n+1)-gon.
Ας υποθέσουμε ότι αυτή η πρόταση δεν ισχύει για ένα (n+1)-gon. Εάν δεν προκύπτουν περισσότερες από δύο επιλεγμένες πλευρές ή διαγώνιοι από κάθε κορυφή ενός (n+1)-γωνίου, τότε δεν επιλέγονται συνολικά περισσότερες από n+1 από αυτές. Επομένως, από κάποια κορυφή Α υπάρχουν τουλάχιστον τρεις επιλεγμένες πλευρές ή διαγώνιοι AB, AC, AD. Αφήστε το AC να βρίσκεται μεταξύ AB και AD. Δεδομένου ότι οποιαδήποτε πλευρά ή διαγώνιος που αναδύεται από το σημείο C και εκτός από το CA δεν μπορεί να τέμνει ταυτόχρονα τα AB και AD, μόνο μία επιλεγμένη διαγώνιος CA αναδύεται από το σημείο C.
Απορρίπτοντας το σημείο C μαζί με τη διαγώνιο CA, λαμβάνουμε ένα κυρτό n-gon στο οποίο επιλέγονται περισσότερες από n πλευρές και διαγώνιοι, οποιεσδήποτε δύο από τις οποίες έχουν ένα κοινό σημείο. Έτσι, ερχόμαστε σε αντίφαση με την υπόθεση ότι η πρόταση είναι αληθής για ένα αυθαίρετο κυρτό n-gon.
Άρα, για ένα (n+1)-gon η πρόταση είναι αληθής. Σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η πρόταση ισχύει για οποιοδήποτε κυρτό n-gon.
9. Υπάρχουν n ευθείες σε ένα επίπεδο, από τις οποίες καμία δεν είναι παράλληλη και δεν περνούν τρεις από το ίδιο σημείο. Σε πόσα μέρη χωρίζουν αυτές οι γραμμές το αεροπλάνο;
Χρησιμοποιώντας στοιχειώδη σχέδια, μπορείτε εύκολα να επαληθεύσετε ότι μια ευθεία διαιρεί το επίπεδο σε 2 μέρη, δύο ευθείες σε 4 μέρη, τρεις ευθείες σε 7 μέρη και τέσσερις ευθείες σε 11 μέρη.
Ας συμβολίσουμε με N(n) τον αριθμό των τμημάτων στα οποία n ευθείες διαιρούν το επίπεδο. Μπορεί να παρατηρηθεί ότι
N(2)=N(1)+2=2+2,
N(3)=N(2)+3=2+2+3,
Ν(4)=Ν(3)+4=2+2+3+4.
Είναι φυσικό να το υποθέσουμε
N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,
ή, όπως είναι εύκολο να καθοριστεί, χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου,
Ν(η)=1+n(n+1)/2.
Ας αποδείξουμε την εγκυρότητα αυτού του τύπου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Για n=1 ο τύπος έχει ήδη ελεγχθεί.
Έχοντας κάνει την υπόθεση της επαγωγής, θεωρούμε k+1 γραμμές που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος. Ας επιλέξουμε k ευθείες από αυτές με αυθαίρετο τρόπο. Με την υπόθεση της επαγωγής, θα χωρίσουν το επίπεδο σε 1+ k(k+1)/2 μέρη. Η υπόλοιπη (k+1)η ευθεία θα διαιρεθεί από τις επιλεγμένες k ευθείες σε k+1 μέρη και, επομένως, θα περάσει κατά μήκος του (k+1)ου τμήματος στο οποίο έχει ήδη χωριστεί το επίπεδο, και κάθε από αυτά τα μέρη θα χωριστούν σε 2 μέρη, δηλαδή θα προστεθεί ένα άλλο k+1 μέρος. Ετσι,
N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,
Q.E.D.
10. Στην παράσταση x 1: x 2: ... : x n, τοποθετούνται παρενθέσεις για να δηλωθεί η σειρά των ενεργειών και το αποτέλεσμα γράφεται ως κλάσμα:
(στην περίπτωση αυτή, καθένα από τα γράμματα x 1, x 2, ..., x n βρίσκεται είτε στον αριθμητή του κλάσματος είτε στον παρονομαστή). Πόσες διαφορετικές εκφράσεις μπορούν να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο με όλους τους πιθανούς τρόπους τοποθέτησης παρενθέσεων;
Πρώτα απ 'όλα, είναι σαφές ότι στο κλάσμα που προκύπτει το x 1 θα είναι στον αριθμητή. Είναι σχεδόν εξίσου προφανές ότι το x 2 θα είναι στον παρονομαστή ανεξάρτητα από το πώς τοποθετούνται οι παρενθέσεις (το σύμβολο διαίρεσης μπροστά από το x 2 αναφέρεται είτε στο ίδιο το x 2 είτε σε κάποια παράσταση που περιέχει x 2 στον αριθμητή).
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλα τα άλλα γράμματα x 3, x 4, ..., x n μπορούν να βρίσκονται στον αριθμητή ή στον παρονομαστή με εντελώς αυθαίρετο τρόπο. Από αυτό προκύπτει ότι συνολικά μπορείτε να πάρετε 2 n–2 κλάσματα: καθένα από τα n–2 γράμματα x 3, x 4, ..., x n μπορεί να εμφανίζεται ανεξάρτητα από τα άλλα στον αριθμητή ή στον παρονομαστή.
Ας αποδείξουμε αυτή τη δήλωση επαγωγικά.
Με n=3 μπορείτε να πάρετε 2 κλάσματα:
άρα η δήλωση είναι αληθινή.
Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n=k και ας το αποδείξουμε για n=k+1.
Έστω η παράσταση x 1: x 2: ... : x k μετά από κάποια τοποθέτηση αγκύλων να γραφεί με τη μορφή ορισμένου κλάσματος Q. Αν αντί για x k σε αυτήν την παράσταση αντικαταστήσουμε x k: x k+1, τότε το x k θα είναι στην ίδια θέση όπως ήταν στο κλάσμα Q, και το x k+1 δεν θα είναι εκεί που ήταν το x k (αν το x k ήταν στον παρονομαστή, τότε το x k+1 θα είναι στον αριθμητή και αντίστροφα).
Τώρα θα αποδείξουμε ότι μπορούμε να προσθέσουμε x k+1 στο ίδιο μέρος όπου βρίσκεται το x k. Στο κλάσμα Q, μετά την τοποθέτηση των αγκύλων, θα υπάρχει αναγκαστικά μια έκφραση της μορφής q:x k, όπου q είναι το γράμμα x k–1 ή κάποια έκφραση σε αγκύλες. Αντικαθιστώντας το q:x k με την παράσταση (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1), προφανώς παίρνουμε το ίδιο κλάσμα Q, όπου αντί για x k υπάρχει x k ·x k+1 .
Έτσι, ο αριθμός όλων των δυνατών κλασμάτων στην περίπτωση n=k+1 είναι 2 φορές μεγαλύτερος από την περίπτωση n=k και ισούται με 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2. Έτσι η δήλωση αποδεικνύεται.
Απάντηση: 2 n–2 κλάσματα.
Προβλήματα χωρίς λύσεις
1. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε φυσικό n:
α) ο αριθμός 5 n –3 n +2n διαιρείται με το 4.
β) ο αριθμός n 3 +11n διαιρείται με το 6.
γ) ο αριθμός 7 n +3n–1 διαιρείται με το 9.
δ) ο αριθμός 6 2n +19 n –2 n+1 διαιρείται με το 17.
ε) ο αριθμός 7 n+1 +8 2n–1 διαιρείται με το 19.
ε) ο αριθμός 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 διαιρείται με το 27.
2. Να αποδείξετε ότι (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).
3. Να αποδείξετε την ανισότητα |sin nx| n|smin x| για κάθε φυσικό ν.
4. Να βρείτε φυσικούς αριθμούς a, b, c που δεν διαιρούνται με το 10 και τέτοιους ώστε για κάθε φυσικό n οι αριθμοί a n + b n και c n να έχουν τα ίδια δύο τελευταία ψηφία.
5. Να αποδείξετε ότι αν n σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε ανάμεσα στις γραμμές που τα συνδέουν υπάρχουν τουλάχιστον n διαφορετικές.
Μάθημα #50
Θέμα μαθήματος : Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής.
Σκοπός του μαθήματος: Εξοικειωθούν μεη ουσία της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής, μάθετε να εφαρμόζετε αυτή τη μέθοδο κατά την επίλυση προβλημάτων απόδειξης, συνεχίστε να αναπτύσσετε υπολογιστικές δεξιότητες και συνεχίστε να αναπτύσσετε μαθηματικούς γραμματισμούς.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.
Οργάνωση χρόνου. Καθορισμός στόχων μαθήματος
Ενεργοποίηση βασικών γνώσεων.
Ορισμός γεωμετρικής προόδου, τύπος για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.
Επαναλάβετε τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Επαναλάβετε τον τύπο για το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου
3. Εκμάθηση νέου υλικού
Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων, κατά την απόδειξη της εγκυρότητας μαθηματικών προτάσεων, καθώς και κατά την εξαγωγή τύπων, χρησιμοποιείται συχνά συλλογισμός, ο οποίος ονομάζεταιμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Για παράδειγμα, χρησιμοποιήσατε αυτό το είδος συλλογισμού κατά την εξαγωγή του τύπουnο όρος, καθώς και κατά την εξαγωγή του τύπου για το άθροισμα του πρώτουnμέλη αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων.
Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: εάν πρέπει να προσδιορίσετε την εγκυρότητα κάποιας δήλωσης στην οποία εμφανίζεται ένας φυσικός αριθμόςn, Οτι:
1) ελέγχεται ότι η προβλεπόμενη δήλωση ισχύει για μια συγκεκριμένη τιμήn(για παράδειγμα γιαn=1).
2) υποτίθεται ότι η δήλωση είναι αληθής για κάποια αυθαίρετη τιμήn = κ , και αποδεικνύεται ότι σε αυτή την περίπτωση ισχύει και γιαn = κ + 1. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η πρόταση ισχύει για οποιαδήποτε τιμήn, γιατί η δικαιοσύνη του ανακαλύφθηκε ότανn=1, και σύμφωνα με όσα έχουν αποδειχθεί, ισχύει και γιαn= 2, και αυτό ισχύει γιαn= 2, τότε ισχύει και γιαn= 3, κ.λπ.
Τώρα ας δούμε παραδείγματα χρήσης αυτής της μεθόδου.
Παράδειγμα 1. Ας αποδείξουμε ότι για κάθε φυσικόnυπάρχει ισότητα
Ο τύπος είναι σωστός γιαn= 1, αφού:
Ας υποθέσουμε ότι ο τύπος είναι σωστός γιαn = κ .
Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση ισχύει και γιαn = κ+ 1, δηλ.
Η άμεση επαλήθευση έδειξε ότι ο τύπος είναι σωστός ότανn =1; επομένως θα ισχύει και γιαn= 2, και επομένως στοn= 3, επομένως, στοn = 4 και γενικά για κάθε φυσικόn.
4. Επίλυση προβλημάτων
№249(α)
Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να αποδείξετε τον τύποn – ουόρος μιας αριθμητικής προόδου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής
Στοn=1 έχουμε α 1 =α 1.
Ας υποθέσουμε ότι αυτός ο τύπος ισχύει γιακο όρος, δηλαδή η ισότητα α κ = ένα 1 + ρε( κ-1)
Ας αποδείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση αυτός ο τύπος ισχύει και για (κ+1)ο μέλος. Πραγματικά,
ΕΝΑ κ +1 = ένα 1 + ρε( κ+1-1) = α 1 + dk
Από την άλλη, εξ ορισμού, αρφ. επαιτώ. ΕΝΑ κ +1 = ΕΝΑ κ + ρε
Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές των δύο τελευταίων παραστάσεων είναι ίσες = και οι δεξιές πλευρές είναι ίσες:
ΕΝΑ κ + ρε= α 1 + dkή α κ = ένα 1 + ρε( κ-1)
Η προκύπτουσα σωστή ισότητα μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι ο τύποςnο όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι κατάλληλος για κάθε φυσικόn
№ 255
Ας αποδείξουμε ότι ο αριθμός είναι 11 n+1 +12 2 n -1 για όλες τις φυσικές αξίεςnδιαιρείται με το 133
Στοn=1 έχουμε 11 1+1 +12 2*1-1 =133, 133 διαιρούμενο με 133
Ας υποθέσουμε ότι ότανn= κποσό 11 κ +1 +12 2 κ -1 διαιρείται με το 133
Ας αποδείξουμε ότι αυτό το άθροισμα διαιρείται με το 133 στοn= κ+1, δηλ. έντεκα κ +2 +12 2 κ +1 διαιρείται με το 133
11 k+2 +12 2k+1 =11*11 κ +1 +144*12 κ-1 =11*11 κ +1 +11*12 2k-1 +133*12 2k-1 =11(11 k+1 +12 2k-1 )+133*12 2k-1
Κάθε όρος του αθροίσματος που προκύπτει διαιρείται με το 133. Επομένως, 11 κ +2 +12 2 κ +1 διαιρέστε επίσης με το 133.
5. Αντανάκλαση
6. Ρύθμιση D/z
§15 απόφαση αριθμ. 251
MBOU Λύκειο "Τεχνικό και Οικονομικό"
ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ.
ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Η μεθοδολογική ανάπτυξη «Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής» συντάχθηκε για μαθητές της 10ης τάξης ενός μαθηματικού προφίλ.
Βασικοί στόχοι: να εισαγάγουν τους μαθητές στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και να διδάξουν πώς να την εφαρμόζουν στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
Η μεθοδολογική ανάπτυξη αντιμετωπίζει ζητήματα στοιχειωδών μαθηματικών: προτείνονται προβλήματα διαιρετότητας, απόδειξη ταυτοτήτων, απόδειξη ανισοτήτων, προβλήματα διαφορετικού βαθμού πολυπλοκότητας, συμπεριλαμβανομένων προβλημάτων που προτείνονται σε Ολυμπιάδες.
Ο ρόλος των επαγωγικών συμπερασμάτων στις πειραματικές επιστήμες είναι πολύ μεγάλος. Δίνουν εκείνες τις διατάξεις από τις οποίες στη συνέχεια εξάγονται περαιτέρω συμπεράσματα μέσω της έκπτωσης. Ονομα μέθοδος μαθηματικής επαγωγήςπαραπλανητική - στην πραγματικότητα, αυτή η μέθοδος είναι απαγωγική και παρέχει αυστηρή απόδειξη δηλώσεων που μαντεύονται μέσω επαγωγής. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής βοηθά στον εντοπισμό των συνδέσεων μεταξύ διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών και βοηθά στην ανάπτυξη της μαθηματικής κουλτούρας του μαθητή.
Ορισμός της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής. Πλήρης και ημιτελής επαγωγή. Απόδειξη ανισοτήτων. Απόδειξη ταυτότητας. Επίλυση προβλημάτων διαιρετότητας. Επίλυση διαφόρων προβλημάτων με θέμα «Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής».
ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥΣ
1. M.L. Galitsky. Σε βάθος μελέτη του μαθήματος της άλγεβρας και της μαθηματικής ανάλυσης. – Μ. Εκπαίδευση 1986.
2. L.I.Zvavich. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Διδακτικό υλικό. M. Bustard.2001.
3. N.Ya.Vilenkin. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυση. Μ Διαφωτισμός.1995.
4. Yu.V.Mikheev. Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής. NSU.1995.
ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ
1. N.Ya.Vilenkin. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυση. Μ Διαφωτισμός.1995.
2. Yu.V.Mikheev. Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής. NSU.1995.
ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ
Επαγωγή, αξίωμα, αρχή της μαθηματικής επαγωγής, πλήρης επαγωγή, ελλιπής επαγωγή, δήλωση, ταυτότητα, ανισότητα, διαιρετότητα.
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤΟ ΘΕΜΑ
«ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΟΓΗΣΗΣ».
Μάθημα 1.
Ορισμός της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής.
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής είναι μια από τις εξαιρετικά αποτελεσματικές μεθόδους αναζήτησης νέων αποτελεσμάτων και απόδειξης της αλήθειας των υποθέσεων που έγιναν. Αν και αυτή η μέθοδος στα μαθηματικά δεν είναι καινούργια, το ενδιαφέρον για αυτήν δεν μειώνεται. Για πρώτη φορά σε μια σαφή παρουσίαση, η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής χρησιμοποιήθηκε τον 17ο αιώνα από τον εξαιρετικό Γάλλο επιστήμονα Blaise Pascal όταν απέδειξε τις ιδιότητες του αριθμητικού τριγώνου, που έκτοτε φέρει το όνομά του. Ωστόσο, η ιδέα της μαθηματικής επαγωγής ήταν γνωστή στους αρχαίους Έλληνες. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής βασίζεται στην αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η οποία γίνεται αποδεκτή ως αξίωμα. Ας δούμε την ιδέα της μαθηματικής επαγωγής χρησιμοποιώντας παραδείγματα.
Παράδειγμα Νο. 1.
Το τετράγωνο χωρίζεται σε δύο μέρη από ένα τμήμα, στη συνέχεια ένα από τα προκύπτοντα μέρη χωρίζεται σε δύο μέρη και ούτω καθεξής. Προσδιορίστε σε πόσα μέρη θα χωριστεί το τετράγωνο Πβήματα;
Λύση.
Μετά το πρώτο βήμα, ανάλογα με την προϋπόθεση, θα πάρουμε 2 μέρη. Στο δεύτερο βήμα, αφήνουμε το ένα μέρος αναλλοίωτο, και χωρίζουμε το δεύτερο σε 2 μέρη και παίρνουμε 3 μέρη. Στο τρίτο βήμα, αφήνουμε 2 μέρη αναλλοίωτα, και χωρίζουμε το τρίτο σε δύο μέρη και παίρνουμε 4 μέρη. Στο τέταρτο βήμα, αφήνουμε 3 μέρη αναλλοίωτα, και χωρίζουμε το τελευταίο σε δύο μέρη και παίρνουμε 5 μέρη. Στο πέμπτο βήμα θα πάρουμε 6 μέρη. Αυτό εγείρει την υπόδειξη ότι μέσω Πβήματα που θα κάνουμε (n+1)Μέρος. Αλλά αυτή η πρόταση πρέπει να αποδειχθεί. Ας υποθέσουμε ότι μετά Προς τηνβήματα το τετράγωνο θα χωριστεί σε (k+1)Μέρος. Στη συνέχεια (k+1)βήμα που κάνουμε Προς τηνμέρη θα μείνουν αμετάβλητα, αλλά (k+1)χωρίστε το μέρος σε δύο μέρη και πάρτε (k+2)εξαρτήματα. Παρατηρείτε ότι μπορείτε να μαλώνετε με αυτόν τον τρόπο για όσο καιρό θέλετε, επ' άπειρον. Δηλαδή, η υπόθεση μας είναι ότι μέσω Πβήματα το τετράγωνο θα χωριστεί σε (n+1)μέρος αποδεικνύεται.
Παράδειγμα Νο. 2.
Η γιαγιά μου είχε μια εγγονή που της άρεσε πολύ η μαρμελάδα, και ειδικά η μαρμελάδα που έβγαινε σε βάζο του λίτρου. Όμως η γιαγιά μου δεν μου επέτρεψε να τον αγγίξω. Και οι εγγονές σχεδίαζαν να εξαπατήσουν τη γιαγιά τους. Αποφάσισε να τρώει 1/10 λίτρο από αυτό το βάζο κάθε μέρα και να το συμπληρώνει με νερό, ανακατεύοντας καλά. Πόσες μέρες θα χρειαστεί για να ανακαλύψει η γιαγιά την εξαπάτηση αν η μαρμελάδα παραμείνει ίδια στην εμφάνιση όταν αραιωθεί στο μισό με νερό;
Λύση.
Ας βρούμε πόση καθαρή μαρμελάδα μένει στο βάζο μετά Πημέρες. Μετά την πρώτη μέρα, ένα μείγμα που αποτελείται από 9/10 μαρμελάδα και 1/10 νερό θα παραμείνει στο βάζο. Μετά από δύο μέρες, το 1/10 του μείγματος νερού και μαρμελάδας θα εξαφανιστεί από το βάζο και θα παραμείνει (1 λίτρο του μείγματος περιέχει 9/10 λίτρα μαρμελάδα, 1/10 λίτρο του μείγματος περιέχει 9/100 λίτρα μαρμελάδα )
9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 λίτρα μαρμελάδα. Την τρίτη μέρα, 1/10 λίτρο μείγματος που αποτελείται από 81/100 μαρμελάδα και 19/100 νερό θα εξαφανιστεί από το βάζο. 1 λίτρο μείγματος περιέχει 81/100 λίτρα μαρμελάδας, 1/10 λίτρο μείγματος περιέχει 81/1000 λίτρα μαρμελάδα. 81/100 – 81/1000=
729/1000=(9/10) 3 λίτρα μαρμελάδας θα παραμείνουν μετά από 3 ημέρες, και το υπόλοιπο θα απορροφηθεί από το νερό. Εμφανίζεται ένα μοτίβο. Διά μέσου Παπομένουν μέρες στην τράπεζα (9/10) Πμαρμελάδα. Αλλά αυτό, πάλι, είναι μόνο η εικασία μας.
Αφήνω Προς την– ένας αυθαίρετος φυσικός αριθμός. Ας υποθέσουμε ότι μετά Προς τηνημέρες θα μείνουν (9/10) λίτρα μαρμελάδας στο βάζο. Για να δούμε τι θα υπάρχει στην τράπεζα σε μια άλλη μέρα, δηλαδή μέσα (k+1)ημέρα. Θα εξαφανιστεί από το βάζο 1/10 λτένα μείγμα που αποτελείται από (9/10) Προς την μεγάλομαρμελάδα και νερό. ΣΕ 1 λίτροτο μείγμα είναι (9/10) Προς την μεγάλομαρμελάδα, μέσα 1/10 λτμείγματα (9/10) k+1 μεγάλομαρμελάδα. Τώρα μπορούμε να το πούμε με ασφάλεια Παπομένουν μέρες στην τράπεζα (9/10) Π μεγάλομαρμελάδα. Σε 6 μέρες η τράπεζα θα έχει 531444/1000000λμαρμελάδα, μετά από 7 ημέρες - 4782969/10000000λμαρμελάδα δηλαδή λιγότερο από το μισό.
Απάντηση:Μετά από 7 ημέρες, η γιαγιά θα ανακαλύψει την εξαπάτηση.
Ας προσπαθήσουμε να επισημάνουμε τα πιο σημαντικά πράγματα για την επίλυση των προβλημάτων που εξετάζονται. Ξεκινήσαμε να λύνουμε κάθε ένα από αυτά εξετάζοντας μεμονωμένες ή, όπως λένε, ειδικές περιπτώσεις. Στη συνέχεια, με βάση τις παρατηρήσεις μας, κάναμε κάποια υπόθεση P(n), ανάλογα με το φυσικό Π.
η δήλωση έχει επαληθευτεί, δηλαδή αποδειχθεί Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3);
πρότεινε ότι P(n)ισχύει για p=kκαι κατέληξε στο συμπέρασμα ότι τότε θα είναι αλήθεια στο επόμενο n, n=k+1.
Και μετά σκέφτηκαν κάτι σαν αυτό: P(1)σωστά, P(2)σωστά, P(3)σωστά, P(4)σωστά... αυτό σημαίνει σωστό Ρ(ρ).
Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής.
Δήλωση P(n), ανάλογα με το φυσικό Π, ισχύει για όλα τα φυσικά Π, Αν
1) η εγκυρότητα της δήλωσης έχει αποδειχθεί όταν n=1;
2) από την παραδοχή της εγκυρότητας της δήλωσης P(n)στο p=kπρέπει
δικαιοσύνη P(n)στο n=k+1.
Στα μαθηματικά, η αρχή της μαθηματικής επαγωγής επιλέγεται, κατά κανόνα, ως ένα από τα αξιώματα που ορίζουν τη φυσική σειρά των αριθμών και, ως εκ τούτου, γίνεται αποδεκτή χωρίς απόδειξη. Η μέθοδος απόδειξης που χρησιμοποιεί την αρχή της μαθηματικής επαγωγής συνήθως ονομάζεται μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής. Σημειώστε ότι αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως για την απόδειξη θεωρημάτων, ταυτοτήτων, ανισοτήτων στην επίλυση προβλημάτων διαιρετότητας και πολλών άλλων προβλημάτων.
Μάθημα #2
Πλήρης και ημιτελής επαγωγή.
Στην περίπτωση που μια μαθηματική πρόταση αφορά έναν πεπερασμένο αριθμό αντικειμένων, μπορεί να αποδειχθεί δοκιμάζοντας για κάθε αντικείμενο, για παράδειγμα, την πρόταση "Κάθε διψήφιος ζυγός αριθμός είναι το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών". Η μέθοδος απόδειξης στην οποία δοκιμάζουμε μια πρόταση για πεπερασμένο αριθμό περιπτώσεων ονομάζεται πλήρης μαθηματική επαγωγή. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται σχετικά σπάνια, καθώς οι εντολές εξετάζονται συχνότερα σε άπειρα σύνολα. Για παράδειγμα, το θεώρημα «Οποιοσδήποτε άρτιος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών» δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή απορριφθεί. Ακόμα κι αν δοκιμάσαμε αυτό το θεώρημα για το πρώτο δισεκατομμύριο, δεν θα μας έφερνε ούτε ένα βήμα πιο κοντά στην απόδειξή του.
Στις φυσικές επιστήμες χρησιμοποιείται ημιτελής επαγωγή, ελέγχοντας το πείραμα πολλές φορές και μεταφέροντας το αποτέλεσμα σε όλες τις περιπτώσεις.
Παράδειγμα Νο. 3.
Χρησιμοποιώντας ημιτελή επαγωγή, μαντεύουμε τον τύπο για το άθροισμα των κύβων των φυσικών αριθμών.
Λύση.
1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .
Απόδειξη.
Ας είναι αλήθεια για p=k.
Ας αποδείξουμε ότι ισχύει για n=k+1.
Συμπέρασμα: ο τύπος για το άθροισμα των κύβων των φυσικών αριθμών ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό Π.
Παράδειγμα αρ. 4.
Εξετάστε τις ισότητες και μαντέψτε σε ποιο γενικό νόμο οδηγούν αυτά τα παραδείγματα.
Λύση.
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
Παράδειγμα Νο. 5.
Γράψε τις παρακάτω εκφράσεις ως άθροισμα:
1) 
2) 
3)
; 4) 
.
Ελληνικό γράμμα «σίγμα».
Παράδειγμα αρ. 6.
Γράψτε τα παρακάτω ποσά χρησιμοποιώντας το πρόσημο 
:
2) 
Παράδειγμα Νο. 7.
Γράψτε τις παρακάτω εκφράσεις ως προϊόντα:
1) 
3) 
4) 
Παράδειγμα αρ. 8.
Γράψε τα παρακάτω έργα χρησιμοποιώντας το πρόσημο 
(κεφαλαίο ελληνικό γράμμα "πι")
1) 
2)
Παράδειγμα Νο. 9.
Υπολογισμός της τιμής ενός πολυωνύμου 
φά
(
n
)=
n
2
+
n
+11
, στο n=1,2,3,4,5,6,7
μπορεί κανείς να κάνει την υπόθεση ότι για κάθε φυσικόΠαριθμός φά
(
n
)
απλός.
Είναι σωστή αυτή η υπόθεση;
Λύση.
Εάν κάθε όρος ενός αθροίσματος διαιρείται με έναν αριθμό, τότε το άθροισμα διαιρείται με αυτόν τον αριθμό, 
δεν είναι πρώτος αριθμός για κανένα φυσικό αριθμόΠ.
Η ανάλυση ενός πεπερασμένου αριθμού περιπτώσεων διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά: χωρίς να δίνεται απόδειξη μιας συγκεκριμένης πρότασης, βοηθά να μαντέψουμε τη σωστή διατύπωση αυτής της πρότασης, εάν δεν είναι ακόμη γνωστή. Έτσι ο Γκόλντμπαχ, μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, κατέληξε στην υπόθεση ότι κάθε φυσικός αριθμός, που ξεκινά από δύο, είναι το άθροισμα όχι περισσότερων από τρεις πρώτους αριθμούς.
Μάθημα #3.
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής επιτρέπει σε κάποιον να αποδείξει διάφορες ταυτότητες.
Παράδειγμα Νο. 10.Ας το αποδείξουμε σε όλους Πη ταυτότητα κρατάει
Λύση.
Ας βάλουμε 
Πρέπει να το αποδείξουμε
Ας αποδείξουμε ότι Τότε από την αλήθεια της ταυτότητας
ακολουθεί την αλήθεια της ταυτότητας 
Χρησιμοποιώντας την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η αλήθεια της ταυτότητας αποδεικνύεται για όλους Π.
Παράδειγμα Νο. 11.
Ας αποδείξουμε την ταυτότητα 
Απόδειξη.
τις προκύπτουσες ισότητες ανά όρο.
; 
. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η ταυτότητα ισχύει για όλουςΠ
.
Μάθημα Νο. 4.
Απόδειξη ταυτοτήτων με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Παράδειγμα αρ. 12.
Ας αποδείξουμε την ταυτότητα 
Απόδειξη.
Χρησιμοποιώντας την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, αποδείξαμε ότι η ισότητα ισχύει για όλους Π.
Παράδειγμα αρ. 13.
Ας αποδείξουμε την ταυτότητα 
Απόδειξη.
Χρησιμοποιώντας την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, αποδείξαμε ότι η πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό Π.
Παράδειγμα αρ. 14. Ας αποδείξουμε την ταυτότητα
Απόδειξη.
Παράδειγμα αρ. 15. Ας αποδείξουμε την ταυτότητα
1)
n=1;
2) για p=k
ισχύει η ισότητα 
3) αποδεικνύουμε ότι ισχύει η ισότητα p=k+1:
Συμπέρασμα: η ταυτότητα ισχύει για κάθε φυσικό Π.
Παράδειγμα αρ. 16.Ας αποδείξουμε την ταυτότητα
Απόδειξη.
Αν n=1
, Οτι 
Αφήστε την ταυτότητα να κρατήσει p=k.
Ας αποδείξουμε ότι η ταυτότητα ισχύει n=k+1.
Τότε η ταυτότητα είναι αληθινή για κάθε φυσικό Π.
Μάθημα Νο 5.
Απόδειξη ταυτοτήτων με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Παράδειγμα αρ. 17.Ας αποδείξουμε την ταυτότητα
Απόδειξη.
Αν n=2
, τότε παίρνουμε τη σωστή ισότητα: 
Ας ισχύει για την ισότηταp=k:
Ας αποδείξουμε την εγκυρότητα της δήλωσης όταν n=k+1.
Σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η ταυτότητα αποδεικνύεται.
Παράδειγμα αρ. 18.
Ας αποδείξουμε την ταυτότητα 
όταν n≥2.
Στο n=2
αυτή η ταυτότητα μπορεί να ξαναγραφτεί με πολύ απλή μορφή 
και προφανώς αλήθεια.
Αφήστε στο p=kΠραγματικά
.
Ας αποδείξουμε την εγκυρότητα της δήλωσης ότανn=k+1, δηλαδή ισχύει η ισότητα: .
Έτσι, έχουμε αποδείξει ότι η ταυτότητα ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n≥2.
Παράδειγμα αρ. 19. Ας αποδείξουμε την ταυτότητα
Στο n=1
παίρνουμε τη σωστή ισότητα: 
Ας υποθέσουμε ότι όταν p=kπαίρνουμε επίσης τη σωστή ισότητα:
Ας αποδείξουμε ότι ισχύει η ισότητα p=k+1:
Τότε η ταυτότητα ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό Π.
Μάθημα Νο. 6.
Επίλυση προβλημάτων διαιρετότητας.
Παράδειγμα αρ. 20.Να αποδείξετε με μαθηματική επαγωγή ότι
διαιρείται με 6
χωρίς ίχνος.
Απόδειξη.
Στο n=1
υπάρχει διαίρεση σε6
χωρίς ίχνος, 
.
Αφήστε στο p=k
έκφραση 
πολλαπλούς6.
Ας αποδείξουμε ότι όταν p=k+1
έκφραση 
πολλαπλούς6
.
Κάθε όρος είναι πολλαπλάσιος 6 , επομένως το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο 6 .
Παράδειγμα αρ. 21.
επί5
χωρίς ίχνος.
Απόδειξη.
Στο n=1
η έκφραση χωρίζεται χωρίς υπόλοιπο 
.
Αφήστε στο p=k
έκφραση 
επίσης χωρίζεται σε5
χωρίς ίχνος.
Στο p=k+1διαιρείται με 5 .
Παράδειγμα αρ. 22.
Να αποδείξετε τη διαιρετότητα μιας έκφρασης 
επί16.
Απόδειξη.
Στο n=1πολλαπλούς 16 .
Αφήστε στο p=k
πολλαπλούς16.
Στο p=k+1
Όλοι οι όροι διαιρούνται με 16: το πρώτο είναι προφανές, το δεύτερο είναι κατά υπόθεση και το τρίτο έχει ζυγό αριθμό σε αγκύλες.
Παράδειγμα αρ. 23.
Απόδειξη διαιρετότητας 
επί676.
Απόδειξη.
Ας το αποδείξουμε πρώτα 
διαιρείται με 
.
Στο n=0
.
Αφήστε στο p=k
διαιρείται με26
.
Στη συνέχεια στο p=k+1διαιρείται με 26 .
Τώρα θα πραγματοποιήσουμε μια απόδειξη της δήλωσης που διατυπώθηκε στη δήλωση του προβλήματος.
Στο n=1διαιρείται με 676.
Στο p=k
είναι αλήθεια ότι 
διαιρείται με26
2
.
Στο p=k+1 .
Και οι δύο όροι διαιρούνται με 676 ; πρώτον - γιατί αποδείξαμε τη διαιρετότητα με 26 έκφραση σε παρένθεση και η δεύτερη χωρίζεται σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής.
Μάθημα Νο. 7.
Επίλυση προβλημάτων διαιρετότητας.
Παράδειγμα αρ. 24.
Αποδείξτε το 
διαιρείται με5
χωρίς ίχνος.
Απόδειξη.
Στο n=1
διαιρείται με5.
Στο p=k
διαιρείται με5
χωρίς ίχνος.
Στο p=k+1 κάθε όρος διαιρείται με5 χωρίς ίχνος.
Παράδειγμα αρ. 25.
Αποδείξτε το 
διαιρείται με6
χωρίς ίχνος.
Απόδειξη.
Στο n=1
διαιρείται με6
χωρίς ίχνος.
Αφήστε στο p=k
διαιρείται με6
χωρίς ίχνος.
Στο p=k+1διαιρείται με 6
χωρίς υπόλοιπο, αφού κάθε όρος διαιρείται με6
χωρίς υπόλοιπο: ο πρώτος όρος είναι με επαγωγική υπόθεση, ο δεύτερος είναι προφανής, ο τρίτος είναι επειδή 
Ζυγός αριθμός.
Παράδειγμα αρ. 26.
Αποδείξτε το 
όταν διαιρείται με9
δίνει το υπόλοιπο 1
.
Απόδειξη.
Ας το αποδείξουμε 
διαιρείται με9
.
Στο n=1 
διαιρείται με 9
. Αφήστε στο p=k
διαιρείται με9
.
Στο p=k+1διαιρείται με 9 .
Παράδειγμα αρ. 27.
Να αποδείξετε ότι διαιρείται με15 χωρίς ίχνος.
Απόδειξη.
Στο n=1διαιρείται με 15 .
Αφήστε στο p=kδιαιρείται με 15 χωρίς ίχνος.
Στο p=k+1
Ο πρώτος όρος είναι πολλαπλός15
από την υπόθεση της επαγωγής, ο δεύτερος όρος είναι πολλαπλάσιο του15
– προφανώς, ο τρίτος όρος είναι πολλαπλάσιο του15
, επειδή 
πολλαπλούς5
(αποδεικνύεται στο παράδειγμα Νο. 21), ο τέταρτος και ο πέμπτος όρος είναι επίσης πολλαπλοί5
, το οποίο είναι προφανές, τότε το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο15
.
Μάθημα Νο. 8-9.
Απόδειξη ανισοτήτων με μαθηματική επαγωγή
Παράδειγμα αρ. 28. 
.
Στο n=1έχουμε 
- σωστά.
Αφήστε στο p=k 
- αληθινή ανισότητα.
Στο p=k+1
Τότε η ανισότητα ισχύει για κάθε φυσικό Π.
Παράδειγμα αρ. 29.Αποδείξτε ότι η ανισότητα είναι αληθινή 
σε οποιαδήποτε Π.
Στο n=1παίρνουμε τη σωστή ανισότητα 4 >1.
Αφήστε στο p=kη ανισότητα είναι αλήθεια 
.
Ας αποδείξουμε ότι όταν p=k+1η ανισότητα είναι αλήθεια 
Για κάθε φυσικό Προς τηνυπάρχει ανισότητα.
Αν 
στο 
Οτι
Παράδειγμα αρ. 30.
κάτω από κάθε φυσικό Πκαι οποιαδήποτε 
Αφήνω n=1 
, σωστά.
Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η ανισότητα p=k: 
.
Στο p=k+1
Παράδειγμα αρ. 31.Να αποδείξετε την εγκυρότητα της ανισότητας
κάτω από κάθε φυσικό Π.
Ας αποδείξουμε πρώτα ότι για κάθε φυσικό Τη ανισότητα είναι αλήθεια
Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί 
. Λαμβάνουμε μια ισοδύναμη ανισότητα ή 
; 
; - αυτή η ανισότητα ισχύει για κάθε φυσικό Τ.
Στο n=1η αρχική ανισότητα είναι σωστή 
; 
; 
.
Αφήστε την ανισότητα να ισχύει p=k: 
.
Στο p=k+1 
Μάθημα Νο. 10.
Επίλυση προβλημάτων σχετικά με το θέμα
Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής.
Παράδειγμα αρ. 32.Αποδείξτε την ανισότητα του Μπερνούλι.
Αν 
, τότε για όλες τις φυσικές αξίεςΠ
η ανισότητα ισχύει
Απόδειξη.
Στο n=1
η ανισότητα που αποδεικνύεται παίρνει τη μορφή 
και προφανώς δίκαιο. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει γιαp=k
, δηλαδή τι 
.
Αφού κατά συνθήκη 
, Οτι 
, και επομένως η ανισότητα δεν αλλάζει το νόημά της όταν πολλαπλασιάζονται και τα δύο μέρη της επί 
:
Επειδή 
, τότε το καταλαβαίνουμε
.
Άρα, η ανισότητα ισχύει για n=1, και από την αλήθεια του στο p=kέπεται ότι είναι αλήθεια έστω και αν n=k+1.Αυτό σημαίνει ότι, δυνάμει της μαθηματικής επαγωγής, ισχύει για όλα τα φυσικά Π.
Για παράδειγμα, 
Παράδειγμα αρ. 33.
Βρείτε όλες τις φυσικές αξίεςΠ
, για την οποία ισχύει η ανισότητα 
Λύση.
Στο n=1η ανισότητα είναι δίκαιη. Στο n=2η ανισότητα είναι επίσης αληθής.
Στο n=3η ανισότητα δεν ισχύει πια. Μόνο όταν n=6η ανισότητα ισχύει, οπότε μπορούμε να πάρουμε ως βάση την επαγωγή n=6.
Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για κάποιο φυσικό Προς την:
Σκεφτείτε την ανισότητα
Η τελευταία ανισότητα ικανοποιείται αν 
Η δοκιμαστική εργασία στο θέμα p=1 δίνεται περιοδικά: p≥5, όπου Π- -φυσικός αριθμός.
ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
Η λέξη επαγωγή στα ρωσικά σημαίνει καθοδήγηση και τα συμπεράσματα που βασίζονται σε παρατηρήσεις, πειράματα, δηλαδή ονομάζονται επαγωγικά. που προκύπτει με συμπέρασμα από το συγκεκριμένο στο γενικό.
Για παράδειγμα, κάθε μέρα παρατηρούμε ότι ο Ήλιος ανατέλλει από την ανατολή. Επομένως, μπορείτε να είστε σίγουροι ότι αύριο θα εμφανιστεί στα ανατολικά, και όχι στη δύση. Καταλήγουμε σε αυτό το συμπέρασμα χωρίς να καταφύγουμε σε υποθέσεις σχετικά με τον λόγο της κίνησης του Ήλιου στον ουρανό (εξάλλου, αυτή η ίδια η κίνηση αποδεικνύεται εμφανής, αφού η υδρόγειος πραγματικά κινείται). Κι όμως αυτό το επαγωγικό συμπέρασμα περιγράφει σωστά τις παρατηρήσεις που θα κάνουμε αύριο.
Ο ρόλος των επαγωγικών συμπερασμάτων στις πειραματικές επιστήμες είναι πολύ μεγάλος. Δίνουν εκείνες τις διατάξεις από τις οποίες στη συνέχεια εξάγονται περαιτέρω συμπεράσματα μέσω της έκπτωσης. Και παρόλο που η θεωρητική μηχανική βασίζεται στους τρεις νόμους κίνησης του Νεύτωνα, αυτοί οι ίδιοι νόμοι ήταν αποτέλεσμα βαθιάς σκέψης μέσω πειραματικών δεδομένων, ιδιαίτερα των νόμων της κίνησης των πλανητών του Kepler, τους οποίους εξήγαγε από την επεξεργασία πολλών ετών παρατηρήσεων από τον Δανό αστρονόμο Tycho. Μπράχε. Η παρατήρηση και η επαγωγή αποδεικνύονται χρήσιμες στο μέλλον για την αποσαφήνιση των υποθέσεων που έγιναν. Μετά τα πειράματα του Michelson για τη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός σε ένα κινούμενο μέσο, αποδείχθηκε ότι ήταν απαραίτητο να αποσαφηνιστούν οι νόμοι της φυσικής και να δημιουργηθεί η θεωρία της σχετικότητας.
Στα μαθηματικά, ο ρόλος της επαγωγής είναι σε μεγάλο βαθμό ότι αποτελεί τη βάση της επιλεγμένης αξιωματικής. Αφού η μακροχρόνια πρακτική έδειξε ότι μια ευθεία διαδρομή είναι πάντα συντομότερη από μια καμπύλη ή διακεκομμένη, ήταν φυσικό να διατυπωθεί ένα αξίωμα: για οποιαδήποτε τρία σημεία Α, Β και Γ, η ανισότητα
Η έννοια της παρακολούθησης, που είναι η βάση της αριθμητικής, εμφανίστηκε επίσης από παρατηρήσεις του σχηματισμού στρατιωτών, πλοίων και άλλων διατεταγμένων συνόλων.
Δεν πρέπει, ωστόσο, να πιστεύει κανείς ότι αυτό εξαντλεί τον ρόλο της επαγωγής στα μαθηματικά. Φυσικά, δεν πρέπει να ελέγχουμε πειραματικά θεωρήματα που συνάγονται λογικά από αξιώματα: αν δεν έγιναν λογικά σφάλματα κατά την παραγωγή, τότε είναι αληθή στο βαθμό που τα αξιώματα που δεχθήκαμε είναι αληθή. Αλλά πολλές δηλώσεις μπορούν να συναχθούν από αυτό το σύστημα αξιωμάτων. Και η επιλογή εκείνων των δηλώσεων που πρέπει να αποδειχθούν προτείνεται και πάλι με επαγωγή. Είναι αυτό που σας επιτρέπει να διαχωρίσετε χρήσιμα θεωρήματα από τα άχρηστα, υποδεικνύει ποια θεωρήματα μπορεί να αποδειχθούν αληθή και βοηθά ακόμη και στο να σκιαγραφήσετε το μονοπάτι της απόδειξης.
Η ουσία της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής
Σε πολλούς κλάδους της αριθμητικής, της άλγεβρας, της γεωμετρίας και της ανάλυσης, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η αλήθεια των προτάσεων A(n) ανάλογα με μια φυσική μεταβλητή. Η απόδειξη της αλήθειας της πρότασης A(n) για όλες τις τιμές μιας μεταβλητής μπορεί συχνά να πραγματοποιηθεί με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, η οποία βασίζεται στην ακόλουθη αρχή.
Η πρόταση A(n) θεωρείται αληθής για όλες τις φυσικές τιμές της μεταβλητής εάν πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις:
Η πρόταση A(n) ισχύει για n=1.
Από την υπόθεση ότι το A(n) είναι αληθές για n=k (όπου k είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός), προκύπτει ότι ισχύει για την επόμενη τιμή n=k+1.
Αυτή η αρχή ονομάζεται αρχή της μαθηματικής επαγωγής. Συνήθως επιλέγεται ως ένα από τα αξιώματα που ορίζουν τις φυσικές σειρές των αριθμών, και ως εκ τούτου γίνεται αποδεκτό χωρίς απόδειξη.
Ως μέθοδος μαθηματικής επαγωγής νοείται η ακόλουθη μέθοδος απόδειξης. Εάν θέλετε να αποδείξετε την αλήθεια μιας πρότασης A(n) για όλα τα φυσικά n, τότε, πρώτον, θα πρέπει να ελέγξετε την αλήθεια της πρότασης A(1) και, δεύτερον, υποθέτοντας την αλήθεια της πρότασης A(k), προσπαθήστε να αποδείξετε ότι η πρόταση A(k +1) είναι αληθής. Εάν αυτό μπορεί να αποδειχθεί και η απόδειξη παραμένει έγκυρη για κάθε φυσική τιμή του k, τότε, σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η πρόταση A(n) αναγνωρίζεται ως αληθής για όλες τις τιμές του n.
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής χρησιμοποιείται ευρέως στην απόδειξη θεωρημάτων, ταυτοτήτων, ανισώσεων, στην επίλυση προβλημάτων διαιρετότητας, στην επίλυση ορισμένων γεωμετρικών και πολλών άλλων προβλημάτων.
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής στην επίλυση προβλημάτων σχετικά
διαιρετό
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, μπορείτε να αποδείξετε διάφορες προτάσεις σχετικά με τη διαιρετότητα των φυσικών αριθμών.
Η ακόλουθη δήλωση μπορεί να αποδειχθεί σχετικά απλά. Ας δείξουμε πώς προκύπτει χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Παράδειγμα 1. Αν το n είναι φυσικός αριθμός, τότε ο αριθμός είναι άρτιος.
Όταν n=1 είναι αληθής η πρόταση μας: - ένας ζυγός αριθμός. Ας υποθέσουμε ότι είναι ζυγός αριθμός. Αφού το 2k είναι ζυγός αριθμός, λοιπόν 
ακόμη και. Άρα, η ισοτιμία αποδεικνύεται για n=1, η ισοτιμία συνάγεται από την ισοτιμία 
.Αυτό σημαίνει ότι είναι άρτιο για όλες τις φυσικές τιμές του ν.
Παράδειγμα 2.Να αποδείξετε την αλήθεια της πρότασης
A(n)=(ο αριθμός 5 είναι πολλαπλάσιο του 19), το n είναι φυσικός αριθμός.
Λύση.
Η πρόταση Α(1)=(αριθμός διαιρούμενος με το 19) είναι αληθής.
Ας υποθέσουμε ότι για κάποια τιμή n=k
A(k)=(αριθμός διαιρούμενος με το 19) είναι αληθής. Τότε, από τότε
Προφανώς, ισχύει και το A(k+1). Πράγματι, ο πρώτος όρος διαιρείται με το 19 λόγω της υπόθεσης ότι το A(k) είναι αληθές. ο δεύτερος όρος διαιρείται επίσης με το 19 επειδή περιέχει συντελεστή 19. Και οι δύο προϋποθέσεις της αρχής της μαθηματικής επαγωγής ικανοποιούνται, επομένως, η πρόταση A(n) ισχύει για όλες τις τιμές του n.
Εφαρμογή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής σε
αθροιστική σειρά
Παράδειγμα 1.Αποδείξτε τον τύπο
, n είναι φυσικός αριθμός.
Λύση.
Όταν n=1, και οι δύο πλευρές της ισότητας στρέφονται σε μία και, επομένως, η πρώτη προϋπόθεση της αρχής της μαθηματικής επαγωγής ικανοποιείται.
Ας υποθέσουμε ότι ο τύπος είναι σωστός για n=k, δηλ.
.
Ας προσθέσουμε και στις δύο πλευρές αυτής της ισότητας και ας μεταμορφώσουμε τη δεξιά πλευρά. Μετά παίρνουμε
Έτσι, από το γεγονός ότι ο τύπος είναι αληθής για n=k, προκύπτει ότι ισχύει και για n=k+1. Αυτή η δήλωση ισχύει για οποιαδήποτε φυσική τιμή του k. Άρα, ικανοποιείται και η δεύτερη προϋπόθεση της αρχής της μαθηματικής επαγωγής. Η φόρμουλα είναι αποδεδειγμένη.
Παράδειγμα 2.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πρώτων n αριθμών της φυσικής σειράς ισούται με .
Λύση.
Ας υποδηλώσουμε το απαιτούμενο ποσό, δηλ. 
.
Όταν n=1 η υπόθεση είναι αληθής.
Αφήνω 
. Ας το δείξουμε 
.
Πράγματι,
Το πρόβλημα λύθηκε.
Παράδειγμα 3.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των πρώτων n αριθμών της φυσικής σειράς είναι ίσο με 
.
Λύση.
Αφήστε .
.
Ας το προσποιηθούμε 
. Επειτα
Και τελικά.
Παράδειγμα 4.Αποδείξτε το.
Λύση.
Αν τότε
Παράδειγμα 5.Αποδείξτε το
Λύση.
Όταν n=1 η υπόθεση είναι προφανώς αληθής.
Αφήστε .
Ας το αποδείξουμε.
Πραγματικά,
Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής σε
απόδειξη ανισοτήτων
Παράδειγμα 1.Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n>1
.
Λύση.
Ας υποδηλώσουμε την αριστερή πλευρά της ανισότητας με .
Επομένως, για n=2 ισχύει η ανισότητα.
Ας για λίγο κ. Ας το αποδείξουμε τότε και . Εχουμε 
, .
Συγκρίνοντας και , έχουμε 
, δηλ. 
.
Για κάθε θετικό ακέραιο k, η δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας είναι θετική. Να γιατί . Αλλά αυτό σημαίνει επίσης.
Παράδειγμα 2.Βρείτε το λάθος στο σκεπτικό.
Δήλωση. Για κάθε φυσικό αριθμό n η ανίσωση είναι αληθής.
Απόδειξη.
. (1)
Ας αποδείξουμε ότι τότε η ανισότητα ισχύει και για n=k+1, δηλ.
.
Πράγματι, όχι λιγότερο από 2 για οποιοδήποτε φυσικό k. Ας προσθέσουμε στην αριστερή πλευρά της ανισότητας (1) και στη δεξιά πλευρά 2. Παίρνουμε μια δίκαιη ανισότητα, ή 
. Η δήλωση έχει αποδειχθεί.
Παράδειγμα 3.Αποδείξτε το 
, όπου >-1, , n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1.
Λύση.
Για n=2 η ανίσωση είναι αληθής, αφού .
Έστω η ανίσωση αληθής για n=k, όπου k είναι κάποιος φυσικός αριθμός, δηλ.
. (1)
Ας δείξουμε ότι τότε η ανισότητα ισχύει και για n=k+1, δηλ.
. (2)
Πράγματι, κατά συνθήκη, άρα η ανισότητα είναι αληθής
, (3)
που προκύπτει από την ανισότητα (1) πολλαπλασιάζοντας κάθε μέρος επί . Ας ξαναγράψουμε την ανισότητα (3) ως εξής: . Απορρίπτοντας τον θετικό όρο στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ανισότητας, λαμβάνουμε δίκαιη ανισότητα (2).
Παράδειγμα 4.Αποδείξτε το
(1)
όπου , , n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1.
Λύση.
Για n=2 η ανισότητα (1) παίρνει τη μορφή
. (2)
Αφού , τότε η ανισότητα είναι αληθινή
. (3)
Προσθέτοντας σε κάθε μέρος της ανισότητας (3) παίρνουμε την ανισότητα (2).
Αυτό αποδεικνύει ότι για n=2 ισχύει η ανισότητα (1).
Έστω αληθής η ανισότητα (1) για n=k, όπου k είναι κάποιος φυσικός αριθμός, δηλ.
. (4)
Ας αποδείξουμε ότι τότε η ανισότητα (1) πρέπει να ισχύει και για n=k+1, δηλ.
(5)
Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης (4) με a+b. Εφόσον, κατά συνθήκη, λαμβάνουμε την ακόλουθη δίκαιη ανισότητα:
. (6)
Για να αποδειχθεί η εγκυρότητα της ανισότητας (5), αρκεί να δείξουμε ότι
, (7)
ή, τι είναι το ίδιο,
. (8)
Η ανισότητα (8) είναι ισοδύναμη με την ανισότητα
. (9)
Αν , τότε , και στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης (9) έχουμε το γινόμενο δύο θετικών αριθμών. Αν , τότε , και στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης (9) έχουμε το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών. Και στις δύο περιπτώσεις, η ανισότητα (9) είναι αληθής.
Αυτό αποδεικνύει ότι η εγκυρότητα της ανισότητας (1) για n=k συνεπάγεται την εγκυρότητά της για n=k+1.
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής που εφαρμόζεται σε άλλους
καθήκοντα
Η πιο φυσική εφαρμογή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής στη γεωμετρία, κοντά στη χρήση αυτής της μεθόδου στη θεωρία αριθμών και στην άλγεβρα, είναι η εφαρμογή της στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων υπολογισμού. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1.Υπολογίστε την πλευρά ενός κανονικού τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R.
Λύση.
Όταν n=2 είναι σωστό 2 n - ένα τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο. τη δικη του πλευρα. Περαιτέρω, σύμφωνα με τον τύπο του διπλασιασμού
διαπιστώνουμε ότι η πλευρά ενός κανονικού οκτάγωνου 
, πλευρά κανονικού εξαγώνου 
, πλευρά κανονικού τριάντα δύο τριγώνου 
. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι η πλευρά του ορθού εγγεγραμμένου 2 n - τετράγωνο για οποιοδήποτε ίσο
. (1)
Ας υποθέσουμε ότι η πλευρά ενός κανονικού εγγεγραμμένου τετραγώνου εκφράζεται με τον τύπο (1). Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με τον τύπο του διπλασιασμού
,
από όπου προκύπτει ότι ο τύπος (1) ισχύει για όλα τα n.
Παράδειγμα 2.Σε πόσα τρίγωνα μπορεί να διαιρεθεί ένα n-γώνιο (όχι απαραίτητα κυρτό) με τις ασύνδετες διαγώνιές του;
Λύση.
Για ένα τρίγωνο, αυτός ο αριθμός είναι ίσος με ένα (δεν μπορεί να σχεδιαστεί ούτε μία διαγώνιος σε ένα τρίγωνο). για ένα τετράπλευρο ο αριθμός αυτός είναι προφανώς δύο.
Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ήδη ότι κάθε k-gon, όπου k
A n
Α 1 Α 2
Έστω A 1 A k μία από τις διαγώνιους αυτού του διαμερίσματος. διαιρεί το n-gon A 1 A 2 ...A n στο k-gon A 1 A 2 ...A k και το (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .Α ν . Λόγω της υπόθεσης που έγινε, ο συνολικός αριθμός των τριγώνων στο διαμέρισμα θα είναι ίσος με
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
Έτσι, η δήλωσή μας αποδεικνύεται για όλα τα ν.
Παράδειγμα 3.Να αναφέρετε τον κανόνα για τον υπολογισμό του αριθμού P(n) των τρόπων με τους οποίους ένα κυρτό n-γώνιο μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα με ασύνδετες διαγώνιους.
Λύση.
Για ένα τρίγωνο, ο αριθμός αυτός είναι προφανώς ίσος με ένα: P(3)=1.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ήδη καθορίσει τους αριθμούς P(k) για όλα τα k
Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παίρνουμε με συνέπεια:
P(4)=P(3)+P(3)=2,
P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,
P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14
και τα λοιπά.
Μπορείτε επίσης να λύσετε προβλήματα με γραφήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Ας υπάρχει ένα δίκτυο γραμμών στο επίπεδο που συνδέουν ορισμένα σημεία και δεν έχουν άλλα σημεία. Θα ονομάσουμε ένα τέτοιο δίκτυο γραμμών χάρτη, δίνοντας σημεία ως κορυφές του, τμήματα καμπυλών μεταξύ δύο γειτονικών κορυφών - τα όρια του χάρτη, μέρη του επιπέδου στα οποία χωρίζεται με σύνορα - οι χώρες του χάρτη.
Ας δοθεί κάποιος χάρτης στο αεροπλάνο. Θα πούμε ότι είναι σωστά χρωματισμένο αν η κάθε χώρα της είναι βαμμένη με ένα συγκεκριμένο χρώμα, και οποιεσδήποτε δύο χώρες έχουν ένα κοινό περίγραμμα είναι βαμμένες με διαφορετικά χρώματα.
Παράδειγμα 4.Υπάρχουν n κύκλοι στο αεροπλάνο. Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διάταξη αυτών των κύκλων, ο χάρτης που σχηματίζουν μπορεί να χρωματιστεί σωστά με δύο χρώματα.
Λύση.
Για n=1 η δήλωσή μας είναι προφανής.
Ας υποθέσουμε ότι η δήλωσή μας ισχύει για κάθε χάρτη που σχηματίζεται από n κύκλους, και ας υπάρχουν n+1 κύκλοι στο επίπεδο. Αφαιρώντας έναν από αυτούς τους κύκλους, παίρνουμε έναν χάρτη που, βάσει της υπόθεσης που έγινε, μπορεί να χρωματιστεί σωστά με δύο χρώματα, για παράδειγμα, μαύρο και άσπρο.
Η αληθινή γνώση ανά πάσα στιγμή βασίζεται στην καθιέρωση ενός προτύπου και στην απόδειξη της αληθότητάς του σε ορισμένες περιπτώσεις. Σε μια τόσο μακρά περίοδο ύπαρξης λογικού συλλογισμού, δόθηκαν διατυπώσεις κανόνων και ο Αριστοτέλης συνέταξε ακόμη και έναν κατάλογο «σωστών συλλογισμών». Ιστορικά, ήταν σύνηθες να χωρίζονται όλα τα συμπεράσματα σε δύο τύπους - από το συγκεκριμένο στο πολλαπλό (επαγωγή) και αντίστροφα (απαγωγική). Πρέπει να σημειωθεί ότι τα είδη των αποδεικτικών στοιχείων από συγκεκριμένα σε γενικά και από γενικά σε ειδικά υπάρχουν μόνο σε αλληλεπίδραση και δεν μπορούν να εναλλάσσονται.
Επαγωγή στα μαθηματικά
Ο όρος «επαγωγή» έχει λατινικές ρίζες και κυριολεκτικά μεταφράζεται ως «καθοδήγηση». Με μια πιο προσεκτική μελέτη, μπορεί κανείς να επισημάνει τη δομή της λέξης, δηλαδή το λατινικό πρόθεμα - in- (δηλώνει μια κατευθυνόμενη δράση προς τα μέσα ή το εσωτερικό) και -επαγωγή - εισαγωγή. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν δύο τύποι - πλήρης και ημιτελής επαγωγή. Η πλήρης μορφή χαρακτηρίζεται από συμπεράσματα που προκύπτουν από τη μελέτη όλων των αντικειμένων μιας συγκεκριμένης κατηγορίας.
Ελλιπή - συμπεράσματα που ισχύουν για όλα τα μαθήματα της τάξης, αλλά γίνονται με βάση τη μελέτη μόνο ορισμένων ενοτήτων.
Η πλήρης μαθηματική επαγωγή είναι ένα συμπέρασμα που βασίζεται σε ένα γενικό συμπέρασμα για ολόκληρη την κατηγορία οποιωνδήποτε αντικειμένων που συνδέονται λειτουργικά με τις σχέσεις μιας φυσικής σειράς αριθμών που βασίζονται στη γνώση αυτής της συναρτησιακής σύνδεσης. Σε αυτή την περίπτωση, η διαδικασία απόδειξης πραγματοποιείται σε τρία στάδια:
- το πρώτο αποδεικνύει την ορθότητα της θέσης της μαθηματικής επαγωγής. Παράδειγμα: f = 1, επαγωγή;
- το επόμενο στάδιο βασίζεται στην υπόθεση ότι η θέση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς. Δηλαδή, η f=h είναι μια επαγωγική υπόθεση.
- στο τρίτο στάδιο, αποδεικνύεται η εγκυρότητα της θέσης για τον αριθμό f=h+1, με βάση την ορθότητα της θέσης του προηγούμενου σημείου - πρόκειται για μια επαγωγική μετάβαση ή ένα βήμα μαθηματικής επαγωγής. Ένα παράδειγμα είναι το λεγόμενο αν πέσει η πρώτη πέτρα στη σειρά (βάση), τότε όλες οι πέτρες στη σειρά πέφτουν (μετάβαση).
Και αστεία και σοβαρά
Για ευκολία κατανόησης, παρουσιάζονται παραδείγματα λύσεων που χρησιμοποιούν τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής με τη μορφή προβλημάτων αστείου. Αυτή είναι η εργασία "Polite Queue":
- Οι κανόνες συμπεριφοράς απαγορεύουν σε έναν άνδρα να κάνει στροφή μπροστά σε μια γυναίκα (σε μια τέτοια κατάσταση, επιτρέπεται να προχωρήσει). Με βάση αυτή τη δήλωση, αν ο τελευταίος στη σειρά είναι άντρας, τότε όλοι οι άλλοι είναι άντρας.
Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής είναι το πρόβλημα «Πτήση χωρίς διαστάσεις»:
- Απαιτείται να αποδειχθεί ότι οποιοσδήποτε αριθμός ατόμων μπορεί να χωρέσει στο μίνι λεωφορείο. Είναι αλήθεια ότι ένα άτομο μπορεί να χωρέσει μέσα σε ένα όχημα χωρίς δυσκολία (βάση). Αλλά ανεξάρτητα από το πόσο γεμάτο είναι το μίνι λεωφορείο, θα χωράει πάντα 1 επιβάτης (επαγωγικό βήμα).
Γνωστοί κύκλοι
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και εξισώσεων με μαθηματική επαγωγή είναι αρκετά κοινά. Ως παράδειγμα αυτής της προσέγγισης, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα.
Κατάσταση: υπάρχουν h κύκλοι στο επίπεδο. Απαιτείται να αποδειχθεί ότι, για οποιαδήποτε διάταξη των σχημάτων, ο χάρτης που σχηματίζουν μπορεί να χρωματιστεί σωστά με δύο χρώματα.
Λύση: όταν h=1 η αλήθεια της πρότασης είναι προφανής, άρα η απόδειξη θα κατασκευαστεί για τον αριθμό των κύκλων h+1.
Ας δεχθούμε την υπόθεση ότι η πρόταση ισχύει για οποιονδήποτε χάρτη και ότι υπάρχουν κύκλοι h+1 στο επίπεδο. Αφαιρώντας έναν από τους κύκλους από το σύνολο, μπορείτε να πάρετε έναν χάρτη σωστά χρωματισμένο με δύο χρώματα (ασπρόμαυρο).
Κατά την επαναφορά ενός διαγραμμένου κύκλου, το χρώμα κάθε περιοχής αλλάζει στο αντίθετο (σε αυτήν την περίπτωση, μέσα στον κύκλο). Το αποτέλεσμα είναι ένας χάρτης σωστά χρωματισμένος σε δύο χρώματα, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.
Παραδείγματα με φυσικούς αριθμούς
Η εφαρμογή της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής φαίνεται καθαρά παρακάτω.
Παραδείγματα λύσεων:
Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε h η ακόλουθη ισότητα είναι σωστή:
1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.
1. Έστω h=1, που σημαίνει:
R1 =1 2 =1(1+1) (2+1)/6=1
Από αυτό προκύπτει ότι για h=1 η πρόταση είναι σωστή.
2. Υποθέτοντας ότι h=d, προκύπτει η εξίσωση:
R1 =d2 =d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Υποθέτοντας ότι h=d+1, προκύπτει:
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.
Έτσι, η εγκυρότητα της ισότητας για h=d+1 έχει αποδειχθεί, επομένως η πρόταση ισχύει για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό, όπως φαίνεται στη λύση του παραδείγματος με μαθηματική επαγωγή.
Εργο
Κατάσταση: απαιτείται απόδειξη ότι για οποιαδήποτε τιμή του h η παράσταση 7 h -1 διαιρείται με το 6 χωρίς υπόλοιπο.
Λύση:
1. Ας πούμε h=1, σε αυτήν την περίπτωση:
R 1 =7 1 -1=6 (δηλαδή διαιρούμενο με το 6 χωρίς υπόλοιπο)
Επομένως, για h=1 η πρόταση είναι αληθής.
2. Έστω h=d και 7 d -1 διαιρούμενα με το 6 χωρίς υπόλοιπο.
3. Η απόδειξη της εγκυρότητας της πρότασης για h=d+1 είναι ο τύπος:
R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6
Στην περίπτωση αυτή, ο πρώτος όρος διαιρείται με το 6 σύμφωνα με την υπόθεση του πρώτου σημείου και ο δεύτερος όρος είναι ίσος με 6. Η δήλωση ότι το 7 h -1 διαιρείται με το 6 χωρίς υπόλοιπο για οποιοδήποτε φυσικό h είναι αληθές.
Λάθη στην κρίση
Συχνά λανθασμένος συλλογισμός χρησιμοποιείται στις αποδείξεις λόγω της ανακρίβειας των λογικών κατασκευών που χρησιμοποιούνται. Αυτό συμβαίνει κυρίως όταν παραβιάζεται η δομή και η λογική της απόδειξης. Ένα παράδειγμα λανθασμένου συλλογισμού είναι η παρακάτω εικόνα.
Εργο
Κατάσταση: Απαιτείται απόδειξη ότι οποιοδήποτε σωρό πέτρες δεν είναι σωρό.
Λύση:
1. Ας πούμε h=1, σε αυτήν την περίπτωση υπάρχει 1 πέτρα στο σωρό και η δήλωση είναι αληθής (βάση).
2. Ας ισχύει για το h=d ότι ένας σωρός από πέτρες δεν είναι σωρός (υπόθεση).
3. Έστω h=d+1, από το οποίο προκύπτει ότι όταν προσθέτουμε έναν ακόμη λίθο, το σύνολο δεν θα είναι σωρός. Το συμπέρασμα υποδηλώνει ότι η υπόθεση ισχύει για όλα τα φυσικά h.
Το λάθος είναι ότι δεν υπάρχει ορισμός για το πόσες πέτρες σχηματίζουν ένα σωρό. Μια τέτοια παράλειψη ονομάζεται βιαστική γενίκευση στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Ένα παράδειγμα το δείχνει ξεκάθαρα.
Η επαγωγή και οι νόμοι της λογικής
Ιστορικά, πάντα «περπατούν χέρι-χέρι». Επιστημονικοί κλάδοι όπως η λογική και η φιλοσοφία τα περιγράφουν με τη μορφή αντιθέτων.
Από τη σκοπιά του νόμου της λογικής, οι επαγωγικοί ορισμοί βασίζονται σε γεγονότα και η αλήθεια των υποθέσεων δεν καθορίζει την ορθότητα της δήλωσης που προκύπτει. Συχνά προκύπτουν συμπεράσματα με έναν ορισμένο βαθμό πιθανότητας και αληθοφάνειας, τα οποία, φυσικά, πρέπει να επαληθευτούν και να επιβεβαιωθούν από πρόσθετη έρευνα. Ένα παράδειγμα επαγωγής στη λογική θα ήταν η ακόλουθη δήλωση:
Υπάρχει ξηρασία στην Εσθονία, ξηρασία στη Λετονία, ξηρασία στη Λιθουανία.
Η Εσθονία, η Λετονία και η Λιθουανία είναι κράτη της Βαλτικής. Σε όλα τα κράτη της Βαλτικής υπάρχει ξηρασία.
Από το παράδειγμα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν μπορούν να ληφθούν νέες πληροφορίες ή αλήθεια χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαγωγής. Το μόνο που μπορεί να υπολογιστεί είναι κάποια πιθανή αληθοφάνεια των συμπερασμάτων. Επιπλέον, η αλήθεια των υποθέσεων δεν εγγυάται τα ίδια συμπεράσματα. Ωστόσο, αυτό το γεγονός δεν σημαίνει ότι η επαγωγή μαραζώνει στα όρια της αφαίρεσης: ένας τεράστιος αριθμός διατάξεων και επιστημονικών νόμων τεκμηριώνονται με τη μέθοδο της επαγωγής. Ένα παράδειγμα είναι τα ίδια μαθηματικά, βιολογία και άλλες επιστήμες. Αυτό οφείλεται κυρίως στη μέθοδο της πλήρους επαγωγής, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις εφαρμόζεται και η μερική επαγωγή.
Η σεβαστή εποχή της επαγωγής της επέτρεψε να διεισδύσει σχεδόν σε όλους τους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας - αυτή είναι η επιστήμη, η οικονομία και τα καθημερινά συμπεράσματα.
Εισαγωγή στην επιστημονική κοινότητα
Η μέθοδος επαγωγής απαιτεί μια σχολαστική στάση, καθώς πάρα πολλά εξαρτώνται από τον αριθμό των μερών του συνόλου που μελετήθηκαν: όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που μελετήθηκε, τόσο πιο αξιόπιστο είναι το αποτέλεσμα. Με βάση αυτό το χαρακτηριστικό, οι επιστημονικοί νόμοι που λαμβάνονται με επαγωγή δοκιμάζονται για μεγάλο χρονικό διάστημα στο επίπεδο των πιθανολογικών υποθέσεων για την απομόνωση και τη μελέτη όλων των πιθανών δομικών στοιχείων, συνδέσεων και επιρροών.
Στην επιστήμη, ένα επαγωγικό συμπέρασμα βασίζεται σε σημαντικά χαρακτηριστικά, με εξαίρεση τις τυχαίες διατάξεις. Αυτό το γεγονός είναι σημαντικό σε σχέση με τις ιδιαιτερότητες της επιστημονικής γνώσης. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στα παραδείγματα της επαγωγής στην επιστήμη.
Υπάρχουν δύο τύποι επαγωγής στον επιστημονικό κόσμο (σε σχέση με τη μέθοδο μελέτης):
- επαγωγή-επιλογή (ή επιλογή).
- επαγωγή – αποκλεισμός (εξάλειψη).
Ο πρώτος τύπος διακρίνεται από τη μεθοδική (σχολαστική) επιλογή δειγμάτων μιας τάξης (υποκατηγορίες) από τις διάφορες περιοχές της.
Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου επαγωγής είναι το εξής: ο άργυρος (ή τα άλατα αργύρου) καθαρίζει το νερό. Το συμπέρασμα βασίζεται σε πολυετείς παρατηρήσεις (ένα είδος επιλογής επιβεβαιώσεων και διαψεύσεων - επιλογή).
Ο δεύτερος τύπος επαγωγής βασίζεται σε συμπεράσματα που θεμελιώνουν αιτιακές σχέσεις και αποκλείουν περιστάσεις που δεν ανταποκρίνονται στις ιδιότητές της, δηλαδή την καθολικότητα, την τήρηση της χρονικής ακολουθίας, την αναγκαιότητα και την αμφισημία.
Επαγωγή και επαγωγή από τη θέση της φιλοσοφίας
Κοιτάζοντας πίσω ιστορικά, ο όρος επαγωγή αναφέρθηκε για πρώτη φορά από τον Σωκράτη. Ο Αριστοτέλης περιέγραψε παραδείγματα επαγωγής στη φιλοσοφία σε ένα πιο προσεγγιστικό ορολογικό λεξικό, αλλά το ζήτημα της ελλιπούς επαγωγής παραμένει ανοιχτό. Μετά τη δίωξη του αριστοτελικού συλλογισμού, η επαγωγική μέθοδος άρχισε να αναγνωρίζεται ως γόνιμη και η μόνη δυνατή στη φυσική επιστήμη. Ο Bacon θεωρείται ο πατέρας της επαγωγής ως ανεξάρτητης ειδικής μεθόδου, αλλά δεν κατάφερε να διαχωρίσει την επαγωγή από την απαγωγική μέθοδο, όπως ζήτησαν οι σύγχρονοί του.
Η επαγωγή αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον J. Mill, ο οποίος εξέτασε την επαγωγική θεωρία από την προοπτική τεσσάρων κύριων μεθόδων: συμφωνία, διαφορά, υπολείμματα και αντίστοιχες αλλαγές. Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι σήμερα οι αναφερόμενες μέθοδοι, όταν εξετάζονται λεπτομερώς, είναι απαγωγικές.
Η συνειδητοποίηση της ασυνέπειας των θεωριών των Bacon και Mill οδήγησε τους επιστήμονες να μελετήσουν την πιθανολογική βάση της επαγωγής. Ωστόσο, ακόμη και εδώ υπήρχαν κάποια άκρα: έγιναν προσπάθειες να περιοριστεί η επαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων με όλες τις επακόλουθες συνέπειες.
Η επαγωγή λαμβάνει ψήφο εμπιστοσύνης μέσω πρακτικής εφαρμογής σε ορισμένες θεματικές περιοχές και χάρη στη μετρική ακρίβεια της επαγωγικής βάσης. Ένα παράδειγμα επαγωγής και επαγωγής στη φιλοσοφία μπορεί να θεωρηθεί ο Νόμος της Παγκόσμιας Βαρύτητας. Την ημερομηνία ανακάλυψης του νόμου, ο Newton μπόρεσε να τον επαληθεύσει με ακρίβεια 4 τοις εκατό. Και όταν ελέγχθηκε περισσότερα από διακόσια χρόνια αργότερα, η ορθότητα επιβεβαιώθηκε με ακρίβεια 0,0001 τοις εκατό, αν και η επαλήθευση πραγματοποιήθηκε με τις ίδιες επαγωγικές γενικεύσεις.
Η σύγχρονη φιλοσοφία δίνει μεγαλύτερη προσοχή στην εξαγωγή, η οποία υπαγορεύεται από τη λογική επιθυμία να αντλήσει νέα γνώση (ή αλήθειες) από ό,τι είναι ήδη γνωστό, χωρίς να καταφεύγει στην εμπειρία ή τη διαίσθηση, αλλά χρησιμοποιώντας «καθαρή» συλλογιστική. Όταν αναφερόμαστε σε αληθείς υποθέσεις στην απαγωγική μέθοδο, σε όλες τις περιπτώσεις η έξοδος είναι μια αληθής πρόταση.
Αυτό το πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό δεν πρέπει να επισκιάζει την αξία της επαγωγικής μεθόδου. Δεδομένου ότι η επαγωγή, με βάση τα επιτεύγματα της εμπειρίας, γίνεται επίσης ένα μέσο επεξεργασίας της (συμπεριλαμβανομένης της γενίκευσης και της συστηματοποίησης).
Εφαρμογή της επαγωγής στα οικονομικά
Η επαγωγή και η έκπτωση έχουν χρησιμοποιηθεί από καιρό ως μέθοδοι για τη μελέτη της οικονομίας και την πρόβλεψη της ανάπτυξής της.
Το εύρος χρήσης της μεθόδου επαγωγής είναι αρκετά ευρύ: μελέτη της εκπλήρωσης των προβλεπόμενων δεικτών (κέρδη, αποσβέσεις, κ.λπ.) και μια γενική εκτίμηση της κατάστασης της επιχείρησης. διαμόρφωση μιας αποτελεσματικής πολιτικής προώθησης των επιχειρήσεων με βάση τα γεγονότα και τις σχέσεις τους.
Η ίδια μέθοδος επαγωγής χρησιμοποιείται και στους «χάρτες Shewhart», όπου, υπό την παραδοχή του διαχωρισμού των διεργασιών σε ελεγχόμενες και μη ελεγχόμενες, αναφέρεται ότι το πλαίσιο της ελεγχόμενης διαδικασίας είναι ανενεργό.
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι επιστημονικοί νόμοι τεκμηριώνονται και επιβεβαιώνονται με τη μέθοδο της επαγωγής, και δεδομένου ότι τα οικονομικά είναι μια επιστήμη που χρησιμοποιεί συχνά μαθηματική ανάλυση, θεωρία κινδύνου και στατιστικές, δεν είναι καθόλου περίεργο ότι η επαγωγή είναι στη λίστα των κύριων μεθόδων.
Ένα παράδειγμα επαγωγής και έκπτωσης στα οικονομικά είναι η ακόλουθη κατάσταση. Η αύξηση της τιμής των τροφίμων (από το καταναλωτικό καλάθι) και των βασικών αγαθών ωθεί τον καταναλωτή να σκεφτεί το αναδυόμενο υψηλό κόστος στο κράτος (επαγωγή). Ταυτόχρονα, από το γεγονός των υψηλών τιμών, χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους, είναι δυνατό να προκύψουν δείκτες αύξησης των τιμών για μεμονωμένα αγαθά ή κατηγορίες αγαθών (έκπτωση).
Τις περισσότερες φορές, το διοικητικό προσωπικό, οι διευθυντές και οι οικονομολόγοι στρέφονται στη μέθοδο εισαγωγής. Για να μπορούμε να προβλέψουμε με αρκετή ειλικρίνεια την ανάπτυξη μιας επιχείρησης, τη συμπεριφορά της αγοράς και τις συνέπειες του ανταγωνισμού, είναι απαραίτητη μια επαγωγική-απαγωγική προσέγγιση στην ανάλυση και την επεξεργασία των πληροφοριών.
Ένα σαφές παράδειγμα επαγωγής στα οικονομικά που σχετίζεται με λανθασμένες κρίσεις:
- τα κέρδη της εταιρείας μειώθηκαν κατά 30%.
μια ανταγωνιστική εταιρεία έχει επεκτείνει τη σειρά προϊόντων της.
τιποτα αλλο δεν εχει αλλαξει? - η παραγωγική πολιτική μιας ανταγωνιστικής εταιρείας προκάλεσε μείωση των κερδών κατά 30%.
- Ως εκ τούτου, πρέπει να εφαρμοστεί η ίδια πολιτική παραγωγής.
Το παράδειγμα είναι μια πολύχρωμη απεικόνιση του πώς η ακατάλληλη χρήση της μεθόδου επαγωγής συμβάλλει στην καταστροφή μιας επιχείρησης.
Έκπτωση και επαγωγή στην ψυχολογία
Αφού υπάρχει μέθοδος, τότε, λογικά, υπάρχει και σωστά οργανωμένη σκέψη (για να χρησιμοποιήσω τη μέθοδο). Η ψυχολογία ως επιστήμη που μελετά τις νοητικές διεργασίες, το σχηματισμό, την ανάπτυξή τους, τις σχέσεις, τις αλληλεπιδράσεις, δίνει προσοχή στην «απαγωγική» σκέψη, ως μια από τις μορφές εκδήλωσης της απαγωγής και της επαγωγής. Δυστυχώς, στις σελίδες ψυχολογίας στο Διαδίκτυο δεν υπάρχει πρακτικά καμία δικαιολογία για την ακεραιότητα της επαγωγικής-επαγωγικής μεθόδου. Αν και οι επαγγελματίες ψυχολόγοι συναντούν συχνότερα εκδηλώσεις επαγωγής, ή μάλλον, εσφαλμένα συμπεράσματα.
Ένα παράδειγμα επαγωγής στην ψυχολογία, ως απεικόνιση λανθασμένων κρίσεων, είναι η δήλωση: η μητέρα μου εξαπατά, επομένως, όλες οι γυναίκες είναι απατεώνες. Μπορείτε να συλλέξετε ακόμα πιο «λανθασμένα» παραδείγματα επαγωγής από τη ζωή:
- ένας μαθητής δεν είναι ικανός για τίποτα αν πάρει κακό βαθμό στα μαθηματικά?
- είναι ανόητος.
- ειναι ΕΞΥΠΝΟΣ;
- Μπορώ να κάνω τα πάντα;
Και πολλές άλλες αξιολογικές κρίσεις βασισμένες σε εντελώς τυχαίες και, μερικές φορές, ασήμαντες υποθέσεις.
Θα πρέπει να σημειωθεί: όταν το σφάλμα της κρίσης ενός ατόμου φτάνει στο σημείο του παραλογισμού, εμφανίζεται ένα όριο εργασίας για τον ψυχοθεραπευτή. Ένα παράδειγμα εισαγωγής σε ραντεβού με ειδικό:
«Ο ασθενής είναι απολύτως βέβαιος ότι το κόκκινο χρώμα είναι επικίνδυνο για αυτόν μόνο σε οποιαδήποτε μορφή. Ως αποτέλεσμα, το άτομο απέκλεισε αυτό το χρωματικό σχέδιο από τη ζωή του - όσο το δυνατόν περισσότερο. Υπάρχουν πολλές ευκαιρίες για μια άνετη διαμονή στο σπίτι. Μπορείτε να αρνηθείτε όλα τα κόκκινα αντικείμενα ή να τα αντικαταστήσετε με ανάλογα κατασκευασμένα σε διαφορετικό συνδυασμό χρωμάτων. Αλλά σε δημόσιους χώρους, στη δουλειά, σε ένα κατάστημα - είναι αδύνατο. Όταν ένας ασθενής βρίσκεται σε μια στρεσογόνα κατάσταση, κάθε φορά βιώνει μια «παλίρροια» εντελώς διαφορετικών συναισθηματικών καταστάσεων, που μπορεί να αποτελέσουν κίνδυνο για τους άλλους».
Αυτό το παράδειγμα επαγωγής και ασυνείδητης επαγωγής ονομάζεται «σταθερές ιδέες». Αν αυτό συμβεί σε ένα ψυχικά υγιές άτομο, μπορούμε να μιλήσουμε για έλλειψη οργάνωσης της ψυχικής δραστηριότητας. Ένας τρόπος για να απαλλαγούμε από τις εμμονικές καταστάσεις μπορεί να είναι η στοιχειώδης ανάπτυξη της απαγωγικής σκέψης. Σε άλλες περιπτώσεις, οι ψυχίατροι συνεργάζονται με τέτοιους ασθενείς.
Τα παραπάνω παραδείγματα επαγωγής υποδεικνύουν ότι «η άγνοια του νόμου δεν σας απαλλάσσει από τις συνέπειες (των εσφαλμένων κρίσεων).»
Οι ψυχολόγοι, που εργάζονται στο θέμα της απαγωγικής σκέψης, έχουν συντάξει μια λίστα με συστάσεις που έχουν σχεδιαστεί για να βοηθήσουν τους ανθρώπους να κατακτήσουν αυτή τη μέθοδο.
Το πρώτο σημείο είναι η επίλυση προβλημάτων. Όπως φαίνεται, η μορφή επαγωγής που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά μπορεί να θεωρηθεί «κλασική» και η χρήση αυτής της μεθόδου συμβάλλει στην «πειθαρχία» του νου.
Η επόμενη προϋπόθεση για την ανάπτυξη της απαγωγικής σκέψης είναι η διεύρυνση των οριζόντων κάποιου (όσοι σκέφτονται εκφράζονται ξεκάθαρα). Αυτή η σύσταση κατευθύνει τα «βάσανα» στα θησαυροφυλάκια της επιστήμης και της πληροφόρησης (βιβλιοθήκες, ιστότοποι, εκπαιδευτικές πρωτοβουλίες, ταξίδια κ.λπ.).
Ιδιαίτερη αναφορά πρέπει να γίνει στη λεγόμενη «ψυχολογική επαγωγή». Αυτός ο όρος, αν και όχι συχνά, μπορεί να βρεθεί στο Διαδίκτυο. Όλες οι πηγές δεν παρέχουν τουλάχιστον μια σύντομη διατύπωση του ορισμού αυτού του όρου, αλλά αναφέρονται σε «παραδείγματα από τη ζωή», ενώ περνούν ως νέο είδος επαγωγής είτε υπόδειξη, είτε κάποιες μορφές ψυχικής ασθένειας ή ακραίες καταστάσεις ανθρώπινη ψυχή. Από όλα τα παραπάνω, είναι σαφές ότι μια προσπάθεια εξαγωγής ενός «νέου όρου» που βασίζεται σε ψευδείς (συχνά αναληθή) υποθέσεις καταδικάζει τον πειραματιστή να λάβει μια εσφαλμένη (ή βιαστική) δήλωση.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η αναφορά στα πειράματα του 1960 (χωρίς να αναφέρεται η τοποθεσία, τα ονόματα των πειραματιστών, το δείγμα των υποκειμένων και, κυρίως, ο σκοπός του πειράματος) φαίνεται, για να το θέσω ήπια, μη πειστική και δήλωση ότι ο εγκέφαλος αντιλαμβάνεται πληροφορίες παρακάμπτοντας όλα τα όργανα αντίληψης (η φράση «επηρεάζεται» θα ταίριαζε πιο οργανικά σε αυτή την περίπτωση), κάνει κάποιον να σκεφτεί την ευπιστία και την ακριτικότητα του συγγραφέα της δήλωσης.
Αντί για συμπέρασμα
Δεν είναι τυχαίο που η βασίλισσα των επιστημών, των μαθηματικών, χρησιμοποιεί όλα τα πιθανά αποθέματα της μεθόδου της επαγωγής και της εξαγωγής. Τα εξεταζόμενα παραδείγματα μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι η επιφανειακή και άστοχη (αστοχαστική, όπως λένε) εφαρμογή ακόμη και των πιο ακριβών και αξιόπιστων μεθόδων οδηγεί πάντα σε λανθασμένα αποτελέσματα.
Στη μαζική συνείδηση, η μέθοδος της έκπτωσης συνδέεται με τον περίφημο Σέρλοκ Χολμς, ο οποίος στις λογικές κατασκευές του χρησιμοποιεί συχνότερα παραδείγματα επαγωγής, χρησιμοποιώντας την έκπτωση στις σωστές καταστάσεις.
Το άρθρο εξέτασε παραδείγματα χρήσης αυτών των μεθόδων σε διάφορες επιστήμες και τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας.