Εάν η συνάρτηση f(x)έχει σε κάποιο διάστημα που περιέχει το σημείο ΕΝΑ, παράγωγα όλων των εντολών, τότε ο τύπος Taylor μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό:
Οπου r n– ο αποκαλούμενος όρος υπολοίπου ή υπόλοιπο της σειράς, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Lagrange:
, όπου ο αριθμός x είναι μεταξύ ΧΚαι ΕΝΑ.
Αν για κάποια αξία x r n®0 σε n®¥, τότε στο όριο ο τύπος Taylor μετατρέπεται σε συγκλίνοντα τύπο για αυτήν την τιμή Σειρά Taylor:
Η συνάρτηση λοιπόν f(x)μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Taylor στο εν λόγω σημείο Χ, Αν:
1) έχει παράγωγα όλων των παραγγελιών.
2) η κατασκευασμένη σειρά συγκλίνει σε αυτό το σημείο.
Στο ΕΝΑ=0 παίρνουμε μια σειρά που ονομάζεται κοντά στο Maclaurin:
Παράδειγμα 1 f(x)= 2Χ.
Λύση. Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της στο Χ=0
f(x) = 2Χ, φά( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2Χ ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2ΧΣτο 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2Χ ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές των παραγώγων στον τύπο της σειράς Taylor, λαμβάνουμε:
Η ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς είναι ίση με το άπειρο, επομένως αυτή η επέκταση ισχύει για -¥<Χ<+¥.
Παράδειγμα 2 Χ+4) για λειτουργία f(x)=μι Χ.
Λύση. Εύρεση των παραγώγων της συνάρτησης e Χκαι τις αξίες τους στο σημείο Χ=-4.
f(x)= ε Χ, φά(-4) = ε -4 ;
f¢(x)= ε Χ, f¢(-4) = ε -4 ;
f¢¢(x)= ε Χ, f¢¢(-4) = ε -4 ;
f(n)(x)= ε Χ, f(n)( -4) = ε -4 .
Επομένως, η απαιτούμενη σειρά Taylor της συνάρτησης έχει τη μορφή:
Αυτή η επέκταση ισχύει επίσης για -¥<Χ<+¥.
Παράδειγμα 3 . Αναπτύξτε μια συνάρτηση f(x)=ln Χσε μια σειρά σε εξουσίες ( Χ- 1),
(δηλαδή στη σειρά Taylor στην περιοχή του σημείου Χ=1).
Λύση. Βρείτε τις παραγώγους αυτής της συνάρτησης.
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο, λαμβάνουμε την επιθυμητή σειρά Taylor:
Χρησιμοποιώντας τη δοκιμή d'Alembert, μπορείτε να επαληθεύσετε ότι η σειρά συγκλίνει όταν
½ Χ- 1½<1. Действительно,
Η σειρά συγκλίνει εάν ½ Χ- 1½<1, т.е. при 0<Χ<2. При Χ=2 λαμβάνουμε μια εναλλασσόμενη σειρά που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του κριτηρίου Leibniz. Στο ΧΗ συνάρτηση =0 δεν έχει οριστεί. Έτσι, η περιοχή σύγκλισης της σειράς Taylor είναι το μισάνοιχτο διάστημα (0;2].
Ας παρουσιάσουμε τις επεκτάσεις που αποκτήθηκαν με αυτόν τον τρόπο στη σειρά Maclaurin (δηλαδή κοντά στο σημείο Χ=0) για ορισμένες στοιχειώδεις συναρτήσεις:
(2) 
,
(3) 
,
(η τελευταία αποσύνθεση ονομάζεται διωνυμική σειρά)
Παράδειγμα 4 . Επεκτείνετε τη λειτουργία σε μια σειρά ισχύος
Λύση. Στην επέκταση (1) αντικαθιστούμε Χεπί - Χ 2, παίρνουμε:
Παράδειγμα 5
. Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Maclaurin 
Λύση. Εχουμε 
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (4), μπορούμε να γράψουμε:
αντικαθιστώντας αντ' αυτού Χστον τύπο -Χ, παίρνουμε:
Από εδώ βρίσκουμε:
Ανοίγοντας τις αγκύλες, αναδιατάσσοντας τους όρους της σειράς και φέρνοντας παρόμοιους όρους, παίρνουμε
Αυτή η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
(-1;1), αφού λαμβάνεται από δύο σειρές, καθεμία από τις οποίες συγκλίνει σε αυτό το διάστημα.
Σχόλιο .
Οι τύποι (1)-(5) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την επέκταση των αντίστοιχων συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor, π.χ. για επέκταση συναρτήσεων σε θετικές ακέραιες δυνάμεις ( Χα). Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εκτελεστούν τέτοιοι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί σε μια δεδομένη συνάρτηση προκειμένου να ληφθεί μία από τις συναρτήσεις (1)-(5), στην οποία αντί Χκοστίζει k( Χα) m , όπου k είναι σταθερός αριθμός, m είναι θετικός ακέραιος. Συχνά είναι βολικό να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής t=Χακαι επεκτείνετε τη συνάρτηση που προκύπτει ως προς το t στη σειρά Maclaurin.
Αυτή η μέθοδος επεξηγεί το θεώρημα για τη μοναδικότητα μιας επέκτασης σειράς ισχύος μιας συνάρτησης. Η ουσία αυτού του θεωρήματος είναι ότι στη γειτονιά του ίδιου σημείου δεν μπορούν να ληφθούν δύο διαφορετικές σειρές ισχύος που θα συγκλίνουν στην ίδια συνάρτηση, ανεξάρτητα από το πώς εκτελείται η επέκτασή της.
Παράδειγμα 6 . Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σε μια γειτονιά ενός σημείου Χ=3.
Λύση. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί, όπως και πριν, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σειράς Taylor, για την οποία πρέπει να βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης και τις τιμές τους στο Χ=3. Ωστόσο, θα είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε την υπάρχουσα επέκταση (5):
Η σειρά που προκύπτει συγκλίνει στο 
ή –3<Χ- 3<3, 0<Χ< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Παράδειγμα 7
. Γράψτε τη σειρά Taylor σε δυνάμεις ( Χ-1) λειτουργίες 
.
Λύση.
Η σειρά συγκλίνει στο 
, ή 2< Χ£5.
"Βρείτε την επέκταση της σειράς Maclaurin της συνάρτησης f(x)"- έτσι ακριβώς ακούγεται η εργασία στα ανώτερα μαθηματικά, την οποία ορισμένοι μαθητές μπορούν να κάνουν, ενώ άλλοι δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν τα παραδείγματα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επέκτασης μιας σειράς σε ισχύ εδώ θα δώσουμε μια τεχνική για την επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Maclaurin. Όταν αναπτύσσετε μια συνάρτηση σε μια σειρά, πρέπει να είστε καλοί στον υπολογισμό των παραγώγων.
Παράδειγμα 4.7 Αναπτύξτε μια συνάρτηση σε δυνάμεις x
Υπολογισμοί: Εκτελούμε την επέκταση της συνάρτησης σύμφωνα με τον τύπο Maclaurin. Αρχικά, ας επεκτείνουμε τον παρονομαστή της συνάρτησης σε μια σειρά 
Τέλος, πολλαπλασιάζουμε την επέκταση με τον αριθμητή.
Ο πρώτος όρος είναι η τιμή της συνάρτησης στο μηδέν f (0) = 1/3.
Ας βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης της πρώτης και ανώτερης τάξης f (x) και την τιμή αυτών των παραγώγων στο σημείο x=0 
Στη συνέχεια, με βάση το μοτίβο των αλλαγών στην τιμή των παραγώγων στο 0, γράφουμε τον τύπο για την ντη παράγωγο 
Έτσι, αντιπροσωπεύουμε τον παρονομαστή με τη μορφή επέκτασης στη σειρά Maclaurin 
Πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή και παίρνουμε την επιθυμητή επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά σε δυνάμεις x 
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ.
Όλα τα βασικά σημεία βασίζονται στην ικανότητα υπολογισμού παραγώγων και γρήγορης γενίκευσης της τιμής της υψηλότερης τάξης παραγώγου στο μηδέν. Τα ακόλουθα παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να τακτοποιείτε γρήγορα μια λειτουργία σε μια σειρά.
Παράδειγμα 4.10 Βρείτε την επέκταση της σειράς Maclaurin της συνάρτησης
Υπολογισμοί: Όπως ίσως έχετε μαντέψει, θα βάλουμε το συνημίτονο στον αριθμητή σε μια σειρά. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τύπους για απειροελάχιστες ποσότητες ή να εξαγάγετε τη διαστολή συνημιτόνου μέσω παραγώγων. Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην ακόλουθη σειρά σε δυνάμεις x 
Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε ελάχιστους υπολογισμούς και μια συμπαγή αναπαράσταση της επέκτασης της σειράς.
Παράδειγμα 4.16 Αναπτύξτε μια συνάρτηση σε δυνάμεις x:
7/(12-x-x^2)
Υπολογισμοί: Σε αυτού του είδους τα παραδείγματα, είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε το κλάσμα μέσω του αθροίσματος απλών κλασμάτων.
Δεν θα δείξουμε πώς να το κάνουμε αυτό τώρα, αλλά με τη βοήθεια αόριστων συντελεστών θα φτάσουμε στο άθροισμα των κλασμάτων.
Στη συνέχεια γράφουμε τους παρονομαστές σε εκθετική μορφή 
Απομένει να επεκταθούν οι όροι χρησιμοποιώντας τον τύπο Maclaurin. Συνοψίζοντας τους όρους στις ίδιες δυνάμεις του «x», συνθέτουμε έναν τύπο για τον γενικό όρο της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά 
Το τελευταίο μέρος της μετάβασης στη σειρά στην αρχή είναι δύσκολο να υλοποιηθεί, καθώς είναι δύσκολο να συνδυαστούν οι τύποι για ζευγαρωμένους και μη ζευγαρωμένους δείκτες (βαθμούς), αλλά με την εξάσκηση θα γίνετε καλύτεροι σε αυτό.
Παράδειγμα 4.18 Βρείτε την επέκταση της σειράς Maclaurin της συνάρτησης
Υπολογισμοί: Ας βρούμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης: 
Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε μια σειρά χρησιμοποιώντας έναν από τους τύπους της McLaren: 
Αθροίζουμε τη σειρά όρος προς όρο με βάση το γεγονός ότι και οι δύο είναι απολύτως πανομοιότυπες. Έχοντας ενσωματώσει ολόκληρη τη σειρά όρο προς όρο, λαμβάνουμε την επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά σε δυνάμεις x 
Υπάρχει μια μετάβαση μεταξύ των δύο τελευταίων γραμμών της επέκτασης που θα σας πάρει πολύ χρόνο στην αρχή. Η γενίκευση μιας φόρμουλας σειράς δεν είναι εύκολη για όλους, επομένως μην ανησυχείτε μήπως δεν μπορείτε να αποκτήσετε μια ωραία, συμπαγή φόρμουλα.
Παράδειγμα 4.28 Βρείτε την επέκταση της σειράς Maclaurin της συνάρτησης:
Ας γράψουμε τον λογάριθμο ως εξής 
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Maclaurin, επεκτείνουμε τη λογαριθμική συνάρτηση σε μια σειρά σε δυνάμεις x 
Η τελική συνέλιξη είναι περίπλοκη με την πρώτη ματιά, αλλά όταν εναλλάσσονται τα σημάδια θα έχετε πάντα κάτι παρόμοιο. Ολοκληρώθηκε το μάθημα εισαγωγής με θέμα τον προγραμματισμό συναρτήσεων στη σειρά. Άλλα εξίσου ενδιαφέροντα σχήματα αποσύνθεσης θα συζητηθούν λεπτομερώς στα ακόλουθα υλικά.
Στη θεωρία των συναρτησιακών σειρών, την κεντρική θέση καταλαμβάνει το τμήμα που είναι αφιερωμένο στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά.
Έτσι, ορίζεται η εργασία: για μια δεδομένη συνάρτηση πρέπει να βρούμε μια τέτοια σειρά ισχύος
που συνέκλινε σε ένα ορισμένο διάστημα και το άθροισμά του ήταν ίσο με 
,
εκείνοι.
=
..
Αυτή η εργασία ονομάζεται το πρόβλημα της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος.
Απαραίτητη προϋπόθεση για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύοςείναι η διαφορικότητά του άπειρες φορές - αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες της συγκλίνουσας σειράς ισχύος. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, κατά κανόνα, για στοιχειώδεις συναρτήσεις στον τομέα ορισμού τους.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση 
έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης. Είναι δυνατόν να το επεκτείνουμε σε σειρά ισχύος; Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι πιο εύκολο να λυθεί, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτό.
Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση 
μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας σειράς ισχύος που συγκλίνει στο διάστημα που περιέχει το σημείο Χ 0 :
=
..
(*)
Οπου ΕΝΑ 0 ,ΕΝΑ 1 ,ΕΝΑ 2 ,...,ΕΝΑ Π ,... – άγνωστοι (ακόμα) συντελεστές.
Ας βάλουμε στην ισότητα (*) την τιμή x = x 0 , τότε παίρνουμε
.
Ας διαφοροποιήσουμε τη σειρά ισχύος (*) ανά όρο
=
..
και πιστεύοντας εδώ x = x 0 , παίρνουμε
.
Με την επόμενη διαφοροποίηση παίρνουμε τη σειρά
=
..
πιστεύοντας x = x 0 ,
παίρνουμε 
, που 
.
Μετά Π-διπλάσια διαφοροποίηση παίρνουμε
Υποθέτοντας στην τελευταία ισότητα x = x 0 ,
παίρνουμε 
, που
Βρίσκονται λοιπόν οι συντελεστές
,
,
,
…,
,….,
αντικαθιστώντας το οποίο στη σειρά (*), παίρνουμε
Η σειρά που προκύπτει ονομάζεται δίπλα στον Τέιλορ
για λειτουργία
.
Έτσι, το έχουμε διαπιστώσει εάν η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος σε ισχύ (x - x 0 ), τότε αυτή η επέκταση είναι μοναδική και η σειρά που προκύπτει είναι απαραίτητα μια σειρά Taylor.
Σημειώστε ότι η σειρά Taylor μπορεί να ληφθεί για οποιαδήποτε συνάρτηση έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης στο σημείο x = x 0 . Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι μπορεί να τοποθετηθεί ένα σύμβολο ίσου μεταξύ της συνάρτησης και της σειράς που προκύπτει, δηλ. ότι το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με την αρχική συνάρτηση. Πρώτον, μια τέτοια ισότητα μπορεί να έχει νόημα μόνο στην περιοχή σύγκλισης και η σειρά Taylor που λαμβάνεται για τη συνάρτηση μπορεί να αποκλίνει, και δεύτερον, εάν η σειρά Taylor συγκλίνει, τότε το άθροισμά της μπορεί να μην συμπίπτει με την αρχική συνάρτηση.
3.2. Επαρκείς συνθήκες για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor
Ας διατυπώσουμε μια δήλωση με τη βοήθεια της οποίας θα λυθεί η εργασία.
Εάν η συνάρτηση
σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 έχει παράγωγα μέχρι (n+
1) της τάξης συμπεριλαμβανομένου, τότε σε αυτή τη γειτονιά έχουμετύπος
Τέιλορ
ΟπουR n (Χ)-ο υπόλοιπος όρος του τύπου Taylor - έχει τη μορφή (μορφή Lagrange)
Οπου τελείαξ βρίσκεται μεταξύ x και x 0 .
Σημειώστε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ της σειράς Taylor και του τύπου Taylor: ο τύπος Taylor είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα, δηλ. Π -σταθερό αριθμό.
Θυμηθείτε ότι το άθροισμα της σειράς μικρό(Χ) μπορεί να οριστεί ως το όριο μιας συναρτησιακής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων μικρό Π (Χ) σε κάποιο διάστημα Χ:
.
Σύμφωνα με αυτό, για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να βρείτε μια σειρά τέτοια ώστε για οποιαδήποτε ΧΧ
Ας γράψουμε τον τύπο του Taylor με τη μορφή όπου
σημειώσε ότι 
ορίζει το σφάλμα που λαμβάνουμε, αντικαταστήστε τη συνάρτηση φά(Χ)
πολυώνυμος μικρό n (Χ).
Αν 
, Οτι 
,εκείνοι. η λειτουργία επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor. Αντίστροφα, αν 
, Οτι 
.
Έτσι αποδείξαμε κριτήριο για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.
Για τη συνάρτησηφά(x) επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι σε αυτό το διάστημα
, ΟπουR n (Χ) είναι ο υπόλοιπος όρος της σειράς Taylor.
Χρησιμοποιώντας το διατυπωμένο κριτήριο, μπορεί κανείς να αποκτήσει επαρκήςσυνθήκες για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.
Αν μέσακάποια γειτονιά του σημείου x 0 οι απόλυτες τιμές όλων των παραγώγων της συνάρτησης περιορίζονται στον ίδιο αριθμό M≥ 0, δηλ.
, Τo σε αυτή τη γειτονιά η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor.
Από τα παραπάνω προκύπτει αλγόριθμοςεπέκταση λειτουργίας φά(Χ) στη σειρά Taylorκοντά σε ένα σημείο Χ 0 :
1. Εύρεση παραγώγων συναρτήσεων φά(Χ):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (Χ),…
2. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης και τις τιμές των παραγώγων της στο σημείο Χ 0
f(x 0 ), στ’(χ 0 ), f”(x 0 ), στ» (χ 0 ), στ (n) (Χ 0 ),…
3. Γράφουμε τυπικά τη σειρά Taylor και βρίσκουμε την περιοχή σύγκλισης της σειράς ισχύος που προκύπτει.
4. Ελέγχουμε την εκπλήρωση επαρκών προϋποθέσεων, π.χ. καθιερώνουμε για το οποίο Χαπό την περιοχή σύγκλισης, υπόλοιπος όρος R n (Χ)
τείνει στο μηδέν ως 
ή
.
Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο ονομάζεται επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor εξ ορισμούή άμεση αποσύνθεση.
Επέκταση μιας λειτουργίας σε μια σειρά Taylor, Maclaurin και Laurent σε μια τοποθεσία για εκπαίδευση πρακτικών δεξιοτήτων. Αυτή η επέκταση σειράς μιας συνάρτησης επιτρέπει στους μαθηματικούς να εκτιμήσουν την κατά προσέγγιση τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί μια τέτοια τιμή συνάρτησης σε σύγκριση με τη χρήση του πίνακα Bredis, ο οποίος είναι τόσο άσχετος στην εποχή της τεχνολογίας των υπολογιστών. Για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να υπολογίσετε τους συντελεστές των γραμμικών συναρτήσεων αυτής της σειράς και να τη γράψετε στη σωστή μορφή. Οι μαθητές μπερδεύουν αυτές τις δύο σειρές, μη καταλαβαίνοντας ποια είναι η γενική περίπτωση και ποια η ειδική περίπτωση της δεύτερης. Να σας υπενθυμίσουμε μια για πάντα ότι η σειρά Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση της σειράς Taylor, δηλαδή αυτή είναι η σειρά Taylor, αλλά στο σημείο x = 0. Όλες οι σύντομες καταχωρήσεις για την επέκταση γνωστών συναρτήσεων, όπως e^x, Sin(x), Cos(x) και άλλα, αυτές είναι επεκτάσεις της σειράς Taylor, αλλά στο σημείο 0 για το όρισμα. Για συναρτήσεις ενός σύνθετου ορίσματος, η σειρά Laurent είναι το πιο κοινό πρόβλημα στο TFCT, καθώς αντιπροσωπεύει μια άπειρη σειρά δύο όψεων. Είναι το άθροισμα δύο σειρών. Σας προτείνουμε να δείτε ένα παράδειγμα αποσύνθεσης απευθείας στον ιστότοπο, αυτό είναι πολύ εύκολο κάνοντας κλικ στο "Παράδειγμα" με οποιονδήποτε αριθμό και, στη συνέχεια, στο κουμπί "Λύση". Είναι ακριβώς αυτή η επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά που σχετίζεται με μια μείζονα σειρά που περιορίζει την αρχική συνάρτηση σε μια συγκεκριμένη περιοχή κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, εάν η μεταβλητή ανήκει στην περιοχή της τετμημένης. Η διανυσματική ανάλυση συγκρίνεται με έναν άλλο ενδιαφέρον κλάδο των μαθηματικών. Δεδομένου ότι κάθε όρος πρέπει να εξεταστεί, η διαδικασία απαιτεί πολύ χρόνο. Οποιαδήποτε σειρά Taylor μπορεί να συσχετιστεί με μια σειρά Maclaurin αντικαθιστώντας το x0 με το μηδέν, αλλά για μια σειρά Maclaurin μερικές φορές δεν είναι προφανές να αντιπροσωπεύει τη σειρά Taylor αντίστροφα. Σαν να μην απαιτείται αυτό να γίνει στην καθαρή του μορφή, είναι ενδιαφέρον για τη γενική αυτοανάπτυξη. Κάθε σειρά Laurent αντιστοιχεί σε μια διπλής όψης άπειρη σειρά ισχύος σε ακέραιες δυνάμεις z-a, με άλλα λόγια, μια σειρά του ίδιου τύπου Taylor, αλλά ελαφρώς διαφορετική στον υπολογισμό των συντελεστών. Θα μιλήσουμε για την περιοχή σύγκλισης της σειράς Laurent λίγο αργότερα, μετά από αρκετούς θεωρητικούς υπολογισμούς. Όπως και τον περασμένο αιώνα, μια σταδιακή επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά δύσκολα μπορεί να επιτευχθεί απλώς φέρνοντας τους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή, καθώς οι συναρτήσεις στους παρονομαστές είναι μη γραμμικές. Απαιτείται ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός της συναρτησιακής τιμής από τη διατύπωση των προβλημάτων. Σκεφτείτε το γεγονός ότι όταν το όρισμα μιας σειράς Taylor είναι μια γραμμική μεταβλητή, τότε η επέκταση συμβαίνει σε πολλά βήματα, αλλά η εικόνα είναι εντελώς διαφορετική όταν το όρισμα της συνάρτησης που επεκτείνεται είναι μια σύνθετη ή μη γραμμική συνάρτηση, τότε η διαδικασία Η αναπαράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος είναι προφανής, αφού, με αυτόν τον τρόπο, είναι εύκολο να υπολογιστεί, αν και κατά προσέγγιση, σε οποιοδήποτε σημείο της περιοχής ορισμού, με ένα ελάχιστο σφάλμα που έχει μικρή επίδραση στους περαιτέρω υπολογισμούς. Αυτό ισχύει και για τη σειρά Maclaurin. όταν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η συνάρτηση στο σημείο μηδέν. Ωστόσο, η ίδια η σειρά Laurent αντιπροσωπεύεται εδώ από μια επέκταση στο επίπεδο με φανταστικές μονάδες. Επίσης, η σωστή επίλυση του προβλήματος κατά τη συνολική διαδικασία δεν θα είναι χωρίς επιτυχία. Αυτή η προσέγγιση δεν είναι γνωστή στα μαθηματικά, αλλά αντικειμενικά υπάρχει. Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να καταλήξετε στο συμπέρασμα των λεγόμενων σημειακών υποσυνόλων και στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά πρέπει να χρησιμοποιήσετε μεθόδους γνωστές για αυτή τη διαδικασία, όπως η εφαρμογή της θεωρίας των παραγώγων. Για άλλη μια φορά είμαστε πεπεισμένοι ότι ο δάσκαλος είχε δίκιο, ο οποίος έκανε τις υποθέσεις του για τα αποτελέσματα των μετα-υπολογιστικών υπολογισμών. Ας σημειώσουμε ότι η σειρά Taylor, που λαμβάνεται σύμφωνα με όλους τους κανόνες των μαθηματικών, υπάρχει και ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, ωστόσο, αγαπητοί χρήστες της υπηρεσίας ιστότοπου, μην ξεχνάτε τον τύπο της αρχικής συνάρτησης, γιατί μπορεί να αποδειχθεί ότι αρχικά είναι απαραίτητο να καθοριστεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, δηλαδή να γραφούν και να εξαιρεθούν από περαιτέρω εξέταση εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν ορίζεται στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Έτσι για να το πούμε, αυτό θα δείξει την αποτελεσματικότητά σας στην επίλυση του προβλήματος. Η κατασκευή μιας σειράς Maclaurin με μηδενική τιμή ορίσματος δεν θα αποτελέσει εξαίρεση σε όσα ειπώθηκαν. Κανείς δεν έχει ακυρώσει τη διαδικασία εύρεσης του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης και πρέπει να προσεγγίσετε αυτήν τη μαθηματική πράξη με κάθε σοβαρότητα. Στην περίπτωση μιας σειράς Laurent που περιέχει το κύριο μέρος, η παράμετρος "a" θα ονομάζεται απομονωμένο μοναδικό σημείο και η σειρά Laurent θα επεκταθεί σε έναν δακτύλιο - αυτή είναι η τομή των περιοχών σύγκλισης των μερών της, επομένως θα ακολουθήσει το αντίστοιχο θεώρημα. Αλλά δεν είναι όλα τόσο περίπλοκα όσο μπορεί να φαίνονται με την πρώτη ματιά σε έναν άπειρο μαθητή. Έχοντας μελετήσει τη σειρά Taylor, μπορείτε εύκολα να κατανοήσετε τη σειρά Laurent - μια γενικευμένη περίπτωση για την επέκταση του χώρου των αριθμών. Οποιαδήποτε επέκταση σειράς μιας συνάρτησης μπορεί να εκτελεστεί μόνο σε ένα σημείο στον τομέα ορισμού της συνάρτησης. Ιδιότητες συναρτήσεων όπως η περιοδικότητα ή η άπειρη διαφορισιμότητα θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη. Προτείνουμε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα με τις έτοιμες επεκτάσεις της σειράς Taylor βασικών συναρτήσεων, καθώς μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί με έως και δεκάδες διαφορετικές σειρές ισχύος, όπως φαίνεται από τη χρήση της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής μας. Η online σειρά Maclaurin είναι τόσο εύκολο να προσδιοριστεί όσο η πίτα, εάν χρησιμοποιείτε τη μοναδική υπηρεσία ιστότοπου, απλά πρέπει να εισαγάγετε τη σωστή γραπτή λειτουργία και θα λάβετε την απάντηση που παρουσιάζεται σε λίγα δευτερόλεπτα, είναι εγγυημένη ακριβής και μια τυπική γραπτή μορφή. Μπορείτε να αντιγράψετε το αποτέλεσμα απευθείας σε ένα καθαρό αντίγραφο για υποβολή στον δάσκαλο. Θα ήταν σωστό να προσδιορίσουμε πρώτα την αναλυτικότητα της εν λόγω συνάρτησης στους δακτυλίους και στη συνέχεια να δηλώσουμε ξεκάθαρα ότι είναι επεκτάσιμη σε μια σειρά Laurent σε όλους αυτούς τους δακτυλίους. Είναι σημαντικό να μην παραβλέπουμε τους όρους της σειράς Laurent που περιέχουν αρνητικές δυνάμεις. Εστιάστε σε αυτό όσο το δυνατόν περισσότερο. Χρησιμοποιήστε σωστά το θεώρημα του Laurent για την επέκταση μιας συνάρτησης σε ακέραιες δυνάμεις.