1. Κλασματική γραμμική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της
Μια συνάρτηση της μορφής y = P(x) / Q(x), όπου τα P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα, ονομάζεται κλασματική ορθολογική συνάρτηση.
Πιθανώς να είστε ήδη εξοικειωμένοι με την έννοια των ρητών αριθμών. Επίσης ορθολογικές συναρτήσειςείναι συναρτήσεις που μπορούν να παρασταθούν ως το πηλίκο δύο πολυωνύμων.
Αν μια κλασματική ρητή συνάρτηση είναι το πηλίκο δύο γραμμικών συναρτήσεων - πολυωνύμων πρώτου βαθμού, δηλ. λειτουργία της φόρμας
y = (ax + b) / (cx + d), τότε ονομάζεται κλασματική γραμμική.
Σημειώστε ότι στη συνάρτηση y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (διαφορετικά η συνάρτηση γίνεται γραμμική y = ax/d + b/d) και ότι a/c ≠ b/d (διαφορετικά η η συνάρτηση είναι σταθερή). Η γραμμική κλασματική συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από x = -d/c. Οι γραφικές παραστάσεις των κλασματικών γραμμικών συναρτήσεων δεν διαφέρουν σε σχήμα από το γράφημα y = 1/x που γνωρίζετε. Καλείται καμπύλη που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x υπερβολή. Με απεριόριστη αύξηση του x σε απόλυτη τιμή, η συνάρτηση y = 1/x μειώνεται απεριόριστα σε απόλυτη τιμή και και οι δύο κλάδοι του γραφήματος πλησιάζουν την τετμημένη: ο δεξιός πλησιάζει από πάνω και ο αριστερός από κάτω. Οι γραμμές στις οποίες προσεγγίζουν οι κλάδοι μιας υπερβολής ονομάζονται της ασύμπτωτοι.
Παράδειγμα 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Λύση.
Ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Τώρα είναι εύκολο να δούμε ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: μετατόπιση κατά 3 μονάδες μονάδας προς τα δεξιά, τέντωμα κατά μήκος του άξονα Oy 7 φορές και μετατόπιση κατά 2 τμήματα μονάδας προς τα πάνω.
Οποιοδήποτε κλάσμα y = (ax + b) / (cx + d) μπορεί να γραφτεί με παρόμοιο τρόπο, επισημαίνοντας το «ακέραιο μέρος». Συνεπώς, οι γραφικές παραστάσεις όλων των κλασματικών γραμμικών συναρτήσεων είναι υπερβολές, μετατοπισμένες με διάφορους τρόπους κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων και τεντωμένες κατά μήκος του άξονα Oy.
Για να κατασκευαστεί ένα γράφημα οποιασδήποτε αυθαίρετης κλασματικής-γραμμικής συνάρτησης, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να μετασχηματιστεί το κλάσμα που ορίζει αυτή τη συνάρτηση. Εφόσον γνωρίζουμε ότι το γράφημα είναι υπερβολή, θα αρκεί να βρούμε τις ευθείες γραμμές στις οποίες πλησιάζουν οι κλάδοι του - οι ασύμπτωτες της υπερβολής x = -d/c και y = a/c.
Παράδειγμα 2.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = (3x + 5)/(2x + 2).
Λύση.
Η συνάρτηση δεν ορίζεται, στο x = -1. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία x = -1 χρησιμεύει ως κατακόρυφη ασύμπτωτη. Για να βρούμε την οριζόντια ασύμπτωτη, ας μάθουμε ποιες προσεγγίζουν οι τιμές της συνάρτησης y(x) όταν το όρισμα x αυξάνεται σε απόλυτη τιμή.
Για να γίνει αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ως x → ∞ το κλάσμα θα τείνει στα 3/2. Αυτό σημαίνει ότι η οριζόντια ασύμπτωτη είναι η ευθεία y = 3/2.
Παράδειγμα 3.
Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (2x + 1)/(x + 1).
Λύση.
Ας επιλέξουμε το «ολόκληρο μέρος» του κλάσματος:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Τώρα είναι εύκολο να δούμε ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: μια μετατόπιση κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά, μια συμμετρική απεικόνιση ως προς το Ox και μια μετατόπιση κατά 2 τμήματα τμήματα προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα Oy.
Τομέας D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Εύρος τιμών E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Σημεία τομής με άξονες: c Oy: (0; 1); γ Βόδι: (-1/2; 0). Η συνάρτηση αυξάνεται σε κάθε διάστημα του τομέα ορισμού.
Απάντηση: Εικόνα 1.
2. Κλασματική ορθολογική συνάρτηση
Θεωρήστε μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση της μορφής y = P(x) / Q(x), όπου τα P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα βαθμού υψηλότερου από το πρώτο.
Παραδείγματα τέτοιων ορθολογικών συναρτήσεων:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ή y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Εάν η συνάρτηση y = P(x) / Q(x) αντιπροσωπεύει το πηλίκο δύο πολυωνύμων βαθμών υψηλότερο από το πρώτο, τότε η γραφική παράσταση της θα είναι, κατά κανόνα, πιο περίπλοκη και μερικές φορές μπορεί να είναι δύσκολο να κατασκευαστεί με ακρίβεια , με όλες τις λεπτομέρειες. Ωστόσο, συχνά αρκεί να χρησιμοποιούμε τεχνικές παρόμοιες με αυτές που έχουμε ήδη εισαγάγει παραπάνω.
Έστω το κλάσμα σωστό κλάσμα (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Προφανώς, η γραφική παράσταση μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης μπορεί να ληφθεί ως το άθροισμα των γραφημάτων στοιχειωδών κλασμάτων.
Σχεδίαση γραφημάτων κλασματικών ορθολογικών συναρτήσεων
Ας εξετάσουμε αρκετούς τρόπους κατασκευής γραφημάτων μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης.
Παράδειγμα 4.
Γράφημα τη συνάρτηση y = 1/x 2 .
Λύση.
Χρησιμοποιούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση y = 1/x 2 και χρησιμοποιούμε την τεχνική της «διαίρεσης» των γραφημάτων.
Τομέας ορισμού D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Εύρος τιμών E(y) = (0; +∞).
Δεν υπάρχουν σημεία τομής με τους άξονες. Η λειτουργία είναι ομοιόμορφη. Αυξάνεται για όλα τα x από το διάστημα (-∞; 0), μειώνεται για x από 0 σε +∞.
Απάντηση: Εικόνα 2.
Παράδειγμα 5.
Γράφημα τη συνάρτηση y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Λύση.
Τομέας D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Εδώ χρησιμοποιήσαμε την τεχνική της παραγοντοποίησης, της αναγωγής και της αναγωγής σε γραμμική συνάρτηση.
Απάντηση: Εικόνα 3.
Παράδειγμα 6.
Γράφημα τη συνάρτηση y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Λύση.
Το πεδίο ορισμού είναι D(y) = R. Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη. Πριν δημιουργήσουμε ένα γράφημα, ας μεταμορφώσουμε ξανά την έκφραση, επισημαίνοντας ολόκληρο το μέρος:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Σημειώστε ότι η απομόνωση του ακέραιου μέρους στον τύπο μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης είναι ένα από τα κύρια κατά την κατασκευή γραφημάτων.
Αν x → ±∞, τότε y → 1, δηλ. η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη.
Απάντηση: Εικόνα 4.
Παράδειγμα 7.
Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση y = x/(x 2 + 1) και ας προσπαθήσουμε να βρούμε με ακρίβεια τη μεγαλύτερη τιμή της, δηλ. το υψηλότερο σημείο στο δεξί μισό του γραφήματος. Για την ακριβή κατασκευή αυτού του γραφήματος, η σημερινή γνώση δεν αρκεί. Προφανώς, η καμπύλη μας δεν μπορεί να «ανέβει» πολύ ψηλά, γιατί ο παρονομαστής αρχίζει γρήγορα να «προσπερνάει» τον αριθμητή. Ας δούμε αν η τιμή της συνάρτησης μπορεί να είναι ίση με 1. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης, πρέπει να μάθετε σε ποιο μεγαλύτερο A θα έχει λύση η εξίσωση A = x/(x 2 + 1). Ας αντικαταστήσουμε την αρχική εξίσωση με μια τετραγωνική: Ax 2 – x + A = 0. Αυτή η εξίσωση έχει λύση όταν 1 – 4A 2 ≥ 0. Από εδώ βρίσκουμε τη μεγαλύτερη τιμή A = 1/2. 
Απάντηση: Εικόνα 5, max y(x) = ½.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να γράφετε συναρτήσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Εθνικό Πανεπιστήμιο Ερευνών
Τμήμα Εφαρμοσμένης Γεωλογίας
Περίληψη για ανώτερα μαθηματικά
Με θέμα: «Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις,
τις ιδιότητες και τα γραφήματα τους"
Ολοκληρώθηκε το:
Τετραγωνισμένος:
δάσκαλος
Ορισμός. Η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y=a x (όπου a>0, a≠1) ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α.
Ας διατυπώσουμε τις κύριες ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης:
1. Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο (R) όλων των πραγματικών αριθμών.
2. Εύρος - το σύνολο (R+) όλων των θετικών πραγματικών αριθμών.
3. Για > 1, η συνάρτηση αυξάνεται κατά μήκος ολόκληρης της αριθμητικής γραμμής. στο 0<а<1 функция убывает.
4. Είναι συνάρτηση γενικής μορφής.
, στο διάστημα xO [-3;3]
, στο διάστημα xO [-3;3] Μια συνάρτηση της μορφής y(x)=x n, όπου n είναι ο αριθμός ОR, ονομάζεται συνάρτηση ισχύος. Ο αριθμός n μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές: τόσο ακέραιος όσο και κλασματικός, άρτιος και περιττός. Ανάλογα με αυτό, η συνάρτηση ισχύος θα έχει διαφορετική μορφή. Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις που είναι συναρτήσεις ισχύος και αντικατοπτρίζουν τις βασικές ιδιότητες αυτού του τύπου καμπύλης με την ακόλουθη σειρά: συνάρτηση ισχύος y=x² (συνάρτηση με άρτιο εκθέτη - παραβολή), συνάρτηση ισχύος y=x³ (συνάρτηση με περιττό εκθέτη - κυβική παραβολή) και συνάρτηση y=√x (x στη δύναμη του ½) (συνάρτηση με κλασματικό εκθέτη), συνάρτηση με αρνητικό ακέραιο εκθέτη (υπερβολή).
Λειτουργία ισχύος y=x²
1. D(x)=R – η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.
2. E(y)= και αυξάνεται στο διάστημα
Λειτουργία ισχύος y=x³
1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x³ ονομάζεται κυβική παραβολή. Η συνάρτηση ισχύος y=x³ έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
2. D(x)=R – η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα.
3. E(y)=(-∞;∞) – η συνάρτηση παίρνει όλες τις τιμές στον τομέα ορισμού της.
4. Όταν x=0 y=0 – η συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων O(0;0).
5. Η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
6. Η συνάρτηση είναι περιττή (συμμετρική ως προς την αρχή).
, στο διάστημα xO [-3;3] Ανάλογα με τον αριθμητικό παράγοντα μπροστά από το x³, η συνάρτηση μπορεί να είναι απότομη/επίπεδη και αύξουσα/φθίνουσα.
Συνάρτηση ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη:
Αν ο εκθέτης n είναι περιττός, τότε η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης ισχύος ονομάζεται υπερβολή. Μια συνάρτηση ισχύος με ακέραιο αρνητικό εκθέτη έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) για οποιοδήποτε n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), αν το n είναι περιττός αριθμός; E(y)=(0;∞), αν το n είναι ζυγός αριθμός;
3. Η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού εάν το n είναι περιττός αριθμός. η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα (-∞;0) και μειώνεται στο διάστημα (0;∞) εάν το n είναι ζυγός αριθμός.
4. Η συνάρτηση είναι περιττή (συμμετρική ως προς την αρχή) αν το n είναι περιττός αριθμός. μια συνάρτηση είναι άρτια αν το n είναι ζυγός αριθμός.
5. Η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία (1;1) και (-1;-1) αν το n είναι περιττός αριθμός και από τα σημεία (1;1) και (-1;1) αν το n είναι άρτιος αριθμός.
, στο διάστημα xO [-3;3] Συνάρτηση ισχύος με κλασματικό εκθέτη
Μια συνάρτηση ισχύος με κλασματικό εκθέτη (εικόνα) έχει ένα γράφημα της συνάρτησης που φαίνεται στο σχήμα. Μια συνάρτηση ισχύος με κλασματικό εκθέτη έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (εικόνα)
1. D(x) ОR, αν n είναι περιττός αριθμός και D(x)= 
, στο διάστημα xО 
, στο διάστημα xO [-3;3]
Η λογαριθμική συνάρτηση y = log a x έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Τομέας ορισμού D(x)О (0; + ∞).
2. Εύρος τιμών E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή (γενικής μορφής).
4. Η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα (0; + ∞) για > 1, μειώνεται στο (0; + ∞) για 0< а < 1.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = log a x μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = a x χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό συμμετρίας γύρω από την ευθεία γραμμή y = x. Το σχήμα 9 δείχνει ένα γράφημα της λογαριθμικής συνάρτησης για ένα > 1 και το σχήμα 10 για το 0< a < 1.
; στο διάστημα xО 
; στο διάστημα xО Οι συναρτήσεις y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x ονομάζονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Οι συναρτήσεις y = sin x, y = tg x, y = ctg x είναι περιττές και η συνάρτηση y = cos x είναι άρτια.
Συνάρτηση y = sin(x).
1. Τομέας ορισμού D(x) ОR.
2. Εύρος τιμών E(y) О [ - 1; 1].
3. Η συνάρτηση είναι περιοδική. η κύρια περίοδος είναι 2π.
4. Η συνάρτηση είναι περιττή.
5. Η συνάρτηση αυξάνεται σε διαστήματα [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] και μειώνεται στα διαστήματα [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = sin (x) φαίνεται στο σχήμα 11.
Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ας σχεδιάσουμε τις τιμές του ορίσματος στον άξονα της τετμημένης Χ, και στην τεταγμένη - οι τιμές της συνάρτησης y = f(x).
Γράφημα συνάρτησης y = f(x)είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι τετμημένες ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και οι τεταγμένες είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.
Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, συντεταγμένες Χ, στοπου ικανοποιούν τη σχέση y = f(x).
Στο Σχ. Τα 45 και 46 δείχνουν γραφήματα συναρτήσεων y = 2x + 1Και y = x 2 - 2x.
Αυστηρά μιλώντας, θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ ενός γραφήματος μιας συνάρτησης (ο ακριβής μαθηματικός ορισμός της οποίας δόθηκε παραπάνω) και μιας σχεδιασμένης καμπύλης, η οποία δίνει πάντα μόνο ένα περισσότερο ή λιγότερο ακριβές σκίτσο του γραφήματος (και ακόμη και τότε, κατά κανόνα, όχι ολόκληρο το γράφημα, αλλά μόνο το τμήμα του που βρίσκεται στα τελικά μέρη του επιπέδου). Σε αυτό που ακολουθεί, ωστόσο, θα λέμε γενικά "γραφική παράσταση" αντί "σκίτσο γραφήματος".
Χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, μπορείτε να βρείτε την τιμή μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Δηλαδή, αν το σημείο x = αανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = f(x), στη συνέχεια για να βρείτε τον αριθμό φά)(δηλαδή οι τιμές συνάρτησης στο σημείο x = α) πρέπει να το κάνετε αυτό. Είναι απαραίτητο μέσω του σημείου της τετμημένης x = ασχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων. αυτή η γραμμή θα τέμνει το γράφημα της συνάρτησης y = f(x)σε ένα σημείο; η τεταγμένη αυτού του σημείου, δυνάμει του ορισμού του γραφήματος, θα είναι ίση με φά)(Εικ. 47).
Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση f(x) = x 2 - 2xχρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 46) βρίσκουμε f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 κ.λπ.
Ένα γράφημα συνάρτησης απεικονίζει ξεκάθαρα τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, από την εξέταση του Σχ. 46 είναι σαφές ότι η συνάρτηση y = x 2 - 2xπαίρνει θετικές τιμές όταν Χ< 0 και στο x > 2, αρνητικό - στο 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xδέχεται στο x = 1.
Να γραφεί μια συνάρτηση f(x)πρέπει να βρείτε όλα τα σημεία του επιπέδου, συντεταγμένες Χ,στοπου ικανοποιούν την εξίσωση y = f(x). Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό είναι αδύνατο να γίνει, αφού υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων σημείων. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται κατά προσέγγιση - με μεγαλύτερη ή μικρότερη ακρίβεια. Η απλούστερη είναι η μέθοδος δημιουργίας γραφήματος χρησιμοποιώντας πολλά σημεία. Συνίσταται στο γεγονός ότι το επιχείρημα Χδώστε έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών - ας πούμε, x 1, x 2, x 3,..., x k και δημιουργήστε έναν πίνακα που περιλαμβάνει τις επιλεγμένες τιμές συνάρτησης.
Ο πίνακας μοιάζει με αυτό:
Έχοντας συντάξει έναν τέτοιο πίνακα, μπορούμε να περιγράψουμε αρκετά σημεία στο γράφημα της συνάρτησης y = f(x). Στη συνέχεια, συνδέοντας αυτά τα σημεία με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια κατά προσέγγιση άποψη του γραφήματος της συνάρτησης y = f(x).
Θα πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι η μέθοδος γραφικής παράστασης πολλαπλών σημείων είναι πολύ αναξιόπιστη. Στην πραγματικότητα, η συμπεριφορά του γραφήματος μεταξύ των προβλεπόμενων σημείων και η συμπεριφορά του έξω από το τμήμα μεταξύ των ακραίων σημείων που λαμβάνονται παραμένει άγνωστη.
Παράδειγμα 1. Να γραφεί μια συνάρτηση y = f(x)κάποιος συνέταξε έναν πίνακα με τιμές ορίσματος και συναρτήσεων:
Τα αντίστοιχα πέντε σημεία φαίνονται στο Σχ. 48.
Με βάση τη θέση αυτών των σημείων, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή (που φαίνεται στο Σχ. 48 με μια διακεκομμένη γραμμή). Μπορεί αυτό το συμπέρασμα να θεωρηθεί αξιόπιστο; Αν δεν υπάρχουν πρόσθετες σκέψεις που να υποστηρίζουν αυτό το συμπέρασμα, δύσκολα μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστο. αξιόπιστος.
Για να τεκμηριώσετε τη δήλωσή μας, εξετάστε τη συνάρτηση
.
Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι οι τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία -2, -1, 0, 1, 2 περιγράφονται ακριβώς στον παραπάνω πίνακα. Ωστόσο, το γράφημα αυτής της συνάρτησης δεν είναι καθόλου ευθεία γραμμή (φαίνεται στο Σχ. 49). Ένα άλλο παράδειγμα θα ήταν η συνάρτηση y = x + l + sinπx;Οι έννοιές του περιγράφονται επίσης στον παραπάνω πίνακα.
Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι στην «καθαρή» της μορφή η μέθοδος δημιουργίας γραφήματος χρησιμοποιώντας πολλά σημεία είναι αναξιόπιστη. Επομένως, για να σχεδιάσουμε ένα γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης, συνήθως προχωράμε ως εξής. Αρχικά, μελετάμε τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να φτιάξουμε ένα σκίτσο του γραφήματος. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις τιμές της συνάρτησης σε πολλά σημεία (η επιλογή των οποίων εξαρτάται από τις καθιερωμένες ιδιότητες της συνάρτησης), βρίσκονται τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος. Και τέλος, μια καμπύλη σχεδιάζεται μέσα από τα κατασκευασμένα σημεία χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.
Θα εξετάσουμε μερικές (τις απλούστερες και πιο συχνά χρησιμοποιούμενες) ιδιότητες των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την εύρεση ενός σκίτσου γραφήματος αργότερα, αλλά τώρα θα δούμε μερικές κοινώς χρησιμοποιούμενες μεθόδους για την κατασκευή γραφημάτων.
Γράφημα της συνάρτησης y = |f(x)|.
Συχνά είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = |f(x)|, όπου f(x) -δεδομένη λειτουργία. Ας σας υπενθυμίσουμε πώς γίνεται αυτό. Ορίζοντας την απόλυτη τιμή ενός αριθμού, μπορούμε να γράψουμε
Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα της συνάρτησης y =|f(x)|μπορεί να ληφθεί από το γράφημα, συνάρτηση y = f(x)ως εξής: όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), των οποίων οι τεταγμένες είναι μη αρνητικές, θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες. περαιτέρω, αντί για τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x)έχοντας αρνητικές συντεταγμένες, θα πρέπει να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -f(x)(δηλαδή μέρος του γραφήματος της συνάρτησης
y = f(x), που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ,πρέπει να αντανακλάται συμμετρικά γύρω από τον άξονα Χ).
Παράδειγμα 2.Γράφημα τη συνάρτηση y = |x|.
Ας πάρουμε το γράφημα της συνάρτησης y = x(Εικ. 50, α) και μέρος αυτού του γραφήματος στο Χ< 0 (που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ) ανακλάται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα Χ. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x|(Εικ. 50, β).
Παράδειγμα 3. Γράφημα τη συνάρτηση y = |x 2 - 2x|.
Αρχικά, ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = x 2 - 2x.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω, η κορυφή της παραβολής έχει συντεταγμένες (1; -1), η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα x στα σημεία 0 και 2. Στο διάστημα (0; 2) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, επομένως αυτό το τμήμα του γραφήματος ανακλάται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης. Το σχήμα 51 δείχνει το γράφημα της συνάρτησης y = |x 2 -2x|, με βάση το γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 2x
Γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)
Εξετάστε το πρόβλημα της κατασκευής γραφήματος μιας συνάρτησης y = f(x) + g(x).αν δίνονται γραφήματα συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x).
Σημειώστε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = |f(x) + g(x)| είναι το σύνολο όλων εκείνων των τιμών του x για τις οποίες ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x), δηλαδή αυτό το πεδίο ορισμού είναι η τομή των τομέων ορισμού, συναρτήσεις f(x) και g(x).
Αφήστε τα σημεία (x 0 , y 1) Και (x 0, y 2) ανήκουν αντίστοιχα στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x), δηλαδή υ 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0).Τότε το σημείο (x0;. y1 + y2) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)(Για f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. και οποιοδήποτε σημείο στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορούν να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορεί να ληφθεί από γραφήματα συναρτήσεων y = f(x). Και y = g(x)αντικαθιστώντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γραφικά λειτουργιών y = f(x)τελεία (x n, y 1 + y 2),Οπου y 2 = g(x n), δηλαδή μετατοπίζοντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γράφημα συνάρτησης y = f(x)κατά μήκος του άξονα στοκατά το ποσό y 1 = g(x n). Στην περίπτωση αυτή λαμβάνονται υπόψη μόνο τέτοια σημεία Χ n για το οποίο ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x)Και y = g(x).
Αυτή η μέθοδος σχεδίασης μιας συνάρτησης y = f(x) + g(x) ονομάζεται πρόσθεση γραφημάτων συνάρτησης y = f(x)Και y = g(x)
Παράδειγμα 4. Στο σχήμα κατασκευάστηκε ένα γράφημα της συνάρτησης με τη μέθοδο της προσθήκης γραφημάτων
y = x + sinx.
Όταν σχεδιάζετε μια συνάρτηση y = x + sinxτο σκεφτήκαμε f(x) = x,ΕΝΑ g(x) = sinx.Για να σχεδιάσουμε το γράφημα συνάρτησης, επιλέγουμε σημεία με τετμημένα -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Τιμές f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxΑς υπολογίσουμε στα επιλεγμένα σημεία και ας τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα.