Η μελέτη πολλών φυσικών και γεωμετρικών προτύπων οδηγεί συχνά στην επίλυση προβλημάτων με παραμέτρους. Ορισμένα πανεπιστήμια περιλαμβάνουν επίσης εξισώσεις, ανισότητες και τα συστήματά τους στα γραπτά των εξετάσεων, τα οποία είναι συχνά πολύ περίπλοκα και απαιτούν μια μη τυπική προσέγγιση επίλυσης. Στο σχολείο αυτό είναι ένα από τα πιο δύσκολα τμήματα. σχολικό μάθημαΗ άλγεβρα καλύπτεται μόνο σε λίγα μαθήματα επιλογής ή μαθήματα.
Κατά τη γνώμη μου, η λειτουργική γραφική μέθοδος είναι βολική και με γρήγορο τρόποεπίλυση εξισώσεων με μια παράμετρο.
Όπως είναι γνωστό, σε σχέση με εξισώσεις με παραμέτρους υπάρχουν δύο διατυπώσεις του προβλήματος.
- Λύστε την εξίσωση (για κάθε τιμή παραμέτρου, βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης).
- Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου για καθεμία από τις οποίες οι λύσεις της εξίσωσης ικανοποιούν τις δεδομένες συνθήκες.
Στην παρούσα εργασία εξετάζουμε και μελετάμε το πρόβλημα του δεύτερου τύπου σε σχέση με τις ρίζες τετραγωνικό τριώνυμο, εύρεση του οποίου ανάγεται στην επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης.
Ο συγγραφέας το ελπίζει αυτό το έργοθα βοηθήσει τους δασκάλους κατά την ανάπτυξη μαθημάτων και την προετοιμασία των μαθητών για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.
1. Τι είναι παράμετρος
Έκφραση της φόρμας αχ 2 + βχ + γστο μάθημα της σχολικής άλγεβρας ονομάζουν το τετραγωνικό τριώνυμο ως προς X,Οπου α, β,γ δίνονται πραγματικοί αριθμοί και, ένα=/= 0. Οι τιμές της μεταβλητής x στην οποία η παράσταση γίνεται μηδέν ονομάζονται ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου. Για να βρείτε τις ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου, πρέπει να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση αχ 2 + bх + c = 0.
Ας θυμηθούμε τις βασικές εξισώσεις από το μάθημα της σχολικής άλγεβρας τσεκούρι + β = 0;
aх2 + bх + c = 0.Κατά την αναζήτηση των ριζών τους, οι τιμές των μεταβλητών α, β, γ,που περιλαμβάνονται στην εξίσωση θεωρούνται σταθερές και δεδομένες. Οι ίδιες οι μεταβλητές ονομάζονται παράμετροι. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει ορισμός της παραμέτρου στα σχολικά εγχειρίδια, προτείνω να λάβουμε ως βάση την παρακάτω απλούστερη έκδοση.
Ορισμός.Μια παράμετρος είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, η τιμή της οποίας στο πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ένας δεδομένος σταθερός ή αυθαίρετος πραγματικός αριθμός ή ένας αριθμός που ανήκει σε ένα προκαθορισμένο σύνολο.
2. Βασικοί τύποι και μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων με παραμέτρους
Μεταξύ των εργασιών με παραμέτρους, μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι κύριοι τύποι εργασιών.
- Εξισώσεις που πρέπει να λυθούν είτε για οποιαδήποτε τιμή μιας παραμέτρου ή για τιμές παραμέτρων που ανήκουν σε ένα προκαθορισμένο σύνολο. Για παράδειγμα. Λύστε εξισώσεις: τσεκούρι = 1, (α – 2)x = α 2 – 4.
- Εξισώσεις για τις οποίες πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεων ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου (παραμέτρους). Για παράδειγμα. Σε ποιες τιμές παραμέτρων έναεξίσωση 4Χ 2 – 4τσεκούρι + 1 = 0έχει μια ρίζα;
- Εξισώσεις για τις οποίες, για τις απαιτούμενες τιμές της παραμέτρου, το σύνολο των λύσεων ικανοποιεί τις καθορισμένες συνθήκες στον τομέα ορισμού.
Για παράδειγμα, βρείτε τις τιμές παραμέτρων στις οποίες οι ρίζες της εξίσωσης ( α – 2)Χ 2
–
2τσεκούρι + α + 3 =
0
θετικός.
Οι κύριοι τρόποι επίλυσης προβλημάτων με μια παράμετρο: αναλυτικοί και γραφικοί.
Αναλυτικός- αυτή είναι μια μέθοδος των λεγόμενων άμεση λύση, επαναλαμβάνοντας τυπικές διαδικασίες για την εύρεση της απάντησης σε προβλήματα χωρίς παράμετρο. Ας δούμε ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εργασίας.
Εργασία Νο. 1
Σε ποιες τιμές της παραμέτρου a κάνει η εξίσωση Χ 2 – 2τσεκούρι + α 2 – 1 = 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες που ανήκουν στο διάστημα (1; 5);
Διάλυμα
Χ 2 –
2τσεκούρι + α 2 –
1 = 0.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, η εξίσωση πρέπει να έχει δύο διαφορετικές ρίζες, και αυτό είναι δυνατό μόνο υπό την προϋπόθεση: D > 0.
Έχουμε: D = 4 ένα 2 – 2(ΕΝΑ 2 – 1) = 4. Όπως μπορούμε να δούμε, η διάκριση δεν εξαρτάται από το a, επομένως, η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές της παραμέτρου a. Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης: Χ 1 = ΕΝΑ + 1, Χ 2
= ΕΝΑ – 1
Οι ρίζες της εξίσωσης πρέπει να ανήκουν στο διάστημα (1; 5), δηλ.
Έτσι, στις 2<ΕΝΑ < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Απάντηση: 2<ΕΝΑ < 4.
Αυτή η προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων του υπό εξέταση τύπου είναι δυνατή και ορθολογική σε περιπτώσεις όπου η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης είναι «καλή», δηλ. είναι το ακριβές τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού ή παράστασης ή οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας το αντίστροφο θεώρημα του Vieta. Τότε οι ρίζες δεν αντιπροσωπεύουν παράλογες εκφράσεις. Διαφορετικά, η επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου περιλαμβάνει αρκετά περίπλοκες διαδικασίες από τεχνική άποψη. Και η επίλυση παράλογων ανισοτήτων απαιτεί νέες γνώσεις από τον μαθητή.
Γραφικός- αυτή είναι μια μέθοδος στην οποία χρησιμοποιούνται γραφήματα στο επίπεδο συντεταγμένων (x; y) ή (x; a). Η σαφήνεια και η ομορφιά αυτής της λύσης βοηθά στην εύρεση ενός γρήγορου τρόπου επίλυσης του προβλήματος. Ας λύσουμε το πρόβλημα Νο 1 γραφικά.
Όπως γνωρίζετε από ένα μάθημα άλγεβρας, οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης (τετραγωνικό τριώνυμο) είναι τα μηδενικά της αντίστοιχης τετραγωνικής συνάρτησης: Y = Χ 2
– 2Ω + ΕΝΑ 2 – 1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή, οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω (ο πρώτος συντελεστής είναι 1). Ένα γεωμετρικό μοντέλο που πληροί όλες τις απαιτήσεις του προβλήματος μοιάζει με αυτό.
Τώρα το μόνο που μένει είναι να «διορθώσετε» την παραβολή στην επιθυμητή θέση χρησιμοποιώντας τις απαραίτητες προϋποθέσεις.
- Αφού μια παραβολή έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα Χ, μετά D > 0.
- Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται ανάμεσα στις κάθετες γραμμές Χ= 1 και Χ= 5, επομένως η τετμημένη της κορυφής της παραβολής x o ανήκει στο διάστημα (1; 5), δηλ.
1 <ΧΟ< 5. - Το παρατηρούμε στο(1) > 0, στο(5) > 0.
Προχωρώντας λοιπόν από το γεωμετρικό μοντέλο του προβλήματος στο αναλυτικό, προκύπτει ένα σύστημα ανισοτήτων.
Απάντηση: 2<ΕΝΑ < 4.
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, μια γραφική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων του υπό εξέταση τύπου είναι δυνατή στην περίπτωση που οι ρίζες είναι "κακές", δηλ. περιέχουν μια παράμετρο κάτω από το ριζικό πρόσημο (στην περίπτωση αυτή, η διάκριση της εξίσωσης δεν είναι τέλειο τετράγωνο).
Στη δεύτερη μέθοδο λύσης, δουλέψαμε με τους συντελεστές της εξίσωσης και το εύρος της συνάρτησης στο = Χ 2 – 2Ω + ΕΝΑ 2
– 1.
Αυτή η μέθοδος λύσης δεν μπορεί να ονομαστεί μόνο γραφική, γιατί εδώ πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα ανισοτήτων. Μάλλον, αυτή η μέθοδος συνδυάζεται: λειτουργική και γραφική. Από αυτές τις δύο μεθόδους, η τελευταία δεν είναι μόνο κομψή, αλλά και η πιο σημαντική, καθώς δείχνει τη σχέση μεταξύ όλων των τύπων μαθηματικών μοντέλων: μια λεκτική περιγραφή του προβλήματος, ένα γεωμετρικό μοντέλο - ένα γράφημα ενός τετραγωνικού τριωνύμου, ένα αναλυτικό μοντέλο - περιγραφή ενός γεωμετρικού μοντέλου από ένα σύστημα ανισοτήτων.
Έτσι, εξετάσαμε ένα πρόβλημα στο οποίο οι ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου ικανοποιούν δεδομένες συνθήκες στον τομέα ορισμού για τις επιθυμητές τιμές παραμέτρων.
Ποιες άλλες πιθανές συνθήκες μπορούν να ικανοποιήσουν οι ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου για τις επιθυμητές τιμές παραμέτρων;
Δάσκαλος της υψηλότερης κατηγορίας: Minaichenko N.S., γυμνάσιο Νο. 24, Σεβαστούπολη
Μάθημα στην 8η τάξη: "Τετράγωνο τριώνυμο και οι ρίζες του"
Τύπος μαθήματος : μάθημα νέας γνώσης.
Στόχος του μαθήματος:
να οργανώσει δραστηριότητες των μαθητών για να εδραιώσει και να αναπτύξει γνώσεις σχετικά με την αποσύνθεση ενός τετραγωνικού τριωνύμου σε γραμμικούς παράγοντες και τη μείωση των κλασμάτων.
να αναπτύξουν δεξιότητες στην εφαρμογή της γνώσης όλων των μεθόδων παραγοντοποίησης: bracketing, χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού και μεθόδων ομαδοποίησης, προκειμένου να προετοιμαστούν για επιτυχή επιτυχία στην εξέταση της άλγεβρας.
δημιουργούν συνθήκες για την ανάπτυξη γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα, τη διαμόρφωση λογικής σκέψης και αυτοελέγχου κατά τη χρήση παραγοντοποίησης.
Εξοπλισμός: προβολέας πολυμέσων, οθόνη, παρουσίαση: «Ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου», σταυρόλεξο, τεστ, φυλλάδια.
Βασικές Έννοιες . Παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου.
Ανεξάρτητη δραστηριότητα των μαθητών. Εφαρμογή του θεωρήματος για την παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου στην επίλυση προβλημάτων.
Σχέδιο μαθήματος
Επίλυση προβλημάτων.Απαντήσεις σε ερωτήσεις μαθητών
IV. Πρωτοβάθμιο τεστ απόκτησης γνώσεων. Αντανάκλαση
Το μήνυμα του δασκάλου.
Μήνυμα μαθητή
V. Εργασία για το σπίτι
Γράψιμο στον πίνακα
Μεθοδολογικό σχόλιο:
Αυτό το θέμα είναι θεμελιώδες στην ενότητα «Παρόμοιοι μετασχηματισμοί αλγεβρικών εκφράσεων». Επομένως, είναι σημαντικό οι μαθητές να μπορούν αυτόματα όχι μόνο να βλέπουν τύπους παραγοντοποίησης σε παραδείγματα, αλλά και να τους εφαρμόζουν σε άλλες εργασίες: όπως επίλυση εξισώσεων, μετασχηματισμός εκφράσεων, απόδειξη ταυτοτήτων.
Αυτό το θέμα εστιάζει στην παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου:
τσεκούρι+ bx + c = a(x – x)(x – x
),
όπου x και x – ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ax + bx + c = 0.
Αυτό σας επιτρέπει να επεκτείνετε το οπτικό πεδίο του μαθητή, να του διδάξετε να σκέφτεται σε μια μη τυπική κατάσταση, χρησιμοποιώντας το υλικό που μελετάται, δηλ. χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου:
ικανότητα μείωσης αλγεβρικών κλασμάτων.
ικανότητα απλοποίησης αλγεβρικών εκφράσεων.
ικανότητα επίλυσης εξισώσεων.
ικανότητα απόδειξης ταυτοτήτων.
Κύριο περιεχόμενο μαθήματος:
α) 3x + 5x – 2;
β) –x + 16x – 15;
γ) x – 12x + 24;
δ) –5x + 6x – 1.
№2. Μείωσε το κλάσμα:
№3. Απλοποιήστε την έκφραση:
№4. Λύστε την εξίσωση:
σι) 
Πρόοδος μαθήματος:
Ι. Στάδιο επικαιροποίησης γνώσεων.
Κίνητρο για μαθησιακές δραστηριότητες.
α) από την ιστορία:
σι) σταυρόλεξο:
Προθέρμανση-εκπαίδευση του μυαλού – σταυρόλεξο:
Οριζόντιος:
1) Η ρίζα του δεύτερου βαθμού ονομάζεται…. (πλατεία)
2) Τιμές της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση γίνεται αληθινή ισότητα (ρίζες)
3) Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο ονομάζεται... (εξίσωση)
4) Ινδός επιστήμονας, ο οποίος καθόρισε τον γενικό κανόνα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων (Brahmagupta)
5) Οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι... (αριθμοί)
6) Αρχαίος Έλληνας επιστήμονας που επινόησε μια γεωμετρική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων (Ευκλείδης)
7) Θεώρημα που σχετίζεται με τους συντελεστές και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης (Vieta)
8) «διακρίσιμος», προσδιορίζοντας τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης - αυτό είναι... (διάκριση)
Επιπλέον:
Αν D>0, πόσες ρίζες; (δυο)
Αν D=0, πόσες ρίζες; (ένας)
Αν ο Δ<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Οριζόντιο και κάθετο θέμα μαθήματος: «Τετράγωνο τριώνυμο»
β) κίνητρο:
Αυτό το θέμα είναι θεμελιώδες στην ενότητα «Παρόμοιοι μετασχηματισμοί αλγεβρικών εκφράσεων». Επομένως, είναι σημαντικό να μπορείτε αυτόματα όχι μόνο να βλέπετε τύπους παραγοντοποίησης σε παραδείγματα, αλλά και να τους εφαρμόζετε σε άλλες εργασίες: όπως η μείωση κλασμάτων, η επίλυση εξισώσεων, ο μετασχηματισμός παραστάσεων, η απόδειξη ταυτοτήτων.
Σήμερα θα επικεντρωθούμε στην παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου:
II. Εκμάθηση νέου υλικού.
Θέμα: Τετράγωνο τριώνυμο και οι ρίζες του.
Η γενική θεωρία των πολυωνύμων πολλών μεταβλητών υπερβαίνει κατά πολύ το πεδίο εφαρμογής του σχολικού μαθήματος. Επομένως, θα περιοριστούμε στη μελέτη πολυωνύμων μιας πραγματικής μεταβλητής και μόνο στις απλούστερες περιπτώσεις. Ας εξετάσουμε πολυώνυμα μιας μεταβλητής, ανάγεται σε τυπική μορφή.
Ρίζα πολυωνύμου είναι η τιμή μιας μεταβλητής στην οποία η τιμή του πολυωνύμου είναι ίση με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε τις ρίζες ενός πολυωνύμου, πρέπει να το εξισώσετε με το μηδέν, δηλ. λύσει την εξίσωση.
Ρίζα πολυωνύμου πρώτου βαθμού 
εύκολο να βρεθεί 
. Εξέταση: 
.
Οι ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου μπορούν να βρεθούν λύνοντας την εξίσωση: 
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης βρίσκουμε:
; 
Αν 
Και 
-ρίζες τετράγωνου τριωνύμου 
, Πού 
≠ 0,
Αυτό .
Απόδειξη:
Ας εκτελέσουμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς του τετραγωνικού τριωνύμου:
=
=
=
=
=
=
=
=
Από τη διάκριση 
, παίρνουμε:
=
=
Ας εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων σε αγκύλες και πάρουμε:
=
=
,
επειδή ; . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται τύποςπαραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου.
III. Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων.
№1. Συντελεστής το τετραγωνικό τριώνυμο:
α) 3x + 5x – 2;Διάλυμα:
Απάντηση: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)
Στο ταμπλό:
β) –5x + 6x – 1;
Επιπλέον:
γ) x – 12x + 24;
δ) –x + 16x – 15.
№2. Μείωσε το κλάσμα:
ΕΝΑ)
№4. Λύστε την εξίσωση:
σι)
IV. Πρωτοβάθμιο τεστ απόκτησης γνώσεων.
ΕΝΑ) Δοκιμή.
Επιλογή 1.
1. Να βρείτε τις ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου:2x 2 -9x-5
Απάντηση:
2. Ποιο πολυώνυμο πρέπει να αντικαταστήσει την έλλειψη για να είναι αληθής η ισότητα:
β) Αμοιβαία επαλήθευση των επιλογών (απαντήσεις και οι παράμετροι αξιολόγησης απεικονίζονται).
γ) Αντανάκλαση.
V. Εργασία για το σπίτι.
Μπορείτε να βρείτε τη ρίζα ενός τετραγωνικού τριωνύμου χρησιμοποιώντας τη διάκριση. Επιπλέον, για το ανηγμένο πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού, ισχύει το θεώρημα του Vieta, με βάση τον λόγο των συντελεστών.
Οδηγίες
- Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι ένα αρκετά εκτενές θέμα στη σχολική άλγεβρα. Η αριστερή πλευρά μιας τέτοιας εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού της μορφής A x² + B x + C, δηλ. μια έκφραση τριών μονοωνύμων διαφορετικών βαθμών αγνώστου x. Για να βρείτε τη ρίζα ενός τετραγωνικού τριωνύμου, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή του x στην οποία αυτή η παράσταση είναι ίση με μηδέν.
- Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να βρείτε το διαχωριστικό. Ο τύπος του είναι συνέπεια της απομόνωσης του πλήρους τετραγώνου του πολυωνύμου και αντιπροσωπεύει μια ορισμένη αναλογία των συντελεστών του: D = B² – 4 A C.
- Το διακριτικό μπορεί να λάβει διάφορες αξίες, συμπεριλαμβανομένου του αρνητικού. Και αν οι νεότεροι μαθητές μπορούν να πουν με ανακούφιση ότι μια τέτοια εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε οι μαθητές γυμνασίου είναι ήδη σε θέση να τις προσδιορίσουν με βάση τη θεωρία των μιγαδικών αριθμών. Έτσι, μπορεί να υπάρχουν τρεις επιλογές: Διακριτικός - ένας θετικός αριθμός. Τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
Η διάκριση πήγε στο μηδέν. Θεωρητικά, σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση έχει επίσης δύο ρίζες, αλλά πρακτικά είναι ίδιες: x1 = x2 = -B/2 A;
Η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν. Μια ορισμένη τιμή i² = -1 εισάγεται στον υπολογισμό, η οποία μας επιτρέπει να γράψουμε μια σύνθετη λύση: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A. - Η μέθοδος διάκρισης ισχύει για οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις όπου συνιστάται η χρήση ταχύτερης μεθόδου, ειδικά για μικρούς ακέραιους συντελεστές. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται θεώρημα Vieta και αποτελείται από ένα ζεύγος σχέσεων μεταξύ των συντελεστών στο ανηγμένο τριώνυμο: x² + P x + Q
x1 + x2 = -P;
x1 x2 = Q. Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τις ρίζες. - Πρέπει να σημειωθεί ότι η εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε παρόμοια μορφή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαιρέσετε όλους τους όρους του τριωνύμου με τον συντελεστή της υψηλότερης ισχύος A: A x² + B x + C |A
x² + B/A x + C/A
x1 + x2 = -B/A;
x1 x2 = C/A.
Το θέμα «Το τετράγωνο τριώνυμο και οι ρίζες του» μελετάται στο μάθημα της άλγεβρας της 9ης τάξης. Όπως κάθε άλλο μάθημα μαθηματικών, ένα μάθημα για αυτό το θέμα απαιτεί ειδικά εργαλεία και μεθόδους διδασκαλίας. Η ορατότητα είναι απαραίτητη. Ένα από αυτά είναι αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο, το οποίο σχεδιάστηκε ειδικά για να διευκολύνει το έργο του δασκάλου.
Αυτό το μάθημα διαρκεί 6:36 λεπτά. Σε αυτό το διάστημα, ο συγγραφέας καταφέρνει να αποκαλύψει πλήρως το θέμα. Ο δάσκαλος θα πρέπει μόνο να επιλέξει εργασίες για το θέμα για να ενισχύσει το υλικό.
Το μάθημα ξεκινά δείχνοντας παραδείγματα πολυωνύμων με μία μεταβλητή. Στη συνέχεια, ο ορισμός της ρίζας του πολυωνύμου εμφανίζεται στην οθόνη. Αυτός ο ορισμός υποστηρίζεται από ένα παράδειγμα όπου είναι απαραίτητο να βρεθούν οι ρίζες ενός πολυωνύμου. Έχοντας λύσει την εξίσωση, ο συγγραφέας λαμβάνει τις ρίζες του πολυωνύμου.
Ακολουθεί μια παρατήρηση ότι στα τετραγωνικά τριώνυμα περιλαμβάνονται και εκείνα τα πολυώνυμα του δεύτερου βαθμού στα οποία ο δεύτερος, ο τρίτος ή και οι δύο συντελεστές, εκτός από τον πρώτο, είναι ίσοι με μηδέν. Αυτές οι πληροφορίες υποστηρίζονται από ένα παράδειγμα όπου ο ελεύθερος συντελεστής είναι μηδέν.
Στη συνέχεια, ο συγγραφέας εξηγεί πώς να βρείτε τις ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να λύσετε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας. Και ο συγγραφέας προτείνει να το ελέγξετε χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα όπου δίνεται ένα τετραγωνικό τριώνυμο. Πρέπει να βρούμε τις ρίζες του. Η λύση κατασκευάζεται με βάση τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που προκύπτει από το δεδομένο τετραγωνικό τριώνυμο. Η λύση είναι γραμμένη στην οθόνη με λεπτομέρειες, καθαρά και κατανοητά. Κατά την επίλυση αυτού του παραδείγματος, ο συγγραφέας θυμάται πώς να λύσει μια τετραγωνική εξίσωση, καταγράφει τους τύπους και παίρνει το αποτέλεσμα. Η απάντηση καταγράφεται στην οθόνη.
Ο συγγραφέας εξήγησε την εύρεση των ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου με βάση ένα παράδειγμα. Όταν οι μαθητές κατανοήσουν την ουσία, μπορούν να προχωρήσουν σε πιο γενικά σημεία, κάτι που κάνει ο συγγραφέας. Ως εκ τούτου, συνοψίζει περαιτέρω όλα τα παραπάνω. Σε γενικές γραμμές στη μαθηματική γλώσσα, ο συγγραφέας καταγράφει τον κανόνα για την εύρεση των ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου.
Ακολουθεί μια παρατήρηση ότι σε ορισμένα προβλήματα είναι πιο βολικό να γράψουμε το τετραγωνικό τριώνυμο λίγο διαφορετικά. Αυτή η καταχώρηση εμφανίζεται στην οθόνη. Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι από ένα τετράγωνο τριώνυμο μπορεί κανείς να εξαγάγει το τετράγωνο ενός διωνύμου. Προτείνεται να εξεταστεί ένας τέτοιος μετασχηματισμός με ένα παράδειγμα. Η λύση σε αυτό το παράδειγμα εμφανίζεται στην οθόνη. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, η λύση είναι κατασκευασμένη λεπτομερώς με όλες τις απαραίτητες επεξηγήσεις. Στη συνέχεια, ο συγγραφέας εξετάζει ένα πρόβλημα που χρησιμοποιεί τις πληροφορίες που μόλις δόθηκαν. Αυτό είναι ένα πρόβλημα γεωμετρικής απόδειξης. Η λύση περιέχει μια απεικόνιση με τη μορφή σχεδίου. Η λύση του προβλήματος περιγράφεται αναλυτικά και ξεκάθαρα.
Αυτό ολοκληρώνει το μάθημα. Όμως ο δάσκαλος μπορεί να επιλέξει εργασίες με βάση τις ικανότητες των μαθητών που θα αντιστοιχούν στο συγκεκριμένο θέμα.
Αυτό το μάθημα βίντεο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως επεξήγηση νέου υλικού στα μαθήματα άλγεβρας. Είναι ιδανικό για τους μαθητές να προετοιμαστούν ανεξάρτητα για το μάθημα.
Εύρεση των ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου
Στόχοι:Εισάγετε την έννοια του τετραγωνικού τριωνύμου και τις ρίζες του. αναπτύξουν την ικανότητα να βρίσκουν τις ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου.
Πρόοδος μαθήματος
Ι. Οργανωτική στιγμή.
II. Προφορική εργασία.
Ποιος από τους αριθμούς: –2; –1; 1; 2 – είναι οι ρίζες των εξισώσεων;
α) 8 Χ+ 16 = 0; V) Χ 2 + 3Χ – 4 = 0;
β) 5 Χ 2 – 5 = 0; ΣΟΛ) Χ 3 – 3Χ – 2 = 0.
III. Επεξήγηση νέου υλικού.
Η επεξήγηση του νέου υλικού θα πρέπει να πραγματοποιείται σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:
1) Εισάγετε την έννοια της ρίζας ενός πολυωνύμου.
2) Εισάγετε την έννοια του τετραγωνικού τριωνύμου και τις ρίζες του.
3) Να αναλύσετε το ερώτημα του πιθανού αριθμού ριζών ενός τετραγωνικού τριωνύμου.
Το ζήτημα της απομόνωσης του τετραγώνου ενός διωνύμου από ένα τετράγωνο τριώνυμο συζητείται καλύτερα στο επόμενο μάθημα.
Σε κάθε στάδιο της επεξήγησης νέου υλικού, είναι απαραίτητο να προσφέρουμε στους μαθητές μια προφορική εργασία για να ελέγξουν την κυριαρχία τους στα κύρια σημεία της θεωρίας.
Εργασία 1. Ποιος από τους αριθμούς: –1; 1; ; 0 – είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Χ 4 + 2Χ 2 – 3?
Εργασία 2. Ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι τετραγωνικά τριώνυμα;
1) 2Χ 2 + 5Χ – 1; 6) Χ 2 – Χ – ;
2) 2Χ – ; 7) 3 – 4Χ + Χ 2 ;
3) 4Χ 2 + 2Χ + Χ 3 ; 8) Χ + 4Χ 2 ;
4) 3Χ 2 – ; 9) 
+ 3Χ – 6;
5) 5Χ 2 – 3Χ; 10) 7Χ 2 .
Ποια τετραγωνικά τριώνυμα έχουν ρίζα 0;
Εργασία 3. Μπορεί ένα τετράγωνο τριώνυμο να έχει τρεις ρίζες; Γιατί; Πόσες ρίζες έχει ένα τετράγωνο τριώνυμο; Χ 2 + Χ – 5?
IV. Διαμόρφωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων.
Γυμνάσια:
1. № 55, № 56, № 58.
2. Νο. 59 (α, γ, δ), Νο. 60 (α, γ).
Σε αυτήν την εργασία δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τις ρίζες των τετραγωνικών τριωνύμων. Αρκεί να βρούμε το διακριτικό τους και να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται.
α) 5 Χ 2 – 8Χ + 3 = 0;
ρε 1 = 16 – 15 = 1;
ρε 1 0, που σημαίνει ότι αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο έχει δύο ρίζες.
β) 9 Χ 2 + 6Χ + 1 = 0;
ρε 1 = 9 – 9 = 0;
ρε 1 = 0, που σημαίνει ότι το τετράγωνο τριώνυμο έχει μία ρίζα.
γ) –7 Χ 2 + 6Χ – 2 = 0;
7Χ 2 – 6Χ + 2 = 0;
ρε 1 = 9 – 14 = –5;
Αν μένει χρόνος, μπορείτε να κάνετε το Νο. 63.
Διάλυμα
Αφήνω τσεκούρι 2 + bx + ντοείναι ένα δεδομένο τετραγωνικό τριώνυμο. Επειδή ένα+ σι +
+ γ= 0, τότε μια από τις ρίζες αυτού του τριωνύμου είναι ίση με 1. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, η δεύτερη ρίζα είναι ίση με . Σύμφωνα με την προϋπόθεση, Με = 4ΕΝΑ, άρα η δεύτερη ρίζα αυτού του τετραγωνικού τριωνύμου είναι ίση με 
.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: 1 και 4.
V. Περίληψη μαθήματος.
Συχνές ερωτήσεις:
– Ποια είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου;
– Ποιο πολυώνυμο λέγεται τετραγωνικό τριώνυμο;
– Πώς να βρείτε τις ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου;
– Ποια είναι η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου;
– Πόσες ρίζες μπορεί να έχει ένα τετράγωνο τριώνυμο; Από τι εξαρτάται αυτό;
Σχολική εργασία στο σπίτι:Νο. 57, Νο. 59 (β, δ, στ), Νο. 60 (β, δ), Νο. 62.