La inducción es un método para obtener un enunciado general a partir de observaciones particulares. En el caso de que una afirmación matemática se refiera a un número finito de objetos, se puede probar realizando pruebas para cada objeto. Por ejemplo, la afirmación: “Todo número par de dos cifras es la suma de dos números primos” se deriva de una serie de igualdades que son bastante factibles de establecer:
10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.
Un método de prueba en el que se verifica una afirmación en un número finito de casos que agotan todas las posibilidades se llama inducción completa. Este método se utiliza relativamente raramente, ya que los enunciados matemáticos, por regla general, no se refieren a conjuntos de objetos finitos, sino infinitos. Por ejemplo, la afirmación sobre los números pares de dos dígitos, demostrada anteriormente por inducción completa, es sólo un caso especial del teorema: "Todo número par es la suma de dos números primos". Este teorema aún no ha sido probado ni refutado.
La inducción matemática es un método para probar un determinado enunciado para cualquier número natural n basado en el principio de inducción matemática: “Si un enunciado es verdadero para n=1 y su validez para n=k implica la validez de este enunciado para n=k +1, entonces es cierto para todos los n " El método de prueba por inducción matemática es el siguiente:
1) base de inducción: prueban o verifican directamente la validez del enunciado para n=1 (a veces n=0 o n=n 0);
2) paso de inducción (transición): asumen la validez del enunciado para algún número natural n=k y, basándose en este supuesto, prueban la validez del enunciado para n=k+1.
Problemas con soluciones
1. Demuestre que para cualquier número natural n, el número 3 2n+1 +2 n+2 es divisible por 7.
Denotemos A(n)=3 2n+1 +2 n+2.
Fondo de inducción. Si n=1, entonces A(1)=3 3 +2 3 =35 y, obviamente, es divisible por 7.
Supuesto de inducción. Sea A(k) divisible por 7.
Transición de inducción. Demostremos que A(k+1) es divisible por 7, es decir, la validez del planteamiento del problema para n=k.
A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2·2=
3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.
El último número es divisible por 7, ya que es la diferencia de dos números enteros divisible por 7. Por tanto, 3 2n+1 +2 n+2 es divisible por 7 para cualquier número natural n.
2. Demuestre que para cualquier número natural n, el número 2 3 n +1 es divisible por 3 n+1 y no divisible por 3 n+2.
Introduzcamos la notación: a i =2 3 i +1.
Para n=1 tenemos, y 1 =2 3 +1=9. Entonces, un 1 es divisible por 3 2 y no divisible por 3 3.
Sea para n=k el número a k es divisible por 3 k+1 y no divisible por 3 k+2, es decir, a k =2 3 k +1=3 k+1 m, donde m no es divisible por 3. Entonces
y k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=
3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).
Obviamente, a k+1 es divisible por 3 k+2 y no divisible por 3 k+3.
Por tanto, la afirmación queda demostrada para cualquier número natural n.
3. Se sabe que x+1/x es un número entero. Demuestre que x n +1/x n también es un número entero para cualquier número entero n.
Introduzcamos la notación: a i =х i +1/х i e inmediatamente observemos que a i =а –i, así que seguiremos hablando de índices naturales.
Nota: un 1 es un número entero por convención; y 2 es un número entero, ya que a 2 = (a 1) 2 –2; y 0 = 2.
Supongamos que ak es un número entero para cualquier número natural k que no exceda n. Entonces a 1 ·a n es un número entero, pero a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 y a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . Sin embargo, n–1, según la hipótesis de inducción, es un número entero. Esto significa que n+1 también es un número entero. Por lo tanto, x n +1/x n es un número entero para cualquier número entero n, que es lo que había que demostrar.
4. Demuestre que para cualquier número natural n mayor que 1 la doble desigualdad es cierta
5. Demuestre que para n natural > 1 y |x|
(1–x)n +(1+x)n
Para n=2 la desigualdad es verdadera. En realidad,
(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2
Si la desigualdad es cierta para n=k, entonces para n=k+1 tenemos
(1–x) k+1 +(1+x) k+1
La desigualdad ha sido probada para cualquier número natural n > 1.
6. Hay n círculos en un plano. Demuestre que para cualquier disposición de estos círculos, el mapa que forman se puede colorear correctamente con dos colores.
Utilicemos el método de inducción matemática.
Para n=1 la afirmación es obvia.
Supongamos que la afirmación es verdadera para cualquier mapa formado por n círculos, y que haya n+1 círculos en el plano. Al eliminar uno de estos círculos, obtenemos un mapa que, debido a la suposición hecha, se puede colorear correctamente con dos colores (ver la primera imagen a continuación).
Luego restauraremos el círculo descartado y en un lado del mismo, por ejemplo en el interior, cambiaremos el color de cada zona al contrario (ver la segunda imagen). Es fácil ver que en este caso obtendremos un mapa correctamente coloreado con dos colores, pero sólo ahora para n+1 círculos, que es lo que había que demostrar.
7. Llamaremos “hermoso” a un polígono convexo si se cumplen las siguientes condiciones:
1) cada uno de sus vértices está pintado en uno de tres colores;
2) dos vértices adyacentes cualesquiera están pintados en diferentes colores;
3) al menos un vértice del polígono está pintado en cada uno de los tres colores.
Demuestre que cualquier n-gon hermoso puede cortarse mediante diagonales disjuntas en triángulos “hermosos”.
Utilicemos el método de inducción matemática.
Fondo de inducción. Con el menor n=3 posible, el planteamiento del problema es obvio: los vértices del “hermoso” triángulo están pintados en tres colores diferentes y no se necesitan cortes.
Supuesto de inducción. Supongamos que el planteamiento del problema es cierto para cualquier n-gon “hermoso”.
Paso de inducción. Consideremos un “hermoso” (n+1)-gón arbitrario y demostremos, usando la hipótesis de inducción, que puede ser cortado por ciertas diagonales en triángulos “hermosos”. Denotemos por A 1, A 2, A 3, ... An, An+1 los vértices sucesivos del (n+1)-gon. Si solo un vértice de un (n+1)-gon está coloreado en cualquiera de los tres colores, entonces al conectar este vértice con diagonales a todos los vértices que no son adyacentes a él, obtenemos la partición necesaria del (n+1) )-gon en triángulos “hermosos”.
Si al menos dos vértices de un (n+1)-gon están coloreados en cada uno de los tres colores, entonces denotamos el color del vértice A 1 con el número 1, y el color del vértice A 2 con el número 2. Sea k el número más pequeño tal que el vértice A k esté coloreado en el tercer color. Está claro que k > 2. Cortemos el triángulo A k–2 A k–1 A k del (n+1)-gon con diagonal A k–2 A k. De acuerdo con la elección del número k, todos los vértices de este triángulo están pintados en tres colores diferentes, es decir, este triángulo es "hermoso". El n-gón convexo A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , que queda, también, en virtud del supuesto inductivo, será "hermoso", lo que significa está dividido en triángulos “hermosos”, que necesitaban ser probados.
8. Demuestre que en un n-gón convexo es imposible elegir más de n diagonales para que dos de ellas tengan un punto común.
Realicemos la demostración mediante el método de inducción matemática.
Demostremos una afirmación más general: en un n-gón convexo es imposible elegir más de n lados y diagonales para que dos de ellos tengan un punto común. Para n = 3 la afirmación es obvia. Supongamos que esta afirmación es verdadera para un n-gón arbitrario y, usándola, probaremos su validez para un (n+1)-gón arbitrario.
Supongamos que esta afirmación no es cierta para un (n+1)-gon. Si no surgen más de dos lados o diagonales seleccionados de cada vértice de un (n+1)-gon, entonces no se seleccionan más de n+1 de ellos en total. Por tanto, de algún vértice A existen al menos tres lados o diagonales seleccionados AB, AC, AD. Sea AC entre AB y AD. Dado que cualquier lado o diagonal que emerge del punto C y que no sea CA no puede cruzar simultáneamente a AB y AD, solo una diagonal elegida CA emerge del punto C.
Descartando el punto C junto con la diagonal CA, obtenemos un n-gón convexo en el que se seleccionan más de n lados y diagonales, dos de los cuales tienen un punto común. Por lo tanto, llegamos a una contradicción con la suposición de que la afirmación es verdadera para un n-gon convexo arbitrario.
Entonces, para un (n+1)-gon la afirmación es verdadera. Según el principio de inducción matemática, la afirmación es cierta para cualquier n-gón convexo.
9. Hay n rectas en un plano, de las cuales no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. ¿En cuántas partes dividen estas líneas al avión?
Usando dibujos elementales, puede verificar fácilmente que una línea recta divide el plano en 2 partes, dos líneas rectas en 4 partes, tres líneas rectas en 7 partes y cuatro líneas rectas en 11 partes.
Denotemos por N(n) el número de partes en las que n rectas dividen el plano. Se puede notar que
norte(2)=norte(1)+2=2+2,
N(3)=N(2)+3=2+2+3,
N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.
Es natural suponer que
N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,
o, como es fácil de establecer, usando la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética,
N(n)=1+n(n+1)/2.
Probemos la validez de esta fórmula utilizando el método de inducción matemática.
Para n=1 la fórmula ya ha sido comprobada.
Habiendo hecho el supuesto de inducción, consideramos k+1 rectas que satisfacen las condiciones del problema. Seleccionemos k líneas rectas de ellas de manera arbitraria. Según la hipótesis de inducción, dividirán el avión en 1+ k(k+1)/2 partes. La (k+1)ésima recta restante será dividida por las k rectas seleccionadas en k+1 partes y, por tanto, pasará por la (k+1)ésima parte en la que ya se ha dividido el plano, y cada una de estas partes se dividirá en 2 partes, es decir, se agregará otra k+1 parte. Entonces,
N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,
Q.E.D.
10. En la expresión x 1: x 2: ... : x n, se colocan paréntesis para indicar el orden de las acciones y el resultado se escribe como una fracción:
(en este caso, cada una de las letras x 1, x 2, ..., x n está en el numerador de la fracción o en el denominador). ¿Cuántas expresiones diferentes se pueden obtener de esta forma con todas las formas posibles de colocar paréntesis?
En primer lugar, está claro que en la fracción resultante x 1 estará en el numerador. Es casi tan obvio que x 2 estará en el denominador sin importar cómo se coloquen los paréntesis (el signo de división delante de x 2 se refiere a x 2 mismo o a alguna expresión que contenga x 2 en el numerador).
Se puede suponer que todas las demás letras x 3, x 4, ..., x n se pueden ubicar en el numerador o denominador de forma completamente arbitraria. De ello se deduce que en total puedes obtener 2 n–2 fracciones: cada una de las n–2 letras x 3, x 4, ..., x n puede aparecer independientemente de las demás en el numerador o denominador.
Probemos esta afirmación por inducción.
Con n=3 puedes obtener 2 fracciones:
entonces la afirmación es cierta.
Supongamos que es cierto para n=k y demostremos que es cierto para n=k+1.
Sea la expresión x 1:x 2: ... :x k después de colocar algunos corchetes en forma de una determinada fracción Q. Si en esta expresión en lugar de x k sustituimos x k:x k+1, entonces x k será en el mismo lugar que estaba en la fracción Q, y x k+1 no estará donde estaba x k (si x k estaba en el denominador, entonces x k+1 estará en el numerador y viceversa).
Ahora demostraremos que podemos sumar x k+1 al mismo lugar donde se encuentra x k. En la fracción Q, después de colocar los corchetes, necesariamente habrá una expresión de la forma q:x k, donde q es la letra x k–1 o alguna expresión entre paréntesis. Reemplazando q:x k con la expresión (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1), obviamente obtenemos la misma fracción Q, donde en lugar de x k hay x k ·x k+1 .
Por lo tanto, el número de todas las fracciones posibles en el caso n=k+1 es 2 veces mayor que en el caso n=k y es igual a 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2. Así queda probada la afirmación.
Respuesta: 2 n–2 fracciones.
Problemas sin soluciones
1. Demuestre que para cualquier n natural:
a) el número 5 n –3 n +2n es divisible por 4;
b) el número n 3 +11n es divisible por 6;
c) el número 7 n +3n–1 es divisible por 9;
d) el número 6 2n +19 n –2 n+1 es divisible por 17;
e) el número 7 n+1 +8 2n–1 es divisible por 19;
e) el número 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 es divisible por 27.
2. Demuestre que (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).
3. Demuestre la desigualdad |sen nx| n|pecado x| para cualquier n natural.
4. Encuentre números naturales a, b, c que no sean divisibles por 10 y tales que para cualquier n natural los números a n + b n y c n tengan los mismos dos últimos dígitos.
5. Demuestre que si n puntos no se encuentran en la misma recta, entonces entre las rectas que los conectan hay al menos n diferentes.
Lección #50
Tema de la lección : Método de inducción matemática.
El propósito de la lección: Familiarizarse conla esencia del método de inducción matemática, aprenda a aplicar este método al resolver problemas de prueba, continúe desarrollando habilidades computacionales y continúe desarrollando conocimientos matemáticos.
Durante las clases.
Organizar el tiempo. Establecer objetivos de lección
Activación de conocimientos básicos.
Definición de progresión geométrica, fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.
Repita la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.
Repita la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente.
3. Aprender material nuevo
Al resolver muchos problemas, al demostrar la validez de proposiciones matemáticas, así como al derivar fórmulas, a menudo se utiliza el razonamiento, que se llamapor el método de inducción matemática.
Por ejemplo, usaste este tipo de razonamiento al derivar la fórmulanorteésimo término, así como al derivar la fórmula para la suma del primernortemiembros de progresiones aritméticas y geométricas.
La esencia de este método es la siguiente: si necesita establecer la validez de algún enunciado en el que aparece un número naturalnorte, Eso:
1) se comprueba que la declaración prevista se cumple para un valor específiconorte(por ejemplo paranorte=1).
2) se supone que la afirmación es verdadera para algún valor arbitrarionorte = k , y se demuestra que en este caso también es cierto paranorte = k + 1. De esto concluimos que la afirmación es verdadera para cualquier valor.norte, porque su justicia fue descubierta cuandonorte=1, y según lo demostrado también es válido paranorte= 2, y esto es cierto paranorte= 2, entonces también es cierto paranorte= 3, etc.
Ahora veamos ejemplos del uso de este método.
Ejemplo 1. Demostremos que para cada naturalnortehay igualdad
La fórmula es correcta paranorte= 1, ya que:
Supongamos que la fórmula es correcta paranorte = k .
Probemos que en este caso también es cierto paranorte = k+ 1, es decir
La verificación directa mostró que la fórmula es correcta cuandonorte =1; por lo tanto, también será válido paranorte= 2, y por lo tanto ennorte= 3, por lo tanto, ennorte = 4 y en general para cualquier natural.norte.
4.Resolución de problemas
№249(a)
En este problema necesitas probar la fórmula.norte – thMiembro de una progresión aritmética utilizando el método de inducción matemática.
Ennorte=1 tenemos un 1 =un 1.
Supongamos que esta fórmula es cierta parakésimo término, es decir, la igualdad a k = a 1 + d( k-1)
Demostremos que en este caso esta fórmula también es válida para (k+1)º miembro. En realidad,
A k +1 = a 1 + d( k+1-1) = un 1 + dk
Por otro lado, por definición, arif. prog. A k +1 = A k + d
Dado que los lados izquierdos de las dos últimas expresiones son iguales = y los lados derechos son iguales:
A k + d= un 1 + dko un k = a 1 + d( k-1)
La igualdad correcta resultante nos permite afirmar que la fórmulanorteel décimo término de una progresión aritmética es adecuado para cualquier naturalnorte
№ 255
Demostremos que el número es 11. n+1 +12 2 norte -1 por todos los valores naturalesnortedivisible por 133
Ennorte=1 tenemos 11 1+1 +12 2*1-1 =133, 133 dividido por 133
Supongamos que cuandonorte= kcantidad 11 k +1 +12 2 k -1 divisible por 133
Demostremos que esta suma es divisible por 133 ennorte= k+1, es decir once k +2 +12 2 k +1 divisible por 133
11 k+2 +12 2k+1 =11*11 k +1 +144*12 k-1 =11*11 k +1 +11*12 2k-1 +133*12 2k-1 =11(11 k+1 +12 2k-1 )+133*12 2k-1
Cada término de la suma resultante se divide por 133. Por lo tanto, 11 k +2 +12 2 k +1 también dividir por 133.
5. Reflexión
6. Configuración de D/z
§15 resolver núm. 251
Liceo MBOU "Técnico y Económico"
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
NOTA EXPLICATIVA
Se compiló el desarrollo metodológico “Método de inducción matemática” para estudiantes del décimo grado del perfil matemático.
Objetivos principales: presentar a los estudiantes el método de inducción matemática y enseñarles a aplicarlo en la resolución de diversos problemas.
El desarrollo metodológico aborda cuestiones de matemáticas elementales: se proponen problemas de divisibilidad, prueba de identidades, prueba de desigualdades, problemas de diversos grados de complejidad, incluidos problemas propuestos en las Olimpíadas.
El papel de las conclusiones inductivas en las ciencias experimentales es muy importante. Indican aquellas disposiciones de las que luego se extraen conclusiones adicionales mediante deducción. Nombre método de inducción matemática engañoso: de hecho, este método es deductivo y proporciona pruebas rigurosas de afirmaciones adivinadas mediante inducción. El método de inducción matemática ayuda a identificar conexiones entre diferentes ramas de las matemáticas y ayuda al desarrollo de la cultura matemática del estudiante.
Definición del método de inducción matemática. Inducción completa e incompleta. Prueba de desigualdades. Prueba de identidades. Resolver problemas de divisibilidad. Resolución de diversos problemas sobre el tema “Método de inducción matemática”.
LITERATURA PARA PROFESORES
1. M.L.Galitsky. Estudio en profundidad de la asignatura de álgebra y análisis matemático. – M. Educación 1986.
2. L.I.Zvavich. Álgebra y los inicios del análisis. Materiales didácticos. M. Avutarda.2001.
3. N.Ya.Vilenkin. Álgebra y análisis matemático. M Ilustración.1995.
4. Yu.V.Mikheev. Método de inducción matemática. NSU.1995.
LITERATURA PARA ESTUDIANTES
1. N.Ya.Vilenkin. Álgebra y análisis matemático. M Ilustración.1995.
2. Yu.V.Mikheev. Método de inducción matemática. NSU.1995.
PALABRAS CLAVE
Inducción, axioma, principio de inducción matemática, inducción completa, inducción incompleta, enunciado, identidad, desigualdad, divisibilidad.
APÉNDICE DIDÁCTICO DEL TEMA
"MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA".
Lección 1.
Definición del método de inducción matemática.
El método de inducción matemática es uno de los métodos más eficaces para buscar nuevos resultados y demostrar la veracidad de las suposiciones formuladas. Aunque este método en matemáticas no es nuevo, el interés por él no disminuye. El método de inducción matemática fue utilizado por primera vez de forma clara en el siglo XVII por el destacado científico francés Blaise Pascal para demostrar las propiedades del triángulo numérico, que desde entonces lleva su nombre. Sin embargo, la idea de la inducción matemática era conocida por los antiguos griegos. El método de inducción matemática se basa en el principio de inducción matemática, que se acepta como un axioma. Veamos la idea de inducción matemática usando ejemplos.
Ejemplo No. 1.
El cuadrado se divide en dos partes mediante un segmento, luego una de las partes resultantes se divide en dos partes, y así sucesivamente. Determina en cuántas partes se dividirá el cuadrado. PAG¿pasos?
Solución.
Después del primer paso, según la condición, obtendremos 2 partes. En el segundo paso, dejamos una parte sin cambios y dividimos la segunda en 2 partes y obtenemos 3 partes. En el tercer paso, dejamos 2 partes sin cambios, dividimos la tercera en dos partes y obtenemos 4 partes. En el cuarto paso, dejamos 3 partes sin cambios, dividimos la última parte en dos partes y obtenemos 5 partes. En el quinto paso obtendremos 6 partes. Esto plantea la sugerencia de que a través de PAG pasos que obtendremos (n+1) Parte. Pero esta proposición necesita ser probada. Supongamos que después A pasos en los que se dividirá el cuadrado (k+1) Parte. Luego en (k+1) paso que damos A partes no se modificarán, pero (k+1) dividir la parte en dos partes y obtener (k+2) partes. Te das cuenta de que puedes discutir de esta manera todo el tiempo que quieras, hasta el infinito. Es decir, nuestra suposición es que a través de PAG pasos en los que se dividirá el cuadrado (n+1) parte queda probada.
Ejemplo No. 2.
Mi abuela tenía una nieta a la que le encantaba mucho la mermelada, y sobre todo la que venía en tarro de un litro. Pero mi abuela no me permitió tocarlo. Y las nietas planearon engañar a su abuela. Decidió comer 1/10 de litro de este frasco todos los días y llenarlo con agua, mezclando bien. ¿Cuántos días tardará la abuela en descubrir el engaño si la mermelada sigue teniendo el mismo aspecto al diluirla a la mitad con agua?
Solución.
Vamos a encontrar cuánta mermelada pura queda en el frasco después PAG días. Después del primer día quedará en el frasco una mezcla compuesta por 9/10 de mermelada y 1/10 de agua. Después de dos días, 1/10 de la mezcla de agua y mermelada desaparecerá del frasco y permanecerá (1 litro de la mezcla contiene 9/10 litros de mermelada, 1/10 litro de la mezcla contiene 9/100 litros de mermelada). )
9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 litros de mermelada. Al tercer día desaparecerá del tarro 1/10 de litro de una mezcla compuesta por 81/100 de mermelada y 19/100 de agua. 1 litro de mezcla contiene 81/100 litros de mermelada, 1/10 litro de mezcla contiene 81/1000 litros de mermelada. 81/100 – 81/1000=
729/1000=(9/10) A los 3 días quedarán 3 litros de mermelada y el resto lo absorberá el agua. Surge un patrón. A través de PAG días restantes en el banco (9/10) PAG Me atasco. Pero esto, nuevamente, es sólo nuestra suposición.
Dejar A– un número natural arbitrario. Supongamos que después A días quedarán (9/10) litros de mermelada en el frasco. Veamos qué habrá en el banco otro día, es decir, en (k+1) día. Desaparecerá del frasco 1/10l una mezcla que consiste en (9/10) A yo mermelada y agua. EN 1 litro la mezcla es (9/10) A yo mermelada, en 1/10l mezclas (9/10) k+1 yo mermelada. Ahora podemos decir con seguridad que a través de PAG días restantes en el banco (9/10) PAG yo mermelada. En 6 días el banco tendrá 531444/1000000l mermelada, después de 7 días - 4782969/10000000l mermelada, es decir, menos de la mitad.
Respuesta: Después de 7 días, la abuela descubrirá el engaño.
Intentemos resaltar las cosas más importantes para resolver los problemas considerados. Comenzamos a resolver cada uno de ellos considerando casos individuales o, como dicen, especiales. Luego, basándonos en nuestras observaciones, hicimos algunas suposiciones. P(n), dependiendo de la naturaleza PAG.
la declaración ha sido verificada, es decir, probada P(1), P(2), P(3);
sugerido que P(n) valido para p=k y concluyó que entonces será cierto en el próximo norte, norte=k+1.
Y luego razonaron algo como esto: P(1) bien, P(2) bien, P(3) bien, P(4) cierto... eso significa correcto Páginas).
El principio de inducción matemática.
Declaración P(n), dependiendo de la naturaleza PAG, válido para todo natural PAG, Si
1) se ha probado la validez de la declaración cuando norte=1;
2) de la suposición de la validez de la declaración P(n) en p=k debería
justicia P(n) en norte=k+1.
En matemáticas, el principio de inducción matemática se elige, por regla general, como uno de los axiomas que definen la serie natural de números y, por tanto, se acepta sin prueba. El método de prueba que utiliza el principio de inducción matemática suele denominarse método de inducción matemática. Tenga en cuenta que este método se usa ampliamente para demostrar teoremas, identidades, desigualdades, resolver problemas de divisibilidad y muchos otros problemas.
Lección 2
Inducción completa e incompleta.
En el caso de que una afirmación matemática se refiera a un número finito de objetos, se puede demostrar comprobando para cada objeto, por ejemplo, la afirmación "Todo número par de dos cifras es la suma de dos números primos". El método de prueba en el que comprobamos un enunciado para un número finito de casos se llama inducción matemática completa. Este método se utiliza relativamente raramente, ya que las declaraciones se consideran con mayor frecuencia en conjuntos infinitos. Por ejemplo, el teorema "Cualquier número par es igual a la suma de dos números primos" aún no ha sido probado ni refutado. Incluso si probáramos este teorema para los primeros mil millones, no nos acercaría ni un paso más a su demostración.
En las ciencias naturales se utiliza la inducción incompleta, comprobando el experimento varias veces y trasladando el resultado a todos los casos.
Ejemplo No. 3.
Adivinemos, mediante inducción incompleta, la fórmula para la suma de cubos de números naturales.
Solución.
1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .
Prueba.
Que sea verdad para p=k.
Demostremos que esto es cierto para norte=k+1.
Conclusión: la fórmula para la suma de cubos de números naturales es válida para cualquier número natural. PAG.
Ejemplo No. 4.
Considere las igualdades y adivine a qué ley general conducen estos ejemplos.
Solución.
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
Ejemplo No. 5.
Escribe las siguientes expresiones como una suma:
1) 
2) 
3)
; 4) 
.
Letra griega "sigma".
Ejemplo No. 6.
Escribe las siguientes cantidades usando el signo 
:
2) 
Ejemplo No. 7.
Escribe las siguientes expresiones como productos:
1) 
3) 
4) 
Ejemplo No. 8.
Escribe las siguientes obras usando el signo. 
(letra griega mayúscula "pi")
1) 
2)
Ejemplo No. 9.
Calcular el valor de un polinomio 
F
(
norte
)=
norte
2
+
norte
+11
, en n=1,2,3,4,5,6,7
se puede suponer que para cualquier naturalezaPAG número F
(
norte
)
simple.
¿Es correcta esta suposición?
Solución.
Si cada término de una suma es divisible por un número, entonces la suma se divide por ese número, 
no es un número primo para ningún número naturalPAG.
El análisis de un número finito de casos juega un papel importante en matemáticas: sin dar una prueba de un enunciado en particular, ayuda a adivinar la formulación correcta de este enunciado si aún no se conoce. Así, Goldbach, miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, llegó a la hipótesis de que cualquier número natural, empezando por dos, es la suma de no más de tres números primos.
Lección 3.
El método de inducción matemática permite probar varias identidades.
Ejemplo No. 10. Demostrémoslo para todos PAG la identidad se mantiene
Solución.
Pongamos 
Necesitamos demostrar que
Probemos que Entonces a partir de la verdad de la identidad
sigue la verdad de la identidad 
Utilizando el principio de inducción matemática, se prueba la verdad de la identidad para todos. PAG.
Ejemplo No. 11.
Probemos la identidad. 
Prueba.
las igualdades resultantes término por término.
; 
. Esto significa que esta identidad es cierta para todos.PAG
.
Lección número 4.
Prueba de identidades mediante el método de inducción matemática.
Ejemplo No. 12.
Probemos la identidad. 
Prueba.
Usando el principio de inducción matemática, demostramos que la igualdad es cierta para todos PAG.
Ejemplo No. 13.
Probemos la identidad. 
Prueba.
Utilizando el principio de inducción matemática, demostramos que la afirmación es cierta para cualquier natural. PAG.
Ejemplo No. 14. Probemos la identidad.
Prueba.
Ejemplo No. 15. Probemos la identidad.
1)
norte=1;
2) para p=k
la igualdad se mantiene 
3) demostramos que la igualdad es válida para p=k+1:
Conclusión: la identidad es válida para cualquier natural. PAG.
Ejemplo No. 16. Probemos la identidad.
Prueba.
Si norte=1
, Eso 
Deja que la identidad se mantenga por p=k.
Demostremos que la identidad es válida para norte=k+1.
Entonces la identidad es verdadera para cualquier natural. PAG.
Lección número 5.
Prueba de identidades mediante el método de inducción matemática.
Ejemplo No. 17. Probemos la identidad.
Prueba.
Si norte=2
, entonces obtenemos la igualdad correcta: 
Sea la igualdad cierta parap=k:
Probemos la validez del enunciado cuando norte=k+1.
Según el principio de inducción matemática, se demuestra la identidad.
Ejemplo No. 18.
Probemos la identidad. 
cuando n≥2.
En norte=2
esta identidad se puede reescribir de una forma muy simple 
y obviamente cierto.
dejar en p=k en realidad
.
Probemos la validez del enunciado cuandon=k+1, es decir, la igualdad se cumple: .
Entonces, hemos demostrado que la identidad es verdadera para cualquier número natural. n≥2.
Ejemplo No. 19. Probemos la identidad.
En norte=1
obtenemos la igualdad correcta: 
Supongamos que cuando p=k También obtenemos la igualdad correcta:
Demostremos que la igualdad es válida para p=k+1:
Entonces la identidad es válida para cualquier número natural. PAG.
Lección número 6.
Resolver problemas de divisibilidad.
Ejemplo No. 20. Demostrar por inducción matemática que
dividido por 6
sin dejar rastro.
Prueba.
En norte=1
hay una división en6
sin dejar rastro, 
.
dejar en p=k
expresión 
múltiple6.
Demostremos que cuando p=k+1
expresión 
múltiple6
.
Cada término es un múltiplo 6 , por lo tanto la suma es múltiplo 6 .
Ejemplo No. 21.
en5
sin dejar rastro.
Prueba.
En norte=1
la expresión se divide sin resto 
.
dejar en p=k
expresión 
también dividido en5
sin dejar rastro.
En p=k+1 dividido por 5 .
Ejemplo No. 22.
Demostrar la divisibilidad de una expresión. 
en16.
Prueba.
En norte=1 múltiple 16 .
dejar en p=k
múltiple16.
En p=k+1
Todos los términos son divisibles por 16: el primero es obvio, el segundo es una suposición y el tercero tiene un número par entre paréntesis.
Ejemplo No. 23.
demostrar divisibilidad 
en676.
Prueba.
Primero demostremos que 
dividido por 
.
En norte=0
.
dejar en p=k
dividido por26
.
Entonces en p=k+1 dividido por 26 .
Ahora realizaremos una prueba del enunciado formulado en el enunciado del problema.
En norte=1 dividido por 676.
En p=k
eso es verdad 
dividido por26
2
.
En p=k+1 .
Ambos términos son divisibles por 676 ; primero, porque demostramos la divisibilidad por 26 expresión entre paréntesis, y la segunda se divide según la hipótesis de inducción.
Lección número 7.
Resolver problemas de divisibilidad.
Ejemplo No. 24.
Pruebalo 
dividido por5
sin dejar rastro.
Prueba.
En norte=1
dividido por5.
En p=k
dividido por5
sin dejar rastro.
En p=k+1 cada término se divide por5 sin dejar rastro.
Ejemplo No. 25.
Pruebalo 
dividido por6
sin dejar rastro.
Prueba.
En norte=1
dividido por6
sin dejar rastro.
dejar en p=k
dividido por6
sin dejar rastro.
En p=k+1 dividido por 6
sin resto, ya que cada término es divisible por6
sin resto: el primer término es por hipótesis de inducción, el segundo es obvio, el tercero es porque 
número par.
Ejemplo No. 26.
Pruebalo 
cuando se divide por9
da el resto 1
.
Prueba.
Probemos que 
dividido por9
.
En norte=1 
dividido por 9
. dejar en p=k
dividido por9
.
En p=k+1 dividido por 9 .
Ejemplo No. 27.
Demostrar que es divisible por15 sin dejar rastro.
Prueba.
En norte=1 dividido por 15 .
dejar en p=k dividido por 15 sin dejar rastro.
En p=k+1
El primer término es múltiplo.15
Según la hipótesis de inducción, el segundo término es múltiplo de15
– obviamente, el tercer término es múltiplo de15
, porque 
múltiple5
(probado en el ejemplo No. 21), los términos cuarto y quinto también son múltiplos5
, lo cual es obvio, entonces la suma es múltiplo15
.
Lección No. 8-9.
Demostrar desigualdades por inducción matemática.
Ejemplo No. 28. 
.
En norte=1 tenemos 
- bien.
dejar en p=k 
- verdadera desigualdad.
En p=k+1
Entonces la desigualdad es válida para cualquier natural. PAG.
Ejemplo No. 29. Demostrar que la desigualdad es verdadera. 
a cualquiera PAG.
En norte=1 obtenemos la desigualdad correcta 4 >1.
dejar en p=k la desigualdad es cierta 
.
Demostremos que cuando p=k+1 la desigualdad es cierta 
Para cualquier natural A hay desigualdad.
Si 
en 
Eso
Ejemplo No. 30.
bajo cualquier naturaleza PAG y cualquier 
Dejar norte=1 
, bien.
Supongamos que la desigualdad es válida para p=k: 
.
En p=k+1
Ejemplo No. 31. Demostrar la validez de la desigualdad.
bajo cualquier naturaleza PAG.
Primero demostremos que para cualquier natural t la desigualdad es cierta
Multipliquemos ambos lados de la desigualdad por 
. Obtenemos una desigualdad equivalente o 
; 
; - esta desigualdad es válida para cualquier natural t.
En norte=1 la desigualdad original es correcta 
; 
; 
.
Sea la desigualdad válida para p=k: 
.
En p=k+1 
Lección número 10.
Resolver problemas sobre el tema.
Método de inducción matemática.
Ejemplo No. 32. Demuestre la desigualdad de Bernoulli.
Si 
, entonces para todos los valores naturalesPAG
la desigualdad se mantiene
Prueba.
En norte=1
la desigualdad que se demuestra toma la forma 
y obviamente justo. Supongamos que es cierto parap=k
, eso es lo que 
.
Ya que por condición 
, Eso 
, y por lo tanto la desigualdad no cambiará de significado cuando ambas partes se multipliquen por 
:
Porque 
, entonces entendemos eso
.
Entonces, la desigualdad es verdadera cuando norte=1, y de su verdad en p=k se deduce que es cierto incluso si norte=k+1. Esto significa que, en virtud de la inducción matemática, es válido para todos los fenómenos naturales. PAG.
Por ejemplo, 
Ejemplo No. 33.
Encuentra todos los valores naturales.PAG
, para lo cual la desigualdad es cierta 
Solución.
En norte=1 la desigualdad es justa. En norte=2 La desigualdad también es cierta.
En norte=3 la desigualdad ya no se mantiene. Sólo cuando n=6 la desigualdad se cumple, por lo que podemos tomar como base de la inducción n=6.
Supongamos que la desigualdad es cierta para algún natural A:
Considere la desigualdad
La última desigualdad se satisface si 
Los trabajos de prueba sobre el tema p=1 se dan de forma recurrente: p≥5, donde PAG- -número natural.
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La palabra inducción en ruso significa guía y las conclusiones basadas en observaciones y experimentos, es decir, se llaman inductivas. obtenido por inferencia de lo particular a lo general.
Por ejemplo, todos los días observamos que el Sol sale por el este. Por tanto, podéis estar seguros de que mañana aparecerá en el este y no en el oeste. Llegamos a esta conclusión sin recurrir a ninguna suposición sobre el motivo del movimiento del Sol a través del cielo (además, este movimiento en sí resulta aparente, ya que el globo en realidad se está moviendo). Y, sin embargo, esta conclusión inductiva describe correctamente las observaciones que haremos mañana.
El papel de las conclusiones inductivas en las ciencias experimentales es muy importante. Indican aquellas disposiciones de las que luego se extraen conclusiones adicionales mediante deducción. Y aunque la mecánica teórica se basa en las tres leyes del movimiento de Newton, estas leyes en sí mismas fueron el resultado de un pensamiento profundo a través de datos experimentales, en particular las leyes del movimiento planetario de Kepler, que derivó del procesamiento de muchos años de observaciones del astrónomo danés Tycho. Brahe. La observación y la inducción resultan útiles en el futuro para aclarar los supuestos planteados. Después de los experimentos de Michelson para medir la velocidad de la luz en un medio en movimiento, resultó necesario aclarar las leyes de la física y crear la teoría de la relatividad.
En matemáticas, el papel de la inducción es en gran medida el de sustentar la axiomática elegida. Después de que una larga práctica demostró que un camino recto siempre es más corto que uno curvo o quebrado, fue natural formular un axioma: para tres puntos cualesquiera A, B y C, la desigualdad
El concepto de seguimiento, que es la base de la aritmética, también surgió de las observaciones de la formación de soldados, barcos y otros conjuntos ordenados.
Sin embargo, no se debe pensar que esto agota el papel de la inducción en matemáticas. Por supuesto, no deberíamos probar experimentalmente teoremas deducidos lógicamente a partir de axiomas: si no se cometieron errores lógicos durante la derivación, entonces son verdaderos en la medida en que los axiomas que aceptamos sean verdaderos. Pero de este sistema de axiomas se pueden deducir muchas afirmaciones. Y la selección de aquellas afirmaciones que necesitan ser probadas es nuevamente sugerida por la inducción. Esto es lo que permite separar teoremas útiles de los inútiles, indica qué teoremas pueden resultar verdaderos e incluso ayuda a delinear el camino de la demostración.
La esencia del método de inducción matemática.
En muchas ramas de la aritmética, el álgebra, la geometría y el análisis, es necesario demostrar la verdad de las oraciones A(n) dependiendo de una variable natural. La prueba de la verdad de la proposición A(n) para todos los valores de una variable a menudo puede realizarse mediante el método de inducción matemática, que se basa en el siguiente principio.
La proposición A(n) se considera verdadera para todos los valores naturales de la variable si se cumplen las dos condiciones siguientes:
La proposición A(n) es verdadera para n=1.
Del supuesto de que A(n) es verdadero para n=k (donde k es cualquier número natural), se deduce que es verdadero para el siguiente valor n=k+1.
Este principio se llama principio de inducción matemática. Suele elegirse como uno de los axiomas que definen la serie natural de números y, por tanto, se acepta sin prueba.
El método de inducción matemática significa el siguiente método de prueba. Si desea probar la verdad de una oración A(n) para todo n natural, entonces, en primer lugar, debe verificar la verdad del enunciado A(1) y, en segundo lugar, asumir la verdad del enunciado A(k), Intente demostrar que el enunciado A(k +1) es verdadero. Si esto puede demostrarse y la prueba sigue siendo válida para cada valor natural de k, entonces, de acuerdo con el principio de inducción matemática, la proposición A(n) se reconoce como verdadera para todos los valores de n.
El método de inducción matemática se utiliza ampliamente para demostrar teoremas, identidades, desigualdades, para resolver problemas de divisibilidad, para resolver algunos problemas geométricos y muchos otros.
El método de inducción matemática en la resolución de problemas sobre
divisibilidad
Utilizando el método de inducción matemática, puedes probar varias afirmaciones sobre la divisibilidad de los números naturales.
La siguiente afirmación se puede demostrar de forma relativamente sencilla. Demostremos cómo se obtiene mediante el método de inducción matemática.
Ejemplo 1. Si n es un número natural, entonces el número es par.
Cuando n=1 nuestra afirmación es verdadera: - un número par. Supongamos que es un número par. Como 2k es un número par, entonces 
incluso. Entonces, la paridad se prueba para n=1, la paridad se deduce de la paridad 
.Esto significa que es par para todos los valores naturales de n.
Ejemplo 2.Demostrar la veracidad de la sentencia.
A(n)=(el número 5 es múltiplo de 19), n es un número natural.
Solución.
La afirmación A(1)=(un número divisible por 19) es verdadera.
Supongamos que para algún valor n=k
A(k)=(número divisible por 19) es verdadero. Entonces, desde
Obviamente, A(k+1) también es cierta. De hecho, el primer término es divisible por 19 debido al supuesto de que A(k) es verdadero; el segundo término también es divisible por 19 porque contiene un factor de 19. Ambas condiciones del principio de inducción matemática se cumplen, por lo tanto, la proposición A(n) es verdadera para todos los valores de n.
Aplicación del método de inducción matemática a
serie sumatoria
Ejemplo 1.Probar fórmula
, n es un número natural.
Solución.
Cuando n=1, ambos lados de la igualdad se vuelven uno y, por tanto, se cumple la primera condición del principio de inducción matemática.
Supongamos que la fórmula es correcta para n=k, es decir
.
Sumemos a ambos lados de esta igualdad y transformemos el lado derecho. Entonces obtenemos
Por lo tanto, del hecho de que la fórmula es verdadera para n=k, se deduce que también lo es para n=k+1. Esta afirmación es cierta para cualquier valor natural de k. Por tanto, también se cumple la segunda condición del principio de inducción matemática. La fórmula está probada.
Ejemplo 2.Demuestre que la suma de los primeros n números de la serie natural es igual a .
Solución.
Denotemos la cantidad requerida, es decir 
.
Cuando n=1 la hipótesis es verdadera.
Dejar 
. demostremos que 
.
En efecto,
El problema esta resuelto.
Ejemplo 3.Demuestre que la suma de los cuadrados de los primeros n números de la serie natural es igual a 
.
Solución.
Dejar .
.
pretendamos que 
. Entonces
Y finalmente.
Ejemplo 4. Pruebalo .
Solución.
Si entonces
Ejemplo 5. Pruebalo
Solución.
Cuando n=1 la hipótesis es obviamente cierta.
Dejar .
Demostrémoslo.
En realidad,
Ejemplos de aplicación del método de inducción matemática a
prueba de desigualdades
Ejemplo 1.Demuestre que para cualquier número natural n>1
.
Solución.
Denotaremos el lado izquierdo de la desigualdad por .
Por tanto, para n=2 la desigualdad es válida.
Dejar por algunos k. Demostremos que entonces y . Tenemos 
, .
Comparando y tenemos 
, es decir. 
.
Para cualquier entero positivo k, el lado derecho de la última igualdad es positivo. Es por eso . Pero eso también significa.
Ejemplo 2.Encuentra el error en el razonamiento.
Declaración. Para cualquier número natural n la desigualdad es cierta.
Prueba.
. (1)
Demostremos que entonces la desigualdad también es válida para n=k+1, es decir
.
De hecho, no menos de 2 para cualquier k natural. Sumemos al lado izquierdo de la desigualdad (1) y al lado derecho 2. Obtenemos una desigualdad justa, o 
. La afirmación ha sido probada.
Ejemplo 3.Pruebalo 
, donde >-1, , n es un número natural mayor que 1.
Solución.
Para n=2 la desigualdad es verdadera, ya que .
Sea la desigualdad cierta para n=k, donde k es algún número natural, es decir
. (1)
Demostremos que entonces la desigualdad también es válida para n=k+1, es decir
. (2)
De hecho, por condición, por lo tanto la desigualdad es verdadera
, (3)
obtenido de la desigualdad (1) multiplicando cada parte por . Reescribamos la desigualdad (3) de la siguiente manera: . Descartando el término positivo en el lado derecho de la última desigualdad, obtenemos una desigualdad justa (2).
Ejemplo 4. Pruebalo
(1)
donde , , n es un número natural mayor que 1.
Solución.
Para n=2 la desigualdad (1) toma la forma
. (2)
Dado que , entonces la desigualdad es verdadera.
. (3)
Sumando a cada parte de la desigualdad (3) obtenemos la desigualdad (2).
Esto demuestra que para n=2 la desigualdad (1) es cierta.
Sea la desigualdad (1) cierta para n=k, donde k es algún número natural, es decir
. (4)
Demostremos que entonces la desigualdad (1) también debe ser cierta para n=k+1, es decir
(5)
Multipliquemos ambos lados de la desigualdad (4) por a+b. Dado que, por condición, obtenemos la siguiente desigualdad justa:
. (6)
Para probar la validez de la desigualdad (5), basta demostrar que
, (7)
o, lo que es lo mismo,
. (8)
La desigualdad (8) es equivalente a la desigualdad.
. (9)
Si , entonces , y en el lado izquierdo de la desigualdad (9) tenemos el producto de dos números positivos. Si , entonces , y en el lado izquierdo de la desigualdad (9) tenemos el producto de dos números negativos. En ambos casos, la desigualdad (9) es cierta.
Esto prueba que la validez de la desigualdad (1) para n=k implica su validez para n=k+1.
Método de inducción matemática aplicado a otros.
tareas
La aplicación más natural del método de inducción matemática en geometría, cercana al uso de este método en teoría de números y álgebra, es su aplicación a la resolución de problemas de cálculo geométrico. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1.Calcula el lado de un cuadrado regular inscrito en una circunferencia de radio R.
Solución.
Cuando n=2 correcto 2 norte - un cuadrado es un cuadrado; su lado. Además, según la fórmula de duplicación
encontramos que el lado de un octágono regular 
, lado de un hexágono regular 
, lado de un triángulo regular treinta y dos 
. Por lo tanto, podemos suponer que el lado correcto inscrito 2 norte - cuadrado para cualquier igual
. (1)
Supongamos que el lado de un cuadrado inscrito regular se expresa mediante la fórmula (1). En este caso, según la fórmula de duplicación.
,
de donde se sigue que la fórmula (1) es válida para todos los n.
Ejemplo 2.¿En cuántos triángulos se puede dividir un n-gón (no necesariamente convexo) por sus diagonales disjuntas?
Solución.
Para un triángulo, este número es igual a uno (no se puede trazar una sola diagonal en un triángulo); para un cuadrilátero este número es obviamente dos.
Supongamos que ya sabemos que cada k-gon, donde k
Un
Un 1 Un 2
Sea A 1 A k una de las diagonales de esta partición; divide el n-gon A 1 A 2 ...A n en el k-gon A 1 A 2 ...A k y el (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .Un . Debido a la suposición realizada, el número total de triángulos en la partición será igual a
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
Por tanto, nuestra afirmación está probada para todo n.
Ejemplo 3.Establezca la regla para calcular el número P(n) de formas en que un n-gón convexo puede dividirse en triángulos mediante diagonales disjuntas.
Solución.
Para un triángulo, este número es obviamente igual a uno: P(3)=1.
Supongamos que ya hemos determinado los números P(k) para todo k
Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).
Usando esta fórmula obtenemos consistentemente:
P(4)=P(3)+P(3)=2,
P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,
P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14
etc.
También podrás resolver problemas con gráficas utilizando el método de inducción matemática.
Sea una red de rectas en el plano que conectan algunos puntos y no tienen otros puntos. Llamaremos mapa a esta red de líneas, dados los puntos como sus vértices, segmentos de curvas entre dos vértices adyacentes - los límites del mapa, partes del plano en el que está dividido por fronteras - los países del mapa.
Que se dé algún mapa en el avión. Diremos que está correctamente coloreado si cada uno de sus países está pintado de un color determinado, y dos países cualesquiera que tengan una frontera común están pintados de colores diferentes.
Ejemplo 4.Hay n círculos en el avión. Demuestre que para cualquier disposición de estos círculos, el mapa que forman se puede colorear correctamente con dos colores.
Solución.
Para n=1 nuestra afirmación es obvia.
Supongamos que nuestra afirmación es cierta para cualquier mapa formado por n círculos, y que haya n+1 círculos en el plano. Eliminando uno de estos círculos obtenemos un mapa que, en virtud del supuesto realizado, se puede colorear correctamente con dos colores, por ejemplo, blanco y negro.
El verdadero conocimiento en todos los tiempos se ha basado en establecer un patrón y demostrar su veracidad en determinadas circunstancias. Durante un período tan largo de existencia del razonamiento lógico, se formularon reglas y Aristóteles incluso compiló una lista de "razonamientos correctos". Históricamente, ha sido costumbre dividir todas las inferencias en dos tipos: de lo concreto a lo múltiple (inducción) y viceversa (deducción). Cabe señalar que los tipos de evidencia de particular a general y de general a particular existen sólo en conjunto y no pueden intercambiarse.
Inducción en matemáticas
El término "inducción" tiene raíces latinas y se traduce literalmente como "guía". Tras un estudio más detenido, se puede resaltar la estructura de la palabra, a saber, el prefijo latino - en- (denota una acción dirigida hacia adentro o estar dentro) y -ducción - introducción. Vale la pena señalar que existen dos tipos: inducción completa e incompleta. La forma completa se caracteriza por las conclusiones extraídas del estudio de todos los objetos de una determinada clase.
Incompleto: conclusiones que se aplican a todas las materias de la clase, pero que se basan en el estudio de solo algunas unidades.
La inducción matemática completa es una inferencia basada en una conclusión general sobre toda la clase de cualquier objeto que esté funcionalmente conectado por las relaciones de una serie natural de números basada en el conocimiento de esta conexión funcional. En este caso, el proceso de prueba se desarrolla en tres etapas:
- el primero demuestra la exactitud de la posición de la inducción matemática. Ejemplo: f = 1, inducción;
- la siguiente etapa se basa en el supuesto de que la posición es válida para todos los números naturales. Es decir, f=h es una hipótesis inductiva;
- en la tercera etapa, se prueba la validez de la posición para el número f=h+1, basándose en la exactitud de la posición del punto anterior: esta es una transición de inducción o un paso de inducción matemática. Un ejemplo es el llamado si cae la primera piedra de una fila (base), luego caen todas las piedras de la fila (transición).
Tanto en broma como en serio.
Para facilitar la comprensión, se presentan ejemplos de soluciones que utilizan el método de inducción matemática en forma de problemas de broma. Esta es la tarea “Cola educada”:
- Las reglas de conducta prohíben a un hombre tomar el turno frente a una mujer (en tal situación, a ella se le permite seguir adelante). Según esta afirmación, si el último de la fila es un hombre, entonces todos los demás son hombres.
Un ejemplo sorprendente del método de inducción matemática es el problema del “vuelo adimensional”:
- Se requiere demostrar que en el minibús caben cualquier número de personas. Es cierto que una persona puede caber dentro de un vehículo sin dificultad (base). Pero por muy lleno que esté el minibús, siempre cabe 1 pasajero en él (escalón de inducción).
Círculos familiares
Los ejemplos de resolución de problemas y ecuaciones mediante inducción matemática son bastante comunes. Como ejemplo de este enfoque, considere el siguiente problema.
Condición: hay h círculos en el avión. Se requiere demostrar que, para cualquier disposición de figuras, el mapa que forman se puede colorear correctamente con dos colores.
Solución: cuando h=1 la verdad del enunciado es obvia, por lo que la prueba se construirá para el número de círculos h+1.
Aceptemos el supuesto de que la afirmación es válida para cualquier mapa y que hay h+1 círculos en el plano. Eliminando uno de los círculos del total, podrás obtener un mapa correctamente coloreado con dos colores (blanco y negro).
Al restaurar un círculo eliminado, el color de cada área cambia al opuesto (en este caso, dentro del círculo). El resultado es un mapa correctamente coloreado en dos colores, que es lo que había que demostrar.
Ejemplos con números naturales
La aplicación del método de inducción matemática se muestra claramente a continuación.
Ejemplos de soluciones:
Demuestre que para cualquier h la siguiente igualdad es correcta:
1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.
1. Sea h=1, lo que significa:
R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1
De esto se deduce que para h=1 la afirmación es correcta.
2. Suponiendo que h=d, se obtiene la ecuación:
R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Suponiendo que h=d+1, resulta:
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.
Por lo tanto, se ha demostrado la validez de la igualdad para h=d+1, por lo tanto la afirmación es verdadera para cualquier número natural, como se muestra en el ejemplo de solución por inducción matemática.
Tarea
Condición: se requiere prueba de que para cualquier valor de h la expresión 7 h -1 es divisible por 6 sin resto.
Solución:
1. Digamos h=1, en este caso:
R 1 =7 1 -1=6 (es decir, dividido por 6 sin resto)
Por tanto, para h=1 la afirmación es verdadera;
2. Sean h=d y 7 d -1 divididos por 6 sin resto;
3. La prueba de la validez de la afirmación para h=d+1 es la fórmula:
R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6
En este caso, el primer término es divisible por 6 según el supuesto del primer punto, y el segundo término es igual a 6. La afirmación de que 7 h -1 es divisible por 6 sin resto para cualquier h natural es cierta.
Error de juicio
A menudo se utiliza un razonamiento incorrecto en las pruebas debido a la inexactitud de las construcciones lógicas utilizadas. Esto sucede principalmente cuando se viola la estructura y la lógica de la prueba. Un ejemplo de razonamiento incorrecto es la siguiente ilustración.
Tarea
Condición: se requiere prueba de que cualquier montón de piedras no es un montón.
Solución:
1. Digamos h=1, en este caso hay 1 piedra en la pila y la afirmación es verdadera (base);
2. Sea cierto para h=d que un montón de piedras no es un montón (supuesto);
3. Sea h=d+1, de lo que se deduce que al añadir una piedra más, el conjunto no será un montón. Se sugiere la conclusión de que el supuesto es válido para todos los h naturales.
El error es que no existe una definición de cuántas piedras forman un montón. Esta omisión se denomina generalización apresurada en el método de inducción matemática. Un ejemplo lo muestra claramente.
La inducción y las leyes de la lógica.
Históricamente, siempre “caminan de la mano”. Disciplinas científicas como la lógica y la filosofía los describen en forma de opuestos.
Desde el punto de vista de la ley de la lógica, las definiciones inductivas se basan en hechos y la veracidad de las premisas no determina la exactitud del enunciado resultante. A menudo se obtienen conclusiones con cierto grado de probabilidad y plausibilidad que, naturalmente, deben ser verificadas y confirmadas mediante investigaciones adicionales. Un ejemplo de inducción en lógica sería la siguiente afirmación:
Hay sequía en Estonia, sequía en Letonia, sequía en Lituania.
Estonia, Letonia y Lituania son estados bálticos. Hay sequía en todos los países bálticos.
Del ejemplo podemos concluir que no se puede obtener nueva información o verdad mediante el método de inducción. Lo único que se puede contar es una posible veracidad de las conclusiones. Además, la verdad de las premisas no garantiza las mismas conclusiones. Sin embargo, este hecho no significa que la inducción languidezca al margen de la deducción: una gran cantidad de disposiciones y leyes científicas se fundamentan mediante el método de inducción. Un ejemplo son las mismas matemáticas, biología y otras ciencias. Esto se debe principalmente al método de inducción completa, pero en algunos casos también es aplicable la inducción parcial.
La venerable era de la inducción le ha permitido penetrar en casi todas las esferas de la actividad humana: la ciencia, la economía y las conclusiones cotidianas.
Inducción en la comunidad científica
El método de inducción requiere una actitud escrupulosa, ya que mucho depende del número de partes del todo estudiado: cuanto mayor sea el número estudiado, más fiable será el resultado. Sobre la base de esta característica, las leyes científicas obtenidas por inducción se prueban durante mucho tiempo a nivel de supuestos probabilísticos para aislar y estudiar todos los posibles elementos estructurales, conexiones e influencias.
En ciencia, una conclusión inductiva se basa en características significativas, con excepción de disposiciones aleatorias. Este hecho es importante en relación con las características específicas del conocimiento científico. Esto se ve claramente en los ejemplos de inducción en ciencia.
Existen dos tipos de inducción en el mundo científico (en relación con el método de estudio):
- selección-inducción (o selección);
- inducción - exclusión (eliminación).
El primer tipo se distingue por la selección metódica (escrupulosa) de muestras de una clase (subclases) de sus diferentes áreas.
Un ejemplo de este tipo de inducción es el siguiente: la plata (o sales de plata) purifica el agua. La conclusión se basa en muchos años de observaciones (una especie de selección de confirmaciones y refutaciones: selección).
El segundo tipo de inducción se basa en conclusiones que establecen relaciones causales y excluyen circunstancias que no corresponden a sus propiedades, a saber, universalidad, adherencia a la secuencia temporal, necesidad e inequívoco.
Inducción y deducción desde la posición de la filosofía.
Mirando hacia atrás históricamente, Sócrates mencionó por primera vez el término inducción. Aristóteles describió ejemplos de inducción en filosofía en un diccionario terminológico más aproximado, pero la cuestión de la inducción incompleta permanece abierta. Tras la persecución del silogismo aristotélico, el método inductivo empezó a ser reconocido como fructífero y el único posible en las ciencias naturales. Bacon es considerado el padre de la inducción como método especial independiente, pero no logró separar la inducción del método deductivo, como exigían sus contemporáneos.
La inducción fue desarrollada aún más por J. Mill, quien consideró la teoría inductiva desde la perspectiva de cuatro métodos principales: concordancia, diferencia, residuos y cambios correspondientes. No es sorprendente que hoy los métodos enumerados, examinados en detalle, sean deductivos.
La comprensión de la inconsistencia de las teorías de Bacon y Mill llevó a los científicos a estudiar la base probabilística de la inducción. Sin embargo, incluso aquí hubo algunos extremos: se intentó reducir la inducción a la teoría de la probabilidad con todas las consecuencias consiguientes.
La inducción recibe un voto de confianza por su aplicación práctica en determinadas áreas temáticas y gracias a la precisión métrica de la base inductiva. Un ejemplo de inducción y deducción en filosofía puede considerarse la Ley de Gravitación Universal. En la fecha del descubrimiento de la ley, Newton pudo verificarla con una precisión del 4 por ciento. Y cuando se comprobó más de doscientos años después, la exactitud se confirmó con una precisión del 0,0001 por ciento, aunque la verificación se llevó a cabo mediante las mismas generalizaciones inductivas.
La filosofía moderna presta más atención a la deducción, que está dictada por el deseo lógico de derivar nuevos conocimientos (o verdades) a partir de lo ya conocido, sin recurrir a la experiencia o la intuición, sino utilizando el razonamiento "puro". Cuando se hace referencia a premisas verdaderas en el método deductivo, en todos los casos el resultado es una afirmación verdadera.
Esta característica tan importante no debería eclipsar el valor del método inductivo. Dado que la inducción, a partir de los logros de la experiencia, se convierte también en un medio para procesarla (incluidas la generalización y la sistematización).
Aplicación de la inducción en economía.
La inducción y la deducción se han utilizado durante mucho tiempo como métodos para estudiar la economía y pronosticar su desarrollo.
El ámbito de aplicación del método de inducción es bastante amplio: estudio del cumplimiento de los indicadores previstos (beneficios, depreciación, etc.) y una evaluación general del estado de la empresa; Formación de una política eficaz de promoción empresarial basada en los hechos y sus relaciones.
El mismo método de inducción se utiliza en los "mapas de Shewhart", donde, bajo el supuesto de la división de procesos en controlados e incontrolables, se afirma que el marco del proceso controlado está inactivo.
Cabe señalar que las leyes científicas se fundamentan y confirman mediante el método de inducción, y dado que la economía es una ciencia que a menudo utiliza análisis matemático, teoría del riesgo y estadística, no es de extrañar que la inducción esté en la lista de métodos principales.
Un ejemplo de inducción y deducción en economía es la siguiente situación. Un aumento en el precio de los alimentos (de la canasta de consumo) y de los bienes de primera necesidad empuja al consumidor a pensar en el alto costo emergente en el estado (inducción). Al mismo tiempo, a partir del hecho de los precios elevados, utilizando métodos matemáticos, es posible derivar indicadores del crecimiento de los precios de bienes individuales o categorías de bienes (deducción).
Muy a menudo, el personal directivo, los gerentes y los economistas recurren al método de inducción. Para poder predecir con suficiente veracidad el desarrollo de una empresa, el comportamiento del mercado y las consecuencias de la competencia, es necesario un enfoque inductivo-deductivo del análisis y procesamiento de la información.
Un claro ejemplo de inducción en economía relacionada con juicios erróneos:
- el beneficio de la empresa disminuyó un 30%;
una empresa competidora ha ampliado su línea de productos;
nada más ha cambiado; - la política de producción de una empresa competidora provocó una reducción de los beneficios del 30%;
- por lo tanto, es necesario implementar la misma política de producción.
El ejemplo es una ilustrativa ilustración de cómo el uso inadecuado del método de inducción contribuye a la ruina de una empresa.
Deducción e inducción en psicología.
Dado que existe un método, entonces, lógicamente, también existe un pensamiento adecuadamente organizado (para usar el método). La psicología como ciencia que estudia los procesos mentales, su formación, desarrollo, relaciones, interacciones, presta atención al pensamiento “deductivo”, como una de las formas de manifestación de la deducción y la inducción. Desafortunadamente, en las páginas de psicología de Internet prácticamente no hay justificación para la integridad del método deductivo-inductivo. Aunque los psicólogos profesionales se encuentran con mayor frecuencia con manifestaciones de inducción, o mejor dicho, conclusiones erróneas.
Un ejemplo de inducción en psicología, como ilustración de juicios erróneos, es la afirmación: mi madre engaña, por tanto, todas las mujeres son engañadoras. Puede obtener ejemplos aún más "erróneos" de inducción de la vida:
- un estudiante es incapaz de nada si saca una mala nota en matemáticas;
- es un tonto;
- el es inteligente;
- Puedo hacer cualquier cosa;
Y muchos otros juicios de valor basados en premisas completamente aleatorias y, en ocasiones, insignificantes.
Cabe señalar: cuando la falibilidad del juicio de una persona llega al absurdo, aparece una frontera de trabajo para el psicoterapeuta. Un ejemplo de inducción en una cita con un especialista:
“El paciente está absolutamente seguro de que el color rojo sólo es peligroso para él en cualquier forma. Como resultado, la persona excluyó este esquema de color de su vida, en la medida de lo posible. Hay muchas oportunidades para una estancia confortable en casa. Puede rechazar todos los artículos rojos o reemplazarlos con análogos hechos en un esquema de color diferente. Pero en lugares públicos, en el trabajo, en una tienda, esto es imposible. Cuando un paciente se encuentra en una situación estresante, cada vez experimenta una “marea” de estados emocionales completamente diferentes, que pueden representar un peligro para los demás”.
Este ejemplo de inducción e inducción inconsciente se denomina “ideas fijas”. Si esto le sucede a una persona mentalmente sana, podemos hablar de una falta de organización de la actividad mental. Una forma de deshacerse de los estados obsesivos puede ser el desarrollo elemental del pensamiento deductivo. En otros casos, los psiquiatras trabajan con estos pacientes.
Los ejemplos de inducción anteriores indican que “la ignorancia de la ley no te exime de las consecuencias (de juicios erróneos)”.
Los psicólogos que trabajan en el tema del pensamiento deductivo han compilado una lista de recomendaciones diseñadas para ayudar a las personas a dominar este método.
El primer punto es la resolución de problemas. Como se puede observar, la forma de inducción utilizada en matemáticas puede considerarse “clásica”, y el uso de este método contribuye a la “disciplina” de la mente.
La siguiente condición para el desarrollo del pensamiento deductivo es ampliar los horizontes (quienes piensan con claridad se expresan con claridad). Esta recomendación dirige el “sufrimiento” a los tesoros de la ciencia y la información (bibliotecas, sitios web, iniciativas educativas, viajes, etc.).
Mención especial merece la llamada “inducción psicológica”. Este término, aunque no es frecuente, se puede encontrar en Internet. No todas las fuentes proporcionan al menos una breve formulación de la definición de este término, sino que se refieren a "ejemplos de la vida", mientras hacen pasar como un nuevo tipo de inducción ya sea la sugestión, o algunas formas de enfermedad mental, o estados extremos del estado de ánimo. psique humana. De todo lo anterior se desprende claramente que un intento de derivar un “nuevo término” basado en premisas falsas (a menudo falsas) condena al experimentador a obtener una afirmación errónea (o apresurada).
Cabe señalar que la referencia a los experimentos de 1960 (sin indicar el lugar, los nombres de los experimentadores, la muestra de sujetos y, lo más importante, el propósito del experimento) parece, por decirlo suavemente, poco convincente, y la La afirmación de que el cerebro percibe información sin pasar por todos los órganos de percepción (la frase "está afectado" encajaría más orgánicamente en este caso), hace pensar en la credulidad y acrítica del autor de la afirmación.
En lugar de una conclusión
No en vano la reina de las ciencias, las matemáticas, utiliza todas las reservas posibles del método de inducción y deducción. Los ejemplos considerados nos permiten concluir que la aplicación superficial e inepta (imprudente, como dicen) incluso de los métodos más precisos y fiables siempre conduce a resultados erróneos.
En la conciencia de masas, el método de deducción está asociado con el famoso Sherlock Holmes, quien en sus construcciones lógicas utiliza con mayor frecuencia ejemplos de inducción, utilizando la deducción en las situaciones adecuadas.
El artículo examinó ejemplos de la aplicación de estos métodos en diversas ciencias y esferas de la actividad humana.