Si la función f(x) tiene en algún intervalo que contiene el punto A, derivadas de todos los órdenes, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está entre incógnita Y A.
Si por algun valor xrn®0 en norte®¥, entonces en el límite la fórmula de Taylor se convierte en una fórmula convergente para este valor serie de taylor:
Entonces la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto en cuestión incógnita, Si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
En A=0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
Ejemplo 1 f(x)= 2incógnita.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en incógnita=0
f(x) = 2incógnita, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2incógnita ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2incógnita en 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 en 2 2= en 2 2;
f(n)(x) = 2incógnita en norte 2, f(n)( 0) = 2 0 en norte 2=en norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -¥<incógnita<+¥.
Ejemplo 2 incógnita+4) para función f(x)= mi incógnita.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e. incógnita y sus valores en el punto incógnita=-4.
f(x)= mi incógnita, F(-4) = mi -4 ;
f¢(x)= mi incógnita, f¢(-4) = mi -4 ;
f¢¢(x)= mi incógnita, f¢¢(-4) = mi -4 ;
f(n)(x)= mi incógnita, f(n)( -4) = mi -4 .
Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma:
Esta ampliación también es válida para -¥<incógnita<+¥.
Ejemplo 3 . Expandir una función f(x)=ln incógnita en una serie en potencias ( INCÓGNITA- 1),
(es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto incógnita=1).
Solución. Encuentra las derivadas de esta función.
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge cuando
½ INCÓGNITA- 1½<1. Действительно,
La serie converge si ½ INCÓGNITA- 1½<1, т.е. при 0<incógnita<2. При incógnita=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. En incógnita=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2].
Presentemos las expansiones obtenidas de esta manera en la serie de Maclaurin (es decir, en las proximidades del punto incógnita=0) para algunas funciones elementales:
(2) 
,
(3) 
,
( la última descomposición se llama serie binomial)
Ejemplo 4 . Expande la función a una serie de potencias.
Solución. En la expansión (1) reemplazamos incógnita en - incógnita 2, obtenemos:
Ejemplo 5
. Ampliar la función en una serie de Maclaurin. 
Solución. Tenemos 
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo en su lugar incógnita en la fórmula -INCÓGNITA, obtenemos:
Desde aquí encontramos:
Abriendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos
Esta serie converge en el intervalo
(-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Comentario .
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar incógnita cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Este método ilustra el teorema sobre la unicidad de una expansión en serie de potencias de una función. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión.
Ejemplo 6 . Expandir la función en una serie de Taylor en la vecindad de un punto incógnita=3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en incógnita=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5):
La serie resultante converge en 
o –3<incógnita- 3<3, 0<incógnita< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Ejemplo 7
. Escribe la serie de Taylor en potencias ( incógnita-1) funciones 
.
Solución.
La serie converge en 
, o -2< incógnita£5.
"Encuentra el desarrollo en serie de Maclaurin de la función f(x)"- Así es exactamente como suena la tarea de matemáticas superiores, que algunos estudiantes pueden hacer, mientras que otros no pueden hacer frente a los ejemplos. Hay varias formas de expandir una serie en potencias; aquí daremos una técnica para expandir funciones en una serie de Maclaurin. Al desarrollar una función en serie, debes ser bueno calculando derivadas.
Ejemplo 4.7 Expandir una función en potencias de x
Cálculos: Realizamos la expansión de la función según la fórmula de Maclaurin. Primero, expandamos el denominador de la función a una serie. 
Finalmente, multiplica la expansión por el numerador.
El primer término es el valor de la función en cero f (0) = 1/3.
Encontremos las derivadas de la función de primer y superior orden f (x) y el valor de estas derivadas en el punto x=0 
A continuación, basándonos en el patrón de cambios en el valor de las derivadas en 0, escribimos la fórmula para la enésima derivada 
Entonces, representamos el denominador en forma de expansión en la serie de Maclaurin. 
Multiplicamos por el numerador y obtenemos la expansión deseada de la función en una serie en potencias de x 
Como puedes ver, aquí no hay nada complicado.
Todos los puntos clave se basan en la capacidad de calcular derivadas y generalizar rápidamente el valor de la derivada de orden superior a cero. Los siguientes ejemplos le ayudarán a aprender cómo organizar rápidamente una función en una serie.
Ejemplo 4.10 Encuentre la expansión en serie de Maclaurin de la función
Cálculos: Como habrás adivinado, pondremos el coseno en el numerador en una serie. Para hacer esto, puedes usar fórmulas para cantidades infinitesimales o derivar la expansión del coseno mediante derivadas. Como resultado, llegamos a la siguiente serie en potencias de x 
Como puede ver, tenemos un mínimo de cálculos y una representación compacta de la expansión en serie.
Ejemplo 4.16 Expandir una función en potencias de x:
7/(12-xx^2)
Cálculos: En este tipo de ejemplos, es necesario expandir la fracción mediante la suma de fracciones simples.
No mostraremos cómo hacer esto ahora, pero con la ayuda de coeficientes indefinidos llegaremos a la suma de fracciones.
A continuación escribimos los denominadores en forma exponencial. 
Queda por ampliar los términos utilizando la fórmula de Maclaurin. Resumiendo los términos a las mismas potencias de "x", redactamos una fórmula para el término general de la expansión de una función en una serie. 
La última parte de la transición a la serie al principio es difícil de implementar, ya que es difícil combinar fórmulas para índices (grados) emparejados y no emparejados, pero con la práctica mejorarás.
Ejemplo 4.18 Encuentre la expansión en serie de Maclaurin de la función
Cálculos: Encontremos la derivada de esta función: 
Ampliemos la función en una serie usando una de las fórmulas de McLaren: 
Sumamos la serie término por término basándonos en el hecho de que ambos son absolutamente idénticos. Habiendo integrado toda la serie término a término, obtenemos la expansión de la función en una serie en potencias de x 
Hay una transición entre las dos últimas líneas de la expansión que te llevará mucho tiempo al principio. Generalizar una fórmula en serie no es fácil para todos, así que no te preocupes por no poder obtener una fórmula agradable y compacta.
Ejemplo 4.28 Encuentre la expansión en serie de Maclaurin de la función:
Escribamos el logaritmo de la siguiente manera. 
Usando la fórmula de Maclaurin, expandimos la función logaritmo en una serie en potencias de x 
La convolución final es compleja a primera vista, pero al alternar signos siempre obtendrás algo similar. Se completa la lección de entrada sobre el tema de la programación de funciones en una fila. Otros esquemas de descomposición igualmente interesantes se analizarán en detalle en los siguientes materiales.
En la teoría de series funcionales, el lugar central lo ocupa la sección dedicada a la expansión de una función en una serie.
Por tanto, la tarea queda establecida: para una función determinada Necesitamos encontrar tal serie de potencias.
que convergía en un cierto intervalo y su suma era igual a 
,
aquellos.
=
..
Esta tarea se llama el problema de expandir una función en una serie de potencias.
Una condición necesaria para la descomponibilidad de una función en una serie de potencias es su diferenciabilidad un número infinito de veces; esto se desprende de las propiedades de las series de potencias convergentes. Esta condición se cumple, por regla general, para funciones elementales en su dominio de definición.
Entonces supongamos que la función 
tiene derivadas de cualquier orden. ¿Es posible expandirla a una serie de potencias? Si es así, ¿cómo podemos encontrar esta serie? La segunda parte del problema es más fácil de resolver, así que comencemos por ella.
Supongamos que la función 
se puede representar como la suma de una serie de potencias que converge en el intervalo que contiene el punto incógnita 0 :
=
..
(*)
Dónde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A norte ,... – coeficientes desconocidos (aún).
Pongamos en igualdad (*) el valor x = x 0 , entonces obtenemos
.
Diferenciamos la serie de potencias (*) término a término
=
..
y creyendo aquí x = x 0 , obtenemos
.
Con la siguiente diferenciación obtenemos la serie
=
..
creyendo x = x 0 ,
obtenemos 
, dónde 
.
Después norte-diferenciación veces obtenemos
Suponiendo en la última igualdad x = x 0 ,
obtenemos 
, dónde
Entonces, se encuentran los coeficientes.
,
,
,
…,
,….,
sustituyendo cuál en la serie (*), obtenemos
La serie resultante se llama junto a taylor
para función
.
Así, hemos establecido que si la función se puede expandir a una serie de potencias en potencias (x - x 0 ), entonces esta expansión es única y la serie resultante es necesariamente una serie de Taylor.
Tenga en cuenta que la serie de Taylor se puede obtener para cualquier función que tenga derivadas de cualquier orden en el punto x = x 0 . Pero esto no significa que se pueda colocar un signo igual entre la función y la serie resultante, es decir que la suma de la serie es igual a la función original. En primer lugar, tal igualdad sólo puede tener sentido en la región de convergencia, y la serie de Taylor obtenida para la función puede divergir y, en segundo lugar, si la serie de Taylor converge, entonces su suma puede no coincidir con la función original.
3.2. Condiciones suficientes para la descomponibilidad de una función en una serie de Taylor
Formulemos una declaración con la ayuda de la cual se resolverá la tarea.
Si la función
en algún barrio del punto x 0 tiene derivados hasta (norte+
1) de orden inclusive, entonces en este vecindario tenemosfórmula
taylor
DóndeR norte (incógnita)-el término restante de la fórmula de Taylor – tiene la forma (forma de Lagrange)
Dónde puntoξ se encuentra entre x y x 0 .
Tenga en cuenta que existe una diferencia entre la serie de Taylor y la fórmula de Taylor: la fórmula de Taylor es una suma finita, es decir pag - número fijo.
Recuerde que la suma de la serie S(incógnita) puede definirse como el límite de una secuencia funcional de sumas parciales S norte (incógnita) en algún intervalo incógnita:
.
De acuerdo con esto, expandir una función a una serie de Taylor significa encontrar una serie tal que para cualquier incógnitaincógnita
Escribamos la fórmula de Taylor en la forma donde
Tenga en cuenta que 
define el error que obtenemos, reemplaza la función F(incógnita)
polinomio S norte (incógnita).
Si 
, Eso 
,aquellos. la función se expande a una serie de Taylor. Viceversa, si 
, Eso 
.
Así demostramos Criterio para la descomponibilidad de una función en una serie de Taylor.
Para que la funciónF(x) se expande en una serie de Taylor, es necesario y suficiente que en este intervalo
, DóndeR norte (incógnita) es el término restante de la serie de Taylor.
Utilizando el criterio formulado, se puede obtener suficienteCondiciones para la descomponibilidad de una función en una serie de Taylor.
si enalguna vecindad del punto x 0 los valores absolutos de todas las derivadas de la función están limitados al mismo número M≥ 0, es decir
, to en esta vecindad la función se expande a una serie de Taylor.
De lo anterior se sigue algoritmoexpansión de funciones F(incógnita) en la serie de Taylor en las proximidades de un punto incógnita 0 :
1. Encontrar derivadas de funciones. F(incógnita):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (norte) (incógnita),…
2. Calcula el valor de la función y los valores de sus derivadas en el punto incógnita 0
f(x) 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (norte) (incógnita 0 ),…
3. Escribimos formalmente la serie de Taylor y encontramos la región de convergencia de la serie de potencias resultante.
4. Comprobamos el cumplimiento de condiciones suficientes, es decir. establecemos para cual incógnita de la región de convergencia, término restante R norte (incógnita)
tiende a cero como 
o
.
La expansión de funciones en una serie de Taylor usando este algoritmo se llama expansión de una función en una serie de Taylor por definición o descomposición directa.
Ampliación de una función a una serie de Taylor, Maclaurin y Laurent en un sitio para la formación de habilidades prácticas. Esta expansión en serie de una función permite a los matemáticos estimar el valor aproximado de la función en algún punto de su dominio de definición. Es mucho más fácil calcular el valor de una función de este tipo que utilizar la tabla de Bredis, que es tan irrelevante en la era de la tecnología informática. Expandir una función a una serie de Taylor significa calcular los coeficientes de las funciones lineales de esta serie y escribirlos en la forma correcta. Los estudiantes confunden estas dos series, sin entender cuál es el caso general y cuál es el caso especial de la segunda. Recordemos de una vez por todas que la serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor, es decir, esta es la serie de Taylor, pero en el punto x = 0. Todas breves entradas para el desarrollo de funciones conocidas, como e^x, Sin(x), Cos(x) y otras, son expansiones en serie de Taylor, pero en el punto 0 del argumento. Para funciones de argumento complejo, la serie de Laurent es el problema más común en TFCT, ya que representa una serie infinita de dos lados. Es la suma de dos series. Le sugerimos que mire un ejemplo de descomposición directamente en el sitio web; esto es muy fácil de hacer haciendo clic en "Ejemplo" con cualquier número y luego en el botón "Solución". Es precisamente esta expansión de una función en una serie asociada con una serie mayorizadora la que limita la función original en una determinada región a lo largo del eje de ordenadas si la variable pertenece a la región de abscisas. El análisis vectorial se compara con otra disciplina interesante de las matemáticas. Dado que es necesario examinar cada término, el proceso requiere bastante tiempo. Cualquier serie de Taylor puede asociarse con una serie de Maclaurin reemplazando x0 por cero, pero para una serie de Maclaurin a veces no es obvio representar la serie de Taylor al revés. Como si no fuera necesario hacerlo en su forma pura, es interesante para el autodesarrollo general. Cada serie de Laurent corresponde a una serie de potencias infinitas bilaterales en potencias enteras de z-a, es decir, una serie del mismo tipo de Taylor, pero ligeramente diferente en el cálculo de los coeficientes. Hablaremos de la región de convergencia de la serie de Laurent un poco más adelante, después de varios cálculos teóricos. Como en el siglo pasado, es difícil lograr una expansión paso a paso de una función en una serie simplemente llevando los términos a un denominador común, ya que las funciones en los denominadores no son lineales. La formulación de problemas requiere un cálculo aproximado del valor funcional. Piense en el hecho de que cuando el argumento de una serie de Taylor es una variable lineal, entonces la expansión ocurre en varios pasos, pero la imagen es completamente diferente cuando el argumento de la función que se está expandiendo es una función compleja o no lineal, entonces el proceso de representar tal función en una serie de potencias es obvio, ya que, de esta manera, es fácil de calcular, aunque sea un valor aproximado, en cualquier punto de la región de definición, con un error mínimo que tiene poco efecto en cálculos posteriores. Esto también se aplica a la serie Maclaurin. cuando es necesario calcular la función en el punto cero. Sin embargo, la propia serie de Laurent está representada aquí mediante una ampliación en el plano con unidades imaginarias. Además, la solución correcta del problema durante todo el proceso no dejará de tener éxito. Este enfoque no se conoce en matemáticas, pero existe objetivamente. Como resultado, se puede llegar a la conclusión de los llamados subconjuntos puntuales, y al desarrollar una función en serie es necesario utilizar métodos conocidos para este proceso, como la aplicación de la teoría de las derivadas. Una vez más estamos convencidos de que el profesor tenía razón al formular sus suposiciones sobre los resultados de los cálculos poscomputacionales. Tenga en cuenta que la serie de Taylor, obtenida según todos los cánones de las matemáticas, existe y está definida en todo el eje numérico, sin embargo, queridos usuarios del servicio del sitio, no olviden el tipo de función original, porque puede resultar que inicialmente es necesario establecer el dominio de definición de la función, es decir, escribir y excluir de una mayor consideración aquellos puntos en los que la función no está definida en el dominio de los números reales. Por así decirlo, esto demostrará su eficacia a la hora de resolver el problema. La construcción de una serie de Maclaurin con valor de argumento cero no será una excepción a lo dicho. Nadie ha cancelado el proceso de encontrar el dominio de definición de una función, y debes abordar esta operación matemática con toda seriedad. En el caso de una serie de Laurent que contiene la parte principal, el parámetro "a" se llamará punto singular aislado, y la serie de Laurent se expandirá en un anillo; esta es la intersección de las áreas de convergencia de sus partes, por lo tanto El teorema correspondiente seguirá. Pero no todo es tan complicado como podría parecerle a primera vista a un estudiante sin experiencia. Habiendo estudiado la serie de Taylor, podrá comprender fácilmente la serie de Laurent, un caso generalizado de expansión del espacio de números. Cualquier expansión en serie de una función sólo se puede realizar en un punto en el dominio de definición de la función. Se deben tener en cuenta propiedades de funciones como la periodicidad o la diferenciabilidad infinita. También le sugerimos que utilice la tabla de expansiones de funciones elementales en series de Taylor ya preparadas, ya que una función puede representarse hasta con docenas de series de potencias diferentes, como se puede ver al usar nuestra calculadora en línea. La serie Maclaurin en línea es muy fácil de determinar, si utiliza el exclusivo servicio del sitio web, solo necesita ingresar la función escrita correcta y recibirá la respuesta presentada en cuestión de segundos, se garantiza que será precisa y en una forma escrita estándar. Puede copiar el resultado directamente en una copia limpia para enviársela al profesor. Sería correcto determinar primero la analiticidad de la función en cuestión en anillos y luego afirmar sin ambigüedades que es expandible en una serie de Laurent en todos esos anillos. Es importante no perder de vista los términos de la serie de Laurent que contienen poderes negativos. Concéntrate en esto tanto como sea posible. Haz buen uso del teorema de Laurent sobre la expansión de una función en potencias enteras.