1. Función lineal fraccionaria y su gráfica
Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se llama función racional fraccionaria.
Probablemente ya estés familiarizado con el concepto de números racionales. Asimismo funciones racionales son funciones que se pueden representar como el cociente de dos polinomios.
Si una función racional fraccionaria es el cociente de dos funciones lineales, polinomios de primer grado, es decir función de la forma
y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama lineal fraccionario.
Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario la la función es constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales excepto x = -d/c. Las gráficas de funciones lineales fraccionarias no difieren en forma de la gráfica y = 1/x que conoces. Una curva que es una gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x disminuye ilimitadamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan a la abscisa: la derecha se acerca desde arriba y la izquierda desde abajo. Las líneas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.
Ejemplo 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Solución.
Seleccionemos la parte completa: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazamiento de 3 segmentos unitarios hacia la derecha, estirándose a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazándose 2 segmentos unitarios hacia arriba.
Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de forma similar, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones lineales fraccionarias son hipérbolas, desplazadas de diversas formas a lo largo de los ejes de coordenadas y estiradas a lo largo del eje Oy.
Para construir una gráfica de cualquier función lineal fraccionaria arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará con encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas: las asíntotas de la hipérbola x = -d/cy y = a/c.
Ejemplo 2.
Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).
Solución.
La función no está definida, en x = -1. Esto significa que la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se aproximan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.
Para hacer esto, divide el numerador y denominador de la fracción por x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Como x → ∞ la fracción tenderá a 3/2. Esto significa que la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.
Ejemplo 3.
Grafica la función y = (2x + 1)/(x + 1).
Solución.
Seleccionemos la “parte entera” de la fracción:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una visualización simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de 2 segmentos unitarios hacia arriba a lo largo del eje Oy.
Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función aumenta en cada intervalo del dominio de definición.
Respuesta: Figura 1.
2. Función racional fraccionaria
Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado superior al primero.
Ejemplos de tales funciones racionales:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) o y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Si la función y = P(x) / Q(x) representa el cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfica será, por regla general, más compleja y, a veces, puede resultar difícil construirla con precisión. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces basta con utilizar técnicas similares a las que ya hemos presentado anteriormente.
Sea la fracción una fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.
Trazar gráficas de funciones racionales fraccionarias
Consideremos varias formas de construir gráficas de una función racional fraccionaria.
Ejemplo 4.
Dibuja una gráfica de la función y = 1/x 2.
Solución.
Usamos la gráfica de la función y = x 2 para construir una gráfica de y = 1/x 2 y usamos la técnica de “dividir” las gráficas.
Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rango de valores E(y) = (0; +∞).
No hay puntos de intersección con los ejes. La función es par. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x de 0 a +∞.
Respuesta: Figura 2.
Ejemplo 5.
Grafica la función y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Solución.
Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.
Respuesta: Figura 3.
Ejemplo 6.
Grafica la función y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Solución.
El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Antes de construir un gráfico, transformemos nuevamente la expresión, resaltando toda la parte:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Tenga en cuenta que aislar la parte entera en la fórmula de una función racional fraccionaria es una de las principales al construir gráficas.
Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir la recta y = 1 es una asíntota horizontal.
Respuesta: Figura 4.
Ejemplo 7.
Consideremos la función y = x/(x 2 + 1) e intentemos encontrar con precisión su valor más grande, es decir el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Obviamente, nuestra curva no puede “subir” muy alto, porque el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, necesitamos resolver la ecuación x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, necesitas averiguar en qué A más grande tendrá solución la ecuación A = x/(x 2 + 1). Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 – x + A = 0. Esta ecuación tiene solución cuando 1 – 4A 2 ≥ 0. De aquí encontramos el valor más grande A = 1/2. 
Respuesta: Figura 5, máx y(x) = ½.
¿Aún tienes preguntas? ¿No sabes cómo graficar funciones?
Para obtener ayuda de un tutor, regístrese.
¡La primera lección es gratis!
sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.
Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.
Recopilación y uso de información personal.
La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.
Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.
A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.
Qué información personal recopilamos:
- Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.
Cómo usamos tu información personal:
- La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
- De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
- También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
- Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.
Divulgación de información a terceros
No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.
Excepciones:
- Si es necesario, de conformidad con la ley, un procedimiento judicial, en procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de autoridades gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia, revelar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, aplicación de la ley u otros fines de importancia pública.
- En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.
Protección de información personal
Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.
Respetando su privacidad a nivel de empresa
Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.
Universidad Nacional de Investigación
Departamento de Geología Aplicada
Resumen sobre matemáticas superiores
Sobre el tema: “Funciones elementales básicas,
sus propiedades y gráficas"
Terminado:
Comprobado:
maestro
Definición. La función dada por la fórmula y=a x (donde a>0, a≠1) se llama función exponencial con base a.
Formulemos las principales propiedades de la función exponencial:
1. El dominio de definición es el conjunto (R) de todos los números reales.
2. Rango: el conjunto (R+) de todos los números reales positivos.
3. Para a > 1, la función aumenta a lo largo de toda la recta numérica; en 0<а<1 функция убывает.
4. Es una función de forma general.
, en el intervalo xО [-3;3]
, en el intervalo xО [-3;3] Una función de la forma y(x)=x n, donde n es el número ОR, se llama función de potencia. El número n puede tomar diferentes valores: tanto enteros como fraccionarios, pares e impares. Dependiendo de esto, la función de potencia tendrá una forma diferente. Consideremos casos especiales que son funciones de potencia y reflejan las propiedades básicas de este tipo de curva en el siguiente orden: función de potencia y=x² (función con exponente par - una parábola), función de potencia y=x³ (función con exponente impar - parábola cúbica) y función y=√x (x elevado a ½) (función con exponente fraccionario), función con exponente entero negativo (hipérbola).
Función de potencia y=x²
1. D(x)=R – la función se define en todo el eje numérico;
2. E(y)= y aumenta en el intervalo
Función de potencia y=x³
1. La gráfica de la función y=x³ se llama parábola cúbica. La función de potencia y=x³ tiene las siguientes propiedades:
2. D(x)=R – la función se define en todo el eje numérico;
3. E(y)=(-∞;∞) – la función toma todos los valores en su dominio de definición;
4. Cuando x=0 y=0 – la función pasa por el origen de coordenadas O(0;0).
5. La función aumenta en todo el dominio de definición.
6. La función es impar (simétrica con respecto al origen).
, en el intervalo xО [-3;3] Dependiendo del factor numérico delante de x³, la función puede ser empinada/plana y creciente/decreciente.
Función de potencia con exponente entero negativo:
Si el exponente n es impar, entonces la gráfica de dicha función de potencia se llama hipérbola. Una función potencia con un exponente entero negativo tiene las siguientes propiedades:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) para cualquier n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), si n es un número impar; E(y)=(0;∞), si n es un número par;
3. La función disminuye en todo el dominio de definición si n es un número impar; la función aumenta en el intervalo (-∞;0) y disminuye en el intervalo (0;∞) si n es un número par.
4. La función es impar (simétrica con respecto al origen) si n es un número impar; una función es par si n es un número par.
5. La función pasa por los puntos (1;1) y (-1;-1) si n es un número impar y por los puntos (1;1) y (-1;1) si n es un número par.
, en el intervalo xО [-3;3] Función de potencia con exponente fraccionario
Una función de potencia con un exponente fraccionario (imagen) tiene una gráfica de la función que se muestra en la figura. Una función de potencia con un exponente fraccionario tiene las siguientes propiedades: (imagen)
1. D(x) ОR, si n es un número impar y D(x)= 
, en el intervalo xО 
, en el intervalo xО [-3;3]
La función logarítmica y = log a x tiene las siguientes propiedades:
1. Dominio de definición D(x)О (0; + ∞).
2. Rango de valores E(y) О (- ∞; + ∞)
3. La función no es ni par ni impar (de forma general).
4. La función aumenta en el intervalo (0; + ∞) para a > 1, disminuye en (0; + ∞) para 0< а < 1.
La gráfica de la función y = log a x se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = a x usando una transformación de simetría con respecto a la línea recta y = x. La Figura 9 muestra una gráfica de la función logarítmica para a > 1, y la Figura 10 para 0< a < 1.
; en el intervalo xО 
; en el intervalo xО Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x se llaman funciones trigonométricas.
Las funciones y = sin x, y = tan x, y = ctg x son impares y la función y = cos x es par.
Función y = pecado(x).
1. Dominio de definición D(x) ОR.
2. Rango de valores E(y) О [ - 1; 1].
3. La función es periódica; el período principal es 2π.
4. La función es impar.
5. La función aumenta en intervalos [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] y disminuye en los intervalos [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
La gráfica de la función y = sen (x) se muestra en la Figura 11.
Elijamos un sistema de coordenadas rectangular en el plano y tracemos los valores del argumento en el eje de abscisas. X, y en ordenadas, los valores de la función. y = f(x).
Gráfico de funciones y = f(x) es el conjunto de todos los puntos cuyas abscisas pertenecen al dominio de definición de la función, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.
En otras palabras, la gráfica de la función y = f (x) es el conjunto de todos los puntos del plano, coordenadas X, en que satisfacen la relación y = f(x).
En la Fig. 45 y 46 muestran gráficas de funciones. y = 2x + 1 Y y = x 2 - 2x.
Estrictamente hablando, se debe distinguir entre la gráfica de una función (cuya definición matemática exacta se dio arriba) y una curva dibujada, que siempre da solo un bosquejo más o menos preciso de la gráfica (e incluso entonces, por regla general, no todo el gráfico, sino sólo su parte situada en las partes finales del plano). Sin embargo, en lo que sigue generalmente diremos “gráfico” en lugar de “bosquejo de gráfico”.
Usando una gráfica, puedes encontrar el valor de una función en un punto. Es decir, si el punto x = un pertenece al dominio de definición de la función y = f(x), luego para encontrar el número fa)(es decir, los valores de la función en el punto x = un) usted debe hacer esto. Es necesario pasar por el punto de abscisa. x = un trazar una línea recta paralela al eje de ordenadas; esta recta cortará la gráfica de la función y = f(x) en un punto; la ordenada de este punto será, en virtud de la definición del gráfico, igual a fa)(Figura 47).
Por ejemplo, para la función f(x) = x 2 - 2x usando la gráfica (Fig. 46) encontramos f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.
Una gráfica de función ilustra claramente el comportamiento y las propiedades de una función. Por ejemplo, a partir de la consideración de la Fig. 46 está claro que la función y = x 2 - 2x toma valores positivos cuando X< 0 y en x > 2, negativo - en 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x acepta en x = 1.
Para graficar una función f(x) Necesitas encontrar todos los puntos del avión, coordenadas. X,en que satisfacen la ecuación y = f(x). En la mayoría de los casos esto es imposible de hacer, ya que hay un número infinito de puntos de este tipo. Por lo tanto, la gráfica de la función se representa de forma aproximada, con mayor o menor precisión. El más sencillo es el método de trazar una gráfica utilizando varios puntos. Consiste en que el argumento X proporcione un número finito de valores, digamos, x 1, x 2, x 3,..., x k y cree una tabla que incluya los valores de la función seleccionada.
La tabla se ve así:
Habiendo compilado dicha tabla, podemos delinear varios puntos en la gráfica de la función. y = f(x). Luego, conectando estos puntos con una línea suave, obtenemos una vista aproximada de la gráfica de la función. y = f(x).
Sin embargo, cabe señalar que el método de trazado multipunto es muy poco fiable. De hecho, se desconoce el comportamiento del gráfico entre los puntos previstos y su comportamiento fuera del segmento entre los puntos extremos tomados.
Ejemplo 1. Para graficar una función y = f(x) alguien compiló una tabla de valores de argumentos y funciones:
Los cinco puntos correspondientes se muestran en la Fig. 48.
Con base en la ubicación de estos puntos, concluyó que la gráfica de la función es una línea recta (que se muestra en la Fig. 48 con una línea de puntos). ¿Se puede considerar confiable esta conclusión? A menos que haya consideraciones adicionales que respalden esta conclusión, difícilmente puede considerarse confiable. confiable.
Para fundamentar nuestra afirmación, considere la función
.
Los cálculos muestran que los valores de esta función en los puntos -2, -1, 0, 1, 2 se describen exactamente en la tabla anterior. Sin embargo, la gráfica de esta función no es una línea recta en absoluto (se muestra en la Fig. 49). Otro ejemplo sería la función y = x + l + senπx; sus significados también se describen en la tabla anterior.
Estos ejemplos muestran que en su forma “pura” el método de trazar una gráfica utilizando varios puntos no es confiable. Por lo tanto, para trazar la gráfica de una función dada, generalmente se procede de la siguiente manera. Primero, estudiamos las propiedades de esta función, con la ayuda de las cuales podemos construir un bosquejo de la gráfica. Luego, calculando los valores de la función en varios puntos (cuya elección depende de las propiedades establecidas de la función), se encuentran los puntos correspondientes de la gráfica. Y finalmente, se dibuja una curva a través de los puntos construidos utilizando las propiedades de esta función.
Más adelante veremos algunas propiedades (las más simples y las más utilizadas) de las funciones utilizadas para encontrar un bosquejo de gráficas, pero ahora veremos algunos métodos comúnmente utilizados para construir gráficas.
Gráfica de la función y = |f(x)|.
A menudo es necesario trazar una función. y = |f(x)|, donde f(x) - función dada. Te recordamos cómo se hace esto. Al definir el valor absoluto de un número, podemos escribir
Esto significa que la gráfica de la función y =|f(x)| se puede obtener de la gráfica, función y = f(x) como sigue: todos los puntos en la gráfica de la función y = f(x), cuyas ordenadas no son negativas, no deben modificarse; Además, en lugar de los puntos de la gráfica de la función. y = f(x) Al tener coordenadas negativas, debes construir los puntos correspondientes en la gráfica de la función. y = -f(x)(es decir, parte de la gráfica de la función
y = f(x), que se encuentra debajo del eje X, debe reflejarse simétricamente respecto del eje X).
Ejemplo 2. Grafica la función y = |x|.
Tomemos la gráfica de la función. y = x(Fig. 50, a) y parte de este gráfico en X< 0 (que se encuentra debajo del eje X) reflejado simétricamente con respecto al eje X. Como resultado, obtenemos la gráfica de la función. y = |x|(Figura 50, b).
Ejemplo 3. Grafica la función y = |x 2 - 2x|.
Primero, grafiquemos la función. y = x 2 - 2x. La gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba, el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -1), su gráfica cruza el eje x en los puntos 0 y 2. En el intervalo (0; 2) la función toma valores negativos, por lo tanto esta parte del gráfico se refleja simétricamente con respecto al eje de abscisas. La figura 51 muestra la gráfica de la función. y = |x 2 -2x|, basado en la gráfica de la función y = x 2 - 2x
Gráfica de la función y = f(x) + g(x)
Considere el problema de construir una gráfica de una función. y = f(x) + g(x). si se dan gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x).
Tenga en cuenta que el dominio de definición de la función y = |f(x) + g(x)| es el conjunto de todos aquellos valores de x para los que están definidas ambas funciones y = f(x) e y = g(x), es decir, este dominio de definición es la intersección de los dominios de definición, funciones f(x) yg(x).
deja que los puntos (x 0 , y 1) Y (x 0, y 2) pertenecen respectivamente a las gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x), es decir y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Entonces el punto (x0;. y1 + y2) pertenece a la gráfica de la función y = f(x) + g(x)(para f(x 0) + gramo(x 0) = y 1 +y2),. y cualquier punto en la gráfica de la función y = f(x) + g(x) se puede obtener de esta manera. Por lo tanto, la gráfica de la función y = f(x) + g(x) se puede obtener a partir de gráficas de funciones y = f(x). Y y = g(x) reemplazando cada punto ( xn, y 1) gráficos de funciones y = f(x) punto (x norte, y 1 + y 2), Dónde y 2 = g(x norte), es decir, desplazando cada punto ( xn, y 1) gráfico de funciones y = f(x) a lo largo del eje en por la cantidad y 1 = g(x norte). En este caso, sólo se consideran dichos puntos. X n para el cual ambas funciones están definidas y = f(x) Y y = g(x).
Este método de trazar una función. y = f(x) + g(x) se llama suma de gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x)
Ejemplo 4. En la figura, se construyó una gráfica de la función utilizando el método de suma de gráficas.
y = x + senx.
Al trazar una función y = x + senx Pensamos que f(x) = x, A g(x) = senx. Para trazar la gráfica de la función, seleccionamos puntos con abscisas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valores f(x) = x, g(x) = senx, y = x + senx Calculemos en los puntos seleccionados y coloquemos los resultados en la tabla.