L'induction est une méthode permettant d'obtenir un énoncé général à partir d'observations particulières. Dans le cas où un énoncé mathématique concerne un nombre fini d'objets, il peut être prouvé par des tests pour chaque objet. Par exemple, l'énoncé : « Tout nombre pair à deux chiffres est la somme de deux nombres premiers » découle d'une série d'égalités qu'il est tout à fait possible d'établir :
10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.
Une méthode de preuve dans laquelle une affirmation est vérifiée pour un nombre fini de cas qui épuisent toutes les possibilités est appelée induction complète. Cette méthode est relativement rarement utilisée, car les énoncés mathématiques ne concernent généralement pas des ensembles d'objets finis, mais infinis. Par exemple, l’énoncé ci-dessus sur les nombres pairs à deux chiffres par récurrence complète n’est qu’un cas particulier du théorème : « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ». Ce théorème n'a pas encore été prouvé ou réfuté.
L'induction mathématique est une méthode permettant de prouver une certaine affirmation pour tout nombre naturel n basée sur le principe de l'induction mathématique : « Si une affirmation est vraie pour n=1 et que sa validité pour n=k implique la validité de cette affirmation pour n=k +1, alors c'est vrai pour tout n" La méthode de preuve par induction mathématique est la suivante :
1) base d'induction : ils prouvent ou vérifient directement la validité de l'énoncé pour n=1 (parfois n=0 ou n=n 0) ;
2) étape d'induction (transition) : ils supposent la validité de l'énoncé pour un nombre naturel n=k et, sur la base de cette hypothèse, prouvent la validité de l'énoncé pour n=k+1.
Problèmes avec des solutions
1. Montrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3 2n+1 +2 n+2 est divisible par 7.
Notons A(n)=3 2n+1 +2 n+2.
Base à induction. Si n=1, alors A(1)=3 3 +2 3 =35 et, évidemment, est divisible par 7.
Hypothèse d’induction. Soit A(k) divisible par 7.
Transition d'induction. Montrons que A(k+1) est divisible par 7, c'est-à-dire la validité de l'énoncé du problème pour n=k.
A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=
3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.
Le dernier nombre est divisible par 7, puisqu'il s'agit de la différence de deux entiers divisibles par 7. Donc 3 2n+1 +2 n+2 est divisible par 7 pour tout nombre naturel n.
2. Montrer que pour tout entier naturel n, le nombre 2 3 n +1 est divisible par 3 n+1 et non divisible par 3 n+2.
Introduisons la notation : a i =2 3 i +1.
Pour n=1 nous avons, et 1 =2 3 +1=9. Ainsi, un 1 est divisible par 3 2 et non divisible par 3 3.
Soit pour n=k le nombre a k est divisible par 3 k+1 et non divisible par 3 k+2, c'est-à-dire a k =2 3 k +1=3 k+1 m, où m n'est pas divisible par 3. Alors
et k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=
3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).
Évidemment, un k+1 est divisible par 3 k+2 et non divisible par 3 k+3.
Par conséquent, l’énoncé est prouvé pour tout nombre naturel n.
3. On sait que x+1/x est un nombre entier. Montrer que x n +1/x n est aussi un entier pour tout entier n.
Introduisons la notation : a i =х i +1/х i et notons immédiatement que a i =а –i, nous continuerons donc à parler d'indices naturels.
Remarque : un 1 est un entier par convention ; et 2 est un nombre entier, puisque a 2 = (a 1) 2 –2 ; et 0 =2.
Supposons que a k soit un entier pour tout nombre naturel k n'excédant pas n. Alors a 1 ·a n est un entier, mais a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 et a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . Cependant, n–1, selon l’hypothèse d’induction, est un nombre entier. Cela signifie qu'un n+1 est aussi un entier. Par conséquent, x n +1/x n est un entier pour tout entier n, ce qui devait être prouvé.
4. Montrer que pour tout nombre naturel n supérieur à 1, la double inégalité est vraie
5. Montrer que pour n naturel > 1 et |x|
(1–x)n +(1+x)n
Pour n=2, l'inégalité est vraie. Vraiment,
(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2
Si l’inégalité est vraie pour n=k, alors pour n=k+1 on a
(1–x) k+1 +(1+x) k+1
L'inégalité a été prouvée pour tout nombre naturel n > 1.
6. Il y a n cercles dans un plan. Montrer que pour tout agencement de ces cercles, la carte qu’ils forment peut être correctement colorée avec deux couleurs.
Utilisons la méthode d'induction mathématique.
Pour n=1, la déclaration est évidente.
Supposons que l'énoncé soit vrai pour toute carte formée de n cercles, et qu'il y ait n+1 cercles sur le plan. En supprimant l'un de ces cercles, on obtient une carte qui, du fait de l'hypothèse faite, peut être correctement colorée avec deux couleurs (voir la première image ci-dessous).
Ensuite, nous restaurerons le cercle supprimé et sur un côté de celui-ci, par exemple à l'intérieur, nous changerons la couleur de chaque zone en l'opposé (voir la deuxième image). Il est facile de voir que dans ce cas nous obtiendrons une carte correctement colorée avec deux couleurs, mais seulement maintenant pour n+1 cercles, ce qu'il nous fallait prouver.
7. Nous appellerons un polygone convexe « beau » si les conditions suivantes sont remplies :
1) chacun de ses sommets est peint dans l'une des trois couleurs ;
2) deux sommets adjacents sont peints de couleurs différentes ;
3) au moins un sommet du polygone est peint dans chacune des trois couleurs.
Prouver que tout beau n-gon peut être découpé par des diagonales disjointes en « beaux » triangles.
Utilisons la méthode d'induction mathématique.
Base à induction. Avec le plus petit n=3 possible, l'énoncé du problème est évident : les sommets du « beau » triangle sont peints de trois couleurs différentes et aucune coupe n'est nécessaire.
Hypothèse d’induction. Supposons que l’énoncé du problème soit vrai pour tout « beau » n-gon.
Étape d'induction. Considérons un « beau » (n+1)-gon arbitraire et montrons, en utilisant l'hypothèse d'induction, qu'il peut être découpé par certaines diagonales en « beaux » triangles. Notons A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1 les sommets successifs du (n+1)-gon. Si un seul sommet d'un (n+1)-gon est coloré dans l'une des trois couleurs, alors en reliant ce sommet par des diagonales à tous les sommets qui ne lui sont pas adjacents, on obtient la partition nécessaire du (n+1 )-gonflé en « beaux » triangles.
Si au moins deux sommets d'un (n+1)-gon sont colorés dans chacune des trois couleurs, alors nous désignons la couleur du sommet A 1 par le numéro 1 et la couleur du sommet A 2 par le numéro 2. Soit k le plus petit nombre tel que le sommet A k soit coloré dans la troisième couleur. Il est clair que k > 2. Séparons le triangle A k–2 A k–1 A k du (n+1)-gon de diagonale A k–2 A k. Conformément au choix du nombre k, tous les sommets de ce triangle sont peints de trois couleurs différentes, c'est-à-dire que ce triangle est « beau ». Le n-gone convexe A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , qui reste, sera également, en vertu de l'hypothèse inductive, « beau », ce qui signifie il est divisé en « beaux » triangles, qui demandaient à être prouvés.
8. Montrer que dans un n-gone convexe, il est impossible de choisir plus de n diagonales pour que deux d'entre elles aient un point commun.
Réalisons la preuve en utilisant la méthode d'induction mathématique.
Démontrons une affirmation plus générale : dans un n-gone convexe, il est impossible de choisir plus de n côtés et diagonales pour que deux d'entre eux aient un point commun. Pour n = 3, la déclaration est évidente. Supposons que cette affirmation soit vraie pour un n-gon arbitraire et, en utilisant cela, nous prouverons sa validité pour un (n+1)-gon arbitraire.
Supposons que cette affirmation n'est pas vraie pour un (n+1)-gon. Si pas plus de deux côtés ou diagonales sélectionnés émergent de chaque sommet d'un (n+1)-gon, alors pas plus de n+1 d'entre eux sont sélectionnés au total. Par conséquent, d’un sommet A émergent au moins trois côtés ou diagonales sélectionnés AB, AC, AD. Soit AC compris entre AB et AD. Puisque tout côté ou diagonale émergeant du point C et autre que CA ne peut couper simultanément AB et AD, une seule diagonale choisie CA émerge du point C.
En supprimant le point C avec la diagonale CA, nous obtenons un n-gone convexe dans lequel plus de n côtés et diagonales sont sélectionnés, dont deux ont un point commun. Ainsi, nous arrivons à une contradiction avec l’hypothèse selon laquelle l’énoncé est vrai pour un n-gone convexe arbitraire.
Donc, pour un (n+1)-gon, la déclaration est vraie. Selon le principe de l’induction mathématique, l’affirmation est vraie pour tout n-gone convexe.
9. Il y a n lignes droites dans un plan, dont deux ne sont pas parallèles et dont trois ne passent pas par le même point. En combien de parties ces lignes divisent-elles l’avion ?
À l'aide de dessins élémentaires, vous pouvez facilement vérifier qu'une ligne droite divise le plan en 2 parties, deux lignes droites en 4 parties, trois lignes droites en 7 parties et quatre lignes droites en 11 parties.
Notons N(n) le nombre de parties en lesquelles n droites divisent le plan. On peut remarquer que
N(2)=N(1)+2=2+2,
N(3)=N(2)+3=2+2+3,
N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.
Il est naturel de supposer que
N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,
ou, comme il est facile de l'établir, en utilisant la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique,
N(n)=1+n(n+1)/2.
Prouvons la validité de cette formule en utilisant la méthode d'induction mathématique.
Pour n=1, la formule a déjà été vérifiée.
Ayant fait l’hypothèse d’induction, nous considérons k+1 droites qui satisfont aux conditions du problème. Sélectionnons-en k droites de manière arbitraire. Par l’hypothèse d’induction, ils diviseront le plan en 1+ k(k+1)/2 parties. La (k+1)ème droite restante sera divisée par les k droites sélectionnées en k+1 parties et, par conséquent, passera le long de la (k+1)ème partie dans laquelle le plan a déjà été divisé, et chaque de ces parties sera divisée en 2 parties, c'est-à-dire qu'une autre partie k+1 sera ajoutée. Donc,
N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,
Q.E.D.
10. Dans l'expression x 1 : x 2 : ... : x n, des parenthèses sont placées pour indiquer l'ordre des actions et le résultat s'écrit sous forme de fraction :
(dans ce cas, chacune des lettres x 1, x 2, ..., x n est soit au numérateur de la fraction, soit au dénominateur). Combien d’expressions différentes peut-on obtenir de cette manière avec toutes les manières possibles de placer les parenthèses ?
Tout d'abord, il est clair que dans la fraction résultante, x 1 sera au numérateur. Il est presque aussi évident que x 2 sera au dénominateur, quelle que soit la façon dont les parenthèses sont placées (le signe de division devant x 2 fait référence soit à x 2 lui-même, soit à une expression contenant x 2 au numérateur).
On peut supposer que toutes les autres lettres x 3, x 4, ..., x n peuvent être situées au numérateur ou au dénominateur de manière complètement arbitraire. Il s'ensuit qu'au total on peut obtenir 2 n–2 fractions : chacune des n–2 lettres x 3, x 4, ..., x n peut apparaître indépendamment des autres au numérateur ou au dénominateur.
Prouvons cette affirmation par induction.
Avec n=3 vous pouvez obtenir 2 fractions :
donc la déclaration est vraie.
Supposons que cela soit vrai pour n=k et prouvons-le pour n=k+1.
Laissez l'expression x 1:x 2 : ... :x k après un certain placement de parenthèses être écrite sous la forme d'une certaine fraction Q. Si dans cette expression au lieu de x k nous substituons x k:x k+1, alors x k sera au même endroit que dans la fraction Q, et x k+1 ne sera pas là où se trouvait x k (si x k était au dénominateur, alors x k+1 sera au numérateur et vice versa).
Nous allons maintenant prouver que nous pouvons ajouter x k+1 au même endroit où se trouve x k. Dans la fraction Q, après avoir placé les parenthèses, il y aura nécessairement une expression de la forme q:x k, où q est la lettre x k–1 ou une expression entre parenthèses. En remplaçant q:x k par l'expression (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1), nous obtenons évidemment la même fraction Q, où au lieu de x k il y a x k ·x k+1 .
Ainsi, le nombre de toutes les fractions possibles dans le cas n=k+1 est 2 fois plus grand que dans le cas n=k et est égal à 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2. La déclaration est donc prouvée.
Réponse : 2 n–2 fractions.
Problèmes sans solutions
1. Montrer que pour tout n naturel :
a) le nombre 5 n –3 n +2n est divisible par 4 ;
b) le nombre n 3 +11n est divisible par 6 ;
c) le nombre 7 n +3n–1 est divisible par 9 ;
d) le nombre 6 2n +19 n –2 n+1 est divisible par 17 ;
e) le nombre 7 n+1 +8 2n–1 est divisible par 19 ;
e) le nombre 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 est divisible par 27.
2. Montrer que (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).
3. Prouver l'inégalité |sin nx| n|péché x| pour tout n naturel.
4. Trouvez les nombres naturels a, b, c qui ne sont pas divisibles par 10 et tels que pour tout n naturel, les nombres a n + b n et c n ont les mêmes deux derniers chiffres.
5. Montrer que si n points ne se trouvent pas sur la même droite, alors parmi les droites qui les relient, il y en a au moins n différentes.
Leçon n°50
Sujet de la leçon : Méthode d'induction mathématique.
Le but de la leçon : Faites connaissance avecl'essence de la méthode d'induction mathématique, apprenez à appliquer cette méthode lors de la résolution de problèmes de preuve, continuez à développer des compétences informatiques et continuez à développer des connaissances mathématiques.
Pendant les cours.
Organisation du temps. Fixer des objectifs de cours
Activation des connaissances de base.
Définition d'une progression géométrique, formule du nième terme d'une progression géométrique.
Répétez la formule pour la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique.
Répétez la formule pour la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante
3. Apprendre du nouveau matériel
Lors de la résolution de nombreux problèmes, pour prouver la validité de propositions mathématiques, ainsi que pour dériver des formules, le raisonnement est souvent utilisé, appelépar la méthode de l'induction mathématique.
Par exemple, vous avez utilisé ce type de raisonnement pour dériver la formulenème terme, ainsi que lors de la dérivation de la formule de la somme du premiernmembres des progressions arithmétiques et géométriques.
L'essence de cette méthode est la suivante : si vous devez établir la validité d'une affirmation dans laquelle apparaît un nombre natureln, Que:
1) il est vérifié que l'instruction prévue est valable pour une valeur spécifiquen(par exemple pourn=1).
2) on suppose que l'énoncé est vrai pour une valeur arbitrairen = k , et il est prouvé que dans ce cas cela est également vrai pourn = k + 1. De là, nous concluons que l'énoncé est vrai pour toute valeurn, car sa justice a été découverte lorsquen=1, et d’après ce qui a été prouvé, c’est aussi vrai pourn= 2, et cela est vrai pourn= 2, alors c'est aussi vrai pourn= 3, etc
Examinons maintenant des exemples d'utilisation de cette méthode.
Exemple 1. Prouvons que pour tout naturelnil y a l'égalité
La formule est correcte pourn= 1, puisque :
Supposons que la formule soit correcte pourn = k .
Montrons que dans ce cas cela est également vrai pourn = k+ 1, c'est-à-dire
Une vérification directe a montré que la formule est correcte lorsquen =1; il sera donc également valable pourn= 2, et donc àn= 3, donc àn = 4 et en général pour tout natureln.
4. Résolution de problèmes
№249a)
Dans ce problème, vous devez prouver la formulen – èmemembre d'une progression arithmétique utilisant la méthode d'induction mathématique
Àn=1 nous avons un 1 =un 1.
Supposons que cette formule soit vraie pourkème terme, c'est-à-dire l'égalité a k = un 1 + d( k-1)
Montrons que dans ce cas cette formule est également vraie pour (k+1)ème membre. Vraiment,
UN k +1 = un 1 + d( k+1-1) = un 1 + n'importe quoi
En revanche, par définition, arif. programme. UN k +1 = UN k + d
Puisque les côtés gauches des deux dernières expressions sont égaux = et les côtés droits sont égaux :
UN k + d= un 1 + n'importe quoiou un k = un 1 + d( k-1)
L'égalité correcte qui en résulte nous permet d'affirmer que la formulenle ème terme d'une progression arithmétique convient à tout natureln
№ 255
Montrons que le nombre est 11 n+1 +12 2 n -1 pour toutes les valeurs naturellesndivisible par 133
Àn=1 nous avons 11 1+1 +12 2*1-1 =133, 133 divisé par 133
Supposons que lorsquen= kmontant 11 k +1 +12 2 k -1 divisible par 133
Montrons que cette somme est divisible par 133 àn= k+1, c'est à dire onze k +2 +12 2 k +1 divisible par 133
11 k+2 +12 2k+1 =11*11 k +1 +144*12 k-1 =11*11 k +1 +11*12 2k-1 +133*12 2k-1 =11(11 k+1 +12 2k-1 )+133*12 2k-1
Chaque terme de la somme résultante est divisé par 133. Donc 11 k +2 +12 2 k +1 divisez également par 133.
5. Réflexion
6. Configuration de D/z
§15 décider n ° 251
Lycée MBOU "Technique et Economique"
MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE
MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE.
NOTE EXPLICATIVE
Le développement méthodologique « Méthode d'induction mathématique » a été élaboré pour les étudiants de 10e année d'un profil mathématique.
Objectifs principaux : présenter aux étudiants la méthode d'induction mathématique et apprendre à l'appliquer à la résolution de divers problèmes.
Le développement méthodologique aborde des problématiques de mathématiques élémentaires : problèmes de divisibilité, preuve d'identités, preuve d'inégalités, des problèmes plus ou moins complexes sont proposés, y compris des problèmes proposés aux Olympiades.
Le rôle des conclusions inductives dans les sciences expérimentales est très grand. Ils donnent les dispositions à partir desquelles d'autres conclusions sont ensuite tirées par déduction. Nom méthode d'induction mathématique trompeuse - en fait, cette méthode est déductive et fournit une preuve rigoureuse des affirmations devinées par induction. La méthode d’induction mathématique permet d’identifier les liens entre les différentes branches des mathématiques et contribue au développement de la culture mathématique de l’élève.
Définition de la méthode d'induction mathématique. Induction complète et incomplète. Preuve des inégalités. Preuve d'identité. Résoudre les problèmes de divisibilité. Résoudre divers problèmes sur le thème « Méthode d'induction mathématique ».
LITTÉRATURE POUR ENSEIGNANTS
1. M.L. Galitski. Étude approfondie du cours d'algèbre et d'analyse mathématique. – M. Éducation 1986.
2. L.I.Zvavich. Algèbre et débuts de l'analyse. Matériel didactique. M. Outarde.2001.
3. N.Ya.Vilenkin. Algèbre et analyse mathématique. M Lumières.1995.
4. Yu.V.Mikheev. Méthode d'induction mathématique. NSU.1995.
LITTÉRATURE POUR ÉTUDIANTS
1. N.Ya.Vilenkin. Algèbre et analyse mathématique. M Lumières.1995.
2. Yu.V.Mikheev. Méthode d'induction mathématique. NSU.1995.
MOTS CLÉS
Induction, axiome, principe d'induction mathématique, induction complète, induction incomplète, énoncé, identité, inégalité, divisibilité.
ANNEXE DIDACTIQUE AU SUJET
"MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE".
Leçon 1.
Définition de la méthode d'induction mathématique.
La méthode d'induction mathématique est l'une des méthodes les plus efficaces pour rechercher de nouveaux résultats et prouver la véracité des hypothèses formulées. Bien que cette méthode mathématique ne soit pas nouvelle, son intérêt ne faiblit pas. Pour la première fois sous une présentation claire, la méthode d'induction mathématique a été utilisée au XVIIe siècle par l'éminent scientifique français Blaise Pascal pour prouver les propriétés du triangle numérique, qui porte depuis son nom. Cependant, l'idée de l'induction mathématique était connue des anciens Grecs. La méthode d'induction mathématique est basée sur le principe de l'induction mathématique, qui est accepté comme un axiome. Examinons l'idée de l'induction mathématique à l'aide d'exemples.
Exemple n°1.
Le carré est divisé en deux parties par un segment, puis l'une des parties résultantes est divisée en deux parties, et ainsi de suite. Déterminez en combien de parties le carré sera divisé P. pas?
Solution.
Après la première étape, selon la condition, nous obtiendrons 2 pièces. Dans la deuxième étape, nous laissons une partie inchangée, divisons la seconde en 2 parties et obtenons 3 parties. Dans la troisième étape, nous laissons 2 parties inchangées, divisons la troisième en deux parties et obtenons 4 parties. Dans la quatrième étape, nous laissons 3 parties inchangées, divisons la dernière partie en deux parties et obtenons 5 parties. Dans la cinquième étape, nous obtiendrons 6 parties. Cela amène à suggérer qu'à travers P.étapes que nous obtiendrons (n+1) Partie. Mais cette proposition doit être prouvée. Supposons qu'après Àétapes en lesquelles la place sera divisée (k+1) Partie. Puis sur (k+1) le pas que nous faisons À les pièces resteront inchangées, mais (k+1) divisez la partie en deux parties et obtenez (k+2) les pièces. Vous remarquez que vous pouvez argumenter de cette façon aussi longtemps que vous le souhaitez, à l’infini. Autrement dit, notre hypothèse est que grâce à P.étapes en lesquelles la place sera divisée (n+1) une partie devient prouvée.
Exemple n°2.
Ma grand-mère avait une petite-fille qui aimait beaucoup la confiture, et surtout celle qui se présentait en pot d'un litre. Mais ma grand-mère ne m'a pas permis de le toucher. Et les petites-filles avaient prévu de tromper leur grand-mère. Il a décidé de manger 1/10 de litre de ce pot chaque jour et de compléter avec de l'eau en mélangeant bien. Combien de jours faudra-t-il à grand-mère pour découvrir la tromperie si la confiture reste la même en apparence une fois diluée de moitié avec de l'eau ?
Solution.
Voyons combien de confiture pure reste dans le pot après P. jours. Après le premier jour, il restera dans le pot un mélange composé de 9/10 de confiture et 1/10 d'eau. Au bout de deux jours, 1/10 du mélange eau et confiture disparaîtra du pot et restera (1 litre du mélange contient 9/10 litres de confiture, 1/10 litre du mélange contient 9/100 litres de confiture )
9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 litres de confiture. Le troisième jour, 1/10 litre d'un mélange composé de 81/100 de confiture et 19/100 d'eau disparaîtra du pot. 1 litre de mélange contient 81/100 litres de confiture, 1/10 litre de mélange contient 81/1000 litres de confiture. 81/100 – 81/1000=
729/1000=(9/10) Il restera 3 litres de confiture au bout de 3 jours, et le reste sera absorbé par l'eau. Un modèle émerge. À travers P. jours restants en banque (9/10) P. Je fais de la confiture. Mais encore une fois, ce n’est que notre supposition.
Laisser À– un nombre naturel arbitraire. Supposons qu'après À jours, il restera (9/10) litres de confiture dans le pot. Voyons ce qu'il y aura en banque un autre jour, c'est-à-dire dans (k+1) jour. Va disparaître du pot 1/10l un mélange composé de (9/10) À je confiture et eau. DANS 1l le mélange est (9/10) À je confiture, dans 1/10l mélanges (9/10) k+1 je Confiture. Maintenant, nous pouvons le dire en toute sécurité à travers P. jours restants en banque (9/10) P. je Confiture. Dans 6 jours, la banque aura 531444/1000000l confiture, après 7 jours - 4782969/10000000l confiture, c'est-à-dire moins de la moitié.
Répondre: Au bout de 7 jours, grand-mère découvrira la tromperie.
Essayons de mettre en évidence les éléments les plus importants pour résoudre les problèmes considérés. Nous avons commencé à résoudre chacun d'eux en considérant des cas individuels ou, comme on dit, des cas particuliers. Ensuite, sur la base de nos observations, nous avons émis certaines hypothèses P(n), en fonction du naturel P.
la déclaration a été vérifiée, c'est-à-dire prouvée P(1), P(2), P(3);
suggéré que P(n) valable p = k et a conclu qu'alors ce sera vrai dans le prochain n, n=k+1.
Et puis ils ont raisonné à peu près comme ceci : P(1) droite, P(2) droite, P(3) droite, P(4) c'est vrai... ça veut dire vrai P(p).
Le principe de l'induction mathématique.
Déclaration P(n), en fonction du naturel P., valable pour tous les naturels P., Si
1) la validité de la déclaration a été prouvée lorsque n = 1 ;
2) de l'hypothèse de la validité de la déclaration P(n)à p = k devrait
justice P(n)à n=k+1.
En mathématiques, le principe de l'induction mathématique est choisi, en règle générale, comme l'un des axiomes qui définissent la série naturelle des nombres et est donc accepté sans preuve. La méthode de preuve utilisant le principe de l’induction mathématique est généralement appelée méthode d’induction mathématique. Notez que cette méthode est largement utilisée pour prouver des théorèmes, des identités, des inégalités dans la résolution de problèmes de divisibilité et de nombreux autres problèmes.
Leçon 2
Induction complète et incomplète.
Dans le cas où un énoncé mathématique concerne un nombre fini d'objets, il peut être prouvé en testant pour chaque objet, par exemple l'énoncé « Chaque nombre pair à deux chiffres est la somme de deux nombres premiers ». La méthode de preuve dans laquelle nous testons une affirmation pour un nombre fini de cas est appelée induction mathématique complète. Cette méthode est relativement rarement utilisée, puisque les instructions sont le plus souvent considérées sur des ensembles infinis. Par exemple, le théorème « Tout nombre pair est égal à la somme de deux nombres premiers » n’a pas encore été prouvé ou réfuté. Même si nous testions ce théorème sur le premier milliard, cela ne nous rapprocherait pas de sa démonstration.
Dans les sciences naturelles, une induction incomplète est utilisée, vérifiant l'expérience plusieurs fois et transférant le résultat à tous les cas.
Exemple n°3.
Devinons, par récurrence incomplète, la formule de la somme des cubes d'entiers naturels.
Solution.
1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ... ; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .
Preuve.
Que ce soit vrai pour p = k.
Montrons que c'est vrai pour n=k+1.
Conclusion : la formule de la somme des cubes d'entiers naturels est vraie pour tout entier naturel P.
Exemple n°4.
Considérez les égalités et devinez à quelle loi générale conduisent ces exemples.
Solution.
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
Exemple n°5.
Écrivez les expressions suivantes sous forme de somme :
1) 
2) 
3)
; 4) 
.
Lettre grecque « sigma ».
Exemple n°6.
Écrivez les montants suivants en utilisant le signe 
:
2) 
Exemple n°7.
Écrivez les expressions suivantes sous forme de produits :
1) 
3) 
4) 
Exemple n°8.
Écrivez les œuvres suivantes en utilisant le signe 
(lettre grecque majuscule "pi")
1) 
2)
Exemple n°9.
Calculer la valeur d'un polynôme 
F
(
n
)=
n
2
+
n
+11
, à n=1,2,3,4,5,6,7
on peut supposer que pour toutP. nombre F
(
n
)
simple.
Cette hypothèse est-elle correcte ?
Solution.
Si chaque terme d'une somme est divisible par un nombre, alors la somme est divisée par ce nombre, 
n'est un nombre premier pour aucun nombre naturelP.
L'analyse d'un nombre fini de cas joue un rôle important en mathématiques : sans donner la preuve d'un énoncé particulier, elle permet de deviner la formulation correcte de cet énoncé si elle n'est pas encore connue. C'est ainsi que Goldbach, membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, est arrivé à l'hypothèse selon laquelle tout nombre naturel, commençant par deux, est la somme de trois nombres premiers au maximum.
Lecon 3.
La méthode d'induction mathématique permet de prouver diverses identités.
Exemple n°10. Prouvons-le à tout le monde P. l'identité tient
Solution.
Mettons 
Nous devons prouver que
Montrons que Alors à partir de la vérité de l'identité
suit la vérité de l'identité 
En utilisant le principe de l'induction mathématique, la vérité de l'identité est prouvée pour tous P..
Exemple n°11.
Prouvons l'identité 
Preuve.
les égalités qui en résultent terme par terme.
; 
. Cela signifie que cette identité est vraie pour tout le mondeP.
.
Leçon n°4.
Preuve d'identité par la méthode d'induction mathématique.
Exemple n°12.
Prouvons l'identité 
Preuve.
En utilisant le principe de l'induction mathématique, nous avons prouvé que l'égalité est vraie pour tous P..
Exemple n°13.
Prouvons l'identité 
Preuve.
En utilisant le principe de l'induction mathématique, nous avons prouvé que cette affirmation est vraie pour tout élément naturel. P..
Exemple n°14. Prouvons l'identité
Preuve.
Exemple n°15. Prouvons l'identité
1)
n = 1 ;
2) pour p = k
l'égalité est vraie 
3) nous prouvons que l'égalité est vraie pour p=k+1 :
Conclusion : l'identité est valable pour tout être naturel P.
Exemple n°16. Prouvons l'identité
Preuve.
Si n=1
, Que 
Laissez l'identité tenir pour p = k.
Montrons que l'identité est valable pour n=k+1.
Alors l'identité est vraie pour tout naturel P..
Leçon n°5.
Preuve d'identité par la méthode d'induction mathématique.
Exemple n°17. Prouvons l'identité
Preuve.
Si n=2
, alors nous obtenons l'égalité correcte : 
Que l'égalité soit vraie pourp = k :
Prouvons la validité de l'énoncé lorsque n=k+1.
Selon le principe de l’induction mathématique, l’identité est prouvée.
Exemple n°18.
Prouvons l'identité 
quand n≥2.
À n=2
cette identité peut être réécrite sous une forme très simple 
et évidemment vrai.
Laissez à p = k vraiment
.
Prouvons la validité de l'énoncé lorsquen=k+1, c'est-à-dire que l'égalité est vraie : .
Nous avons donc prouvé que l’identité est vraie pour tout nombre naturel n≥2.
Exemple n°19. Prouvons l'identité
À n=1
on obtient la bonne égalité : 
Supposons que lorsque p = k on obtient également l'égalité correcte :
Montrons que l'égalité est valable pour p=k+1 :
Alors l'identité est valable pour tout nombre naturel P..
Leçon n°6.
Résoudre les problèmes de divisibilité.
Exemple n°20. Prouver par induction mathématique que
divisé par 6
sans laisser de trace.
Preuve.
À n=1
il y a une division en6
sans laisser de trace, 
.
Laissez à p = k
expression 
plusieurs6.
Prouvons que lorsque p=k+1
expression 
plusieurs6
.
Chaque terme est un multiple 6 , donc la somme est un multiple 6 .
Exemple n°21.
sur5
sans laisser de trace.
Preuve.
À n=1
l'expression est divisée sans reste 
.
Laissez à p = k
expression 
également divisé en5
sans laisser de trace.
À p=k+1 divisé par 5 .
Exemple n°22.
Prouver la divisibilité d'une expression 
sur16.
Preuve.
À n=1 plusieurs 16 .
Laissez à p = k
plusieurs16.
À p=k+1
Tous les termes sont divisibles par 16: le premier est évident, le second est une hypothèse et le troisième a un nombre pair entre parenthèses.
Exemple n°23.
Prouver la divisibilité 
sur676.
Preuve.
Montrons d'abord que 
divisé par 
.
À n=0
.
Laissez à p = k
divisé par26
.
Puis à p=k+1 divisé par 26 .
Nous allons maintenant effectuer une preuve de l'énoncé formulé dans l'énoncé du problème.
À n=1 divisé par 676.
À p = k
c'est vrai que 
divisé par26
2
.
À p=k+1 .
Les deux termes sont divisibles par 676 ; d'abord - parce que nous avons prouvé la divisibilité par 26 expression entre parenthèses, et la seconde est divisée selon l’hypothèse d’induction.
Leçon n°7.
Résoudre les problèmes de divisibilité.
Exemple n°24.
Prouve-le 
divisé par5
sans laisser de trace.
Preuve.
À n=1
divisé par5.
À p = k
divisé par5
sans laisser de trace.
À p=k+1 chaque terme est divisé par5 sans laisser de trace.
Exemple n°25.
Prouve-le 
divisé par6
sans laisser de trace.
Preuve.
À n=1
divisé par6
sans laisser de trace.
Laissez à p = k
divisé par6
sans laisser de trace.
À p=k+1 divisé par 6
sans reste, puisque chaque terme est divisible par6
sans reste : le premier terme est par hypothèse d'induction, le deuxième est évident, le troisième est parce que 
nombre pair.
Exemple n°26.
Prouve-le 
lorsqu'il est divisé par9
donne le reste 1
.
Preuve.
Prouvons que 
divisé par9
.
À n=1 
divisé par 9
. Laissez à p = k
divisé par9
.
À p=k+1 divisé par 9 .
Exemple n°27.
Montrer qu'il est divisible par15 sans laisser de trace.
Preuve.
À n=1 divisé par 15 .
Laissez à p = k divisé par 15 sans laisser de trace.
À p=k+1
Le premier terme est un multiple15
par l'hypothèse de récurrence, le deuxième terme est un multiple de15
– évidemment, le troisième terme est un multiple de15
, parce que 
plusieurs5
(démontré dans l'exemple n°21), les quatrième et cinquième termes sont également des multiples5
, ce qui est évident, alors la somme est un multiple15
.
Leçon n°8-9.
Prouver les inégalités par induction mathématique
Exemple n°28. 
.
À n=1 nous avons 
- droite.
Laissez à p = k 
- une véritable inégalité.
À p=k+1
Alors l’inégalité est valable pour tout naturel P..
Exemple n°29. Prouver que l'inégalité est vraie 
à n'importe P..
À n=1 nous obtenons la bonne inégalité 4 >1.
Laissez à p = k l'inégalité est vraie 
.
Prouvons que lorsque p=k+1 l'inégalité est vraie 
Pour tout naturel À il y a des inégalités.
Si 
à 
Que
Exemple n°30.
sous n'importe quel naturel P. et n'importe quel 
Laisser n=1 
, droite.
Supposons que l'inégalité soit vraie pour p = k: 
.
À p=k+1
Exemple n°31. Prouver la validité de l'inégalité
sous n'importe quel naturel P..
Montrons d'abord que pour tout naturel T l'inégalité est vraie
Multiplions les deux côtés de l'inégalité par 
. On obtient une inégalité équivalente ou 
; 
; - cette inégalité est valable pour tout T.
À n=1 l'inégalité originale est correcte 
; 
; 
.
Laissons les inégalités perdurer p = k : 
.
À p=k+1 
Leçon n°10.
Résoudre des problèmes sur le sujet
Méthode d'induction mathématique.
Exemple n°32. Démontrer l'inégalité de Bernoulli.
Si 
, alors pour toutes les valeurs naturellesP.
l’inégalité persiste
Preuve.
À n=1
l'inégalité prouvée prend la forme 
et évidemment juste. Supposons que cela soit vrai pourp = k
, c'est-à-dire quoi 
.
Puisque par condition 
, Que 
, et donc l'inégalité ne changera pas de sens lorsque ses deux parties seront multipliées par 
:
Parce que 
, alors nous obtenons cela
.
L’inégalité est donc vraie lorsque n=1, et de sa vérité à p = k il s'ensuit que c'est vrai même si n=k+1. Cela signifie que, en vertu de l'induction mathématique, cela s'applique à tous les phénomènes naturels. P.
Par exemple, 
Exemple n°33.
Retrouvez toutes les valeurs naturellesP.
, pour lequel l'inégalité est vraie 
Solution.
À n=1 l’inégalité est juste. À n=2 l’inégalité est également vraie.
À n=3 l’inégalité ne tient plus. Seulement quand n=6 l'inégalité est vraie, on peut donc prendre comme base d'induction n=6.
Supposons que l'inégalité soit vraie pour un certain À:
Considérez l'inégalité
La dernière inégalité est satisfaite si 
Un travail de test sur le thème p=1 est donné de manière récurrente : p≥5, où P.- -entier naturel.
MÉTHODE D'INDUCTION MATHÉMATIQUE
Le mot induction en russe signifie orientation, et les conclusions basées sur des observations, des expériences, c'est-à-dire sont appelées inductives. obtenu par inférence du particulier au général.
Par exemple, nous observons chaque jour que le Soleil se lève depuis l’est. Par conséquent, vous pouvez être sûr que demain, il apparaîtra à l’est et non à l’ouest. Nous tirons cette conclusion sans recourir à aucune hypothèse sur la raison du mouvement du Soleil dans le ciel (d'ailleurs, ce mouvement lui-même s'avère apparent, puisque le globe se déplace réellement). Et pourtant, cette conclusion inductive décrit correctement les observations que nous ferons demain.
Le rôle des conclusions inductives dans les sciences expérimentales est très grand. Ils donnent les dispositions à partir desquelles d'autres conclusions sont ensuite tirées par déduction. Et bien que la mécanique théorique soit basée sur les trois lois du mouvement de Newton, ces lois elles-mêmes sont le résultat d'une réflexion approfondie sur des données expérimentales, en particulier les lois du mouvement planétaire de Kepler, qu'il a dérivées du traitement de nombreuses années d'observations de l'astronome danois Tycho. Brahé. L'observation et l'induction s'avèrent utiles à l'avenir pour clarifier les hypothèses formulées. Après les expériences de Michelson sur la mesure de la vitesse de la lumière dans un milieu en mouvement, il s'est avéré nécessaire de clarifier les lois de la physique et de créer la théorie de la relativité.
En mathématiques, le rôle de l’induction réside en grande partie dans le fait qu’elle sous-tend les axiomatiques choisies. Après qu'une longue pratique ait montré qu'un chemin droit est toujours plus court qu'un chemin courbe ou brisé, il était naturel de formuler un axiome : pour trois points A, B et C quelconques, l'inégalité
La notion de suivi, qui est à la base de l'arithmétique, est également apparue à partir d'observations de la formation des soldats, des navires et d'autres ensembles ordonnés.
Il ne faut cependant pas penser que cela épuise le rôle de l’induction en mathématiques. Bien entendu, nous ne devrions pas tester expérimentalement des théorèmes logiquement déduits d’axiomes : si aucune erreur logique n’a été commise lors de la dérivation, alors ils sont vrais dans la mesure où les axiomes que nous avons acceptés sont vrais. Mais de nombreux énoncés peuvent être déduits de ce système d’axiomes. Et la sélection des affirmations qui doivent être prouvées est à nouveau suggérée par induction. C'est cela qui permet de séparer les théorèmes utiles des inutiles, indique quels théorèmes peuvent s'avérer vrais et aide même à tracer le chemin de la preuve.
L'essence de la méthode d'induction mathématique
Dans de nombreuses branches de l’arithmétique, de l’algèbre, de la géométrie et de l’analyse, il est nécessaire de prouver la vérité des phrases A(n) dépendant d’une variable naturelle. La preuve de la vérité de la proposition A(n) pour toutes les valeurs d'une variable peut souvent être effectuée par la méthode d'induction mathématique, qui repose sur le principe suivant.
La proposition A(n) est considérée comme vraie pour toutes les valeurs naturelles de la variable si les deux conditions suivantes sont remplies :
La proposition A(n) est vraie pour n=1.
De l’hypothèse que A(n) est vraie pour n=k (où k est n’importe quel nombre naturel), il s’ensuit qu’elle est vraie pour la valeur suivante n=k+1.
Ce principe est appelé principe d’induction mathématique. Il est généralement choisi comme l'un des axiomes définissant la série naturelle des nombres, et est donc accepté sans preuve.
La méthode d'induction mathématique signifie la méthode de preuve suivante. Si vous voulez prouver la vérité d'une phrase A(n) pour tout n naturel, alors, premièrement, vous devez vérifier la vérité de l'énoncé A(1) et, deuxièmement, en supposant la vérité de l'énoncé A(k), essayez de prouver que l'énoncé A(k +1) est vrai. Si cela peut être prouvé et que la preuve reste valable pour chaque valeur naturelle de k, alors, conformément au principe d'induction mathématique, la proposition A(n) est reconnue comme vraie pour toutes les valeurs de n.
La méthode d'induction mathématique est largement utilisée pour prouver des théorèmes, des identités, des inégalités, pour résoudre des problèmes de divisibilité, pour résoudre certains problèmes géométriques et bien d'autres.
La méthode d'induction mathématique pour résoudre des problèmes sur
divisibilité
En utilisant la méthode d'induction mathématique, vous pouvez prouver diverses affirmations concernant la divisibilité des nombres naturels.
La déclaration suivante peut être prouvée de manière relativement simple. Montrons comment il est obtenu en utilisant la méthode d'induction mathématique.
Exemple 1. Si n est un nombre naturel, alors ce nombre est pair.
Lorsque n=1 notre affirmation est vraie : - un nombre pair. Supposons qu'il s'agisse d'un nombre pair. Puisque , un 2k est un nombre pair, alors 
même. Ainsi, la parité est prouvée pour n=1, la parité se déduit de la parité 
.Cela signifie que c'est même pour toutes les valeurs naturelles de n.
Exemple 2.Prouver la vérité de la phrase
A(n)=(le nombre 5 est un multiple de 19), n est un nombre naturel.
Solution.
L’énoncé A(1)=(un nombre divisible par 19) est vrai.
Supposons que pour une valeur n=k
A(k)=(nombre divisible par 19) est vrai. Puis, puisque
Évidemment, A(k+1) est également vrai. En effet, le premier terme est divisible par 19 du fait de l'hypothèse que A(k) est vrai ; le deuxième terme est également divisible par 19 car il contient un facteur de 19. Les deux conditions du principe d'induction mathématique sont donc satisfaites, la proposition A(n) est vraie pour toutes les valeurs de n.
Application de la méthode d’induction mathématique à
série de sommation
Exemple 1.Prouver la formule
, n est un nombre naturel.
Solution.
Lorsque n = 1, les deux côtés de l’égalité deviennent un et, par conséquent, la première condition du principe d’induction mathématique est satisfaite.
Supposons que la formule soit correcte pour n=k, c'est-à-dire
.
Ajoutons les deux côtés de cette égalité et transformons le côté droit. Ensuite, nous obtenons
Ainsi, du fait que la formule est vraie pour n=k, il s’ensuit qu’elle est également vraie pour n=k+1. Cette affirmation est vraie pour toute valeur naturelle de k. Ainsi, la deuxième condition du principe d’induction mathématique est également satisfaite. La formule est éprouvée.
Exemple 2.Montrer que la somme des n premiers nombres de la série naturelle est égale à .
Solution.
Notons le montant requis, c'est-à-dire 
.
Lorsque n = 1, l'hypothèse est vraie.
Laisser 
. Montrons que 
.
En effet,
Le problème est résolu.
Exemple 3.Montrer que la somme des carrés des n premiers nombres de la série naturelle est égale à 
.
Solution.
Laisser .
.
Faisons comme si 
. Alors
Et enfin.
Exemple 4. Prouve-le .
Solution.
Si donc
Exemple 5. Prouve-le
Solution.
Lorsque n = 1, l'hypothèse est évidemment vraie.
Laisser .
Prouvons-le.
Vraiment,
Exemples d'application de la méthode d'induction mathématique à
preuve d'inégalités
Exemple 1.Montrer que pour tout entier naturel n>1
.
Solution.
Notons le côté gauche de l'inégalité par .
Par conséquent, pour n=2, l’inégalité est valide.
Laissez un peu de k. Prouvons-le alors et . Nous avons 
, .
En comparant et , nous avons 
, c'est à dire. 
.
Pour tout entier positif k, le membre de droite de la dernière égalité est positif. C'est pourquoi . Mais cela veut dire aussi.
Exemple 2.Trouvez l'erreur dans le raisonnement.
Déclaration. Pour tout nombre naturel n, l’inégalité est vraie.
Preuve.
. (1)
Montrons qu'alors l'inégalité est également valable pour n=k+1, c'est-à-dire
.
En effet, pas moins de 2 pour tout k naturel. Ajoutons au côté gauche de l'inégalité (1) et au côté droit 2. Nous obtenons une inégalité juste, ou 
. La déclaration a été prouvée.
Exemple 3.Prouve-le 
, où >-1, , n est un nombre naturel supérieur à 1.
Solution.
Pour n=2, l'inégalité est vraie, puisque .
Soit l'inégalité vraie pour n=k, où k est un nombre naturel, c'est-à-dire
. (1)
Montrons qu'alors l'inégalité est également valable pour n=k+1, c'est-à-dire
. (2)
En effet, par condition, , donc l'inégalité est vraie
, (3)
obtenu à partir de l'inégalité (1) en multipliant chaque partie par . Réécrivons l'inégalité (3) comme suit : . En écartant le terme positif du côté droit de la dernière inégalité, nous obtenons une inégalité juste (2).
Exemple 4. Prouve-le
(1)
où , , n est un nombre naturel supérieur à 1.
Solution.
Pour n=2, l'inégalité (1) prend la forme
. (2)
Puisque , alors l'inégalité est vraie
. (3)
En ajoutant à chaque partie de l'inégalité (3) on obtient l'inégalité (2).
Cela prouve que pour n=2, l’inégalité (1) est vraie.
Soit l'inégalité (1) vraie pour n=k, où k est un nombre naturel, c'est-à-dire
. (4)
Montrons qu'alors l'inégalité (1) doit également être vraie pour n=k+1, c'est-à-dire
(5)
Multiplions les deux côtés de l'inégalité (4) par a+b. Puisque, par condition , on obtient la juste inégalité suivante :
. (6)
Pour prouver la validité de l’inégalité (5), il suffit de montrer que
, (7)
ou, ce qui est pareil,
. (8)
L'inégalité (8) équivaut à l'inégalité
. (9)
Si , alors , et du côté gauche de l’inégalité (9) nous avons le produit de deux nombres positifs. Si , alors , et du côté gauche de l’inégalité (9), nous avons le produit de deux nombres négatifs. Dans les deux cas, l’inégalité (9) est vraie.
Cela prouve que la validité de l'inégalité (1) pour n=k implique sa validité pour n=k+1.
La méthode d'induction mathématique appliquée aux autres
Tâches
L'application la plus naturelle de la méthode d'induction mathématique en géométrie, proche de l'utilisation de cette méthode en théorie des nombres et en algèbre, est son application à la résolution de problèmes de calcul géométrique. Regardons quelques exemples.
Exemple 1.Calculer le côté d'un carré régulier inscrit dans un cercle de rayon R.
Solution.
Quand n=2 corriger 2 n - un carré est un carré ; son côté. De plus, selon la formule de doublement
on trouve que le côté d'un octogone régulier 
, côté d'un hexagone régulier 
, côté d'un triangle régulier trente-deux 
. On peut donc supposer que le côté du bon inscrit 2 n - carré pour tout égal
. (1)
Supposons que le côté d'un triangle régulier inscrit soit exprimé par la formule (1). Dans ce cas, selon la formule de doublement
,
d'où il s'ensuit que la formule (1) est valable pour tout n.
Exemple 2.En combien de triangles un n-gone (pas nécessairement convexe) peut-il être divisé par ses diagonales disjointes ?
Solution.
Pour un triangle, ce nombre est égal à un (pas une seule diagonale ne peut être tracée dans un triangle) ; pour un quadrilatère ce nombre est évidemment deux.
Supposons que nous sachions déjà que chaque k-gon, où k
Un
Un 1 Un 2
Soit A 1 A k une des diagonales de cette partition ; il divise le n-gon A 1 A 2 ...A n en k-gon A 1 A 2 ...A k et le (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 .. .Un . En raison de l'hypothèse faite, le nombre total de triangles dans la partition sera égal à
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
Ainsi, notre affirmation est prouvée pour tout n.
Exemple 3.Énoncez la règle pour calculer le nombre P(n) de façons dont un n-gone convexe peut être divisé en triangles par des diagonales disjointes.
Solution.
Pour un triangle, ce nombre est évidemment égal à un : P(3)=1.
Supposons que nous ayons déjà déterminé les nombres P(k) pour tout k
Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).
En utilisant cette formule, nous obtenons systématiquement :
P(4)=P(3)+P(3)=2,
P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,
P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14
etc.
Vous pouvez également résoudre des problèmes avec des graphiques en utilisant la méthode d'induction mathématique.
Supposons qu'il y ait un réseau de lignes sur le plan qui relient certains points et n'en ont aucun autre. Nous appellerons un tel réseau de lignes une carte, étant donné les points comme sommets, les segments de courbes entre deux sommets adjacents - les limites de la carte, les parties du plan dans lesquelles elle est divisée par les frontières - les pays de la carte.
Qu'une carte soit donnée dans l'avion. Nous dirons qu'il est correctement coloré si chacun de ses pays est peint avec une certaine couleur, et que deux pays ayant une frontière commune sont peints avec des couleurs différentes.
Exemple 4.Il y a n cercles dans l'avion. Montrer que pour tout agencement de ces cercles, la carte qu’ils forment peut être correctement colorée avec deux couleurs.
Solution.
Pour n=1, notre affirmation est évidente.
Supposons que notre affirmation soit vraie pour toute carte formée de n cercles, et qu'il y ait n+1 cercles sur le plan. En supprimant l'un de ces cercles, on obtient une carte qui, grâce à l'hypothèse formulée, peut être correctement colorée avec deux couleurs, par exemple le noir et le blanc.
La vraie connaissance a toujours été basée sur l’établissement d’un modèle et la preuve de sa véracité dans certaines circonstances. Au cours d’une si longue période d’existence du raisonnement logique, des formulations de règles ont été données, et Aristote a même dressé une liste de « raisonnements corrects ». Historiquement, il était d'usage de diviser toutes les inférences en deux types : du concret au multiple (induction) et vice versa (déduction). Il convient de noter que les types de preuves du particulier au général et du général au particulier n'existent que conjointement et ne peuvent être interchangeables.
Introduction aux mathématiques
Le terme « induction » a des racines latines et se traduit littéralement par « orientation ». En y regardant de plus près, on peut mettre en évidence la structure du mot, à savoir le préfixe latin - in- (désigne une action dirigée vers l'intérieur ou être à l'intérieur) et -duction - introduction. Il convient de noter qu’il existe deux types : l’induction complète et incomplète. La forme complète est caractérisée par des conclusions tirées de l'étude de tous les objets d'une certaine classe.
Incomplet - conclusions qui s'appliquent à toutes les matières de la classe, mais sont fondées sur l'étude de certaines unités seulement.
L'induction mathématique complète est une inférence basée sur une conclusion générale sur l'ensemble de la classe de tout objet fonctionnellement connecté par les relations d'une série naturelle de nombres basée sur la connaissance de cette connexion fonctionnelle. Dans ce cas, le processus de preuve se déroule en trois étapes :
- la première prouve l’exactitude de la position de l’induction mathématique. Exemple : f = 1, induction ;
- l'étape suivante repose sur l'hypothèse que la position est valable pour tous les nombres naturels. Autrement dit, f=h est une hypothèse inductive ;
- à la troisième étape, la validité de la position pour le nombre f=h+1 est prouvée, sur la base de l'exactitude de la position du point précédent - il s'agit d'une transition d'induction, ou d'une étape d'induction mathématique. Un exemple est ce qu'on appelle si la première pierre d'une rangée tombe (base), alors toutes les pierres de la rangée tombent (transition).
A la fois en plaisantant et sérieusement
Pour faciliter la compréhension, des exemples de solutions utilisant la méthode d'induction mathématique sont présentés sous forme de problèmes de plaisanterie. Voici la tâche « Polite Queue » :
- Les règles de conduite interdisent à un homme de passer son tour devant une femme (dans une telle situation, elle est autorisée à avancer). D’après cette affirmation, si le dernier en ligne est un homme, alors tous les autres sont un homme.
Un exemple frappant de la méthode d’induction mathématique est le problème du « Vol sans dimension » :
- Il est nécessaire de prouver qu'un nombre illimité de personnes peuvent monter à bord du minibus. Il est vrai qu’une seule personne peut entrer sans difficulté à l’intérieur d’un véhicule (base). Mais quel que soit le niveau de remplissage du minibus, 1 passager pourra toujours y prendre place (étape d'induction).
Cercles familiers
Les exemples de résolution de problèmes et d’équations par induction mathématique sont assez courants. Pour illustrer cette approche, considérons le problème suivant.
Condition: il y a h cercles sur le plan. Il faut prouver que, pour toute disposition de figures, la carte qu'elles forment peut être correctement coloriée avec deux couleurs.
Solution: lorsque h=1 la vérité de l'énoncé est évidente, donc la preuve sera construite pour le nombre de cercles h+1.
Acceptons l'hypothèse que l'énoncé est valable pour n'importe quelle carte et qu'il y a h+1 cercles sur le plan. En supprimant un des cercles du total, vous pouvez obtenir une carte correctement colorée avec deux couleurs (noir et blanc).
Lors de la restauration d'un cercle supprimé, la couleur de chaque zone change à l'opposé (dans ce cas, à l'intérieur du cercle). Le résultat est une carte correctement colorée en deux couleurs, ce qui restait à prouver.
Exemples avec des nombres naturels
L’application de la méthode d’induction mathématique est clairement illustrée ci-dessous.
Exemples de solutions :
Montrer que pour tout h l’égalité suivante est correcte :
1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.
1. Soit h=1, ce qui signifie :
R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1
Il s’ensuit que pour h=1, l’énoncé est correct.
2. En supposant que h=d, l’équation est obtenue :
R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1
3. En supposant que h=d+1, il s'avère :
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2j+3)/6.
Ainsi, la validité de l'égalité pour h=d+1 a été prouvée, donc l'énoncé est vrai pour tout nombre naturel, comme le montre l'exemple de solution par induction mathématique.
Tâche
Condition: il faut prouver que pour toute valeur de h l'expression 7 h -1 est divisible par 6 sans reste.
Solution:
1. Disons h=1, dans ce cas :
R 1 =7 1 -1=6 (c'est-à-dire divisé par 6 sans reste)
Par conséquent, pour h=1, l’énoncé est vrai ;
2. Soient h=d et 7 d -1 divisés par 6 sans reste ;
3. La preuve de la validité de l'énoncé pour h=d+1 est la formule :
R ré +1 =7 ré +1 -1=7∙7 ré -7+6=7(7 ré -1)+6
Dans ce cas, le premier terme est divisible par 6 selon l'hypothèse du premier point, et le deuxième terme est égal à 6. L'affirmation selon laquelle 7 h -1 est divisible par 6 sans reste pour tout h naturel est vraie.
Erreur de jugement
Un raisonnement incorrect est souvent utilisé dans les preuves en raison de l'inexactitude des constructions logiques utilisées. Cela se produit principalement lorsque la structure et la logique de la preuve sont violées. Un exemple de raisonnement incorrect est l’illustration suivante.
Tâche
Condition: il faut prouver que tout tas de pierres n'est pas un tas.
Solution:
1. Disons h=1, dans ce cas il y a 1 pierre dans la pile et l'énoncé est vrai (base) ;
2. Soit vrai pour h=d qu'un tas de pierres n'est pas un tas (hypothèse) ;
3. Soit h=d+1, d'où il résulte qu'en ajoutant une pierre supplémentaire, l'ensemble ne sera pas un tas. La conclusion suggère que l'hypothèse est valable pour tout h naturel.
L’erreur est qu’il n’y a pas de définition du nombre de pierres qui forment un tas. Une telle omission s’appelle une généralisation hâtive dans la méthode d’induction mathématique. Un exemple le montre clairement.
L'induction et les lois de la logique
Historiquement, ils « marchent toujours main dans la main ». Des disciplines scientifiques telles que la logique et la philosophie les décrivent sous forme d'opposés.
Du point de vue de la loi de la logique, les définitions inductives s'appuient sur des faits et la véracité des prémisses ne détermine pas l'exactitude de l'énoncé résultant. Souvent, les conclusions sont obtenues avec un certain degré de probabilité et de plausibilité, qui doivent naturellement être vérifiées et confirmées par des recherches supplémentaires. Un exemple d’induction en logique serait l’énoncé suivant :
Il y a une sécheresse en Estonie, une sécheresse en Lettonie, une sécheresse en Lituanie.
L'Estonie, la Lettonie et la Lituanie sont des États baltes. La sécheresse frappe tous les pays baltes.
De l'exemple, nous pouvons conclure que de nouvelles informations ou vérités ne peuvent pas être obtenues en utilisant la méthode d'induction. La seule chose sur laquelle on peut compter, c'est une possible véracité des conclusions. De plus, la véracité des prémisses ne garantit pas les mêmes conclusions. Cependant, ce fait ne signifie pas que l'induction languit aux marges de la déduction : un grand nombre de dispositions et de lois scientifiques sont justifiées par la méthode de l'induction. Un exemple est les mêmes mathématiques, biologie et autres sciences. Cela est principalement dû à la méthode d’induction complète, mais dans certains cas, une induction partielle est également applicable.
L’ère vénérable de l’induction lui a permis de pénétrer presque toutes les sphères de l’activité humaine : la science, l’économie et les conclusions quotidiennes.
Insertion dans la communauté scientifique
La méthode d'induction nécessite une attitude scrupuleuse, car trop dépend du nombre de parties de l'ensemble étudié : plus le nombre étudié est grand, plus le résultat est fiable. Sur la base de cette caractéristique, les lois scientifiques obtenues par induction sont testées depuis longtemps au niveau d'hypothèses probabilistes pour isoler et étudier tous les éléments structurels, connexions et influences possibles.
En science, une conclusion inductive repose sur des caractéristiques significatives, à l'exception des dispositions aléatoires. Ce fait est important en relation avec les spécificités de la connaissance scientifique. Cela se voit clairement dans les exemples d’induction en science.
Il existe deux types d'induction dans le monde scientifique (en lien avec la méthode d'étude) :
- induction-sélection (ou sélection) ;
- induction - exclusion (élimination).
Le premier type se distingue par la sélection méthodique (scrupuleuse) des échantillons d'une classe (sous-classes) parmi ses différents domaines.
Un exemple de ce type d'induction est le suivant : l'argent (ou les sels d'argent) purifie l'eau. La conclusion est basée sur de nombreuses années d'observations (une sorte de sélection de confirmations et de réfutations - sélection).
Le deuxième type d'induction repose sur des conclusions qui établissent des relations causales et excluent les circonstances qui ne correspondent pas à ses propriétés, à savoir l'universalité, le respect de l'ordre temporel, la nécessité et l'absence d'ambiguïté.
Induction et déduction du point de vue de la philosophie
En regardant en arrière, le terme induction a été mentionné pour la première fois par Socrate. Aristote a décrit des exemples d'induction en philosophie dans un dictionnaire terminologique plus approximatif, mais la question de l'induction incomplète reste ouverte. Après la persécution du syllogisme aristotélicien, la méthode inductive a commencé à être reconnue comme féconde et la seule possible dans les sciences naturelles. Bacon est considéré comme le père de l'induction en tant que méthode spéciale indépendante, mais il n'a pas réussi à séparer l'induction de la méthode déductive, comme l'exigeaient ses contemporains.
L'induction a été développée davantage par J. Mill, qui a considéré la théorie inductive du point de vue de quatre méthodes principales : l'accord, la différence, les résidus et les changements correspondants. Il n’est pas surprenant qu’aujourd’hui les méthodes énumérées, examinées en détail, soient déductives.
La prise de conscience de l'incohérence des théories de Bacon et Mill a conduit les scientifiques à étudier la base probabiliste de l'induction. Cependant, même ici, il y avait quelques extrêmes : des tentatives ont été faites pour réduire l'induction à la théorie des probabilités avec toutes les conséquences qui en découlent.
L'induction reçoit un vote de confiance grâce à son application pratique dans certains domaines et grâce à la précision métrique de la base inductive. Un exemple d'induction et de déduction en philosophie peut être considéré comme la loi de la gravitation universelle. À la date de découverte de la loi, Newton était capable de la vérifier avec une précision de 4 pour cent. Et lors de la vérification plus de deux cents ans plus tard, l'exactitude a été confirmée avec une précision de 0,0001 pour cent, bien que la vérification ait été effectuée par les mêmes généralisations inductives.
La philosophie moderne accorde plus d'attention à la déduction, qui est dictée par le désir logique de dériver de nouvelles connaissances (ou vérités) de ce qui est déjà connu, sans recourir à l'expérience ou à l'intuition, mais en utilisant un raisonnement « pur ». Lorsqu’on se réfère à de vraies prémisses dans la méthode déductive, dans tous les cas, le résultat est une déclaration vraie.
Cette caractéristique très importante ne doit pas occulter l’intérêt de la méthode inductive. Car l'induction, fondée sur les acquis de l'expérience, devient aussi un moyen de la traiter (y compris la généralisation et la systématisation).
Application de l'induction en économie
L'induction et la déduction ont longtemps été utilisées comme méthodes pour étudier l'économie et prévoir son évolution.
Le spectre d'utilisation de la méthode d'induction est assez large : étudier la réalisation d'indicateurs prévisionnels (bénéfices, dépréciation, etc.) et une évaluation générale de l'état de l'entreprise ; formation d'une politique efficace de promotion des entreprises basée sur les faits et leurs relations.
La même méthode d'induction est utilisée dans les « cartes de Shewhart », où, sous l'hypothèse de la division des processus en contrôlés et incontrôlables, il est indiqué que le cadre du processus contrôlé est inactif.
Il convient de noter que les lois scientifiques sont étayées et confirmées par la méthode d'induction, et puisque l'économie est une science qui utilise souvent l'analyse mathématique, la théorie du risque et les statistiques, il n'est pas du tout surprenant que l'induction figure sur la liste des principales méthodes.
Un exemple d’induction et de déduction en économie est la situation suivante. L'augmentation du prix des denrées alimentaires (du panier du consommateur) et des biens de première nécessité pousse le consommateur à réfléchir au coût élevé qui apparaît dans l'État (induction). Dans le même temps, du fait des prix élevés, à l'aide de méthodes mathématiques, il est possible de dériver des indicateurs de croissance des prix pour des biens individuels ou des catégories de biens (déduction).
Le plus souvent, les cadres, les managers et les économistes se tournent vers la méthode d'intégration. Afin de pouvoir prédire avec suffisamment de véracité le développement d'une entreprise, le comportement du marché et les conséquences de la concurrence, une approche inductive-déductive de l'analyse et du traitement de l'information est nécessaire.
Un exemple clair d’induction en économie liée aux jugements erronés :
- le bénéfice de l'entreprise a diminué de 30 % ;
une entreprise concurrente a élargi sa gamme de produits ;
rien d'autre n'a changé ; - la politique de production d'une entreprise concurrente a entraîné une réduction des bénéfices de 30 % ;
- par conséquent, la même politique de production doit être mise en œuvre.
Cet exemple est une illustration colorée de la manière dont une utilisation inappropriée de la méthode d’induction contribue à la ruine d’une entreprise.
Déduction et induction en psychologie
Puisqu’il y a une méthode, alors, logiquement, il y a aussi une pensée bien organisée (pour utiliser la méthode). La psychologie, en tant que science qui étudie les processus mentaux, leur formation, leur développement, leurs relations, leurs interactions, prête attention à la pensée « déductive », comme l'une des formes de manifestation de la déduction et de l'induction. Malheureusement, sur les pages de psychologie sur Internet, il n'y a pratiquement aucune justification pour l'intégrité de la méthode déductive-inductive. Bien que les psychologues professionnels soient plus souvent confrontés à des manifestations d'induction, ou plutôt à des conclusions erronées.
Un exemple d'induction en psychologie, pour illustrer des jugements erronés, est l'affirmation : ma mère trompe, donc toutes les femmes sont des trompeuses. Vous pouvez glaner des exemples encore plus « erronés » d’induction dans la vie :
- un élève est incapable de rien s'il obtient une mauvaise note en mathématiques ;
- c'est un imbécile ;
- il est intelligent;
- Je peux tout faire;
Et bien d’autres jugements de valeur fondés sur des prémisses complètement aléatoires et parfois insignifiantes.
Il convient de le noter : lorsque l’erreur de jugement d’une personne atteint le point de l’absurdité, une frontière de travail apparaît pour le psychothérapeute. Un exemple d’intégration lors d’un rendez-vous spécialisé :
«Le patient est absolument sûr que la couleur rouge n'est dangereuse pour lui que sous quelque forme que ce soit. En conséquence, la personne a exclu cette palette de couleurs de sa vie - autant que possible. Il existe de nombreuses possibilités pour un séjour confortable à la maison. Vous pouvez refuser tous les articles rouges ou les remplacer par des analogues fabriqués dans une palette de couleurs différente. Mais dans les lieux publics, au travail, dans un magasin, c'est impossible. Lorsqu’un patient se trouve dans une situation stressante, il éprouve à chaque fois une « marée » d’états émotionnels complètement différents, qui peuvent constituer un danger pour les autres.
Cet exemple d’induction, et d’induction inconsciente, est appelé « idées fixes ». Si cela arrive à une personne en bonne santé mentale, on peut parler d'un manque d'organisation de l'activité mentale. Un moyen de se débarrasser des états obsessionnels peut être le développement élémentaire de la pensée déductive. Dans d'autres cas, les psychiatres travaillent avec ces patients.
Les exemples d’induction ci-dessus indiquent que « l’ignorance de la loi ne vous exempte pas des conséquences (de jugements erronés) ».
Les psychologues, travaillant sur le thème de la pensée déductive, ont dressé une liste de recommandations destinées à aider les gens à maîtriser cette méthode.
Le premier point est la résolution de problèmes. Comme on peut le constater, la forme d’induction utilisée en mathématiques peut être considérée comme « classique », et l’utilisation de cette méthode contribue à la « discipline » de l’esprit.
La prochaine condition pour le développement de la pensée déductive est d’élargir ses horizons (ceux qui pensent clairement s’expriment clairement). Cette recommandation oriente la « souffrance » vers les trésors de la science et de l’information (bibliothèques, sites Internet, initiatives éducatives, voyages, etc.).
Une mention particulière doit être faite à ce que l'on appelle « l'induction psychologique ». Ce terme, bien que peu courant, peut être trouvé sur Internet. Toutes les sources ne fournissent pas au moins une brève formulation de la définition de ce terme, mais se réfèrent à des « exemples tirés de la vie », tout en faisant passer pour un nouveau type d'induction soit la suggestion, soit certaines formes de maladie mentale, soit des états extrêmes de la vie. psychisme humain. De tout ce qui précède, il est clair que tenter de dériver un « nouveau terme » basé sur des prémisses fausses (souvent fausses) condamne l’expérimentateur à obtenir une déclaration erronée (ou hâtive).
Il convient de noter que la référence aux expériences de 1960 (sans indiquer le lieu, les noms des expérimentateurs, l'échantillon de sujets et, surtout, le but de l'expérience) semble, pour le moins, peu convaincante, et le l'affirmation selon laquelle le cerveau perçoit des informations en contournant tous les organes de perception (l'expression « est affecté » s'intégrerait de manière plus organique dans ce cas), fait réfléchir sur la crédulité et le manque de sens critique de l'auteur de l'affirmation.
Au lieu d'une conclusion
Ce n’est pas pour rien que la reine des sciences, les mathématiques, utilise toutes les réserves possibles de la méthode d’induction et de déduction. Les exemples considérés nous permettent de conclure que l'application superficielle et inepte (irréfléchie, comme on dit) des méthodes, même les plus précises et les plus fiables, conduit toujours à des résultats erronés.
Dans la conscience de masse, la méthode de déduction est associée au célèbre Sherlock Holmes, qui dans ses constructions logiques utilise plus souvent des exemples d'induction, utilisant la déduction dans les bonnes situations.
L'article examine des exemples d'application de ces méthodes dans diverses sciences et sphères de l'activité humaine.