समाधान के साथ टेलर श्रृंखला ऑनलाइन। पावर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार

यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)कुछ अंतराल पर बिंदु युक्त है ए, सभी आदेशों के व्युत्पन्न, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:

कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:

, जहां संख्या x बीच में है एक्सऔर ए.

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन®0 पर एन®¥, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए एक अभिसरण सूत्र में बदल जाता है टेलर श्रृंखला:

तो समारोह एफ(एक्स)विचाराधीन बिंदु पर इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है एक्स, अगर:

1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;

2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

पर ए=0 हमें एक श्रृंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:

उदाहरण 1 एफ(एक्स)= 2एक्स.

समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान ज्ञात करें एक्स=0

एफ(एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;

एफ¢(एक्स) = 2एक्सएलएन2, एफ¢( 0) = 2 0 एलएन2= एलएन2;

f¢¢(x) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ¢¢( 0) = 2 0 एलएन 2 2= एलएन 2 2;

एफ(एन)(एक्स) = 2एक्सएल.एन एन 2, एफ(एन)( 0) = 2 0 एल.एन एन 2=एल.एन एन 2.

डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -¥ के लिए मान्य है<एक्स<+¥.

उदाहरण 2 एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स)=ई एक्स.

समाधान. फ़ंक्शन ई के व्युत्पन्न ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.

एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;

एफ¢(एक्स)= ई एक्स, एफ¢(-4) = ई -4 ;

f¢¢(x)= ई एक्स, एफ¢¢(-4) = ई -4 ;

एफ(एन)(एक्स)= ई एक्स, एफ(एन)( -4) = ई -4 .

इसलिए, फ़ंक्शन की आवश्यक टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

यह विस्तार -¥ के लिए भी मान्य है<एक्स<+¥.

उदाहरण 3 . किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=एल.एन एक्सशक्तियों में एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),

(अर्थात टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास एक्स=1).

समाधान. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त होती है:

डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, आप यह सत्यापित कर सकते हैं कि श्रृंखला कब अभिसरण करती है

½ एक्स- 1½<1. Действительно,

यदि ½ हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त होती है जो लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है। पर एक्स=0 फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है. इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

आइए हम इस प्रकार प्राप्त विस्तारों को मैकलॉरिन श्रृंखला (अर्थात बिंदु के आसपास) में प्रस्तुत करें एक्स=0) कुछ प्राथमिक कार्यों के लिए:

(2) ,

(3) ,

(अंतिम अपघटन कहलाता है द्विपद श्रृंखला)

उदाहरण 4 . फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें

समाधान. विस्तार में (1) हम प्रतिस्थापित करते हैं एक्सपर - एक्स 2, हमें मिलता है:

उदाहरण 5 . मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें

समाधान. हमारे पास है

सूत्र (4) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

इसके स्थान पर प्रतिस्थापित करना एक्ससूत्र में -एक्स, हम पाते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं:

कोष्ठक खोलने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पद लाने पर, हमें मिलता है

यह शृंखला अंतराल में अभिसरित होती है

(-1;1), चूँकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होता है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करता है।

टिप्पणी .

सूत्र (1)-(5) का उपयोग संबंधित कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक घातों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1)-(5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत k( हा) m , जहां k एक स्थिर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर में परिवर्तन करना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में t के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि किसी फ़ंक्शन की शक्ति श्रृंखला विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय को दर्शाती है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखलाएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाएंगी, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण 6 . किसी बिंदु के पड़ोस में टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें एक्स=3.

समाधान. इस समस्या को, पहले की तरह, टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसके लिए हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा विस्तार का उपयोग करना आसान होगा (5):

परिणामी श्रृंखला पर अभिसरित होती है या -3<एक्स- 3<3, 0<एक्स< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

उदाहरण 7 . टेलर श्रृंखला को घातों में लिखें ( एक्स-1) कार्य .

समाधान.

शृंखला पर एकत्रित होती है , या -2< एक्स£5.

"फ़ंक्शन f(x) का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें"- यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा उच्च गणित में कार्य लगता है, जिसे कुछ छात्र कर सकते हैं, जबकि अन्य उदाहरणों का सामना नहीं कर सकते। शक्तियों में एक श्रृंखला का विस्तार करने के कई तरीके हैं; यहां हम मैकलॉरिन श्रृंखला में कार्यों का विस्तार करने की एक तकनीक देंगे। किसी श्रृंखला में कोई फ़ंक्शन विकसित करते समय, आपको डेरिवेटिव की गणना करने में अच्छा होना चाहिए।

उदाहरण 4.7 किसी फ़ंक्शन को x की घातों में विस्तारित करें

गणना: हम फ़ंक्शन का विस्तार मैकलॉरिन सूत्र के अनुसार करते हैं। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन के हर को एक श्रृंखला में विस्तारित करें

अंत में, विस्तार को अंश से गुणा करें।
पहला पद शून्य f (0) = 1/3 पर फ़ंक्शन का मान है।
आइए पहले और उच्च क्रम f (x) के फ़ंक्शन के डेरिवेटिव और बिंदु x=0 पर इन डेरिवेटिव का मान खोजें




इसके बाद, 0 पर डेरिवेटिव के मान में परिवर्तन के पैटर्न के आधार पर, हम nवें डेरिवेटिव के लिए सूत्र लिखते हैं

इसलिए, हम हर को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार के रूप में दर्शाते हैं

हम अंश-गणक से गुणा करते हैं और x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का वांछित विस्तार प्राप्त करते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है।
सभी मुख्य बिंदु डेरिवेटिव की गणना करने और शून्य पर उच्च क्रम डेरिवेटिव के मूल्य को तुरंत सामान्यीकृत करने की क्षमता पर आधारित हैं। निम्नलिखित उदाहरण आपको यह सीखने में मदद करेंगे कि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रृंखला में शीघ्रता से कैसे व्यवस्थित किया जाए।

उदाहरण 4.10 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें

गणना: जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, हम कोसाइन को अंश में एक श्रृंखला में रखेंगे। ऐसा करने के लिए, आप अपरिमित मात्राओं के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, या डेरिवेटिव के माध्यम से कोसाइन विस्तार प्राप्त कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, हम x की घातों में निम्नलिखित श्रृंखला पर पहुँचते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास न्यूनतम गणनाएं और श्रृंखला विस्तार का एक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण 4.16 x की घातों में एक फ़ंक्शन का विस्तार करें:
7/(12-x-x^2)
गणना: इस प्रकार के उदाहरणों में, साधारण भिन्नों के योग के माध्यम से भिन्न का विस्तार करना आवश्यक है।
हम अभी यह नहीं दिखाएंगे कि यह कैसे करना है, लेकिन अनिश्चित गुणांकों की सहायता से हम भिन्नों के योग पर पहुंचेंगे।
आगे हम हरों को घातांकीय रूप में लिखते हैं

मैकलॉरिन सूत्र का उपयोग करके शर्तों का विस्तार करना बाकी है। "x" की समान घातों पर पदों का योग करके, हम एक श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार के सामान्य पद के लिए एक सूत्र बनाते हैं



शुरुआत में श्रृंखला में संक्रमण के अंतिम भाग को लागू करना मुश्किल है, क्योंकि युग्मित और अयुग्मित सूचकांकों (डिग्री) के लिए सूत्रों को संयोजित करना मुश्किल है, लेकिन अभ्यास के साथ आप इसमें बेहतर हो जाएंगे।

उदाहरण 4.18 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें

गणना: आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए मैकलेरन के सूत्रों में से एक का उपयोग करके फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करें:

हम श्रृंखला का योग प्रत्येक पद के आधार पर इस तथ्य के आधार पर करते हैं कि दोनों बिल्कुल समान हैं। पूरी श्रृंखला को पद दर पद एकीकृत करने के बाद, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त करते हैं

विस्तार की अंतिम दो पंक्तियों के बीच एक संक्रमण होता है जिसमें शुरुआत में आपका काफी समय लगेगा। किसी श्रृंखला सूत्र को सामान्य बनाना हर किसी के लिए आसान नहीं है, इसलिए एक अच्छा, संक्षिप्त सूत्र प्राप्त न कर पाने के बारे में चिंता न करें।

उदाहरण 4.28 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें:

आइए लघुगणक को इस प्रकार लिखें

मैकलॉरिन के सूत्र का उपयोग करके, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में लघुगणक फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं

अंतिम कनवल्शन पहली नज़र में जटिल है, लेकिन संकेतों को बदलने पर आपको हमेशा कुछ समान मिलेगा। एक पंक्ति में कार्यों को शेड्यूल करने के विषय पर इनपुट पाठ पूरा हो गया है। अन्य समान रूप से दिलचस्प अपघटन योजनाओं पर निम्नलिखित सामग्रियों में विस्तार से चर्चा की जाएगी।

कार्यात्मक श्रृंखला के सिद्धांत में, केंद्रीय स्थान पर एक फ़ंक्शन के श्रृंखला में विस्तार के लिए समर्पित अनुभाग का कब्जा है।

इस प्रकार, कार्य निर्धारित है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए हमें ऐसी शक्ति शृंखला खोजने की आवश्यकता है

जो एक निश्चित अंतराल पर एकत्रित होता था और उसका योग बराबर होता था
, वे।

= ..

इस कार्य को कहा जाता है किसी फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करने की समस्या।

किसी शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटितता के लिए एक आवश्यक शर्तक्या इसकी भिन्नता अनंत बार है - यह अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुणों से निम्नानुसार है। यह शर्त, एक नियम के रूप में, उनकी परिभाषा के क्षेत्र में प्राथमिक कार्यों के लिए संतुष्ट है।

तो चलिए मान लेते हैं कि function
किसी भी क्रम का व्युत्पन्न है। क्या इसे पावर श्रृंखला में विस्तारित करना संभव है? यदि हां, तो हम इस श्रृंखला को कैसे ढूंढ सकते हैं? समस्या का दूसरा भाग हल करना आसान है, तो चलिए इससे शुरू करते हैं।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन
बिंदु युक्त अंतराल में अभिसरण करने वाली शक्ति श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स 0 :

= .. (*)

कहाँ ए 0 ,ए 1 ,ए 2 ,...,ए एन ,... - अज्ञात (अभी तक) गुणांक।

आइए हम मान को समानता (*) में रखें एक्स = एक्स 0 , तो हम पाते हैं

.

आइए हम पद दर पद घात श्रृंखला (*) में अंतर करें

= ..

और यहाँ विश्वास है एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं

.

अगले विभेदन से हमें श्रृंखला प्राप्त होती है

= ..

विश्वास एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ
.

बाद एन- हमें कई भेदभाव मिलते हैं

अंतिम समानता में मानते हुए एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ

तो, गुणांक पाए जाते हैं

,
,
, …,
,….,

जिसे श्रृंखला (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

परिणामी श्रृंखला कहलाती है टेलर के बगल में समारोह के लिए
.

इस प्रकार, हमने इसे स्थापित किया है यदि फ़ंक्शन को घातों (x - x) में घात श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है 0 ), तो यह विस्तार अद्वितीय है और परिणामी श्रृंखला आवश्यक रूप से एक टेलर श्रृंखला है।

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला किसी भी फ़ंक्शन के लिए प्राप्त की जा सकती है जिसमें बिंदु पर किसी भी क्रम का व्युत्पन्न होता है एक्स = एक्स 0 . लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि फ़ंक्शन और परिणामी श्रृंखला के बीच एक समान चिह्न रखा जा सकता है, अर्थात। कि श्रृंखला का योग मूल फलन के बराबर है। सबसे पहले, ऐसी समानता केवल अभिसरण के क्षेत्र में समझ में आ सकती है, और फ़ंक्शन के लिए प्राप्त टेलर श्रृंखला भिन्न हो सकती है, और दूसरी बात, यदि टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग मूल फ़ंक्शन के साथ मेल नहीं खा सकता है।

3.2. टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ

आइए एक कथन तैयार करें जिसकी सहायता से कार्य हल हो जाएगा।

यदि फ़ंक्शन
बिंदु x के किसी पड़ोस में 0 तक डेरिवेटिव हैं (एन+ 1) आदेश समावेशी, तो इस पड़ोस में हमारे पास हैFORMULA टेलर

कहाँआर एन (एक्स)-टेलर सूत्र के शेष पद का रूप है (लैग्रेंज रूप)

कहाँ डॉटξ x और x के बीच स्थित है 0 .

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला और टेलर सूत्र के बीच अंतर है: टेलर सूत्र एक सीमित योग है, यानी। पी -निर्धारित अंक।

श्रृंखला के उस योग को याद करें एस(एक्स) इसे आंशिक योगों के कार्यात्मक अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एस एन (एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स:

.

इसके अनुसार, किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का मतलब किसी के लिए ऐसी श्रृंखला ढूंढना है एक्सएक्स

आइए टेलर के सूत्र को इस रूप में लिखें

ध्यान दें कि
हमें मिलने वाली त्रुटि को परिभाषित करता है, फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करता है एफ(एक्स) बहुपद एस एन (एक्स).

अगर
, वह
,वे। फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है। इसके विपरीत, यदि
, वह
.

इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटितता के लिए मानदंड।

समारोह के लिएएफ(x) टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है, इस अंतराल पर यह आवश्यक और पर्याप्त है
, कहाँआर एन (एक्स) टेलर श्रृंखला का शेष पद है।

तैयार किए गए मानदंड का उपयोग करके, कोई भी प्राप्त कर सकता है पर्याप्तटेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए शर्तें।

मैं फ़िनबिंदु x का कुछ पड़ोस 0 फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव के निरपेक्ष मान समान संख्या M तक सीमित हैं≥ 0, यानी

, टीo इस पड़ोस में फ़ंक्शन टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है।

ऊपर से यह इस प्रकार है एल्गोरिदमकार्य विस्तार एफ(एक्स) टेलर श्रृंखला मेंएक बिंदु के आसपास एक्स 0 :

1. फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न ढूँढना एफ(एक्स):

एफ(एक्स), एफ'(एक्स), एफ"(एक्स), एफ'"(एक्स), एफ (एन) (एक्स),…

2. बिंदु पर फ़ंक्शन के मान और उसके डेरिवेटिव के मान की गणना करें एक्स 0

एफ(एक्स 0 ), एफ'(एक्स 0 ), एफ”(एक्स 0 ), एफ''(x 0 ), एफ (एन) (एक्स 0 ),…

3. हम औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला लिखते हैं और परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ढूंढते हैं।

4. हम पर्याप्त शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं, अर्थात। जिसके लिए हम स्थापित करते हैं एक्सअभिसरण क्षेत्र से, शेष पद आर एन (एक्स) के रूप में शून्य हो जाता है
या
.

इस एल्गोरिथम का उपयोग करके टेलर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार को कहा जाता है परिभाषा के अनुसार किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला में विस्तारया प्रत्यक्ष अपघटन.

व्यावहारिक कौशल के प्रशिक्षण के लिए एक साइट पर टेलर, मैकलॉरिन और लॉरेंट श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार। किसी फ़ंक्शन का यह श्रृंखला विस्तार गणितज्ञों को इसकी परिभाषा के क्षेत्र में किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्य का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। ब्रेडिस तालिका का उपयोग करने की तुलना में ऐसे फ़ंक्शन मान की गणना करना बहुत आसान है, जो कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के युग में बहुत अप्रासंगिक है। किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का अर्थ है इस श्रृंखला के रैखिक कार्यों के गुणांक की गणना करना और इसे सही रूप में लिखना। छात्र इन दोनों श्रृंखलाओं को भ्रमित करते हैं, समझ नहीं पाते कि सामान्य मामला क्या है और दूसरे का विशेष मामला क्या है। आइए हम आपको एक बार और सभी के लिए याद दिला दें कि मैकलॉरिन श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है, अर्थात, यह टेलर श्रृंखला है, लेकिन बिंदु x = 0 पर। सुप्रसिद्ध कार्यों के विस्तार के लिए सभी संक्षिप्त प्रविष्टियाँ, जैसे कि ई^एक्स, सिन(एक्स), कॉस(एक्स) और अन्य, ये टेलर श्रृंखला विस्तार हैं, लेकिन तर्क के लिए बिंदु 0 पर हैं। एक जटिल तर्क के कार्यों के लिए, लॉरेंट श्रृंखला टीएफसीटी में सबसे आम समस्या है, क्योंकि यह दो-तरफा अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है। यह दो श्रृंखलाओं का योग है. हमारा सुझाव है कि आप सीधे वेबसाइट पर अपघटन का एक उदाहरण देखें; किसी भी संख्या के साथ "उदाहरण" और फिर "समाधान" बटन पर क्लिक करके ऐसा करना बहुत आसान है। यह वास्तव में एक फ़ंक्शन का एक श्रृंखला में विस्तार है जो एक प्रमुख श्रृंखला से जुड़ा हुआ है जो मूल फ़ंक्शन को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ एक निश्चित क्षेत्र में सीमित करता है यदि चर एब्सिस्सा क्षेत्र से संबंधित है। वेक्टर विश्लेषण की तुलना गणित के एक अन्य दिलचस्प अनुशासन से की जाती है। चूँकि प्रत्येक शब्द की जांच की आवश्यकता होती है, इस प्रक्रिया में काफी समय की आवश्यकता होती है। किसी भी टेलर श्रृंखला को x0 को शून्य से प्रतिस्थापित करके मैकलॉरिन श्रृंखला के साथ जोड़ा जा सकता है, लेकिन मैकलॉरिन श्रृंखला के लिए कभी-कभी टेलर श्रृंखला को विपरीत रूप से प्रस्तुत करना स्पष्ट नहीं होता है। मानो इसे इसके शुद्ध रूप में करने की आवश्यकता नहीं है, यह सामान्य आत्म-विकास के लिए दिलचस्प है। प्रत्येक लॉरेंट श्रृंखला z-a की पूर्णांक शक्तियों में दो-तरफा अनंत शक्ति श्रृंखला से मेल खाती है, दूसरे शब्दों में, समान टेलर प्रकार की एक श्रृंखला, लेकिन गुणांक की गणना में थोड़ा अलग है। हम कई सैद्धांतिक गणनाओं के बाद, लॉरेंट श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। पिछली शताब्दी की तरह, किसी फ़ंक्शन का श्रृंखला में चरण-दर-चरण विस्तार केवल शब्दों को एक सामान्य हर में लाकर आसानी से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हर में फ़ंक्शन अरेखीय होते हैं। समस्याओं के निरूपण के लिए कार्यात्मक मूल्य की अनुमानित गणना की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बारे में सोचें कि जब टेलर श्रृंखला का तर्क एक रैखिक चर होता है, तो विस्तार कई चरणों में होता है, लेकिन तस्वीर पूरी तरह से अलग होती है जब विस्तारित किए जा रहे फ़ंक्शन का तर्क एक जटिल या गैर-रैखिक फ़ंक्शन होता है, तो प्रक्रिया पावर श्रृंखला में ऐसे फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना स्पष्ट है, क्योंकि, इस प्रकार, परिभाषा क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, अनुमानित मूल्य के बावजूद, न्यूनतम त्रुटि के साथ गणना करना आसान है जिसका आगे की गणना पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है। यह मैकलॉरिन श्रृंखला पर भी लागू होता है। जब शून्य बिंदु पर फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक हो। हालाँकि, लॉरेंट श्रृंखला को यहाँ काल्पनिक इकाइयों के साथ समतल विस्तार द्वारा दर्शाया गया है। साथ ही, समग्र प्रक्रिया के दौरान समस्या का सही समाधान सफलता के बिना नहीं होगा। यह दृष्टिकोण गणित में ज्ञात नहीं है, लेकिन यह वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है। परिणामस्वरूप, आप तथाकथित बिंदुवार उपसमुच्चय के निष्कर्ष पर आ सकते हैं, और किसी श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार में आपको इस प्रक्रिया के लिए ज्ञात विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि डेरिवेटिव के सिद्धांत का अनुप्रयोग। एक बार फिर हम आश्वस्त हैं कि शिक्षक गणना के बाद की गणनाओं के परिणामों के बारे में अपनी धारणा बनाने में सही थे। आइए ध्यान दें कि गणित के सभी सिद्धांतों के अनुसार प्राप्त टेलर श्रृंखला मौजूद है और संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित है, हालांकि, साइट सेवा के प्रिय उपयोगकर्ता, मूल फ़ंक्शन के प्रकार को न भूलें, क्योंकि यह खराब हो सकता है प्रारंभ में फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को स्थापित करना आवश्यक है, अर्थात, उन बिंदुओं को लिखना और आगे के विचार से बाहर करना जिन पर फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में परिभाषित नहीं है। यूं कहें तो यह समस्या को सुलझाने में आपकी दक्षता को दर्शाएगा। शून्य तर्क मान के साथ मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्माण जो कहा गया है उसका अपवाद नहीं होगा। किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन खोजने की प्रक्रिया रद्द नहीं की गई है, और आपको इस गणितीय ऑपरेशन को पूरी गंभीरता से लेना चाहिए। मुख्य भाग वाली लॉरेंट श्रृंखला के मामले में, पैरामीटर "ए" को एक पृथक एकवचन बिंदु कहा जाएगा, और लॉरेंट श्रृंखला को एक रिंग में विस्तारित किया जाएगा - यह इसके भागों के अभिसरण के क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है, इसलिए संगत प्रमेय का अनुसरण करेगा। लेकिन सब कुछ उतना जटिल नहीं है जितना एक अनुभवहीन छात्र को पहली नज़र में लग सकता है। टेलर श्रृंखला का अध्ययन करने के बाद, आप लॉरेंट श्रृंखला को आसानी से समझ सकते हैं - संख्याओं के स्थान के विस्तार के लिए एक सामान्यीकृत मामला। किसी फ़ंक्शन का कोई भी श्रृंखला विस्तार केवल फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में एक बिंदु पर ही किया जा सकता है। कार्यों के गुणों जैसे आवधिकता या अनंत भिन्नता को ध्यान में रखा जाना चाहिए। हमारा यह भी सुझाव है कि आप प्राथमिक कार्यों के तैयार टेलर श्रृंखला विस्तार की तालिका का उपयोग करें, क्योंकि एक फ़ंक्शन को दर्जनों विभिन्न पावर श्रृंखलाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा कि हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके देखा जा सकता है। ऑनलाइन मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्धारण करना पाई जितना आसान है, यदि आप अद्वितीय वेबसाइट सेवा का उपयोग करते हैं, तो आपको बस सही लिखित फ़ंक्शन दर्ज करना होगा और आपको प्रस्तुत उत्तर कुछ ही सेकंड में प्राप्त हो जाएगा, यह सटीक और सटीक होने की गारंटी है एक मानक लिखित प्रपत्र. आप शिक्षक को प्रस्तुत करने के लिए परिणाम को सीधे एक साफ प्रति में कॉपी कर सकते हैं। पहले रिंगों में प्रश्न में फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता निर्धारित करना सही होगा, और फिर स्पष्ट रूप से बताएं कि यह ऐसे सभी रिंगों में लॉरेंट श्रृंखला में विस्तार योग्य है। यह महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक शक्तियों वाली लॉरेंट श्रृंखला की शर्तों को नज़रअंदाज न किया जाए। जितना हो सके इसी पर फोकस करें. पूर्णांक घातों में किसी फ़ंक्शन के विस्तार पर लॉरेंट के प्रमेय का अच्छा उपयोग करें।