Обратимость чертежа, т.е. определение точки в пространстве по ее проекциям, может быть определена проецированием на три плоскости проекций. (рисунок 2.1) Плоскость p 1 , называется горизонтальной, p 2 - фронтальной, p 3 – профильной. Линии пересечения плоскостей проекции образуют оси координат (х, у, z). Точка пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительным направлением осей координат считают для оси х - влево от начала координат, для оси у - в сторону наблюдателя от плоскости p 2 , ось z - вверх от плоскости p 1 .
Пусть дана точка А в пространстве (рисунок 2.1). Положение точки А определяется тремя координатами (х , у , z ), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.
Рисунок 2.1
Точки А ¢, А ¢¢, А ¢¢¢, в которых пересекаются перпендикулярные прямые, проведенные из этой точки, называются ортогональными проекциями точки А .
А ¢ – горизонтальная проекция точки А ;
А ¢¢ – фронтальная проекция точки А ;
А ¢¢¢ – профильная проекция точки А .
Прямые (АА ¢), (АА ¢¢), (АА ¢¢¢) называются проецирующими прямыми или проецирующими лучами. При этом прямую (АА ¢) называют горизонтально проецирующей прямой, (АА ¢¢) – фронтально проецирующей, (АА ¢¢¢) – профильно проецирующей прямой.
Две проецирующие прямые, проходящие через точку А , образуют плоскость, которую называют проецирующей.
Пользоваться пространственным макетом, показанным на рисунке 2.1, для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно в виду его громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях p 1 и p 3 происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому, вместо изображения на чертеже пространственного макета пользуются эпюром, т.е. чертежом, составленным из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.
Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей p 1 и p 3 с фронтальной плоскостью проекций p 2 . Для совмещения плоскости p 1 с p 2 ее поворачивают на 90° вокруг оси х по часовой стрелке, а для совмещения плоскости p 3 с p 2 ее поворачивают вокруг оси z против часовой стрелки (рисунок 2.1). После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке 2.2.
Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие наименование плоскостей проекций. Тогда, в окончательном виде эпюр, заменяющий чертеж пространственного макета (рисунок 2.1) примет вид, показанный на рисунке 2.3.
На эпюре прямые, перпендикулярные к осям проекций и соединяющие разноименные проекции точек, называют линиями проекционной связи. Отметим, что горизонтальная проекция точки А
определяется абсциссой х
и ординатой у
; ее фронтальная проекция – абсциссой х
и аппликатой z
, а профильная проекция – ординатой у
и аппликатой z
, т.е. А
¢ (х
, у
), А
¢¢
(х
, z
), A
¢¢¢
(y
, z
).
Рисунок 2.2 Рисунок 2.3
Точка в системе двух плоскостей проекций.
Для получения проекций точки в системе двух плоскостей проекций необходимо из данной точки опустить перпендикуляры на соответствующие плоскости проекций, основания этих перпендикуляров и будут являться проекциями точки на соответствующих плоскостях проекций.
Рис 7. Проекции точки в системе двух плоскостей проекций.
Точка A’ – проекция на плоскость π 1 – называется горизонтальной проекцией точки A. Точка A’’ – проекция точки A на плоскость π 2 – фронтальная проекция точки A. Аналогично может быть построена проекция точка A на профильную плоскость проекций (π 3 ), получим профильную проекцию точки A – A’’’.
Отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π 1 и π 2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax . Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π 1 и π 2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax .
Если положение плоскостей π 1 и π 2 фиксировано в пространстве, то каждой точке пространства соответствует упорядоченная пара точек на плоскостях проекций. Верно и обратное утверждение – упорядоченное паре точек на плоскостях проекций соответствует единственная точка пространства.
Проецирование на две и три плоскости проекций
Эпюр Монжа.
Рассмотренное изображение точки в системе двух плоскостей проекций не совсем удобно для черчения.
С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобство изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г. под названием « Geometrie descriptive».
Как уже отмечалось ранее отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π 1 и π 2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax . Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π 1 и π 2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax .
Плоскость α пересекает плоскости проекций π 1 и π 2 (отрезки A’Ax и A’’Ax ). Отрезки A’Ax и A’’Ax перпендикулярны оси проекций X. Проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке (в нашем примере в точке
Гаспрар Монж предложил способ преобразования чертежа путем поворота горизонтальной плоскости проекций π 1 вокруг оси проекций X до совмещения с фронтальной плоскостью проекций π 2 (рис. 9.).
Проецирование на две и три плоскости проекций
Рис. 10. Преобразование чертежа по методу Монжа.
После такого преобразования плоскость π 1 на чертеже совмещается с плоскостью π 2 и в результате получаем чертеж в виде наложенных друг на друга плоскостей π 1 и π 2 . Такой способ изображения получил название «Эпюр Монжа» (от французского Épure – чертеж, проект).
Рис. 11. Положение проекций точки на эпюре Монжа.
При рассмотрении преобразованного чертежа необходимо учитывать, что плоскости проекций π 1 и π 2 занимают все пространство, и мы видим наложение двух плоскостей.
На эпюре Монжа проекции точки A - A’ и A’’на плоскостях проекций π 1 и π 2 расположены на одной прямой перпендикулярной к оси проекций X. Отрезок
A’A’’ называется линией связи . Таким образом, две проекции точки всегда расположены на одной линии связи перпендикулярной к оси проекций .
Если внимательно проанализировать исходный рисунок положения точки в системе двух плоскостей проекций и эпюр Монжа, то можно видеть, что величина отрезка Ax A’= AA’’ и определяет расстояние точки A от плоскости проекций π 2 , а величина отрезка Ax A’’= AA’ - определяет расстояние точки A от плоскости π 1 .
Проецирование на две и три плоскости проекций
Две взаимно перпендикулярные плоскости π 1 и π 2 делят все пространство на четыре квадранта (вспомним то, как две перпендикулярные оси X и Y на плоскости делят эту плоскость на четыре четверти).
Рис. 12. Деление пространства двумя плоскостями на 4 квадранта.
В зависимости от того, в каком квадранте пространства расположена точка еѐ проекции занимают определенное положение на эпюре Монжа.
E’=Ex |
|||||
Рис. 13. Положение точек на эпюре Монжа.
По эпюру Монжа можно определить, что точки занимают следующие положения в пространстве:
Точка А расположена в первом квадранте; Точка B расположена во втором квадранте; Точка C расположена в третьем квадранте; Точка D расположена в четвертом квадранте;
Точка E расположена непосредственно в плоскости π 2 .
Проецирование на две и три плоскости проекций
Точка в ситеме трех плоскостей проекций.
На ряду с проецирование на две плоскости проекций используется система трех плоскостей. Положение любой точки в пространстве, а следовательно и любой геометрической фигуры может быть определено в какой либо системе координат.
Наиболее удобной является декартова система координат в пространстве, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей. Эту систему можно получить как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей – горизонтальной π 1 , фронтальной π 2 и профильной π 3 .
Линии пересечения этих трех плоскостей образуют в пространстве систему трех взаимноперпендикулярных осей: абсцисс – ось X, ординат – ось Y и аппликат – ось Z. Точка пересечения трех осей – точка «O» от латинского «origo» - начало, является началом отсчета по всем осям координат (рис. 14), стрелками показано положительное направление значений координат. Оси X,Y и Z называются осями прекций.
A’’ Az
A A’’’
Рис. 14. Положение точки в системе трех плоскостей проекций.
Величина отрезка AA’ = A’’Ax – расстояние от точки A до плоскости π 1 . Величина отрезка AA’’ = A’Ax – расстояние от точки A до плоскости π 2 . Величина отрезка AA’’’ = A’Ay – расстояние от точки A до плоскости π 3 .
Проецирование на две и три плоскости проекций
Три пересекающиеся плоскости делят все пространство на восемь октантов.
Рис. 15. Разбиение пространства на восемь октантов. |
|
По знакам координат точки можно определить в каком октанте пространства она расположена.
Знак координаты |
|||||||
Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В. |
Страница 6 |
||||||
Проецирование на две и три плоскости проекций
Преобразование чертежа в системе трех плоскостей проекций.
Как и в случае проекции в системе двух плоскосте, в системе трех плоскостей используют метод преобразования чертежа, предложенный Гаспаром Монжем.
Это связано стем, что в подобном виде чертеж получается громоздким и на плоскостях π 1 и π 2 происходит искжение форм и размеров фигур.
Рис. 16. Преобразование плоскостей в системе трех плоскостей проекций.
На рисунке 16 стрелками показано направление вращения плоскостей вокруг осей проекций.
В процессе преобразования плоскость π 2 остается на месте, плоскость π 1 поварачивается вокруг оси X до совмещения с плоскость π 2 , плоскость π 3 поварачивается вокруг оси Z до совмежения с плоскостью π 2 . После такого преобразования все три плоскости оказываются наложенными друг на друга (рис.
Проецирование на две и три плоскости проекций
Рис. 17. Вид чертежа после преобразования.
В плоскости π 1 лежат оси X и Y. В плоскости π 2 лежат оси X и Z. В плоскости π 3 лежат оси Y и Z.
В π 1 ось X остается на месте, а ось Y на чертеже направлена вниз.
В результате преобразования плоскости π 3 ось Z остается на месте, а ось Y на чертеже направлена вправо.
Таким образом после преобразования чертежа ось Y занимает на чертеже два положения: ось Y направленная вниз принадлежит плоскости π 1 ; ось Y направленная влево принадлежит плоскости π 3 .
Положение проекций точки на чертеже зависит от того, в каком октанте пространства она расположена.
Проекции любой точки можно построить неросредственно на чертеже: положение горизонтальной проекции определяется парой координат X,Y (ось Y направленная вниз); положение фронтальной проекции определяется парой координат X,Z; положение профильной проекции определяется парой координат Y,Z (ось Y направленная вправо).
Если точка расположена в первом октанте, то значения всех трех координат (X,Y,Z) положительны.
Проецирование на две и три плоскости проекций
Построение недостающей проекции в системе трех плоскостей проекций:
Рис. 18. Порядок построения недостающей проекции точки.
Пусть даны горизонтальная (A’) и фронтальная (A’’) проекции точки A.
Необходимо построить недостающую профильную проекцию (A’’’). При построении выполнении построений необходимо помнить следующие правила начертательной геометрии:
1. Горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда находятся на одной линии связи перпендикулярной к оси X.
2. Фронтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z.
3. Горизонтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной горизонтально-вертикальной линии связи перпендикулярной оси Y.
Порядок построения:
Проецирование на две и три плоскости проекций
Проведем через точку A’’ линию перпендикулярную к оси Z. Искомая профильная проекция должна находиться на этой линии.
Для построения горизонтально-вертикальной линии связи перпендикулярной оси Y воспользуемся постоянной прямой чертежа.
О. Постоянной прямой чертежа называется биссектриса угла, образованного осями Y. Обычно обозначают буквой k .
Через горизонтальную проекцию точки проведем перпендикуляр к вертикальной оси Y до пересечения с постоянной прямой чертежа (точка 1), затем из точки 1 проведем перпендикуляр к вертикальной оси Y до пересечения с линией связи, перпендикулярной оси Z.
Точка пересечения линии связи перпендикулярной к оси Z и горизонтально-
вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси Y и является профильной проекцией точки A.
Ещѐ раз отметим, что горизонтальная проекция точки определяется еѐ абсциссой и ординатой, фронтальная – абсциссой и аппликатой, профильная – ординатой и аппликатой.
Точка в пространстве удалена от плоскости:
π 1 на величину равную величине отрезка A’’Ax или A’’’Ay .
π 2 на величину равную величине отрезка A’Ax или A’’’Az .
π 3 на величину равную величине отрезка A’Ay или A’’Az .
Процесс получения изображения на плоскости называетсяпроецированием. Как же получаются проекции?
Возьмем в пространстве произвольную точку А и какую-нибудь плоскость Н . Проведем через точку А прямую до пересечения с плоскостью Н , полученная точка а пересечения линии и плоскости есть проекция точки А . Плоскость, на которой получается проекция, называется плоскостью проекций. Прямая Аа называется проецирующим лучом (рис. 35).
Рис. 35. Проецирование луча на плоскость
Следовательно, чтобы построить проекцию какой-либо фигуры на плоскости, необходимо через точки этой фигуры провести воображаемые проецирующие лучи до их пересечения с плоскостью. Слово проекция – латинское, в переводе на русский язык означает «отбрасывать вперед».
Точки, взятые на предмете обозначают прописными буквами А, В, С , а их проекции – строчными а, в, с .
Если проецирующие лучи исходят из одной точки, такоепроецирование называетсяцентральным. Точка S, из которой исходят лучи, называетсяцентральной (рис. 36).
Рис. 36. Центральное проецирование
Примерами центральной проекции являются фотографии, кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки.
Если проецирующие лучи параллельны друг другу, топроецирование называется параллельным, а полученная проекция– параллельной. Примером параллельной проекции можно условно считать солнечные тени от предметов.
При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одинаковым углом. Если это любой острый угол, то проецирование называется косоугольным (рис. 37).
Рис. 37. Параллельное проецирование
В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции,проецирование называется прямоугольным. Полученная при этом проекция называется прямоугольной (рис. 38).
Рис. 38. Прямоугольное проецирование
Из всех рассмотренных способов проецирования в основе построения изображения лежит способ прямоугольного проецирования , так как полученное изображение на плоскости проецируется без искажения.
В пространстве плоскость проекций может располагаться как угодно: вертикально, горизонтально, наклонно.
Чтобы получить проекцию предмета на плоскости, его располагают параллельно этой плоскости и через каждую вершину проводят лучи перпендикулярно этой плоскости проекций.
Рассмотрим построение проекции предмета, изображенного на рис. 39 на плоскость.
Рис. 39. Проецирование на фронтальную плоскость проекций
Выберем вертикальную плоскость проекции, расположенную перед зрителем. Эту плоскость называют фронтальной (от французского слова «фронталь », что означает «лицом к зрителю » и обозначают буквой V(ве).
Мысленно рассмотрим предмет параллельно фронтальной плоскости и через все точки проведем проецирующие лучи перпендикулярно плоскости V. Отметим точки пересечения лучей с плоскостью и соединим прямыми, а точки окружности - кривой линией. Мы получим проекцию предмета на плоскости, которую называют фронтальной проекцией (рис. 40).
Рис. 40. Фронтальная проекция
По полученной проекции можно судить лишь о двух измерениях – высоте, длине и о диаметре отверстия.
А какова ширина предмета? Пользуясь полученной проекцией, мы этого сказать не можем. Значит, одна проекция не выявляет третьего измерения предмета, кроме того, одна проекция не всегда определяет геометрическую форму предмета (рис. 41).
Рис. 41. Неоднозначность выявления формы предмета одной проекцией:
а – фронтальная проекция; б, в – возможная форма предмета
Фронтальная проекция, показанная на рис. 42, соответствует всем деталям.
Рис. 42. Проекции на фронтальную и горизонтальные плоскости проекций
Для того, чтобы определить форму предмета необходимо построить вторую проекцию на плоскость, которая называется горизонтальной плоскостью и обозначается буквой Н (аш). Проекция предмета на эту плоскость называется горизонтальной проекцией.
Горизонтальная плоскость расположена под углом 90 0 к фронтальной. Плоскость V и Н пересекаются по оси ОХ, (О – точка пересечения осей), которая называется осью проекции. По горизонтальной проекции можно определить длину и ширину детали.
Изображения предмета выполняются в одной плоскости, поэтому для получения чертежа предмета обе плоскости совмещают в одну, развернув горизонтальную плоскость вокруг оси ОХ вниз на 90 0 так, чтобы она совпала с фронтальной плоскостью (см. рис. 42).
Границы плоскости на чертеже не показывают, а также ось проекций, если в том нет необходимости (рис. 43).
Рис. 43. Расположение фронтальной и горизонтальной проекции на чертеже
Горизонтальная проекция располагается строго под фронтальной проекцией. Расположение между проекциями выбирают произвольно, предусматривая при этом место для нанесения размеров.
2.2. Проецирование на три плоскости проекций. Виды.
Расположение видов на чертеже
Зачастую даже две проекции детали не дают полного представления о ее геометрической форме (рис. 44).
|
|
|
Рис. 44. Примеры неоднозначного выявления формы детали с помощью двух проекций
Данному чертежу соответствуют несколько деталей, поэтому возникает необходимость построения третьей проекции на плоскость. Эту плоскость располагают перпендикулярно плоскости проекции V и Н.
Третью плоскость проекций называют профильной , а полученную на ней проекцию – профильной проекцией предмета.
Обозначается профильная плоскость буквой W (дубль - ве). Профильная плоскость проекций вертикальная, в пересечении с плоскостью Н она образует ось ОY, а с плоскостью V – ось ОZ. Профильная проекция располагается справа от фронтальной проекции на одной с ней высоте
(рис. 45 а
, б
) Плоскости V,H,W образуют трехгранный угол
. Проецируемый предмет поместим в пространство трехгранного угла и через все точки предмета проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостями проекций. Соединим точки пересечения прямыми или кривыми линиями, полученные фигуры будут проекциями предмета на плоскостях V,Н,W (рис. 45, б
).
Рис. 45. Проекции предмета на три плоскости проекций V, Н, W
Проецируемый предмет помещен в пространство трехгранного угла а ) проекции предмета на плоскостях V, Н, W.
Для получения чертежа предмета плоскости V,H,W совмещают в одну плоскость, развернув плоскость W на 90 0 вправо, а Н – на 90 0 вниз (рис. 46, б ). Границы плоскостей, оси проекций и проецирующие лучи на чертеже не показывают (рис. 46, в, г ).
|
|
|
|
Рис. 46. Расположение плоскостей проекций и осей на плоскости:
а
– трехгранный угол, образованный плоскостями V, H, W; б
– процесс совмещения плоскостей
3-хгранного угла с плоскостью чертежного листа; в
- расположение плоскостей проекции на плоскости чертежного листа; г
– расположение осей на плоскости чертежного листа
Рассмотрев процесс проецирования на три плоскости проекций, можно сделать вывод, что проецирование проводят в следующей последовательности:
Предмет в системе плоскостей проекций V, H, W;
Проецирующие лучи перпендикулярны V и направляются спереди, получается фронтальная проекция;
Лучи перпендикулярны Н и направляются сверху, получается горизонтальная проекция;
Лучи перпендикулярны W и направляются слева, получается профильная проекция;
Совмещаем V, H, W в одну плоскость.
Чертеж, состоящий из нескольких прямоугольных проекций называюткомплексным чертежом или чертежом в системе прямоугольных проекций.
Если чертеж построен с осями координат, он называется осным чертежом, а если без осей, он называется безосным . Все проекции на чертеже находятся в проекционной связи, которая осуществляется посредством линий связи (рис. 47).
Рис. 47. Построение профильной проекции предмета по двум данным
Вам уже известно, что правила оформления и построения чертежей установлены стандартами ЕСКД. Один из стандартов этой системы устанавливает правила изображения предметов на чертежах, в нем даны определения различных изображений, применяемых при выполнении чертежей.
На технических чертежах проекции на плоскостях называют видами .
Вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой части предмета. В том же стандарте говорится, что предмет располагают относительно фронтальной плоскости так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета. Поэтому изображение на фронтальной плоскости называют главным видом или видом спереди.
Изображение на горизонтальной плоскости называют видом сверху.
Изображение на профильной плоскости называют видом слева (рис. 48).
Рис. 48. Расположение на плоскостях проекций видов детали
Вид сверху располагается под главным видом, а справа от главного вида и на одной с ним высоте – вид слева.
Невидимые части предмета на видах показывают штриховыми линиями.
Количество видов на чертеже должно быть минимальным, но достаточным для того, чтобы понять форму изображенного предмета. Виды также как и проекции располагаются в одной проекционной связи друг с другом.
2.3. Геометрические тела и их проекции.
Проекции вершин, ребер, граней на плоскости.
Проекции группы геометрических тел
Формы деталей, встречающихся в технике, представляют собой сочетание различных геометрических тел или их частей.
Чтобы научиться представлять форму предмета по чертежу, нужно знать, как изображаются на чертежах геометрические тела.
Геометрическое тело – это замкнутая часть пространства, ограниченная плоскостями или кривыми поверхностями.
Все геометрические тела подразделяются на многогранники (куб, параллелепипед, призмы, пирамиды) и тела вращения (цилиндр, шар, конус).
Геометрические тела состоят из определенных элементов – вершины, ребра, грани (рис. 49).
Рис. 49. Элементы геометрических тел
Ребра, расположенные перпендикулярно плоскостям проекции, проецируются на них в точку .
Ребра, расположенные параллельно плоскостям проекций, проецируются на них в натуральную величину.
Грани, перпендикулярные плоскостям проекций, проецируются в отрезки прямой.
Грани, параллельные плоскостям проекций, проецируются в натуральную величину .
Грани и ребра, наклоненные к плоскостям проекций, проецируются на них с искажением.
Строя чертеж, надо четко представлять, как изобразится на нем каждая вершина, ребро и грань предмета. Следует помнить, что каждый вид - это изображение всего предмета, а не одной его стороны. Разница заключается лишь в том, что одни грани проецируется в истинную фигуру, другие - в отрезки прямых (рис. 50).
Рис. 50. Проецирование граней и ребер геометрических тел на плоскости проекций
Проекциями геометрических тел являются плоские геометрические фигуры .
Рассмотрим основные геометрические тела и их проекции.
Проекциями куба являются три равных квадрата, призмы – два прямоугольника и многоугольник; пирамиды - два треугольника и многоугольник; усеченной пирамиды – две трапеции и многоугольник; конуса – два треугольника и окружность; усеченного конуса - две трапеции и окружность; шара – три окружности, цилиндра – два прямоугольника и окружность (рис. 51).
а - четырехгранная призма б - трехгранная призма в - четырехгранная пирамида
г - 4-х гранная усеченная пирамида д - конус
е - конус ж - шар
Рис. 51. Проекции геометрических тел на плоскости проекций
Рассмотрим чертеж группы геометрических тел (рис. 52).
Рис. 52. Проекция группы геометрических тел на три плоскости проекций
Группа состоит из трех геометрических тел. Первое геометрическое тело на плоскостях V и W изображено треугольником, а на плоскости Н – кругом . Такие проекции имеет только конус. Второе геометрическое тело на плоскостях Н и W представлено двумя прямоугольниками , а на фронтальной плоскости - окружностью . Такие проекции имеет цилиндр . Третье геометрическое тело на всех плоскостях представлено прямоугольниками, значит это параллелепипед .
Таким образом можно сделать вывод, что на чертеже представлена группа геометрических тел , состоящая из конуса , цилиндра и параллелепипеда . Чтобы определить, какое из геометрических тел находится ближе к нам, надо рассмотреть вид сверху . На основании анализа приходим к выводу, что ближе к нам находятся параллелепипед и цилиндр .
2.4. Анализ геометрической формы предмета.
Проекции точек, лежащих на поверхности геометрических тел и предметов
Вы уже знаете, что окружающие нас предметы, детали машин и механизмов имеют форму геометрических тел или их сочетания.
Рассмотрим рис. 53. Здесь изображены различные детали, одни простой формы, другие более сложной формы.
Как же определить форму предмета по чертежу? Для этого сложную по форме деталь мысленно расчленяют на отдельные части, имеющие форму геометрических тел.
Рис. 53. Детали состоящие из сочетания простых геометрических тел
Например на рис. 54. дано изображение детали. Она слагается из параллелепипеда , двух полуцилиндров и усеченного конуса . В детали имеется отверстие цилиндрической формы.
Рис. 54. Анализ геометрической формы опоры:
а – изображение опоры; б - составные части опоры
Мысленное расчленение предмета на составляющие его геометрические тела называется анализом геометрической формы .
Любая точка на изображении геометрических тел является проекцией того или иного элемента – вершины, ребра, грани, кривой поверхности.
Значит, изображение любого геометрического тела сводится к изображению его вершин, ребер, граней и кривых поверхностей.
Рассмотрим процесс построения проекций точек на чертежах геометрических тел и деталей.
Работа осуществляется в следующей последовательности:
Устанавливают грань многогранника или часть поверхности вращения, на которой задана проекция точки, и определяют видимость этой части геометрического тела на всех видах (рис. 55, а );
Через заданную проекцию точки проводят проекцию вспомогательной прямой, строят ее и проекцию точки на том виде, где проекция геометрического тела совместилась с проекцией его основания (рис. 55, б );
Строят проекцию вспомогательной прямой и находят на ней искомую проекцию заданной точки (рис. 55, в ).
|
|
|
Рис. 55. Пример построения проекции точки на заданной поверхности геометрических тел
Если нужно построить проекции точек на поверхности предмета, представленной чертежом, то:
Проводят анализ геометрической формы;
Устанавливают геометрические тела, на поверхности которых заданы точки;
Определяют проекцию точек поочередно на каждом геометрическом теле.
На детали точки обозначаются прописными буквами А, В, С , а их проекции - строчными, например, проекции точки А на плоскостях Н-а, V-а ′ , W-а″, невидимые точки з аключаются в скобки, например, V-(а′), Н-(а), W-(а″).
2.5. Порядок чтения и построения чертежа детали.
Построение третьего вида по двум заданным
Чтобы познакомиться с устройством какого-либо изделия, необходимо прочитать его чертеж.
Чертеж читают в следующей последовательности:
Определить, какие виды детали даны на чертеже;
Определить геометрическую форму детали;
Определить габаритные размеры детали и ее элементов;
Рассмотрим пример чтения чертежа детали (рис. 56).
Рис. 56. Чертеж направляющей
Вопросы к чертежу
1. Как называется деталь?
2. Из какого материала ее изготовляют?
3. В каком масштабе выполнен чертеж?
4. Какие виды даны на чертеже?
5. Сочетанием каких геометрических тел определяется форма детали?
6. Чему равны габаритные размеры?
Ответы на вопросы
1. Деталь называется «направляющая».
2. Изготовляют деталь из стали.
3. Масштаб 1:1.
4. На чертеже даны два вида; главный вид и вид слева.
5. Выделив части детали, рассмотрим их слева направо, сопоставляя оба вида.
Крайняя левая часть на главном виде имеет форму прямоугольника, а на виде слева – окружность. Значит это цилиндр.
Вторая слева часть на главном виде – трапеция, на виде слева – две о кружности, это усеченный конус . Третья часть на главном виде показана прямоугольником, а на виде слева – окружность , значит это цилиндр . Четвертая часть на главном виде – прямоугольник , а на виде слева – шестиугольник , значит это шестигранная призма . Крайняя слева часть на главном виде – прямоугольник , а на виде слева - окружность , это цилиндр . Штриховые линии на главном виде и окружность ø 20 на виде слева говорит о том, что деталь имеет сквозное цилиндрическое отверстие.
6. Габаритные размеры детали 160х90х90.
Многие технические детали имеют разнообразные технологические и конструктивные элементы, которые имеют свои названия (рис. 57).
Отверстия
Рис. 57. Название конструктивных элементов деталей
Отверстие – сквозной или глухой элемент детали, имеющий форму геометрического тела.
Паз – узкая щель или выемка.
Вырез – удаление части детали двумя или большим количеством плоскостей.
Срез – удаление части детали одной плоскостью.
Ребро (ребро жесткости) – тонкая стенка, предназначенная для усиления жесткости конструкции.
Прежде чем приступить к построению изображений, надо четко представить геометрическую форму детали.
Рассмотрим последовательность построения видов на чертеже (рис. 58).
Рис. 58. Наглядное изображение опоры
Общая форма предмета, изображенного на рис. 58 – параллелепипед. В нем сделаны прямоугольные вырезы и вырез в виде треугольной призмы. Изображать деталь начнем с ее общей формы – параллелепипеда (рис. 59).
Рис. 59. Пример последовательности построения видов детали:
а – изображение общих видов детали; б – построение вырезов; в – нанесение размеров
Спроецировав параллелепипед на плоскости V,H,W, получим прямоугольники на всех трех плоскостях (рис. 59, а ).
Все построения выполняются сначала тонкими линиями. Поскольку деталь симметрична, на главном виде и виде сверху нанесем оси симметрии.
Теперь покажем вырезы. Их целесообразнее показать сначала на главном виде.
Для этого надо отложить по 12 мм влево и вправо от оси симметрии и провести через полученные точки вертикальные линии. Затем на расстоянии 14 мм от верхней границы проводим отрезки горизонтальных прямых (рис. 59, б ).
Построим проекции этих вырезов на других видах. Это можно сделать при помощи линий связи. После этого на видах сверху и слева нужно показать отрезки, ограничивающие проекции видов.
В заключении обводят чертеж и наносят размеры (рис. 59, в ).
В черчении довольно часто встречаются задачи, связанные с построением по двум заданным видам третьего.
Рассмотрим последовательность построения третьего вида по двум заданным (рис. 60).
Рис. 60. Чертеж бруска с вырезом
На рис. 60 вы видите изображение бруска с вырезом. Даны два вида: спереди и сверху, требуется построить вид слева. Для этого необходимо сначала представить форму изображенной детали. Сопоставив виды, определяем, что брусок имеет форму параллелепипеда размером 10х35х20 мм. В параллелепипеде сделан вырез прямоугольной формы размером 12х12х10 мм.
На виде спереди с помощью линий связи проводим две горизонтальные линии, одну на уровне нижнего основания параллелепипеда, другую – на уровне верхнего основания. Эти линии ограничивают высоту вида слева. В любом месте между горизонтальными линиями проводим вертикальную линию (рис. 61).
|
|
|
|
| |
| |
| |
| |
Рис. 61. Последовательность построения третьей проекции
Она будет проекцией задней грани бруска на профильную плоскость проекций (рис. 61, а ). От нее вправо отложим отрезок, равный 20 мм, т.е. ширину бруска, и проведем еще одну вертикальную линию – проекцию передней грани (рис. 61, б ).
Покажем теперь на виде слева вырез в детали. Для этого отложим влево от правой вертикальной линии, являющейся проекцией передней грани бруска, отрезок 12 мм и проведем еще одну вертикальную линию (рис. 61, в ).
После этого удаляем все вспомогательные линии построения и обводим чертеж (рис. 61, г ).
Существует множество деталей, информацию о форме которых невозможно передать двумя проекциями чертежа (рис. 75).
Для того чтобы информация о сложной форме детали была представлена достаточно полно, используют проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции: фронтальную - V, горизонтальную - H и профильную - W (читается «дубль вэ»).
Система плоскостей проекций представляет собой трехгранный угол с вершиной в точке О. Пересечения плоскостей трехгранного угла образуют прямые линии - оси проекций (OX, OY, OZ) (рис. 76).
В трехгранный угол помещают предмет так, чтобы его формообразующая грань и основание были бы параллельны соответственно фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. Затем через все точки предмета проводят проецирующие лучи, перпендикулярные всем трем плоскостям проекций, на которых получают фронтальную, горизонтальную и профильную проекции предмета. После проецирования предмет удаляют из трехгранного угла, а затем горизонтальную и профильную плоскости проекций поворачивают на 90* соответственно вокруг осей ОХ и OZ до совмещения с фронтальной плоскостью проекции и получают чертеж детали, содержащий три проекции.
Рис. 75. Проецирование на две плоскости проекций не всегда дает
полное представление о форме предмета
Рис. 76. Проецирование на три взаимно перпендикулярные
плоскости проекций
Три проекции чертежа взаимосвязаны друг с другом. Фронтальная и горизонтальная проекции сохраняют проекционную связь изображений, т. е. устанавливаются проекционные связи и между фронтальной и горизонтальной, фронтальной и профильной, а также горизонтальной и профильной проекциями (см. рис. 76). Линии проекционной связи определяют местоположение каждой проекции на поле чертежа.
Во миогнх странах мира принята другая система прямо- угольного проецирования на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которая условно называется «американская» (см. Приложение 3). Основное eе отличие состоит в том, что по-иному, относительно проецируемого объекта, в пространстве располагается трехгранный угол и в других направлениях разворачиваются плоскости проекций. Поэтому горизонтальная проекция оказывается над фронтальной, а профильная проекция - справа от фронтальной.
Форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Следовательно, для чтения и выполнения чертежей нужно знать, как изображаются геометрические тела в системе трех проекций на производстве (табл. 7). (Чертежи, содержащие три проекции, называются комплексными чертежами.)
7. Комплексные и производственные чертежи деталей простой геометрической формы
П p и м e ч а н и я: 1. В зависимости от особенностей производственного процесса на чертеже изображают определенное число проекций. 2. На чертежах принято давать наименьшее, но достаточное число изображений для определения формы предмета. Число изображений чертежа можно уменьшить, используя условные знаки s, l, ? которых вы уже знаете.
Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.
Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной .
В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х , общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у , а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z . Точка О , которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.
На рисунке 15а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а́́ ) называют профильной проекцией и обозначают а́́ .
Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а , необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х , а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.
На рисунке 16 изображено положение проекций а, а́ и а́́ точки А , полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.
В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х ), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z ).
На рисунке 16 три проекции а, а́ и а́́ точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:
а и а́ всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х ;
а́ и а́́ всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z ;
3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а́́ – вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа у а 0 а н – квадрат.
При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.
Координаты точки
Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами . Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.
Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х , при этом х = а˝А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = а́А , а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z , при этом z = aA .
На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:
х = а˝А = Оа х = а у а = a z á;
y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;
z = aA = Oa z = а x а́ = а y а˝.
На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:
х = а z а ́= Оа x = а y а,
z = а x á = Oa z = а y а˝.
Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z ), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:
y = Оа у = а х а
и два раза – расположенной горизонтально:
у = Оа у = а z а˝.
Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.
Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:
1) горизонтальной – координатами х и у ,
2) фронтальной – координатами x и z ,
3) профильной – координатами у и z .
Используя координаты х, у и z , можно построить проекции точки на эпюре.
Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z ).
При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:
1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а́ х х ;
2) фронтальная и профильная проекции а́ и а˝ должны располагаться на одном перпендикуляре к оси z , так как имеют общую координату z ;
3) горизонтальная проекция а так же удалена от оси х , как и профильная проекция а удалена от оси z , так как проекции а́ и а˝ имеют общую координату у .
В случае, если точка лежит в любой из плоскостей проекций, то одна из ее координат равна нулю.
Когда точка лежит на оси проекций, две ее координаты равны нулю.
Если точка лежит в начале координат, все три ее координаты равны нулю.
Проекции прямой
Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной и фронтальной плоскостях.
На рисунке 17 показаны проекции (а и á, b и b́ ) двух точек А и В. С их помощью определяется положение некоторой прямой АВ . При соединении одноименных проекций этих точек (т. е. а и b, а́ и b́ ) можно получить проекции аb и а́b́ прямой АВ.
На рисунке 18 показаны проекции обеих точек, а на рисунке 19 – проекции проходящей через них прямой линии.
Если проекции прямой определяются проекциями двух ее точек, то они обозначаются двумя рядом поставленными латинскими буквами, соответствующими обозначениям проекций точек, взятых на прямой: со штрихами для обозначения фронтальной проекции прямой или без штрихов – для горизонтальной проекции.
Если рассматривать не отдельные точки прямой, а ее проекции в целом, то данные проекции обозначаются цифрами.
Если некоторая точка С лежит на прямой АВ , ее проекции с и с́ находятся на одноименных проекциях прямой ab и а́b́ . Данную ситуацию поясняет рисунок 19.
Следы прямой
След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).
Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H , в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V , в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью (рис. 20).
На рисунке 21а изображен горизонтальный след прямой, а ее фронтальный след, – на рисунке 21б.
Иногда также рассматривается профильный след прямой, W – точка пересечения прямой с профильной плоскостью.
Горизонтальный след находится в горизонтальной плоскости, т. е. его горизонтальная проекция h совпадает с этим следом, а фронтальная h́ лежит на оси х. Фронтальный след лежит во фронтальной плоскости, поэтому его фронтальная проекция ν́ совпадает с ним же, а горизонтальная v лежит на оси х.
Итак, H = h , и V = ν́. Следовательно, для обозначения следов прямой можно применять буквы h и ν́.
Различные положения прямой
Прямую называют прямой общего положения , если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпендикулярны осям проекций.
Прямые, которые параллельны одной из плоскостей проекций (перпендикулярны одной из осей). На рисунке 22 показана прямая, которая параллельна горизонтальной плоскости (перпендикулярная оси z), – горизонтальная прямая; на рисунке 23 показана прямая, которая параллельна фронтальной плоскости (перпендикулярна оси у ), – фронтальная прямая; на рисунке 24 показана прямая, которая параллельна профильной плоскости (перпендикулярна оси х ), – профильная прямая. Несмотря на то что каждая из данных прямых образует с одной из осей прямой угол, они не пересекают ее, а только скрещиваются с нею.
Из-за того что горизонтальная прямая (рис. 22) параллельна горизонтальной плоскости, ее фронтальная и профильная проекции будут параллельны осям, определяющим горизонтальную плоскость, т. е. осям х и у . Поэтому проекции áb́ || х и a˝b˝ || у z . Горизонтальная проекция ab может занимать любое положение на эпюре.
У фронтальной прямой (рис. 23) проекции аb || x и a˝b˝ || z , т. е. они перпендикулярны оси у , а потому в этом случае фронтальная проекция а́b́ прямой может занимать произвольное положение.
У профильной прямой (рис. 24) аb || у, а́b || z , и обе они перпендикулярны оси х. Проекция а˝b˝ может располагаться на эпюре любым образом.
При рассмотрении той плоскости, которая проецирует горизонтальную прямую на фронтальную плоскость (рис. 22), можно заметить, что она проецирует эту прямую и на профильную плоскость, т. е. она является плоскостью, которая проецирует прямую сразу на две плоскости проекций – фронтальную и профильную. Исходя из этого ее называют дважды проецирующей плоскостью . Таким же образом для фронтальной прямой (рис. 23) дважды проецирующая плоскость проецирует ее на плоскости горизонтальной и профильной проекций, а для профильной (рис. 23) – на плоскости горизонтальной и фронтальной проекций.
Две проекции не могут определить прямую. Две проекции 1 и 1́ профильной прямой (рис. 25) без уточнения на них проекций двух точек этой прямой не определят положения данной прямой в пространстве.
В плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям симметрии, возможно существование бесчисленного множество прямых, для которых данные на эпюре 1 и 1́ являются их проекциями.
Если точка находится на прямой, то ее проекции во всех случаях лежат на одноименных проекциях этой прямой. Обратное положение не всегда справедливо для профильной прямой. На ее проекциях можно произвольным образом указать проекции определенной точки и не быть уверенным в том, что эта точка лежит на данной прямой.
Во всех трех частных случаях (рис. 22, 23 и 24) положения прямой по отношению к плоскости проекций произвольный ее отрезок АВ , взятый на каждой из прямых, проецируется на одну из плоскостей проекций без искажения, т. е. на ту плоскость, которой он параллелен. Отрезок АВ горизонтальной прямой (рис. 22) дает проекцию в натуральную величину на горизонтальную плоскость (аb = АВ ); отрезок АВ фронтальной прямой (рис. 23) – в натуральную величину на плоскость фронтальной плоскости V (áb́ = AB ) и отрезок АВ профильной прямой (рис. 24) – в натуральную величину на профильную плоскость W (a˝b˝ = АВ), т. е. представляется возможным измерить на чертеже натуральную величину отрезка.
Иначе говоря, с помощью эпюр можно определить натуральные размеры углов, которые рассматриваемая прямая образует с плоскостями проекций.
Угол, который составляет прямая с горизонтальной плос костью Н , принято обозначать буквой α, с фронтальной плоскостью – буквой β, с профильной плоскостью – буквой γ.
Любая из рассматриваемых прямых не имеет следа на параллельной ей плоскости, т. е. горизонтальная прямая не имеет горизонтального следа (рис. 22), фронтальная прямая не имеет фронтального следа (рис. 23), а профильная прямая – профильного следа (рис. 24).