Vidējais līmenis

Kvadrātiskās nevienādības. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Lai saprastu, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, mums ir jāsaprot, kas tas ir kvadrātiskā funkcija un kādas tam piemīt īpašības.

Jūs droši vien esat aizdomājušies, kāpēc vispār ir vajadzīga kvadrātfunkcija? Kur ir piemērojams tā grafiks (parabola)? Jā, jums vienkārši jāpaskatās apkārt, un jūs to pamanīsit katru dienu ikdienas dzīve tu satiec viņu. Vai fiziskajā izglītībā esi ievērojis, kā lido mestā bumba? "Pa loku"? Pareizākā atbilde būtu “parabola”! Un pa kādu trajektoriju strūklakā pārvietojas strūkla? Jā, arī parabolā! Kā lido lode vai čaula? Tieši tā, arī parabolā! Tādējādi, zinot kvadrātfunkcijas īpašības, būs iespējams atrisināt daudzas praktiskas problēmas. Piemēram, kādā leņķī ir jāmet bumba, lai nodrošinātu vislielāko attālumu? Vai arī kur nonāks šāviņš, ja palaižat to noteiktā leņķī? utt.

Kvadrātiskā funkcija

Tātad, izdomāsim.

Piemēram,. Kas šeit ir līdzvērtīgi, un? Nu protams!

Ja nu, t.i. mazāks par nulli? Nu, protams, mēs esam “skumji”, kas nozīmē, ka zari būs vērsti uz leju! Apskatīsim grafiku.

Šis attēls parāda funkcijas grafiku. Kopš, t.i. mazāks par nulli, parabolas zari ir vērsti uz leju. Turklāt jūs droši vien jau pamanījāt, ka šīs parabolas zari krustojas ar asi, kas nozīmē, ka vienādojumam ir 2 saknes, un funkcijai ir gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības!

Pašā sākumā, kad mēs sniedzām kvadrātfunkcijas definīciju, tika teikts, ka un ir daži skaitļi. Vai tie var būt vienādi ar nulli? Nu, protams, ka viņi var! Atklāšu pat vēl lielāku noslēpumu (kas nemaz nav noslēpums, bet ir vērts pieminēt): šiem skaitļiem (un) vispār nav noteikti nekādi ierobežojumi!

Nu, paskatīsimies, kas notiek ar grafikiem, ja un ir vienādi ar nulli.

Kā redzat, aplūkojamo funkciju (un) grafiki ir nobīdījušies tā, ka to virsotnes tagad atrodas punktā ar koordinātām, tas ir, asu krustpunktā, un tas neietekmē zaru virzienu. . Tādējādi varam secināt, ka viņi ir atbildīgi par parabola grafika “kustību” pa koordinātu sistēmu.

Funkcijas grafiks pieskaras asij punktā. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne. Tādējādi funkcija ņem vērtības, kas ir lielākas par nulli vai vienādas ar to.

Ar funkcijas grafiku mēs ievērojam to pašu loģiku. Tas pieskaras x asij punktā. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne. Tādējādi funkcijai ir vērtības, kas ir mazākas vai vienādas ar nulli, tas ir.

Tādējādi, lai noteiktu izteiksmes zīmi, pirmā lieta, kas jums jādara, ir atrast vienādojuma saknes. Tas mums ļoti noderēs.

Kvadrātiskā nevienlīdzība

Atrisinot šādas nevienādības, mums būs nepieciešama iespēja noteikt, kur kvadrātiskā funkcija ir lielāka, mazāka vai vienāda ar nulli. Tas ir:

• ja mums ir formas nevienādība, tad faktiski uzdevums ir noteikt vērtību skaitlisko intervālu, kuram parabola atrodas virs ass.
• ja mums ir formas nevienādība, tad faktiski uzdevums ir noteikt x vērtību skaitlisko intervālu, kuram parabola atrodas zem ass.

Ja nevienādības nav stingras, tad saknes (parabolas krustpunkta koordinātas ar asi) iekļauj vēlamajā skaitliskā intervālā stingru nevienādību gadījumā, tās izslēdz;

Tas viss ir diezgan formalizēts, taču neesiet izmisumā un nebaidieties! Tagad apskatīsim piemērus, un viss nostāsies savās vietās.

Risinot kvadrātvienādības, mēs pieturēsimies pie dotā algoritma, un mūs sagaida neizbēgami panākumi!

Algoritms	Piemērs:
1) Pierakstīsim atbilstošo nevienādību kvadrātvienādojums(vienkārši mainiet nevienlīdzības zīmi uz vienādības zīmi “=”).
2) Atradīsim šī vienādojuma saknes.
3) Atzīmējiet saknes uz ass un shematiski parādiet parabolas zaru orientāciju ("uz augšu" vai "uz leju")
4) Novietosim zīmes uz ass, kas atbilst kvadrātfunkcijas zīmei: kur parabola atrodas virs ass, mēs ievietojam “ ”, bet kur zemāk - “ “.
5) Uzrakstiet intervālu(-us), kas atbilst “ ” vai “ ”, atkarībā no nevienlīdzības zīmes. Ja nevienlīdzība nav stingra, saknes tiek iekļautas intervālā, ja tā ir stingra, tās nav.

Vai sapratāt? Tad uz priekšu un piespraudiet!

Piemērs:

Nu, vai tas izdevās? Ja rodas grūtības, meklējiet risinājumus.

Risinājums:

Pierakstīsim zīmei " " atbilstošos intervālus, jo nevienlīdzības zīme ir " ". Nevienlīdzība nav stingra, tāpēc saknes tiek iekļautas intervālos:

Uzrakstīsim atbilstošo kvadrātvienādojumu:

Atradīsim šī kvadrātvienādojuma saknes:

Iegūtās saknes shematiski atzīmēsim uz ass un sakārtosim zīmes:

Pierakstīsim zīmei " " atbilstošos intervālus, jo nevienlīdzības zīme ir " ". Nevienlīdzība ir stingra, tāpēc saknes nav iekļautas intervālos:

Uzrakstīsim atbilstošo kvadrātvienādojumu:

Atradīsim šī kvadrātvienādojuma saknes:

šim vienādojumam ir viena sakne

Iegūtās saknes shematiski atzīmēsim uz ass un sakārtosim zīmes:

Pierakstīsim zīmei " " atbilstošos intervālus, jo nevienlīdzības zīme ir " ". Jebkurai funkcijai tiek izmantotas nenegatīvas vērtības. Tā kā nevienlīdzība nav stingra, atbilde būs.

Uzrakstīsim atbilstošo kvadrātvienādojumu:

Atradīsim šī kvadrātvienādojuma saknes:

Shematiski uzzīmēsim parabolas grafiku un sakārtosim zīmes:

Pierakstīsim zīmei " " atbilstošos intervālus, jo nevienlīdzības zīme ir " ". Jebkurai funkcijai ir pozitīvas vērtības, tāpēc nevienlīdzības risinājums būs intervāls:

Kvadrātu nevienlīdzības. VIDĒJS LĪMENIS

Kvadrātiskā funkcija.

Pirms runāt par tēmu “kvadrātiskās nevienādības”, atcerēsimies, kas ir kvadrātiskā funkcija un kāds ir tās grafiks.

Citiem vārdiem sakot, šis otrās pakāpes polinoms.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola (atcerieties, kas tas ir?). Tās atzari ir vērsti uz augšu, ja "a) funkcijai visiem ir tikai pozitīvas vērtības, bet otrajā () - tikai negatīvās:

Gadījumā, ja vienādojumam () ir tieši viena sakne (piemēram, ja diskriminants ir nulle), tas nozīmē, ka grafiks pieskaras asij:

Pēc tam, līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, " .

Tātad, mēs nesen uzzinājām, kā noteikt, kur kvadrātfunkcija ir lielāka par nulli un kur tā ir mazāka:

Ja kvadrātiskā nevienādība nav stingra, tad saknes tiek iekļautas skaitliskā intervālā, ja tā ir stingra, tās nav.

Ja ir tikai viena sakne, tas ir labi, visur būs viena un tā pati zīme. Ja nav sakņu, viss ir atkarīgs tikai no koeficienta: ja "25((x)^(2))-30x+9

Atbildes:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Nav sakņu, tāpēc visa izteiksme kreisajā pusē aizņem koeficienta zīmi pirms:

• Ja vēlaties atrast skaitlisko intervālu, kurā kvadrātveida trinomāls ir lielāks par nulli, tad tas ir skaitliskais intervāls, kurā parabola atrodas virs ass.
• Ja vēlaties atrast skaitlisko intervālu, kurā kvadrātveida trinomāls ir mazāks par nulli, tad šis ir skaitliskais intervāls, kurā parabola atrodas zem ass.

Kvadrātu nevienlīdzības. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Kvadrātiskā funkcija ir formas funkcija: ,

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola. Tās zari ir vērsti uz augšu, ja:

Kvadrātisko nevienādību veidi:

Visas kvadrātiskās nevienādības tiek reducētas līdz šādiem četriem veidiem:

Risinājuma algoritms:

Algoritms	Piemērs:
1) Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu, kas atbilst nevienādībai (vienkārši nomainiet nevienlīdzības zīmi uz vienādības zīmi " ").
2) Atradīsim šī vienādojuma saknes.
3) Atzīmējiet saknes uz ass un shematiski parādiet parabolas zaru orientāciju ("uz augšu" vai "uz leju")
4) Novietosim zīmes uz ass, kas atbilst kvadrātfunkcijas zīmei: kur parabola atrodas virs ass, mēs ievietojam “ ”, bet kur zemāk - “ “.
5) Uzrakstiet intervālu(-us), kas atbilst “ ” vai “ ”, atkarībā no nevienlīdzības zīmes. Ja nevienlīdzība nav stingra, saknes tiek iekļautas intervālā, ja tā ir stingra, tās nav.

Kvadrātnevienlīdzība – “NO un UZ”.Šajā rakstā mēs apskatīsim kvadrātvienādību risinājumu, kā saka, līdz pat smalkumiem. Iesaku rūpīgi izpētīt rakstā esošo materiālu, neko nepalaižot garām. Jūs nevarēsiet apgūt rakstu uzreiz, iesaku to darīt vairākās pieejās, informācijas ir daudz.

Saturs:

Ievads. Svarīgi!

Ievads. Svarīgi!

Kvadrātiskā nevienlīdzība ir formas nevienlīdzība:

Ja ņemat kvadrātvienādojumu un aizstājat vienādības zīmi ar kādu no iepriekšminētajiem, jūs iegūstat kvadrātvienādību. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atbildēt uz jautājumu, kādām x vērtībām šī nevienlīdzība būs patiesa. Piemēri:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Kvadrātisko nevienlīdzību var norādīt netieši, piemēram:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

Šajā gadījumā ir nepieciešams veikt algebriskās transformācijas un nogādāt to standarta formā (1).

*Koeficienti var būt daļēji un neracionāli, taču šādi piemēri skolu programmās ir reti sastopami, un vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumos tie vispār nav atrodami. Bet neuztraucieties, ja, piemēram, saskaraties ar:

Tā ir arī kvadrātiskā nevienlīdzība.

Vispirms apskatīsim vienkāršu risinājuma algoritmu, kas neprasa izpratni par to, kas ir kvadrātfunkcija un kā tās grafiks izskatās koordinātu plaknē attiecībā pret koordinātu asīm. Ja jūs spējat stingri un ilgi atcerēties informāciju un regulāri to nostiprināt ar praksi, tad algoritms jums palīdzēs. Turklāt, ja, kā saka, šāda nevienlīdzība ir jāatrisina “uzreiz”, tad algoritms jums palīdzēs. Ievērojot to, jūs viegli ieviesīsiet risinājumu.

Ja jūs mācāties skolā, tad ļoti iesaku sākt studēt rakstu no otrās daļas, kurā ir izstāstīta visa risinājuma nozīme (skatīt zemāk no punkta -). Ja jūs saprotat būtību, tad nebūs nepieciešams apgūt vai iegaumēt norādīto algoritmu, jūs varat viegli atrisināt jebkuru kvadrātisko nevienādību.

Protams, man vajadzēja uzreiz sākt skaidrojumu ar kvadrātfunkcijas grafiku un pašas nozīmes skaidrojumu, bet es nolēmu rakstu “konstruēt” šādi.

Vēl viens teorētisks punkts! Apskatiet formulu kvadrātiskā trinoma faktorēšanai:

kur x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma ax 2 saknes+ bx+c=0

*Lai atrisinātu kvadrātvienādību, būs nepieciešams faktorēt kvadrātisko trinomu.

Tālāk sniegto algoritmu sauc arī par intervāla metodi. Tas ir piemērots formas nevienādību risināšanai f(x)>0, f(x)<0 , f(x)≥0 unf(x)≤0 . Lūdzu, ņemiet vērā, ka var būt vairāk nekā divi reizinātāji, piemēram:

(x–10) (x+5) (x–1) (x+104) (x+6) (x–1)<0

Risinājuma algoritms. Intervāla metode. Piemēri.

Ņemot vērā nevienlīdzību cirvis 2 + bx+ c > 0 (jebkura zīme).

1. Uzrakstiet kvadrātvienādojumu cirvis 2 + bx+ c = 0 un atrisināt to. Mēs saņemam x 1 un x 2– kvadrātvienādojuma saknes.

2. Aizvietojiet koeficientu formulā (2) a un saknes. :

a(x – x 1 )(x – x 2)>0

3. Definējiet intervālus uz skaitļa līnijas (vienādojuma saknes sadala skaitļa līniju intervālos):

4. Nosakiet “zīmes” intervālos (+ vai –), izteiksmē aizstājot patvaļīgu “x” vērtību no katra iegūtā intervāla:

a(x – x 1 )(x – x2)

un svinēt tos.

5. Atliek tikai pierakstīt mūs interesējošos intervālus, tie ir atzīmēti:

- ar “+” zīmi, ja nevienādība satur “>0” vai “≥0”.

- zīmi “–”, ja nevienlīdzība ietvēra “<0» или «≤0».

UZMANĪBU!!! Pašas nevienlīdzības pazīmes var būt:

stingri — tas ir “>”, “<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Kā tas ietekmē lēmuma iznākumu?

Ar stingrām nevienlīdzības zīmēm intervāla robežas NAV IEKĻAUTAS risinājumā, un atbildē pats intervāls ir rakstīts formā ( x 1 ; x 2 ) – apaļās iekavas.

Vājām nevienlīdzības zīmēm risinājumā tiek iekļautas intervāla robežas, un atbilde tiek uzrakstīta formā [ x 1 ; x 2 ] – kvadrātiekavas.

*Tas attiecas ne tikai uz kvadrātvienādību. Kvadrātiekavas nozīmē, ka risinājumā ir iekļauta pati intervāla robeža.

To redzēsit piemēros. Apskatīsim dažus, lai noskaidrotu visus jautājumus par to. Teorētiski algoritms var šķist nedaudz sarežģīts, bet patiesībā viss ir vienkāršs.

1. PIEMĒRS. Atrisiniet x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Kvadrātvienādojuma atrisināšana x 2 –60 x+500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Sakņu atrašana:

Aizstāt koeficientu a

x 2 –60 x+500 = (x–50) (x–10)

Mēs rakstām nevienlīdzību formā (x–50) (x–10) ≤ 0

Vienādojuma saknes sadala skaitļu līniju intervālos. Parādīsim tos skaitļu rindā:

Mēs saņēmām trīs intervālus (–∞;10), (10;50) un (50;+∞).

Mēs nosakām intervālu “zīmes”, mēs to darām, aizstājot katra iegūtā intervāla patvaļīgas vērtības izteiksmē (x–50) (x–10) un aplūkojam iegūtās “zīmes” atbilstību zīmei; nevienlīdzība (x–50) (x–10) ≤ 0:

pie x=2 (x–50) (x–10) = 384 > 0 nepareizi

pie x=20 (x–50) (x–10) = –300 < 0 верно

pie x=60 (x–50) (x–10) = 500 > 0 nepareizi

Risinājums būs intervāls.

Visām x vērtībām no šī intervāla nevienādība būs patiesa.

*Ņemiet vērā, ka esam iekļāvuši kvadrātiekavas.

Ja x = 10 un x = 50, arī nevienādība būs patiesa, tas ir, robežas ir iekļautas risinājumā.

Atbilde: x∊

Atkal:

— Intervāla robežas IR IEKĻAUTAS nevienādības risinājumā, ja nosacījums satur zīmi ≤ vai ≥ (nestingrā nevienādība). Šajā gadījumā ir ierasts parādīt iegūtās saknes skicē ar HASHED apli.

— Intervāla robežas NAV IEKĻAUTAS nevienādības risinājumā, ja nosacījums satur zīmi< или >(stingra nevienlīdzība). Šajā gadījumā skicē ir ierasts parādīt sakni kā UNHASHED apli.

2. PIEMĒRS. Atrisiniet x 2 + 4 x–21 > 0

Kvadrātvienādojuma atrisināšana x 2 + 4 x–21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Sakņu atrašana:

Aizstāt koeficientu a un saknes formulā (2), mēs iegūstam:

x 2 + 4 x–21 = (x–3) (x+7)

Mēs rakstām nevienlīdzību formā (x–3) (x+7) > 0.

Vienādojuma saknes sadala skaitļu līniju intervālos. Atzīmēsim tos uz skaitļu līnijas:

*Nevienlīdzība nav stingra, tāpēc sakņu simboli NAV ieēnoti. Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;–7), (–7;3) un (3;+∞).

Mēs nosakām intervālu “zīmes”, mēs to darām, aizstājot šo intervālu patvaļīgas vērtības izteiksmē (x–3) (x+7) un meklējam atbilstību nevienlīdzībai. (x–3) (x+7)> 0:

pie x= –10 (–10–3) (–10 +7) = 39 > 0 pareizi

pie x= 0 (0–3) (0 +7) = –21< 0 неверно

pie x=10 (10–3) (10 +7) = 119 > 0 pareizi

Atrisinājums būs divi intervāli (–∞;–7) un (3;+∞). Visām x vērtībām no šiem intervāliem nevienādība būs patiesa.

*Ņemiet vērā, ka esam iekļāvuši iekavas. Pie x = 3 un x = –7 nevienādība būs nepareiza - risinājumā robežas nav iekļautas.

Atbilde: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

3. PIEMĒRS. Atrisiniet – x 2 –9 x–20 > 0

Kvadrātvienādojuma atrisināšana – x 2 –9 x–20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Sakņu atrašana:

Aizstāt koeficientu a un saknes formulā (2), mēs iegūstam:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= – (x+5) (x+4)

Mēs rakstām nevienlīdzību formā –(x+5)(x+4) > 0.

Vienādojuma saknes sadala skaitļu līniju intervālos. Atzīmēsim uz skaitļu līnijas:

*Nevienlīdzība ir stingra, tāpēc simboli saknēm nav ieēnoti. Mēs ieguvām trīs intervālus (–∞;–5), (–5; –4) un (–4;+∞).

Mēs definējam “zīmes” uz intervāliem, mēs to darām, aizstājot izteiksmē –(x+5)(x+4) patvaļīgas šo intervālu vērtības un aplūkojiet atbilstību nevienlīdzībai –(x+5)(x+4)>0:

pie x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

pie x= –4,5 – (–4,5+5) (–4,5+4) = 0,25 > 0 pareizi

pie x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

Risinājums būs intervāls (–5,–4). Visām tai piederošajām “x” vērtībām nevienlīdzība būs patiesa.

*Lūdzu, ņemiet vērā, ka robežas nav risinājuma sastāvdaļa. Ja x = –5 un x = –4, nevienlīdzība nebūs patiesa.

KOMENTĒT!

Atrisinot kvadrātvienādojumu, mēs varam nonākt pie vienas saknes vai vispār bez saknēm, tad, akli izmantojot šo metodi, var rasties grūtības risinājuma noteikšanā.

Neliels kopsavilkums! Metode ir laba un ērta lietošanā, it īpaši, ja esat iepazinies ar kvadrātfunkciju un zināt tās grafika īpašības. Ja nē, lūdzu, ieskatieties un pārejiet uz nākamo sadaļu.

Kvadrātfunkcijas grafika izmantošana. Iesaku!

Kvadrātiskais ir formas funkcija:

Tās grafiks ir parabola, parabolas zari ir vērsti uz augšu vai uz leju:

Grafu var pozicionēt šādi: tas var krustoties ar x asi divos punktos, var pieskarties tai vienā punktā (virsotnē), vai arī tas nevar krustoties. Vairāk par to vēlāk.

Tagad aplūkosim šo pieeju ar piemēru. Viss risināšanas process sastāv no trim posmiem. Atrisināsim nevienlīdzību x 2 +2 x –8 >0.

Pirmais posms

Vienādojuma atrisināšana x 2 +2 x–8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Sakņu atrašana:

Mēs saņēmām x 1 = 2 un x 2 = – 4.

Otrais posms

Parabolas veidošana y=x 2 +2 x–8 pēc punktiem:

Punkti 4 un 2 ir parabolas un x ass krustošanās punkti. Tas ir vienkārši! ko tu izdarīji? Mēs atrisinājām kvadrātvienādojumu x 2 +2 x–8=0. Apskatiet viņa ziņu šādi:

0 = x 2+2x – 8

Nulle mums ir “y” vērtība. Kad y = 0, mēs iegūstam parabolas krustošanās punktu ar x asi abscisu. Mēs varam teikt, ka nulles vērtība “y” ir x ass.

Tagad apskatiet, kādas x vērtības ir izteiksme x 2 +2 x – 8 lielāks (vai mazāks) par nulli? To nav grūti noteikt no parabola grafika, kā saka, viss ir redzams:

1. Pie x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 būs pozitīva.

2. Pulksten –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 būs negatīvs.

3. Ja x > 2, parabolas atzars atrodas virs x ass. Norādītajam x trīsnomināls x 2 +2 x –8 būs pozitīva.

Trešais posms

No parabolas mēs uzreiz varam redzēt, pie kāda x izteiksme x 2 +2 x–8 lielāks par nulli, vienāds ar nulli, mazāks par nulli. Tāda ir risinājuma trešā posma būtība, proti, saskatīt un identificēt zīmējumā pozitīvās un negatīvās zonas. Salīdzinām iegūto rezultātu ar sākotnējo nevienādību un pierakstām atbildi. Mūsu piemērā ir jānosaka visas x vērtības, kurām ir izteiksme x 2 +2 x–8 vairāk par nulli. Mēs to izdarījām otrajā posmā.

Atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Apkoposim: pirmajā solī izskaitļojot vienādojuma saknes, iegūtos punktus varam atzīmēt uz x ass (tie ir parabolas krustošanās punkti ar x asi). Tālāk mēs shematiski konstruējam parabolu un jau varam redzēt risinājumu. Kāpēc shematiski? Mums nav vajadzīgs matemātiski precīzs grafiks. Un iedomājieties, piemēram, ja saknes izrādās 10 un 1500, mēģiniet izveidot precīzu grafiku uz papīra lapas ar šādu vērtību diapazonu. Rodas jautājums! Nu saknes dabūjām, nu, atzīmējām uz o ass, bet vai pašas parabolas atrašanās vietu ieskicēt - ar zariem uz augšu vai uz leju? Šeit viss ir vienkārši! Koeficients x 2 jums pateiks:

- ja tas ir lielāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.

- ja mazāks par nulli, tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

Mūsu piemērā tas ir vienāds ar vienu, tas ir, pozitīvs.

* Piezīme! Ja nevienādība satur nevienlīdzības zīmi, tas ir, ≤ vai ≥, tad saknes uz skaitļu līnijas ir jāieēno, tas nosacīti norāda, ka nevienādības risinājumā ir iekļauta pati intervāla robeža. Šajā gadījumā saknes nav noēnotas (izdurtas), jo mūsu nevienlīdzība ir stingra (ir zīme “>”). Turklāt šajā gadījumā atbildē tiek izmantotas iekavas, nevis kvadrātveida (apmales risinājumā nav iekļautas).

Daudz ir rakstīts, laikam kādu sajaucu. Bet, ja jūs atrisināsiet vismaz 5 nevienādības, izmantojot parabolas, tad jūsu apbrīnai nebūs robežu. Tas ir vienkārši!

Tātad īsumā:

1. Mēs pierakstām nevienādību un samazinām to līdz standarta.

2. Pierakstiet kvadrātvienādojumu un atrisiniet to.

3. Uzzīmējiet x asi, atzīmējiet iegūtās saknes, shematiski uzzīmējiet parabolu ar zariem uz augšu, ja koeficients x 2 ir pozitīvs, vai uz leju, ja tas ir negatīvs.

4. Vizuāli identificējiet pozitīvās vai negatīvās zonas un pierakstiet atbildi uz sākotnējo nevienādību.

Apskatīsim piemērus.

1. PIEMĒRS. Atrisiniet x 2 –15 x+50 > 0

Pirmais posms.

Kvadrātvienādojuma atrisināšana x 2 –15 x+50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Sakņu atrašana:

Otrais posms.

Mēs veidojam o asi. Atzīmēsim iegūtās saknes. Tā kā mūsu nevienlīdzība ir stingra, mēs tās neēnosim. Mēs shematiski konstruējam parabolu, tā atrodas ar zariem uz augšu, jo koeficients x 2 ir pozitīvs:

Trešais posms.

Mēs definējam vizuāli pozitīvās un negatīvās zonas, šeit mēs tās atzīmējām dažādās krāsās skaidrības labad, jums tas nav jādara.

Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*U zīme norāda apvienošanas risinājumu. Tēlaini izsakoties, risinājums ir “šis” UN “arī šis” intervāls.

2. PIEMĒRS. Atrisiniet – x 2 + x+20 ≤ 0

Pirmais posms.

Kvadrātvienādojuma atrisināšana – x 2 + x+20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Sakņu atrašana:

Otrais posms.

Mēs veidojam o asi. Atzīmēsim iegūtās saknes. Tā kā mūsu nevienlīdzība nav stingra, mēs ēnojam sakņu apzīmējumus. Mēs shematiski konstruējam parabolu, tā atrodas ar zariem uz leju, jo koeficients x 2 ir negatīvs (tas ir vienāds ar –1):

Trešais posms.

Mēs vizuāli identificējam pozitīvās un negatīvās jomas. Mēs to salīdzinām ar sākotnējo nevienādību (mūsu zīme ir ≤ 0). Nevienādība būs patiesa x ≤ – 4 un x ≥ 5.

Mēs pierakstām atbildi.

Atbilde: x∊(–∞;–4] U; rediģējis S. A. Teljakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp.: il. - ISBN 978-5-09 -019243-9.