Ja funkcija f(x) ir kādā intervālā, kas satur punktu A, visu secību atvasinājumi, tad tai var piemērot Teilora formulu:
Kur r n– tā sauktais atlikuma termins vai rindas atlikums, to var novērtēt, izmantojot Lagranža formulu:
, kur skaitlis x ir starp X Un A.
Ja par kādu vērtību x r n®0 plkst n®¥, tad robežā Teilora formula pārvēršas par šīs vērtības konverģentu formulu Teilora sērija:
Tātad funkcija f(x) attiecīgajā vietā var paplašināt par Teilora sēriju X, Ja:
1) tai ir visu pasūtījumu atvasinājumi;
2) konstruētās rindas šajā punktā saplūst.
Plkst A=0 mēs iegūstam sēriju, ko sauc netālu no Maklarinas:
1. piemērs f(x)= 2x.
Risinājums. Ļaujiet mums atrast funkcijas un tās atvasinājumu vērtības pie X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f¢¢(x) = 2x 22, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Aizvietojot iegūtās atvasinājumu vērtības Teilora sērijas formulā, mēs iegūstam:
Šīs rindas konverģences rādiuss ir vienāds ar bezgalību, tāpēc šis paplašinājums ir derīgs -¥<x<+¥.
2. piemērs X+4) funkcijai f(x)= e x.
Risinājums. Funkcijas e atvasinājumu atrašana x un to vērtības konkrētajā brīdī X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Tāpēc nepieciešamajai funkcijas Teilora sērijai ir šāda forma:
Šis paplašinājums ir derīgs arī -¥<x<+¥.
3. piemērs . Izvērsiet funkciju f(x)=ln x spēku sērijā ( X- 1),
(t.i., Teilora sērijā punkta tuvumā X=1).
Risinājums. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumus.
Aizvietojot šīs vērtības formulā, mēs iegūstam vēlamo Teilora sēriju:
Izmantojot d'Alemberta testu, varat pārbaudīt, vai sērijas konverģē, kad
½ X- 1½<1. Действительно,
Sērijas saplūst, ja ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 iegūstam mainīgu virkni, kas atbilst Leibnica kritērija nosacījumiem. Plkst X=0 funkcija nav definēta. Tādējādi Teilora rindas konverģences apgabals ir pusatvērtais intervāls (0;2]).
Šādā veidā iegūtos paplašinājumus parādīsim Maklaurina sērijā (t.i., punkta tuvumā X=0) dažām elementārām funkcijām:
(2) 
,
(3) 
,
( tiek saukta pēdējā sadalīšanās binominālā sērija)
4. piemērs . Izvērsiet funkciju jaudas sērijā
Risinājums. Izvērsumā (1) mēs aizstājam X ieslēgts – X 2, mēs iegūstam:
5. piemērs
. Paplašiniet funkciju Maclaurin sērijā 
Risinājums. Mums ir 
Izmantojot formulu (4), mēs varam rakstīt:
aizstājot X formulā -X, mēs iegūstam:
Šeit mēs atrodam:
Atverot iekavas, pārkārtojot sērijas noteikumus un ienesot līdzīgus terminus, mēs iegūstam
Šī sērija saplūst intervālā
(-1;1), jo to iegūst no divām sērijām, no kurām katra saplūst šajā intervālā.
komentēt .
Formulas (1)-(5) var izmantot arī, lai paplašinātu atbilstošās funkcijas Teilora sērijā, t.i. funkciju paplašināšanai pozitīvu veselu skaitļu pakāpēs ( Ha). Lai to izdarītu, ir jāveic šādas identiskas transformācijas uz doto funkciju, lai iegūtu vienu no funkcijām (1)-5), kurā tā vietā X maksā k( Ha) m , kur k ir konstants skaitlis, m ir pozitīvs vesels skaitlis. Bieži vien ir ērti veikt mainīgā lieluma maiņu t=Ha un izvērsiet iegūto funkciju attiecībā pret t Maclaurin sērijā.
Šī metode ilustrē teorēmu par funkcijas pakāpju rindas paplašināšanas unikalitāti. Šīs teorēmas būtība ir tāda, ka viena un tā paša punkta tuvumā nevar iegūt divas dažādas pakāpju rindas, kas konverģētu uz vienu un to pašu funkciju, neatkarīgi no tā, kā tiek veikta tās paplašināšana.
6. piemērs . Izvērsiet funkciju Teilora sērijā punkta tuvumā X=3.
Risinājums. Šo problēmu, tāpat kā iepriekš, var atrisināt, izmantojot Teilora sērijas definīciju, kurai mums jāatrod funkcijas atvasinājumi un to vērtības X=3. Tomēr būs vieglāk izmantot esošo paplašinājumu (5):
Rezultātā iegūtā sērija saplūst plkst 
vai -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
7. piemērs
. Uzrakstiet Teilora sēriju pakāpēs ( X-1) funkcijas 
.
Risinājums.
Sērija saplūst plkst 
, vai -2< x£5.
"Atrodiet funkcijas f(x) Maclaurin sērijas paplašinājumu"- tieši tā izklausās uzdevums augstākajā matemātikā, ko daži skolēni var paveikt, bet citi netiek galā ar piemēriem. Ir vairāki veidi, kā paplašināt virkni pilnvarās. Šeit mēs sniegsim paņēmienu funkciju paplašināšanai Maclaurin sērijā. Izstrādājot funkciju sērijā, jums ir labi jāprot aprēķināt atvasinājumus.
Piemērs 4.7. Izvērsiet funkciju x pakāpēs
Aprēķini: Funkcijas paplašināšanu veicam pēc Maklarīna formulas. Vispirms paplašināsim funkcijas saucēju sērijā 
Visbeidzot, reiziniet izvērsumu ar skaitītāju.
Pirmais termins ir funkcijas vērtība pie nulles f (0) = 1/3.
Atradīsim pirmās un augstākās kārtas funkcijas atvasinājumus f (x) un šo atvasinājumu vērtību punktā x=0 
Tālāk, pamatojoties uz atvasinājumu vērtības izmaiņu modeli pie 0, mēs rakstām n-tā atvasinājuma formulu 
Tātad, mēs pārstāvam saucēju Maclaurin sērijas paplašinājuma veidā 
Mēs reizinām ar skaitītāju un iegūstam vēlamo funkcijas paplašinājumu virknē pakāpēs x 
Kā redzat, šeit nav nekā sarežģīta.
Visi galvenie punkti ir balstīti uz spēju aprēķināt atvasinājumus un ātri vispārināt augstākas kārtas atvasinājuma vērtību pie nulles. Šie piemēri palīdzēs jums uzzināt, kā ātri sakārtot funkciju sērijā.
Piemērs 4.10. Atrodiet funkcijas Maclaurin sērijas paplašinājumu
Aprēķini: Kā jūs, iespējams, uzminējāt, kosinusu skaitītājā ievietosim virknē. Lai to izdarītu, varat izmantot formulas bezgalīgi maziem daudzumiem vai iegūt kosinusa izplešanos, izmantojot atvasinājumus. Rezultātā mēs nonākam pie šādas sērijas x pakāpēs 
Kā redzat, mums ir minimāls aprēķinu skaits un kompakts sērijas paplašināšanas attēlojums.
4.16. piemērs Funkcijas izvēršana x pakāpēs:
7/(12-x-x^2)
Aprēķini: šāda veida piemēros ir jāpaplašina daļa, izmantojot vienkāršo daļu summu.
Mēs tagad neparādīsim, kā to izdarīt, bet ar nenoteiktu koeficientu palīdzību mēs nonāksim pie daļskaitļu summas.
Tālāk mēs rakstām saucējus eksponenciālā formā 
Atliek paplašināt terminus, izmantojot Maclaurin formulu. Apkopojot terminus ar vienādām “x” pakāpēm, mēs sastādām formulu virknes funkcijas paplašināšanas vispārīgajam termiņam. 
Pēdējā pārejas daļa uz sēriju sākumā ir grūti īstenojama, jo ir grūti apvienot pāra un nesapārotu indeksu (grādi) formulas, bet ar praksi jūs to veiksit labāk.
4.18. piemērs. Atrodiet funkcijas Maklaurina sērijas paplašinājumu
Aprēķini: atradīsim šīs funkcijas atvasinājumu: 
Izvērsīsim funkciju sērijā, izmantojot kādu no Maklarena formulām: 
Mēs summējam sērijas pēc termina, pamatojoties uz faktu, ka abi ir absolūti identiski. Integrējot visu sēriju pēc termina, mēs iegūstam funkcijas izvēršanu sērijā ar x pakāpēm 
Notiek pāreja starp pēdējām divām paplašināšanas rindām, kas sākumā prasīs daudz jūsu laika. Sērijas formulas vispārināšana nav vienkārša visiem, tāpēc neuztraucieties par to, ka nevarat iegūt jauku, kompaktu formulu.
Piemērs 4.28 Atrodiet funkcijas Maclaurin sērijas paplašinājumu:
Rakstīsim logaritmu šādi 
Izmantojot Maklarīna formulu, mēs izvēršam logaritma funkciju virknē x pakāpēs 
Galīgā konvolūcija no pirmā acu uzmetiena ir sarežģīta, taču, mainot zīmes, jūs vienmēr iegūsit kaut ko līdzīgu. Ir pabeigta ievades nodarbība par tēmu plānošanas funkcijas pēc kārtas. Citas tikpat interesantas sadalīšanās shēmas tiks detalizēti aplūkotas turpmākajos materiālos.
Funkcionālo sēriju teorijā centrālo vietu ieņem sadaļa, kas veltīta funkcijas paplašināšanai sērijā.
Tādējādi tiek izvirzīts uzdevums: noteiktai funkcijai mums jāatrod šāda jaudas sērija
kas saplūda noteiktā intervālā un tā summa bija vienāda ar 
,
tie.
=
..
Šo uzdevumu sauc problēmas paplašināšanas funkcijas pakāpju virknē.
Nepieciešams nosacījums funkcijas sadalāmībai pakāpju rindā vai tā diferenciējamība ir bezgalīgs reižu skaits - tas izriet no konverģentu pakāpju rindu īpašībām. Šis nosacījums parasti ir izpildīts elementārām funkcijām to definīcijas jomā.
Tātad pieņemsim, ka funkcija 
ir jebkuras kārtas atvasinājumi. Vai ir iespējams to izvērst jaudas sērijā Ja jā, kā mēs varam atrast šo sēriju? Problēmas otro daļu ir vieglāk atrisināt, tāpēc sāksim ar to.
Pieņemsim, ka funkcija 
var attēlot kā pakāpju rindas summu, kas saplūst intervālā, kurā ir punkts X 0 :
=
..
(*)
Kur A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A n ,... – nezināmi (vēl) koeficienti.
Ieliksim vienādībā (*) vērtību x = x 0 , tad saņemam
.
Atšķirsim pakāpju rindas (*) pa vārdam
=
..
un ticēt šeit x = x 0 , mēs saņemam
.
Ar nākamo diferenciāciju mēs iegūstam sēriju
=
..
ticot x = x 0 ,
mēs saņemam 
, kur 
.
Pēc n- mēs iegūstam vairākas diferenciācijas
Pieņemot, ka pēdējā vienādībā x = x 0 ,
mēs saņemam 
, kur
Tātad koeficienti ir atrasti
,
,
,
…,
,….,
aizstājot to sērijā (*), mēs iegūstam
Iegūto sēriju sauc blakus Teiloram
funkcijai
.
Tādējādi mēs to esam noskaidrojuši ja funkciju var izvērst pakāpju sērijā pakāpēs (x - x 0 ), tad šis paplašinājums ir unikāls un iegūtā sērija noteikti ir Teilora sērija.
Ņemiet vērā, ka Teilora sēriju var iegūt jebkurai funkcijai, kurai punktā ir jebkuras kārtas atvasinājumi x = x 0 . Bet tas nenozīmē, ka starp funkciju un iegūto sēriju var likt vienādības zīmi, t.i. ka sērijas summa ir vienāda ar sākotnējo funkciju. Pirmkārt, šādai vienādībai var būt jēga tikai konverģences reģionā, un funkcijai iegūtā Teilora rinda var atšķirties, un, otrkārt, ja Teilora rinda saplūst, tad tās summa var nesakrist ar sākotnējo funkciju.
3.2. Pietiekami nosacījumi funkcijas sadalāmībai Teilora sērijā
Formulēsim apgalvojumu, ar kura palīdzību uzdevums tiks atrisināts.
Ja funkcija
kādā punkta x apkārtnē 0 ir atvasinājumi līdz (n+
1) pasūtījuma ieskaitot, tad šajā apkaimē mums irformula
Teilors
KurR n (X)-Teilora formulas atlikušajam terminam ir forma (Lagranža forma)
Kur punktsξ atrodas starp x un x 0 .
Ņemiet vērā, ka pastāv atšķirība starp Teilora sēriju un Teilora formulu: Teilora formula ir ierobežota summa, t.i. p - fiksēts numurs.
Atcerieties, ka sērijas summa S(x) var definēt kā daļēju summu funkcionālās secības robežu S n (x) ar kādu intervālu X:
.
Saskaņā ar šo funkciju paplašināt par Teilora sēriju nozīmē atrast sēriju, kas piemērota jebkurai XX
Rakstīsim Teilora formulu formā kur
Ņemiet vērā, ka 
definē iegūto kļūdu, aizstājiet funkciju f(x)
polinoms S n (x).
Ja 
, Tas 
, tie. funkcija ir paplašināta Taylor sērijā. Un otrādi, ja 
, Tas 
.
Tā mēs pierādījām funkcijas sadalāmības kritērijs Teilora sērijā.
Lai kādā intervālā funkcijaf(x) izvēršas Teilora sērijā, ir nepieciešams un pietiekams, ka šajā intervālā
, KurR n (x) ir Teilora sērijas atlikušais termins.
Izmantojot formulēto kritēriju, var iegūt pietiekamifunkcijas sadalāmības nosacījumi Teilora sērijā.
Ja iekšākāda punkta x apkārtne 0 visu funkcijas atvasinājumu absolūtās vērtības ir ierobežotas ar vienu un to pašu skaitli M≥ 0, t.i.
, To šajā apkārtnē funkcija izvēršas Teilora sērijā.
No iepriekš minētā izriet algoritmsfunkciju paplašināšana f(x) Teilora sērijā punkta tuvumā X 0 :
1. Funkciju atvasinājumu atrašana f(x):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Aprēķiniet funkcijas vērtību un tās atvasinājumu vērtības punktā X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Mēs formāli uzrakstām Teilora rindu un atrodam iegūto pakāpju rindu konverģences reģionu.
4. Pārbaudām pietiekamu nosacījumu izpildi, t.i. mēs nosakām kuriem X no konverģences reģiona, atlikušais termiņš R n (x)
tiecas uz nulli kā 
vai
.
Funkciju paplašināšana Teilora sērijā, izmantojot šo algoritmu, tiek saukta funkcijas izvēršana Teilora sērijā pēc definīcijas vai tieša sadalīšanās.
Funkcijas paplašināšana Taylor, Maclaurin un Laurent sērijās vietnē praktisko iemaņu apmācībai. Šis funkcijas sērijas paplašinājums ļauj matemātiķiem noteikt aptuveno funkcijas vērtību tās definīcijas jomā. Šādu funkcijas vērtību ir daudz vieglāk aprēķināt, salīdzinot ar datortehnoloģiju laikmetā tik mazsvarīgās Bredis tabulas izmantošanu. Izvērst funkciju Teilora sērijā nozīmē aprēķināt šīs sērijas lineāro funkciju koeficientus un ierakstīt to pareizā formā. Studenti jauc šīs abas sērijas, nesaprotot, kas ir vispārējais gadījums un kas ir otrais īpašais gadījums. Atgādināsim vienreiz un uz visiem laikiem, ka Maclaurin sērija ir Teilora sērijas īpašs gadījums, tas ir, šī ir Teilora sērija, bet punktā x = 0. Visi īsie ieraksti plaši pazīstamu funkciju paplašināšanai, piemēram, e^x, Sin(x), Cos(x) un citi, tie ir Teilora sērijas paplašinājumi, bet punktā 0 argumentam. Sarežģīta argumenta funkcijām Laurent sērija ir visizplatītākā TFCT problēma, jo tā attēlo divpusēju bezgalīgu sēriju. Tā ir divu sēriju summa. Mēs iesakām apskatīt sadalīšanas piemēru tieši vietnē, to var izdarīt ļoti vienkārši, noklikšķinot uz “Piemērs” ar jebkuru numuru un pēc tam uz pogas “Risinājums”. Tieši šī funkcijas paplašināšana virknē, kas ir saistīta ar lielāko sēriju, ierobežo sākotnējo funkciju noteiktā reģionā gar ordinātu asi, ja mainīgais pieder pie abscisu apgabala. Vektora analīzi salīdzina ar citu interesantu matemātikas disciplīnu. Tā kā katrs termins ir jāpārbauda, process prasa diezgan daudz laika. Jebkuru Teilora sēriju var saistīt ar Maclaurin sēriju, aizstājot x0 ar nulli, taču Maclaurin sērijām dažreiz nav acīmredzami attēlot Teilora sēriju pretējā virzienā. It kā tas nav jādara tīrā veidā, tas ir interesanti vispārējai pašattīstībai. Katra Laurent sērija atbilst divpusējai bezgalīgai pakāpju rindai z-a veselos skaitļos, citiem vārdiem sakot, tāda paša Teilora tipa virknei, kas koeficientu aprēķinā ir nedaudz atšķirīga. Par Laurent sērijas konverģences reģionu mēs runāsim nedaudz vēlāk, pēc vairākiem teorētiskiem aprēķiniem. Tāpat kā pagājušajā gadsimtā, funkcijas pakāpenisku paplašināšanu virknē diez vai var panākt, vienkārši apvienojot terminus līdz kopsaucējam, jo funkcijas saucējos ir nelineāras. Aptuvens funkcionālās vērtības aprēķins ir nepieciešams, formulējot problēmas. Padomājiet par to, ka, ja Teilora sērijas arguments ir lineārs mainīgais, tad paplašināšana notiek vairākos posmos, bet aina ir pavisam cita, ja izvēršamās funkcijas arguments ir sarežģīta vai nelineāra funkcija, tad process šādas funkcijas attēlošana pakāpju rindā ir acīmredzama, jo šādā veidā ir viegli aprēķināt, kaut arī aptuvenu vērtību, jebkurā definīcijas apgabala punktā ar minimālu kļūdu, kas maz ietekmē turpmākos aprēķinus. Tas attiecas arī uz Maclaurin sēriju. kad nepieciešams aprēķināt funkciju nulles punktā. Tomēr pati Laurent sērija šeit ir attēlota ar paplašināšanu plaknē ar iedomātām vienībām. Arī pareiza problēmas risināšana kopējā procesa gaitā neiztiks bez panākumiem. Šāda pieeja matemātikā nav zināma, taču objektīvi tā pastāv. Rezultātā jūs varat nonākt pie secinājuma par tā sauktajām punktveida apakškopām, un virknes funkcijas paplašināšanā ir jāizmanto šim procesam zināmas metodes, piemēram, atvasinājumu teorijas pielietošana. Kārtējo reizi pārliecināmies, ka skolotājam bija taisnība, izdarot savus pieņēmumus par pēcaprēķinu rezultātiem. Atzīmēsim, ka Teilora sērija, kas iegūta saskaņā ar visiem matemātikas kanoniem, pastāv un ir definēta uz visas skaitliskās ass, tomēr, cienījamie vietnes pakalpojuma lietotāji, neaizmirstiet oriģinālās funkcijas veidu, jo tas var izrādīties ka sākotnēji ir nepieciešams noteikt funkcijas definīcijas apgabalu, tas ir, ierakstīt un izslēgt no turpmākās izskatīšanas tos punktus, kuros funkcija nav definēta reālo skaitļu jomā. Tā teikt, tas parādīs jūsu efektivitāti problēmas risināšanā. Maclaurin sērijas uzbūve ar nulles argumenta vērtību nebūs izņēmums no teiktā. Funkcijas definīcijas domēna atrašanas process nav atcelts, un jums ir jāpieiet šai matemātiskajai darbībai ar visu nopietnību. Ja Laurent sērija satur galveno daļu, parametrs “a” tiks saukts par izolētu vienskaitļa punktu, un Laurent sērija tiks izvērsta gredzenā - tas ir tās daļu konverģences apgabalu krustpunkts. sekos atbilstošā teorēma. Bet ne viss ir tik sarežģīti, kā nepieredzējušam studentam varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Izpētījis Teilora sēriju, jūs viegli varat saprast Laurent sēriju - vispārinātu gadījumu skaitļu telpas paplašināšanai. Jebkuru funkcijas sērijas paplašināšanu var veikt tikai funkcijas definīcijas apgabala punktā. Jāņem vērā tādas funkciju īpašības kā periodiskums vai bezgalīga diferenciācija. Mēs arī iesakām izmantot Taylor sērijas gatavu elementāro funkciju paplašinājumu tabulu, jo vienu funkciju var attēlot līdz pat desmitiem dažādu jaudas sēriju, kā to var redzēt, izmantojot mūsu tiešsaistes kalkulatoru. Tiešsaistes Maclaurin sēriju noteikt ir viegli kā pīrāgu, ja izmantojat unikālo vietnes pakalpojumu, jums tikai jāievada pareiza rakstveida funkcija un jūs saņemsit sniegto atbildi dažu sekunžu laikā, tā ir garantēta precīza un standarta rakstiska forma. Jūs varat kopēt rezultātu tieši tīrā kopijā, lai to iesniegtu skolotājam. Būtu pareizi vispirms noteikt attiecīgās funkcijas analītiskumu gredzenos un pēc tam nepārprotami norādīt, ka tā ir paplašināma Laurent sērijā visos šādos gredzenos. Ir svarīgi neaizmirst Laurent sērijas noteikumus, kas satur negatīvas spējas. Koncentrējieties uz šo, cik vien iespējams. Labi izmantojiet Lorāna teorēmu par funkcijas paplašināšanu veselu skaitļu pakāpēs.