Шүргэх нь шулуун шугам юм , энэ нь функцийн графикийг нэг цэгт хүрч, бүх цэгүүд нь функцийн графикаас хамгийн богино зайд байрладаг. Иймд шүргэгч нь функцийн график руу тодорхой өнцгөөр шүргэгчээр дамждаг бөгөөд хэд хэдэн шүргэгч шүргэлтийн цэгээр дамжиж чадахгүй. өөр өөр өнцөг. Функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл болон хэвийн тэгшитгэлийг дериватив ашиглан байгуулна.
Шүргэгчийн тэгшитгэлийг шугамын тэгшитгэлээс гаргаж авсан .
Шүргэгчийн тэгшитгэл, дараа нь функцийн графикийн нормийн тэгшитгэлийг гаргая.
y = kx + б .
Үүнд к - налуу.
Эндээс бид дараах оруулгыг авна.
y - y 0 = к(x - x 0 ) .
Дериватив утга е "(x 0 ) функцууд y = е(x) цэг дээр x0 налуутай тэнцүү байна к= тг φ цэгээр татсан функцийн графиктай шүргэгч М0 (x 0 , y 0 ) , Хаана y0 = е(x 0 ) . Энэ бол геометрийн утгадериватив .
Тиймээс бид сольж болно кдээр е "(x 0 ) мөн дараах зүйлийг аваарай функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл :
y - y 0 = е "(x 0 )(x - x 0 ) .
Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл зохиохтой холбоотой асуудлуудад (мөн бид удахгүй тэдэн рүү шилжих болно) дээрх томъёоноос олж авсан тэгшитгэлийг дараах хүртэл багасгах шаардлагатай. шулуун шугамын тэгшитгэл ерөнхий хэлбэрээр. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн зүүн талд бүх үсэг, тоог зөөж, баруун талд нь тэгийг үлдээх хэрэгтэй.
Одоо ердийн тэгшитгэлийн талаар. Ердийн - энэ нь шүргэгчтэй перпендикуляр функцийн график руу шүргэгч цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Хэвийн тэгшитгэл :
(x - x 0 ) + е "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Дулаацахын тулд та эхний жишээг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг харахыг хүсч байна. Энэ даалгавар манай уншигчдад “хүйтэн шүршүүр” болохгүй байх гэж найдах үндэслэл бий.
Жишээ 0.Нэг цэг дээрх функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг үүсгэ М (1, 1) .
Жишээ 1.Функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг бич 
, хэрэв абсцисса шүргэгч байвал .
Функцийн деривативыг олъё:
Одоо бидэнд шүргэгч тэгшитгэлийг олж авахын тулд онолын тусламжид өгөгдсөн оруулгад орлуулах шаардлагатай бүх зүйл байна. Бид авдаг
Энэ жишээнд бид азтай байсан: налуу нь тэг болсон тул тэгшитгэлийг тус тусад нь бууруулсан. ерөнхий дүр төрххэрэггүй байсан. Одоо бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэж болно:
Доорх зурагт: функцийн график burgundy өнгө, шүргэгч ногоон, улбар шар хэвийн.
Дараагийн жишээ нь бас төвөгтэй биш юм: функц нь өмнөх шигээ олон гишүүнт боловч налуу нь тэгтэй тэнцүү биш тул дахин нэг алхам нэмж, тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулах болно.
Жишээ 2.
Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:
Функцийн деривативыг олъё:
.
Шүргэх цэг дэх деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олъё.
Бид олж авсан бүх өгөгдлийг "хоосон томьёо" -д орлуулж, шүргэгч тэгшитгэлийг авна.
Бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь оруулдаг (бид тэгээс бусад бүх үсэг, тоонуудыг зүүн талд цуглуулж, баруун талд тэгийг үлдээдэг):
Бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг:
Жишээ 3.Хэрэв абсцисса нь шүргэгч цэг байвал функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:
Функцийн деривативыг олъё:
.
Шүргэх цэг дэх деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олъё.
.
Бид тангенсийн тэгшитгэлийг олно:
Тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь оруулахын өмнө та үүнийг бага зэрэг "самнах" хэрэгтэй: гишүүнчлэлийг 4-ээр үржүүл. Бид үүнийг хийж, тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирна:
Бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг:
Жишээ 4.Хэрэв абсцисса нь шүргэгч цэг байвал функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:
.
Функцийн деривативыг олъё:
Шүргэх цэг дэх деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олъё.
.
Бид тангенсийн тэгшитгэлийг олж авна.
Бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирдаг.
Бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг:
Шүргэгч ба хэвийн тэгшитгэлийг бичихэд гаргадаг нийтлэг алдаа бол жишээнд өгөгдсөн функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг анзаарахгүй байх, түүний уламжлалыг энгийн функцийн дериватив болгон тооцох явдал юм. Дараах жишээнүүдийг аль хэдийн авсан нарийн төвөгтэй функцууд(харгалзах хичээл шинэ цонхонд нээгдэнэ).
Жишээ 5.Хэрэв абсцисса нь шүргэгч цэг байвал функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:
Анхаар! Энэ функц- төвөгтэй, шүргэгч аргументаас хойш (2 x) нь өөрөө функц юм. Тиймээс бид функцийн деривативыг нийлмэл функцийн дериватив гэж олдог.
Заавар
М цэг дээрх муруйн шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тодорхойлно.
y = f(x) функцийн графикийг илэрхийлэх муруй нь М цэгийн тодорхой орчимд (М цэгийг оруулаад) тасралтгүй байна.
Хэрэв f‘(x0) утга байхгүй бол шүргэгч байхгүй эсвэл босоо тэнхлэгт явна. Үүнийг авч үзвэл х0 цэгт функцийн дериватив байгаа нь (x0, f(x0)) цэг дээрх функцийн графикт босоо бус шүргэгч шүргэгч байгаатай холбоотой юм. Энэ тохиолдолд шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь тэнцүү байх болно f "(x0). Тиймээс деривативын геометрийн утга нь тодорхой болно - шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тооцоолох.
“a” үсгээр тэмдэглэсэн шүргэгч цэгийн абсцисса утгыг ол. Хэрэв энэ нь өгөгдсөн шүргэгч цэгтэй давхцаж байвал "a" нь түүний x координат болно. Үнэ цэнийг тодорхойлох функцууд f(a) тэгшитгэлд орлуулах замаар функцуудабсцисса утга.
Тэгшитгэлийн эхний деривативыг тодорхойлно уу функцууд f’(x) ба түүнд “a” цэгийн утгыг орлуулна.
Ав ерөнхий тэгшитгэл y = f(a) = f (a)(x – a) гэж тодорхойлсон тангенс ба a, f(a), f "(a)-ын олсон утгуудыг түүнд орлуулна. Үүний үр дүнд, график ба шүргэгчийн шийдийг олно.
Өгөгдсөн шүргэгч цэг нь шүргэгч цэгтэй давхцахгүй бол асуудлыг өөр аргаар шийд. Энэ тохиолдолд шүргэгч тэгшитгэлд тоонуудын оронд "a"-г орлуулах шаардлагатай. Үүний дараа "x" ба "y" үсгийн оронд өгөгдсөн цэгийн координатын утгыг орлуулна. "a" нь үл мэдэгдэх үр дүнд үүссэн тэгшитгэлийг шийд. Үүссэн утгыг шүргэгч тэгшитгэлд оруулна.
Хэрэв бодлогын өгүүлбэрт тэгшитгэлийг зааж өгсөн бол "a" үсэг бүхий шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. функцуудба хүссэн шүргэгчтэй харьцуулахад параллель шугамын тэгшитгэл. Үүний дараа бидэнд дериватив хэрэгтэй функцууд, “a” цэг дээрх координат руу. Шүргэдэг тэгшитгэлд тохирох утгыг орлуулж, функцийг шийд.
Жишээ 1.Функц өгсөн е(x) = 3x 2 + 4x– 5. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье е(x) абсциссатай графикийн цэг дээр x 0 = 1.
Шийдэл.Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:
= (3x 2 + 4x– 5)' = 6 x + 4.
Дараа нь е(x 0) = е(1) = 2; (x 0) = = 10. Шүргэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = (x 0) (x – x 0) + е(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Хариулах. y = 10x – 8.
Жишээ 2.Функц өгсөн е(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье е(x), шугамтай зэрэгцээ y = 2x – 11.
Шийдэл.Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)' = 3 x 2 – 6x + 2.
Функцийн графикт шүргэгч тул е(x) абсцисса цэг дээр x 0 нь шугамтай параллель байна y = 2x– 11, дараа нь түүний налуу нь 2-той тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл ( x 0) = 2. 3 гэсэн нөхцлөөс энэ абсциссыг олъё x– 6x 0 + 2 = 2. Энэ тэгш байдал нь зөвхөн үед хүчинтэй x 0 = 0 ба цагт x 0 = 2. Учир нь хоёр тохиолдолд е(x 0) = 5, дараа нь шулуун y = 2x + бфункцийн графикт (0; 5) цэг дээр эсвэл (2; 5) цэг дээр хүрнэ.
Эхний тохиолдолд 5 = 2 × 0 + тоон тэгш байдал нь үнэн юм б, хаана б= 5, хоёр дахь тохиолдолд 5 = 2 × 2 + тоон тэгш байдал нь үнэн юм б, хаана б = 1.
Тэгэхээр хоёр шүргэгч байна y = 2x+ 5 ба y = 2x+ 1 функцийн графикт е(x), шугамтай зэрэгцээ y = 2x – 11.
Хариулах. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Жишээ 3.Функц өгсөн е(x) = x 2 – 6x+ 7. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье е(x), цэгээр дамжин өнгөрөх А (2; –5).
Шийдэл.Учир нь е(2) -5, дараа нь цэг Афункцийн графикт хамаарахгүй е(x). Болъё x 0 - шүргэгч цэгийн абсцисса.
Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:
= (x 2 – 6x+ 1)' = 2 x – 6.
Дараа нь е(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Шүргэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Гол нь Ашүргэхэд хамаарах бол тоон тэгш байдал үнэн болно
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
хаана x 0 = 0 эсвэл x 0 = 4. Энэ нь цэгээр дамжина гэсэн үг Афункцийн графикт хоёр шүргэгч зурж болно е(x).
Хэрэв x 0 = 0 бол шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = –6x+ 7. Хэрэв x 0 = 4, тэгвэл шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y = 2x – 9.
Хариулах. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Жишээ 4.Өгөгдсөн функцууд е(x) = x 2 – 2x+ 2 ба g(x) = –x 2 – 3. Эдгээр функцүүдийн графикт нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье.
Шийдэл.Болъё x 1 - функцийн графиктай хүссэн шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса е(x), А x 2 - функцийн графиктай ижил шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса g(x).
Функцийн дериватив е(x) дурын x-д байдаг Р . Түүнийг олъё:
= (x 2 – 2x+ 2)' = 2 x – 2.
Дараа нь е(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Шүргэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Функцийн деривативыг олъё g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Хэзээ нэгэн цагт x 0 нь f (x 0) төгсгөлтэй деривативтай f функцийг өгье. Дараа нь (x 0 ; f (x 0)) цэгийг дайран өнгөрч буй f '(x 0) өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг шүргэгч гэж нэрлэдэг.
X 0 цэг дээр дериватив байхгүй бол яах вэ? Хоёр сонголт байна:
- Графиктай шүргэгч байхгүй. Сонгодог жишээ бол y = |x | функц юм цэг дээр (0; 0).
- Шүргэх нь босоо болно. Энэ нь жишээлбэл, (1; π /2) цэг дээрх y = arcsin x функцийн хувьд үнэн юм.
Тангенсийн тэгшитгэл
Аливаа босоо бус шулуун шугамыг y = kx + b хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд k нь налуу юм. Тангенс нь үл хамаарах зүйл биш бөгөөд x 0 цэг дээр түүний тэгшитгэлийг бий болгохын тулд энэ цэг дэх функц болон деривативын утгыг мэдэхэд хангалттай.
Тэгэхээр хэрчим дээр y = f ’(x) деривативтэй y = f (x) функц өгөгдье. Дараа нь x 0 ∈ (a ; b) аль ч цэг дээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ функцийн графикт шүргэгчийг зурж болно.
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Энд f ’(x 0) нь x 0 цэг дэх деривативын утга, f (x 0) нь функцийн өөрийнх нь утга юм.
Даалгавар. y = x 3 функц өгөгдсөн. x 0 = 2 цэг дээрх энэ функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Тангенсийн тэгшитгэл: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Бидэнд x 0 = 2 цэгийг өгсөн боловч f (x 0) ба f '(x 0) утгуудыг тооцоолох шаардлагатай болно.
Эхлээд функцийн утгыг олъё. Энд бүх зүйл хялбар байдаг: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Одоо деривативыг олъё: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Бид x 0 = 2-г дериватив болгон орлоно: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Бид нийтдээ: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16 болно.
Энэ бол шүргэгч тэгшитгэл юм.
Даалгавар. x 0 = π /2 цэг дээрх f (x) = 2sin x + 5 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Энэ удаад бид үйлдэл бүрийг нарийвчлан тайлбарлахгүй - бид зөвхөн зааж өгөх болно гол алхамууд. Бидэнд:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Тангенс тэгшитгэл:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
IN сүүлчийн тохиолдолшулуун шугам нь хэвтээ болсон, учир нь түүний өнцгийн коэффициент k = 0. Үүнд буруу зүйл байхгүй - бид зүгээр л экстремум цэг дээр бүдэрсэн.
Дараах зургийг авч үзье.
Энэ нь тодорхой функцийг дүрсэлсэн y = f(x) бөгөөд энэ нь а цэг дээр ялгагдах боломжтой. (a; f(a)) координаттай М цэгийг тэмдэглэв. Графикийн дурын P(a + ∆x; f(a + ∆x)) цэгээр MR таслагч зурсан.
Хэрэв одоо Р цэгийг графикийн дагуу M цэг рүү шилжүүлбэл MR шулуун шугам нь M цэгийг тойрон эргэлдэнэ. Энэ тохиолдолд ∆x тэг болох хандлагатай байна. Эндээс функцийн графикт шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолж болно.
Функцийн графикт шүргэгч
Аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байдаг тул функцийн графикт шүргэгч нь секантын хязгаарлах байрлал юм. x0 цэгт f функцийн дериватив байгаа нь графикийн энэ цэг дээр байна гэсэн үг гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. шүргэгчтүүнд.
Энэ тохиолдолд шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f’(x0) цэг дэх энэ функцийн деривативтай тэнцүү байх болно. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм. x0 цэгт дифференциалагдах f функцийн графикт шүргэгч нь (x0;f(x0)) цэгийг дайран өнгөрөх, f’(x0) өнцгийн коэффициенттэй тодорхой шулуун шугам юм.
Тангенсийн тэгшитгэл
А(x0; f(x0)) цэгийн зарим f функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олж авахыг оролдъё. k налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.
Манай налуугийн коэффициент нь деривативтай тэнцүү тул f'(x0), тэгвэл тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна: y = f'(x0)*x + b.
Одоо b-ийн утгыг тооцоолъё. Үүнийг хийхийн тулд функц нь А цэгээр дамждаг гэдгийг бид ашигладаг.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, эндээс b гэж илэрхийлээд b = f(x0) - f’(x0)*x0 болно.
Бид үүссэн утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулна.
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Ингээд авч үзье дараагийн жишээ: x = 2 цэг дээрх f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Хүлээн авсан утгыг шүргэгч томъёонд орлуулж, бид авна: y = 1 + 4*(x - 2). Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид дараахь зүйлийг авна: y = 4*x - 7.
Хариулт: y = 4*x - 7.
Шүргэдэг тэгшитгэлийг бүрдүүлэх ерөнхий схем y = f(x) функцийн графикт:
1. x0-г тодорхойлно.
2. f(x0)-г тооцоол.
3. f’(x)-г тооцоол.