Квадрат хэлбэрийн ортогональ хувиргалтууд онлайн. Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах

26.09.2019

220400 Алгебр ба геометр Толстиков А.В.

Лекц 16. Хоёр шугаман ба квадрат хэлбэрүүд.

Төлөвлөгөө

1. Хос шугаман хэлбэр ба түүний шинж чанар.

2. Квадрат хэлбэр. Матриц квадрат хэлбэр. Координатын хувиргалт.

3. Квадрат хэлбэрийг багасгах каноник хэлбэр. Лагранжийн арга.

4. Квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль.

5. Хувийн утгын аргыг ашиглан квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах.

6. Квадрат хэлбэрийн эерэг тодорхой байдлын Силверстийн шалгуур.

1. Аналитик геометр ба шугаман алгебрийн курс. М .: Наука, 1984 он.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд. 1997 он.

3. Воеводин В.В. Шугаман алгебр.. М.: Наука 1980.

4. Коллежид зориулсан асуудлын цуглуулга. Шугаман алгебр ба математик анализын үндэс. Эд. Ефимова А.В., Демидович Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Асуулт, бодлого дахь шугаман алгебр. М .: Физматлит, 2001.

, , , ,

1. Хоёр шугаман хэлбэр ба түүний шинж чанарууд.Болъё В - n-талбар дээрх хэмжээст вектор орон зай П.

Тодорхойлолт 1.Хоёр шугаман хэлбэр, дээр тодорхойлсон V,ийм зураглал гэж нэрлэдэг g: V 2 ® П, аль нь захиалсан хос бүрт ( x , y ) векторууд x , y оруулахаас Вталбар дээрх тоог тааруулна уу П, тэмдэглэсэн g(x , y ), хувьсагч бүрт шугаман байна x , y , өөрөөр хэлбэл шинж чанартай:

1) ("x , y , z Î В)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î В) ("а О П)g(а x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î В)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î В) ("а О П)g(x , a y ) = a g(x , y ).

Жишээ 1. Ямар ч цэгийн бүтээгдэхүүн, вектор орон зайд тодорхойлогдсон Вхоёр шугаман хэлбэр юм.

2 . Чиг үүрэг h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 хаана x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)О Р 2, хоёр шугаман хэлбэр асаалттай Р 2 .

Тодорхойлолт 2.Болъё v = (v 1 , v 2 ,…, v n В.Хоёр шугаман хэлбэрийн матрицg(x , y ) суурьтай харьцуулахадvматриц гэж нэрлэдэг Б=(b ij)n ´ n, элементүүдийг томъёогоор тооцоолно b ij = g(v би, v j):

Жишээ 3. Хоёр шугаман матриц h(x , y ) (2-р жишээг үзнэ үү) суурьтай харьцуулахад д 1 = (1,0), д 2 = (0,1) нь тэнцүү байна.

Теорем 1. БолъёX, Y - векторуудын координат баганаx , yүндсэн дээрv, B - хоёр шугаман хэлбэрийн матрицg(x , y ) суурьтай харьцуулахадv. Дараа нь хоёр шугаман хэлбэрийг гэж бичиж болно

g(x , y )=X t BY. (1)

Баталгаа.Хоёр шугаман хэлбэрийн шинж чанаруудаас бид олж авдаг

Жишээ 3. Хоёр шугаман хэлбэр h(x , y ) (2-р жишээг үзнэ үү) хэлбэрээр бичиж болно h(x , y )=.

Теорем 2. Болъё v = (v 1 , v 2 ,…, v n), у = (у 1 , у 2 ,…, у n) - хоёр вектор орон зайн суурьV, T - баазаас шилжилтийн матрицv суурьу. Болъё Б= (b ij)n ´ n Тэгээд ХАМТ=(ij-тэй)n ´ n - хоёр шугаман матрицуудg(x , y ) суурьтай харьцуулахад тус тусv бау. Дараа нь

ХАМТ=Т BT.(2)

Баталгаа.Шилжилтийн матриц ба хоёр шугаман хэлбэрийн матрицын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

Тодорхойлолт 2.Хоёр шугаман хэлбэр g(x , y ) гэж нэрлэдэг тэгш хэмтэй, Хэрэв g(x , y ) = g(y , x ) аль ч хувьд x , y Î В.

Теорем 3. Хоёр шугаман хэлбэрg(x , y )- Хоёр шугаман хэлбэрийн матриц нь аль ч суурьтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байх тохиолдолд тэгш хэмтэй.

Баталгаа.Болъё v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - вектор орон зайн суурь В, Б= (b ij)n ´ n- хоёр шугаман хэлбэрийн матрицууд g(x , y ) суурьтай харьцуулахад v.Хоёр шугаман хэлбэртэй байг g(x , y ) - тэгш хэмтэй. Дараа нь тодорхойлолтоор 2 аль нэг нь би, ж = 1, 2,…, nбидэнд байгаа b ij = g(v би, v j) = g(v j, v би) = б жи. Дараа нь матриц Б- тэгш хэмтэй.

Эсрэгээр нь матрицыг үзье Б- тэгш хэмтэй. Дараа нь Бт= Бмөн дурын векторуудын хувьд x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ у н v n =vY Î В, (1) томъёоны дагуу бид (тоо нь 1-р эрэмбийн матриц бөгөөд шилжүүлэн суулгах үед өөрчлөгддөггүй гэдгийг бид харгалзан үзнэ)

g(x , y ) =g(x , y )т = (X t BY)т = Y t B t X = g(y , x ).

2. Квадрат хэлбэр. Квадрат хэлбэрийн матриц. Координатын хувиргалт.

Тодорхойлолт 1.Квадрат хэлбэрдээр тодорхойлсон V,зураглал гэж нэрлэдэг е:V® П, аль ч векторын хувьд x -аас Втэгш эрхээр тодорхойлогддог е(x ) = g(x , x ), Хаана g(x , y ) дээр тодорхойлогдсон тэгш хэмтэй хоёр шугаман хэлбэр юм В .

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Өгөгдсөн квадрат хэлбэрийн дагууе(x )хоёр шугаман хэлбэрийг томъёогоор өвөрмөц байдлаар олно

g(x , y ) = 1/2(е(x + y ) - е(x )-е(y )). (1)

Баталгаа.Аливаа векторын хувьд x , y Î Вбид хоёр шугаман хэлбэрийн шинж чанаруудаас олж авдаг

е(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = е(x ) + 2g(x , y ) + е(y ).

Үүнээс (1) томъёо гарч ирнэ.

Тодорхойлолт 2.Квадрат хэлбэрийн матрице(x ) суурьтай харьцуулахадv = (v 1 , v 2 ,…, v n) нь харгалзах тэгш хэмт хоёр шугаман хэлбэрийн матриц юм g(x , y ) суурьтай харьцуулахад v.

Теорем 1. БолъёX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)т- векторын координатын баганаx үндсэн дээрv, B - квадрат хэлбэрийн матрице(x ) суурьтай харьцуулахадv. Дараа нь квадрат хэлбэре(x )

Квадрат хэлбэр өгөгдсөн (2) А(x, x) =, хаана x = (x 1 , x 2 , …, x n). Орон зайд квадрат хэлбэрийг авч үзье Р 3, өөрөөр хэлбэл x = (x 1 , x 2 , x 3), А(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(бид хэлбэрийн тэгш хэмийн нөхцөлийг ашигласан, тухайлбал А 12 = А 21 , А 13 = А 31 , А 23 = А 32). Квадрат хэлбэрийн матрицыг бичье Аүндсэн дээр ( д}, А(д) =
. Суурь өөрчлөгдөхөд квадрат хэлбэрийн матриц нь томъёоны дагуу өөрчлөгдөнө А(е) = C т А(д)C, Хаана C– суурийн шилжилтийн матриц ( д) суурь ( е), А C т– шилжүүлсэн матриц C.

Тодорхойлолт11.12. Диагональ матрицтай квадрат хэлбэрийн хэлбэрийг нэрлэдэг каноник.

За тэгье А(е) =
, Дараа нь А"(x, x) =
+
+
, Хаана x" 1 , x" 2 , x"3 - вектор координат xшинэ үндэслэлээр ( е}.

Тодорхойлолт11.13. Оруул n Вийм үндэслэлийг сонгосон е = {е 1 , е 2 , …, е n), квадрат хэлбэр нь хэлбэртэй байна

А(x, x) =
+
+ … +
, (3)

Хаана y 1 , y 2 , …, y n- вектор координат xүндсэн дээр ( е). Илэрхийлэл (3) гэж нэрлэгддэг каноник үзэлквадрат хэлбэр. Коэффициент  1, λ 2, …, λ nгэж нэрлэдэг каноник; квадрат хэлбэр нь каноник хэлбэртэй байх суурийг гэнэ каноник суурь.

Сэтгэгдэл. Хэрэв квадрат хэлбэр бол А(x, x) нь каноник хэлбэрт шилжсэн тул ерөнхийдөө бүх коэффициент  биш юм битэгээс ялгаатай. Квадрат хэлбэрийн зэрэг нь ямар ч үндэслэлээр түүний матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Квадрат хэлбэрийн зэрэглэлийг үзье А(x, x) тэнцүү байна r, Хаана r ≤ n. Каноник хэлбэрийн квадрат хэлбэрийн матриц нь диагональ хэлбэртэй байдаг. А(е) =
, учир нь түүний зэрэглэл тэнцүү байна r, дараа нь коэффициентүүдийн дунд  бибайх ёстой r, тэгтэй тэнцүү биш. Үүнээс үзэхэд тэгээс өөр каноник коэффициентүүдийн тоо нь квадрат хэлбэрийн зэрэгтэй тэнцүү байна.

Сэтгэгдэл. Координатын шугаман хувиргалт нь хувьсагчдаас шилжих шилжилт юм x 1 , x 2 , …, x nхувьсагчдад y 1 , y 2 , …, y n, хуучин хувьсагчдыг зарим тоон коэффициент бүхий шинэ хувьсагчаар илэрхийлдэг.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Суурийн хувиргалт бүр нь доройтдоггүй шугаман координатын хувиргалттай тохирч байгаа тул квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах асуудлыг харгалзах доройтдоггүй координатын хувиргалтыг сонгох замаар шийдэж болно.

Теорем 11.2 (квадрат хэлбэрийн тухай үндсэн теорем).Аливаа квадрат хэлбэр А(x, x),-д заасан n- хэмжээст вектор орон зай В, координатын доройтдоггүй шугаман хувиргалтын тусламжтайгаар каноник хэлбэрт оруулж болно.

Баталгаа. (Лагранжийн арга) Энэ аргын санаа нь хувьсагч бүрийн квадрат гурвалсан тоог бүрэн квадрат болгон дараалан нөхөх явдал юм. Бид үүнийг таамаглах болно А(x, x) ≠ 0 ба үндсэн дээр д = {д 1 , д 2 , …, д n) (2) хэлбэртэй байна:

А(x, x) =
.

Хэрэв А(x, x) = 0, дараа нь ( а ij) = 0, өөрөөр хэлбэл хэлбэр нь аль хэдийн каноник байна. Томъёо А(x, x) коэффициентийг хувиргаж болно а 11 ≠ 0. Хэрэв а 11 = 0, дараа нь өөр хувьсагчийн квадратын коэффициент тэгээс ялгаатай, дараа нь хувьсагчдыг дахин дугаарлах замаар үүнийг баталгаажуулах боломжтой. а 11 ≠ 0. Хувьсагчдыг дахин дугаарлах нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт юм. Хэрэв квадрат хувьсагчийн бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү бол шаардлагатай хувиргалтыг дараах байдлаар авна. Жишээлбэл, а 12 ≠ 0 (А(x, x) ≠ 0, тиймээс дор хаяж нэг коэффициент байна а ij≠ 0). Өөрчлөлтийг авч үзье

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x би = y би, цагт би = 3, 4, …, n.

Түүний матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул энэхүү хувиргалт нь доройтдоггүй
= = 2 ≠ 0.

Дараа нь 2 а 12 x 1 x 2 = 2 а 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр А(x, x) хоёр хувьсагчийн квадратууд нэгэн зэрэг гарч ирнэ.

А(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Хуваарилагдсан дүнг маягт руу хөрвүүлье:

А(x, x) = а 11
, (5)

коэффициентүүд байхад а ijруу өөрчлөх . Муухай бус өөрчлөлтийг авч үзье

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Дараа нь бид авна

А(x, x) =
. (6).

Хэрэв квадрат хэлбэр бол
= 0, дараа нь цутгах тухай асуулт А(x, x) каноник хэлбэрт шилжсэн.

Хэрэв энэ хэлбэр нь тэгтэй тэнцүү биш бол координатын хувиргалтыг харгалзан бид үндэслэлийг давтана y 2 , …, y nмөн координатыг өөрчлөхгүйгээр y 1. Эдгээр өөрчлөлтүүд нь доройтохгүй байх нь ойлгомжтой. Хязгаарлагдмал тооны алхмаар квадрат хэлбэр А(x, x) каноник хэлбэрт шилжих болно (3).

Сэтгэгдэл 1. Анхны координатын шаардлагатай хувиргалт x 1 , x 2 , …, x nсэтгэхүйн явцад олдсон доройтоогүй хувиргалтыг үржүүлэх замаар олж авч болно: [ x] = А[y], [y] = Б[z], [z] = C[т], Дараа нь [ x] = АБ[z] = АБC[т], энэ нь [ x] = М[т], Хаана М = АБC.

Сэтгэгдэл 2. Байг А(x, x) = А(x, x) =
+
+ …+
, хаана  би ≠ 0, би = 1, 2, …, r, ба  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Муухай бус өөрчлөлтийг авч үзье

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. Үүний үр дүнд А(x, x) дараах хэлбэрийг авна. А(x, x) = + + … + – – … – гэж нэрлэдэг квадрат хэлбэрийн хэвийн хэлбэр.

Жишээ11.1. Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруул А(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Шийдэл. Түүнээс хойш а 11 = 0, хувиргалтыг ашиглана

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Энэ хувиргалт нь матрицтай А =
, энэ нь [ x] = А[y] бид авдаг А(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

коэффициент оноос хойш тэгтэй тэнцүү биш, бид нэг үл мэдэгдэх квадратыг сонгож болно y 1. агуулсан бүх нэр томъёог сонгоцгооё y 1 .

А(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Матриц нь тэнцүү байгаа хувиргалтыг хийцгээе Б.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

Б =
, [y] = Б[z].

Бид авдаг А(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. агуулсан нэр томъёог сонгоцгооё z 2. Бидэнд байна А(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Матрицын тусламжтайгаар хувиргалтыг гүйцэтгэх C:

т 1 = z 1 ,  z 1 = т 1 ,

т 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = т 2 – 2т 3 ,

т 3 = z 3 ;  z 3 = т 3 .

C =
, [z] = C[т].

Хүлээн авсан: А(x, x) = 2– 2+ 6квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр, [-тэй x] = А[y], [y] = Б[z], [z] = C[т], эндээс [ x] = ABC[т];

АБC =


=
. Хөрвүүлэх томъёо нь дараах байдалтай байна

x 1 = т 1 – т 2 + т 3 ,

x 2 = т 1 + т 2 – т 3 ,

Тодорхойлолт 10.4.Каноник үзэлквадрат хэлбэр (10.1)-ийг дараах хэлбэр гэж нэрлэдэг: . (10.4)

Өвөрмөц векторуудын үндсэн дээр квадрат хэлбэр (10.1) нь каноник хэлбэрийг авдгийг харуулъя. Болъё

Хувийн утгад харгалзах нормчлогдсон хувийн векторууд λ 1 ,λ 2 ,λ 3матрицууд (10.3) инч ортонормаль суурь. Дараа нь хуучин баазаас шинэ суурь руу шилжих шилжилтийн матриц нь матриц болно

. Шинэ суурь дээр матриц Адиагональ хэлбэрийг (9.7) авна (өөрийн векторуудын шинж чанараар). Тиймээс координатыг томъёогоор хувиргах нь:

шинэ үндэслэлээр бид хувийн утгатай тэнцүү коэффициент бүхий квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэрийг олж авдаг. λ 1, λ 2, λ 3:

Тайлбар 1. C геометрийн цэгХарагдах байдлын үүднээс авч үзвэл координатын хувиргалт нь хуучин координатын тэнхлэгүүдийг шинэ тэнхлэгүүдтэй хослуулсан координатын системийн эргэлт юм.

Тайлбар 2. Хэрэв матрицын аливаа хувийн утга (10.3) давхцаж байвал бид тэдгээр тус бүрд ортогональ нэгж векторыг харгалзах ортонормаль хувийн векторуудад нэмж, квадрат хэлбэр нь каноник хэлбэрийг авах суурийг байгуулж болно.

Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт аваачъя

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Түүний матриц нь дараах хэлбэртэй байна. Лекц 9-д авч үзсэн жишээн дээр энэ матрицын хувийн утга ба ортонормаль хувийн векторуудыг олно.

Эдгээр векторуудаас суурь руу шилжих матрицыг үүсгэцгээе.

(векторуудын дарааллыг баруун гар гурвалсан болгохын тулд өөрчилсөн). Дараах томъёог ашиглан координатыг хувиргацгаая.

Тиймээс квадрат хэлбэрийг квадрат хэлбэрийн матрицын хувийн утгатай тэнцүү коэффициент бүхий каноник хэлбэрт оруулав.

Лекц 11.

Хоёр дахь эрэмбийн муруй. Эллипс, гипербол, парабол, тэдгээрийн шинж чанар, каноник тэгшитгэл. Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах.

Тодорхойлолт 11.1.Хоёр дахь эрэмбийн муруйхавтгай дээрх дугуй конусын оройгоор дамждаггүй хавтгайтай огтлолцох шугамууд гэж нэрлэдэг.

Хэрэв ийм хавтгай нь конусын нэг хөндийн бүх генератрисыг огтолж байвал энэ хэсэгт гарч ирнэ. эллипс, хоёр хөндийн генератрисын уулзвар дээр - гипербол, хэрвээ огтлох хавтгай нь ямар нэгэн генератрицтэй параллель байвал конусын хэсэг нь байна парабол.

Сэтгэгдэл. Хоёрдахь эрэмбийн бүх муруйг хоёр хувьсагчийн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Зууван.

Тодорхойлолт 11.2.Зууваннь хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны нийлбэр болох хавтгайн цэгүүдийн багц юм Ф 1 ба Ф заль мэх, нь тогтмол утга юм.

Сэтгэгдэл. Цэгүүд давхцах үед Ф 1 ба Ф 2 Зууван тойрог болж хувирна.

Декартын системийг сонгож эллипсийн тэгшитгэлийг гаргая

y M(x,y)координатууд нь тэнхлэг Өөшулуун шугамтай давхцсан Ф 1 Ф 2, эхлэл

r 1 r 2 координат - сегментийн дунд хэсэгтэй Ф 1 Ф 2. Үүнийг уртасгая

сегмент нь 2-той тэнцүү байна -тай, дараа нь сонгосон координатын системд

F 1 O F 2 x Ф 1 (-в, 0), Ф 2 (в, 0). Гол нь байя М(х, у) зуйван дээр байрладаг ба

хүртэлх зайны нийлбэр Ф 1 ба Ф 2 нь 2-той тэнцүү А.

Дараа нь r 1 + r 2 = 2а, Гэхдээ,

Тиймээс тэмдэглэгээг танилцуулж байна б² = а²- в² ба энгийн алгебрийн хувиргалтыг хийсний дараа бид олж авна каноник эллипсийн тэгшитгэл: (11.1)

Тодорхойлолт 11.3.Хачирхалтай байдалэллипсийн хэмжээ гэж нэрлэдэг e=s/a (11.2)

Тодорхойлолт 11.4.Захирал D бифокуст тохирох эллипс Ф и Ф итэнхлэгтэй харьцуулахад Өөтэнхлэгт перпендикуляр Өөзайд a/eгарал үүслээс.

Сэтгэгдэл. Координатын системийн өөр сонголттой бол эллипсийг зааж өгөхгүй байж болно каноник тэгшитгэл(11.1), гэхдээ өөр төрлийн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл.

Эллипсийн шинж чанарууд:

1) Эллипс нь харилцан перпендикуляр хоёр тэгш хэмийн тэнхлэг (зуувангийн гол тэнхлэгүүд) ба тэгш хэмийн төв (зуувангийн төв) байдаг. Хэрэв эллипсийг каноник тэгшитгэлээр өгсөн бол түүний гол тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүд, төв нь эх юм. Эллипсийг үндсэн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох үед үүссэн сегментүүдийн урт нь 2-той тэнцүү байна. Аба 2 б (2а>2б), дараа нь голомтоор дамжин өнгөрөх гол тэнхлэгийг эллипсийн гол тэнхлэг, хоёр дахь гол тэнхлэгийг бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

2) Эллипс бүхэлдээ тэгш өнцөгт дотор байрлана

3) Эллипсийн хазгай д< 1.

Үнэхээр,

4) Зуувангийн чиглүүлэлтүүд нь эллипсийн гадна байрладаг (учир нь эллипсийн төвөөс чиглүүлэлт хүртэлх зай нь a/e, А д<1, следовательно, a/e>a, мөн бүхэл эллипс нь тэгш өнцөгт дотор байрладаг)

5) Зайны харьцаа r iЗууван цэгээс фокус хүртэл Ф изайд d биэнэ цэгээс фокустай харгалзах директрикс хүртэл эллипсийн хазгайтай тэнцүү байна.

Баталгаа.

Цэгээс хол зай М(х, у)Зуувангийн голомт хүртэл дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Директрисийн тэгшитгэлийг байгуулъя:

(Д 1), (Д 2). Дараа нь Эндээс r i / d i = e, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Гипербола.

Тодорхойлолт 11.5.Гиперболнь хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны зөрүүний модуль байх хавтгайн цэгүүдийн багц юм Ф 1 ба ФЭнэ онгоцны 2, гэж нэрлэдэг заль мэх, нь тогтмол утга юм.

Ижил тэмдэглэгээг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй адилтган гиперболын каноник тэгшитгэлийг гаргая.

|r 1 - r 2 | = 2а, хаанаас Хэрэв бид тэмдэглэвэл б² = в² - а², эндээс та авах боломжтой

- каноник гиперболын тэгшитгэл. (11.3)

Тодорхойлолт 11.6.Хачирхалтай байдалгиперболыг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг e = c/a.

Тодорхойлолт 11.7.Захирал D бифокуст тохирох гипербола Ф и, -тэй ижил хагас хавтгайд байрлах шулуун шугам гэж нэрлэгддэг Ф итэнхлэгтэй харьцуулахад Өөтэнхлэгт перпендикуляр Өөзайд a/eгарал үүслээс.

Гиперболын шинж чанарууд:

1) Гипербол нь тэгш хэмийн хоёр тэнхлэг (гиперболын үндсэн тэнхлэгүүд) ба тэгш хэмийн төв (гиперболын төв) байдаг. Энэ тохиолдолд эдгээр тэнхлэгүүдийн аль нэг нь гиперболын орой гэж нэрлэгддэг хоёр цэг дээр гиперболтой огтлолцдог. Үүнийг гиперболын бодит тэнхлэг гэж нэрлэдэг (тэнхлэг Өөкоординатын системийн каноник сонголтын хувьд). Нөгөө тэнхлэг нь гиперболатай нийтлэг цэггүй бөгөөд түүнийг төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг (каноник координатаар - тэнхлэг) Өө). Үүний хоёр талд гиперболын баруун ба зүүн мөчрүүд байдаг. Гиперболын голомтууд нь түүний бодит тэнхлэг дээр байрладаг.

2) Гиперболын мөчрүүд нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог хоёр асимптоттой

3) Гиперболын хамт (11.3) бид каноник тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон коньюгат гиперболыг авч үзэж болно.

ижил асимптотуудыг хадгалахын зэрэгцээ бодит ба төсөөллийн тэнхлэгийг сольдог.

4) Гиперболын хазгай байдал д> 1.

5) Зайны харьцаа r iгиперболын цэгээс төвлөрөл хүртэл Ф изайд d биэнэ цэгээс фокустай харгалзах директрис нь гиперболын хазгайтай тэнцүү байна.

Баталгаажуулалтыг эллипстэй ижил аргаар хийж болно.

Парабола.

Тодорхойлолт 11.8.Параболань ямар нэг тогтмол цэг хүртэлх зайтай хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм ФЭнэ хавтгай нь зарим нэг тогтмол шулуун шугам хүртэлх зайтай тэнцүү байна. Цэг Фдуудсан анхаарлаа төвлөрүүлпарабол, шулуун шугам нь түүний захирал.

Параболын тэгшитгэлийг гаргахын тулд бид декартыг сонгоно

координатын систем нь түүний гарал үүсэл дунд байна

D M(x,y) перпендикуляр FD, удирдамжид анхаарлаа хандуулахаас хассан

р су, а координатын тэнхлэгүүдзэрэгцээ байрлаж байсан ба

захиралтай перпендикуляр. Сегментийн уртыг үзье FD

D O F x нь тэнцүү r. Дараа нь тэгш байдлаас r = dүүнийг дагадаг

учир нь

Алгебрийн хувиргалтЭнэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулж болно. y² = 2 px, (11.4)

дуудсан каноник параболын тэгшитгэл. Хэмжээ rдуудсан параметрпарабол.

Параболын шинж чанарууд:

1) Парабол нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй (параболын тэнхлэг). Параболын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг. Хэрэв параболыг каноник тэгшитгэлээр өгсөн бол түүний тэнхлэг нь тэнхлэг болно Өө,ба орой нь координатын эхлэл юм.

2) Парабола бүхэлдээ онгоцны баруун хагас хавтгайд байрладаг Өө.

Сэтгэгдэл. Эллипс ба гиперболын директрисийн шинж чанарууд ба параболын тодорхойлолтыг ашиглан бид дараах мэдэгдлийг баталж чадна.

Хавтгай дээрх хамаарал бүхий цэгүүдийн багц дзарим нэг тогтмол цэг хүртэлх зай нь зарим шулуун шугам хүртэлх зай нь тогтмол утга бөгөөд энэ нь эллипс ( д<1), гиперболу (при д>1) эсвэл парабол (хамт д=1).

Холбогдох мэдээлэл.

Квадрат хэлбэрийг багасгах

Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт шилжүүлэх хамгийн энгийн бөгөөд практикт ихэвчлэн хэрэглэгддэг аргыг авч үзье. Лагранжийн арга. Энэ нь бүтэн квадратыг квадрат хэлбэрээр тусгаарлахад суурилдаг.

Теорем 10.1(Лагранжийн теорем) Аливаа квадрат хэлбэр (10.1).

Тусгай бус шугаман хувиргалтыг (10.4) ашиглан каноник хэлбэр (10.6) болгон бууруулж болно:

□ Бид бүрэн квадратыг тодорхойлох Лагранжийн аргыг ашиглан теоремын нотолгоог бүтээлч байдлаар гүйцэтгэнэ. Даалгавар нь шугаман хувиргалт (10.4) нь каноник хэлбэрийн квадрат хэлбэрийг (10.6) үүсгэхийн тулд ганц биш матрицыг олох явдал юм. Энэ матрицыг тусгай төрлийн хязгаарлагдмал тооны матрицын үржвэр болгон аажмаар олж авна.

1-р цэг (бэлтгэл ажил).

1.1. Квадрат хэлбэрт багтсан хувьсагчдаас эхний зэрэглэлд багтсан нэгийг сонгоцгооё (үүнийг нэрлэе). тэргүүлэх хувьсагч). 2-р цэг рүү шилжье.

1.2. Хэрэв квадрат хэлбэрт тэргүүлэх хувьсагч байхгүй бол (бүгд : ) дараа нь бид тэгээс өөр коэффициент бүхий формд бүтээгдэхүүн нь орсон хос хувьсагчдыг сонгоод 3-р алхам руу шилжинэ.

1.3. Хэрэв квадрат хэлбэрт эсрэг хувьсагчийн бүтээгдэхүүн байхгүй бол энэ квадрат хэлбэрийг аль хэдийн каноник хэлбэрээр илэрхийлсэн болно (10.6). Теоремын баталгаа бүрэн байна.

2-р цэг (бүрэн квадратыг сонгох).

2.1. Тэргүүлэх хувьсагчийг ашиглан бид сонгоно төгс дөрвөлжин. Ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр тэргүүлэх хувьсагч гэж үзье. -ийг агуулсан нэр томьёог бүлэглэвэл бид олж авна

Төгс квадратыг хувьсагчаар сонгох , бид авдаг

Тиймээс бүрэн квадратыг хувьсагчаар тусгаарласны үр дүнд шугаман хэлбэрийн квадратын нийлбэрийг олж авна.

Үүнд тэргүүлэх хувьсагч, квадрат хэлбэр орно тэргүүлэх хувьсагчийг оруулахаа больсон хувьсагчаас. Хувьсагчдын өөрчлөлтийг хийцгээе (шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх)

Бид матрицыг авдаг

() дан бус шугаман хувиргалт, үүний үр дүнд квадрат хэлбэр (10.1) дараах хэлбэрийг авна.

Квадрат хэлбэртэй 1-р зүйлтэй ижил зүйлийг хийцгээе.

2.1. Хэрэв тэргүүлэх хувьсагч нь хувьсагч бол та үүнийг хоёр аргаар хийж болно: энэ хувьсагчийн бүтэн квадратыг сонгох эсвэл гүйцэтгэх нэрийг өөрчлөх (дахин дугаарлах) хувьсагч:

дан бус хувиргах матрицтай:

3-р цэг (тэргүүлэх хувьсагч үүсгэх).Бид сонгосон хос хувьсагчийг хоёр шинэ хувьсагчийн нийлбэр ба зөрүүгээр сольж, үлдсэн хуучин хувьсагчдыг харгалзах шинэ хувьсагчаар сольдог. Жишээлбэл, 1-р зүйлд энэ нэр томъёог онцолсон бол

дараа нь хувьсагчийн харгалзах өөрчлөлт нь хэлбэртэй байна

ба квадрат хэлбэрээр (10.1) тэргүүлэх хувьсагчийг авна.

Жишээлбэл, хувьсагчийг өөрчлөх тохиолдолд:

энэхүү дан бус шугаман хувирлын матриц нь хэлбэртэй байна

Дээрх алгоритмын үр дүнд (1, 2, 3-р цэгүүдийн дараалсан хэрэглээ) квадрат хэлбэр (10.1) нь каноник хэлбэр (10.6) болж буурах болно.

Квадрат хэлбэрт хийсэн хувиргалтуудын үр дүнд (бүтэн квадратыг сонгох, нэрийг өөрчлөх, тэргүүлэх хувьсагч үүсгэх) бид гурван төрлийн энгийн ганц бус матрицуудыг ашигласан гэдгийг анхаарна уу (тэдгээр нь баазаас суурь руу шилжих матрицууд). (10.1) хэлбэр нь каноник хэлбэртэй (10.6) байх цорын ганц бус шугаман хувиргалт (10.4) шаардлагатай матрицыг гурван төрлийн энгийн ганц бус матрицыг хязгаарлагдмал тооны үржүүлснээр олж авна. ■

Жишээ 10.2.Квадрат хэлбэрийг өг

Лагранжийн аргаар каноник хэлбэрт шилжүүлнэ. Харгалзах ганц бус шугаман хувиргалтыг заана уу. Шалгалт хийх.

Шийдэл.Тэргүүлэх хувьсагчийг (коэффициент) сонгоцгооё. -ийг агуулсан нэр томъёог бүлэглэж, түүнээс бүтэн квадратыг сонгосноор бид олж авна

заасан газар

Хувьсагчдын өөрчлөлтийг хийцгээе (шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх)