7.1. Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Гурав дахь в векторын төгсгөлөөс эхний а вектороос хоёр дахь в вектор руу хамгийн богино эргэлтийг харах тохиолдолд заасан дарааллаар авсан гурван хуваарьгүй a, b, c векторууд баруун гарт гурвалжин болно. цагийн зүүний эсрэг байх ба зүүн гартай гурвалсан бол цагийн зүүний дагуу (16-р зургийг үз).

a вектор b ба векторуудын хөндлөн үржвэрийг в вектор в гэнэ, үүнд:

1. a ба b векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл c ^ a ба c ^ b ;

2. Энэ нь a ба векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү урттайбталуудын адил (17-р зургийг үз), i.e.

3. a, b, c векторууд нь баруун гар гурвалжинг үүсгэдэг.

Вектор урлагийн бүтээл a x b эсвэл [a,b] гэж тэмдэглэнэ. Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь, jТэгээд к(18-р зургийг үз):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Жишээлбэл, үүнийг баталцгааяби xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, харин | i x j| = |i | |Ж | sin(90°)=1;

3) i, j ба векторууд кбаруун гурвалсан (16-р зургийг үз).

7.2. Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд

1. Хүчин зүйлсийг дахин цэгцлэх үед вектор бүтээгдэхүүн тэмдэг өөрчлөгддөг, i.e. ба xb =(b xa) (19-р зургийг үз).

a xb ба b xa векторууд нь хоорондоо уялдаатай, ижил модультай (параллелограммын талбай өөрчлөгдөөгүй), гэхдээ эсрэг чиглэлд чиглэсэн (a, b, a xb ба a, b, b x a эсрэг чиглэлтэй гурвалсан). Тэр бол ахб = -(б ха).

2. Вектор үржвэр нь скаляр хүчин зүйлтэй холбоотой нэгтгэх шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 гэж үзье. l (a xb) вектор нь a ба b векторуудад перпендикуляр байна. Вектор ( л a) x бмөн a ба векторуудад перпендикуляр байна б(а векторууд, лгэхдээ нэг хавтгайд хэвтэх). Энэ нь векторууд гэсэн үг юм л(a xb) ба ( л a) x б collinear. Тэдний чиглэл давхцаж байгаа нь илт байна. Тэд ижил урттай:

Тийм ч учраас л(a xb)= л a xb. Үүнийг ижил төстэй байдлаар нотолсон л<0.

3. Тэг биш хоёр вектор a ба бХэрэв тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэг вектортой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a ||b тохиолдолд л коллинеар байна.<=>ба xb =0.

Ялангуяа i *i =j *j =k *k =0 .

4. Вектор үржвэр нь түгээлтийн шинж чанартай:

(a+b) xc = a xc + б xs.

Бид нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөх болно.

7.3. Хөндлөн үржвэрийг координатаар илэрхийлэх

Бид i векторуудын хөндлөн үржвэрийн хүснэгтийг ашиглана. jба к:

хэрэв эхний вектороос хоёр дахь хүртэлх хамгийн богино замын чиглэл нь сумны чиглэлтэй давхцаж байвал үржвэр нь гурав дахь вектортой тэнцэнэ, хэрэв энэ нь давхцахгүй бол гурав дахь векторыг хасах тэмдгээр авна;

a =a x i +a y хоёр векторыг өгье j+a z кба b =b x би+б жил j+b z к. Эдгээр векторуудын вектор үржвэрийг олон гишүүнт болгон үржүүлэх замаар олъё (вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарын дагуу):

Үр дүнгийн томъёог илүү товчоор бичиж болно:

тэгш байдлын баруун тал (7.1) нь эхний эгнээний элементүүдийн хувьд гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөлтэй тохирч байгаа тул Тэгш байдал (7.2) санахад хялбар.

7.4. Хөндлөн бүтээгдэхүүний зарим хэрэглээ

Векторуудын уялдаа холбоог тогтоох

Параллелограмм ба гурвалжны талбайг олох

Векторуудын вектор үржвэрийн тодорхойлолтын дагуу Аба б |a xb | =|а | * |b |sin g, өөрөөр хэлбэл S хос = |a x b |. Тиймээс D S =1/2|a x b |.

Нэг цэгийн ойролцоох хүчний моментийг тодорхойлох

А цэг дээр хүч хэрэглэе F =ABорхи ТУХАЙ- орон зайн зарим цэг (20-р зургийг үз).

Энэ нь физикээс мэдэгдэж байна хүчний момент Ф цэгтэй харьцуулахад ТУХАЙвектор гэж нэрлэдэг М,цэгээр дамждаг ТУХАЙМөн:

1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайд перпендикуляр О, А, Б;

2) нэг гарт ногдох хүчний үржвэртэй тоогоор тэнцүү байна

3) OA ба A B векторуудтай зөв гурвалсан хэлбэрийг үүсгэнэ.

Тиймээс M = OA x F.

Шугаман эргэлтийн хурдыг олох

Хурд vөнцгийн хурдаар эргэдэг хатуу биеийн М цэг wтогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд байх нь Эйлерийн томьёогоор тодорхойлогддог v =w xr, энд r =OM, O нь тэнхлэгийн зарим тогтмол цэг (21-р зургийг үз).

Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын скаляр үржвэр, илүү ихийг шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байгаа юм шиг санагдаж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай модыг эс тооцвол ерөнхийдөө бага мод байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш энгийн бөгөөд энгийн байдаг - ижил төстэй зүйлээс илүү төвөгтэй биш юм скаляр бүтээгдэхүүн, ердийн даалгавар ч цөөн байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэлтэй байх болно, эсвэл аль хэдийн итгэлтэй байсан тул тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шившлэг шиг давтаад та аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд цахилгаан цахих мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй танилцах боломжтой, би практик ажилд ихэвчлэн олддог хамгийн бүрэн жишээ цуглуулахыг хичээсэн

Юу чамайг тэр дор нь баярлуулах вэ? Би багадаа хоёр, гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо та жонглёр хийх шаардлагагүй болно, учир нь бид авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, мөн хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхих болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэл нь скаляр үржвэрийн нэгэн адил хамаарна хоёр вектор. Эдгээр нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө гэж тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторуудын вектор үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ялгаа нь юу вэ? Үүний тод ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь NUMBER:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Уг нь хагалгааны нэр эндээс гаралтай. Өөр өөр боловсролын уран зохиолд тэмдэглэгээ нь өөр өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно;

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэгддэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглүүлсэн:

Тодорхойлолтыг задлаад үзье, энд маш олон сонирхолтой зүйл байна!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан анхны векторууд уялдаа холбоогүй. Коллинеар векторуудын асуудлыг бага зэрэг дараа авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуу тогтоосон дарааллаар: – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, мөн "а"-тай "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь ВЕКТОР бөгөөд энэ нь цэнхэр өнгөөр ​​тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (бөөрөлзгөнө өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал нь үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар будсан байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвчилсэн бөгөөд мэдээжийн хэрэг вектор бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Геометрийн нэг томьёог эргэн санацгаая. Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний УРТыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёо нь векторын тухай биш харин векторын УРТ-ын тухай гэдгийг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Хоёрдахь чухал томъёог авч үзье. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) Үүнтэй адил чухал баримт бол вектор нь векторуудад ортогональ, өөрөөр хэлбэл . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (бөөрөлзгөнө сум) нь мөн анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь тийм чиглэгдсэн байна суурьБайгаа зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан хавтгай чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар. Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруувектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үр дүнд нь эрхий хуруу– вектор бүтээгдэхүүн дээш харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн суурь юм (зураг дээрх энэ нь). Одоо векторуудыг өөрчил ( долоовор ба дунд хуруу) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруугаа эргүүлж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Танд асуулт гарч ирж магадгүй: аль үндэс нь чиг баримжаагаа орхисон бэ? Ижил хуруунд "даалгах" зүүн гарвекторууд, мөн зайны зүүн суурь ба зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв та "айсан туссан объектыг харагдах шилнээс гаргаж авбал" ерөнхий тохиолдолд энэ нь үүнийг "эх"-тэй хослуулах боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд бариад тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... чи одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай юм =)

Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзсэн бөгөөд векторууд хоорондоо уялдаатай байх үед юу болохыг харах хэвээр байна. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж болох бөгөөд бидний параллелограммыг нэг шулуун дээр "нэмэх" боломжтой. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэгтэй тэнцүү байна. Томъёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл Тэгээд . Хөндлөн үржвэр нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог бөгөөд үүнийг мөн тэгтэй тэнцүү гэж бичсэн байдаг.

Онцгой тохиолдол бол векторын өөртэйгөө хөндлөн үржвэр юм.

Вектор үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгаж болох бөгөөд бид энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

b) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

Шийдэл: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би заалтын эхний өгөгдлийг зориуд ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй уртвектор (хөндлөн бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулах:

Хэрэв танаас уртын талаар асуусан бол хариултанд бид хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тоон хувьд тэнцүү байна.

Хариулах:

Хариулт нь биднээс асуусан вектор бүтээгдэхүүний талаар огт яриагүй гэдгийг анхаарна уу зургийн талбай, үүний дагуу хэмжээс нь квадрат нэгж юм.

Нөхцөл байдлын дагуу ЮУ олох ёстойгоо бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь шууд утгаараа мэт санагдаж болох ч тэдний дунд маш олон тооны багш нар байгаа бөгөөд энэ даалгавар нь дахин хянан үзэхээр буцаагдах магадлал өндөр байна. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хол зөрүүтэй асуулт биш юм - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн энгийн зүйлийг ойлгодоггүй ба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. Дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ цэгийг үргэлж хянаж байх ёстой.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж хавсаргаж болох байсан, гэхдээ оруулгыг богиносгохын тулд би үүнийг хийгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож, ижил зүйлд зориулагдсан болно гэж найдаж байна.

DIY шийдлийн түгээмэл жишээ:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Практикт гурвалжингууд нь таныг ерөнхийд нь зовоож чаддаг.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

Векторуудын вектор үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанараар нь тодруулдаггүй боловч практикийн хувьд энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) – өмчийг мөн дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) – ассоциатив буюу ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг вектор бүтээгдэхүүнээс гадуур хялбархан зөөж болно. Үнэхээр тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) – хуваарилалт эсвэл түгээхвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үүнийг харуулахын тулд товч жишээг харцгаая.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөл нь дахин вектор бүтээгдэхүүний уртыг олохыг шаарддаг. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид тогтмолуудыг вектор бүтээгдэхүүний хамрах хүрээнээс гадуур авдаг.

(2) Бид модулийн гаднах тогтмолыг авдаг бөгөөд модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Бусад нь тодорхой байна.

Хариулах:

Гал дээр илүү их мод нэмэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

Шийдэл: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "tse" ба "de" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийг гурван үе шатанд хуваана.

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлье. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулна уу.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид бүх тогтмолуудыг вектор үржвэрээс цааш шилжүүлнэ. Бага зэрэг туршлагатай бол 2, 3-р алхамуудыг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Сайхан шинж чанарын улмаас эхний болон сүүлчийн гишүүн нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор). Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байв.

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Шийдлийн 2-3 үе шатыг нэг мөрөнд бичиж болно.

Хариулах:

Туршилтын хувьд энэ асуудал нэлээд түгээмэл байдаг тул үүнийг өөрөө шийдэх жишээ энд байна.

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

, ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон, томъёогоор илэрхийлнэ:

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавиж" тавьдаг. хатуу дарааллаар– эхлээд “ve” векторын координатууд, дараа нь “давхар-ve” векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

Шийдэл: Шалгалт нь энэ хичээлийн хэллэгүүдийн аль нэг дээр үндэслэсэн болно: хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) вектор үржвэрийг ол:

Хариулах: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад асуудал цөөн тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хэд хэдэн томъёоноос хамаарна.

Векторуудын холимог үржвэр нь гурван векторын үржвэр юм:

Тиймээс тэд галт тэрэг шиг жагсаж, хэн болохыг нь тэсэн ядан хүлээж байна.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, дуудсан параллелепипед эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудыг дахин зохион байгуулах нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр явагдахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахын өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолд загвар нь арай өөр байж болно, би холимог бүтээгдэхүүнийг "pe" үсгээр тэмдэглэж, тооцоолсон үр дүнг тэмдэглэдэг.

А - тэргүүн байр холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжаа гэсэн ойлголтын талаар дахин санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийнээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Тодорхойлолтоос шууд векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг.

Вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг өгөхийн өмнө гурван хэмжээст орон зайд a →, b →, c → векторуудын дараалсан гурвалсан чиг баримжаа олгох тухай асуулт руу шилжье.

Эхлэхийн тулд a → , b → , c → векторуудыг нэг цэгээс хойш тавья. Гурвалсан a → , b → , c → чиглэл нь в → векторын өөрийн чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно. Гурвалсан a → , b → , c → векторын а → в вектороос b → в → векторын төгсгөлөөс хамгийн богино эргэлт хийх чиглэлээс хамаарч тодорхойлогдоно.

Хэрэв хамгийн богино эргэлтийг цагийн зүүний эсрэг хийвэл a → , b → , c → векторуудын гурвалсан хэсгийг гэнэ. зөв, хэрэв цагийн зүүний дагуу - зүүн.

Дараа нь a → ба b → коллинеар бус хоёр векторыг авна. Дараа нь А цэгээс A B → = a → ба A C → = b → векторуудыг зуръя. A B → болон A C → аль алинд нь нэгэн зэрэг перпендикуляр байх A D → = c → векторыг байгуулъя. Тиймээс, векторыг өөрөө A D → = c → байгуулахдаа бид үүнийг нэг чиглэл эсвэл эсрэгээр нь өгөх хоёр аргаар хийж болно (зураг харна уу).

a → , b → , c → векторуудын дараалсан гурвалсан нь векторын чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно.

Дээрхээс бид вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг танилцуулж болно. Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд энэ тодорхойлолтыг өгсөн болно.

Тодорхойлолт 1

a → ба b → хоёр векторын вектор үржвэр Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон ийм векторыг бид дараах байдлаар нэрлэх болно.

• a → ба b → векторууд нь коллинеар байвал тэг болно;
• a → ​​ вектор ба b векторын аль алинд нь перпендикуляр байх болно → өөрөөр хэлбэл. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• түүний уртыг дараах томъёогоор тодорхойлно: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → векторуудын гурвалсан нь өгөгдсөн координатын системтэй ижил чиглэлтэй байна.

a → ба b → векторуудын вектор үржвэр нь дараах тэмдэглэгээтэй байна: a → × b →.

Вектор бүтээгдэхүүний координатууд

Аливаа вектор координатын системд тодорхой координаттай байдаг тул бид вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг оруулж болох бөгөөд энэ нь векторуудын өгөгдсөн координатыг ашиглан координатыг нь олох боломжийг бидэнд олгоно.

Тодорхойлолт 2

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд a → = (a x ; a y ; a z) ба b → = (b x ; b y ; b z) хоёр векторын вектор үржвэр вектор гэж нэрлэдэг c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , энд i → , j → , k → нь координатын векторууд юм.

Вектор үржвэрийг 3-р эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчоор дүрсэлж болох бөгөөд эхний мөрөнд i → , j → , k → вектор векторууд, хоёр дахь мөрөнд a → векторын координатууд, гурав дахь эгнээнд векторууд багтана. өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх b → векторын координатуудыг агуулна, энэ нь матрицын тодорхойлогч нь дараах байдалтай байна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлбэл бид тэгшитгэлийг олж авна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → b · = a x → → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд

Координат дахь вектор үржвэрийг c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z матрицын тодорхойлогчоор илэрхийлдэг нь мэдэгдэж байна. матриц тодорхойлогчийн шинж чанарууддараахыг харуулав вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ;
2. тархалт a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → эсвэл a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ассоциатив байдал λ a → × b → = λ a → × b → эсвэл a → × (λ b →) = λ a → × b →, энд λ нь дурын бодит тоо юм.

Эдгээр шинж чанарууд нь энгийн нотолгоотой байдаг.

Жишээ болгон бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталж чадна.

Эсрэг солилцооны нотолгоо

Тодорхойлолтоор a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ба b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Хэрэв матрицын хоёр эгнээ солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга эсрэгээр өөрчлөгдөх ёстой тул a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y байна. - b → × a → , энэ нь вектор үржвэрийн эсрэг коммутатив болохыг баталж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл

Ихэнх тохиолдолд гурван төрлийн асуудал байдаг.

Эхний төрлийн бодлогод ихэвчлэн хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгдөг бөгөөд та векторын үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд дараах томъёог ашиглана c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Жишээ 1

a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 гэдгийг мэддэг бол a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл

a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг тодорхойлсноор бид энэ асуудлыг шийднэ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Хариулт: 15 2 2 .

Хоёрдахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын координат, тэдгээрийн векторын бүтээгдэхүүн, түүний урт гэх мэт холбоотой байдаг. өгөгдсөн векторуудын мэдэгдэж буй координатуудаар хайдаг a → = (a x; a y; a z) Тэгээд b → = (b x ; b y ; b z) .

Энэ төрлийн асуудлын хувьд та олон даалгаврын сонголтыг шийдэж чадна. Жишээлбэл, a → ба b → векторуудын координатыг зааж өгөхгүй, харин тэдгээрийн хэлбэрийг координат вектор болгон өргөтгөх боломжтой. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ба c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, эсвэл a → ба b → векторуудыг тэдгээрийн эхлэлийн координатаар тодорхойлж болно. болон төгсгөлийн цэгүүд.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 2

Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр вектор өгөгдсөн: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл

Хоёр дахь тодорхойлолтоор бид өгөгдсөн координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг олно: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хэрэв бид вектор үржвэрийг матрицын тодорхойлогчоор бичвэл энэ жишээний шийдэл нь дараах байдалтай байна: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хариулт: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Жишээ 3

i → - j → ба i → + j → + k → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол, энд i →, j →, k → тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд байна.

Шийдэл

Эхлээд өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэрийн координатыг олъё.

i → - j → ба i → + j → + k → векторууд (1; - 1; 0) ба (1; 1; 1) координатуудтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Матрицын тодорхойлогчийг ашиглан вектор үржвэрийн уртыг олъё, тэгвэл i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Иймд i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэр нь өгөгдсөн координатын системд (- 1 ; - 1 ; 2) координаттай байна.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг томъёогоор олно (векторын уртыг олох хэсгийг үзнэ үү): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Хариулт: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Жишээ 4

Тэгш өнцөгт декартын координатын системд A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) гэсэн гурван цэгийн координатууд өгөгдсөн. A B → ба A C →-д нэгэн зэрэг перпендикуляр байх векторыг ол.

Шийдэл

A B → ба A C → векторууд нь дараах координатуудтай (- 1 ; 2 ; 2) ба (0 ; 4 ; 1) байна. A B → ба A C → векторуудын вектор үржвэрийг олсноор энэ нь A B → болон A C → аль алинд нь перпендикуляр вектор болох нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл юм. Үүнийг A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → гэж олъё.

Хариулт: - 6 i → + j → - 4 k → . - перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглахад чиглэгддэг. Үүнийг хэрэглэсний дараа бид өгөгдсөн асуудлын шийдлийг олж авах болно.

Жишээ 5

a → ба b → векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → вектор үржвэрийн уртыг ол. + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Шийдэл

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 гэж бичиж болно. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ассоциацийн шинж чанараар бид сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгээс тоон коэффициентүүдийг гаргаж авдаг: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ба b → × b → = b → · b → · sin тул a → × a → ба b → × b → вектор бүтээгдэхүүнүүд 0-тэй тэнцүү байна. 0 = 0, дараа нь 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Вектор бүтээгдэхүүний антикоммутатив байдлаас дараах нь - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → тэгшитгэлийг олж авна.

Нөхцөлөөр a→ ба b → векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна. Одоо үлдсэн бүх зүйл бол олсон утгыг тохирох томъёонд орлуулах явдал юм: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · нүгэл (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Хариулт: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Тодорхойлолтоор векторуудын вектор үржвэрийн урт нь a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → -тэй тэнцүү байна. Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын уртын үржвэрийн хагасыг эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү гэдгийг (сургуулийн хичээлээс) аль хэдийн мэддэг болсон. Үүний үр дүнд векторын бүтээгдэхүүний урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү байна - давхар гурвалжин, тухайлбал а → ба b → вектор хэлбэрээр талуудын үржвэр, нэг цэгээс синусын дагуу тавигдсан. тэдгээрийн хоорондох өнцөг sin ∠ a →, b →.

Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга юм.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга

Физикийн салбаруудын нэг болох механикийн хувьд вектор бүтээгдэхүүний ачаар орон зайн цэгтэй харьцуулахад хүчний моментийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 3

А цэгтэй харьцуулахад B цэгт F → үйлчлэх хүчний агшинд бид дараах вектор бүтээгдэхүүн A B → × F → ойлгох болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэ нийтлэлд бид хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн тухай ойлголтыг нарийвчлан авч үзэх болно. Бид шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгч, вектор бүтээгдэхүүний координатыг олох томьёо бичиж, түүний шинж чанарыг жагсааж, зөвтгөх болно. Үүний дараа бид хоёр векторын вектор үржвэрийн геометрийн утгыг анхаарч, янз бүрийн ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт.

Вектор үржвэрийг тодорхойлохын өмнө гурван хэмжээст орон зайд эмх цэгцтэй гурвалсан векторын чиглэлийг ойлгоцгооё.

Нэг цэгээс векторуудыг зуръя. Векторын чиглэлээс хамааран гурвуулаа баруун эсвэл зүүн байж болно. Хамгийн богино нь вектороос хэрхэн эргэхийг векторын төгсгөлөөс харцгаая. Хэрэв хамгийн богино эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг явбал векторын гурвалсан гэж нэрлэдэг зөв, эс бөгөөс - зүүн.

Одоо коллинеар бус хоёр вектор ба . А цэгээс векторуудыг зуръя. ба болон аль алинд нь перпендикуляр вектор байгуулъя. Мэдээжийн хэрэг, векторыг бүтээхдээ бид хоёр зүйлийг хийж, түүнд нэг чиглэл эсвэл эсрэг чиглэл өгөх боломжтой (зураг харна уу).

Векторын чиглэлээс хамааран векторуудын дараалсан гурвалсан нь баруун болон зүүн гартай байж болно.

Энэ нь биднийг вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтод ойртуулдаг. Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд өгөгдсөн.

Тодорхойлолт.

Хоёр векторын хөндлөн үржвэрба гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд заасан вектор гэж нэрлэгддэг.

Векторуудын хөндлөн үржвэр ба гэж тэмдэглэнэ.

Вектор бүтээгдэхүүний координатууд.

Одоо бид вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг өгөх болно, энэ нь өгөгдсөн векторуудын координатаас түүний координатыг олох боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт.

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд Хоёр векторын вектор үржвэр Тэгээд нь вектор , координатын векторууд хаана байна.

Энэ тодорхойлолт нь координат хэлбэрээр хөндлөн үржвэрийг бидэнд өгдөг.

Гурав дахь эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчоор вектор үржвэрийг илэрхийлэх нь тохиромжтой бөгөөд эхний эгнээ нь векторууд, хоёр дахь эгнээ нь векторын координат, гурав дахь нь өгөгдсөн дэх векторын координатуудыг агуулна. Тэгш өнцөгт координатын систем:

Хэрэв бид энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлбэл координат дахь вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос тэгш байдлыг олж авна (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Вектор бүтээгдэхүүний координатын хэлбэр нь энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгөгдсөн тодорхойлолттой бүрэн нийцэж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Түүнээс гадна, хөндлөн бүтээгдэхүүний эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү юм. Та энэ баримтын нотолгоог өгүүллийн төгсгөлд жагсаасан номноос харж болно.

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд.

Координат дахь векторын үржвэрийг матрицын тодорхойлогч болгон төлөөлж болох тул дараахь үндэслэлийг хялбархан зөвтгөж болно. хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанар:

Жишээ болгон вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталъя.

А - тэргүүн байр Тэгээд . Хэрэв хоёр мөр солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга урвуу болно гэдгийг бид мэднэ. , энэ нь вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг нотолж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл.

Үндсэндээ гурван төрлийн асуудал байдаг.

Эхний төрлийн бодлогод хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн бөгөөд векторын үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд томъёог ашиглана .

Жишээ.

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол .

Шийдэл.

Тодорхойлолтоос бид векторуудын вектор үржвэрийн урт ба векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. .

Хариулт:

.

Хоёрдахь төрлийн асуудал нь векторын координаттай холбоотой бөгөөд өгөгдсөн векторуудын координатаар векторын бүтээгдэхүүн, түүний урт эсвэл бусад зүйлийг хайж олох явдал юм. Тэгээд .

Энд маш олон янзын сонголт хийх боломжтой. Жишээлбэл, векторуудын координатыг зааж өгөхгүй, харин тэдгээрийг маягтын координатын вектор болгон өргөтгөх боломжтой. ба , эсвэл векторууд ба тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатаар тодорхойлогдож болно.

Ердийн жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр вектор өгөгдсөн . Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл.

Хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг дараах байдлаар бичнэ.

Хэрэв вектор үржвэрийг тодорхойлогчийн хувьд бичсэн бол бид ижил үр дүнд хүрэх байсан

Хариулт:

.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд ба , векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид вектор бүтээгдэхүүний координатыг олно өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд.

Векторууд нь координаттай байдаг тул (шаардлагатай бол тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын нийтлэлийн координатыг үзнэ үү), тэгвэл вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтоор бид байна.

Энэ нь вектор бүтээгдэхүүн юм өгөгдсөн координатын систем дэх координатуудтай.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур гэж олдог (бид векторын уртыг олох хэсэгт векторын уртын томъёог олж авсан):

Хариулт:

.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системд гурван цэгийн координатыг өгнө. Перпендикуляр бөгөөд нэгэн зэрэг байх векторыг ол.

Шийдэл.

Векторууд ба координатууд (цэгүүдийн координатаар векторын координатыг олох нийтлэлийг үзнэ үү). Хэрэв бид ба векторуудын вектор үржвэрийг олбол тодорхойлолтоор энэ нь аль алинд нь перпендикуляр вектор, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл болно. Түүнийг олъё

Хариулт:

- перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудалд векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглах чадварыг шалгадаг. Шинж чанаруудыг хэрэглэсний дараа холбогдох томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ.

ба векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. Хөндлөн үржвэрийн уртыг ол .

Шийдэл.

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид бичиж болно

Хосолсон шинж чанарын улмаас бид сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгээс тоон коэффициентийг авдаг.

вектор бүтээгдэхүүн ба тэгтэй тэнцүү байна, оноос хойш Тэгээд , Дараа нь.

Вектор үржвэр нь антикоммутатив учраас .

Тиймээс, вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид тэгш байдалд хүрэв .

Нөхцөлөөр ба векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь -тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай уртыг олохын тулд бидэнд бүх өгөгдөл бий

Хариулт:

.

Вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга.

Тодорхойлолтоор векторуудын вектор үржвэрийн урт нь байна . Ахлах сургуулийн геометрийн хичээлээс гурвалжны талбай нь гурвалжны хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Үүний үр дүнд векторын үржвэрийн урт нь талууд нь векторууд болох гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байх бөгөөд хэрэв тэдгээрийг нэг цэгээс зурвал . Өөрөөр хэлбэл, векторуудын вектор үржвэрийн урт нь талуудтай параллелограммын талбай, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь -тэй тэнцүү байна. Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга юм.

ГУРВАН ВЕКТОРЫН ХОЛИМСОН БҮТЭЭГДЭХҮҮН, ТҮҮНИЙ ШИНЖ

Холимог ажилгурван векторыг тэнцүү тоо гэнэ. Томилогдсон . Энд эхний хоёр векторыг вектороор үржүүлээд дараа нь гарсан векторыг гурав дахь вектороор скаляраар үржүүлнэ. Мэдээжийн хэрэг, ийм бүтээгдэхүүн нь тодорхой тоо юм.

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанарыг авч үзье.

1. Геометрийн утгахолимог ажил. 3 векторын холимог бүтээгдэхүүн нь тэмдэг хүртэл эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна, ирмэг дээрх шиг, өөрөөр хэлбэл. .

   Тиймээс, ба .

   

   Баталгаа. Нийтлэг гарал үүслийн векторуудыг хойш тавьж, тэдгээр дээр параллелепипед байгуулъя. Үүнийг тэмдэглэж, тэмдэглэе. Скаляр бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоор

   Үүнийг таамаглаж, үүнийг тэмдэглэж байна hпараллелепипедийн өндрийг ол.

   Тиймээс, хэзээ

   Хэрэв тийм бол. Тиймээс, .

   Эдгээр тохиолдлуудыг хоёуланг нь нэгтгэснээр бид эсвэл .

   Энэ өмчийн нотолгооноос, ялангуяа векторуудын гурвалсан нь баруун гартай бол холимог үржвэр нь , хэрэв зүүн гартай бол .

2. Аливаа векторын хувьд , , тэгш байдал нь үнэн юм

   Энэ өмчийн нотолгоо нь 1-р өмчөөс гардаг. Үнэн хэрэгтээ үүнийг харуулахад хялбар бөгөөд . Түүнээс гадна "+" ба "-" тэмдгийг нэгэн зэрэг авдаг, учир нь ба ба болон векторуудын хоорондох өнцөг нь хурц ба мохоо байна.

3. Аливаа хоёр хүчин зүйлийг дахин зохион байгуулахад холимог бүтээгдэхүүн тэмдэг өөрчлөгдөнө.

   Үнэхээр, хэрэв бид холимог бүтээгдэхүүнийг авч үзвэл, жишээ нь, эсвэл

4. Хэрэв хүчин зүйлсийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү эсвэл векторууд хос хавтгай байвал холимог бүтээгдэхүүн.

   Баталгаа.

   Иймээс 3 векторын харилцан уялдаатай байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Үүнээс гадна гурван вектор орон зайд суурь болдог бол .

   Хэрэв векторуудыг координат хэлбэрээр өгсөн бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүнийг дараах томъёогоор олно гэдгийг харуулж болно.

   .

   Тиймээс холимог үржвэр нь эхний мөрөнд эхний векторын координат, хоёрдугаар мөрөнд хоёр дахь векторын координат, гуравдугаар мөрөнд гурав дахь векторын координат байх гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

   Жишээ.

Сансар огторгуй дахь АНАЛИТИК ГЕОМЕТР

Тэгшитгэл F(x, y, z)= 0 нь орон зайд тодорхойлогддог Оксиззарим гадаргуу, өөрөөр хэлбэл. координатууд нь цэгүүдийн байршил x, y, zЭнэ тэгшитгэлийг ханга. Энэ тэгшитгэлийг гадаргуугийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба x, y, z- одоогийн координатууд.

Гэсэн хэдий ч ихэвчлэн гадаргууг тэгшитгэлээр тодорхойлдоггүй, харин орон зайд нэг буюу өөр шинж чанартай байдаг цэгүүдийн багц хэлбэрээр тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд геометрийн шинж чанарт үндэслэн гадаргуугийн тэгшитгэлийг олох шаардлагатай.

Онгоц.

Хэвийн хавтгай ВЕКТОР.

ӨГӨГДСЭН ЦЭГЭЭР ДАМЖУУЛАХ ХЯГТГИЙН ТЭГШИГЧИЛГЭЭ

Сансар огторгуйд дурын σ хавтгайг авч үзье. Энэ хавтгайд перпендикуляр вектор болон зарим тогтмол цэгийг зааж өгснөөр түүний байрлалыг тодорхойлно М0(x 0, y 0, z 0), σ хавтгайд хэвтэж байна.

σ хавтгайд перпендикуляр векторыг нэрлэнэ хэвийнЭнэ хавтгайн вектор. Вектор координаттай байг.

Энэ цэгийг дайран өнгөрөх σ хавтгайн тэгшитгэлийг гаргая М0ба хэвийн вектортой байна. Үүнийг хийхийн тулд σ хавтгай дээрх дурын цэгийг авна M(x, y, z)ба векторыг авч үзье.

Ямар ч цэгийн хувьд МО σ нь вектор Тиймээс тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тэгш байдал нь цэг байх нөхцөл юм МО σ. Энэ нь энэ онгоцны бүх цэгүүдэд хүчинтэй бөгөөд цэг нь даруй зөрчигддөг Мσ хавтгайгаас гадуур байх болно.

Хэрэв бид цэгүүдийг радиус вектороор тэмдэглэвэл М, – цэгийн радиус вектор М0, тэгвэл тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторхавтгай тэгшитгэл. Үүнийг координат хэлбэрээр бичье. Түүнээс хойш

Тиймээс бид энэ цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг олж авлаа. Тиймээс, хавтгайн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд та хэвийн векторын координат ба хавтгай дээр хэвтэж буй зарим цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.

Хавтгайн тэгшитгэл нь одоогийн координаттай харьцуулахад 1-р зэргийн тэгшитгэл гэдгийг анхаарна уу. x, yТэгээд z.

Жишээ.

ОНГОЦНЫ ЕРӨНХИЙ ТЭГШИтгэл

Декарт координаттай холбоотой аливаа нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг харуулж болно x, y, zзарим хавтгайн тэгшитгэлийг илэрхийлнэ. Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

Ax+By+Cz+D=0

гэж нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлхавтгай ба координатууд A, B, CЭнд онгоцны хэвийн векторын координатууд байна.

Ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье. Тэгшитгэлийн нэг буюу хэд хэдэн коэффициент тэг болсон тохиолдолд координатын системтэй харьцуулахад хавтгай хэрхэн байрлаж байгааг олж мэдье.

A нь тэнхлэг дээрх хавтгайгаар таслагдсан сегментийн урт юм Үхэр. Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно бТэгээд в– тэнхлэг дээр авч үзэж буй хавтгайгаар таслагдсан сегментүүдийн урт ӨөТэгээд Оз.

Онгоц барихдаа сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой.