Zadanie B9 daje wykres funkcji lub pochodnej, z której należy wyznaczyć jedną z następujących wielkości:
- Wartość pochodnej w pewnym punkcie x 0,
- Punkty maksymalne lub minimalne (punkty ekstremalne),
- Przedziały funkcji rosnących i malejących (przedziały monotoniczności).
Funkcje i pochodne przedstawione w tym zadaniu są zawsze ciągłe, co znacznie ułatwia rozwiązanie. Pomimo tego, że zadanie należy do sekcji analizy matematycznej, poradzą sobie z nim nawet najsłabsi uczniowie, gdyż nie jest tu wymagana głęboka wiedza teoretyczna.
Aby znaleźć wartość pochodnej, punkty ekstremalne i przedziały monotoniczności, istnieją proste i uniwersalne algorytmy - wszystkie zostaną omówione poniżej.
Przeczytaj uważnie warunki zadania B9, aby uniknąć głupich błędów: czasami natkniesz się na dość długie teksty, ale ważne warunki, które mają wpływ na przebieg decyzji, jest ich niewiele.
Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa
Jeżeli zadaniu dany jest wykres funkcji f(x), stycznej do tego wykresu w pewnym punkcie x 0 i konieczne jest znalezienie w tym punkcie wartości pochodnej, stosuje się następujący algorytm:
- Znajdź dwa „odpowiednie” punkty na wykresie stycznym: ich współrzędne muszą być liczbami całkowitymi. Oznaczmy te punkty A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Zapisz poprawnie współrzędne - jest to kluczowy punkt rozwiązania, a każdy błąd tutaj doprowadzi do nieprawidłowej odpowiedzi.
- Znając współrzędne łatwo obliczyć przyrost argumentu Δx = x 2 − x 1 oraz przyrost funkcji Δy = y 2 − y 1 .
- Na koniec znajdujemy wartość pochodnej D = Δy/Δx. Innymi słowy, musisz podzielić przyrost funkcji przez przyrost argumentu - i to będzie odpowiedź.
Jeszcze raz zauważmy: punktów A i B należy szukać właśnie na stycznej, a nie jak to często bywa na wykresie funkcji f(x). Linia styczna będzie koniecznie zawierać co najmniej dwa takie punkty - w przeciwnym razie problem nie zostanie poprawnie sformułowany.
Rozważ punkty A (-3; 2) i B (-1; 6) i znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.
Znajdźmy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .
Rozważ punkty A (0; 3) i B (3; 0), znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.
Teraz znajdujemy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .
Rozważ punkty A (0; 2) i B (5; 2) i znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.
Pozostaje znaleźć wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Z ostatniego przykładu możemy sformułować regułę: jeżeli styczna jest równoległa do osi OX, to pochodna funkcji w punkcie styczności wynosi zero. W tym przypadku nie trzeba nawet niczego liczyć – wystarczy spojrzeć na wykres.
Obliczanie punktów maksymalnych i minimalnych
Czasami zamiast wykresu funkcji Zadanie B9 podaje wykres pochodnej i wymaga znalezienia punktu maksymalnego lub minimalnego funkcji. W tej sytuacji metoda dwupunktowa jest bezużyteczna, ale istnieje inny, jeszcze prostszy algorytm. Najpierw zdefiniujmy terminologię:
- Punkt x 0 nazywany jest punktem maksymalnym funkcji f(x), jeśli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≥ f(x).
- Punkt x 0 nazywany jest punktem minimalnym funkcji f(x), jeżeli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≤ f(x).
Aby znaleźć maksimum i minimum punktów na wykresie pochodnej, wykonaj następujące kroki:
- Narysuj ponownie wykres pochodnej, usuwając wszystkie niepotrzebne informacje. Jak pokazuje praktyka, niepotrzebne dane jedynie zakłócają decyzję. Dlatego zaznaczamy zera pochodnej na osi współrzędnych - i tyle.
- Znajdź znaki pochodnej na przedziałach między zerami. Jeżeli dla jakiegoś punktu x 0 wiadomo, że f'(x 0) ≠ 0, to możliwe są tylko dwie opcje: f'(x 0) ≥ 0 lub f'(x 0) ≤ 0. Znak pochodnej wynosi łatwo wyznaczyć z oryginalnego rysunku: jeśli wykres pochodnej leży powyżej osi OX, to f'(x) ≥ 0. I odwrotnie, jeśli wykres pochodnej leży poniżej osi OX, to f'(x) ≤ 0.
- Ponownie sprawdzamy zera i znaki pochodnej. Tam, gdzie znak zmienia się z minus na plus, jest to punkt minimalny. I odwrotnie, jeśli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus, jest to punkt maksymalny. Liczenie odbywa się zawsze od lewej do prawej.
Ten schemat działa tylko dla funkcji ciągłych - w zadaniu B9 nie ma innych.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−5; 5]. Znajdź punkt minimalny funkcji f(x) na tym odcinku.
Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji i zostawmy jedynie granice [−5; 5] i zera pochodnej x = −3 i x = 2,5. Zwracamy również uwagę na znaki:
Oczywiście w punkcie x = −3 znak pochodnej zmienia się z minus na plus. To jest minimalny punkt.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7]. Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.
Narysujmy wykres na nowo, pozostawiając jedynie granice [−3; 7] oraz zera pochodnej x = −1,7 i x = 5. Zwróćmy uwagę na znaki pochodnej na otrzymanym wykresie. Mamy:
Oczywiście w punkcie x = 5 znak pochodnej zmienia się z plusa na minus - jest to punkt maksymalny.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [−6; 4]. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do odcinka [−4; 3].
Z warunków zadania wynika, że wystarczy uwzględnić tylko część grafu ograniczoną odcinkiem [−4; 3]. Dlatego budujemy nowy graf, na którym zaznaczamy jedynie granice [−4; 3] i zera znajdującej się w nim pochodnej. Mianowicie punkty x = −3,5 i x = 2. Otrzymujemy:
Na tym wykresie jest tylko jeden punkt maksymalny x = 2. To w tym momencie znak pochodnej zmienia się z plusa na minus.
Mała uwaga dotycząca punktów o współrzędnych niecałkowitych. Przykładowo w ostatnim zadaniu uwzględniono punkt x = −3,5, ale z takim samym sukcesem możemy przyjąć x = −3,4. Jeśli problem zostanie poprawnie skompilowany, takie zmiany nie powinny mieć wpływu na odpowiedź, ponieważ punkty „bez stałego miejsca zamieszkania” nie uczestniczą bezpośrednio w rozwiązaniu problemu. Oczywiście ta sztuczka nie będzie działać z punktami całkowitymi.
Znajdowanie przedziałów funkcji rosnącej i malejącej
W takim problemie, podobnie jak punkty maksymalne i minimalne, proponuje się użycie wykresu pochodnej do znalezienia obszarów, w których sama funkcja rośnie lub maleje. Najpierw zdefiniujmy, czym jest wzrost i spadek:
- Mówi się, że funkcja f(x) na odcinku jest rosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka prawdziwe jest stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Innymi słowy, im większa wartość argumentu, tym większa wartość funkcji.
- Funkcję f(x) nazywamy malejącą na odcinku, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka prawdziwe jest stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Te. wyższa wartość argument odpowiada mniejszej wartości funkcji.
Sformułujmy warunki wystarczające do zwiększania i zmniejszania:
- Aby funkcja ciągła f(x) wzrosła na odcinku , wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka będzie dodatnia, tj. f’(x) ≥ 0.
- Aby funkcja ciągła f(x) malała na odcinku , wystarczy, aby jej pochodna wewnątrz odcinka była ujemna, tj. f’(x) ≤ 0.
Przyjmijmy te twierdzenia bez dowodów. Otrzymujemy w ten sposób schemat znajdowania przedziałów rosnących i malejących, który pod wieloma względami jest podobny do algorytmu obliczania punktów ekstremalnych:
- Usuń wszystkie niepotrzebne informacje. Na oryginalnym wykresie pochodnej interesują nas przede wszystkim zera funkcji, więc tylko je pozostawimy.
- Zaznacz znaki pochodnej w odstępach między zerami. Gdzie f’(x) ≥ 0, funkcja rośnie, a gdzie f’(x) ≤ 0, maleje. Jeśli problem nakłada ograniczenia na zmienną x, dodatkowo zaznaczamy je na nowym wykresie.
- Teraz, gdy znamy zachowanie funkcji i ograniczenia, pozostaje obliczyć wielkość wymaganą w zadaniu.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7,5]. Znajdź przedziały zmniejszania się funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę liczb całkowitych zawartych w tych przedziałach.
Jak zwykle przerysujmy wykres i zaznaczmy granice [−3; 7,5], a także zera pochodnych x = −1,5 i x = 5,3. Następnie zauważamy znaki pochodnej. Mamy:
Ponieważ pochodna jest ujemna na przedziale (-1,5), jest to przedział funkcji malejącej. Pozostaje zsumować wszystkie liczby całkowite znajdujące się w tym przedziale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [−10; 4]. Znajdź przedziały wzrostu funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.
Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji. Zostawmy tylko granice [−10; 4] i zera pochodnej, których tym razem było cztery: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zaznaczmy znaki pochodnej i otrzymamy następujący obraz:
Interesują nas przedziały funkcji rosnącej, tj. np. gdzie f’(x) ≥ 0. Na wykresie występują dwa takie przedziały: (−8; −6) i (−3; 2). Obliczmy ich długości:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.
Ponieważ musimy znaleźć długość największego z przedziałów, jako odpowiedź zapisujemy wartość l 2 = 5.
(ryc. 1)
Rysunek 1. Wykres pochodnej
Właściwości grafu pochodnego
- W rosnących odstępach pochodna jest dodatnia. Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to wykres funkcji na tym przedziale rośnie.
- W malejących odstępach pochodna jest ujemna (ze znakiem minus). Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.
- Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym samym punkcie.
- W maksymalnych i minimalnych punktach funkcji pochodna jest równa zeru. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi OX.
Przykład 1
Korzystając z wykresu (rys. 2) pochodnej określ, w którym punkcie odcinka [-3; 5] jest maksymalna.
Rysunek 2. Wykres pochodnej
Rozwiązanie: Na tym odcinku pochodna jest ujemna, co oznacza, że funkcja maleje od lewej do prawej, a największa wartość znajduje się po lewej stronie w punkcie -3.
Przykład 2
Korzystając z wykresu (rys. 3) pochodnej, wyznacz liczbę maksymalnych punktów na odcinku [-11; 3].
Rysunek 3. Wykres pochodnej
Rozwiązanie: Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Na tym przedziale funkcja dwukrotnie zmienia znak z plusa na minus – w punkcie -10 i w punkcie -1. Oznacza to, że maksymalna liczba punktów wynosi dwa.
Przykład 3
Korzystając z wykresu (rys. 3) pochodnej, wyznacz liczbę minimalnych punktów w odcinku [-11; -1].
Rozwiązanie: Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni. W tym segmencie taki punkt wynosi tylko -7. Oznacza to, że minimalna liczba punktów na danym odcinku wynosi jeden.
Przykład 4
Korzystając z wykresu (rys. 3) pochodnej wyznacz liczbę punktów ekstremalnych.
Rozwiązanie: Punkty skrajne to zarówno punkty minimalne, jak i maksymalne. Znajdźmy liczbę punktów, w których pochodna zmienia znak.
Pierwsza pochodna Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia (ujemna), to funkcja w tym przedziale monotonicznie rośnie (monotonicznie maleje). Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia (ujemna), to funkcja w tym przedziale monotonicznie rośnie (monotonicznie maleje). Następny
Definicja Krzywą nazywamy wypukłą w punkcie, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu znajduje się pod jej styczną w punkcie. Krzywą nazywamy wypukłą w punkcie, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu znajduje się pod jej styczną w punkcie Krzywą nazywamy wklęsłą w punkcie, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu znajduje się powyżej jej stycznej w punkcie. Krzywą nazywamy wklęsłą w pewnym punkcie, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu znajduje się powyżej jej stycznej w punkcie. Dalej
Znak wklęsłości i wypukłości Jeżeli druga pochodna funkcji w danym przedziale jest dodatnia, to krzywa jest w tym przedziale wklęsła, a jeśli jest ujemna, w tym przedziale jest wypukła. Jeśli druga pochodna funkcji w danym przedziale jest dodatnia, to krzywa jest w tym przedziale wklęsła, a jeśli jest ujemna, w tym przedziale jest wypukła. Definicja
Plan badania funkcji i konstruowanie jej wykresu 1. Znaleźć dziedzinę definicji funkcji i określić punkty nieciągłości, jeśli występują. 1. Znaleźć dziedzinę definicji funkcji i określić punkty nieciągłości, jeśli występują. 2. Znajdź; sprawdzić, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta; sprawdź jej okresowość 2. Dowiedz się, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta; sprawdź jego okresowość. 3. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji z osie współrzędnych 3. Wyznaczyć punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych 4. Znaleźć punkty krytyczne I rodzaju 4. Znaleźć punkty krytyczne I rodzaju 5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji 5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji 6. Wyznaczać przedziały wypukłości i wklęsłości oraz znajdować punkty przegięcia 6. Wyznaczać przedziały wypukłości i wklęsłości oraz znajdować punkty przegięcia 7. Korzystając z wyników badań, połączyć uzyskane punkty gładka krzywa 7. Korzystając z wyników badania, połącz otrzymane punkty gładkiej krzywej Wyjście
Wskazanie związku znaku pochodnej z naturą monotoniczności funkcji.
Prosimy o zachowanie szczególnej ostrożności w następujących kwestiach. Spójrz, harmonogram CO jest ci dane! Funkcja lub jej pochodna
Jeśli podano wykres pochodnej, wówczas będą nas interesować tylko znaki funkcji i zera. W zasadzie nie interesują nas żadne „wzgórza” czy „dziuple”!
Zadanie 1.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest ujemna.
Rozwiązanie:
Na rysunku kolorem zaznaczono obszary malejącej funkcji:
Te malejące obszary funkcji zawierają 4 wartości całkowite.
Zadanie 2.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą.
Rozwiązanie:
Gdy styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią prostą (lub, co jest tym samym), mając nachylenie równy zero, to tangens ma współczynnik kątowy .
To z kolei oznacza, że styczna jest równoległa do osi, gdyż nachylenie jest styczną kąta nachylenia stycznej do osi.
Dlatego na wykresie znajdujemy punkty ekstremalne (punkty maksymalne i minimalne) - to właśnie w tych punktach funkcje styczne do wykresu będą równoległe do osi.
Są 4 takie punkty.
Zadanie 3.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą.
Rozwiązanie:
Ponieważ styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią, która ma nachylenie, to styczna również ma nachylenie.
To z kolei oznacza, że w punktach dotykowych.
Dlatego sprawdzamy, ile punktów na wykresie ma rzędną równą .
Jak widać, są cztery takie punkty.
Zadanie 4.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których pochodna funkcji wynosi 0.
Rozwiązanie:
Pochodna jest równa zero w punktach ekstremalnych. Mamy ich 4:
Zadanie 5.
Rysunek przedstawia wykres funkcji i jedenaście punktów na osi x: W ilu z tych punktów pochodna funkcji jest ujemna?
Rozwiązanie:
Na przedziałach funkcji malejącej przyjmuje się jej pochodną wartości ujemne. Funkcja maleje w punktach. Są 4 takie punkty.
Zadanie 6.
Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź sumę ekstremów funkcji.
Rozwiązanie:
Punkty ekstremalne– są to punkty maksymalne (-3, -1, 1) i minimalne (-2, 0, 3).
Suma punktów ekstremalnych: -3-1+1-2+0+3=-2.
Zadanie 7.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź przedziały wzrostu funkcji. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.
Rozwiązanie:
Na rysunku zaznaczono przedziały, w których pochodna funkcji jest nieujemna.
Na małym rosnącym przedziale nie ma punktów całkowitych; na rosnącym przedziale znajdują się cztery wartości całkowite: , i .
Ich suma:
Zadanie 8.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź przedziały wzrostu funkcji. W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.
Rozwiązanie:
Na rysunku kolorem zaznaczono wszystkie przedziały, w których pochodna jest dodatnia, co oznacza, że sama funkcja rośnie w tych przedziałach.
Długość największego z nich wynosi 6.
Zadanie 9.
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. W którym punkcie segmentu przyjmuje największą wartość?
Rozwiązanie:
Zobaczmy jak wykres zachowuje się na segmencie, a to nas interesuje tylko znak pochodnej .
Znak pochodnej wynosi minus, ponieważ wykres tego odcinka znajduje się poniżej osi.