Jeśli funkcja k(x) ma w pewnym przedziale zawierającym punkt A, pochodne wszystkich rzędów, to można do tego zastosować wzór Taylora:
Gdzie r n– tzw. wyraz resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:
, gdzie liczba x znajduje się pomiędzy X I A.
Jeśli dla jakiejś wartości x r n®0 o godz N®¥, wówczas w granicy wzór Taylora zamienia się w wzór zbieżny na tę wartość Seria Taylora:
Zatem funkcja k(x) można rozwinąć w szereg Taylora w danym punkcie X, Jeśli:
1) posiada pochodne wszystkich rzędów;
2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.
Na A=0 otrzymujemy serię o nazwie niedaleko Maclaurina:
Przykład 1 f(x)= 2X.
Rozwiązanie. Znajdźmy wartości funkcji i jej pochodne w X=0
k(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2X w 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.
Podstawiając otrzymane wartości pochodnych do wzoru na szereg Taylora, otrzymujemy:
Promień zbieżności tego szeregu jest równy nieskończoności, dlatego to rozwinięcie obowiązuje dla -¥<X<+¥.
Przykład 2 X+4) dla funkcji f(x)= mi X.
Rozwiązanie. Znajdowanie pochodnych funkcji e X i ich wartości w punkcie X=-4.
k(x)= np X, F(-4) = np -4 ;
f¢(x)= np X, f¢(-4) = np -4 ;
f¢¢(x)= np X, f¢¢(-4) = np -4 ;
f(n)(x)= np X, f(n)( -4) = np -4 .
Zatem wymagany szereg Taylora funkcji ma postać:
To rozwinięcie jest ważne również dla -¥<X<+¥.
Przykład 3 . Rozwiń funkcję k(x)= ln X w szeregu potęgowym ( X- 1),
(tj. w szeregu Taylora w sąsiedztwie punktu X=1).
Rozwiązanie. Znajdź pochodne tej funkcji.
Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy pożądany szereg Taylora:
Korzystając z testu d'Alemberta, możesz sprawdzić, czy szereg jest zbieżny, gdy
½ X- 1½<1. Действительно,
Szereg jest zbieżny, jeśli ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 otrzymujemy szereg przemienny spełniający warunki kryterium Leibniza. Na X Funkcja =0 nie jest zdefiniowana. Zatem obszarem zbieżności szeregu Taylora jest przedział półotwarty (0;2).
Przedstawmy otrzymane w ten sposób rozwinięcia w szereg Maclaurina (tj. w sąsiedztwie punktu X=0) dla niektórych funkcji elementarnych:
(2) 
,
(3) 
,
( nazywa się ostatni rozkład szereg dwumianowy)
Przykład 4 . Rozwiń funkcję w szereg potęgowy
Rozwiązanie. W rozwinięciu (1) zastępujemy X NA - X 2, otrzymujemy:
Przykład 5
. Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina 
Rozwiązanie. Mamy 
Korzystając ze wzoru (4) możemy napisać:
zamiast tego zastępując X do formuły -X, otrzymujemy:
Stąd znajdziemy:
Otwierając nawiasy, przestawiając wyrazy szeregu i wprowadzając wyrazy podobne, otrzymujemy
Szereg ten zbiega się w przedziale
(-1;1), ponieważ jest on otrzymywany z dwóch szeregów, z których każdy zbiega się w tym przedziale.
Komentarz .
Wzory (1)-(5) można także wykorzystać do rozwinięcia odpowiednich funkcji w szereg Taylora, tj. do rozwijania funkcji w dodatnich potęgach całkowitych ( Ha). W tym celu należy dokonać takich identycznych przekształceń na danej funkcji, aby otrzymać jedną z funkcji (1)-(5), w której zamiast X kosztuje k( Ha) m , gdzie k jest liczbą stałą, m jest dodatnią liczbą całkowitą. Często wygodnie jest dokonać zmiany zmiennej T=Ha i rozwiń wynikową funkcję względem t w szeregu Maclaurina.
Metoda ta ilustruje twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy. Istota tego twierdzenia polega na tym, że w sąsiedztwie tego samego punktu nie można otrzymać dwóch różnych szeregów potęgowych, które zbiegałyby się do tej samej funkcji, niezależnie od sposobu jej rozwinięcia.
Przykład 6 . Rozwiń funkcję w szereg Taylora w sąsiedztwie punktu X=3.
Rozwiązanie. Problem ten można rozwiązać, jak poprzednio, korzystając z definicji szeregu Taylora, dla którego musimy znaleźć pochodne funkcji i ich wartości w X=3. Łatwiej będzie jednak skorzystać z istniejącego rozszerzenia (5):
Powstały szereg jest zbieżny w 
lub –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Przykład 7
. Zapisz szereg Taylora w potęgach ( X-1) funkcje 
.
Rozwiązanie.
Szereg zbiega się w godz 
lub -2< X 5 funtów.
„Znajdź rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji f(x)”- tak właśnie brzmi zadanie z matematyki wyższej, które niektórzy uczniowie potrafią wykonać, a inni nie radzą sobie z przykładami. Istnieje kilka sposobów rozwijania szeregu potęgowego; tutaj przedstawimy technikę rozwijania funkcji w szereg Maclaurina. Tworząc funkcję w szeregu, musisz być dobry w obliczaniu pochodnych.
Przykład 4.7 Rozwiń funkcję w potęgach x
Obliczenia: Rozwinięcie funkcji wykonujemy według wzoru Maclaurina. Najpierw rozwińmy mianownik funkcji w szereg 
Na koniec pomnóż rozwinięcie przez licznik.
Pierwszy wyraz to wartość funkcji w punkcie zero f (0) = 1/3.
Znajdźmy pochodne funkcji pierwszego i wyższych rzędów f (x) oraz wartość tych pochodnych w punkcie x=0 
Następnie, bazując na schemacie zmian wartości pochodnych w punkcie 0, piszemy wzór na n-tą pochodną 
Zatem reprezentujemy mianownik w postaci rozwinięcia szeregu Maclaurina 
Mnożymy przez licznik i uzyskujemy pożądane rozwinięcie funkcji w szeregu w potęgach x 
Jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego.
Wszystkie kluczowe punkty opierają się na umiejętności obliczania pochodnych i szybkiego uogólniania wartości pochodnej wyższego rzędu na zero. Poniższe przykłady pomogą Ci nauczyć się szybkiego porządkowania funkcji w szeregu.
Przykład 4.10 Znajdź rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina
Obliczenia: Jak można się domyślić, w szeregu wstawimy cosinus do licznika. Aby to zrobić, możesz użyć wzorów na wielkości nieskończenie małe lub wyprowadzić rozwinięcie cosinusa za pomocą pochodnych. W rezultacie dochodzimy do następującego szeregu w potęgach x 
Jak widać, mamy minimum obliczeń i zwartą reprezentację rozwinięcia szeregu.
Przykład 4.16 Rozwiń funkcję w potęgach x:
7/(12-x-x^2)
Obliczenia: W tego typu przykładach konieczne jest rozwinięcie ułamka przez sumę ułamków prostych.
Nie pokażemy teraz, jak to zrobić, ale za pomocą nieokreślonych współczynników dotrzemy do sumy ułamków.
Następnie zapisujemy mianowniki w formie wykładniczej 
Pozostaje rozwinąć terminy za pomocą wzoru Maclaurina. Sumując wyrazy do tych samych potęg „x”, tworzymy wzór na ogólny wyraz rozwinięcia funkcji w szeregu 
Ostatnia część przejścia do szeregu na początku jest trudna do wykonania, ponieważ trudno jest połączyć wzory na sparowane i niesparowane indeksy (stopnie), ale w miarę praktyki będziesz w tym coraz lepszy.
Przykład 4.18 Znajdź rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina
Obliczenia: Znajdźmy pochodną tej funkcji: 
Rozwińmy funkcję w szereg, korzystając z jednego ze wzorów McLarena: 
Sumujemy szereg wyraz po wyrazie, opierając się na fakcie, że oba są absolutnie identyczne. Całkując cały szereg wyraz po wyrazie, otrzymujemy rozwinięcie funkcji w szereg w potęgach x 
Pomiędzy dwiema ostatnimi linijkami rozszerzenia następuje przejście, które na początku zajmie Ci dużo czasu. Uogólnianie formuły serii nie jest łatwe dla wszystkich, więc nie martw się, że nie będziesz w stanie uzyskać ładnej, zwartej formuły.
Przykład 4.28 Znajdź rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina:
Zapiszmy logarytm w następujący sposób 
Korzystając ze wzoru Maclaurina, rozwijamy funkcję logarytmu w szeregu w potęgach x 
Ostateczny splot jest na pierwszy rzut oka skomplikowany, ale przy zmianie znaków zawsze otrzymasz coś podobnego. Lekcja wejściowa na temat planowania funkcji w rzędzie została ukończona. Inne, równie interesujące schematy rozkładu zostaną szczegółowo omówione w kolejnych materiałach.
W teorii szeregów funkcjonalnych centralne miejsce zajmuje rozdział poświęcony rozwinięciu funkcji w szereg.
Zatem zadanie jest ustawione: dla danej funkcji musimy znaleźć taki szereg potęgowy
który zbiegał się w pewnym przedziale, a jego suma była równa 
,
te.
=
..
To zadanie nazywa się problem rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy.
Warunek konieczny rozkładu funkcji w szeregu potęgowym jest jego różniczkowalność nieskończoną ilość razy - wynika to z własności zbieżnych szeregów potęgowych. Warunek ten jest spełniony z reguły dla funkcji elementarnych w ich dziedzinie definicji.
Załóżmy więc, że funkcja 
ma pochodne dowolnego rzędu. Czy można rozszerzyć go na szereg potęgowy? Jeśli tak, jak znaleźć ten szereg? Druga część problemu jest łatwiejsza do rozwiązania, więc zacznijmy od niej.
Załóżmy, że funkcja 
można przedstawić jako sumę szeregu potęg zbiegającego się w przedziale zawierającym punkt X 0 :
=
..
(*)
Gdzie A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A N ,... – nieznane (jeszcze) współczynniki.
Podstawmy równość (*) wartość x = x 0 , wtedy otrzymamy
.
Rozróżnijmy szereg potęgowy (*) wyraz po wyrazie
=
..
i tu wierzyć x = x 0 , dostajemy
.
Przy kolejnym różniczkowaniu otrzymamy szereg
=
..
wierząc x = x 0 ,
dostajemy 
, Gdzie 
.
Po N-otrzymujemy wielokrotne różniczkowanie
Zakładając w ostatniej równości x = x 0 ,
dostajemy 
, Gdzie
Zatem współczynniki zostały znalezione
,
,
,
…,
,….,
podstawiając które do szeregu (*), otrzymujemy
Powstały szereg nazywa się obok Taylora
dla funkcji
.
W ten sposób to ustaliliśmy jeśli funkcję można rozwinąć w szereg potęgowy w potęgach (x - x 0 ), to rozwinięcie to jest unikalne i otrzymany szereg jest koniecznie szeregiem Taylora.
Należy zauważyć, że szereg Taylora można otrzymać dla dowolnej funkcji, która ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu x = x 0 . Nie oznacza to jednak, że między funkcją a wynikową serią można postawić znak równości, tj. że suma szeregu jest równa funkcji pierwotnej. Po pierwsze, taka równość może mieć sens tylko w obszarze zbieżności, a otrzymany dla funkcji szereg Taylora może być rozbieżny, a po drugie, jeśli szereg Taylora jest zbieżny, to jego suma może nie pokrywać się z funkcją pierwotną.
3.2. Warunki wystarczające na rozkład funkcji szeregu Taylora
Sformułujmy stwierdzenie, za pomocą którego zadanie zostanie rozwiązane.
Jeśli funkcja
w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 ma instrumenty pochodne do (N+
1) rzędu włącznie, to w tym sąsiedztwie mamyformuła
Taylora
GdzieR N (X)-pozostała część wzoru Taylora – ma postać (forma Lagrange'a)
Gdzie kropkaξ leży pomiędzy x i x 0 .
Należy zauważyć, że istnieje różnica pomiędzy szeregiem Taylora a wzorem Taylora: wzór Taylora jest sumą skończoną, tj. P - stały numer.
Przypomnijmy, że suma szeregu S(X) można zdefiniować jako granicę ciągu funkcjonalnego sum częściowych S N (X) w pewnym odstępie X:
.
Zgodnie z tym rozwinięcie funkcji w szereg Taylora oznacza znalezienie takiego szeregu, że dla dowolnego XX
Zapiszmy wzór Taylora w postaci gdzie
Zauważ to 
definiuje błąd, który otrzymujemy, zamień funkcję F(X)
wielomian S N (X).
Jeśli 
, To 
,te. funkcja jest rozwinięta w szereg Taylora. I odwrotnie, jeśli 
, To 
.
W ten sposób udowodniliśmy kryterium rozkładu funkcji szeregu Taylora.
Aby spełnić funkcjęF(x) rozwija się w szereg Taylora, konieczne i wystarczające jest, aby na tym przedziale
, GdzieR N (X) jest resztą wyrazu szeregu Taylora.
Stosując sformułowane kryterium można otrzymać wystarczającywarunki rozkładu funkcji szeregu Taylora.
Jeśli wjakieś sąsiedztwo punktu x 0 wartości bezwzględne wszystkich pochodnych funkcji są ograniczone do tej samej liczby M≥ 0, tj.
, To w tym sąsiedztwie funkcja rozwija się w szereg Taylora.
Z powyższego wynika algorytmrozwinięcie funkcji F(X) w szeregu Taylora w pobliżu punktu X 0 :
1. Znajdowanie pochodnych funkcji F(X):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (N) (X),…
2. Oblicz wartość funkcji i wartości jej pochodnych w punkcie X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), F (N) (X 0 ),…
3. Formalnie piszemy szereg Taylora i wyznaczamy obszar zbieżności otrzymanego szeregu potęgowego.
4. Sprawdzamy spełnienie warunków wystarczających tj. ustalamy dla jakich X z obszaru konwergencji, pozostała część R N (X)
dąży do zera jako 
Lub
.
Nazywa się rozwinięcie funkcji w szereg Taylora przy użyciu tego algorytmu z definicji rozwinięcie funkcji w szereg Taylora Lub bezpośredni rozkład.
Rozbudowa funkcji na szereg Taylora, Maclaurina i Laurenta w serwisie do szkolenia umiejętności praktycznych. To rozwinięcie funkcji w szereg pozwala matematykom oszacować przybliżoną wartość funkcji w pewnym punkcie jej dziedziny definicji. Dużo łatwiej jest obliczyć wartość takiej funkcji w porównaniu z wykorzystaniem tablicy Bredisa, która w dobie technologii komputerowej jest tak nieistotna. Rozwinąć funkcję w szereg Taylora oznacza obliczyć współczynniki funkcji liniowych tego szeregu i zapisać je w odpowiedniej formie. Uczniowie mylą te dwie serie, nie rozumiejąc, jaki jest przypadek ogólny, a jaki przypadek szczególny drugiej. Przypomnijmy raz na zawsze, że szereg Maclaurina jest szczególnym przypadkiem szeregu Taylora, czyli jest to szereg Taylora, ale w punkcie x = 0. Wszystkie krótkie wpisy dotyczące rozwinięcia dobrze znanych funkcji, takie jak e^x, Sin(x), Cos(x) i inne, są to rozwinięcia szeregu Taylora, ale w punkcie 0 dla argumentu. W przypadku funkcji złożonego argumentu najczęstszym problemem w TFCT jest szereg Laurenta, ponieważ reprezentuje on dwustronny szereg nieskończony. Jest to suma dwóch szeregów. Sugerujemy obejrzenie przykładu rozkładu bezpośrednio na stronie internetowej; można to bardzo łatwo zrobić, klikając „Przykład” z dowolną liczbą, a następnie przycisk „Rozwiązanie”. To właśnie to rozwinięcie funkcji w szereg jest powiązane z szeregiem majoryzującym, który ogranicza pierwotną funkcję w pewnym obszarze wzdłuż osi rzędnych, jeśli zmienna należy do obszaru odciętych. Analizę wektorową porównuje się do innej interesującej dyscypliny matematyki. Ponieważ każdy termin wymaga sprawdzenia, proces ten zajmuje sporo czasu. Dowolny szereg Taylora można powiązać z szeregiem Maclaurina, zastępując x0 zerem, ale w przypadku szeregu Maclaurina czasami nie jest oczywiste odwrotne przedstawienie szeregu Taylora. Jakby nie było to wymagane w czystej postaci, jest to interesujące dla ogólnego samorozwoju. Każdy szereg Laurenta odpowiada dwustronnemu nieskończonemu szeregowi potęgowemu w potęgach całkowitych z-a, innymi słowy szeregowi tego samego typu Taylora, ale nieco różniącym się w obliczaniu współczynników. O obszarze zbieżności szeregu Laurenta porozmawiamy nieco później, po kilku teoretycznych obliczeniach. Podobnie jak w zeszłym stuleciu, trudno jest osiągnąć stopniowe rozwinięcie funkcji w szereg po prostu przez sprowadzenie wyrazów do wspólnego mianownika, ponieważ funkcje w mianownikach są nieliniowe. Przy formułowaniu problemów wymagane jest przybliżone obliczenie wartości funkcjonalnej. Pomyśl o tym, że gdy argumentem szeregu Taylora jest zmienna liniowa, to rozwinięcie następuje w kilku krokach, natomiast obraz jest zupełnie inny, gdy argumentem rozwijanej funkcji jest funkcja zespolona lub nieliniowa, to proces przedstawienie takiej funkcji w szeregu potęgowym jest oczywiste, gdyż w ten sposób łatwo jest obliczyć, choć przybliżoną wartość, w dowolnym punkcie obszaru definicyjnego, z minimalnym błędem, który ma niewielki wpływ na dalsze obliczenia. Dotyczy to również szeregu Maclaurina. gdy konieczne jest obliczenie funkcji w punkcie zerowym. Jednak sama seria Laurenta jest tutaj reprezentowana przez rozwinięcie na płaszczyźnie jednostek urojonych. Również prawidłowe rozwiązanie problemu podczas całego procesu nie zakończy się sukcesem. Podejście to nie jest znane w matematyce, ale obiektywnie istnieje. W efekcie można dojść do wniosku o tzw. podzbiorach punktowych, a przy rozwinięciu funkcji w szereg należy zastosować metody znane z tego procesu, jak np. zastosowanie teorii pochodnych. Po raz kolejny przekonujemy się, że nauczyciel miał rację, przyjmując założenia dotyczące wyników obliczeń poobliczeniowych. Zauważmy, że szereg Taylora, uzyskany według wszystkich kanonów matematyki, istnieje i jest zdefiniowany na całej osi liczbowej, jednak drodzy użytkownicy serwisu nie zapominajcie o typie pierwotnej funkcji, bo może się okazać że na początek należy ustalić dziedzinę definicji funkcji, czyli zapisać i wykluczyć z dalszych rozważań te punkty, w których funkcja nie jest zdefiniowana w dziedzinie liczb rzeczywistych. Że tak powiem, pokaże to twoją skuteczność w rozwiązaniu problemu. Konstrukcja szeregu Maclaurina z zerową wartością argumentu nie będzie wyjątkiem od tego, co zostało powiedziane. Nikt nie anulował procesu znajdowania dziedziny definicji funkcji i do tej operacji matematycznej należy podejść z całą powagą. W przypadku szeregu Laurenta zawierającego część główną parametr „a” będzie nazywany izolowanym punktem osobliwym, a szereg Laurenta zostanie rozwinięty w pierścień – jest to przecięcie obszarów zbieżności jego części, stąd nastąpi odpowiednie twierdzenie. Ale nie wszystko jest tak skomplikowane, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka niedoświadczonemu uczniowi. Po przestudiowaniu szeregu Taylora możesz łatwo zrozumieć szereg Laurenta - uogólniony przypadek rozszerzania przestrzeni liczb. Dowolne rozwinięcie funkcji w szereg można przeprowadzić tylko w punkcie należącym do dziedziny definicji funkcji. Należy wziąć pod uwagę właściwości funkcji takie jak okresowość czy nieskończona różniczkowalność. Sugerujemy także skorzystanie z tabeli gotowych rozwinięć funkcji elementarnych w szereg Taylora, gdyż jedną funkcję można przedstawić nawet za pomocą kilkudziesięciu różnych szeregów potęgowych, co widać korzystając z naszego kalkulatora online. Internetową serię Maclaurin można łatwo ustalić, jeśli skorzystasz z unikalnego serwisu internetowego, wystarczy wpisać poprawną funkcję pisemną, a przedstawioną odpowiedź otrzymasz w ciągu kilku sekund, gwarantujemy, że jest dokładna i rzetelna standardową formę pisemną. Możesz skopiować wynik bezpośrednio do czystej kopii i przesłać ją nauczycielowi. Słuszne byłoby najpierw określić analityczność rozpatrywanej funkcji w pierścieniach, a następnie jednoznacznie stwierdzić, że jest ona rozwijalna w szereg Laurenta we wszystkich takich pierścieniach. Ważne jest, aby nie stracić z oczu wyrazów szeregu Laurenta zawierających potęgi ujemne. Skoncentruj się na tym tak bardzo, jak to możliwe. Zrób dobry użytek z twierdzenia Laurenta o rozwinięciu funkcji w potęgach całkowitych.