Redukcija kvadratne oblike na kanonično obliko je primer. Redukcija kvadratne oblike na kanonično obliko

26.09.2019

Redukcija kvadratnih oblik

Oglejmo si najpreprostejšo in v praksi najpogosteje uporabljeno metodo zmanjšanja kvadratne oblike na kanonična oblika, poklical Lagrangeova metoda. Temelji na selekciji polni kvadrat v kvadratni obliki.

Izrek 10.1(Lagrangeov izrek) Vsaka kvadratna oblika (10.1):

z uporabo ne-posebne linearne transformacije (10.4) lahko reduciramo na kanonično obliko (10.6):

□ Izrek bomo dokazali na konstruktiven način z uporabo Lagrangeove metode identifikacije popolnih kvadratov. Naloga je najti nesingularno matriko, tako da linearna transformacija (10.4) rezultira v kvadratni obliki (10.6) kanonične oblike. To matriko bomo dobili postopoma kot zmnožek končnega števila matrik posebne vrste.

1. točka (pripravljalna).

1.1. Izberimo med spremenljivkami tisto, ki je hkrati vključena v kvadratno obliko na kvadrat in na prvo potenco (imenujmo jo vodilna spremenljivka). Preidimo na točko 2.

1.2. Če v kvadratni obliki ni vodilnih spremenljivk (za vse : ), potem izberemo par spremenljivk, katerih produkt je vključen v obrazec s koeficientom, ki ni nič, in nadaljujemo na 3. korak.

1.3. Če v kvadratni obliki ni produktov nasprotnih spremenljivk, potem je ta kvadratna oblika že predstavljena v kanonični obliki (10.6). Dokaz izreka je končan.

2. točka (izbira celotnega kvadrata).

2.1. Z uporabo vodilne spremenljivke izberemo celoten kvadrat. Brez izgube splošnosti predpostavimo, da je vodilna spremenljivka . Če združimo izraze, ki vsebujejo , dobimo

Izbira popolnega kvadrata s spremenljivko v , dobimo

Tako kot rezultat izolacije celotnega kvadrata s spremenljivko dobimo vsoto kvadrata linearne oblike

ki vključuje vodilno spremenljivko, in kvadratno obliko iz spremenljivk , v katerih vodilna spremenljivka ni več vključena. Spremenimo spremenljivke (uvedimo nove spremenljivke)

dobimo matrico

() nesingularna linearna transformacija, zaradi katere ima kvadratna oblika (10.1) naslednjo obliko

S kvadratno obliko Naredimo enako kot v 1. točki.

2.1. Če je vodilna spremenljivka spremenljivka , potem lahko to storite na dva načina: bodisi izberete celoten kvadrat za to spremenljivko ali izvedete preimenovanje (preštevilčenje) spremenljivke:

z nesingularno transformacijsko matriko:

Točka 3 (ustvarjanje vodilne spremenljivke). Izbrani par spremenljivk nadomestimo z vsoto in razliko dveh novih spremenljivk, preostale stare spremenljivke pa nadomestimo z ustreznimi novimi spremenljivkami. Če je bil na primer v 1. odstavku poudarjen izraz

potem ima ustrezna sprememba spremenljivk obliko

in v kvadratni obliki (10.1) bomo dobili vodilno spremenljivko.

Na primer, v primeru spreminjanja spremenljivk:

matrika te nesingularne linearne transformacije ima obliko

Kot rezultat zgornjega algoritma (zaporedna uporaba točk 1, 2, 3) bo kvadratna oblika (10.1) reducirana na kanonično obliko (10.6).

Upoštevajte, da smo kot rezultat transformacij, izvedenih na kvadratni obliki (izbira celotnega kvadrata, preimenovanje in ustvarjanje vodilne spremenljivke), uporabili elementarne nesingularne matrike treh vrst (so matrike prehoda od baze do baze). Zahtevano matriko nesingularne linearne transformacije (10.4), pod katero ima oblika (10.1) kanonično obliko (10.6), dobimo z množenjem končnega števila elementarnih nesingularnih matrik treh vrst. ■

Primer 10.2. Podajte kvadratno obliko

v kanonično obliko po Lagrangeovi metodi. Označite ustrezno nesingularno linearno transformacijo. Izvedite preverjanje.

rešitev. Izberimo vodilno spremenljivko (koeficient). Združevanje izrazov, ki vsebujejo , In izbiro celotnega kvadrata iz njega, dobimo

kjer je navedeno

Spremenimo spremenljivke (uvedimo nove spremenljivke)

Izražanje starih spremenljivk v smislu novih:

dobimo matrico

220400 Algebra in geometrija Tolstikov A.V.

Predavanja 16. Bilinearne in kvadratne oblike.

Načrtujte

1. Bilinearna oblika in njene lastnosti.

2. Kvadratna oblika. Matrika kvadratne oblike. Transformacija koordinat.

3. Redukcija kvadratne oblike na kanonično obliko. Lagrangeova metoda.

4. Vztrajnostni zakon kvadratnih oblik.

5. Redukcija kvadratne oblike v kanonično obliko z uporabo metode lastnih vrednosti.

6. Silverstov kriterij za pozitivno določenost kvadratne oblike.

1. Tečaj analitične geometrije in linearne algebre. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementi linearne algebre in analitične geometrije. 1997.

3. Voevodin V.V. Linearna algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Zbirka nalog za fakultete. Linearna algebra in osnove matematične analize. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Šiškin A.A. Linearna algebra v vprašanjih in nalogah. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilinearna oblika in njene lastnosti. Naj V - n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem p.

Definicija 1.Bilinearna oblika, opredeljeno dne V, tako preslikavo imenujemo g: V 2 ® p, ki vsakemu naročenemu paru ( x , l ) vektorji x , l od vnese V ujemaj številko iz polja p, označeno g(x , l ), in linearni v vsaki od spremenljivk x , l , tj. ki ima lastnosti:

1) ("x , l , z Î V)g(x + l , z ) = g(x , z ) + g(l , z );

2) ("x , l Î V) ("a O p)g(a x , l ) = a g(x , l );

3) ("x , l , z Î V)g(x , l + z ) = g(x , l ) + g(x , z );

4) ("x , l Î V) ("a O p)g(x , a l ) = a g(x , l ).

Primer 1. katera koli pikasti izdelek, definiran na vektorskem prostoru V je bilinearna oblika.

2 . funkcija h(x , l ) = 2x 1 l 1 - x 2 l 2 +x 2 l 1 kje x = (x 1 ,x 2), l = (l 1 ,l 2)O R 2, bilinearna oblika naprej R 2 .

Definicija 2. Naj v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrika bilinearne oblikeg(x , l ) glede na osnovov imenovana matrika B=(b ij)n ´ n, katerega elementi so izračunani po formuli b ij = g(v i, v j):

Primer 3. Bilinearna matrika h(x , l ) (glej primer 2) glede na osnovo e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) je enako .

1. izrek. NajX, Y - koordinatni stolpci vektorjev ozx , l v osnoviv, B - matrika bilinearne oblikeg(x , l ) glede na osnovov. Nato lahko bilinearno obliko zapišemo kot

g(x , l )=X t BY. (1)

Dokaz. Iz lastnosti bilinearne oblike dobimo

Primer 3. Bilinearna oblika h(x , l ) (glej primer 2) lahko zapišemo v obliki h(x , l )=.

Izrek 2. Naj v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dve vektorski vesoljski baziV, T - matrika prehoda iz osnovev na osnovou. Naj B= (b ij)n ´ n in Z=(z ij)n ´ n - bilinearne matrikeg(x , l ) oziroma glede na bazev inu. Potem

Z=T t BT.(2)

Dokaz. Z definicijo matrike prehoda in matrike bilinearne oblike najdemo:

Definicija 2. Bilinearna oblika g(x , l ) se imenuje simetrično, Če g(x , l ) = g(l , x ) za katero koli x , l Î V.

Izrek 3. Bilinearna oblikag(x , l )- simetrična, če in samo če je matrika bilinearne oblike simetrična glede na katero koli bazo.

Dokaz. Naj v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - osnova vektorskega prostora V, B= (b ij)n ´ n- matrike bilinearne oblike g(x , l ) glede na osnovo v. Naj bilinearna oblika g(x , l ) - simetrično. Potem je po definiciji 2 za katerikoli jaz, j = 1, 2,…, n imamo b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Nato matrica B- simetrično.

Nasprotno pa naj matriko B- simetrično. Potem Bt= B in za vse vektorje x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, l = l 1 v 1 + l 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, po formuli (1) dobimo (upoštevamo, da je število matrika reda 1 in se med transpozicijo ne spreminja)

g(x , l ) =g(x , l )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(l , x ).

2. Kvadratna oblika. Matrika kvadratne oblike. Transformacija koordinat.

Definicija 1.Kvadratna oblika opredeljeno na V, imenovano kartiranje f:V® p, ki za kateri koli vektor x od V je določena z enakostjo f(x ) = g(x , x ), kje g(x , l ) je simetrična bilinearna oblika, definirana na V .

Lastnost 1.Glede na dano kvadratno oblikof(x )bilinearno obliko najdemo enolično s formulo

g(x , l ) = 1/2(f(x + l ) - f(x )-f(l )). (1)

Dokaz. Za vse vektorje x , l Î V dobimo iz lastnosti bilinearne oblike

f(x + l ) = g(x + l , x + l ) = g(x , x + l ) + g(l , x + l ) = g(x , x ) + g(x , l ) + g(l , x ) + g(l , l ) = f(x ) + 2g(x , l ) + f(l ).

Iz tega sledi formula (1).

Definicija 2.Matrika kvadratne oblikef(x ) glede na osnovov = (v 1 , v 2 ,…, v n) je matrika ustrezne simetrične bilinearne oblike g(x , l ) glede na osnovo v.

1. izrek. NajX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- koordinatni stolpec vektorjax v osnoviv, B - matrika kvadratne oblikef(x ) glede na osnovov. Nato kvadratna oblikaf(x )

Opredelitev 10.4.Kanonični pogled kvadratno obliko (10.1) imenujemo naslednjo obliko: . (10,4)

Pokažimo, da v bazi lastnih vektorjev kvadratna oblika (10.1) prevzame kanonično obliko. Naj

- normalizirani lastni vektorji, ki ustrezajo lastnim vrednostim λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice (10.3) in ortonormirana osnova. Potem bo matrika prehoda iz stare osnove v novo matrika

V novi osnovi matriko A bo dobila diagonalno obliko (9.7) (zaradi lastnosti lastnih vektorjev). Tako preoblikovanje koordinat z uporabo formul:

v novi bazi dobimo kanonično obliko kvadratne oblike s koeficienti, enakimi lastnim vrednostim λ 1, λ 2, λ 3:

Opomba 1. C geometrijska točka Z vidika pogleda je obravnavana koordinatna transformacija rotacija koordinatnega sistema, ki združuje stare koordinatne osi z novimi.

Opomba 2. Če katera koli lastna vrednost matrike (10.3) sovpada, lahko ustreznim ortonormiranim lastnim vektorjem dodamo enotski vektor, ki je pravokoten na vsako od njih, in tako zgradimo osnovo, v kateri kvadratna oblika prevzame kanonično obliko.

Pripravimo kvadratno obliko v kanonično obliko

x² + 5 l² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Njena matrika ima obliko V primeru, obravnavanem v predavanju 9, so lastne vrednosti in ortonormirani lastni vektorji te matrike najdeni:

Ustvarimo matriko prehoda na osnovo iz teh vektorjev:

(vrstni red vektorjev se spremeni tako, da tvorijo desnosučni trojček). Preoblikujemo koordinate z uporabo formul:

Torej se kvadratna oblika reducira na kanonično obliko s koeficienti, ki so enaki lastnim vrednostim matrike kvadratne oblike.

Predavanje 11.

Krivulje drugega reda. Elipsa, hiperbola in parabola, njihove lastnosti in kanonične enačbe. Redukcija enačbe drugega reda na kanonično obliko.

Opredelitev 11.1.Krivulje drugega reda na ravnini se imenujejo presečišča krožnega stožca z ravninami, ki ne potekajo skozi njegovo oglišče.

Če taka ravnina seka vse generatrise ene votline stožca, potem se v odseku izkaže elipsa, na presečišču generatris obeh votlin – hiperbola, in če je sekalna ravnina vzporedna s katero koli generatriso, potem je odsek stožca parabola.

Komentiraj. Vse krivulje drugega reda so določene z enačbami druge stopnje v dveh spremenljivkah.

Elipsa.

Opredelitev 11.2.Elipsa je množica točk v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih točk F 1 in F triki, je konstantna vrednost.

Komentiraj. Ko točke sovpadajo F 1 in F 2 se elipsa spremeni v krog.

Izpeljimo enačbo elipse z izbiro kartezičnega sistema

y M(x,y) koordinira tako, da os Oh sovpadala z ravno črto F 1 F 2, začetek

r 1 r 2 koordinate – s sredino segmenta F 1 F 2. Naj dolžina tega

segment je enak 2 z, nato v izbranem koordinatnem sistemu

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Naj bistvo M(x, y) leži na elipsi in

vsota razdalj od njega do F 1 in F 2 je enako 2 A.

Potem r 1 + r 2 = 2a, ampak ,

zato uvajamo notacijo b² = a²- c² in po izvedbi preprostih algebrskih transformacij dobimo kanonična enačba elipse: (11.1)

Opredelitev 11.3.Ekscentričnost elipse imenujemo magnituda e=s/a (11.2)

Opredelitev 11.4.Ravnateljica D i elipsa, ki ustreza gorišču F i F i glede na os Oh pravokotno na os Oh na daljavo a/e od izvora.

Komentiraj. Pri drugačni izbiri koordinatnega sistema elipse morda ne bomo podali kanonična enačba(11.1), ampak enačba druge stopnje drugačnega tipa.

Lastnosti elipse:

1) Elipsa ima dve medsebojno pravokotni simetrijski osi (glavni osi elipse) in simetrično središče (središče elipse). Če je elipsa podana s kanonično enačbo, potem so njene glavne osi koordinatne osi, središče pa izhodišče. Ker so dolžine segmentov, ki jih tvori presečišče elipse z glavnimi osmi, enake 2 A in 2 b (2a>2b), potem se glavna os, ki gre skozi žarišča, imenuje velika os elipse, druga glavna os pa mala os.

2) Celotna elipsa je v pravokotniku

3) Ekscentričnost elipse e< 1.

res,

4) Direktrise elipse se nahajajo zunaj elipse (ker je razdalja od središča elipse do direktrise a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, celotna elipsa pa leži v pravokotniku)

5) Razmerje razdalje r i od točke elipse do fokusa F i na daljavo d i od te točke do direktrise, ki ustreza gorišču, je enaka ekscentričnosti elipse.

Dokaz.

Razdalje od točke M(x, y) do žarišč elipse lahko predstavimo na naslednji način:

Ustvarimo direktrisne enačbe:

(D 1), (D 2). Potem Od tukaj r i / d i = e, kar je bilo treba dokazati.

Hiperbola.

Opredelitev 11.5.Hiperbola je množica točk v ravnini, za katere je modul razlike razdalj do dveh fiksnih točk F 1 in F 2 tega letala, imenovanega triki, je konstantna vrednost.

Izpeljimo kanonično enačbo hiperbole po analogiji z izpeljavo enačbe elipse z istim zapisom.

|r 1 - r 2 | = 2a, od koder Če označimo b² = c² - a², od tu lahko dobite

- enačba kanonične hiperbole. (11.3)

Opredelitev 11.6.Ekscentričnost hiperbolo imenujemo količina e = c/a.

Opredelitev 11.7.Ravnateljica D i hiperbola, ki ustreza gorišču F i, se imenuje ravna črta, ki se nahaja v isti polravnini z F i glede na os Oh pravokotno na os Oh na daljavo a/e od izvora.

Lastnosti hiperbole:

1) Hiperbola ima dve simetrijski osi (glavni osi hiperbole) in simetrično središče (središče hiperbole). V tem primeru se ena od teh osi seka s hiperbolo v dveh točkah, ki ju imenujemo oglišči hiperbole. Imenuje se realna os hiperbole (os Oh za kanonično izbiro koordinatnega sistema). Druga os nima skupnih točk s hiperbolo in se imenuje njena namišljena os (v kanoničnih koordinatah - os Oh). Na obeh straneh sta desna in leva veja hiperbole. Žarišča hiperbole se nahajajo na njeni realni osi.

2) Veje hiperbole imajo dve asimptoti, določeni z enačbami

3) Poleg hiperbole (11.3) lahko upoštevamo tako imenovano konjugirano hiperbolo, ki jo definira kanonična enačba

pri katerem se realna in imaginarna os zamenjata, pri čemer se ohranijo iste asimptote.

4) Ekscentričnost hiperbole e> 1.

5) Razmerje razdalje r i od točke hiperbole do fokusa F i na daljavo d i od te točke do direktrise, ki ustreza gorišču, je enaka ekscentričnosti hiperbole.

Dokaz lahko izvedemo na enak način kot za elipso.

Parabola.

Opredelitev 11.8.Parabola je množica točk na ravnini, za katere je razdalja do neke fiksne točke F ta ravnina je enaka razdalji do neke fiksne premice. Pika F klical fokus parabole, premica pa je njena ravnateljica.

Za izpeljavo enačbe parabole izberemo kartezijsko

koordinatnem sistemu tako, da je njegovo izhodišče sredina

D M(x,y) pravokotna FD, izpuščen iz fokusa na direktivo

r su, a koordinatne osi so bile nameščene vzporedno in

pravokotno na režiserja. Naj dolžina segmenta FD

D O F x je enako r. Potem iz enakosti r = d iz tega sledi

Ker

Algebraične transformacije to enačbo lahko zmanjšamo na obliko: l² = 2 px, (11.4)

klical enačba kanonične parabole. Magnituda r klical parameter parabole.

Lastnosti parabole:

1) Parabola ima simetrijsko os (os parabole). Točka, kjer parabola seka os, se imenuje vrh parabole. Če je parabola podana s kanonično enačbo, potem je njena os os Oh, in vrh je izhodišče koordinat.

2) Celotna parabola se nahaja v desni polravnini ravnine ooh

Komentiraj. Z uporabo lastnosti direktris elipse in hiperbole ter definicije parabole lahko dokažemo naslednjo trditev:

Množica točk na ravnini, za katere velja relacija e razdalja do neke fiksne točke do razdalje do neke premice je konstantna vrednost, je elipsa (z e<1), гиперболу (при e>1) ali parabolo (s e=1).

Povezane informacije.

Glede na kvadratno obliko (2) A(x, x) = , kjer x = (x 1 , x 2 , …, x n). Razmislite o kvadratni obliki v prostoru R 3, to je x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(uporabili smo pogoj oblikovne simetrije, namreč A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Zapišimo matriko kvadratne oblike A v osnovi ( e}, A(e) =
. Ko se osnova spremeni, se matrika kvadratne oblike spremeni po formuli A(f) = C t A(e)C, Kje C– prehodna matrika iz baze ( e) na osnovo ( f), A C t– transponirana matrika C.

Opredelitev11.12. Oblika kvadratne oblike z diagonalno matriko se imenuje kanoničen.

Torej naj A(f) =
, Potem A"(x, x) =
+
+
, Kje x" 1 , x" 2 , x" 3 – vektorske koordinate x v novi osnovi ( f}.

Opredelitev11.13. Spusti noter n V taka osnova je izbrana f = {f 1 , f 2 , …, f n), v kateri ima kvadratna oblika obliko

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

kje l 1 , l 2 , …, l n– vektorske koordinate x v osnovi ( f). Izraz (3) se imenuje kanoničnega pogleda kvadratna oblika. Koeficienti  1, λ 2, …, λ n se imenujejo kanoničen; osnova, v kateri ima kvadratna oblika kanonično obliko, se imenuje kanonična osnova.

Komentiraj. Če je kvadratna oblika A(x, x) reducira v kanonično obliko, potem na splošno niso vsi koeficienti  i se razlikujejo od nič. Rang kvadratne oblike je enak rangu njene matrike v kateri koli bazi.

Naj bo rang kvadratne oblike A(x, x) je enako r, Kje r ≤ n. Matrika kvadratne oblike v kanonični obliki ima diagonalno obliko. A(f) =
, saj je njen rang enak r, nato med koeficienti  i mora obstajati r, ni enako nič. Iz tega sledi, da je število kanoničnih koeficientov, ki niso nič, enako rangu kvadratne oblike.

Komentiraj. Linearna transformacija koordinat je prehod iz spremenljivk x 1 , x 2 , …, x n do spremenljivk l 1 , l 2 , …, l n, v katerem so stare spremenljivke izražene preko novih spremenljivk z nekaterimi numeričnimi koeficienti.

x 1 = α 11 l 1 + α 12 l 2 + … + α 1 n l n ,

x 2 = α 2 1 l 1 + α 2 2 l 2 + … + α 2 n l n ,

………………………………

x 1 = α n 1 l 1 + α n 2 l 2 + … + α nn l n .

Ker vsaka bazna transformacija ustreza nedegenerirani linearni koordinatni transformaciji, lahko vprašanje redukcije kvadratne oblike na kanonično obliko rešimo z izbiro ustrezne nedegenerirane koordinatne transformacije.

Izrek 11.2 (glavni izrek o kvadratnih oblikah). Katera koli kvadratna oblika A(x, x), določeno v n-dimenzionalni vektorski prostor V, s pomočjo nedegenerirane linearne transformacije koordinat reduciramo na kanonično obliko.

Dokaz. (Lagrangeova metoda) Ideja te metode je zaporedno dopolnjevanje kvadratnega trinoma za vsako spremenljivko do popolnega kvadrata. To bomo domnevali A(x, x) ≠ 0 in v osnovi e = {e 1 , e 2 , …, e n) ima obliko (2):

A(x, x) =
.

če A(x, x) = 0, potem ( a ij) = 0, kar pomeni, da je oblika že kanonična. Formula A(x, x) lahko transformiramo tako, da koeficient a 11 ≠ 0. Če a 11 = 0, potem je koeficient kvadrata druge spremenljivke različen od nič, potem je s preštevilčenjem spremenljivk mogoče zagotoviti, da a 11 ≠ 0. Preštevilčenje spremenljivk je nedegenerirana linearna transformacija. Če so vsi koeficienti kvadriranih spremenljivk enaki nič, so potrebne transformacije pridobljene na naslednji način. Naj npr. a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, torej vsaj en koeficient a ij≠ 0). Razmislite o preobrazbi

x 1 = l 1 – l 2 ,

x 2 = l 1 + l 2 ,

x i = l i, pri i = 3, 4, …, n.

Ta transformacija ni degenerirana, saj je determinanta njene matrike različna od nič
= = 2 ≠ 0.

Nato 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (l 1 – l 2)(l 1 + l 2) = 2
– 2
, torej v obliki A(x, x) naenkrat se bodo prikazali kvadrati dveh spremenljivk.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Pretvorimo dodeljeni znesek v obliko:

A(x, x) = a 11
, (5)

koeficientov a ij spremeni v . Razmislite o nedegenerirani transformaciji

l 1 = x 1 + + … + ,

l 2 = x 2 ,

l n = x n .

Potem dobimo

A(x, x) =
. (6).

Če je kvadratna oblika
= 0, potem vprašanje ulitja A(x, x) v kanonično obliko je razrešeno.

Če ta oblika ni enaka nič, potem ponovimo razmišljanje ob upoštevanju koordinatnih transformacij l 2 , …, l n in brez spreminjanja koordinate l 1. Očitno je, da bodo te transformacije nedegenerirane. V končnem številu korakov kvadratna oblika A(x, x) bodo reducirane v kanonično obliko (3).

Komentiraj 1. Zahtevana transformacija originalnih koordinat x 1 , x 2 , …, x n lahko dobimo z množenjem nedegeneriranih transformacij, ki jih najdemo v procesu razmišljanja: [ x] = A[l], [l] = B[z], [z] = C[t], nato [ x] = AB[z] = ABC[t], to je [ x] = M[t], Kje M = ABC.

Komentiraj 2. Naj A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, kjer je  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, in  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Razmislite o nedegenerirani transformaciji

l 1 = z 1 , l 2 = z 2 , …, l q = z q , l q +1 =
z q +1 , …, l r = z r , l r +1 = z r +1 , …, l n = z n. Kot rezultat A(x, x) bo imela obliko: A(x, x) = + + … + – – … – ki se imenuje normalna oblika kvadratne oblike.

Primer11.1. Zmanjšajte kvadratno obliko na kanonično obliko A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

rešitev. Ker a 11 = 0, uporabite transformacijo

x 1 = l 1 – l 2 ,

x 2 = l 1 + l 2 ,

x 3 = l 3 .

Ta transformacija ima matriko A =
, to je [ x] = A[l] dobimo A(x, x) = 2(l 1 – l 2)(l 1 + l 2) – 6(l 1 + l 2)l 3 + 2l 3 (l 1 – l 2) =

2– 2– 6l 1 l 3 – 6l 2 l 3 + 2l 3 l 1 – 2l 3 l 2 = 2– 2– 4l 1 l 3 – 8l 3 l 2 .

Ker je koeficient pri ni enako nič, lahko izberemo kvadrat ene neznanke, naj bo l 1. Izberimo vse izraze, ki vsebujejo l 1 .

A(x, x) = 2(– 2l 1 l 3) – 2– 8l 3 l 2 = 2(– 2l 1 l 3 + ) – 2– 2– 8l 3 l 2 = 2(l 1 – l 3) 2 – 2– 2– 8l 3 l 2 .

Izvedimo transformacijo, katere matrika je enaka B.

z 1 = l 1 – l 3 ,  l 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = l 2 ,  l 2 = z 2 ,

z 3 = l 3 ;  l 3 = z 3 .

B =
, [l] = B[z].

Dobimo A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Izberimo izraze, ki vsebujejo z 2. Imamo A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.