Začnimo z lastnosti logaritma ena. Njegova formulacija je naslednja: logaritem enote je enak nič, tj. log a 1=0 za vsak a>0, a≠1. Dokaz ni težaven: ker je a 0 =1 za vsak a, ki izpolnjuje zgornje pogoje a>0 in a≠1, potem enakost log a 1=0, ki jo je treba dokazati, neposredno sledi iz definicije logaritma.
Navedimo primere uporabe obravnavane lastnosti: log 3 1=0, log1=0 in .
Pojdimo na naslednjo lastnost: logaritem števila, ki je enako osnovi, je enak ena, to je log a a=1 za a>0, a≠1. Dejansko, ker je a 1 =a za vsak a, potem je po definiciji logaritma log a a=1.
Primeri uporabe te lastnosti logaritmov so enakosti log 5 5=1, log 5,6 5,6 in lne=1.
Na primer, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 in 
.
Logaritem produkta dveh pozitivnih števil x in y je enak produktu logaritmov teh števil: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo lastnost logaritma produkta. Zaradi lastnosti stopnje a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, in ker je po glavni logaritemski istovetnosti log a x =x in log a y =y, potem je log a x ·a log a y =x·y. Tako je log a x+log a y =x·y, iz česar po definiciji logaritma sledi enakost, ki jo dokazujemo.
Pokažimo primere uporabe lastnosti logaritma produkta: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 in 
.
Lastnost logaritma zmnožka lahko posplošimo na zmnožek končnega števila n pozitivnih števil x 1 , x 2 , …, x n kot log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . To enakost je mogoče brez težav dokazati.
Naravni logaritem produkta lahko na primer nadomestimo z vsoto treh naravnih logaritmov števil 4, e in.
Logaritem količnika dveh pozitivnih števil x in y je enaka razliki med logaritma teh števil. Lastnost logaritma količnika ustreza formuli oblike , kjer so a>0, a≠1, x in y nekaj pozitivnih števil. Veljavnost te formule je dokazana kot tudi formula za logaritem produkta: saj 
, potem po definiciji logaritma.
Tukaj je primer uporabe te lastnosti logaritma: 
.
Pojdimo naprej lastnost logaritma potence. Logaritem stopnje je enak zmnožku eksponenta in logaritma modula osnove te stopnje. Zapišimo to lastnost logaritma potence kot formulo: log a b p =p·log a |b|, kjer so a>0, a≠1, b in p takšna števila, da je stopnja b p smiselna in b p >0.
Najprej dokažemo to lastnost za pozitivni b. Osnovna logaritemska istovetnost nam omogoča, da število b predstavimo kot log a b , potem je b p =(a log a b) p , dobljeni izraz pa je zaradi lastnosti potence enak a p·log a b . Tako pridemo do enakosti b p =a p·log a b, iz katere po definiciji logaritma sklepamo, da je log a b p =p·log a b.
To lastnost moramo še dokazati za negativni b. Pri tem upoštevamo, da je izraz log a b p za negativni b smiseln samo za sode eksponente p (ker mora biti vrednost stopnje b p večja od nič, sicer logaritem ne bo imel smisla), in v tem primeru b p =|b| str. Potem b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, od koder je log a b p =p·log a |b| .
na primer 
in ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Izhaja iz prejšnje lastnosti lastnost logaritma iz korena: logaritem n-tega korena je enak zmnožku ulomka 1/n z logaritmom radikalnega izraza, to je, 
, kjer je a>0, a≠1, n naravno število, večje od ena, b>0.
Dokaz temelji na enakosti (glej), ki velja za vsak pozitivni b, in lastnosti logaritma potence: 
.
Tukaj je primer uporabe te lastnosti: 
.
Zdaj pa dokažimo formula za premik na novo logaritemsko osnovo prijazen 
. Za to je dovolj dokazati veljavnost enakosti log c b=log a b·log c a. Osnovna logaritemska identiteta nam omogoča, da število b predstavimo kot log a b , potem pa log c b=log c a log a b . Ostaja še uporaba lastnosti logaritma stopnje: log c a log a b =log a b log c a. To dokazuje enakost log c b=log a b·log c a, kar pomeni, da je dokazana tudi formula za premik na novo logaritemsko osnovo.
Pokažimo nekaj primerov uporabe te lastnosti logaritmov: in 
.
Formula za prehod na novo bazo vam omogoča, da nadaljujete z delom z logaritmi, ki imajo "priročno" bazo. Uporabite ga lahko na primer za prehod na naravne ali decimalne logaritme, tako da lahko izračunate vrednost logaritma iz tabele logaritmov. Formula za premik na novo bazo logaritma v nekaterih primerih omogoča tudi iskanje vrednosti danega logaritma, ko so znane vrednosti nekaterih logaritmov z drugimi bazami.
Pogosto se uporablja poseben primer formule za prehod na novo logaritemsko osnovo za c=b obrazca 
. To kaže, da sta log a b in log b a – . na primer 
.
Pogosto se uporablja tudi formula 
, kar je priročno za iskanje vrednosti logaritmov. Za potrditev naših besed bomo pokazali, kako se lahko uporabi za izračun vrednosti logaritma oblike . Imamo 
. Da dokažem formulo 
dovolj je uporabiti formulo za prehod na novo osnovo logaritma a: 
.
Ostaja še dokazati lastnosti primerjave logaritmov.
Dokažimo, da za poljubna pozitivna števila b 1 in b 2 velja b 1 log a b 2 in za a>1 – neenakost log a b 1 Nazadnje je treba dokazati še zadnjo od naštetih lastnosti logaritmov. Omejimo se na dokaz njegovega prvega dela, to je dokazali bomo, da če je a 1 >1, a 2 >1 in a 1 1 je res log a 1 b>log a 2 b . Preostale trditve te lastnosti logaritmov dokazujemo po podobnem principu. Uporabimo obratno metodo. Recimo, da je za a 1 >1, a 2 >1 in a 1 1 je res log a 1 b≤log a 2 b . Na podlagi lastnosti logaritmov lahko te neenakosti prepišemo kot 
in 
in iz njih sledi, da je log b a 1 ≤log b a 2 oziroma log b a 1 ≥log b a 2. Potem morata glede na lastnosti potence z enakimi bazami veljati enakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 in b log b a 1 ≥b log b a 2, torej a 1 ≥a 2 . Tako smo prišli do protislovja s pogojem a 1
Reference.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).
Izhaja iz njegove definicije. In tako logaritem števila b temelji na A je definiran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobiš številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).
Iz te formulacije sledi, da je izračun x=log a b, je enako reševanju enačbe a x =b. na primer dnevnik 2 8 = 3 ker 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b temelji na a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritmov tesno povezana s temo potenc števila.
Z logaritmi, kot z drugimi številkami, lahko storite operacije seštevanja, odštevanja in preobraziti na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso povsem običajna števila, veljajo tu svoja posebna pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.
Seštevanje in odštevanje logaritmov.
Vzemimo dva logaritma z enakimi osnovami: log a x in prijavite se. Nato je mogoče izvajati operacije seštevanja in odštevanja:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Od izrek o logaritemskem kvocientu lahko dobimo še eno lastnost logaritma. Splošno znano je, da log a 1 = 0, torej
dnevnik a 1 /b= dnevnik a 1 - dnevnik a b= -log a b.
To pomeni, da obstaja enakost:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritma dveh vzajemnih števil iz istega razloga se bodo med seboj razlikovali samo po predznaku. Torej:
Dnevnik 3 9= - dnevnik 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
(iz grščine λόγος - "beseda", "relacija" in ἀριθμός - "število") številke b temelji na a(log α b) imenujemo takšno število c, In b= a c, to je zapisi log α b=c in b=ac so enakovredne. Logaritem je smiseln, če je a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Z drugimi besedami logaritemštevilke b temelji na A formuliran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobiš številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).
Iz te formulacije sledi, da je izračun x= log α b, je enakovredno reševanju enačbe a x =b.
Na primer:
log 2 8 = 3, ker je 8 = 2 3 .
Naj poudarimo, da navedena formulacija logaritma omogoča takojšnjo določitev vrednost logaritma, ko število pod znakom logaritma deluje kot neka potenca osnove. Dejansko formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b temelji na a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritmov tesno povezana s temo potence števila.
Izračunavanje logaritma se imenuje logaritem. Logaritem je matematična operacija logaritmiranja. Pri logaritmiranju se produkti faktorjev pretvorijo v vsote členov.
Potenciranje je matematična operacija inverzna logaritmu. Med potenciranjem se dana baza dvigne do stopnje izražanja, nad katero se izvaja potenciranje. V tem primeru se vsote členov pretvorijo v produkt faktorjev.
Precej pogosto se uporabljajo pravi logaritmi z osnovami 2 (binarni), Eulerjevim številom e ≈ 2,718 (naravni logaritem) in 10 (decimalni).
Na tej stopnji je priporočljivo razmisliti vzorci logaritmov dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
In vnosi lg(-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nimajo smisla, saj je v prvem od njih negativno število postavljeno pod znak logaritma, v drugem pa je negativno število v osnovi, v tretji pa je pod logaritmom negativno število in na osnovi enota.
Pogoji za določitev logaritma.
Ločeno je vredno razmisliti o pogojih a > 0, a ≠ 1, b > 0, pod katerimi dobimo definicija logaritma. Poglejmo, zakaj so bile sprejete te omejitve. Pri tem nam bo pomagala enakost oblike x = log α b, ki se imenuje osnovna logaritemska identiteta, ki neposredno izhaja iz zgoraj navedene definicije logaritma.
Vzemimo pogoj a≠1. Ker je ena na poljubno potenco enako ena, potem velja enakost x=log α b lahko obstaja samo takrat, ko b=1, vendar bo log 1 1 poljubno realno število. Da bi odpravili to dvoumnost, vzamemo a≠1.
Dokažimo nujnost pogoja a>0. pri a=0 glede na formulacijo logaritma lahko obstaja le, če b=0. In temu primerno potem dnevnik 0 0 je lahko katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič na katero koli potenco, ki ni nič, nič. To dvoumnost lahko odpravi pogoj a≠0. In kdaj a<0 morali bi zavrniti analizo racionalnih in iracionalnih vrednosti logaritma, saj je stopnja z racionalnim in iracionalnim eksponentom definirana samo za nenegativne baze. Zaradi tega je pogoj določen a>0.
In zadnji pogoj b>0 izhaja iz neenakosti a>0, ker je x=log α b, in vrednost stopnje s pozitivno osnovo a vedno pozitivno.
Značilnosti logaritmov.
Logaritmi zaznamuje izrazit funkcije, kar je privedlo do njihove široke uporabe za znatno olajšanje mukotrpnih izračunov. Ko se premaknemo »v svet logaritmov«, se množenje spremeni v veliko lažje seštevanje, deljenje v odštevanje, potenciranje in pridobivanje korena pa v množenje oziroma deljenje z eksponentom.
Formulacijo logaritmov in tabelo njihovih vrednosti (za trigonometrične funkcije) je leta 1614 prvič objavil škotski matematik John Napier. Logaritemske tabele, ki so jih povečali in podrobno opisali drugi znanstveniki, so se pogosto uporabljale v znanstvenih in inženirskih izračunih in so ostale pomembne vse do uporabe elektronskih kalkulatorjev in računalnikov.
Poudarek tega članka je logaritem. Tu bomo podali definicijo logaritma, prikazali sprejeti zapis, podali primere logaritmov ter govorili o naravnih in decimalnih logaritmih. Po tem bomo obravnavali osnovno logaritemsko identiteto.
Navigacija po straneh.
Definicija logaritma
Koncept logaritma se pojavi pri reševanju problema v določenem obratnem smislu, ko morate najti eksponent iz znane vrednosti eksponenta in znane osnove.
Toda dovolj predgovorov, čas je, da odgovorimo na vprašanje "kaj je logaritem"? Naj podamo ustrezno definicijo.
Opredelitev.
Logaritem b na osnovo a, kjer je a>0, a≠1 in b>0 eksponent, na katerega morate povečati število a, da dobite b kot rezultat.
Na tej stopnji ugotavljamo, da bi morala izgovorjena beseda "logaritem" takoj sprožiti dve dodatni vprašanji: "kakšno število" in "na kakšni osnovi." Z drugimi besedami, preprosto ni logaritma, ampak samo logaritem števila na neko osnovo.
Vstopimo takoj logaritemski zapis: logaritem števila b na osnovo a običajno označimo kot log a b. Logaritem števila b na osnovo e in logaritem na osnovo 10 imata svoji posebni oznaki lnb oziroma logb, to pomeni, da ne pišeta log e b, ampak lnb, in ne log 10 b, ampak lgb.
Zdaj lahko damo: .
In zapisi 
nimajo smisla, saj je v prvem od njih pod znakom logaritma negativno število, v drugem je v osnovi negativno število, v tretjem pa je pod predznakom logaritem negativno število in enota v osnova.
Zdaj pa se pogovorimo o pravila za branje logaritmov. Zapis log a b se bere kot "logaritem b na osnovo a". Na primer, log 2 3 je logaritem tri na osnovo 2 in je logaritem dve točke dve tretjini na osnovni kvadratni koren iz pet. Logaritem z osnovo e se imenuje naravni logaritem, zapis lnb pa se glasi "naravni logaritem b". Na primer, ln7 je naravni logaritem števila sedem in ga bomo brali kot naravni logaritem števila pi. Logaritem z osnovo 10 ima tudi posebno ime - decimalni logaritem, lgb pa se bere kot "decimalni logaritem b". Na primer, lg1 je decimalni logaritem ena, lg2,75 pa decimalni logaritem dveh pika sedem pet stotink.
Ločeno se je treba posvetiti pogojem a>0, a≠1 in b>0, pod katerimi je podana definicija logaritma. Naj pojasnimo, od kod prihajajo te omejitve. Pri tem nam bo pomagala enakost oblike, imenovana , ki neposredno izhaja iz zgornje definicije logaritma.
Začnimo z a≠1. Ker je ena na katero koli potenco enako ena, je lahko enakost resnična le, če je b=1, vendar je lahko log 1 1 poljubno realno število. Da bi se izognili tej dvoumnosti, se predpostavlja a≠1.
Utemeljimo smotrnost pogoja a>0. Z a=0 bi po definiciji logaritma imeli enakost, ki je mogoča samo z b=0. Toda potem je lahko log 0 0 katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič na katero koli potenco, ki ni nič, nič. Pogoj a≠0 nam omogoča, da se izognemo tej dvoumnosti. In ko a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Nazadnje, pogoj b>0 sledi iz neenakosti a>0, saj je , in vrednost potence s pozitivno osnovo a je vedno pozitivna.
Za zaključek te točke povejmo, da vam navedena definicija logaritma omogoča, da takoj navedete vrednost logaritma, ko je število pod znakom logaritma določena moč osnove. Dejansko nam definicija logaritma omogoča, da trdimo, da če je b=a p, potem je logaritem števila b na osnovi a enak p. To pomeni, da je enakost log a a p =p resnična. Na primer, vemo, da je 2 3 =8, nato pa log 2 8=3. O tem bomo več govorili v članku.
Kaj je logaritem?
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja begajo mnoge diplomante. Tradicionalno se tema logaritmov šteje za zapleteno, nerazumljivo in strašljivo. Še posebej enačbe z logaritmi.
To absolutno ni res. Vsekakor! ne verjameš? V redu. Zdaj v samo 10-20 minutah:
1. Razumeli boste kaj je logaritem.
2. Naučite se rešiti cel razred eksponentnih enačb. Tudi če o njih še niste slišali.
3. Naučite se računati preproste logaritme.
Še več, za to boste morali poznati samo tabelo množenja in kako povečati število na potenco ...
Zdi se mi, da dvomite ... No, v redu, označite čas! Gremo!
Najprej reši to enačbo v svoji glavi:
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.