Το πρόβλημα Β9 δίνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης ή μιας παραγώγου από την οποία πρέπει να προσδιορίσετε μία από τις ακόλουθες ποσότητες:
- Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
- Μέγιστα ή ελάχιστα σημεία (ακραία σημεία),
- Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).
Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, κάνοντας τη λύση πολύ πιο εύκολη. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, ακόμη και οι πιο αδύναμοι μαθητές μπορούν να το κάνουν, αφού εδώ δεν απαιτούνται βαθιές θεωρητικές γνώσεις.
Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω.
Διαβάστε προσεκτικά τις συνθήκες του προβλήματος Β9 για να αποφύγετε να κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντάτε αρκετά μακροσκελή κείμενα, αλλά σημαντικές προϋποθέσεις, που επηρεάζουν την πορεία της απόφασης, είναι λίγα.
Υπολογισμός της παραγώγου τιμής. Μέθοδος δύο σημείων
Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x), που εφάπτεται σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0, και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:
- Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Σημειώστε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι ένα βασικό σημείο στη λύση και οποιοδήποτε λάθος εδώ θα οδηγήσει σε λανθασμένη απάντηση.
- Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
- Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.
Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει απαραίτητα τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία - διαφορετικά το πρόβλημα δεν θα διατυπωθεί σωστά.
Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .
Θεωρήστε τα σημεία A (0; 3) και B (3; 0), βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) και μια εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .
Θεωρήστε τα σημεία A (0; 2) και B (5; 2) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε έναν κανόνα: εάν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο της εφαπτομένης είναι μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να μετρήσετε τίποτα - απλώς κοιτάξτε το γράφημα.
Υπολογισμός μέγιστων και ελάχιστων πόντων
Μερικές φορές, αντί για μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, το πρόβλημα Β9 δίνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου και απαιτεί την εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου σημείου της συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:
- Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
- Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≤ f(x).
Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία από το παράγωγο γράφημα, απλώς ακολουθήστε αυτά τα βήματα:
- Σχεδιάστε ξανά το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα περιττά δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στην απόφαση. Επομένως, σημειώνουμε τα μηδενικά της παραγώγου στον άξονα συντεταγμένων - και αυτό είναι.
- Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Και αντίστροφα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
- Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν είναι το ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.
Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο πρόβλημα Β9.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.
Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες και ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−5; 5] και μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώνουμε επίσης τα σημάδια:
Προφανώς, στο σημείο x = −3 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.
Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Εχουμε:
Προφανώς, στο σημείο x = 5 το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.
Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα [−6; 4]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν στο τμήμα [−4; 3].
Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να ληφθεί υπόψη μόνο το τμήμα του γραφήματος που περιορίζεται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:
Σε αυτό το γράφημα υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Σε αυτό το σημείο το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.
Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα έχει συνταχθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, καθώς τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν συμμετέχουν άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, αυτό το τέχνασμα δεν θα λειτουργήσει με ακέραιους πόντους.
Εύρεση διαστημάτων αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης
Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα σημεία μέγιστου και ελαχίστου, προτείνεται η χρήση της γραφικής παράστασης της παραγώγου για την εύρεση περιοχών στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξηση και η μείωση:
- Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι αυξάνεται σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
- Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα ισχύει η ακόλουθη πρόταση: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Ας διαμορφώσουμε επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση:
- Για να αυξηθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
- Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.
Ας δεχτούμε αυτές τις δηλώσεις χωρίς στοιχεία. Έτσι, λαμβάνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:
- Αφαιρέστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε θα αφήσουμε μόνο αυτά.
- Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα θέτει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον σε ένα νέο γράφημα.
- Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τους περιορισμούς, μένει να υπολογίσουμε την ποσότητα που απαιτείται στο πρόβλημα.
Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα μείωσης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.
Ως συνήθως, ας σχεδιάσουμε ξανά το γράφημα και ας σημειώσουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Εχουμε:
Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x), που ορίζεται στο διάστημα [−10; 4]. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.
Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Ας αφήσουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, από τα οποία ήταν τέσσερα αυτή τη φορά: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Ας σημειώσουμε τα πρόσημα της παραγώγου και πάρουμε την παρακάτω εικόνα:
Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αυξανόμενης συνάρτησης, δηλ. τέτοια όπου f’(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Εφόσον πρέπει να βρούμε το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε ως απάντηση την τιμή l 2 = 5.
(Εικ.1)
Εικόνα 1. Παράγωγο γράφημα
Ιδιότητες παραγώγων γραφήματος
- Σε αυξανόμενα διαστήματα, η παράγωγος είναι θετική. Εάν η παράγωγος σε ένα ορισμένο σημείο από ένα συγκεκριμένο διάστημα έχει θετική τιμή, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα αυξάνεται.
- Σε φθίνοντα διαστήματα, η παράγωγος είναι αρνητική (με πρόσημο μείον). Εάν η παράγωγος σε ένα ορισμένο σημείο από ένα συγκεκριμένο διάστημα έχει αρνητική τιμή, τότε το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
- Η παράγωγος στο σημείο x είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο ίδιο σημείο.
- Στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης, η παράγωγος είναι ίση με μηδέν. Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι παράλληλη προς τον άξονα OX.
Παράδειγμα 1
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 2) της παραγώγου, προσδιορίστε σε ποιο σημείο του τμήματος [-3; 5] η λειτουργία είναι μέγιστη.
Εικόνα 2. Παράγωγο γράφημα
Λύση: Σε αυτό το τμήμα, η παράγωγος είναι αρνητική, που σημαίνει ότι η συνάρτηση μειώνεται από αριστερά προς τα δεξιά και η μεγαλύτερη τιμή βρίσκεται στην αριστερή πλευρά στο σημείο -3.
Παράδειγμα 2
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 3) της παραγώγου, προσδιορίστε τον αριθμό των μέγιστων σημείων στο τμήμα [-11; 3].
Εικόνα 3. Παράγωγο γράφημα
Λύση: Τα μέγιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από θετικό σε αρνητικό. Σε αυτό το διάστημα, η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον δύο φορές - στο σημείο -10 και στο σημείο -1. Αυτό σημαίνει ότι ο μέγιστος αριθμός πόντων είναι δύο.
Παράδειγμα 3
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 3) της παραγώγου, προσδιορίστε τον αριθμό των ελάχιστων σημείων στο τμήμα [-11; -1].
Λύση: Τα ελάχιστα σημεία αντιστοιχούν στα σημεία όπου το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από αρνητικό σε θετικό. Σε αυτό το τμήμα, ένα τέτοιο σημείο είναι μόνο -7. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των ελάχιστων πόντων σε ένα δεδομένο τμήμα είναι ένας.
Παράδειγμα 4
Χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 3) της παραγώγου, προσδιορίστε τον αριθμό των ακραίων σημείων.
Λύση: Τα ακραία σημεία είναι τόσο τα ελάχιστα όσο και τα μέγιστα σημεία. Ας βρούμε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.
Πρώτη παράγωγος Εάν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική (αρνητική) σε ένα ορισμένο διάστημα, τότε η συνάρτηση σε αυτό το διάστημα αυξάνεται μονοτονικά (μονότονα μειώνεται). Εάν η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική (αρνητική) σε ένα ορισμένο διάστημα, τότε η συνάρτηση αυξάνεται μονότονα (μονότονα μειώνεται) σε αυτό το διάστημα. Περαιτέρω
Ορισμός Μια καμπύλη ονομάζεται κυρτή σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μια καμπύλη ονομάζεται κυρτή σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο. Μια καμπύλη ονομάζεται κοίλη σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μια καμπύλη ονομάζεται κοίλη σε ένα σημείο αν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της σε ένα σημείο Επόμενο.
Πρόσημο κοιλότητας και κυρτότητας Εάν η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα είναι θετική, τότε η καμπύλη είναι κοίλη σε αυτό το διάστημα και εάν είναι αρνητική, είναι κυρτή σε αυτό το διάστημα. Αν η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα είναι θετική, τότε η καμπύλη είναι κοίλη σε αυτό το διάστημα και αν είναι αρνητική, είναι κυρτή σε αυτό το διάστημα. Ορισμός
Σχέδιο για τη μελέτη μιας συνάρτησης και την κατασκευή της γραφικής παράστασης 1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και προσδιορίστε τα σημεία ασυνέχειας, εάν υπάρχουν Εξετάστε εάν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Ελέγξτε την περιοδικότητά της 2. Βρείτε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. ελέγξτε την περιοδικότητά του 3. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με άξονες συντεταγμένων 3. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων 4. Να βρείτε κρίσιμα σημεία του 1ου είδους 4. Να βρείτε κρίσιμα σημεία του 1ου είδους 5. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα άκρα της συνάρτησης 5. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και άκρων της συνάρτησης 6. Προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας και βρείτε σημεία καμπής 6. Προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας και βρείτε σημεία καμπής 7. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της μελέτης, συνδέστε τα ληφθέντα σημεία ενός ομαλή καμπύλη 7. Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της μελέτης, συνδέστε τα ληφθέντα σημεία μιας ομαλής καμπύλης Έξοδος
Εμφάνιση της σύνδεσης μεταξύ του πρόσημου της παραγώγου και της φύσης της μονοτονίας της συνάρτησης.
Παρακαλούμε να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί με τα παρακάτω. Κοίτα, το πρόγραμμα του ΤΙ σου δίνεται! Συνάρτηση ή παράγωγός της
Αν δοθεί μια γραφική παράσταση της παραγώγου, τότε θα μας ενδιαφέρουν μόνο τα σημάδια της συνάρτησης και τα μηδενικά. Δεν μας ενδιαφέρουν κατ' αρχήν κανένας «λόφος» ή «κούφωμα»!
Εργασία 1.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Προσδιορίστε τον αριθμό των ακεραίων σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι αρνητική.
Λύση:
Στο σχήμα, οι περιοχές της φθίνουσας συνάρτησης επισημαίνονται με χρώμα:
Αυτές οι φθίνουσες περιοχές της συνάρτησης περιέχουν 4 ακέραιες τιμές.
Εργασία 2.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία.
Λύση:
Μόλις η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παράλληλη (ή συμπίπτει) με μια ευθεία γραμμή (ή, που είναι το ίδιο πράγμα), έχοντας κλίση , ίση με μηδέν, τότε η εφαπτομένη έχει γωνιακό συντελεστή .
Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα, αφού η κλίση είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης στον άξονα.
Επομένως, βρίσκουμε ακραία σημεία (μέγιστα και ελάχιστα σημεία) στο γράφημα - σε αυτά τα σημεία οι συναρτήσεις που εφάπτονται στο γράφημα θα είναι παράλληλες προς τον άξονα.
Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
Εργασία 3.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη ή συμπίπτει με την ευθεία.
Λύση:
Εφόσον η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι παράλληλη (ή συμπίπτει) με μια ευθεία που έχει κλίση, τότε και η εφαπτομένη έχει κλίση.
Αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι στα σημεία επαφής.
Επομένως, εξετάζουμε πόσα σημεία στο γράφημα έχουν τεταγμένη ίση με .
Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν τέσσερα τέτοια σημεία.
Εργασία 4.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης είναι 0.
Λύση:
Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν στα ακραία σημεία. Έχουμε 4 από αυτά:
Εργασία 5.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης και έντεκα σημεία στον άξονα x:. Σε πόσα από αυτά τα σημεία είναι αρνητική η παράγωγος της συνάρτησης;
Λύση:
Σε διαστήματα φθίνουσας συνάρτησης, η παράγωγός της παίρνει αρνητικές τιμές. Και η συνάρτηση μειώνεται σε σημεία. Υπάρχουν 4 τέτοια σημεία.
Εργασία 6.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε το άθροισμα των ακραίων σημείων της συνάρτησης.
Λύση:
Ακραία σημεία– αυτοί είναι οι μέγιστοι βαθμοί (-3, -1, 1) και οι ελάχιστοι βαθμοί (-2, 0, 3).
Άθροισμα ακραίων σημείων: -3-1+1-2+0+3=-2.
Εργασία 7.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης. Στην απάντησή σας, αναφέρετε το άθροισμα των ακέραιων σημείων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.
Λύση:
Το σχήμα επισημαίνει τα διαστήματα όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι μη αρνητική.
Δεν υπάρχουν ακέραια σημεία στο μικρό αυξανόμενο διάστημα, υπάρχουν τέσσερις ακέραιες τιμές: , και .
Το άθροισμά τους:
Εργασία 8.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης της συνάρτησης. Στην απάντησή σας, αναφέρετε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.
Λύση:
Στο σχήμα, όλα τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική επισημαίνονται με χρώμα, πράγμα που σημαίνει ότι η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται σε αυτά τα διαστήματα.
Το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά είναι 6.
Εργασία 9.
Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου μιας συνάρτησης που ορίζεται στο διάστημα. Σε ποιο σημείο του τμήματος παίρνει τη μεγαλύτερη αξία;
Λύση:
Ας δούμε πώς συμπεριφέρεται το γράφημα στο τμήμα, το οποίο είναι αυτό που μας ενδιαφέρει μόνο το πρόσημο της παραγώγου .
Το πρόσημο της παραγώγου on είναι μείον, αφού το γράφημα σε αυτό το τμήμα είναι κάτω από τον άξονα.