>

Πώς να βρείτε τον κόμβο των τριών αριθμών σε απευθείας σύνδεση αριθμομηχανή. Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου: μέθοδοι, παραδείγματα εύρεσης LCM

Το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτης

Ορισμός 2

Αν φυσικός αριθμόςΤο a διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό $b$, τότε το $b$ ονομάζεται διαιρέτης του $a$ και ο αριθμός $a$ ονομάζεται πολλαπλάσιο του $b$.

Έστω $a$ και $b$ φυσικοί αριθμοί. Ο αριθμός $c$ ονομάζεται κοινός διαιρέτης και του $a$ και του $b$.

Το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $a$ και $b$ είναι πεπερασμένο, αφού κανένας από αυτούς τους διαιρέτες δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $a$. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ αυτών των διαιρετών υπάρχει ένας μεγαλύτερος, ο οποίος ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ και συμβολίζεται με τον ακόλουθο συμβολισμό:

$GCD\(a;b)\ ή \D\(a;b)$

Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών χρειάζεστε:

  1. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το gcd των αριθμών $121$ και $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Επιλέξτε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

    $GCD=2\cdot 11=22$

Παράδειγμα 2

Βρείτε το gcd των μονωνύμων $63$ και $81$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για να το κάνετε αυτό:

    Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Επιλέγουμε τους αριθμούς που περιλαμβάνονται στην επέκταση αυτών των αριθμών

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

    $GCD=3\cdot 3=9$

Μπορείτε να βρείτε το gcd δύο αριθμών με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο διαιρετών αριθμών.

Παράδειγμα 3

Βρείτε το gcd των αριθμών $48$ και $60$.

Διάλυμα:

Ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Τώρα ας βρούμε το σύνολο των διαιρετών του αριθμού $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Ας βρούμε την τομή αυτών των συνόλων: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - αυτό το σύνολο θα καθορίσει το σύνολο των κοινών διαιρετών των αριθμών $48$ και $60 $. Το μεγαλύτερο στοιχείο σε αυτό το σύνολο θα είναι ο αριθμός $12$. Αυτό σημαίνει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών $48$ και $60$ είναι $12$.

Ορισμός του NPL

Ορισμός 3

Κοινά πολλαπλάσια φυσικών αριθμώνΤο $a$ και το $b$ είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του $a$ και του $b$.

Τα κοινά πολλαπλάσια αριθμών είναι αριθμοί που διαιρούνται με τους αρχικούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, για τους αριθμούς $25$ και $50$, τα κοινά πολλαπλάσια θα είναι οι αριθμοί $50.100.150.200$ κ.λπ.

Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο θα ονομάζεται το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο και θα συμβολίζεται με LCM$(a;b)$ ή K$(a;b).$

Για να βρείτε το LCM δύο αριθμών, πρέπει:

  1. Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες
  2. Γράψτε τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του πρώτου αριθμού και προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που αποτελούν μέρος του δεύτερου και δεν είναι μέρος του πρώτου

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών $99$ και $77$.

Θα βρούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο που παρουσιάζεται. Για αυτό

    Αριθμοί παραγόντων σε πρώτους παράγοντες

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στο πρώτο

    προσθέστε σε αυτά πολλαπλασιαστές που αποτελούν μέρος του δεύτερου και όχι μέρος του πρώτου

    Βρείτε το γινόμενο των αριθμών που βρέθηκαν στο βήμα 2. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Η σύνταξη λιστών διαιρετών αριθμών είναι συχνά μια εργασία μεγάλης έντασης εργασίας. Υπάρχει ένας τρόπος να βρείτε το GCD που ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμος.

    Δηλώσεις στις οποίες βασίζεται ο ευκλείδειος αλγόριθμος:

    Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί και οι $a\vdots b$, τότε $D(a;b)=b$

    Αν οι $a$ και $b$ είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε το $b

Χρησιμοποιώντας $D(a;b)= D(a-b;b)$, μπορούμε να μειώσουμε διαδοχικά τους αριθμούς που εξετάζουμε μέχρι να φτάσουμε σε ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε ο ένας από αυτούς να διαιρείται με τον άλλο. Τότε ο μικρότερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για τους αριθμούς $a$ και $b$.

Ιδιότητες GCD και LCM

  1. Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$ διαιρείται με το K$(a;b)$
  2. Αν $a\vdots b$ , τότε К$(a;b)=a$

    3. Αν K$(a;b)=k$ και $m$ είναι φυσικός αριθμός, τότε K$(am;bm)=km$

    Εάν ο $d$ είναι ένας κοινός διαιρέτης για $a$ και $b$, τότε K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Αν $a\vdots c$ και $b\vdots c$ , τότε το $\frac(ab)(c)$ είναι το κοινό πολλαπλάσιο των $a$ και $b$

    Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς $a$ και $b$ ισχύει η ισότητα

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    Οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης των αριθμών $a$ και $b$ είναι διαιρέτης του αριθμού $D(a;b)$

Δεύτερος αριθμός: b=

Διαχωριστής χιλιάδωνΧωρίς διαχωριστικό χώρου "'

Αποτέλεσμα:

Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης GCD( ένα,σι)=6

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του LCM( ένα,σι)=468

Ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός με τον οποίο διαιρούνται οι αριθμοί a και b χωρίς υπόλοιπο ονομάζεται μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης(GCD) αυτών των αριθμών. Συμβολίζεται με gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ή hcf(a,b).

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοΤο LCM δύο ακεραίων a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με το a και το b χωρίς υπόλοιπο. Συμβολίζεται LCM(a,b) ή lcm(a,b).

Οι ακέραιοι α και β λέγονται αμοιβαία πρωταρχική, αν δεν έχουν κοινούς διαιρέτες εκτός από +1 και −1.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης

Έστω δύο θετικοί αριθμοί ένα 1 και ένα 2 1). Απαιτείται να βρεθεί ο κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών, δηλ. βρείτε έναν τέτοιο αριθμό λ , που διαιρεί αριθμούς ένα 1 και ένα 2 ταυτόχρονα. Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο.

1) Σε αυτό το άρθρο, η λέξη αριθμός θα γίνει κατανοητή ως ακέραιος.

Αφήνω ένα 1 ≥ ένα 2 και ας

Οπου m 1 , ένα 3 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ένα 3 <ένα 2 (υπόλοιπο διαίρεσης ένα 1 ανά ένα 2 θα πρέπει να είναι μικρότερο ένα 2).

Ας υποθέσουμε ότι λ χωρίζει ένα 1 και ένα 2 τότε λ χωρίζει m 1 ένα 2 και λ χωρίζει ένα 1 −m 1 ένα 2 =ένα 3 (Δήλωση 2 του άρθρου «Διαιρετότητα αριθμών. Δοκιμασία διαιρετότητας»). Από αυτό προκύπτει ότι κάθε κοινός διαιρέτης ένα 1 και έναΤο 2 είναι ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3. Το αντίστροφο ισχύει επίσης αν λ κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3 τότε m 1 ένα 2 και ένα 1 =m 1 ένα 2 +έναΤο 3 διαιρείται επίσης με λ . Επομένως ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και έναΤο 3 είναι επίσης κοινός διαιρέτης ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 3 <ένα 2 ≤ένα 1, τότε μπορούμε να πούμε ότι η λύση στο πρόβλημα της εύρεσης του κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ανάγεται στο απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης του κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 2 και ένα 3 .

Αν ένα 3 ≠0, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε ένα 2 σε ένα 3. Τότε

,

Οπου m 1 και ένα 4 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ( ένα 4 απομένουν από τη διαίρεση ένα 2 σε ένα 3 (ένα 4 <ένα 3)). Με παρόμοιο συλλογισμό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 3 και έναΤο 4 συμπίπτει με κοινούς διαιρέτες αριθμών ένα 2 και ένα 3, και επίσης με κοινούς διαιρέτες ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ένα 4, ... είναι αριθμοί που μειώνονται συνεχώς, και δεδομένου ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός ακεραίων μεταξύ ένα 2 και 0, μετά σε κάποιο βήμα n, υπόλοιπο διαίρεσης ένα n σε ένα n+1 θα είναι ίσο με μηδέν ( ένα n+2 =0).

.

Κάθε κοινός διαιρέτης λ αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 2 και ένα 3 , ένα 3 και ένα 4 , .... ένα n και ένα n+1 . Αληθεύει και το αντίστροφο, κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτες αριθμών ένα n−1 και ένα n , .... , ένα 2 και ένα 3 , ένα 1 και ένα 2. Αλλά ο κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι ένας αριθμός ένα n+1 , επειδή ένα n και έναΤα n+1 διαιρούνται με ένα n+1 (θυμηθείτε ότι ένα n+2 =0). Οθεν έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 1 και ένα 2 .

Σημειώστε ότι ο αριθμός έναΤο n+1 είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης των αριθμών ένα n και ένα n+1 , αφού ο μεγαλύτερος διαιρέτης ένα n+1 είναι ο ίδιος ένα n+1 . Αν έναΤο n+1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο ακεραίων, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι επίσης κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 1 και ένα 2. Αριθμός ένα n+1 καλείται μεγαλύτερος κοινός διαιρέτηςαριθμοί ένα 1 και ένα 2 .

Αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 μπορεί να είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί αριθμοί. Εάν ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με μηδέν, τότε ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών θα είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του άλλου αριθμού. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μηδενικών αριθμών είναι απροσδιόριστος.

Ο παραπάνω αλγόριθμος ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμοςνα βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων.

Ένα παράδειγμα εύρεσης του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών 630 και 434.

  • Βήμα 1. Διαιρέστε τον αριθμό 630 με 434. Το υπόλοιπο είναι 196.
  • Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμό 434 με το 196. Το υπόλοιπο είναι 42.
  • Βήμα 3. Διαιρέστε τον αριθμό 196 με το 42. Το υπόλοιπο είναι 28.
  • Βήμα 4. Διαιρέστε τον αριθμό 42 με 28. Το υπόλοιπο είναι 14.
  • Βήμα 5. Διαιρέστε τον αριθμό 28 με 14. Το υπόλοιπο είναι 0.

Στο βήμα 5, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0. Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 630 και 434 είναι το 14. Σημειώστε ότι οι αριθμοί 2 και 7 είναι επίσης διαιρέτες των αριθμών 630 και 434.

Συμπρώτοι αριθμοί

Ορισμός 1. Έστω ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ισούται με ένα. Τότε καλούνται αυτοί οι αριθμοί συμπρώτους αριθμούς, χωρίς κοινό διαιρέτη.

Θεώρημα 1. Αν ένα 1 και ένα 2 συμπρώτες αριθμοί, και λ κάποιος αριθμός και μετά οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης αριθμών λα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης ένας κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .

Απόδειξη. Εξετάστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη αριθμών ένα 1 και ένα 2 (βλ. παραπάνω).

.

Από τις συνθήκες του θεωρήματος προκύπτει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 και επομένως ένα n και ένα n+1 είναι 1. Δηλαδή ένα n+1 =1.

Ας πολλαπλασιάσουμε όλες αυτές τις ισότητες επί λ , Τότε

.

Έστω ο κοινός διαιρέτης ένα 1 λ Και ένα 2 ναι δ . Τότε δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα 1 λ , m 1 ένα 2 λ και σε ένα 1 λ -m 1 ένα 2 λ =ένα 3 λ (βλ. «Διαιρετότητα αριθμών», Δήλωση 2). Επόμενος δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα 2 λ Και m 2 ένα 3 λ , και, ως εκ τούτου, είναι ένας παράγοντας σε ένα 2 λ -m 2 ένα 3 λ =ένα 4 λ .

Συλλογιζόμενοι έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα n−1 λ Και m n−1 ένα n λ , και ως εκ τούτου σε ένα n−1 λ −m n−1 ένα n λ =ένα n+1 λ . Επειδή ένα n+1 =1, τότε δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο λ . Επομένως ο αριθμός δ είναι ο κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .

Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήματος 1.

Συνέπεια 1. Αφήνω έναΚαι ντοΟι πρώτοι αριθμοί είναι σχετικά σι. Μετά το προϊόν τους acείναι πρώτος αριθμός σε σχέση με σι.

Πραγματικά. Από το Θεώρημα 1 acΚαι σιέχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες με ντοΚαι σι. Αλλά οι αριθμοί ντοΚαι σισχετικά απλό, δηλ. έχουν έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Τότε acΚαι σιέχουν επίσης έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Επομένως acΚαι σιαμοιβαία απλή.

Συνέπεια 2. Αφήνω έναΚαι σισυμπρώτοι αριθμοί και ας σιχωρίζει ακ. Τότε σιδιαιρεί και κ.

Πραγματικά. Από την προϋπόθεση έγκρισης ακΚαι σιέχουν κοινό διαιρέτη σι. Δυνάμει του Θεωρήματος 1, σιπρέπει να είναι κοινός διαιρέτης σιΚαι κ. Οθεν σιχωρίζει κ.

Το συμπέρασμα 1 μπορεί να γενικευτεί.

Συνέπεια 3. 1. Αφήστε τους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ..., έναΤα m είναι πρώτοι σε σχέση με τον αριθμό σι. Τότε ένα 1 ένα 2 , ένα 1 ένα 2 · ένα 3 , ..., ένα 1 ένα 2 ένα 3 ··· ένα m, το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι πρώτος σε σχέση με τον αριθμό σι.

2. Ας έχουμε δύο σειρές αριθμών

έτσι ώστε κάθε αριθμός της πρώτης σειράς να είναι πρώτος στην αναλογία κάθε αριθμού της δεύτερης σειράς. Στη συνέχεια το προϊόν

Πρέπει να βρείτε αριθμούς που διαιρούνται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς.

Αν ένας αριθμός διαιρείται με ένα 1, τότε έχει τη μορφή sa 1 όπου μικρόκάποιο νούμερο. Αν qείναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2, λοιπόν

Οπου μικρόΤο 1 είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Τότε

είναι ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια αριθμών ένα 1 και ένα 2 .

ένα 1 και έναΟι 2 είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 και ένα 2:

Πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο αριθμών ένα 1 , ένα 2 , έναΤο 3 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε Και ένα 3 και πίσω. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε Και ένα 3 ναι ε 1. Στη συνέχεια, πολλαπλάσια αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , έναΤο 4 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε 1 και ένα 4. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε 1 και ένα 4 ναι ε 2. Έτσι, ανακαλύψαμε ότι όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m συμπίπτει με πολλαπλάσια ενός συγκεκριμένου αριθμού ε n, που ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών.

Στην ειδική περίπτωση που οι αριθμοί ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 , ένα 2, όπως φαίνεται παραπάνω, έχει τη μορφή (3). Στη συνέχεια, από τότε ένα 3 πρώτοι σε σχέση με αριθμούς ένα 1 , ένα 2 τότε ένα 3 πρώτος αριθμός ένα 1 · ένα 2 (Συνέπεια 1). Σημαίνει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 ,ένα 2 ,έναΤο 3 είναι ένας αριθμός ένα 1 · ένα 2 · ένα 3. Συλλογιζόμενοι με παρόμοιο τρόπο, φτάνουμε στις ακόλουθες δηλώσεις.

Δήλωση 1. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι ίσο με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· ένα m.

Δήλωση 2. Κάθε αριθμός που διαιρείται με καθέναν από τους συμπρώιμους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m διαιρείται επίσης με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· ένα m.


Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο με τίτλο LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σχέση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM), και θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην επίλυση παραδειγμάτων. Αρχικά, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών χρησιμοποιώντας το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου με παραγοντοποίηση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται σε συνδέσεις μεταξύ NOC και GCD. Η υπάρχουσα σύνδεση μεταξύ LCM και GCD μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων μέσω ενός γνωστού μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος είναι LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών 126 και 70.

Διάλυμα.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σύνδεση μεταξύ LCM και GCD, που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Δηλαδή πρώτα πρέπει βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτηαριθμούς 70 και 126, μετά από τους οποίους μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών χρησιμοποιώντας τον γραπτό τύπο.

Ας βρούμε το GCD(126, 70) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, επομένως, GCD(126, 70)=14.

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Με τι ισούται το LCM(68, 34);

Διάλυμα.

Επειδή Το 68 διαιρείται με το 34, τότε το GCD(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68 .

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται σε παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν συνθέσετε ένα γινόμενο από όλους τους πρώτους συντελεστές των δεδομένων αριθμών και στη συνέχεια εξαιρέσετε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις επεκτάσεις των δεδομένων αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών .

Ο αναφερόμενος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών α και β είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση των αριθμών α και β. Με τη σειρά του, το gcd(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (όπως περιγράφεται στην ενότητα εύρεση του gcd με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Ας συνθέσουμε το γινόμενο από όλους τους συντελεστές αυτών των επεκτάσεων: 2·3·3·5·5·5·7 . Τώρα από αυτό το γινόμενο εξαιρούμε όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2·3·5·5·7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 75 και του 210, δηλαδή NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Διάλυμα.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3·3·7·7 και 700=2·2·5·5·7.

Ας κάνουμε τώρα ένα γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των αριθμών: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ετσι, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Απάντηση:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Εάν οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b προστεθούν στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού α, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2·3·5·5·7, η τιμή του οποίου είναι ίσο με LCM(75, 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Διάλυμα.

Λαμβάνουμε πρώτα τις αποσυνθέσεις των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2·2·3·7 και 648=2·2·2·3·3·3·3. Στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2, 3, 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648, παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7, που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 84 και 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4,536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμώνμπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Ας θυμηθούμε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρούμε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250.

Διάλυμα.

Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε το GCD(140, 9), έχουμε 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, επομένως, GCD(140, 9)=1 , από όπου GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Δηλαδή, m 2 = 1 260.

Τώρα βρίσκουμε m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του GCD(1 260, 54), το οποίο προσδιορίζουμε επίσης χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Τότε gcd(1,260, 54)=18, από το οποίο gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Δηλαδή, m 3 = 3 780.

Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3,780, 250) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Επομένως, GCM(3,780, 250)=10, από όπου GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Δηλαδή m 4 =94.500.

Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, είναι βολικό να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών χρησιμοποιώντας πρώτους παραγοντοποιήσεις των δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρείτε τον ακόλουθο κανόνα. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους συντελεστές που προκύπτουν και ούτω καθεξής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση πρώτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Διάλυμα.

Αρχικά, λαμβάνουμε την αποσύνθεση αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 (7 - περιττός αριθμός, συμπίπτει με την αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες) και 143=11·13.

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2, 2, 3 και 7), πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6. Η αποσύνθεση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην αποσύνθεση του πρώτου αριθμού 84. Στη συνέχεια, στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48, παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2, 2, 2, 2, 3 και 7. Δεν θα χρειαστεί να προσθέσετε πολλαπλασιαστές σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2, 2, 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143. Παίρνουμε το γινόμενο 2·2·2·2·3·7·11·13, το οποίο ισούται με 48.048.