Τι είναι φυσικό και μη φυσικό; ακέραιοι αριθμοί? Πώς να εξηγήσετε σε ένα παιδί, ή ίσως όχι σε ένα παιδί, ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ τους; Ας το καταλάβουμε. Απ' όσο γνωρίζουμε, στην Ε' τάξη μελετώνται οι μη φυσικοί και φυσικοί αριθμοί και στόχος μας είναι να εξηγήσουμε στους μαθητές ώστε να καταλάβουν πραγματικά και να μάθουν τι και πώς.
Ιστορία
Οι φυσικοί αριθμοί είναι μια από τις παλιές έννοιες. Πριν από πολύ καιρό, όταν οι άνθρωποι δεν ήξεραν ακόμη πώς να μετρούν και δεν είχαν ιδέα για αριθμούς, όταν έπρεπε να μετρήσουν κάτι, για παράδειγμα, ψάρια, ζώα, έβγαζαν τελείες ή παύλες σε διάφορα αντικείμενα, όπως ανακάλυψαν αργότερα οι αρχαιολόγοι . Η ζωή ήταν πολύ δύσκολη για αυτούς εκείνη την εποχή, αλλά ο πολιτισμός αναπτύχθηκε πρώτα στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών και μετά στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σήμερα σχεδόν όλοι χρησιμοποιούν αραβικούς αριθμούς
Τα πάντα για τους φυσικούς αριθμούς
Οι φυσικοί αριθμοί είναι πρώτοι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή για να μετράμε αντικείμενα προκειμένου να προσδιορίσουμε την ποσότητα και τη σειρά. Επί του παρόντος, χρησιμοποιούμε το σύστημα δεκαδικών αριθμών για να γράψουμε αριθμούς. Για να γράψουμε οποιονδήποτε αριθμό, χρησιμοποιούμε δέκα ψηφία - από μηδέν έως εννέα.
Οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε αντικείμενα ή υποδεικνύουμε τον αύξοντα αριθμό κάποιου πράγματος. Παράδειγμα: 5, 368, 99, 3684.
Μια σειρά αριθμών αναφέρεται σε φυσικούς αριθμούς που είναι διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά, δηλ. από το ένα στο άπειρο. Μια τέτοια σειρά ξεκινά με τον μικρότερο αριθμό - 1, και δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός, αφού η σειρά των αριθμών είναι απλά άπειρη.
Γενικά, το μηδέν δεν θεωρείται φυσικός αριθμός, αφού σημαίνει απουσία κάτι και επίσης δεν υπάρχει μέτρηση αντικειμένων
Το αραβικό σύστημα αριθμών είναι σύγχρονο σύστημαπου χρησιμοποιούμε καθημερινά. Είναι μια παραλλαγή του ινδικού (δεκαδικός).
Αυτό το σύστημα αριθμών έγινε σύγχρονο λόγω του αριθμού 0, που εφευρέθηκε από τους Άραβες. Πριν από αυτό μέσα Ινδικό σύστημαήταν απούσα.
Αφύσικοι αριθμοί. Τι είναι αυτό;
Οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν αρνητικούς ή μη ακέραιους αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι είναι - αφύσικοι αριθμοί
Παρακάτω είναι παραδείγματα.
Οι μη φυσικοί αριθμοί είναι:
- Αρνητικοί αριθμοί, για παράδειγμα: -1, -5, -36.. και ούτω καθεξής.
- Ρητοί αριθμοί που εκφράζονται ως δεκαδικοί: 4,5, -67, 44,6.
- Με τη μορφή απλού κλάσματος: 1 / 2, 40 2 /7, κ.λπ.
Παράλογοι αριθμοί όπως e = 2,71828, √2 = 1,41421 και παρόμοια.
Ελπίζουμε ότι σας βοηθήσαμε πολύ να κατανοήσετε τους μη φυσικούς και φυσικούς αριθμούς. Τώρα θα είναι πιο εύκολο για εσάς να εξηγήσετε αυτό το θέμα στο μωρό σας και θα το μάθει όπως και οι μεγάλοι μαθηματικοί!
Οι φυσικοί αριθμοί είναι οικείοι στον άνθρωπο και διαισθητικοί, γιατί μας περιβάλλουν από την παιδική ηλικία. Στο παρακάτω άρθρο θα δώσουμε μια βασική κατανόηση της σημασίας των φυσικών αριθμών και θα περιγράψουμε τις βασικές δεξιότητες γραφής και ανάγνωσης τους. Όλο το θεωρητικό μέρος θα συνοδεύεται από παραδείγματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Γενική κατανόηση των φυσικών αριθμών
Σε ένα ορισμένο στάδιο στην ανάπτυξη της ανθρωπότητας, προέκυψε το έργο της μέτρησης ορισμένων αντικειμένων και του προσδιορισμού της ποσότητας τους, το οποίο, με τη σειρά του, απαιτούσε την εύρεση ενός εργαλείου για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Οι φυσικοί αριθμοί έγιναν ένα τέτοιο εργαλείο. Είναι επίσης σαφές ότι ο κύριος σκοπός των φυσικών αριθμών είναι να δώσουν μια ιδέα για τον αριθμό των αντικειμένων ή τον σειριακό αριθμό ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, αν μιλάμε για ένα σύνολο.
Είναι λογικό ότι για να χρησιμοποιεί ένα άτομο φυσικούς αριθμούς, είναι απαραίτητο να έχει έναν τρόπο να τους αντιλαμβάνεται και να τους αναπαράγει. Έτσι, ένας φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ή να απεικονιστεί, που είναι φυσικοί τρόποι μετάδοσης πληροφοριών.
Ας δούμε τις βασικές δεξιότητες εκφώνησης (ανάγνωσης) και αναπαράστασης (γραφής) φυσικών αριθμών.
Δεκαδικός συμβολισμός φυσικού αριθμού
Ας θυμηθούμε πώς αντιπροσωπεύονται οι ακόλουθοι χαρακτήρες (θα τους υποδείξουμε χωρισμένους με κόμματα): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Αυτά τα σημάδια τα ονομάζουμε αριθμούς.
Τώρα ας πάρουμε ως κανόνα ότι κατά την απεικόνιση (καταγραφή) οποιουδήποτε φυσικού αριθμού, χρησιμοποιούνται μόνο οι αναφερόμενοι αριθμοί χωρίς τη συμμετοχή άλλων συμβόλων. Αφήστε τα ψηφία όταν γράφετε έναν φυσικό αριθμό να έχουν το ίδιο ύψος, να γράφονται το ένα μετά το άλλο σε μια γραμμή και να υπάρχει πάντα ένα ψηφίο άλλο από το μηδέν στα αριστερά.
Ας αναφέρουμε παραδείγματα σωστής καταγραφής φυσικών αριθμών: 703, 881, 13, 333, 1.023, 7, 500.001. Η απόσταση μεταξύ των αριθμών δεν είναι πάντα η ίδια, αυτό θα συζητηθεί με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω κατά τη μελέτη των τάξεων των αριθμών. Τα παραδείγματα που δίνονται δείχνουν ότι όταν γράφετε έναν φυσικό αριθμό, δεν χρειάζεται να υπάρχουν όλα τα ψηφία από την παραπάνω σειρά. Μερικά ή όλα μπορεί να επαναληφθούν.
Ορισμός 1
Οι εγγραφές της μορφής: 065, 0, 003, 0791 δεν είναι εγγραφές φυσικών αριθμών, γιατί Αριστερά είναι ο αριθμός 0.
Η σωστή καταγραφή ενός φυσικού αριθμού, που γίνεται λαμβάνοντας υπόψη όλες τις περιγραφόμενες απαιτήσεις, ονομάζεται δεκαδικός συμβολισμός φυσικού αριθμού.
Ποσοτική σημασία των φυσικών αριθμών
Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι φυσικοί αριθμοί έχουν αρχικά μια ποσοτική σημασία, μεταξύ άλλων. Οι φυσικοί αριθμοί, ως εργαλείο αρίθμησης, συζητούνται στο θέμα σύγκρισης φυσικών αριθμών.
Ας προχωρήσουμε σε φυσικούς αριθμούς, οι εγγραφές των οποίων συμπίπτουν με τις εγγραφές ψηφίων, δηλαδή: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Ας φανταστούμε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, για παράδειγμα, ως εξής: Ψ. Μπορούμε να γράψουμε αυτό που βλέπουμε 1 είδος. Ο φυσικός αριθμός 1 διαβάζεται ως "ένα" ή "ένα". Ο όρος «μονάδα» έχει επίσης μια άλλη σημασία: κάτι που μπορεί να θεωρηθεί ως ενιαίο σύνολο. Εάν υπάρχει ένα σύνολο, τότε οποιοδήποτε στοιχείο του μπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα. Για παράδειγμα, από ένα σύνολο ποντικιών, οποιοδήποτε ποντίκι είναι ένα. οποιοδήποτε λουλούδι από ένα σύνολο λουλουδιών είναι ένα.
Τώρα φανταστείτε: Ψ Ψ . Βλέπουμε ένα αντικείμενο και ένα άλλο αντικείμενο, δηλ. στην ηχογράφηση θα είναι 2 στοιχεία. Ο φυσικός αριθμός 2 διαβάζεται ως "δύο".
Περαιτέρω, κατ' αναλογία: Ψ Ψ Ψ Ψ – 3 στοιχεία (“τρία”), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 (“τέσσερα”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 (“πέντε”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 (“έξι”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 (“επτά”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 (“οκτώ”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 (“ εννέα").
Από την υποδεικνυόμενη θέση, η λειτουργία ενός φυσικού αριθμού είναι να δείχνει ποσότητεςείδη.
Ορισμός 1
Εάν η εγγραφή ενός αριθμού συμπίπτει με την εγγραφή του αριθμού 0, τότε ένας τέτοιος αριθμός καλείται "μηδέν".Το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός, αλλά θεωρείται μαζί με άλλους φυσικούς αριθμούς. Το μηδέν δηλώνει απουσία, δηλ. μηδέν στοιχεία σημαίνει κανένα.
Μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί
Είναι προφανές ότι όταν γράφουμε κάθε έναν από τους φυσικούς αριθμούς που συζητήθηκαν παραπάνω (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), χρησιμοποιούμε ένα πρόσημο - ένα ψηφίο.
Ορισμός 2
Μονοψήφιος φυσικός αριθμός– φυσικός αριθμός, ο οποίος γράφεται με ένα πρόσημο – ένα ψηφίο.
Υπάρχουν εννέα μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Διψήφιοι και τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί
Ορισμός 3Διψήφιοι φυσικοί αριθμοί- φυσικοί αριθμοί, όταν γράφετε ποια δύο σημάδια χρησιμοποιούνται - δύο ψηφία. Στην περίπτωση αυτή, οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται μπορεί να είναι είτε ίδιοι είτε διαφορετικοί.
Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί 71, 64, 11 είναι διψήφιοι.
Ας εξετάσουμε ποια έννοια περιέχεται στους διψήφιους αριθμούς. Θα βασιστούμε στην ποσοτική σημασία των μονοψήφιων φυσικών αριθμών που είναι ήδη γνωστή σε εμάς.
Ας εισαγάγουμε μια τέτοια έννοια ως "δέκα".
Ας φανταστούμε ένα σύνολο αντικειμένων που αποτελείται από εννέα και ένα ακόμη. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να μιλήσουμε για 1 δέκα («μία ντουζίνα») αντικείμενα. Αν φανταστείτε ένα δεκάρι και ένα ακόμα, τότε μιλάμε για 2 δεκάδες (“δύο δεκάδες”). Προσθέτοντας ένα ακόμη σε δύο δεκάδες, παίρνουμε τρεις δεκάδες. Και ούτω καθεξής: συνεχίζοντας να προσθέτουμε ένα δέκα τη φορά, θα πάρουμε τέσσερις δεκάδες, πέντε δεκάδες, έξι δεκάδες, επτά δεκάδες, οκτώ δεκάδες και, τέλος, εννέα δεκάδες.
Ας δούμε διψήφιος αριθμός, ως σύνολο μονοψήφιων αριθμών, εκ των οποίων ο ένας είναι γραμμένος στα δεξιά και ο άλλος στα αριστερά. Ο αριθμός στα αριστερά θα υποδεικνύει τον αριθμό των δεκάδων σε έναν φυσικό αριθμό και ο αριθμός στα δεξιά θα υποδεικνύει τον αριθμό των μονάδων. Στην περίπτωση που ο αριθμός 0 βρίσκεται στα δεξιά, τότε μιλάμε για απουσία μονάδων. Το παραπάνω είναι η ποσοτική σημασία των διψήφιων φυσικών αριθμών. Συνολικά είναι 90.
Ορισμός 4
Τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί- φυσικοί αριθμοί, όταν γράφετε ποια τρία σημάδια χρησιμοποιούνται - τρία ψηφία. Οι αριθμοί μπορούν να είναι διαφορετικοί ή να επαναλαμβάνονται σε οποιονδήποτε συνδυασμό.
Για παράδειγμα, οι 413, 222, 818, 750 είναι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί.
Για να κατανοήσουμε την ποσοτική σημασία των τριψήφιων φυσικών αριθμών, εισάγουμε την έννοια "εκατό".
Ορισμός 5
Εκατό (100)είναι ένα σύνολο που αποτελείται από δέκα δεκάδες. Εκατό και άλλες εκατό κάνουν 2 εκατοντάδες. Προσθέστε άλλα εκατό και λάβετε 3 εκατοντάδες. Προσθέτοντας σταδιακά εκατό κάθε φορά, παίρνουμε: τετρακόσια, πεντακόσια, εξακόσια, επτακόσια, οκτακόσια, εννιακόσια.
Ας εξετάσουμε τον ίδιο τον συμβολισμό ενός τριψήφιου αριθμού: οι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί που περιλαμβάνονται σε αυτόν γράφονται ο ένας μετά τον άλλο από αριστερά προς τα δεξιά. Ο πιο δεξιός μονοψήφιος αριθμός υποδεικνύει τον αριθμό των μονάδων. Ο επόμενος μονοψήφιος αριθμός στα αριστερά είναι με τον αριθμό των δεκάδων. ο πιο αριστερός μονοψήφιος αριθμός είναι στον αριθμό των εκατοντάδων. Εάν η καταχώρηση περιέχει τον αριθμό 0, υποδηλώνει την απουσία μονάδων ή/και δεκάδων.
Έτσι, ο τριψήφιος φυσικός αριθμός 402 σημαίνει: 2 μονάδες, 0 δεκάδες (δεν υπάρχουν δεκάδες που να μην συνδυάζονται σε εκατοντάδες) και 4 εκατοντάδες.
Κατ' αναλογία, δίνεται ο ορισμός των τετραψήφιων, πενταψήφιων και ούτω καθεξής φυσικών αριθμών.
Πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί
Από όλα τα παραπάνω, είναι πλέον δυνατό να προχωρήσουμε στον ορισμό των φυσικών αριθμών πολλαπλών τιμών.
Ορισμός 6
Πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί– φυσικοί αριθμοί, όταν γράφετε ποιοι δύο ή περισσότεροι χαρακτήρες χρησιμοποιούνται. Οι πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι διψήφιοι, τριψήφιοι και ούτω καθεξής αριθμοί.
Το χίλια είναι ένα σύνολο που περιλαμβάνει δέκα εκατοντάδες. ένα εκατομμύριο αποτελείται από χίλιες χιλιάδες. ένα δισεκατομμύριο – χίλια εκατομμύρια. ένα τρισεκατομμύριο – χίλια δισεκατομμύρια. Ακόμη και μεγαλύτερα σύνολα έχουν επίσης ονόματα, αλλά η χρήση τους είναι σπάνια.
Παρόμοια με την παραπάνω αρχή, μπορούμε να θεωρήσουμε οποιονδήποτε πολυψήφιο φυσικό αριθμό ως ένα σύνολο μονοψήφιων φυσικών αριθμών, καθένας από τους οποίους, όντας σε μια συγκεκριμένη θέση, δείχνει την παρουσία και τον αριθμό των μονάδων, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδων, εκατοντάδων χιλιάδων, εκατομμυρίων, δεκάδων εκατομμυρίων, εκατοντάδων εκατομμυρίων, δισεκατομμυρίων και ούτω καθεξής (από δεξιά προς τα αριστερά, αντίστοιχα).
Για παράδειγμα, ο πολυψήφιος αριθμός 4.912.305 περιέχει: 5 μονάδες, 0 δεκάδες, τριακόσιες, 2 χιλιάδες, 1 δέκα χιλιάδες, 9 εκατοντάδες χιλιάδες και 4 εκατομμύρια.
Συνοψίζοντας, εξετάσαμε την ικανότητα ομαδοποίησης μονάδων σε διάφορα σύνολα (δεκάδες, εκατοντάδες, κ.λπ.) και είδαμε ότι οι αριθμοί στη σημείωση ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού είναι ένας προσδιορισμός του αριθμού των μονάδων σε καθένα από αυτά τα σύνολα .
Διαβάζοντας φυσικούς αριθμούς, τάξεις
Στην παραπάνω θεωρία, υποδείξαμε τα ονόματα των φυσικών αριθμών. Στον Πίνακα 1 υποδεικνύουμε πώς να χρησιμοποιείτε σωστά τα ονόματα μονοψήφιων φυσικών αριθμών στην ομιλία και στη γραφή γραμμάτων:
| Αριθμός | Αρρενωπός | Θηλυκός | Ουδέτερο φύλο |
|
1 |
Ενας |
Ενας |
Ενας |
| Αριθμός | Ονομαστική περίπτωση | Γενική | Δοτική πτώση | Αιτιατική | Ενόργανη θήκη | Εμπρόθετος |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Ενας Δύο Τρία Τέσσερα Πέντε Εξι Επτά Οκτώ Εννέα |
Ενας Δύο Τρία Τέσσερα Πέντε Εξι Ημι Οκτώ Εννέα |
Μόνος Δύο Τρία Τέσσερα Πέντε Εξι Ημι Οκτώ Εννέα |
Ενας Δύο Τρία Τέσσερα Πέντε Εξι Επτά Οκτώ Εννέα |
Ενας Δύο Τρία Τέσσερα Πέντε Εξι Οικογένεια Οκτώ Εννέα |
Για ένα πράγμα Περίπου δύο Περίπου τρεις Περίπου τέσσερις Πάλι Περίπου έξι Περίπου επτά Περίπου οκτώ Περίπου εννιά |
Για να διαβάσετε και να γράψετε σωστά τους διψήφιους αριθμούς, πρέπει να απομνημονεύσετε τα δεδομένα στον Πίνακα 2:
| Αριθμός |
Αρσενικό, θηλυκό και ουδέτερο γένος |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Δέκα Εντεκα Δώδεκα Δεκατρείς Δεκατέσσερα Δεκαπέντε Δεκαέξι Δεκαεπτά Δεκαοχτώ Δεκαεννέα Είκοσι Τριάντα σαράντα Πενήντα Εξήντα Εβδομήντα Ογδόντα Ενενήντα |
| Αριθμός | Ονομαστική περίπτωση | Γενική | Δοτική πτώση | Αιτιατική | Ενόργανη θήκη | Εμπρόθετος |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Δέκα Εντεκα Δώδεκα Δεκατρείς Δεκατέσσερα Δεκαπέντε Δεκαέξι Δεκαεπτά Δεκαοχτώ Δεκαεννέα Είκοσι Τριάντα σαράντα Πενήντα Εξήντα Εβδομήντα Ογδόντα Ενενήντα |
Δέκα |
Δέκα Εντεκα Δώδεκα Δεκατρείς Δεκατέσσερα Δεκαπέντε Δεκαέξι Δεκαεπτά Δεκαοχτώ Δεκαεννέα Είκοσι Τριάντα Καρακάξα Πενήντα Εξήντα Εβδομήντα Ογδόντα Ενενήντα |
Δέκα Εντεκα Δώδεκα Δεκατρείς Δεκατέσσερα Δεκαπέντε Δεκαέξι Δεκαεπτά Δεκαοχτώ Δεκαεννέα Είκοσι Τριάντα σαράντα Πενήντα Εξήντα Εβδομήντα Ογδόντα Ενενήντα |
Δέκα Εντεκα δώδεκα Δεκατρείς Δεκατέσσερα Δεκαπέντε Δεκαέξι Δεκαεπτά Δεκαοχτώ Δεκαεννέα Είκοσι Τριάντα Καρακάξα Πενήντα εξήντα Εβδομήντα Ογδόντα δεκαεννέα |
Περίπου δέκα Περίπου έντεκα Περίπου δώδεκα Περίπου δεκατρείς Περίπου δεκατέσσερα Περίπου δεκαπέντε Περίπου δεκαέξι Περίπου δεκαεπτά Περίπου δεκαοχτώ Περίπου δεκαεννέα Περίπου είκοσι Περίπου τριάντα Ω κίσσα Περίπου πενήντα Περίπου εξήντα Περίπου εβδομήντα Περίπου ογδόντα Ω ενενήντα |
Για να διαβάσουμε άλλους διψήφιους φυσικούς αριθμούς, θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα και από τους δύο πίνακες, θα το εξετάσουμε με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι πρέπει να διαβάσουμε τον διψήφιο φυσικό αριθμό 21. Ο αριθμός αυτός περιέχει 1 μονάδα και 2 δεκάδες, δηλ. 20 και 1. Περνώντας στους πίνακες, διαβάζουμε τον υποδεικνυόμενο αριθμό ως "είκοσι ένα", ενώ ο σύνδεσμος "και" μεταξύ των λέξεων δεν χρειάζεται να προφέρεται. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον καθορισμένο αριθμό 21 σε μια συγκεκριμένη πρόταση, υποδεικνύοντας τον αριθμό των αντικειμένων σε γενετική περίπτωση: "Δεν υπάρχουν 21 μήλα." ήχος μέσα σε αυτήν την περίπτωσηη προφορά θα είναι η εξής: «δεν υπάρχουν είκοσι ένα μήλα».
Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα για λόγους σαφήνειας: τον αριθμό 76, που διαβάζεται ως «εβδομήντα έξι» και, για παράδειγμα, «εβδομήντα έξι τόνοι».
| Αριθμός | Ονομαστική πτώση | Γενική | Δοτική πτώση | Αιτιατική | Ενόργανη θήκη | Εμπρόθετος |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Εκατό Διακόσια Τριακόσια Τετρακόσια Πεντακόσια Εξακόσιες Εφτακόσια Οχτακόσια Εννιακόσια |
εκατό Διακόσια Τριακόσια Τετρακόσια Πεντακόσια Εξακόσιες Εφτακόσια Οχτακόσια Εννιακόσια |
εκατό Διακόσια Τριακόσια Τετρακόσια Πεντακόσια Εξακόσιες Semistam Οχτακόσια Εννιακόσια |
Εκατό Διακόσια Τριακόσια Τετρακόσια Πεντακόσια Εξακόσιες Εφτακόσια Οχτακόσια Εννιακόσια |
εκατό Διακόσια Τριακόσια Τετρακόσια Πεντακόσια Εξακόσιες Εφτακόσια Οχτακόσια Εννιακόσια |
Ω εκατό Περίπου διακόσια Τριακόσια περίπου Περίπου τετρακόσια Περίπου πεντακόσια Εξακόσια περίπου Περίπου τα επτακόσια Οκτακόσια περίπου Εννιακόσια περίπου |
Για την πλήρη ανάγνωση ενός τριψήφιου αριθμού, χρησιμοποιούμε επίσης τα δεδομένα από όλους τους πίνακες που υποδεικνύονται. Για παράδειγμα, λαμβάνοντας υπόψη τον φυσικό αριθμό 305. Αυτός ο αριθμόςαντιστοιχεί σε 5 μονάδες, 0 δεκάδες και 3 εκατοντάδες: 300 και 5. Λαμβάνοντας ως βάση τον πίνακα, διαβάζουμε: «τριακόσια πέντε» ή σε κλίση κατά περίπτωση, για παράδειγμα, ως εξής: «τριακόσια πέντε μέτρα».
Ας διαβάσουμε έναν ακόμη αριθμό: 543. Σύμφωνα με τους κανόνες των πινάκων, ο υποδεικνυόμενος αριθμός θα ακούγεται ως εξής: "πεντακόσια σαράντα τρία" ή σε κλίση σύμφωνα με περιπτώσεις, για παράδειγμα, όπως αυτό: "δεν υπάρχουν πεντακόσια σαράντα τρία ρούβλια".
Ας προχωρήσουμε στο γενική αρχήανάγνωση πολυψήφιων φυσικών αριθμών: για να διαβάσετε έναν πολυψήφιο αριθμό, πρέπει να τον χωρίσετε από δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες των τριών ψηφίων και η αριστερή ομάδα μπορεί να έχει 1, 2 ή 3 ψηφία. Τέτοιες ομάδες ονομάζονται τάξεις.
Η πιο δεξιά κλάση είναι η κλάση των μονάδων. μετά η επόμενη τάξη, στα αριστερά - η τάξη των χιλιάδων. περαιτέρω – η τάξη των εκατομμυρίων. μετά έρχεται η τάξη των δισεκατομμυρίων και ακολουθεί η τάξη των τρισεκατομμυρίων. Οι παρακάτω τάξεις έχουν επίσης όνομα, αλλά φυσικοί αριθμοί που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό χαρακτήρων (16, 17 και περισσότεροι) χρησιμοποιούνται σπάνια στην ανάγνωση και είναι αρκετά δύσκολο να τους αντιληφθεί κανείς από το αυτί.
Για να διευκολύνεται η ανάγνωση της εγγραφής, οι τάξεις χωρίζονται μεταξύ τους με μια μικρή εσοχή. Για παράδειγμα, 31.013.736, 134.678, 23.476.009.434, 2.533.467.001.222.
| Τάξη τρισεκατομμύριο |
Τάξη δισεκατομμύρια |
Τάξη εκατομμύρια |
Τάξη χιλιάδων | Τάξη μονάδας |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Για να διαβάσουμε έναν πολυψήφιο αριθμό, καλούμε έναν προς έναν τους αριθμούς που τον αποτελούν (από αριστερά προς τα δεξιά ανά τάξη, προσθέτοντας το όνομα της τάξης). Το όνομα της κλάσης των μονάδων δεν προφέρεται και οι κλάσεις που αποτελούν τρία ψηφία 0 δεν προφέρονται επίσης. Εάν μια τάξη περιέχει ένα ή δύο ψηφία στα αριστερά, τότε δεν χρησιμοποιούνται με κανέναν τρόπο κατά την ανάγνωση. Για παράδειγμα, το 054 θα διαβαστεί ως "πενήντα τέσσερα" ή το 001 ως "ένα".
Παράδειγμα 1
Ας δούμε αναλυτικά την ανάγνωση του αριθμού 2.533.467.001.222:
Διαβάζουμε τον αριθμό 2 ως συστατικό της κατηγορίας των τρισεκατομμυρίων - "δύο".
Προσθέτοντας το όνομα της τάξης, παίρνουμε: "δύο τρισεκατομμύρια";
Διαβάζουμε τον επόμενο αριθμό, προσθέτοντας το όνομα της αντίστοιχης τάξης: «πεντακόσια τριάντα τρία δισεκατομμύρια».
Συνεχίζουμε κατ' αναλογία, διαβάζοντας την επόμενη τάξη προς τα δεξιά: «τετρακόσια εξήντα επτά εκατομμύρια».
Στην επόμενη τάξη βλέπουμε δύο ψηφία 0 που βρίσκονται στα αριστερά. Σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες ανάγνωσης, τα ψηφία 0 απορρίπτονται και δεν συμμετέχουν στην ανάγνωση της εγγραφής. Τότε παίρνουμε: "χίλια"?
Διαβάσαμε την τελευταία κατηγορία μονάδων χωρίς να προσθέσουμε το όνομά της - «διακόσια είκοσι δύο».
Έτσι, ο αριθμός 2 533 467 001 222 θα ακούγεται ως εξής: δύο τρισεκατομμύρια πεντακόσια τριάντα τρία δισεκατομμύρια τετρακόσια εξήντα επτά εκατομμύρια χίλια διακόσια είκοσι δύο. Χρησιμοποιώντας αυτήν την αρχή, θα διαβάσουμε τους άλλους δεδομένους αριθμούς:
31.013.736 – τριάντα ένα εκατομμύριο δεκατρείς χιλιάδες επτακόσιες τριάντα έξι.
134 678 – εκατόν τριάντα τέσσερις χιλιάδες εξακόσιες εβδομήντα οκτώ·
23 476 009 434 – είκοσι τρία δισεκατομμύρια τετρακόσια εβδομήντα έξι εκατομμύρια εννέα χιλιάδες τετρακόσια τριάντα τέσσερα.
Έτσι, η βάση για τη σωστή ανάγνωση πολυψήφιους αριθμούςείναι η ικανότητα της διαίρεσης ενός πολυψήφιου αριθμού σε τάξεις, η γνώση των αντίστοιχων ονομάτων και η κατανόηση της αρχής της ανάγνωσης διψήφιων και τριψήφιων αριθμών.
Όπως είναι ήδη σαφές από όλα τα παραπάνω, η τιμή του εξαρτάται από τη θέση στην οποία εμφανίζεται το ψηφίο στη σημειογραφία ενός αριθμού. Δηλαδή, για παράδειγμα, ο αριθμός 3 στον φυσικό αριθμό 314 δείχνει τον αριθμό των εκατοντάδων, δηλαδή 3 εκατοντάδες. Ο αριθμός 2 είναι ο αριθμός των δεκάδων (1 δέκα), και ο αριθμός 4 είναι ο αριθμός των μονάδων (4 μονάδες). Σε αυτήν την περίπτωση, θα πούμε ότι ο αριθμός 4 βρίσκεται στη θέση ενός και είναι η τιμή των θέσεων στον συγκεκριμένο αριθμό. Ο αριθμός 1 βρίσκεται στη θέση των δεκάδων και χρησιμεύει ως η τιμή του τόπου των δεκάδων. Ο αριθμός 3 βρίσκεται στη θέση εκατοντάδων και είναι η τιμή του τόπου εκατοντάδων.
Ορισμός 7
Απαλλάσσω- αυτή είναι η θέση ενός ψηφίου στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού, καθώς και η τιμή αυτού του ψηφίου, η οποία καθορίζεται από τη θέση του σε έναν δεδομένο αριθμό.
Οι κατηγορίες έχουν τα δικά τους ονόματα, τα έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει παραπάνω. Από δεξιά προς τα αριστερά υπάρχουν ψηφία: μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες κ.λπ.
Για ευκολία στην απομνημόνευση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο πίνακα (δηλώνουμε 15 ψηφία):
Ας διευκρινίσουμε αυτήν τη λεπτομέρεια: ο αριθμός των ψηφίων σε έναν δεδομένο πολυψήφιο αριθμό είναι ο ίδιος με τον αριθμό των χαρακτήρων στη σημείωση του αριθμού. Για παράδειγμα, αυτός ο πίνακας περιέχει τα ονόματα όλων των ψηφίων για έναν αριθμό με 15 ψηφία. Οι επόμενες απορρίψεις έχουν επίσης ονόματα, αλλά χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια και είναι πολύ άβολο να ακούγονται.
Με τη βοήθεια ενός τέτοιου πίνακα, είναι δυνατό να αναπτυχθεί η ικανότητα προσδιορισμού του ψηφίου γράφοντας έναν δεδομένο φυσικό αριθμό στον πίνακα, έτσι ώστε το δεξιότερο ψηφίο να γράφεται στο ψηφίο των μονάδων και στη συνέχεια σε κάθε ψηφίο ένα προς ένα. Για παράδειγμα, ας γράψουμε τον πολυψήφιο φυσικό αριθμό 56.402.513.674 ως εξής:
Δώστε προσοχή στον αριθμό 0, που βρίσκεται στο ψηφίο των δεκάδων εκατομμυρίων - σημαίνει την απουσία μονάδων αυτού του ψηφίου.
Ας εισαγάγουμε επίσης τις έννοιες του χαμηλότερου και του υψηλότερου ψηφίου ενός πολυψήφιου αριθμού.
Ορισμός 8
Χαμηλότερη (junior) κατάταξηοποιουδήποτε πολυψήφιου φυσικού αριθμού – το ψηφίο των μονάδων.
Ανώτατη (ανώτερη) κατηγορίαοποιουδήποτε πολυψήφιου φυσικού αριθμού – το ψηφίο που αντιστοιχεί στο αριστερό ψηφίο στη σημειογραφία ενός δεδομένου αριθμού.
Έτσι, για παράδειγμα, στον αριθμό 41.781: το χαμηλότερο ψηφίο είναι το ένα ψηφίο. Η υψηλότερη κατάταξη είναι η κατάταξη των δεκάδων χιλιάδων.
Λογικά προκύπτει ότι είναι δυνατό να μιλήσουμε για την αρχαιότητα των ψηφίων μεταξύ τους. Κάθε επόμενο ψηφίο, όταν μετακινείται από αριστερά προς τα δεξιά, είναι χαμηλότερο (νεότερο) από το προηγούμενο. Και αντίστροφα: όταν μετακινείστε από δεξιά προς τα αριστερά, κάθε επόμενο ψηφίο είναι μεγαλύτερο (παλαιότερο) από το προηγούμενο. Για παράδειγμα, το μέρος των χιλιάδων είναι παλαιότερο από το μέρος των εκατοντάδων, αλλά νεότερο από το μέρος των εκατομμυρίων.
Ας διευκρινίσουμε ότι κατά την επίλυση ορισμένων πρακτικών παραδειγμάτων, δεν χρησιμοποιείται ο ίδιος ο φυσικός αριθμός, αλλά το άθροισμα των ψηφιακών όρων ενός δεδομένου αριθμού.
Συνοπτικά για το δεκαδικό σύστημα αριθμών
Ορισμός 9Σημειογραφία– μέθοδος γραφής αριθμών με χρήση πινακίδων.
Συστήματα θέσεων αριθμών– εκείνα στα οποία η σημασία ενός ψηφίου σε έναν αριθμό εξαρτάται από τη θέση του στην εγγραφή αριθμών.
Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, μπορούμε να πούμε ότι, μελετώντας τους φυσικούς αριθμούς και τον τρόπο γραφής τους παραπάνω, χρησιμοποιήσαμε το σύστημα θέσεων. Ο αριθμός 10 παίζει ιδιαίτερη θέση εδώ. Μετράμε σε δεκάδες: δέκα μονάδες κάνουν δέκα, δέκα δεκάδες θα ενωθούν σε εκατό κ.λπ. Ο αριθμός 10 χρησιμεύει ως βάση αυτού του συστήματος αριθμών και το ίδιο το σύστημα ονομάζεται επίσης δεκαδικό.
Εκτός από αυτό, υπάρχουν και άλλα συστήματα αριθμών. Για παράδειγμα, η επιστήμη των υπολογιστών χρησιμοποιεί το δυαδικό σύστημα. Όταν παρακολουθούμε τον χρόνο, χρησιμοποιούμε το σεξουαλικό σύστημα αριθμών.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Ορισμός
Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που προορίζονται για την καταμέτρηση αντικειμένων. Για την καταγραφή φυσικών αριθμών, χρησιμοποιούνται 10 αραβικοί αριθμοί (0–9), οι οποίοι αποτελούν τη βάση του συστήματος δεκαδικών αριθμών που είναι γενικά αποδεκτό για μαθηματικούς υπολογισμούς.
Ακολουθία φυσικών αριθμών
Οι φυσικοί αριθμοί σχηματίζουν μια σειρά που ξεκινά από το 1 και καλύπτει το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων. Αυτή η ακολουθία αποτελείται από τους αριθμούς 1,2,3,.... Αυτό σημαίνει ότι στη φυσική σειρά:
- Τρώω μικρότερος αριθμόςκαι δεν υπάρχει μεγαλύτερο.
- Κάθε επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο κατά 1 (με εξαίρεση την ίδια τη μονάδα).
- Καθώς οι αριθμοί τείνουν στο άπειρο, μεγαλώνουν χωρίς όρια.
Μερικές φορές το 0 εισάγεται σε μια σειρά από φυσικούς αριθμούς Αυτό είναι αποδεκτό και μετά μιλούν αναπτυγμένοςφυσική σειρά.
Τάξεις φυσικών αριθμών
Κάθε ψηφίο ενός φυσικού αριθμού εκφράζει ένα συγκεκριμένο ψηφίο. Η τελευταία είναι πάντα ο αριθμός των μονάδων στον αριθμό, η προηγούμενη πριν είναι ο αριθμός των δεκάδων, η τρίτη από το τέλος είναι ο αριθμός των εκατοντάδων, η τέταρτη είναι ο αριθμός των χιλιάδων κ.ο.κ.
- στον αριθμό 276: 2 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, 6 ένα
- στον αριθμό 1098: 1 χιλιάδες, 9 δεκάδες, 8 ένα. Το μέρος των εκατοντάδων λείπει εδώ επειδή εκφράζεται ως μηδέν.
Για μεγάλους και πολύ μεγάλους αριθμούς, μπορείτε να δείτε μια σταθερή τάση (αν εξετάσετε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά, δηλαδή από το τελευταίο ψηφίο στο πρώτο):
- Τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού είναι μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες.
- Οι προηγούμενες τρεις είναι μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες χιλιάδες.
- τα τρία μπροστά τους (δηλαδή το 7ο, 8ο και 9ο ψηφίο του αριθμού, μετρώντας από το τέλος) είναι μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες εκατομμύρια κ.λπ.
Δηλαδή, κάθε φορά έχουμε να κάνουμε με τρία ψηφία, δηλαδή μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες ενός μεγαλύτερου ονόματος. Τέτοιες ομάδες σχηματίζουν τάξεις. Και αν με τις τρεις πρώτες τάξεις μέσα Καθημερινή ζωήπρέπει να ασχολούνται περισσότερο ή λιγότερο συχνά, τότε θα πρέπει να αναφέρονται άλλοι, γιατί δεν θυμούνται όλοι τα ονόματά τους από την καρδιά.
- Η 4η τάξη, που ακολουθεί την κλάση των εκατομμυρίων και αντιπροσωπεύει αριθμούς με 10-12 ψηφία, ονομάζεται δισεκατομμύριο (ή δισεκατομμύριο).
- 5η τάξη - τρισ.
- 6η τάξη – τετράστιχο.
- 7η τάξη – πεμπτολιόν.
- 8η τάξη – εξάξιο.
- 9η τάξη – Septillion.
Πρόσθεση φυσικών αριθμών
Η πρόσθεση φυσικών αριθμών είναι μια αριθμητική πράξη που σας επιτρέπει να λάβετε έναν αριθμό που περιέχει τον ίδιο αριθμό μονάδων με τους αριθμούς που αθροίζονται μαζί.
Το πρόσθετο πρόσημο είναι το σύμβολο «+». Οι αριθμοί που προστίθενται ονομάζονται προσθήκες και το αποτέλεσμα που προκύπτει ονομάζεται άθροισμα.
Οι μικροί αριθμοί προστίθενται (αθροίζονται) προφορικά, τέτοιες ενέργειες καταγράφονται σε μια γραμμή.
Οι πολυψήφιοι αριθμοί που είναι δύσκολο να προστεθούν στο μυαλό σας συνήθως προστίθενται σε μια στήλη. Για να γίνει αυτό, οι αριθμοί γράφονται ο ένας κάτω από τον άλλο, ευθυγραμμισμένοι με το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή γράφουν τα ones place κάτω από τη θέση των μονάδων, τα εκατοντάδες στη θέση των εκατοντάδων κ.ο.κ. Στη συνέχεια, πρέπει να προσθέσετε τα ψηφία σε ζεύγη. Αν η πρόσθεση ψηφίων γίνεται με μετάβαση στο δεκάρι, τότε αυτό το δέκα είναι σταθερό ως μονάδα πάνω από το ψηφίο στα αριστερά (δηλαδή το επόμενο) και αθροίζεται μαζί με τα ψηφία αυτού του ψηφίου.
Αν η στήλη αθροίσει όχι 2, αλλά περισσότερα νούμερα, τότε όταν αθροίζονται τα ψηφία ενός μέρους, όχι 1 δέκα, αλλά πολλά μπορεί να είναι περιττά. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός τέτοιων δεκάδων μεταφέρεται στο επόμενο ψηφίο.
Αφαίρεση φυσικών αριθμών
Η αφαίρεση είναι μια αριθμητική πράξη, το αντίστροφο της πρόσθεσης, που συνοψίζεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιώντας το διαθέσιμο άθροισμα και έναν από τους όρους, πρέπει να βρείτε έναν άλλο - έναν άγνωστο όρο. Ο αριθμός από τον οποίο αφαιρείται ονομάζεται minuend. ο αριθμός που αφαιρείται είναι αφαιρέσιμος. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ονομάζεται διαφορά. Το πρόσημο που χρησιμοποιείται για να δηλώσει την ενέργεια της αφαίρεσης είναι «–».
Όταν μεταβαίνουμε στην πρόσθεση, το δευτερεύον και η διαφορά μετατρέπονται σε προσθέσεις και το δευτερεύον μετατρέπεται σε άθροισμα. Η πρόσθεση χρησιμοποιείται συνήθως για τον έλεγχο της ορθότητας της αφαίρεσης και το αντίστροφο.
Εδώ το 74 είναι το minuend, το 18 είναι το subtrahend, το 56 είναι η διαφορά.
Απαραίτητη προϋπόθεση για την αφαίρεση των φυσικών αριθμών είναι η εξής: το minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend. Μόνο στην περίπτωση αυτή η διαφορά που προκύπτει θα είναι επίσης φυσικός αριθμός. Αν η αφαιρετική ενέργεια εκτελείται για το εκτεταμένο φυσική σειρά, τότε επιτρέπεται το minuend να είναι ίσο με το subtrahend. Και το αποτέλεσμα της αφαίρεσης σε αυτή την περίπτωση θα είναι 0.
Σημείωση: εάν το subtrahend είναι ίσο με μηδέν, τότε η λειτουργία αφαίρεσης δεν αλλάζει την τιμή του minuend.
Η αφαίρεση πολυψήφιων αριθμών γίνεται συνήθως σε στήλη. Οι αριθμοί γράφονται με τον ίδιο τρόπο όπως για την πρόσθεση. Η αφαίρεση γίνεται για τα αντίστοιχα ψηφία. Αν αποδειχθεί ότι το minuend είναι μικρότερο από το subtrahend, τότε παίρνουν ένα από το προηγούμενο (βρίσκεται στα αριστερά) ψηφίο, το οποίο, μετά τη μεταφορά, φυσικά μετατρέπεται σε 10. Αυτό το δέκα αθροίζεται με τον αριθμό του δεδομένου ψηφίου εξορύσσεται και στη συνέχεια εκτελείται η αφαίρεση. Στη συνέχεια, κατά την αφαίρεση του επόμενου ψηφίου, φροντίστε να λάβετε υπόψη ότι αυτό που μειώνεται έχει γίνει 1 λιγότερο.
Γινόμενο φυσικών αριθμών
Το γινόμενο (ή ο πολλαπλασιασμός) των φυσικών αριθμών είναι μια αριθμητική πράξη που αντιπροσωπεύει την εύρεση του αθροίσματος ενός αυθαίρετου αριθμού πανομοιότυπων όρων. Για να γράψετε την ενέργεια πολλαπλασιασμού, χρησιμοποιήστε το σύμβολο «·» (μερικές φορές «×» ή «*»). Για παράδειγμα: 3·5=15.
Η δράση του πολλαπλασιασμού είναι απαραίτητη όταν η πρόσθεση είναι απαραίτητη. ένας μεγάλος αριθμός απόόροι. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να προσθέσετε τον αριθμό 4 7 φορές, τότε ο πολλαπλασιασμός του 4 με το 7 είναι ευκολότερος από την εκτέλεση της ακόλουθης πρόσθεσης: 4+4+4+4+4+4+4.
Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται συντελεστές, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται γινόμενο. Κατά συνέπεια, ο όρος «προϊόν» μπορεί, ανάλογα με το πλαίσιο, να εκφράζει τόσο τη διαδικασία του πολλαπλασιασμού όσο και το αποτέλεσμά της.
Οι πολυψήφιοι αριθμοί πολλαπλασιάζονται σε μια στήλη. Για αυτό, οι αριθμοί γράφονται με τον ίδιο τρόπο όπως για την πρόσθεση και την αφαίρεση. Συνιστάται να γράψετε πρώτα τον μεγαλύτερο από τους 2 αριθμούς (παραπάνω). Σε αυτή την περίπτωση, η διαδικασία πολλαπλασιασμού θα είναι απλούστερη και, επομένως, πιο ορθολογική.
Κατά τον πολλαπλασιασμό σε μια στήλη, τα ψηφία καθενός από τα ψηφία του δεύτερου αριθμού πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με τα ψηφία του 1ου αριθμού, ξεκινώντας από το τέλος του. Αφού βρείτε το πρώτο τέτοιο προϊόν, σημειώστε το ψηφίο των μονάδων και κρατήστε το ψηφίο των δεκάδων στο μυαλό σας. Κατά τον πολλαπλασιασμό του ψηφίου του 2ου αριθμού με το επόμενο ψηφίο του 1ου αριθμού, το ψηφίο που λαμβάνεται υπόψη προστίθεται στο γινόμενο. Και πάλι, γράψτε τον αριθμό μονάδων του αποτελέσματος που προέκυψε και θυμηθείτε τον αριθμό των δεκάδων. Όταν πολλαπλασιαστεί με το τελευταίο ψηφίο του 1ου αριθμού, ο αριθμός που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο καταγράφεται πλήρως.
Τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού του ψηφίου του 2ου ψηφίου του δεύτερου αριθμού γράφονται στη δεύτερη σειρά, μετατοπίζοντάς το 1 κελί προς τα δεξιά. Και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, θα ληφθεί μια "σκάλα". Όλες οι προκύπτουσες σειρές αριθμών θα πρέπει να προστεθούν (σύμφωνα με τον κανόνα της προσθήκης στηλών). Τα άδεια κελιά θα πρέπει να θεωρούνται γεμάτα με μηδενικά. Το άθροισμα που προκύπτει είναι το τελικό προϊόν.
Σημείωση
- Το γινόμενο οποιουδήποτε φυσικού αριθμού με το 1 (ή το 1 με έναν αριθμό) είναι ίσο με τον ίδιο τον αριθμό. Για παράδειγμα: 376·1=376; 1·86=86.
- Όταν ένας από τους παράγοντες ή και οι δύο παράγοντες είναι ίσοι με 0, τότε το γινόμενο είναι ίσο με 0. Για παράδειγμα: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.
Διαίρεση φυσικών αριθμών
Η διαίρεση είναι μια αριθμητική πράξη που χρησιμοποιείται διάσημο έργοκαι ένας από τους παράγοντες μπορεί να βρει έναν άλλο – άγνωστο – παράγοντα. Η διαίρεση είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού και χρησιμοποιείται για να ελέγξει εάν ένας πολλαπλασιασμός έχει εκτελεστεί σωστά (και το αντίστροφο).
Ο αριθμός που διαιρείται ονομάζεται μέρισμα. Ο αριθμός που διαιρείται με είναι ο διαιρέτης. το αποτέλεσμα της διαίρεσης ονομάζεται πηλίκο. Το σύμβολο διαίρεσης είναι ":" (μερικές φορές, λιγότερο συχνά, "÷").
Εδώ 48 είναι το μέρισμα, 6 είναι ο διαιρέτης, 8 είναι το πηλίκο.
Δεν μπορούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί να διαιρεθούν μεταξύ τους. Σε αυτήν την περίπτωση, διαιρέστε με ένα υπόλοιπο. Συνίσταται στο γεγονός ότι επιλέγεται ένας παράγοντας για τον διαιρέτη έτσι ώστε το γινόμενο του από τον διαιρέτη να είναι ένας αριθμός όσο το δυνατόν πλησιέστερος σε αξία στο μέρισμα, αλλά μικρότερος από αυτόν. Ο διαιρέτης πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον παράγοντα και αφαιρείται από το μέρισμα. Η διαφορά θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Το γινόμενο ενός διαιρέτη και ενός παράγοντα ονομάζεται ατελές πηλίκο. Προσοχή: το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον επιλεγμένο πολλαπλασιαστή! Εάν το υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο, αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιαστής επιλέχθηκε λανθασμένα και πρέπει να αυξηθεί.
Επιλέγουμε έναν παράγοντα για το 7. Στην περίπτωση αυτή, είναι ο αριθμός 5. Βρίσκουμε το ημιτελές πηλίκο: 7·5=35. Υπολογίζουμε το υπόλοιπο: 38-35=3. Από 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Οι πολυψήφιοι αριθμοί χωρίζονται σε στήλη. Για να γίνει αυτό, το μέρισμα και ο διαιρέτης γράφονται δίπλα-δίπλα, χωρίζοντας τον διαιρέτη με μια κάθετη και οριζόντια γραμμή. Στο μέρισμα, το πρώτο ψηφίο ή τα πρώτα ψηφία (στα δεξιά) απομονώνονται, τα οποία πρέπει να αντιπροσωπεύουν έναν αριθμό που είναι ελάχιστα επαρκής για να διαιρεθεί με τον διαιρέτη (δηλαδή, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον διαιρέτη). Για αυτόν τον αριθμό επιλέγεται ένα ημιτελές πηλίκο, όπως περιγράφεται στον κανόνα για διαίρεση με υπόλοιπο. Το ψηφίο του πολλαπλασιαστή που χρησιμοποιείται για την εύρεση του μερικού πηλίκου γράφεται κάτω από τον διαιρέτη. Το ημιτελές πηλίκο γράφεται κάτω από τον αριθμό που διαιρείται, ευθυγραμμισμένος προς τα δεξιά. Βρείτε τη διαφορά τους. Καταγράψτε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος γράφοντάς το δίπλα σε αυτή τη διαφορά. Για τον αριθμό που προκύπτει, το μερικό πηλίκο βρίσκεται και πάλι γράφοντας το ψηφίο του επιλεγμένου πολλαπλασιαστή δίπλα στον προηγούμενο κάτω από τον διαιρέτη. Και ούτω καθεξής. Τέτοιες ενέργειες πραγματοποιούνται μέχρι να εξαντληθούν τα ψηφία του μερίσματος. Μετά από αυτό, η διαίρεση θεωρείται πλήρης. Αν το μέρισμα και ο διαιρέτης διαιρεθούν με ένα σύνολο (χωρίς υπόλοιπο), τότε η τελευταία διαφορά θα δώσει μηδέν. Διαφορετικά, θα ληφθεί ο υπόλοιπος αριθμός.
Εκθεσιμότητα
Η εκθετικότητα είναι μια μαθηματική πράξη που περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό ενός αυθαίρετου αριθμού πανομοιότυπων αριθμών. Για παράδειγμα: 2·2·2·2.
Τέτοιες εκφράσεις γράφονται με τη μορφή: ένα x,
Οπου ένα– ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του, Χ– τον αριθμό των παραγόντων αυτών.
Πρώτοι και σύνθετοι φυσικοί αριθμοί
Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 1, μπορεί να χωριστεί σε τουλάχιστον 2 αριθμούς - έναν και τον εαυτό του. Με βάση αυτό το κριτήριο, οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε πρώτους και σύνθετους.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους. Οι αριθμοί που διαιρούνται με περισσότερους από αυτούς τους 2 αριθμούς ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί. Μια μονάδα που διαιρείται μόνο από μόνη της δεν είναι ούτε απλή ούτε σύνθετη.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι: 2,3,5,7,11,13,17,19 κ.λπ. Παραδείγματα σύνθετων αριθμών: 4 (διαιρείται με 1,2,4), 6 (διαιρείται με 1,2,3,6), 20 (διαιρείται με 1,2,4,5,10,20).
Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε πρώτους παράγοντες. Με τους πρώτους παράγοντες εννοούμε τους διαιρέτες του, που είναι πρώτοι αριθμοί.
Παράδειγμα παραγοντοποίησης πρώτων:
Διαιρέτες φυσικών αριθμών
Διαιρέτης είναι ένας αριθμός με τον οποίο ένας δεδομένος αριθμός μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο.
Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, οι πρώτοι φυσικοί αριθμοί έχουν 2 διαιρέτες, οι σύνθετοι αριθμοί έχουν περισσότερους από 2 διαιρέτες.
Πολλοί αριθμοί έχουν κοινούς παράγοντες. Κοινός διαιρέτης είναι ένας αριθμός με τον οποίο διαιρούνται οι δεδομένοι αριθμοί χωρίς υπόλοιπο.
- Οι αριθμοί 12 και 15 έχουν κοινό διαιρέτη το 3
- Οι αριθμοί 20 και 30 έχουν κοινούς διαιρέτες 2,5,10
Ιδιαίτερη σημασία έχει ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD). Αυτός ο αριθμός, συγκεκριμένα, είναι χρήσιμος για να μπορούμε να βρούμε για αναγωγή κλασμάτων. Για να το βρείτε, πρέπει να αποσυνθέσετε τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους συντελεστές και να τους αναπαραστήσετε ως το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων τους, λαμβανόμενοι στις μικρότερες δυνάμεις τους.
Πρέπει να βρείτε το gcd των αριθμών 36 και 48.
Διαιρετότητα φυσικών αριθμών
Δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με το μάτι εάν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο χωρίς υπόλοιπο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το αντίστοιχο τεστ διαιρετότητας αποδεικνύεται χρήσιμο, δηλαδή ένας κανόνας με τον οποίο μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα μπορείτε να προσδιορίσετε εάν οι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν χωρίς υπόλοιπο. Το σύμβολο "" χρησιμοποιείται για να υποδείξει τη διαιρετότητα.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
Αυτή η ποσότητα (που συμβολίζεται LOC) είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με καθένα από τα δεδομένα. Το LCM μπορεί να βρεθεί για ένα αυθαίρετο σύνολο φυσικών αριθμών.
Το NOC, όπως και το GCD, έχει σημαντικό πρακτικό νόημα. Έτσι, είναι το LCM που πρέπει να βρεθεί φέρνοντας τα συνηθισμένα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Το LCM προσδιορίζεται παραγοντοποιώντας δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Για να το σχηματίσετε, πάρτε ένα γινόμενο που αποτελείται από καθέναν από τους εμφανιζόμενους (τουλάχιστον για 1 αριθμό) πρώτους παράγοντες, που αντιπροσωπεύονται στο μέγιστο βαθμό.
Πρέπει να βρείτε το LCM των αριθμών 14 και 24.
Μέση τιμή
Ο αριθμητικός μέσος όρος ενός αυθαίρετου (αλλά πεπερασμένου) αριθμού φυσικών αριθμών είναι το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό των όρων:
Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι κάποια μέση τιμή για ένα αριθμητικό σύνολο.
Οι αριθμοί που δίνονται είναι 2,84,53,176,17,28. Πρέπει να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο τους.
ΑκέραιοιΜας είναι πολύ οικεία και φυσικά. Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, αφού η γνωριμία μαζί τους ξεκινά από τα πρώτα χρόνια της ζωής μας σε ένα διαισθητικό επίπεδο.
Οι πληροφορίες σε αυτό το άρθρο δημιουργούν μια βασική κατανόηση των φυσικών αριθμών, αποκαλύπτουν τον σκοπό τους και ενσταλάζουν τις δεξιότητες γραφής και ανάγνωσης φυσικών αριθμών. Για την καλύτερη κατανόηση του υλικού παρέχονται τα απαραίτητα παραδείγματα και απεικονίσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Φυσικοί αριθμοί – γενική αναπαράσταση.
Η ακόλουθη γνώμη δεν είναι χωρίς λογική: η εμφάνιση του έργου της μέτρησης αντικειμένων (πρώτο, δεύτερο, τρίτο αντικείμενο κ.λπ.) και το καθήκον της ένδειξης του αριθμού των αντικειμένων (ένα, δύο, τρία αντικείμενα κ.λπ.) οδήγησαν σε τη δημιουργία ενός εργαλείου για την επίλυσή του, αυτό ήταν το όργανο ακέραιοι αριθμοί.
Από αυτή την πρόταση είναι ξεκάθαρο ο κύριος σκοπός των φυσικών αριθμών– φέρουν πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό οποιωνδήποτε αντικειμένων ή τον αύξοντα αριθμό ενός δεδομένου αντικειμένου στο σύνολο των ειδών που εξετάζονται.
Για να μπορέσει ένα άτομο να χρησιμοποιήσει φυσικούς αριθμούς, πρέπει να είναι κατά κάποιο τρόπο προσιτοί τόσο στην αντίληψη όσο και στην αναπαραγωγή. Εάν φωνάξετε κάθε φυσικό αριθμό, τότε θα γίνει αντιληπτός από το αυτί, και εάν απεικονίσετε έναν φυσικό αριθμό, τότε μπορεί να φανεί. Αυτοί είναι οι πιο φυσικοί τρόποι μεταφοράς και αντίληψης φυσικών αριθμών.
Ας αρχίσουμε λοιπόν να αποκτούμε τις δεξιότητες απεικόνισης (καταγραφής) και τις δεξιότητες εκφώνησης (ανάγνωσης) φυσικών αριθμών, μαθαίνοντας παράλληλα το νόημά τους.
Δεκαδικός συμβολισμός φυσικού αριθμού.
Πρώτα πρέπει να αποφασίσουμε από τι θα ξεκινήσουμε όταν γράφουμε φυσικούς αριθμούς.
Ας θυμηθούμε τις εικόνες των παρακάτω χαρακτήρων (θα τους δείξουμε χωρισμένους με κόμματα): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Οι εικόνες που εμφανίζονται αποτελούν καταγραφή του λεγόμενου αριθμοί. Ας συμφωνήσουμε αμέσως να μην αναποδογυρίσουμε, να γείρουμε ή με άλλο τρόπο να παραμορφώσουμε τους αριθμούς κατά την εγγραφή.
Τώρα ας συμφωνήσουμε ότι στη σημειογραφία οποιουδήποτε φυσικού αριθμού μπορούν να υπάρχουν μόνο τα υποδεικνυόμενα ψηφία και δεν μπορούν να υπάρχουν άλλα σύμβολα. Ας συμφωνήσουμε επίσης ότι τα ψηφία στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού έχουν το ίδιο ύψος, είναι διατεταγμένα σε μια γραμμή το ένα μετά το άλλο (σχεδόν χωρίς εσοχή) και στα αριστερά υπάρχει ένα ψηφίο διαφορετικό από το ψηφίο 0 .
Ακολουθούν μερικά παραδείγματα σωστής γραφής φυσικών αριθμών: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (παρακαλώ σημειώστε: οι εσοχές μεταξύ των αριθμών δεν είναι πάντα οι ίδιες, περισσότερα σχετικά με αυτό θα συζητηθούν κατά την αναθεώρηση). Από τα παραπάνω παραδείγματα είναι σαφές ότι ο συμβολισμός ενός φυσικού αριθμού δεν περιέχει απαραίτητα όλα τα ψηφία 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; μερικά ή όλα τα ψηφία που εμπλέκονται στη σύνταξη ενός φυσικού αριθμού μπορεί να επαναληφθούν.
Αναρτήσεις 014 , 0005 , 0 , 0209 δεν είναι εγγραφές φυσικών αριθμών, αφού υπάρχει ένα ψηφίο στα αριστερά 0 .
Η εγγραφή ενός φυσικού αριθμού, που γίνεται λαμβάνοντας υπόψη όλες τις απαιτήσεις που περιγράφονται σε αυτή την παράγραφο, καλείται δεκαδικός συμβολισμός φυσικού αριθμού.
Περαιτέρω δεν θα κάνουμε διάκριση μεταξύ φυσικών αριθμών και συμβολισμού τους. Ας το εξηγήσουμε αυτό: περαιτέρω στο κείμενο θα χρησιμοποιήσουμε φράσεις όπως «δίνεται ένας φυσικός αριθμός 582 », που θα σημαίνει ότι δίνεται ένας φυσικός αριθμός, η σημείωση του οποίου έχει τη μορφή 582 .
Φυσικοί αριθμοί με την έννοια του αριθμού των αντικειμένων.
Ήρθε η ώρα να κατανοήσουμε την ποσοτική σημασία που φέρει ο γραπτός φυσικός αριθμός. Η έννοια των φυσικών αριθμών από την άποψη της αρίθμησης των αντικειμένων συζητείται στο άρθρο σύγκριση φυσικών αριθμών.
Ας ξεκινήσουμε με τους φυσικούς αριθμούς, οι εγγραφές των οποίων συμπίπτουν με τις εγγραφές ψηφίων, δηλαδή με αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Και 9 .
Ας φανταστούμε ότι ανοίξαμε τα μάτια μας και είδαμε κάποιο αντικείμενο, για παράδειγμα, σαν αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε αυτό που βλέπουμε 1 είδος. Ο φυσικός αριθμός 1 διαβάζεται ως " ένας«(κλίση του αριθμού «ένα», καθώς και άλλων αριθμών, θα δώσουμε στην παράγραφο), για τον αριθμό 1 έχει υιοθετηθεί ένα άλλο όνομα - " μονάδα».
Ωστόσο, ο όρος «μονάδα» είναι πολλαπλών τιμών, εκτός από τον φυσικό αριθμό 1 , καλέστε κάτι που θεωρείται ως σύνολο. Για παράδειγμα, οποιοδήποτε στοιχείο από τα πολλά του μπορεί να ονομαστεί μονάδα. Για παράδειγμα, κάθε μήλο από ένα σύνολο μήλων είναι μια μονάδα, οποιοδήποτε σμήνος πουλιών από ένα σύνολο κοπαδιών πουλιών είναι επίσης μια μονάδα, κ.λπ.
Τώρα ανοίγουμε τα μάτια μας και βλέπουμε: . Δηλαδή, βλέπουμε ένα αντικείμενο και ένα άλλο αντικείμενο. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε αυτό που βλέπουμε 2 θέμα. Φυσικός αριθμός 2 , διαβάζει " δύο».
Ομοίως, - 3
θέμα (διαβάστε " τρία" θέμα), - 4
(« τέσσερις") θέμα, - 5
(« πέντε»), 
- 6
(« έξι»), 
- 7
(« επτά»), - 8
(« οκτώ»), - 9
(« εννέα") είδη.
Άρα, από τη θεωρούμενη θέση, φυσικοί αριθμοί 1 , 2 , 3 , …, 9 υποδεικνύω ποσότηταείδη.
Ένας αριθμός του οποίου η σημείωση συμπίπτει με τη σημειογραφία ενός ψηφίου 0 , που ονομάζεται " μηδέν" Ο αριθμός μηδέν ΔΕΝ είναι φυσικός αριθμός, ωστόσο, συνήθως θεωρείται μαζί με φυσικούς αριθμούς. Θυμηθείτε: το μηδέν σημαίνει την απουσία κάτι. Για παράδειγμα, τα μηδενικά στοιχεία δεν είναι ένα μόνο στοιχείο.
Στις επόμενες παραγράφους του άρθρου θα συνεχίσουμε να αποκαλύπτουμε την έννοια των φυσικών αριθμών όσον αφορά την ένδειξη ποσοτήτων.
Μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί.
Προφανώς, η καταγραφή καθενός από τους φυσικούς αριθμούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 αποτελείται από έναν χαρακτήρα - έναν αριθμό.
Ορισμός.
Μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί– πρόκειται για φυσικούς αριθμούς, η γραφή των οποίων αποτελείται από ένα πρόσημο - ένα ψηφίο.
Ας απαριθμήσουμε όλους τους μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Υπάρχουν εννέα μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί συνολικά.
Διψήφιοι και τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί.
Αρχικά, ας ορίσουμε διψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Ορισμός.
Διψήφιοι φυσικοί αριθμοί– πρόκειται για φυσικούς αριθμούς, η καταγραφή των οποίων αποτελείται από δύο σημάδια - δύο ψηφία (διαφορετικά ή ίδια).
Για παράδειγμα, ένας φυσικός αριθμός 45 – διψήφιοι αριθμοί 10 , 77 , 82 επίσης διψήφιο, και 5 490 , 832 , 90 037 – όχι διψήφιο.
Ας δούμε τι νόημα έχουν οι διψήφιοι αριθμοί, ενώ θα βασιστούμε στην ποσοτική σημασία των μονοψήφιων φυσικών αριθμών που ήδη γνωρίζουμε.
Αρχικά, ας εισαγάγουμε την έννοια δέκα.
Ας φανταστούμε αυτή την κατάσταση - ανοίξαμε τα μάτια μας και είδαμε ένα σετ που αποτελείται από εννέα αντικείμενα και ένα ακόμη αντικείμενο. Σε αυτή την περίπτωση μιλάνε για 1 δέκα (μία ντουζίνα) είδη. Αν ένα δέκα και ένα άλλο δέκα θεωρηθούν μαζί, τότε μιλάνε για 2 δεκάδες (δύο δεκάδες). Αν προσθέσουμε άλλες δέκα σε δύο δεκάδες, θα έχουμε τρεις δεκάδες. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, θα πάρουμε τέσσερις δεκάδες, πέντε δεκάδες, έξι δεκάδες, επτά δεκάδες, οκτώ δεκάδες και τελικά εννέα δεκάδες.
Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην ουσία των διψήφιων φυσικών αριθμών.
Για να το κάνουμε αυτό, ας δούμε έναν διψήφιο αριθμό ως δύο μονοψήφιους αριθμούς - ο ένας είναι στα αριστερά στη συμβολή ενός διψήφιου αριθμού, ο άλλος βρίσκεται στα δεξιά. Ο αριθμός στα αριστερά δείχνει τον αριθμό των δεκάδων και ο αριθμός στα δεξιά δείχνει τον αριθμό των μονάδων. Επιπλέον, εάν υπάρχει ένα ψηφίο στη δεξιά πλευρά ενός διψήφιου αριθμού 0 , τότε αυτό σημαίνει την απουσία μονάδων. Αυτή είναι η όλη ουσία των διψήφιων φυσικών αριθμών όσον αφορά την ένδειξη ποσοτήτων.
Για παράδειγμα, ένας διψήφιος φυσικός αριθμός 72 αντιστοιχεί 7 δεκάδες και 2 μονάδες (δηλαδή, 72 μήλα είναι ένα σετ από επτά δωδεκάδες μήλα και δύο ακόμη μήλα), και ο αριθμός 30 απαντήσεις 3 δεκάδες και 0 δεν υπάρχουν μονάδες, δηλαδή μονάδες που δεν συνδυάζονται σε δεκάδες.
Ας απαντήσουμε στην ερώτηση: «Πόσοι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν;» Απάντησε τους 90 .
Ας περάσουμε στον ορισμό των τριψήφιων φυσικών αριθμών.
Ορισμός.
Φυσικοί αριθμοί των οποίων η σημειογραφία αποτελείται από 3 σημάδια - 3 καλούνται αριθμοί (διαφορετικοί ή επαναλαμβανόμενοι). τριψήφιο.
Παραδείγματα φυσικών τριψήφιων αριθμών είναι 372 , 990 , 717 , 222 . Ακέραιοι 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 δεν είναι τριψήφιοι.
Για να κατανοήσουμε την έννοια που είναι εγγενής στους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς, χρειαζόμαστε την έννοια εκατοντάδες.
Το σύνολο των δέκα δεκάδων είναι 1 εκατό (εκατό). Εκατό εκατό είναι 2 εκατοντάδες. Διακόσια και άλλα εκατό είναι τριακόσια. Και ούτω καθεξής, έχουμε τετρακόσια, πεντακόσια, εξακόσια, επτακόσια, οκτακόσια και τελικά εννιακόσια.
Ας δούμε τώρα έναν τριψήφιο φυσικό αριθμό ως τρεις μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς, που ακολουθούν ο ένας τον άλλον από τα δεξιά προς τα αριστερά στη σημειογραφία ενός τριψήφιου φυσικού αριθμού. Ο αριθμός στα δεξιά δείχνει τον αριθμό των μονάδων, ο επόμενος αριθμός δείχνει τον αριθμό των δεκάδων και ο επόμενος αριθμός δείχνει τον αριθμό των εκατοντάδων. Αριθμοί 0 γραπτώς ένας τριψήφιος αριθμός σημαίνει την απουσία δεκάδων και (ή) μονάδων.
Έτσι, ένας τριψήφιος φυσικός αριθμός 812 αντιστοιχεί 8 εκατοντάδες, 1 δέκα και 2 μονάδες? αριθμός 305 - τριακόσια ( 0 δεκάδες, δηλαδή δεν υπάρχουν δεκάδες που να μην συνδυάζονται σε εκατοντάδες) και 5 μονάδες? αριθμός 470 – τετρακόσιες και επτά δεκάδες (δεν υπάρχουν μονάδες που να μην συνδυάζονται σε δεκάδες). αριθμός 500 – πεντακόσιες (δεν υπάρχουν δεκάδες που να μην συνδυάζονται σε εκατοντάδες και δεν υπάρχουν μονάδες που να μην συνδυάζονται σε δεκάδες).
Ομοίως, μπορεί κανείς να ορίσει τετραψήφιο, πενταψήφιο, εξαψήφιο κ.λπ. φυσικούς αριθμούς.
Πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί.
Ας προχωρήσουμε λοιπόν στον ορισμό των φυσικών αριθμών πολλαπλών τιμών.
Ορισμός.
Πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί- αυτοί είναι φυσικοί αριθμοί, η συμβολή των οποίων αποτελείται από δύο ή τρία ή τέσσερα κ.λπ. σημάδια. Με άλλα λόγια, οι πολυψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι διψήφιοι, τριψήφιοι, τετραψήφιοι κ.λπ. αριθμοί.
Ας πούμε αμέσως ότι ένα σύνολο που αποτελείται από δέκα εκατό είναι χίλια, χίλιες χιλιάδες είναι ένα εκατομμύριο, χίλια εκατομμύρια είναι ένα δισεκατομμύριο, χίλια δισεκατομμύρια είναι Ενα τρισεκατομμύριο. Χίλια τρισεκατομμύρια, χίλια χιλιάδες τρισεκατομμύρια, και ούτω καθεξής μπορούν επίσης να δοθούν τα δικά τους ονόματα, αλλά δεν υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη για αυτό.
Ποιο είναι λοιπόν το νόημα πίσω από πολυψήφιους φυσικούς αριθμούς;
Ας δούμε έναν πολυψήφιο φυσικό αριθμό ως μονοψήφιους φυσικούς αριθμούς που ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο από τα δεξιά προς τα αριστερά. Ο αριθμός στα δεξιά δείχνει τον αριθμό των μονάδων, ο επόμενος αριθμός είναι ο αριθμός των δεκάδων, ο επόμενος είναι ο αριθμός των εκατοντάδων, μετά ο αριθμός των χιλιάδων, μετά ο αριθμός των δεκάδων χιλιάδων, μετά οι εκατοντάδες χιλιάδες, μετά ο αριθμός των εκατομμυρίων, μετά ο αριθμός των δεκάδων εκατομμυρίων, μετά εκατοντάδες εκατομμύρια, μετά – ο αριθμός των δισεκατομμυρίων, μετά – ο αριθμός των δεκάδων δισεκατομμυρίων, μετά – οι εκατοντάδες δισεκατομμύρια, μετά – τα τρισεκατομμύρια, μετά – οι δεκάδες τρισεκατομμύρια, μετά – εκατοντάδες τρισεκατομμύρια και ούτω καθεξής.
Για παράδειγμα, ένας πολυψήφιος φυσικός αριθμός 7 580 521 αντιστοιχεί 1 μονάδα, 2 ντουζίνες, 5 εκατοντάδες, 0 χιλιάδες, 8 δεκάδες χιλιάδες, 5 εκατοντάδες χιλιάδες και 7 εκατομμύρια.
Έτσι, μάθαμε να ομαδοποιούμε μονάδες σε δεκάδες, δεκάδες σε εκατοντάδες, εκατοντάδες σε χιλιάδες, χιλιάδες σε δεκάδες χιλιάδες και ούτω καθεξής, και ανακαλύψαμε ότι οι αριθμοί στον συμβολισμό ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού υποδεικνύουν τον αντίστοιχο αριθμό του παραπάνω ομάδες.
Διαβάζοντας φυσικούς αριθμούς, τάξεις.
Έχουμε ήδη αναφέρει πώς διαβάζονται οι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί. Ας μάθουμε από έξω τα περιεχόμενα των παρακάτω πινάκων.
Πώς διαβάζονται οι υπόλοιποι διψήφιοι αριθμοί;
Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα. Ας διαβάσουμε τον φυσικό αριθμό 74 . Όπως μάθαμε παραπάνω, αυτός ο αριθμός αντιστοιχεί 7 δεκάδες και 4 μονάδες, δηλαδή, 70 Και 4 . Γυρίζουμε στους πίνακες που μόλις καταγράψαμε, και στον αριθμό 74 το διαβάζουμε ως: «Εβδομήντα τέσσερα» (δεν προφέρουμε τον σύνδεσμο «και»). Εάν χρειάζεται να διαβάσετε έναν αριθμό 74 στην πρόταση: «Όχι 74 μήλα» (γενική περίπτωση), τότε θα ακούγεται ως εξής: «Δεν υπάρχουν εβδομήντα τέσσερα μήλα». Ενα άλλο παράδειγμα. Αριθμός 88 - Αυτό 80 Και 8 , λοιπόν, διαβάζουμε: «Ογδόντα οκτώ». Και εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας πρότασης: "Σκέφτεται για ογδόντα οκτώ ρούβλια".
Ας προχωρήσουμε στην ανάγνωση τριψήφιων φυσικών αριθμών.
Για να γίνει αυτό θα πρέπει να μάθουμε μερικές ακόμα νέες λέξεις.
Μένει να δείξουμε πώς διαβάζονται οι υπόλοιποι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί. Σε αυτή την περίπτωση, θα χρησιμοποιήσουμε τις δεξιότητες που έχουμε ήδη αποκτήσει στην ανάγνωση μονοψήφιων και διψήφιων αριθμών.
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας διαβάσουμε τον αριθμό 107 . Αυτός ο αριθμός αντιστοιχεί 1 εκατό και 7 μονάδες, δηλαδή, 100 Και 7 . Γυρίζοντας στα τραπέζια, διαβάζουμε: «Εκατόν επτά». Τώρα ας πούμε τον αριθμό 217 . Αυτός ο αριθμός είναι 200 Και 17 , λοιπόν, διαβάζουμε: «Διακόσια δεκαεπτά». Επίσης, 888 - Αυτό 800 (οκτακόσια) και 88 (ογδόντα οκτώ), διαβάζουμε: «Οκτακόσια ογδόντα οκτώ».
Ας προχωρήσουμε στην ανάγνωση πολυψήφιων αριθμών.
Για να διαβάσετε, η εγγραφή ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού χωρίζεται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των τριών ψηφίων και στην αριστερή ομάδα μπορεί να υπάρχει είτε 1 , ή 2 , ή 3 αριθμοί. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις. Η τάξη στα δεξιά καλείται κατηγορία μονάδων. Η τάξη που την ακολουθεί (από δεξιά προς τα αριστερά) καλείται τάξη των χιλιάδων, επόμενη τάξη - τάξη εκατομμυρίων, Επόμενο - τάξη δισεκατομμυρίων, έρχεται το επόμενο τάξη τρισεκατομμυρίων. Μπορείτε να δώσετε τα ονόματα των παρακάτω κλάσεων, αλλά φυσικούς αριθμούς, η σημείωση των οποίων αποτελείται από 16 , 17 , 18 και τα λοιπά. Τα σημάδια συνήθως δεν διαβάζονται, αφού είναι πολύ δύσκολο να γίνουν αντιληπτά από το αυτί.
Δείτε παραδείγματα διαίρεσης πολυψήφιων αριθμών σε κλάσεις (για λόγους σαφήνειας, οι κλάσεις χωρίζονται μεταξύ τους με μια μικρή εσοχή): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .
Ας βάλουμε τους γραμμένους φυσικούς αριθμούς σε έναν πίνακα που θα σας διευκολύνει να μάθετε πώς να τους διαβάζετε.
Για να διαβάσουμε έναν φυσικό αριθμό, καλούμε τους αριθμούς που τον αποτελούν ανά τάξη από αριστερά προς τα δεξιά και προσθέτουμε το όνομα της κλάσης. Ταυτόχρονα, δεν προφέρουμε το όνομα της κλάσης των μονάδων και επίσης παραλείπουμε εκείνες τις κατηγορίες που αποτελούν τρία ψηφία 0 . Εάν η καταχώριση της τάξης έχει έναν αριθμό στα αριστερά 0 ή δύο ψηφία 0 , τότε αγνοούμε αυτούς τους αριθμούς 0 και διαβάστε τον αριθμό που προκύπτει απορρίπτοντας αυτούς τους αριθμούς 0 . Π.χ, 002 διαβάστε ως "δύο" και 025 - όπως στο "είκοσι πέντε".
Ας διαβάσουμε τον αριθμό 489 002 σύμφωνα με τους κανόνες που δίνονται.
Διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά,
- διαβάστε τον αριθμό 489 , που αντιπροσωπεύει την τάξη των χιλιάδων, είναι "τετρακόσια ογδόντα εννέα".
- προσθέστε το όνομα της τάξης, παίρνουμε "τετρακόσιες ογδόντα εννέα χιλιάδες".
- περαιτέρω στην κατηγορία των μονάδων βλέπουμε 002 , υπάρχουν μηδενικά στα αριστερά, τα αγνοούμε, επομένως 002 διαβάστε ως "δύο"?
- Δεν χρειάζεται να προσθέσετε το όνομα της κλάσης μονάδας.
- στο τέλος έχουμε 489 002 - «τετρακόσιες ογδόντα εννέα χιλιάδες δύο».
Ας αρχίσουμε να διαβάζουμε τον αριθμό 10 000 501 .
- Αριστερά στην τάξη των εκατομμυρίων βλέπουμε τον αριθμό 10 , διαβάστε "δέκα";
- προσθέστε το όνομα της τάξης, έχουμε "δέκα εκατομμύρια"?
- τότε βλέπουμε την καταχώρηση 000 στην τάξη χίλια, αφού και τα τρία ψηφία είναι ψηφία 0 , τότε παραλείπουμε αυτήν την τάξη και προχωράμε στην επόμενη.
- η κατηγορία μονάδων αντιπροσωπεύει τον αριθμό 501 , που διαβάζουμε «πεντακόσια ένα»·
- Ετσι, 10 000 501 - δέκα εκατομμύρια πεντακόσια ένα.
Ας το κάνουμε αυτό χωρίς λεπτομερή εξήγηση: 1 789 090 221 214 - «ένα τρισεκατομμύριο επτακόσια ογδόντα εννέα δισεκατομμύρια ενενήντα εκατομμύρια διακόσια είκοσι ένα χιλιάδες διακόσια δεκατέσσερα».
Έτσι, η βάση της ικανότητας ανάγνωσης πολυψήφιων φυσικών αριθμών είναι η ικανότητα διαίρεσης πολυψήφιων αριθμών σε τάξεις, η γνώση των ονομάτων των κλάσεων και η ικανότητα ανάγνωσης τριψήφιων αριθμών.
Τα ψηφία ενός φυσικού αριθμού, η τιμή του ψηφίου.
Κατά τη σύνταξη ενός φυσικού αριθμού, η σημασία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Για παράδειγμα, ένας φυσικός αριθμός 539 αντιστοιχεί 5 εκατοντάδες, 3 δεκάδες και 9 μονάδες, επομένως, το σχήμα 5 γραπτώς τον αριθμό 539 καθορίζει τον αριθμό των εκατοντάδων, ψηφίο 3 – τον αριθμό των δεκάδων και το ψηφίο 9 - αριθμός μονάδων. Την ίδια στιγμή λένε ότι η φιγούρα 9 κόστος σε ψηφίο μονάδωνκαι αριθμός 9 είναι τιμή μονάδας ψηφίου, αριθμός 3 κόστος σε θέση δεκάδωνκαι αριθμός 3 είναι δεκάδες θέσης, και το σχήμα 5 - V εκατοντάδες μέροςκαι αριθμός 5 είναι εκατοντάδες θέση αξίας.
Ετσι, απαλλάσσω- αφενός, αυτή είναι η θέση ενός ψηφίου στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού και, αφετέρου, η τιμή αυτού του ψηφίου, που καθορίζεται από τη θέση του.
Στις κατηγορίες δίνονται ονόματα. Αν κοιτάξετε τους αριθμούς στον συμβολισμό ενός φυσικού αριθμού από δεξιά προς τα αριστερά, τότε θα αντιστοιχούν στα ακόλουθα ψηφία: μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, εκατομμύρια, δεκάδες εκατομμύρια και σύντομα.
Είναι βολικό να θυμάστε τα ονόματα των κατηγοριών όταν παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα. Ας γράψουμε έναν πίνακα που περιέχει τα ονόματα 15 κατηγοριών.
Σημειώστε ότι ο αριθμός των ψηφίων ενός δεδομένου φυσικού αριθμού είναι ίσος με τον αριθμό των χαρακτήρων που εμπλέκονται στη σύνταξη αυτού του αριθμού. Έτσι, ο καταγεγραμμένος πίνακας περιέχει τα ονόματα των ψηφίων όλων των φυσικών αριθμών, η καταγραφή των οποίων περιέχει έως και 15 χαρακτήρες. Οι παρακάτω τάξεις έχουν επίσης τα δικά τους ονόματα, αλλά χρησιμοποιούνται πολύ σπάνια, επομένως δεν έχει νόημα να τις αναφέρουμε.
Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα ψηφίων, είναι βολικό να προσδιορίσετε τα ψηφία ενός δεδομένου φυσικού αριθμού. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γράψετε αυτόν τον φυσικό αριθμό σε αυτόν τον πίνακα έτσι ώστε να υπάρχει ένα ψηφίο σε κάθε ψηφίο και το δεξιότερο ψηφίο στο ψηφίο των μονάδων.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας γράψουμε έναν φυσικό αριθμό 67 922 003 942 στον πίνακα και τα ψηφία και οι έννοιες αυτών των ψηφίων θα γίνουν ευδιάκριτα.
Ο αριθμός σε αυτόν τον αριθμό είναι 2 στέκεται στη θέση των μονάδων, ψηφίο 4 – στη θέση δεκάδων, ψηφίο 9 – στις εκατοντάδες κ.λπ. Πρέπει να προσέξεις τους αριθμούς 0 , που βρίσκεται στις δεκάδες χιλιάδες και εκατοντάδες χιλιάδες κατηγορίες. Αριθμοί 0 σε αυτά τα ψηφία σημαίνει την απουσία μονάδων αυτών των ψηφίων.
Αξίζει επίσης να αναφέρουμε το λεγόμενο χαμηλότερο (νεώτερο) και υψηλότερο (πιο σημαντικό) ψηφίο ενός πολυψήφιου φυσικού αριθμού. Χαμηλότερη (junior) κατάταξηοποιουδήποτε πολυψήφιου φυσικού αριθμού είναι το ψηφίο των μονάδων. Το υψηλότερο (πιο σημαντικό) ψηφίο ενός φυσικού αριθμούείναι το ψηφίο που αντιστοιχεί στο δεξιότερο ψηφίο στην καταγραφή αυτού του αριθμού. Για παράδειγμα, το ψηφίο χαμηλής τάξης του φυσικού αριθμού 23.004 είναι το ψηφίο των μονάδων και το υψηλότερο ψηφίο είναι το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων. Αν στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού κινούμαστε με ψηφία από αριστερά προς τα δεξιά, τότε κάθε επόμενο ψηφίο χαμηλότερο (νεότερος)το προηγούμενο. Για παράδειγμα, η κατάταξη των χιλιάδων είναι χαμηλότερη από την κατάταξη των δεκάδων χιλιάδων, και ακόμη περισσότερο η κατάταξη των χιλιάδων είναι χαμηλότερη από την κατάταξη των εκατοντάδων χιλιάδων, εκατομμυρίων, δεκάδων εκατομμυρίων κ.λπ. Αν στη σημειογραφία ενός φυσικού αριθμού κινούμαστε με ψηφία από τα δεξιά προς τα αριστερά, τότε κάθε επόμενο ψηφίο ψηλότερος (μεγαλύτερος)το προηγούμενο. Για παράδειγμα, το ψηφίο των εκατοντάδων είναι παλαιότερο από το ψηφίο των δεκάδων, και ακόμη περισσότερο, παλαιότερο από το ψηφίο των μονάδων.
Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, κατά την εκτέλεση πρόσθεσης ή αφαίρεσης), δεν χρησιμοποιείται ο ίδιος ο φυσικός αριθμός, αλλά το άθροισμα των ψηφιακών όρων αυτού του φυσικού αριθμού.
Συνοπτικά για το δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Έτσι, εξοικειωθήκαμε με τους φυσικούς αριθμούς, τη σημασία που είναι εγγενής σε αυτούς και τον τρόπο γραφής φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας δέκα ψηφία.
Γενικά, ονομάζεται η μέθοδος γραφής αριθμών με χρήση πρόσημων αριθμητικό σύστημα. Η σημασία ενός ψηφίου σε έναν αριθμητικό συμβολισμό μπορεί να εξαρτάται ή όχι από τη θέση του. Ονομάζονται συστήματα αριθμών στα οποία η τιμή ενός ψηφίου σε έναν αριθμό εξαρτάται από τη θέση του θέσεως.
Έτσι, οι φυσικοί αριθμοί που εξετάσαμε και ο τρόπος γραφής τους υποδηλώνουν ότι χρησιμοποιούμε σύστημα αριθμών θέσης. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αριθμός έχει ιδιαίτερη θέση σε αυτό το σύστημα αριθμών 10 . Πράγματι, η καταμέτρηση γίνεται σε δεκάδες: δέκα συνδυάζονται σε δέκα, μια ντουζίνα δεκάδες συνδυάζονται σε εκατό, μια ντουζίνα εκατοντάδες σε χίλια κ.ο.κ. Αριθμός 10 που ονομάζεται βάσηδεδομένο αριθμητικό σύστημα και καλείται το ίδιο το σύστημα αριθμών δεκαδικός.
Εκτός από το σύστημα δεκαδικών αριθμών, υπάρχουν και άλλα, για παράδειγμα, στην επιστήμη των υπολογιστών χρησιμοποιείται το δυαδικό σύστημα αριθμών θέσης, και συναντάμε το σεξουαλικό σύστημα όταν πρόκειται για τη μέτρηση του χρόνου.
Βιβλιογραφία.
- Μαθηματικά. Τυχόν εγχειρίδια για την Ε' τάξη των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
Ακέραιοι
Ο ορισμός των φυσικών αριθμών είναι θετικοί ακέραιοι. Οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για την μέτρηση αντικειμένων και για πολλούς άλλους σκοπούς. Αυτοί είναι οι αριθμοί:
Αυτή είναι μια φυσική σειρά αριθμών.
Το μηδέν είναι φυσικός αριθμός; Όχι, το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός.
Πόσοι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν; Υπάρχει άπειρος αριθμός φυσικών αριθμών.
Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός; Ο ένας είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός; Είναι αδύνατο να το προσδιορίσουμε, γιατί υπάρχει άπειρος αριθμός φυσικών αριθμών.
Το άθροισμα των φυσικών αριθμών είναι ένας φυσικός αριθμός. Άρα, προσθέτοντας φυσικούς αριθμούς a και b:
Το γινόμενο των φυσικών αριθμών είναι ένας φυσικός αριθμός. Άρα, το γινόμενο των φυσικών αριθμών a και b:
Το c είναι πάντα φυσικός αριθμός.
Διαφορά φυσικών αριθμών Δεν υπάρχει πάντα φυσικός αριθμός. Αν το minuend είναι μεγαλύτερο από το subtrahend, τότε η διαφορά των φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός, διαφορετικά δεν είναι.
Το πηλίκο των φυσικών αριθμών δεν είναι πάντα φυσικός αριθμός. Αν για φυσικούς αριθμούς α και β
όπου c είναι φυσικός αριθμός, αυτό σημαίνει ότι το a διαιρείται με το b. Σε αυτό το παράδειγμα, το a είναι το μέρισμα, το b είναι ο διαιρέτης, το c είναι το πηλίκο.
Ο διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού είναι ένας φυσικός αριθμός με τον οποίο ο πρώτος αριθμός διαιρείται με ένα σύνολο.
Κάθε φυσικός αριθμός διαιρείται με τον έναν και τον εαυτό του.
Οι πρώτοι φυσικοί αριθμοί διαιρούνται μόνο με τον έναν και τον εαυτό τους. Εδώ εννοούμε διχασμένοι εντελώς. Παράδειγμα, αριθμοί 2; 3; 5; Το 7 διαιρείται μόνο με το ένα και τον εαυτό του. Αυτοί είναι απλοί φυσικοί αριθμοί.
Το ένα δεν θεωρείται πρώτος αριθμός.
Οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του ενός και δεν είναι πρώτοι ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί. Παραδείγματα σύνθετων αριθμών:
Το ένα δεν θεωρείται σύνθετος αριθμός.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα, πρώτοι αριθμοίκαι σύνθετους αριθμούς.
Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα N.
Ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών:
μεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης
συνειρμική ιδιότητα προσθήκης
(a + b) + c = a + (b + c);
ανταλλακτική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
συνειρμική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
(αβ) γ = α (βγ);
διανεμητική ιδιότητα πολλαπλασιασμού
A (b + c) = ab + ac;
Ολόκληροι αριθμοί
Ακέραιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί, το μηδέν και τα αντίθετα των φυσικών αριθμών.
Το αντίθετο των φυσικών αριθμών είναι αρνητικοί ακέραιοι, για παράδειγμα:
1; -2; -3; -4;...
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα Z.
Ρητοί αριθμοί
Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι ακέραιοι αριθμοί και κλάσματα.
Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως περιοδικό κλάσμα. Παραδείγματα:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Από τα παραδείγματα είναι σαφές ότι οποιοσδήποτε ακέραιος είναι ένα περιοδικό κλάσμα με περίοδο μηδέν.
Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα m/n, όπου m είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός. Ας φανταστούμε τον αριθμό 3,(6) από το προηγούμενο παράδειγμα ως τέτοιο κλάσμα.