Το άρθρο εξετάζει τις έννοιες των πρώτων και των σύνθετων αριθμών. Οι ορισμοί τέτοιων αριθμών δίνονται με παραδείγματα. Παρέχουμε αποδείξεις ότι η ποσότητα πρώτοι αριθμοίαπεριόριστο και γράψτε στον πίνακα των πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Ερατοσθένη. Θα δοθούν στοιχεία για να καθοριστεί εάν ένας αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί - Ορισμοί και παραδείγματα
Οι πρώτοι και οι σύνθετοι αριθμοί ταξινομούνται ως θετικοί ακέραιοι. Πρέπει να είναι μεγαλύτερα από ένα. Οι διαιρέτες χωρίζονται επίσης σε απλούς και σύνθετους. Για να κατανοήσετε την έννοια των σύνθετων αριθμών, πρέπει πρώτα να μελετήσετε τις έννοιες των διαιρετών και των πολλαπλασίων.
Ορισμός 1
Οι πρώτοι αριθμοί είναι ακέραιοι που είναι μεγαλύτεροι του ενός και έχουν δύο θετικούς διαιρέτες, δηλαδή τον εαυτό τους και το 1.
Ορισμός 2
Οι σύνθετοι αριθμοί είναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του ενός και έχουν τουλάχιστον τρεις θετικούς διαιρέτες.
Το ένα δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός. Έχει μόνο έναν θετικό διαιρέτη, επομένως είναι διαφορετικός από όλους τους άλλους θετικούς αριθμούς. Όλοι οι θετικοί ακέραιοι ονομάζονται φυσικοί αριθμοί, δηλαδή χρησιμοποιούνται στη μέτρηση.
Ορισμός 3
πρώτοι αριθμοίείναι φυσικοί αριθμοί που έχουν μόνο δύο θετικούς διαιρέτες.
Ορισμός 4
Σύνθετος αριθμός- Αυτό φυσικός αριθμός, έχοντας περισσότερους από δύο θετικούς διαιρέτες.
Κάθε αριθμός που είναι μεγαλύτερος από 1 είναι είτε πρώτος είτε σύνθετος. Από την ιδιότητα της διαιρετότητας έχουμε ότι το 1 και ο αριθμός a θα είναι πάντα διαιρέτες για οποιονδήποτε αριθμό α, δηλαδή θα διαιρείται από τον εαυτό του και με το 1. Ας δώσουμε έναν ορισμό των ακεραίων.
Ορισμός 5
Οι φυσικοί αριθμοί που δεν είναι πρώτοι ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί.
Πρώτοι αριθμοί: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με το 1. Σύνθετοι αριθμοί: 6, 63, 121, 6697. Δηλαδή, ο αριθμός 6 μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 και 3, και 63 σε 1, 3, 7, 9, 21, 63 και 121 σε 11, 11, δηλαδή οι διαιρέτες του θα είναι 1, 11, 121. Ο αριθμός 6697 διασπάται σε 37 και 181. Σημειώστε ότι οι έννοιες των πρώτων αριθμών και των συνπρώτων αριθμών είναι διαφορετικές έννοιες.
Για να διευκολύνετε τη χρήση πρώτων αριθμών, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα:
Ένας πίνακας για όλους τους υπάρχοντες φυσικούς αριθμούς δεν είναι ρεαλιστικός, αφού υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτούς. Όταν οι αριθμοί φτάνουν σε μεγέθη 10000 ή 1000000000, τότε θα πρέπει να σκεφτείτε να χρησιμοποιήσετε το κόσκινο του Ερατοσθένη.
Ας εξετάσουμε το θεώρημα που εξηγεί την τελευταία πρόταση.
Θεώρημα 1
Ο μικρότερος θετικός διαιρέτης εκτός του 1 ενός φυσικού αριθμού μεγαλύτερου του ενός είναι πρώτος αριθμός.
Αποδεικτικά στοιχεία 1
Ας υποθέσουμε ότι ο a είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος από 1, ο b είναι ο μικρότερος μη-ένας διαιρέτης του a. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι ο b είναι πρώτος αριθμός χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίφασης.
Ας υποθέσουμε ότι το b είναι ένας σύνθετος αριθμός. Από εδώ έχουμε ότι υπάρχει διαιρέτης για το b, ο οποίος είναι διαφορετικός από το 1 καθώς και από το b. Ένας τέτοιος διαιρέτης συμβολίζεται ως b 1. Είναι απαραίτητη η προϋπόθεση 1< b 1 < b ολοκληρώθηκε.
Από την προϋπόθεση είναι σαφές ότι το a διαιρείται με το b, το b διαιρείται με το b 1, που σημαίνει ότι η έννοια της διαιρετότητας εκφράζεται ως εξής: a = b qκαι b = b 1 · q 1 , από όπου a = b 1 · (q 1 · q) , όπου q και q 1είναι ακέραιοι. Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των ακεραίων, έχουμε ότι το γινόμενο των ακεραίων είναι ένας ακέραιος αριθμός με ισότητα της μορφής a = b 1 · (q 1 · q) . Μπορεί να φανεί ότι το b 1 είναι ο διαιρέτης του αριθμού α. Ανισότητα 1< b 1 < b Δεναντιστοιχεί, γιατί βρίσκουμε ότι το b είναι ο μικρότερος θετικός και μη-1 διαιρέτης του a.
Θεώρημα 2
Υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών.
Αποδεικτικά στοιχεία 2
Προφανώς παίρνουμε έναν πεπερασμένο αριθμό φυσικών αριθμών n και τους συμβολίζουμε ως p 1, p 2, ..., p n. Ας εξετάσουμε την επιλογή εύρεσης ενός πρώτου αριθμού διαφορετικού από αυτούς που υποδεικνύονται.
Ας λάβουμε υπόψη τον αριθμό p, ο οποίος είναι ίσος με p 1, p 2, ..., p n + 1. Δεν ισούται με καθέναν από τους αριθμούς που αντιστοιχούν σε πρώτους αριθμούς της μορφής p 1, p 2, ..., p n. Ο αριθμός p είναι πρώτος. Τότε το θεώρημα θεωρείται αποδεδειγμένο. Εάν είναι σύνθετο, τότε πρέπει να πάρετε τον συμβολισμό p n + 1 και να δείξετε ότι ο διαιρέτης δεν συμπίπτει με κανένα από τα p 1, p 2, ..., p n.
Αν δεν ήταν έτσι, τότε, με βάση την ιδιότητα διαιρετότητας του γινομένου p 1, p 2, ..., p n , βρίσκουμε ότι θα διαιρείται με το pn + 1. Σημειώστε ότι η έκφραση p n + 1 διαιρώντας τον αριθμό p ισούται με το άθροισμα p 1, p 2, ..., p n + 1. Λαμβάνουμε ότι η έκφραση p n + 1 Ο δεύτερος όρος αυτού του αθροίσματος, που ισούται με 1, πρέπει να διαιρεθεί, αλλά αυτό είναι αδύνατο.
Μπορεί να φανεί ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός μπορεί να βρεθεί ανάμεσα σε οποιονδήποτε αριθμό δεδομένων πρώτων αριθμών. Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλοί πρώτοι αριθμοί, οι πίνακες περιορίζονται στους αριθμούς 100, 1000, 10000 και ούτω καθεξής.
Κατά τη σύνταξη ενός πίνακα πρώτων αριθμών, θα πρέπει να λάβετε υπόψη ότι μια τέτοια εργασία απαιτεί διαδοχικό έλεγχο αριθμών, ξεκινώντας από το 2 έως το 100. Εάν δεν υπάρχει διαιρέτης, καταγράφεται στον πίνακα, εάν είναι σύνθετος, τότε δεν εισάγεται στον πίνακα.
Ας το δούμε βήμα βήμα.
Εάν ξεκινήσετε με τον αριθμό 2, τότε έχει μόνο 2 διαιρέτες: 2 και 1, που σημαίνει ότι μπορεί να εισαχθεί στον πίνακα. Το ίδιο με τον αριθμό 3. Ο αριθμός 4 είναι σύνθετος, πρέπει να αποσυντεθεί σε 2 και 2. Ο αριθμός 5 είναι πρώτος, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να καταγραφεί στον πίνακα. Κάντε αυτό μέχρι τον αριθμό 100.
Αυτή η μέθοδοςάβολο και μακρύ. Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα τραπέζι, αλλά θα πρέπει να ξοδέψετε ένας μεγάλος αριθμός απόχρόνος. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία θα επιταχύνουν τη διαδικασία εύρεσης διαιρετών.
Η μέθοδος που χρησιμοποιεί το κόσκινο του Ερατοσθένη θεωρείται η πιο βολική. Ας δούμε τους παρακάτω πίνακες παραδειγμάτων. Αρχικά, σημειώνονται οι αριθμοί 2, 3, 4, ..., 50.
Τώρα πρέπει να διαγράψετε όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 2. Εκτελέστε διαδοχικές διαγραμμίσεις. Παίρνουμε έναν πίνακα όπως:
Προχωράμε στη διαγραφή αριθμών που είναι πολλαπλάσια του 5. Παίρνουμε:
Διαγράψτε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 7, του 11. Τελικά ο πίνακας μοιάζει
Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του θεωρήματος.
Θεώρημα 3
Ο μικρότερος θετικός και μη 1 διαιρέτης του βασικού αριθμού a δεν υπερβαίνει το a, όπου a είναι η αριθμητική ρίζα του δεδομένου αριθμού.
Αποδεικτικά στοιχεία 3
Πρέπει να οριστεί β ελάχιστος διαιρέτηςσύνθετος αριθμός α. Υπάρχει ένας ακέραιος q, όπου a = b · q, και έχουμε ότι b ≤ q. Οι ανισότητες της μορφής είναι απαράδεκτες b > q,γιατί παραβιάζεται η προϋπόθεση. Και οι δύο πλευρές της ανίσωσης b ≤ q πρέπει να πολλαπλασιαστούν με οποιονδήποτε θετικό αριθμό b που δεν ισούται με 1. Παίρνουμε ότι b · b ≤ b · q, όπου b 2 ≤ a και b ≤ a.
Από το αποδεδειγμένο θεώρημα είναι σαφές ότι η διαγραφή αριθμών στον πίνακα οδηγεί στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε με έναν αριθμό που είναι ίσος με b 2 και ικανοποιεί την ανίσωση b 2 ≤ a. Δηλαδή, αν διαγράψετε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιο του 2, τότε η διαδικασία ξεκινά με το 4 και πολλαπλάσια του 3 με το 9 και ούτω καθεξής μέχρι το 100.
Η σύνταξη ενός τέτοιου πίνακα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Ερατοσθένη υποδηλώνει ότι όταν διαγράφονται όλοι οι σύνθετοι αριθμοί, θα παραμείνουν πρώτοι αριθμοί που δεν υπερβαίνουν το n. Στο παράδειγμα όπου n = 50, έχουμε ότι n = 50. Από εδώ παίρνουμε ότι το κόσκινο του Ερατοσθένη κοσκινίζει όλους τους σύνθετους αριθμούς που δεν έχουν τιμή μεγαλύτερη αξίαρίζα του 50. Η αναζήτηση αριθμών γίνεται με διαγραφή.
Πριν λύσετε, πρέπει να μάθετε αν ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος. Συχνά χρησιμοποιούνται κριτήρια διαιρετότητας. Ας το δούμε αυτό στο παρακάτω παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Αποδείξτε ότι ο αριθμός 898989898989898989 είναι σύνθετος.
Λύση
Το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού είναι 9 8 + 9 9 = 9 17. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 9 · 17 διαιρείται με το 9, με βάση το τεστ διαιρετότητας με το 9. Από αυτό προκύπτει ότι είναι σύνθετο.
Τέτοια ζώδια δεν είναι σε θέση να αποδείξουν την πρωταρχικότητα ενός αριθμού. Εάν απαιτείται επαλήθευση, θα πρέπει να γίνουν και άλλες ενέργειες. Ο καταλληλότερος τρόπος είναι η απαρίθμηση αριθμών. Κατά τη διαδικασία, μπορείτε να βρείτε πρώτους και σύνθετους αριθμούς. Δηλαδή, οι αριθμοί δεν πρέπει να υπερβαίνουν το α σε τιμή. Δηλαδή, ο αριθμός a πρέπει να αποσυντεθεί σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν αυτό ικανοποιείται, τότε ο αριθμός a μπορεί να θεωρηθεί πρώτος.
Παράδειγμα 2
Προσδιορίστε τον σύνθετο ή πρώτο αριθμό 11723.
Λύση
Τώρα πρέπει να βρείτε όλους τους διαιρέτες για τον αριθμό 11723. Ανάγκη αξιολόγησης 11723 .
Από εδώ βλέπουμε ότι το 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 και 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 μικρότερος αριθμός 200 .
Για μια πιο ακριβή εκτίμηση του αριθμού 11723, πρέπει να γράψετε την έκφραση 108 2 = 11 664 και 109 2 = 11 881 , Οτι 108 2 < 11 723 < 109 2 . Από αυτό προκύπτει ότι το 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Κατά την επέκταση, βρίσκουμε ότι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 είναι όλοι πρώτοι αριθμοί. Όλη αυτή η διαδικασία μπορεί να απεικονιστεί ως διαίρεση με μια στήλη. Δηλαδή, διαιρέστε το 11723 με το 19. Ο αριθμός 19 είναι ένας από τους παράγοντες του, αφού παίρνουμε διαίρεση χωρίς υπόλοιπο. Ας αναπαραστήσουμε τη διαίρεση ως στήλη:
Από αυτό προκύπτει ότι το 11723 είναι σύνθετος αριθμός, γιατί εκτός από τον εαυτό του και το 1 έχει διαιρέτη του 19.
Απάντηση:Το 11723 είναι ένας σύνθετος αριθμός.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Ηλεκτρομαγνητικά κύματα
Παρακάτω είναι ένας πίνακας με πρώτους αριθμούς από το 2 έως το 10000 (1229 τεμάχια). Η μονάδα δεν περιλαμβάνεται, συγγνώμη. Ορισμένοι πιστεύουν ότι η μονάδα δεν περιλαμβάνεται επειδή... δεν μπορεί να είναι εκεί. " Πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός που έχει δύο διαιρέτες: έναν και τον ίδιο τον αριθμό.«Και ο αριθμός 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη· δεν ισχύει ούτε για τους πρώτους ούτε για τους σύνθετους αριθμούς. (λογική παρατήρηση Όλγας 21/09/12)Ωστόσο, θυμόμαστε ότι μερικές φορές οι πρώτοι αριθμοί εισάγονται ως εξής: Πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός που διαιρείται με το ένα και τον εαυτό του.«Σε αυτή την περίπτωση, το ένα είναι προφανώς πρώτος αριθμός.
Πίνακας πρώτων αριθμών από το 2 έως το 1000. Ο πίνακας των πρώτων αριθμών από το 2 έως το 1000 επισημαίνεται με γκρι χρώμα.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
| 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
| 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
| 1009 | 1013 | 1019 | 1021 | 1031 | 1033 | 1039 | 1049 | 1051 | 1061 | 1063 | 1069 |
| 1087 | 1091 | 1093 | 1097 | 1103 | 1109 | 1117 | 1123 | 1129 | 1151 | 1153 | 1163 |
| 1171 | 1181 | 1187 | 1193 | 1201 | 1213 | 1217 | 1223 | 1229 | 1231 | 1237 | 1249 |
| 1259 | 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | 1307 | 1319 | 1321 |
| 1327 | 1361 | 1367 | 1373 | 1381 | 1399 | 1409 | 1423 | 1427 | 1429 | 1433 | 1439 |
| 1447 | 1451 | 1453 | 1459 | 1471 | 1481 | 1483 | 1487 | 1489 | 1493 | 1499 | 1511 |
| 1523 | 1531 | 1543 | 1549 | 1553 | 1559 | 1567 | 1571 | 1579 | 1583 | 1597 | 1601 |
| 1607 | 1609 | 1613 | 1619 | 1621 | 1627 | 1637 | 1657 | 1663 | 1667 | 1669 | 1693 |
| 1697 | 1699 | 1709 | 1721 | 1723 | 1733 | 1741 | 1747 | 1753 | 1759 | 1777 | 1783 |
| 1787 | 1789 | 1801 | 1811 | 1823 | 1831 | 1847 | 1861 | 1867 | 1871 | 1873 | 1877 |
| 1879 | 1889 | 1901 | 1907 | 1913 | 1931 | 1933 | 1949 | 1951 | 1973 | 1979 | 1987 |
| 1993 | 1997 | 1999 | 2003 | 2011 | 2017 | 2027 | 2029 | 2039 | 2053 | 2063 | 2069 |
| 2081 | 2083 | 2087 | 2089 | 2099 | 2111 | 2113 | 2129 | 2131 | 2137 | 2141 | 2143 |
| 2153 | 2161 | 2179 | 2203 | 2207 | 2213 | 2221 | 2237 | 2239 | 2243 | 2251 | 2267 |
| 2269 | 2273 | 2281 | 2287 | 2293 | 2297 | 2309 | 2311 | 2333 | 2339 | 2341 | 2347 |
| 2351 | 2357 | 2371 | 2377 | 2381 | 2383 | 2389 | 2393 | 2399 | 2411 | 2417 | 2423 |
| 2437 | 2441 | 2447 | 2459 | 2467 | 2473 | 2477 | 2503 | 2521 | 2531 | 2539 | 2543 |
| 2549 | 2551 | 2557 | 2579 | 2591 | 2593 | 2609 | 2617 | 2621 | 2633 | 2647 | 2657 |
| 2659 | 2663 | 2671 | 2677 | 2683 | 2687 | 2689 | 2693 | 2699 | 2707 | 2711 | 2713 |
| 2719 | 2729 | 2731 | 2741 | 2749 | 2753 | 2767 | 2777 | 2789 | 2791 | 2797 | 2801 |
| 2803 | 2819 | 2833 | 2837 | 2843 | 2851 | 2857 | 2861 | 2879 | 2887 | 2897 | 2903 |
| 2909 | 2917 | 2927 | 2939 | 2953 | 2957 | 2963 | 2969 | 2971 | 2999 | 3001 | 3011 |
| 3019 | 3023 | 3037 | 3041 | 3049 | 3061 | 3067 | 3079 | 3083 | 3089 | 3109 | 3119 |
| 3121 | 3137 | 3163 | 3167 | 3169 | 3181 | 3187 | 3191 | 3203 | 3209 | 3217 | 3221 |
| 3229 | 3251 | 3253 | 3257 | 3259 | 3271 | 3299 | 3301 | 3307 | 3313 | 3319 | 3323 |
| 3329 | 3331 | 3343 | 3347 | 3359 | 3361 | 3371 | 3373 | 3389 | 3391 | 3407 | 3413 |
| 3433 | 3449 | 3457 | 3461 | 3463 | 3467 | 3469 | 3491 | 3499 | 3511 | 3517 | 3527 |
| 3529 | 3533 | 3539 | 3541 | 3547 | 3557 | 3559 | 3571 | 3581 | 3583 | 3593 | 3607 |
| 3613 | 3617 | 3623 | 3631 | 3637 | 3643 | 3659 | 3671 | 3673 | 3677 | 3691 | 3697 |
| 3701 | 3709 | 3719 | 3727 | 3733 | 3739 | 3761 | 3767 | 3769 | 3779 | 3793 | 3797 |
| 3803 | 3821 | 3823 | 3833 | 3847 | 3851 | 3853 | 3863 | 3877 | 3881 | 3889 | 3907 |
| 3911 | 3917 | 3919 | 3923 | 3929 | 3931 | 3943 | 3947 | 3967 | 3989 | 4001 | 4003 |
| 4007 | 4013 | 4019 | 4021 | 4027 | 4049 | 4051 | 4057 | 4073 | 4079 | 4091 | 4093 |
| 4099 | 4111 | 4127 | 4129 | 4133 | 4139 | 4153 | 4157 | 4159 | 4177 | 4201 | 4211 |
| 4217 | 4219 | 4229 | 4231 | 4241 | 4243 | 4253 | 4259 | 4261 | 4271 | 4273 | 4283 |
| 4289 | 4297 | 4327 | 4337 | 4339 | 4349 | 4357 | 4363 | 4373 | 4391 | 4397 | 4409 |
| 4421 | 4423 | 4441 | 4447 | 4451 | 4457 | 4463 | 4481 | 4483 | 4493 | 4507 | 4513 |
| 4517 | 4519 | 4523 | 4547 | 4549 | 4561 | 4567 | 4583 | 4591 | 4597 | 4603 | 4621 |
| 4637 | 4639 | 4643 | 4649 | 4651 | 4657 | 4663 | 4673 | 4679 | 4691 | 4703 | 4721 |
| 4723 | 4729 | 4733 | 4751 | 4759 | 4783 | 4787 | 4789 | 4793 | 4799 | 4801 | 4813 |
| 4817 | 4831 | 4861 | 4871 | 4877 | 4889 | 4903 | 4909 | 4919 | 4931 | 4933 | 4937 |
| 4943 | 4951 | 4957 | 4967 | 4969 | 4973 | 4987 | 4993 | 4999 | 5003 | 5009 | 5011 |
| 5021 | 5023 | 5039 | 5051 | 5059 | 5077 | 5081 | 5087 | 5099 | 5101 | 5107 | 5113 |
| 5119 | 5147 | 5153 | 5167 | 5171 | 5179 | 5189 | 5197 | 5209 | 5227 | 5231 | 5233 |
| 5237 | 5261 | 5273 | 5279 | 5281 | 5297 | 5303 | 5309 | 5323 | 5333 | 5347 | 5351 |
| 5381 | 5387 | 5393 | 5399 | 5407 | 5413 | 5417 | 5419 | 5431 | 5437 | 5441 | 5443 |
| 5449 | 5471 | 5477 | 5479 | 5483 | 5501 | 5503 | 5507 | 5519 | 5521 | 5527 | 5531 |
| 5557 | 5563 | 5569 | 5573 | 5581 | 5591 | 5623 | 5639 | 5641 | 5647 | 5651 | 5653 |
| 5657 | 5659 | 5669 | 5683 | 5689 | 5693 | 5701 | 5711 | 5717 | 5737 | 5741 | 5743 |
| 5749 | 5779 | 5783 | 5791 | 5801 | 5807 | 5813 | 5821 | 5827 | 5839 | 5843 | 5849 |
| 5851 | 5857 | 5861 | 5867 | 5869 | 5879 | 5881 | 5897 | 5903 | 5923 | 5927 | 5939 |
| 5953 | 5981 | 5987 | 6007 | 6011 | 6029 | 6037 | 6043 | 6047 | 6053 | 6067 | 6073 |
| 6079 | 6089 | 6091 | 6101 | 6113 | 6121 | 6131 | 6133 | 6143 | 6151 | 6163 | 6173 |
| 6197 | 6199 | 6203 | 6211 | 6217 | 6221 | 6229 | 6247 | 6257 | 6263 | 6269 | 6271 |
| 6277 | 6287 | 6299 | 6301 | 6311 | 6317 | 6323 | 6329 | 6337 | 6343 | 6353 | 6359 |
| 6361 | 6367 | 6373 | 6379 | 6389 | 6397 | 6421 | 6427 | 6449 | 6451 | 6469 | 6473 |
| 6481 | 6491 | 6521 | 6529 | 6547 | 6551 | 6553 | 6563 | 6569 | 6571 | 6577 | 6581 |
| 6599 | 6607 | 6619 | 6637 | 6653 | 6659 | 6661 | 6673 | 6679 | 6689 | 6691 | 6701 |
| 6703 | 6709 | 6719 | 6733 | 6737 | 6761 | 6763 | 6779 | 6781 | 6791 | 6793 | 6803 |
| 6823 | 6827 | 6829 | 6833 | 6841 | 6857 | 6863 | 6869 | 6871 | 6883 | 6899 | 6907 |
| 6911 | 6917 | 6947 | 6949 | 6959 | 6961 | 6967 | 6971 | 6977 | 6983 | 6991 | 6997 |
| 7001 | 7013 | 7019 | 7027 | 7039 | 7043 | 7057 | 7069 | 7079 | 7103 | 7109 | 7121 |
| 7127 | 7129 | 7151 | 7159 | 7177 | 7187 | 7193 | 7207 | 7211 | 7213 | 7219 | 7229 |
| 7237 | 7243 | 7247 | 7253 | 7283 | 7297 | 7307 | 7309 | 7321 | 7331 | 7333 | 7349 |
| 7351 | 7369 | 7393 | 7411 | 7417 | 7433 | 7451 | 7457 | 7459 | 7477 | 7481 | 7487 |
| 7489 | 7499 | 7507 | 7517 | 7523 | 7529 | 7537 | 7541 | 7547 | 7549 | 7559 | 7561 |
| 7573 | 7577 | 7583 | 7589 | 7591 | 7603 | 7607 | 7621 | 7639 | 7643 | 7649 | 7669 |
| 7673 | 7681 | 7687 | 7691 | 7699 | 7703 | 7717 | 7723 | 7727 | 7741 | 7753 | 7757 |
| 7759 | 7789 | 7793 | 7817 | 7823 | 7829 | 7841 | 7853 | 7867 | 7873 | 7877 | 7879 |
| 7883 | 7901 | 7907 | 7919 | 7927 | 7933 | 7937 | 7949 | 7951 | 7963 | 7993 | 8009 |
| 8011 | 8017 | 8039 | 8053 | 8059 | 8069 | 8081 | 8087 | 8089 | 8093 | 8101 | 8111 |
| 8117 | 8123 | 8147 | 8161 | 8167 | 8171 | 8179 | 8191 | 8209 | 8219 | 8221 | 8231 |
| 8233 | 8237 | 8243 | 8263 | 8269 | 8273 | 8287 | 8291 | 8293 | 8297 | 8311 | 8317 |
| 8329 | 8353 | 8363 | 8369 | 8377 | 8387 | 8389 | 8419 | 8423 | 8429 | 8431 | 8443 |
| 8447 | 8461 | 8467 | 8501 | 8513 | 8521 | 8527 | 8537 | 8539 | 8543 | 8563 | 8573 |
| 8581 | 8597 | 8599 | 8609 | 8623 | 8627 | 8629 | 8641 | 8647 | 8663 | 8669 | 8677 |
| 8681 | 8689 | 8693 | 8699 | 8707 | 8713 | 8719 | 8731 | 8737 | 8741 | 8747 | 8753 |
| 8761 | 8779 | 8783 | 8803 | 8807 | 8819 | 8821 | 8831 | 8837 | 8839 | 8849 | 8861 |
| 8863 | 8867 | 8887 | 8893 | 8923 | 8929 | 8933 | 8941 | 8951 | 8963 | 8969 | 8971 |
| 8999 | 9001 | 9007 | 9011 | 9013 | 9029 | 9041 | 9043 | 9049 | 9059 | 9067 | 9091 |
| 9103 | 9109 | 9127 | 9133 | 9137 | 9151 | 9157 | 9161 | 9173 | 9181 | 9187 | 9199 |
| 9203 | 9209 | 9221 | 9227 | 9239 | 9241 | 9257 | 9277 | 9281 | 9283 | 9293 | 9311 |
| 9319 | 9323 | 9337 | 9341 | 9343 | 9349 | 9371 | 9377 | 9391 | 9397 | 9403 | 9413 |
| 9419 | 9421 | 9431 | 9433 | 9437 | 9439 | 9461 | 9463 | 9467 | 9473 | 9479 | 9491 |
| 9497 | 9511 | 9521 | 9533 | 9539 | 9547 | 9551 | 9587 | 9601 | 9613 | 9619 | 9623 |
| 9629 | 9631 | 9643 | 9649 | 9661 | 9677 | 9679 | 9689 | 9697 | 9719 | 9721 | 9733 |
| 9739 | 9743 | 9749 | 9767 | 9769 | 9781 | 9787 | 9791 | 9803 | 9811 | 9817 | 9829 |
| 9833 | 9839 | 9851 | 9857 | 9859 | 9871 | 9883 | 9887 | 9901 | 9907 | 9923 | 9929 |
| 9931 | 9941 | 9949 | 9967 | 9973 | τέλος της ταμπέλας :) | ||||||
Βαθμολογία άρθρου:
Σε αυτό το άρθρο θα εξερευνήσουμε πρώτους και σύνθετους αριθμούς. Αρχικά, θα δώσουμε ορισμούς πρώτων και σύνθετων αριθμών και θα δώσουμε επίσης παραδείγματα. Μετά από αυτό θα αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Στη συνέχεια, θα γράψουμε έναν πίνακα πρώτων αριθμών και θα εξετάσουμε μεθόδους για τη σύνταξη ενός πίνακα πρώτων αριθμών, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στη μέθοδο που ονομάζεται κόσκινο του Ερατοσθένη. Συμπερασματικά, επισημαίνουμε τα κύρια σημεία που πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την απόδειξη αυτού δεδομένου αριθμούείναι απλό ή σύνθετο.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί - Ορισμοί και παραδείγματα
Οι έννοιες των πρώτων αριθμών και των σύνθετων αριθμών αναφέρονται σε αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του ενός. Τέτοιοι ακέραιοι αριθμοί, ανάλογα με τον αριθμό των θετικών διαιρετών τους, χωρίζονται σε πρώτους και σύνθετους αριθμούς. Έτσι για να καταλάβουμε ορισμοί πρώτων και σύνθετων αριθμών, πρέπει να κατανοήσετε καλά τι είναι οι διαιρέτες και τα πολλαπλάσια.
Ορισμός.
πρώτοι αριθμοίείναι ακέραιοι, μεγάλες μονάδες, που έχουν μόνο δύο θετικούς διαιρέτες, δηλαδή τον εαυτό τους και το 1.
Ορισμός.
Σύνθετοι αριθμοίείναι ακέραιοι, μεγάλοι, που έχουν τουλάχιστον τρεις θετικούς διαιρέτες.
Ξεχωριστά, σημειώστε ότι ο αριθμός 1 δεν ισχύει ούτε για πρώτους ούτε για σύνθετους αριθμούς. Η μονάδα έχει μόνο έναν θετικό διαιρέτη, που είναι ο ίδιος ο αριθμός 1. Αυτό διακρίνει τον αριθμό 1 από όλους τους άλλους θετικούς ακέραιους που έχουν τουλάχιστον δύο θετικούς διαιρέτες.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι θετικοί ακέραιοι είναι , και ότι κάποιος έχει μόνο έναν θετικό διαιρέτη, μπορούμε να δώσουμε άλλες διατυπώσεις των δηλωμένων ορισμών των πρώτων και σύνθετων αριθμών.
Ορισμός.
πρώτοι αριθμοίείναι φυσικοί αριθμοί που έχουν μόνο δύο θετικούς διαιρέτες.
Ορισμός.
Σύνθετοι αριθμοίείναι φυσικοί αριθμοί που έχουν περισσότερους από δύο θετικούς διαιρέτες.
Σημειώστε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από ένα είναι είτε πρώτος είτε σύνθετος αριθμός. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει ούτε ένας ακέραιος αριθμός που να μην είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα της διαιρετότητας, η οποία δηλώνει ότι οι αριθμοί 1 και a είναι πάντα διαιρέτες οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού α.
Με βάση τις πληροφορίες της προηγούμενης παραγράφου, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό των σύνθετων αριθμών.
Ορισμός.
Οι φυσικοί αριθμοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετος.
Ας δώσουμε παραδείγματα πρώτων και σύνθετων αριθμών.
Παραδείγματα σύνθετων αριθμών περιλαμβάνουν 6, 63, 121 και 6.697. Αυτή η δήλωση χρειάζεται επίσης διευκρίνιση. Ο αριθμός 6, εκτός από τους θετικούς διαιρέτες 1 και 6, έχει και διαιρέτες 2 και 3, αφού 6 = 2 3, επομένως το 6 είναι πραγματικά σύνθετος αριθμός. Θετικοί παράγοντες του 63 είναι οι αριθμοί 1, 3, 7, 9, 21 και 63. Ο αριθμός 121 είναι ίσος με το γινόμενο 11·11, άρα οι θετικοί διαιρέτες του είναι 1, 11 και 121. Και ο αριθμός 6.697 είναι σύνθετος, αφού θετικοί διαιρέτες του, εκτός από το 1 και το 6.697, είναι και οι αριθμοί 37 και 181.
Ολοκληρώνοντας αυτό το σημείο, θα ήθελα επίσης να επιστήσω την προσοχή στο γεγονός ότι οι πρώτοι και οι συμπρώτοι αριθμοί απέχουν πολύ από το ίδιο πράγμα.
Πίνακας πρώτων αριθμών
Οι πρώτοι αριθμοί, για τη διευκόλυνση της περαιτέρω χρήσης τους, καταγράφονται σε έναν πίνακα που ονομάζεται πίνακας πρώτων αριθμών. Παρακάτω είναι πίνακας πρώτων αριθμώνέως 1.000.
Προκύπτει λογική ερώτηση: «Γιατί συμπληρώσαμε τον πίνακα των πρώτων αριθμών μόνο μέχρι το 1.000, δεν είναι δυνατόν να κάνουμε έναν πίνακα με όλους τους πρώτους αριθμούς που υπάρχουν»;
Ας απαντήσουμε πρώτα στο πρώτο μέρος αυτής της ερώτησης. Για τα περισσότερα προβλήματα που απαιτούν τη χρήση πρώτων αριθμών, αρκούν πρώτοι αριθμοί εντός χιλίων. Σε άλλες περιπτώσεις, πιθανότατα, θα πρέπει να καταφύγετε σε κάποιες ειδικές λύσεις. Αν και σίγουρα μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι έναν αυθαίρετα μεγάλο πεπερασμένο θετικό ακέραιο, είτε είναι 10.000 είτε 1.000.000.000, στην επόμενη παράγραφο θα μιλήσουμε για μεθόδους δημιουργίας πινάκων πρώτων αριθμών, συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε μια μέθοδο που ονομάζεται.
Τώρα ας δούμε τη δυνατότητα (ή μάλλον, την αδυναμία) να συντάξουμε έναν πίνακα με όλους τους υπάρχοντες πρώτους αριθμούς. Δεν μπορούμε να κάνουμε έναν πίνακα με όλους τους πρώτους αριθμούς γιατί υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Η τελευταία πρόταση είναι ένα θεώρημα που θα αποδείξουμε μετά το παρακάτω βοηθητικό θεώρημα.
Θεώρημα.
Ο μικρότερος θετικός διαιρέτης εκτός του 1 ενός φυσικού αριθμού μεγαλύτερου του ενός είναι πρώτος αριθμός.
Απόδειξη.
Αφήνω Ο a είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός και ο b είναι ο μικρότερος θετικός διαιρέτης ενός άλλου από το ένα. Ας αποδείξουμε ότι ο b είναι πρώτος αριθμός κατά αντίφαση.
Ας υποθέσουμε ότι το b είναι ένας σύνθετος αριθμός. Τότε υπάρχει ένας διαιρέτης του αριθμού b (ας τον συμβολίσουμε b 1), ο οποίος είναι διαφορετικός τόσο από το 1 όσο και από το b. Αν λάβουμε επίσης υπόψη ότι η απόλυτη τιμή του διαιρέτη δεν υπερβαίνει την απόλυτη τιμή του μερίσματος (το γνωρίζουμε από τις ιδιότητες της διαιρετότητας), τότε πρέπει να πληρούται η συνθήκη 1
Εφόσον ο αριθμός a διαιρείται με το b σύμφωνα με την συνθήκη, και είπαμε ότι το b διαιρείται με το b 1, η έννοια της διαιρετότητας μας επιτρέπει να μιλάμε για την ύπαρξη ακεραίων q και q 1 έτσι ώστε a=b q και b=b 1 q 1 , από όπου a= b 1 ·(q 1 ·q) . Συνεπάγεται ότι το γινόμενο δύο ακεραίων είναι ένας ακέραιος, τότε η ισότητα a=b 1 ·(q 1 ·q) δείχνει ότι το b 1 είναι διαιρέτης του αριθμού a. Λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ανισότητες 1
Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Θεώρημα.
Υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών.
Απόδειξη.
Ας υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει. Δηλαδή, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μόνο n πρώτοι αριθμοί, και αυτοί οι πρώτοι αριθμοί είναι p 1, p 2, ..., p n. Ας δείξουμε ότι μπορούμε πάντα να βρούμε έναν πρώτο αριθμό διαφορετικό από αυτούς που υποδεικνύονται.
Θεωρήστε τον αριθμό p ίσο με p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Είναι σαφές ότι αυτός ο αριθμός είναι διαφορετικός από καθέναν από τους πρώτους αριθμούς p 1, p 2, ..., p n. Αν ο αριθμός p είναι πρώτος, τότε το θεώρημα αποδεικνύεται. Αν αυτός ο αριθμός είναι σύνθετος, τότε δυνάμει του προηγούμενου θεωρήματος υπάρχει πρώτος διαιρέτης αυτού του αριθμού (τον συμβολίζουμε p n+1). Ας δείξουμε ότι αυτός ο διαιρέτης δεν συμπίπτει με κανέναν από τους αριθμούς p 1, p 2, ..., p n.
Αν δεν ήταν έτσι, τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες της διαιρετότητας, το γινόμενο p 1 ·p 2 ·…·p n θα διαιρούνταν με το p n+1. Αλλά ο αριθμός p διαιρείται επίσης με το p n+1, ίσο με το άθροισμα p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Από αυτό προκύπτει ότι το p n+1 πρέπει να διαιρέσει τον δεύτερο όρο αυτού του αθροίσματος, ο οποίος είναι ίσος με ένα, αλλά αυτό είναι αδύνατο.
Έτσι, έχει αποδειχθεί ότι μπορεί πάντα να βρεθεί ένας νέος πρώτος αριθμός που δεν περιλαμβάνεται σε κανέναν αριθμό προκαθορισμένων πρώτων αριθμών. Επομένως, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.
Έτσι, λόγω του γεγονότος ότι υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών, όταν συντάσσετε πίνακες πρώτων αριθμών, περιορίζετε πάντα τον εαυτό σας από πάνω σε κάποιον αριθμό, συνήθως 100, 1.000, 10.000 κ.λπ.
Κόσκινο του Ερατοσθένη
Τώρα θα συζητήσουμε τρόπους δημιουργίας πινάκων πρώτων αριθμών. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να φτιάξουμε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 100.
Η πιο προφανής μέθοδος για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι ο διαδοχικός έλεγχος θετικών ακεραίων, ξεκινώντας από το 2 και τελειώνοντας με το 100, για την παρουσία ενός θετικού διαιρέτη που είναι μεγαλύτερος από 1 και μικρότερος από τον αριθμό που ελέγχεται (από τις ιδιότητες της διαιρετότητας που γνωρίζουμε ότι η απόλυτη τιμή του διαιρέτη δεν υπερβαίνει την απόλυτη τιμή του μερίσματος, μη μηδενική). Εάν δεν βρεθεί ένας τέτοιος διαιρέτης, τότε ο αριθμός που ελέγχεται είναι πρώτος και εισάγεται στον πίνακα πρώτων αριθμών. Εάν βρεθεί ένας τέτοιος διαιρέτης, τότε ο αριθμός που ελέγχεται είναι σύνθετος, ΔΕΝ εισάγεται στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Μετά από αυτό, γίνεται η μετάβαση στον επόμενο αριθμό, ο οποίος ελέγχεται ομοίως για την παρουσία διαιρέτη.
Ας περιγράψουμε τα πρώτα βήματα.
Ξεκινάμε με τον αριθμό 2. Ο αριθμός 2 δεν έχει θετικούς διαιρέτες εκτός από το 1 και το 2. Επομένως, είναι απλό, επομένως, το εισάγουμε στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Εδώ πρέπει να πούμε ότι το 2 είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός. Ας προχωρήσουμε στο νούμερο 3. Ο πιθανός θετικός του διαιρέτης εκτός από το 1 και το 3 είναι ο αριθμός 2. Αλλά το 3 δεν διαιρείται με το 2, επομένως, το 3 είναι πρώτος αριθμός και πρέπει επίσης να συμπεριληφθεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Ας προχωρήσουμε στο νούμερο 4. Οι θετικοί διαιρέτες του, εκτός από το 1 και το 4, μπορεί να είναι οι αριθμοί 2 και 3, ας τους ελέγξουμε. Ο αριθμός 4 διαιρείται με το 2, επομένως, το 4 είναι σύνθετος αριθμός και δεν χρειάζεται να συμπεριληφθεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Σημειώστε ότι το 4 είναι ο μικρότερος σύνθετος αριθμός. Ας προχωρήσουμε στον αριθμό 5. Ελέγχουμε αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς 2, 3, 4 είναι ο διαιρέτης του. Εφόσον το 5 δεν διαιρείται με το 2, το 3 ή το 4, τότε είναι πρώτος και πρέπει να γραφτεί στον πίνακα των πρώτων αριθμών. Στη συνέχεια, υπάρχει μια μετάβαση στους αριθμούς 6, 7 και ούτω καθεξής μέχρι το 100.
Αυτή η προσέγγιση για τη σύνταξη ενός πίνακα πρώτων αριθμών απέχει πολύ από το να είναι ιδανική. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, έχει δικαίωμα ύπαρξης. Σημειώστε ότι με αυτήν τη μέθοδο κατασκευής πίνακα ακεραίων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία θα επιταχύνουν ελαφρώς τη διαδικασία εύρεσης διαιρετών.
Υπάρχει ένας πιο βολικός τρόπος για να δημιουργήσετε έναν πίνακα πρώτων αριθμών, που ονομάζεται. Η λέξη «κόσκινο» που υπάρχει στο όνομα δεν είναι τυχαία, αφού οι ενέργειες αυτής της μεθόδου βοηθούν, σαν να λέγαμε, να «κοσκινιστούν» ακέραιοι αριθμοί και μεγάλες μονάδες μέσα από το κόσκινο του Ερατοσθένη για να διαχωριστούν οι απλοί από τους σύνθετους.
Ας δείξουμε το κόσκινο του Ερατοσθένη σε δράση όταν συντάσσουμε έναν πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι το 50.
Αρχικά, γράψτε τους αριθμούς 2, 3, 4, ..., 50 με τη σειρά.
Ο πρώτος αριθμός που γράφεται, 2, είναι πρώτος. Τώρα, από τον αριθμό 2, μετακινούμαστε διαδοχικά προς τα δεξιά κατά δύο αριθμούς και διαγράφουμε αυτούς τους αριθμούς μέχρι να φτάσουμε στο τέλος του πίνακα των αριθμών που συντάσσεται. Αυτό θα διαγράψει όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του δύο.
Ο πρώτος αριθμός μετά το 2 που δεν διαγράφεται είναι 3. Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος. Τώρα, από τον αριθμό 3, μετακινούμαστε με συνέπεια προς τα δεξιά κατά τρεις αριθμούς (λαμβάνοντας υπόψη τους ήδη διαγραμμένους αριθμούς) και τους διαγράφουμε. Αυτό θα διαγράψει όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του τριών.
Ο πρώτος αριθμός μετά το 3 που δεν διαγράφεται είναι το 5. Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος. Τώρα από τον αριθμό 5 μετακινούμαστε σταθερά προς τα δεξιά κατά 5 αριθμούς (λαμβάνουμε επίσης υπόψη τους αριθμούς που διαγραμμίστηκαν νωρίτερα) και τους διαγράφουμε. Αυτό θα διαγράψει όλους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του πέντε.
Στη συνέχεια, διαγράφουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του 7, μετά πολλαπλάσια του 11 και ούτω καθεξής. Η διαδικασία τελειώνει όταν δεν υπάρχουν άλλοι αριθμοί για διαγραφή. Παρακάτω είναι ο συμπληρωμένος πίνακας των πρώτων αριθμών μέχρι το 50, που προέκυψε με το κόσκινο του Ερατοσθένη. Όλοι οι μη σταυρωτοί αριθμοί είναι πρώτοι και όλοι οι διαγραμμένοι αριθμοί είναι σύνθετοι.
Ας διατυπώσουμε και ας αποδείξουμε επίσης ένα θεώρημα που θα επιταχύνει τη διαδικασία σύνταξης ενός πίνακα πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Ερατοσθένη.
Θεώρημα.
Ο μικρότερος θετικός διαιρέτης ενός σύνθετου αριθμού a που είναι διαφορετικός από το ένα δεν υπερβαίνει το , όπου είναι από το a .
Απόδειξη.
Ας συμβολίσουμε με το γράμμα b τον μικρότερο διαιρέτη ενός σύνθετου αριθμού α που είναι διαφορετικός από το ένα (ο αριθμός b είναι πρώτος, όπως προκύπτει από το θεώρημα που αποδείχθηκε στην αρχή της προηγούμενης παραγράφου). Τότε υπάρχει ένας ακέραιος q τέτοιος ώστε a=b·q (εδώ q είναι θετικός ακέραιος, που προκύπτει από τους κανόνες πολλαπλασιασμού των ακεραίων), και (για b>q παραβιάζεται η συνθήκη b είναι ο μικρότερος διαιρέτης του a , αφού το q είναι και διαιρέτης του αριθμού a λόγω της ισότητας a=q·b ). Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας με ένα θετικό και έναν ακέραιο μεγαλύτερο από ένα (μας επιτρέπεται να το κάνουμε αυτό), λαμβάνουμε , από το οποίο και .
Τι μας δίνει το αποδεδειγμένο θεώρημα σχετικά με το κόσκινο του Ερατοσθένη;
Πρώτον, η διαγραφή σύνθετων αριθμών που είναι πολλαπλάσια ενός πρώτου αριθμού b πρέπει να ξεκινά με αριθμό ίσο με (αυτό προκύπτει από την ανισότητα). Για παράδειγμα, η διαγραφή αριθμών που είναι πολλαπλάσια του δύο πρέπει να ξεκινά με τον αριθμό 4, τα πολλαπλάσια του τριών με τον αριθμό 9, τα πολλαπλάσια του πέντε με τον αριθμό 25 κ.ο.κ.
Δεύτερον, η σύνταξη ενός πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι τον αριθμό n χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Ερατοσθένη μπορεί να θεωρηθεί πλήρης όταν όλοι οι σύνθετοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών δεν υπερβαίνουν το . Στο παράδειγμά μας, n=50 (αφού φτιάχνουμε έναν πίνακα πρώτων αριθμών μέχρι το 50) και, επομένως, το κόσκινο του Ερατοσθένη θα πρέπει να εξαλείψει όλους τους σύνθετους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι των πρώτων αριθμών 2, 3, 5 και 7 που κάνουν δεν υπερβαίνει την αριθμητική τετραγωνική ρίζα του 50. Δηλαδή, δεν χρειάζεται πλέον να αναζητούμε και να διαγράφουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσια των πρώτων αριθμών 11, 13, 17, 19, 23 και ούτω καθεξής μέχρι το 47, καθώς θα έχουν ήδη διαγραφεί ως πολλαπλάσια μικρότερων πρώτων αριθμών 2. , 3, 5 και 7 .
Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος;
Ορισμένες εργασίες απαιτούν να μάθετε εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος. Γενικά, αυτή η εργασία δεν είναι καθόλου απλή, ειδικά για αριθμούς των οποίων η γραφή αποτελείται από σημαντικό αριθμό χαρακτήρων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, πρέπει να αναζητήσετε κάποιον συγκεκριμένο τρόπο για να το λύσετε. Ωστόσο, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε κατεύθυνση στο τρένο της σκέψης για απλές περιπτώσεις.
Φυσικά, μπορείτε να δοκιμάσετε να χρησιμοποιήσετε τεστ διαιρετότητας για να αποδείξετε ότι ένας δεδομένος αριθμός είναι σύνθετος. Εάν, για παράδειγμα, κάποιος έλεγχος διαιρετότητας δείχνει ότι ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται με κάποιο θετικό ακέραιο μεγαλύτερο από ένα, τότε ο αρχικός αριθμός είναι σύνθετος.
Παράδειγμα.
Αποδείξτε ότι το 898.989.898.989.898.989 είναι σύνθετος αριθμός.
Λύση.
Το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού είναι 9·8+9·9=9·17. Εφόσον ο αριθμός ίσος με 9·17 διαιρείται με το 9, τότε με τη διαιρετότητα με το 9 μπορούμε να πούμε ότι ο αρχικός αριθμός διαιρείται επίσης με το 9. Επομένως, είναι σύνθετο.
Ένα σημαντικό μειονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι τα κριτήρια διαιρετότητας δεν επιτρέπουν σε κάποιον να αποδείξει την πρωταρχικότητα ενός αριθμού. Επομένως, όταν δοκιμάζετε έναν αριθμό για να δείτε αν είναι πρώτος ή σύνθετος, πρέπει να προχωρήσετε διαφορετικά.
Η πιο λογική προσέγγιση είναι να δοκιμάσουμε όλους τους πιθανούς διαιρέτες ενός δεδομένου αριθμού. Εάν κανένας από τους πιθανούς διαιρέτες δεν είναι αληθινός διαιρέτης ενός δεδομένου αριθμού, τότε αυτός ο αριθμός θα είναι πρώτος, διαφορετικά θα είναι σύνθετος. Από τα θεωρήματα που αποδείχθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, προκύπτει ότι οι διαιρέτες ενός δεδομένου αριθμού a πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το . Έτσι, ένας δεδομένος αριθμός a μπορεί να διαιρεθεί διαδοχικά με πρώτους αριθμούς (που βολικά λαμβάνονται από τον πίνακα των πρώτων αριθμών), προσπαθώντας να βρούμε τον διαιρέτη του αριθμού a. Αν βρεθεί διαιρέτης, τότε ο αριθμός a είναι σύνθετος. Εάν μεταξύ των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το , δεν υπάρχει διαιρέτης του αριθμού a, τότε ο αριθμός a είναι πρώτος.
Παράδειγμα.
Αριθμός 11 723 απλό ή σύνθετο;
Λύση.
Ας μάθουμε μέχρι ποιος πρώτος αριθμός μπορούν να είναι οι διαιρέτες του αριθμού 11.723. Για να γίνει αυτό, ας αξιολογήσουμε.
Είναι αρκετά προφανές ότι 
, από το 200 2 =40.000, και 11.723<40 000
(при необходимости смотрите статью σύγκριση αριθμών). Έτσι, οι πιθανοί πρώτοι παράγοντες των 11.723 είναι λιγότεροι από 200. Αυτό κάνει ήδη το έργο μας πολύ πιο εύκολο. Αν δεν το γνωρίζαμε αυτό, τότε θα έπρεπε να περάσουμε από όλους τους πρώτους αριθμούς όχι μέχρι το 200, αλλά μέχρι τον αριθμό 11.723.
Εάν θέλετε, μπορείτε να αξιολογήσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια. Αφού 108 2 = 11.664, και 109 2 = 11.881, τότε 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Έτσι, οποιοσδήποτε από τους πρώτους αριθμούς μικρότερος του 109 είναι δυνητικά πρώτος παράγοντας του δεδομένου αριθμού 11.723.
Τώρα θα χωρίσουμε διαδοχικά τον αριθμό 11.723 σε πρώτους αριθμούς 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Αν ο αριθμός 11.723 διαιρεθεί με έναν από τους γραπτούς πρώτους αριθμούς, τότε θα είναι σύνθετος. Αν δεν διαιρείται με κανέναν από τους γραμμένους πρώτους αριθμούς, τότε ο αρχικός αριθμός είναι πρώτος.
Δεν θα περιγράψουμε όλη αυτή τη μονότονη και μονότονη διαδικασία διαίρεσης. Ας πούμε αμέσως ότι 11.723