Περιοχή αεροπλάνων στο διαδίκτυο. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος

16.10.2019

Αρχίζουμε να εξετάζουμε την πραγματική διαδικασία υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος και να εξοικειωνόμαστε με τη γεωμετρική του σημασία.

Διπλό ολοκλήρωμα αριθμητικά ίσο με εμβαδόνεπίπεδη φιγούρα (περιοχή ολοκλήρωσης). Αυτό απλούστερη μορφήδιπλό ολοκλήρωμα, όταν η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ίση με μία: .

Ας εξετάσουμε πρώτα το πρόβλημα γενική εικόνα. Τώρα θα εκπλαγείτε πολύ πόσο απλά είναι όλα πραγματικά! Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές. Για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι στο τμήμα . Το εμβαδόν αυτού του σχήματος είναι αριθμητικά ίσο με:

Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο να διασχίσουμε την περιοχή:

Ετσι:

Και άμεσα σημαντικό τεχνική τεχνική: Τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να εξεταστούν χωριστά. Πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα, μετά το εξωτερικό ολοκλήρωμα. Αυτή η μέθοδοςΤο προτείνω ανεπιφύλακτα σε αρχάριους στο αντικείμενο.

1) Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα και η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή "y":

Το αόριστο ολοκλήρωμα εδώ είναι το απλούστερο και στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο κοινός τύπος Newton-Leibniz, με τη μόνη διαφορά ότι τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις. Πρώτα, αντικαταστήσαμε το ανώτερο όριο με το «y» (αντιπαράγωγη συνάρτηση) και μετά το κατώτερο όριο

2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο πρέπει να αντικατασταθεί στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Μια πιο συμπαγής αναπαράσταση ολόκληρης της λύσης μοιάζει με αυτό:

Ο τύπος που προκύπτει - αυτό ακριβώς τύπος εργασίαςνα υπολογίσετε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το «συνηθισμένο» οριστικό ολοκλήρωμα! Δείτε το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος, εκεί είναι σε κάθε βήμα!

Δηλαδή το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα όχι πολύ διαφορετικόαπό το πρόβλημα εύρεσης της περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος!

Στην πραγματικότητα, είναι το ίδιο πράγμα!

Κατά συνέπεια, δεν πρέπει να προκύψουν δυσκολίες! Δεν θα εξετάσω πολλά παραδείγματα, αφού στην πραγματικότητα, έχετε αντιμετωπίσει επανειλημμένα αυτό το έργο.

Παράδειγμα 9

Λύση: Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Εδώ και παραπέρα δεν θα σταθώ στο πώς θα διασχίσω την περιοχή, αφού στην πρώτη παράγραφο δόθηκαν πολύ αναλυτικές εξηγήσεις.

Ετσι:

1) Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:

2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στο πρώτο βήμα αντικαθίσταται στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Το σημείο 2 είναι στην πραγματικότητα εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση:

Αυτό είναι ένα τόσο ανόητο και αφελές έργο.

Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 10

Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες, ,

Δείγμα κατά προσέγγισηοριστικοποίηση της λύσης στο τέλος του μαθήματος.

Στα Παραδείγματα 9-10, είναι πολύ πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής, παρεμπιπτόντως, οι περίεργοι αναγνώστες μπορούν να αλλάξουν τη σειρά διέλευσης και να υπολογίσουν τις περιοχές χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο. Εάν δεν κάνετε λάθος, τότε, φυσικά, θα λάβετε τις ίδιες τιμές περιοχής.

Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, η δεύτερη μέθοδος διέλευσης της περιοχής είναι πιο αποτελεσματική, και στο τέλος της πορείας του νεαρού σπασίκλα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα για αυτό το θέμα:

Παράδειγμα 11

Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,

Λύση: ανυπομονούμε για δύο παραβολές με μια ιδιορρυθμία που βρίσκονται στα πλάγια. Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε παρόμοια πράγματα συμβαίνουν αρκετά συχνά σε πολλαπλά ολοκληρώματα.

Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε ένα σχέδιο;

Ας φανταστούμε μια παραβολή με τη μορφή δύο συναρτήσεων:
– ο άνω κλάδος και – ο κάτω κλάδος.

Ομοίως, φανταστείτε μια παραβολή με τη μορφή άνω και κάτω κλαδια δεντρου.

Στη συνέχεια, η κατά σημείο σχεδίαση κανόνων γραφημάτων, με αποτέλεσμα αυτό το παράξενο σχήμα:

Υπολογίζουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο:

Τι θα συμβεί αν επιλέξουμε την πρώτη μέθοδο διασχίζοντας την περιοχή; Πρώτον, αυτή η περιοχή θα πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη. Και δεύτερον, θα παρατηρήσουμε αυτή τη θλιβερή εικόνα: . Τα ολοκληρώματα, βέβαια, δεν είναι υπερ-σύνθετου επιπέδου, αλλά... υπάρχει ένα παλιό μαθηματικό ρητό: όσοι είναι κοντά στις ρίζες τους δεν χρειάζονται τεστ.

Επομένως, από την παρανόηση που δίνεται στη συνθήκη, εκφράζουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις:

Αντίστροφες συναρτήσεις V σε αυτό το παράδειγμαέχουν το πλεονέκτημα ότι καθορίζουν ολόκληρη την παραβολή ταυτόχρονα χωρίς φύλλα, βελανίδια, κλαδιά και ρίζες.

Σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο, η διάβαση της περιοχής θα είναι η εξής:

Εδώ και παραπέρα δεν θα σταθώ στο πώς θα διασχίσω την περιοχή, αφού στην πρώτη παράγραφο δόθηκαν πολύ αναλυτικές εξηγήσεις.

Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά.

1) Ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:

Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Η ολοκλήρωση πάνω από τη μεταβλητή "y" δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση εάν υπήρχε ένα γράμμα "zy", θα ήταν υπέροχο να ενσωματωθεί πάνω από αυτό. Αν και όποιος έχει διαβάσει τη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής δεν αντιμετωπίζει πλέον την παραμικρή αμηχανία με την ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "Y".

Προσέξτε επίσης το πρώτο βήμα: το ολοκλήρωμα είναι άρτιο και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό περίπου μηδέν. Επομένως, το τμήμα μπορεί να μειωθεί στο μισό και το αποτέλεσμα μπορεί να διπλασιαστεί. Αυτή η τεχνικήσχολίασε αναλυτικά στο μάθημα Αποτελεσματικές μέθοδοιυπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος.

Τι να προσθέσω…. Ολα!

Απάντηση:

Για να δοκιμάσετε την τεχνική ολοκλήρωσης, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε . Η απάντηση θα πρέπει να είναι ακριβώς η ίδια.

Παράδειγμα 12

Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διάβασης της περιοχής, η φιγούρα δεν θα χρειάζεται πλέον να χωρίζεται σε δύο, αλλά σε τρία μέρη! Και, κατά συνέπεια, παίρνουμε τρία ζεύγη επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Συμβαίνει μερικές φορές.

Το master class έφτασε στο τέλος του και ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο επίπεδο grandmaster - Πώς να υπολογίσετε ένα διπλό ολοκλήρωμα; Παραδείγματα λύσεων. Θα προσπαθήσω να μην είμαι τόσο μανιακός στο δεύτερο άρθρο =)

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2:Λύση: Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Ετσι:
Ας προχωρήσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις:

Ετσι:
Απάντηση:

Παράδειγμα 4:Λύση: Ας προχωρήσουμε στις άμεσες συναρτήσεις:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Ας αλλάξουμε τη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Απάντηση:

ΕΝΑ)

Λύση.

Το πρώτο και πιο σημαντικό σημείο στην απόφαση είναι η κλήρωση.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η εξίσωση y=0ορίζει τον άξονα "x".

- x=-2Και x=1- ευθεία, παράλληλα προς τον άξονα OU;

- y=x 2 +2 -μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα πάνω, με την κορυφή στο σημείο (0;2).

Σχόλιο. Για την κατασκευή μιας παραβολής αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της με άξονες συντεταγμένων, δηλ. βάζοντας x=0βρείτε την τομή με τον άξονα OUκαι αποφασίζει ανάλογα τετραγωνική εξίσωση, βρείτε την τομή με τον άξονα Ω .

Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο.

Στο διάστημα [-2;1] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2 +2που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βόδι, Να γιατί:

Απάντηση: μικρό=9 τετρ. μονάδες

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση"Με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Τι να κάνετε εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ω;

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές y=-e x , x=1και άξονες συντεταγμένων.

Λύση.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο.

Εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται εντελώς κάτω από τον άξονα Ω , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απάντηση: S=(e-1)τ. μονάδες» 1,72 τ. μονάδες

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χωρίς κανένα γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο.

γ) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από γραμμές y=2x-x 2, y=-x.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και ευθεία Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική.

Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a=0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης b=3 .

Κατασκευάζουμε τις δοσμένες γραμμές: 1. Παραβολή - κορυφή στο σημείο (1;1); διασταύρωση άξονα Ω -σημεία (0;0) και (0;2). 2. Ευθεία - διχοτόμος γωνιών 2ης και 4ης συντεταγμένης. Και τώρα Προσοχή! Εάν στο τμήμα [ α;β] κάποια συνεχής λειτουργία f(x)μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχή συνάρτηση g(x), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: .

Και δεν έχει σημασία πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά αυτό που έχει σημασία είναι ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με ένα άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ. Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Μπορείτε να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα).

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.

Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: μικρό=4,5 τετρ. μονάδες

Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα θα αναλύσουμε το τυπικό και πιο κοινό πρόβλημα - πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Τέλος, όσοι αναζητούν νόημα στα ανώτερα μαθηματικά - μακάρι να το βρουν. Ποτέ δεν ξέρεις. Στην πραγματική ζωή, θα πρέπει να προσεγγίσετε ένα οικόπεδο dacha χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις και να βρείτε την περιοχή του χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:

1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να εξοικειωθούν με το μάθημα Όχι.

Στην πραγματικότητα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, επομένως οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στην κατασκευή σχεδίων θα είναι μια πολύ πιο πιεστική ερώτηση. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη σας από τα γραφήματα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορείτε να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή, παραβολή και υπερβολή. Αυτό μπορεί να γίνει (για πολλούς, είναι απαραίτητο) χρησιμοποιώντας μεθοδολογικό υλικόκαι άρθρα για γεωμετρικούς μετασχηματισμούς γραφημάτων.

Στην πραγματικότητα, όλοι είναι εξοικειωμένοι με το έργο της εύρεσης της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα ορισμένο ολοκλήρωμα από το σχολείο, και δεν θα πάμε πολύ πιο μακριά από σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Αυτό το άρθρο μπορεί να μην υπήρχε καθόλου, αλλά το γεγονός είναι ότι το πρόβλημα εμφανίζεται σε 99 περιπτώσεις στις 100, όταν ένας μαθητής υποφέρει από ένα μισητό σχολείο και κατέχει με ενθουσιασμό ένα μάθημα στα ανώτερα μαθηματικά.

Τα υλικά αυτού του εργαστηρίου παρουσιάζονται απλά, αναλυτικά και με ελάχιστη θεωρία.

Ας ξεκινήσουμε με ένα καμπύλο τραπεζοειδές.

Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να βρίσκεται όχι λιγότεροάξονας x:

Τότε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με το οριστικό ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Οριστική Ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων Είπα ότι ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα ακόμη χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ.

Δηλαδή, ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να κάνουν ένα σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Το πρώτο και πιο σημαντικό σημείο στην απόφαση είναι η κλήρωση. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: πρώτα, είναι καλύτερο να κατασκευάσετε όλες τις ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο τότε – παραβολές, υπερβολές και γραφήματα άλλων συναρτήσεων. Είναι πιο κερδοφόρο να κατασκευάζονται γραφήματα συναρτήσεων κατά σημείο, η τεχνική της σημειακής κατασκευής υλικό αναφοράςΓραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε πολύ χρήσιμο υλικό για το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):

Δεν θα σκιάσω το καμπύλο τραπεζοειδές είναι προφανές εδώ για ποια περιοχή μιλάμε. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:

Στο τμήμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:

Απάντηση:

Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz , ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο Ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο "με το μάτι" - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές , και άξονα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Τι να κάνετε εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα;

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Εάν το καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα (ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .

Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι.
Είναι καλύτερα, αν είναι δυνατόν, να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.

Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Η τεχνική της σημειακής κατασκευής για διάφορα γραφήματα συζητείται αναλυτικά στη βοήθεια Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.

Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Επαναλαμβάνω ότι κατά την κατασκευή σημειακών, τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».

Και τώρα ο τύπος εργασίας: Εάν σε ένα τμήμα κάποια συνεχής συνάρτηση είναι μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχή συνάρτηση, τότε η περιοχή του σχήματος που περιορίζεται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις ευθείες γραμμές μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτείτε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, και, χοντρικά, είναι σημαντικό ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. απλό παράδειγμα Νο. 3) είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου . Δεδομένου ότι ο άξονας καθορίζεται από την εξίσωση και βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης όχι υψηλότερατσεκούρια, λοιπόν

Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα 6

Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .

Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά λόγω απροσεξίας... βρέθηκε η περιοχή της λάθος φιγούρας, έτσι ακριβώς ο ταπεινός υπηρέτης σας έκανε λάθος πολλές φορές. Εδώ πραγματική υπόθεσηαπό τη ζωή:

Παράδειγμα 7

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .

Λύση: Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο:

...Ε, το σχέδιο βγήκε χάλια, αλλά όλα δείχνουν να είναι ευανάγνωστα.

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε (δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, συχνά προκύπτει ένα «πρόβλημα» που πρέπει να βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας που είναι σκιασμένη πράσινος!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:

1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα μιας ευθείας γραμμής.

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει μια γραφική παράσταση μιας υπερβολής.

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Απάντηση:

Ας προχωρήσουμε σε μια άλλη ουσιαστική εργασία.

Παράδειγμα 8

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,
Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή και ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Από το σχέδιο είναι ξεκάθαρο ότι το ανώτερο όριο μας είναι «καλό»: .
Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι; Μπορεί ; Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι... Ή τη ρίζα. Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;

Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να αφιερώσετε επιπλέον χρόνο και να ξεκαθαρίσετε αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.

Ας βρούμε τα σημεία τομής μιας ευθείας και μιας παραβολής.
Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:

,

Πραγματικά, .

Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη, το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε στις αντικαταστάσεις και τα σημάδια οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι.

Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Λοιπόν, για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, ,

Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτό το σχήμα στο σχέδιο.

Διάολε, ξέχασα να υπογράψω το πρόγραμμα και, συγγνώμη, δεν ήθελα να ξανακάνω την εικόνα. Δεν είναι μέρα ζωγραφικής, με λίγα λόγια, σήμερα είναι η μέρα =)

Για την κατασκευή σημείο προς σημείο πρέπει να ξέρετε εμφάνισηημιτονοειδή (και γενικά είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων), καθώς και κάποιες τιμές ημιτόνου, μπορούν να βρεθούν στον τριγωνομετρικό πίνακα. Σε ορισμένες περιπτώσεις (όπως σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια της ολοκλήρωσης εδώ. Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:

Στο τμήμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε το τυπικό και πιο συνηθισμένο πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Τέλος, ας το βρουν όλοι όσοι αναζητούν νόημα στα ανώτερα μαθηματικά. Ποτέ δεν ξέρεις. Στην πραγματική ζωή, θα πρέπει να προσεγγίσετε ένα οικόπεδο dacha χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις και να βρείτε την περιοχή του χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:

1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να εξοικειωθούν με το μάθημα του Εκείνου.

2) Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz και να υπολογίσει το οριστικό ολοκλήρωμα. Μπορείτε να δημιουργήσετε θερμές φιλικές σχέσεις με καθορισμένα ολοκληρώματα στη σελίδα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, επομένως οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στην κατασκευή σχεδίων θα είναι επίσης ένα σημαντικό ζήτημα. Τουλάχιστον, πρέπει να είστε σε θέση να κατασκευάσετε μια γραμμή, μια παραβολή και μια υπερβολή.

Ας ξεκινήσουμε με ένα καμπύλο τραπεζοειδές. Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης y = φά(Χ), άξονας ΒΟΔΙκαι γραμμές Χ = ένα; Χ = σι.

Το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Οριστική Ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων είπαμε ότι ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα άλλο χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ. Δηλαδή, ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα

Ολοκληρωτέου

ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο (μπορεί να σχεδιαστεί εάν είναι επιθυμητό) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με την περιοχή του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

, , , .

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Το πιο σημαντικό σημείολύσεις - σχέδιο. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: πρώτα, είναι καλύτερο να κατασκευάσετε όλες τις ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο τότε – παραβολές, υπερβολές και γραφήματα άλλων συναρτήσεων. Η τεχνική της σημειακής κατασκευής βρίσκεται στο υλικό αναφοράς Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε πολύ χρήσιμο υλικό για το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.

Ας κάνουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση y= 0 καθορίζει τον άξονα ΒΟΔΙ):

Δεν θα σκιάζουμε το καμπύλο τραπεζοειδές εδώ είναι προφανές για ποια περιοχή μιλάμε. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:

Στο τμήμα [-2; 1] γράφημα συνάρτησης y = Χ 2 + 2 που βρίσκονται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Να γιατί:

Απάντηση: .

Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz

Ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο "με το μάτι" - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές xy = 4, Χ = 2, Χ= 4 και άξονας ΒΟΔΙ.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Τι να κάνετε εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ?

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = πρώην, Χ= 1 και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται εντελώς κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = 2Χ – Χ 2 , y = -Χ.

Λύση: Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής y = 2Χ – Χ 2 και ευθεία y = -Χ. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης ένα= 0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης σι= 3. Είναι συχνά πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Ας επαναλάβουμε ότι κατά την κατασκευή κατά σημείο, τα όρια ολοκλήρωσης καθορίζονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».

Και τώρα ο τύπος εργασίας:

Εάν στο τμήμα [ ένα; σι] κάποια συνεχής λειτουργία φά(Χ) είναι μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχή συνάρτηση σολ(Χ), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκέφτεστε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά αυτό που έχει σημασία είναι ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως από το 2 Χ – ΧΤο 2 πρέπει να αφαιρεθεί - Χ.

Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή y = 2Χ – Χ 2 πάνω και ευθεία y = -Χπαρακάτω.

Στο τμήμα 2 Χ – Χ 2 ≥ -Χ. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: .

Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω ημιεπίπεδο (βλ. παράδειγμα Νο. 3) είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου

Γιατί ο άξονας ΒΟΔΙδίνεται από την εξίσωση y= 0, και το γράφημα της συνάρτησης σολ(Χ) που βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Οτι

Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα 6

Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο ολοκληρώθηκε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά λόγω απροσεξίας... βρέθηκε το εμβαδόν του λάθος σχήματος.

Παράδειγμα 7

Πρώτα ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε (δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, οι άνθρωποι συχνά αποφασίζουν ότι πρέπει να βρουν την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο επειδή υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:

1) Στο τμήμα [-1; 1] πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙτο γράφημα είναι ευθύ y = Χ+1;

2) Σε τμήμα πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙβρίσκεται η γραφική παράσταση μιας υπερβολής y = (2/Χ).

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Απάντηση:

Παράδειγμα 8

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή

και κάντε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Είναι σαφές από το σχέδιο ότι το ανώτερο όριο μας είναι "καλό": σι = 1.

Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι;

Μπορεί, ένα=(-1/3); Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι ένα=(-1/4). Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;

Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων

Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:

Ως εκ τούτου, ένα=(-1/3).

Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη. Το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και ζώδια. Οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι. Στο τμήμα

, ,

σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτό το σχήμα στο σχέδιο.

Για να κατασκευάσετε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο, πρέπει να γνωρίζετε την εμφάνιση ενός ημιτονοειδούς. Σε γενικές γραμμές, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και ορισμένες τιμές ημιτόνου. Μπορούν να βρεθούν στον πίνακα τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ολοκλήρωσης εδώ, αυτά προκύπτουν άμεσα από την προϋπόθεση:

– Το “x” αλλάζει από μηδέν σε “pi”. Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:

Σε ένα τμήμα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y= αμαρτία 3 Χπου βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Να γιατί:

(1) Μπορείτε να δείτε πώς τα ημίτονα και τα συνημίτονα ενσωματώνονται σε περιττές δυνάμεις στο μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τσιμπάμε τον ένα κόλπο.

(2) Χρησιμοποιούμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα στη φόρμα

(3) Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή t=κοσ Χ, τότε: βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:

Σημείωση: σημειώστε πώς λαμβάνεται το ολοκλήρωμα της εφαπτομένης σε κύβους χρησιμοποιείται εδώ μια απόρροια της βασικής τριγωνομετρικής ταυτότητας

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας απλός κώδικαςμπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, αφού το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.