Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι γραφικές παραστάσεις και οι τύποι τους

26.09.2019

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στη μαθηματική ανάλυση. Ωστόσο, για τους περισσότερους μαθητές γυμνασίου, οι εργασίες που σχετίζονται με αυτόν τον τύπο λειτουργίας προκαλούν σημαντικές δυσκολίες. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι σε πολλά σχολικά βιβλία και σχολικά βιβλίαΠροβλήματα αυτού του τύπου δίνεται πολύ λίγη προσοχή. Και αν οι μαθητές τουλάχιστον με κάποιο τρόπο αντιμετωπίζουν προβλήματα υπολογισμού των τιμών των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, τότε οι εξισώσεις και οι ανισότητες που περιέχουν τέτοιες συναρτήσεις, ως επί το πλείστον, μπερδεύουν τα παιδιά. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί πρακτικά κανένα σχολικό βιβλίο δεν εξηγεί πώς να λύσετε ακόμη και τις πιο απλές εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Ας δούμε πολλές εξισώσεις και ανισώσεις που αφορούν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και ας τις λύσουμε με λεπτομερείς εξηγήσεις.

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Λύση.

Εκφράζοντας την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση από την εξίσωση, παίρνουμε:

τόξο (2x + 3) = 5π/6. Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του συνημιτόνου τόξου.

Το συνημίτονο τόξου ενός συγκεκριμένου αριθμού α που ανήκει στο τμήμα από -1 έως 1 είναι γωνία y από το τμήμα από 0 έως π έτσι ώστε το συνημίτονό του και ίσο με τον αριθμόΧ. Επομένως μπορούμε να το γράψουμε ως εξής:

2x + 3 = συν 5π/6.

Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Ας αναγάγουμε τη δεξιά πλευρά σε έναν κοινό παρονομαστή.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Απάντηση: -(6 + √3) / 4 .

Παράδειγμα 2.

Λύστε την εξίσωση: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Λύση.

Αφού cos (arcсos x) = x με το x να ανήκει στο [-1; 1], τότε αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Ας λύσουμε την εξίσωση που περιλαμβάνεται στο σύστημα.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Είναι τετράγωνο, οπότε το καταλαβαίνουμε

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Ας λύσουμε τη διπλή ανισότητα που περιλαμβάνεται στο σύστημα.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Προσθέστε 9 σε όλα τα μέρη, έχουμε:

8 ≤ 4x ≤ 10. Διαιρούμε κάθε αριθμό με το 4, παίρνουμε:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Τώρα ας συνδυάσουμε τις απαντήσεις που λάβαμε. Είναι εύκολο να δούμε ότι η ρίζα x = 7 δεν ικανοποιεί την απάντηση στην ανισότητα. Επομένως, η μόνη λύση της εξίσωσης είναι x = 2.

Απάντηση: 2.

Παράδειγμα 3.

Λύστε την εξίσωση: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Λύση.

Εφόσον tg (arctg x) = x για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Ας λύσουμε το αποτέλεσμα τετραγωνική εξίσωσηχρησιμοποιώντας ένα διακριτικό, έχοντας προηγουμένως φέρει σε τυπική μορφή.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Απάντηση: 1; 2.

Παράδειγμα 4.

Λύστε την εξίσωση: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Λύση.

Εφόσον arcctg f(x) = arcctg g(x) αν και μόνο εάν f(x) = g(x), τότε

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Με το θεώρημα του Vieta το παίρνουμε

x = 1 ή x = 2.

Απάντηση: 1; 2.

Παράδειγμα 5.

Λύστε την εξίσωση: τόξο (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Λύση.

Δεδομένου ότι μια εξίσωση της μορφής arcsin f(x) = arcsin g(x) είναι ισοδύναμη με το σύστημα

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

τότε η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Ας λύσουμε το σύστημα που προκύπτει:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Από την πρώτη εξίσωση, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, έχουμε ότι x = 1 ή x = 7. Επιλύοντας τη δεύτερη ανίσωση του συστήματος, βρίσκουμε ότι 7 ≤ x ≤ 8. Επομένως, μόνο η ρίζα x = 7 είναι κατάλληλη για την τελική απάντηση.

Απάντηση: 7.

Παράδειγμα 6.

Λύστε την εξίσωση: (τόξο x) 2 – 6 τόξα x + 8 = 0.

Λύση.

Έστω arccos x = t, τότε το t ανήκει στο τμήμα και η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

t 2 – 6t + 8 = 0. Λύστε την προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, βρίσκουμε ότι t = 2 ή t = 4.

Εφόσον το t = 4 δεν ανήκει στο τμήμα, λαμβάνουμε ότι t = 2, δηλ. arccos x = 2, που σημαίνει x = cos 2.

Απάντηση: co 2.

Παράδειγμα 7.

Λύστε την εξίσωση: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε την ισότητα arcsin x + arccos x = π/2 και ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Έστω arcsin x = t, τότε το t ανήκει στο τμήμα [-π/2; π/2] και η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με 9 για να απαλλαγούμε από τα κλάσματα της εξίσωσης, παίρνουμε:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Ας βρούμε τη διάκριση και ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 ή t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 ή t = 12π/36.

Μετά τη μείωση έχουμε:

t = π/6 ή t = π/3. Επειτα

arcsin x = π/6 ή arcsin x = π/3.

Έτσι, x = αμαρτία π/6 ή x = αμαρτία π/3. Δηλαδή, x = 1/2 ή x =√3/2.

Απάντηση: 1/2; √3/2.

Παράδειγμα 8.

Βρείτε την τιμή της παράστασης 5nx 0, όπου n είναι ο αριθμός των ριζών και x 0 είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.

Λύση.

Αφού -π/2 ≤ τόξο x ≤ π/2, τότε -π ≤ 2 τόξο x ≤ π. Επιπλέον, (x + 1) 2 ≥ 0 για όλα τα πραγματικά x,
τότε -(x + 1) 2 ≤ 0 και -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Έτσι, η εξίσωση μπορεί να έχει λύση εάν και οι δύο πλευρές της είναι ταυτόχρονα ίσες με –π, δηλ. η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:

(2 τόξο x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Ας λύσουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων:

(τοξίνη x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε ότι x = -1, αντίστοιχα n = 1, μετά 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Απάντηση: -5.

Όπως δείχνει η πρακτική, η ικανότητα επίλυσης εξισώσεων με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή επιτυχία των εξετάσεων. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η εκπαίδευση στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι απλώς απαραίτητη και υποχρεωτική κατά την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.

Δίνονται ορισμοί των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων και οι γραφικές παραστάσεις τους. Καθώς και τύπους που συνδέουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τύπους για αθροίσματα και διαφορές.

Ορισμός αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Εφόσον οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, οι αντίστροφες συναρτήσεις τους δεν είναι μοναδικές. Άρα, η εξίσωση y = αμαρτία x, για ένα δεδομένο , έχει άπειρες ρίζες. Πράγματι, λόγω της περιοδικότητας του ημιτονοειδούς, αν x είναι τέτοια ρίζα, τότε είναι x + 2πn(όπου n είναι ακέραιος) θα είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης. Ετσι, Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι πολλαπλών τιμών. Για να διευκολυνθεί η εργασία μαζί τους, εισάγεται η έννοια των βασικών εννοιών τους. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το ημίτονο: y = αμαρτία x. αμαρτία xΑν περιορίσουμε το όρισμα x στο διάστημα , τότε σε αυτό η συνάρτηση y = αυξάνεται μονότονα. Επομένως, έχει μια μοναδική αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ονομάζεται τόξο: x =.

arcsin y

Εκτός αν ορίζεται διαφορετικά, ως αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις εννοούμε τις κύριες τιμές τους, οι οποίες καθορίζονται από τους παρακάτω ορισμούς. Αρξίνη ( y =) arcsin x είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ( x =

αμαρτωλός Αρξίνη ( τόξο συνημίτονο () arccos x είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ( είναι η αντίστροφη συνάρτηση του συνημίτονου ( cos y

), έχοντας έναν τομέα ορισμού και ένα σύνολο τιμών. Αρξίνη ( Arctagent () αρκτάνος χ είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ( είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης ( cos y

tg y Αρξίνη ( Arccotangent () arcctg x είναι η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου ( είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνεφαπτομένης ( cos y

ctg y

Οι γραφικές παραστάσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων λαμβάνονται από γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων εικόνα καθρέφτησε σχέση με την ευθεία y = x.

Αρξίνη ( y =

Αρξίνη ( τόξο συνημίτονο (

Αρξίνη ( Arctagent (

Αρξίνη ( Arccotangent (

Δείτε τις ενότητες Ημιτόνου, συνημίτονο, Εφαπτομένη, συνεφαπτομένη.

Βασικοί τύποι

Εδώ θα πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή στα διαστήματα για τα οποία ισχύουν οι τύποι. arcsin(sin x) = x
στο
sin(arcsin x) = x arcsin(sin x) = x
arccos(cos x) = x

cos(arccos x) = x arcsin(sin x) = x
arctan(tg x) = x
tg(arctg x) = x arcsin(sin x) = x
arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Τύποι που σχετίζονται με αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς

στο ή

στο και

στο και

στο

στο

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι μαθηματικές συναρτήσεις που είναι το αντίστροφο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Συνάρτηση y=arcsin(x)
Το τόξο ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός α από το διάστημα [-π/2;π/2] του οποίου το ημίτονο είναι ίσο με α.
Γράφημα μιας συνάρτησης
Η συνάρτηση у= sin⁡(x) στο διάστημα [-π/2;π/2], είναι αυστηρά αύξουσα και συνεχής. επομένως έχει αντίστροφη συνάρτηση, αυστηρά αύξουσα και συνεχή.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y= sin⁡(x), όπου x ∈[-π/2;π/2], ονομάζεται τόξο και συμβολίζεται y=arcsin(x), όπου x∈[-1;1 ]. Σύμφωνα λοιπόν με τον ορισμόαντίστροφη συνάρτηση
, το πεδίο ορισμού του τόξου είναι το τμήμα [-1;1] και το σύνολο τιμών είναι το τμήμα [-π/2;π/2].

Σημειώστε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arcsin(x), όπου x ∈[-1;1], είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= sin(⁡x), όπου x∈[-π/2;π /2], ως προς τη διχοτόμο των γωνιών συντεταγμένων πρώτο και τρίτο τέταρτο.

Εύρος συναρτήσεων y=arcsin(x).

Παράδειγμα Νο. 1.

Βρείτε arcsin(1/2);
Δεδομένου ότι το εύρος τιμών της συνάρτησης arcsin(x) ανήκει στο διάστημα [-π/2;π/2], τότε μόνο η τιμή π/6 είναι κατάλληλη επομένως, arcsin(1/2) =π/. 6.

Απάντηση:π/6
Παράδειγμα Νο. 2.

Βρείτε arcsin(-(√3)/2);

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], τότε μόνο η τιμή -π/3 είναι κατάλληλη, επομένως, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Συνάρτηση y=arccos(x)

Το συνημίτονο τόξου ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός α από το διάστημα του οποίου το συνημίτονο είναι ίσο με α.

Γράφημα μιας συνάρτησης
Η συνάρτηση y= cos(⁡x) στο τμήμα είναι αυστηρά φθίνουσα και συνεχής. επομένως έχει αντίστροφη συνάρτηση, αυστηρά φθίνουσα και συνεχής. Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y= cos⁡x, όπου x ∈, καλείταιτόξο συνημίτονο
και συμβολίζεται με y=arccos(x), όπου x ∈[-1;1].
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, το πεδίο ορισμού του συνημιτόνου τόξου είναι το τμήμα [-1;1] και το σύνολο τιμών είναι το τμήμα.

Εύρος συναρτήσεων y=arccos(x).

Παράδειγμα Νο. 3.

Βρείτε arccos(1/2);

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών είναι arccos(x) x∈, τότε μόνο η τιμή π/3 είναι κατάλληλη, επομένως, arccos(1/2) =π/3.
Παράδειγμα αρ. 4.
Βρείτε arccos(-(√2)/2);

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών της συνάρτησης arccos(x) ανήκει στο διάστημα, τότε μόνο η τιμή 3π/4 είναι κατάλληλη, επομένως, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Απάντηση: 3π/4

Συνάρτηση y=arctg(x)

Το τόξο ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός α από το διάστημα [-π/2;π/2] του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με α.

Η συνάρτηση εφαπτομένης είναι συνεχής και αυστηρά αυξανόμενη στο διάστημα (-π/2;π/2). Επομένως, έχει μια αντίστροφη συνάρτηση που είναι συνεχής και αυστηρά αύξουσα.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y= tan⁡(x), όπου x∈(-π/2;π/2); ονομάζεται τόξο και συμβολίζεται με y=arctg(x), όπου x∈R.
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, το πεδίο ορισμού του τόξου είναι το διάστημα (-∞;+∞), και το σύνολο των τιμών είναι το διάστημα
(-π/2;π/2).
Σημειώστε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arctg(x), όπου x∈R, είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= tan⁡x, όπου x ∈ (-π/2;π/2), σε σχέση με το διχοτόμος των γωνιών συντεταγμένων του πρώτου και του τρίτου τετάρτου.

Εύρος συναρτήσεων y=arctg(x).

Παράδειγμα Νο. 5;

Βρείτε το arctan((√3)/3).

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), τότε μόνο η τιμή π/6 είναι κατάλληλη επομένως, arctg((√3)/3) =π/6.
Παράδειγμα αρ. 6.
Βρείτε το arctg(-1);

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), τότε μόνο η τιμή -π/4 είναι κατάλληλη, επομένως, arctg(-1) = - π/4.

Συνάρτηση y=arcctg(x)

Η συνεφαπτομένη του τόξου ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός α από το διάστημα (0;π) του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με α.

Στο διάστημα (0;π), η συνεφαπτομένη συνάρτηση μειώνεται αυστηρά. Επιπλέον, είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος. Επομένως, στο διάστημα (0;π), αυτή η συνάρτηση έχει μια αντίστροφη συνάρτηση, η οποία είναι αυστηρά φθίνουσα και συνεχής.
Η αντίστροφη συνάρτηση για τη συνάρτηση y=ctg(x), όπου x ∈(0;π), ονομάζεται τόξο εφαπτομένη και συμβολίζεται y=arcctg(x), όπου x∈R.
Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, το πεδίο ορισμού της συνεφαπτομένης τόξου θα είναι R, και από ένα σύνολοτιμές – διάστημα (0;π).Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=arcctg(x), όπου x∈R είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=ctg(x) x∈(0;π),σχετική στη διχοτόμο των γωνιών συντεταγμένων του πρώτου και του τρίτου τετάρτου.

Εύρος συναρτήσεων y=arcctg(x).

Παράδειγμα Νο. 7.
Βρείτε το arcctg((√3)/3);

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών arcctg(x) x ∈(0;π), τότε μόνο η τιμή π/3 είναι κατάλληλη επομένως arccos((√3)/3) =π/3.

Παράδειγμα αρ. 8.
Βρείτε το arcctg(-(√3)/3);

Δεδομένου ότι το εύρος τιμών είναι arcctg(x) x∈(0;π), τότε μόνο η τιμή 2π/3 είναι κατάλληλη, επομένως, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Επιμέλεια: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Μαθήματα 32-33. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

09.07.2015 5916 0

Στόχος: εξετάστε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τη χρήση τους για τη σύνταξη λύσεων σε τριγωνομετρικές εξισώσεις.

I. Επικοινωνία του θέματος και του σκοπού των μαθημάτων

II. Εκμάθηση νέου υλικού

1. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ας ξεκινήσουμε τη συζήτησή μας για αυτό το θέμα με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Ας λύσουμε την εξίσωση:α) sin x = 1/2; β) αμαρτία x = α.

α) Στον άξονα τεταγμένων σχεδιάζουμε την τιμή 1/2 και κατασκευάζουμε τις γωνίες x 1 και x2, για το οποίοαμαρτία x = 1/2. Σε αυτή την περίπτωση x1 + x2 = π, από όπου x2 = π – x 1 . Χρησιμοποιώντας τον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, βρίσκουμε την τιμή x1 = π/6, τότεΑς λάβουμε υπόψη την περιοδικότητα της ημιτονοειδούς συνάρτησης και ας γράψουμε τις λύσεις δεδομένη εξίσωση: όπου k ∈ Z.

β) Προφανώς ο αλγόριθμος επίλυσης της εξίσωσηςαμαρτία x = a είναι το ίδιο όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Φυσικά, τώρα η τιμή a απεικονίζεται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Υπάρχει ανάγκη να ορίσουμε με κάποιο τρόπο τη γωνία x1. Συμφωνήσαμε να υποδηλώσουμε αυτή τη γωνία με το σύμβολοτόξο ΕΝΑ. Στη συνέχεια, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης μπορούν να γραφτούν στη μορφήΑυτοί οι δύο τύποι μπορούν να συνδυαστούν σε έναν:εν

Οι υπόλοιπες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις εισάγονται με παρόμοιο τρόπο.

Πολύ συχνά είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μέγεθος της γωνίας κατά γνωστή αξίαη τριγωνομετρική του συνάρτηση. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι πολλαπλών τιμών - υπάρχουν αμέτρητες γωνίες των οποίων οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ίσες με την ίδια τιμή. Επομένως, με βάση τη μονοτονία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εισάγονται οι ακόλουθες αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις για τον μοναδικό προσδιορισμό των γωνιών.

Αρξίνη του αριθμού α (αρκσιν , του οποίου το ημίτονο είναι ίσο με a, δηλ.

Τόξο συνημίτονο ενός αριθμού a(arccos α) είναι μια γωνία α από το διάστημα του οποίου το συνημίτονο είναι ίσο με a, δηλ.

Arctangent ενός αριθμούα (αρχ α) - μια τέτοια γωνία α από το διάστηματου οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με a, δηλ.tg a = α.

Arccotangent ενός αριθμούα(αριθμ α) είναι μια γωνία α από το διάστημα (0, π), η συνεφαπτομένη της οποίας είναι ίση με a, δηλ. ctg a = α.

Παράδειγμα 2

Ας βρούμε:

Λαμβάνοντας υπόψη τους ορισμούς των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, λαμβάνουμε:

Παράδειγμα 3

Ας υπολογίσουμε

Έστω γωνία α = τόξο 3/5, τότε εξ ορισμούαμαρτία α = 3/5 και . Επομένως, πρέπει να βρούμεσυν ΕΝΑ. Χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, παίρνουμε:Λαμβάνεται υπόψη ότι cos a ≥ 0. Άρα,

Ιδιότητες συνάρτησης	Λειτουργία
Ιδιότητες συνάρτησης	y = τόξο x	y = τόξο x	y = αρκτάν x	y = arcctg x
Τομέα	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Εύρος τιμών	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Ισοτιμία	Περιττός	Ούτε ζυγός ούτε περίεργος	Περιττός	Ούτε ζυγός ούτε περίεργος
Συναρτήσεις μηδενικά (y = 0)	Στο x = 0	Στο x = 1	Στο x = 0	y ≠ 0
Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου	y > 0 για x ∈ (0; 1], στο< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 για x ∈ [-1; 1)	y > 0 για x ∈ (0; +∞), στο< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 για x ∈ (-∞; +∞)
Μονότονη ομιλία	Αυξάνεται	Φθίνων	Αυξάνεται	Φθίνων
Σχέση με την τριγωνομετρική συνάρτηση	αμαρτία y = x	cos y = x	tg y = x	cotg y = x
Πρόγραμμα

Ας δώσουμε μερικά ακόμα τυπικά παραδείγματασχετίζονται με τους ορισμούς και τις βασικές ιδιότητες των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 4

Ας βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Για να οριστεί η συνάρτηση y, είναι απαραίτητο να ικανοποιηθεί η ανισότηταπου ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτωνΗ λύση στην πρώτη ανισότητα είναι το διάστημα x∈ (-∞; +∞), δεύτερο -Αυτό το διάστημα και είναι μια λύση στο σύστημα των ανισοτήτων, άρα και στον τομέα ορισμού της συνάρτησης

Παράδειγμα 5

Ας βρούμε την περιοχή αλλαγής της συνάρτησης

Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης z = 2x - x2 (βλ. εικόνα).

Είναι σαφές ότι z ∈ (-∞; 1]. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το επιχείρημα z η συνάρτηση συνεφαπτομένης τόξου ποικίλλει εντός των καθορισμένων ορίων, από τα δεδομένα του πίνακα που λαμβάνουμεΟ χώρος της αλλαγής λοιπόν

Παράδειγμα 6

Ας αποδείξουμε ότι η συνάρτηση y = arctg x περιττό. ΑφήνωΤότε tg a = -x ή x = - tg a = tg (- a), και Επομένως, - a = arctg x ή a = - arctg Χ. Έτσι, το βλέπουμεδηλαδή η y(x) είναι περιττή συνάρτηση.

Παράδειγμα 7

Ας εκφράσουμε μέσα από όλες τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Αφήνω Είναι προφανές ότι Μετά από τότε

Ας παρουσιάσουμε τη γωνία Επειδή Οτι

Ομοίως λοιπόν Και

Ετσι,

Παράδειγμα 8

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = cos(arcsin x).

Ας συμβολίσουμε a = arcsin x, λοιπόν Ας λάβουμε υπόψη ότι x = sin a και y = cos a, δηλαδή x 2 + y2 = 1 και περιορισμοί στο x (x∈ [-1; 1]) και y (y ≥ 0). Τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = cos(arcsin x) είναι ημικύκλιο.

Παράδειγμα 9

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = arccos (cos x ).

Από τη συνάρτηση συν x αλλάζει στο διάστημα [-1; 1], τότε η συνάρτηση y ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα και μεταβάλλεται στο τμήμα . Ας έχουμε υπόψη μας ότι y = arccos (cosx) = x στο τμήμα; η συνάρτηση y είναι άρτια και περιοδική με περίοδο 2π. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνάρτηση έχει αυτές τις ιδιότητες cos x Τώρα είναι εύκολο να δημιουργήσετε ένα γράφημα.

Ας σημειώσουμε μερικές χρήσιμες ισότητες:

Παράδειγμα 10

Ας βρούμε το μικρότερο και υψηλότερη τιμήλειτουργίεςΑς υποδηλώσουμε Επειτα Ας πάρουμε τη συνάρτηση Αυτή η λειτουργία έχει ένα ελάχιστο στο σημείο z = π/4, και είναι ίσο με Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο z = -π/2, και είναι ίσο Έτσι, και

Παράδειγμα 11

Ας λύσουμε την εξίσωση

Ας το λάβουμε υπόψη Τότε η εξίσωση μοιάζει με:ή που Με τον ορισμό της αρκταπτομένης παίρνουμε:

2. Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων

Παρόμοια με το παράδειγμα 1, μπορείτε να βρείτε λύσεις στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Η εξίσωση	Λύση


tgx = α
ctg x = α

Παράδειγμα 12

Ας λύσουμε την εξίσωση

Εφόσον η συνάρτηση ημιτόνου είναι περιττή, γράφουμε την εξίσωση με τη μορφήΛύσεις σε αυτήν την εξίσωση:απο που το βρισκουμε?

Παράδειγμα 13

Ας λύσουμε την εξίσωση

Χρησιμοποιώντας τον τύπο που δίνεται, γράφουμε τις λύσεις της εξίσωσης:και θα βρούμε

Σημειώστε ότι σε ειδικές περιπτώσεις (a = 0; ±1) κατά την επίλυση των εξισώσεων sin x = a και cos x = και είναι ευκολότερο και πιο βολικό να χρησιμοποιείτε όχι γενικούς τύπους, αλλά να γράφετε λύσεις με βάση τον κύκλο μονάδας:

για την εξίσωση sin x = 1 λύση

για την εξίσωση sin x = 0 λύσεις x = π k;

για την εξίσωση sin x = -1 λύση

για την εξίσωση cos x = 1 διάλυμα x = 2πκ ;

για την εξίσωση cos x = 0 λύσεις

για την εξίσωση cos x = -1 λύση

Παράδειγμα 14

Ας λύσουμε την εξίσωση

Από μέσα σε αυτό το παράδειγμαυπάρχει μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης, τότε χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο γράφουμε τη λύση:απο που το βρισκουμε?