Δίνεται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων προς επίλυση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Gaussian μέθοδος (διαδοχική εξάλειψη αγνώστων). Παραδείγματα λύσεων για ανδρείκελα

16.10.2019

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή βρίσκει τη λύση στο σύστημα γραμμικές εξισώσεις(SLN) με τη μέθοδο Gaussian. Δίνεται αναλυτική λύση. Για να υπολογίσετε, επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών και τον αριθμό των εξισώσεων. Στη συνέχεια, εισάγετε τα δεδομένα στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός".

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Αναπαράσταση αριθμού:

Ολόκληροι αριθμοί ή/και κοινά κλάσματα
Ολόκληροι αριθμοί ή/και δεκαδικοί αριθμοί

Αριθμός θέσεων μετά το δεκαδικό διαχωριστικό

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να εισαχθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Μέθοδος Gauss

Η μέθοδος Gauss είναι μια μέθοδος μετάβασης από το αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων (με χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών) σε ένα σύστημα που είναι πιο εύκολο να λυθεί από το αρχικό σύστημα.

Οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι:

ανταλλάσσοντας δύο εξισώσεις στο σύστημα,
πολλαπλασιάζοντας οποιαδήποτε εξίσωση στο σύστημα με έναν μη μηδενικό πραγματικό αριθμό,
προσθέτοντας σε μια εξίσωση μια άλλη εξίσωση πολλαπλασιασμένη με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Θεωρήστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

(1)

Ας γράψουμε το σύστημα (1) σε μορφή πίνακα:

Αξ=β

(2)

(3)

ΕΝΑ- ονομάζεται ο πίνακας συντελεστών του συστήματος, σι− δεξιά πλευρά των περιορισμών, x− διάνυσμα μεταβλητών που πρέπει να βρεθεί. Αφήστε την κατάταξη ( ΕΝΑ)=σελ.

Οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν την κατάταξη του πίνακα συντελεστών και την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος. Το σύνολο των λύσεων του συστήματος επίσης δεν αλλάζει υπό ισοδύναμους μετασχηματισμούς. Η ουσία της μεθόδου Gauss είναι η μείωση του πίνακα των συντελεστών ΕΝΑσε διαγώνιο ή κλιμακωτό.

Ας δημιουργήσουμε έναν εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Στο επόμενο στάδιο, επαναφέρουμε όλα τα στοιχεία της στήλης 2, κάτω από το στοιχείο. Εάν αυτό το στοιχείο είναι μηδέν, τότε αυτή η σειρά ανταλλάσσεται με τη σειρά που βρίσκεται κάτω από αυτήν τη σειρά και έχει ένα μη μηδενικό στοιχείο στη δεύτερη στήλη. Στη συνέχεια, επαναφέρετε όλα τα στοιχεία της στήλης 2 κάτω από το κύριο στοιχείο ένα 22. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις γραμμές 3, ... mμε τη συμβολοσειρά 2 πολλαπλασιασμένη επί − ένα 32 /ένα 22 , ..., −ένα m2/ ένα 22, αντίστοιχα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, λαμβάνουμε μια μήτρα διαγώνιας ή κλιμακωτής μορφής. Αφήστε τον εκτεταμένο πίνακα που προκύπτει να έχει τη μορφή:

(7)

Επειδή rangA=rang(Α|β), τότε το σύνολο των λύσεων (7) είναι ( n−p)− ποικιλία. Οθεν n−pτα άγνωστα μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα. Οι υπόλοιποι άγνωστοι από το σύστημα (7) υπολογίζονται ως εξής. Από την τελευταία εξίσωση που εκφράζουμε x p μέσα από τις υπόλοιπες μεταβλητές και εισάγετε στις προηγούμενες παραστάσεις. Στη συνέχεια, από την προτελευταία εξίσωση που εκφράζουμε x p−1 μέσα από τις υπόλοιπες μεταβλητές και εισάγετε στις προηγούμενες παραστάσεις κ.λπ. Εξετάστε τη μέθοδο Gauss συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παραδείγματα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss

Παράδειγμα 1. Βρείτε γενική λύσησυστήματα γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss:

Ας υποδηλώσουμε με ένα ij στοιχεία εγώ-η γραμμή και ιη στήλη.

ένα 1 1 . Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις γραμμές 2,3 με τη γραμμή 1, πολλαπλασιαζόμενες με -2/3,-1/2, αντίστοιχα:

Προβολή μήτραςκαταχωρήσεις: Αξ=β, Πού

Ας υποδηλώσουμε με ένα ij στοιχεία εγώ-η γραμμή και ιη στήλη.

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 1ης στήλης του πίνακα κάτω από το στοιχείο ένα 11. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις γραμμές 2,3 με τη γραμμή 1, πολλαπλασιαζόμενες επί -1/5,-6/5, αντίστοιχα:

Διαιρούμε κάθε γραμμή του πίνακα με το αντίστοιχο κύριο στοιχείο (αν υπάρχει το κύριο στοιχείο):

Οπου x 3 , x

Αντικαθιστώντας τις ανώτερες εκφράσεις με τις κάτω, παίρνουμε τη λύση.

Τότε διανυσματική λύσημπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Οπου x 3 , xΤο 4 είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί.

Συνεχίζουμε να εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα είναι το τρίτο για το θέμα. Εάν έχετε μια αόριστη ιδέα για το τι είναι γενικά ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, εάν αισθάνεστε σαν τσαγιέρα, τότε σας συνιστώ να ξεκινήσετε με τα βασικά στη σελίδα Επόμενο, είναι χρήσιμο να μελετήσετε το μάθημα.

Η μέθοδος Gaussian είναι εύκολη!Γιατί; Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Johann Carl Friedrich Gauss, κατά τη διάρκεια της ζωής του, έλαβε την αναγνώριση ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, μια ιδιοφυΐα, ακόμη και το παρατσούκλι «Βασιλιάς των Μαθηματικών». Και κάθε τι έξυπνο, όπως γνωρίζετε, είναι απλό!Παρεμπιπτόντως, όχι μόνο τα κορόιδα παίρνουν χρήματα, αλλά και οι ιδιοφυΐες - το πορτρέτο του Γκάους ήταν στο τραπεζογραμμάτιο των 10 γερμανικών μάρκων (πριν από την εισαγωγή του ευρώ) και ο Γκάους εξακολουθεί να χαμογελά μυστηριωδώς στους Γερμανούς από συνηθισμένα γραμματόσημα.

Η μέθοδος Gauss είναι απλή στο ότι η ΓΝΩΣΗ ΜΑΘΗΤΗ ΕΜΠΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΕΙΝΑΙ ΑΡΚΕΤΗ για να την κατακτήσει. Πρέπει να ξέρετε πώς να προσθέτετε και να πολλαπλασιάζετε!Δεν είναι τυχαίο ότι οι εκπαιδευτικοί συχνά εξετάζουν τη μέθοδο του διαδοχικού αποκλεισμού αγνώστων στα μαθήματα επιλογής των μαθηματικών του σχολείου. Είναι ένα παράδοξο, αλλά οι μαθητές βρίσκουν την Gaussian μέθοδο την πιο δύσκολη. Τίποτα περίεργο - είναι όλα σχετικά με τη μεθοδολογία και θα προσπαθήσω να μιλήσω για τον αλγόριθμο της μεθόδου σε μια προσβάσιμη μορφή.

Αρχικά, ας συστηματοποιήσουμε λίγη γνώση για συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί:

1) Έχετε μια μοναδική λύση. 2) Να έχεις άπειρες λύσεις. 3) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι μη άρθρωση).

Η μέθοδος Gauss είναι το πιο ισχυρό και καθολικό εργαλείο για την εύρεση λύσης κάθεσυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Όπως θυμόμαστε, Κανόνας Cramer και μέθοδος μήτραςείναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Και η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων Οπωσδήποτεθα μας οδηγήσει στην απάντηση! Επί αυτό το μάθημαΘα εξετάσουμε ξανά τη μέθοδο Gauss για την περίπτωση Νο. 1 (η μόνη λύση στο σύστημα), ένα άρθρο είναι αφιερωμένο στις καταστάσεις των σημείων Νο. 2-3. Σημειώνω ότι ο αλγόριθμος της ίδιας της μεθόδου λειτουργεί το ίδιο και στις τρεις περιπτώσεις.

Ας επιστρέψουμε στο πιο απλό σύστημα από το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;και να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Το πρώτο βήμα είναι να γράψετε εκτεταμένη μήτρα συστήματος: . Νομίζω ότι όλοι μπορούν να δουν με ποια αρχή γράφονται οι συντελεστές. Η κατακόρυφη γραμμή μέσα στη μήτρα δεν έχει μαθηματική σημασία - είναι απλώς μια διαγράμμιση για ευκολία σχεδιασμού.

Αναφορά : Σας συνιστώ να θυμάστε όροι γραμμική άλγεβρα. Σύστημα Matrix είναι ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από συντελεστές για αγνώστους, σε αυτό το παράδειγμα ο πίνακας του συστήματος: . Εκτεταμένη μήτρα συστήματος – αυτός είναι ο ίδιος πίνακας του συστήματος συν μια στήλη ελεύθερων όρων, σε αυτήν την περίπτωση: . Για συντομία, οποιοσδήποτε από τους πίνακες μπορεί απλά να ονομαστεί μήτρα.

Αφού γραφτεί ο εκτεταμένος πίνακας συστήματος, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτόν, οι οποίες ονομάζονται επίσης στοιχειώδεις μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν οι παρακάτω στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

1) Χορδέςμήτρες Κουτί τακτοποιώσε ορισμένα σημεία. Για παράδειγμα, στον υπό εξέταση πίνακα, μπορείτε να αναδιατάξετε ανώδυνα την πρώτη και τη δεύτερη σειρά:

2) Εάν υπάρχουν (ή έχουν εμφανιστεί) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε θα πρέπει να διαγράφωΌλες αυτές οι σειρές είναι από τον πίνακα εκτός από μία. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Σε αυτόν τον πίνακα, οι τρεις τελευταίες σειρές είναι αναλογικές, επομένως αρκεί να αφήσετε μόνο μία από αυτές: .

3) Εάν εμφανίζεται μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε θα πρέπει επίσης να είναι διαγράφω. Δεν θα σχεδιάσω, φυσικά, η μηδενική γραμμή είναι η γραμμή στην οποία όλα τα μηδενικά.

4) Η γραμμή του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)σε οποιοδήποτε αριθμό μη μηδενικό. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Εδώ συνιστάται να διαιρέσετε την πρώτη γραμμή με -3 και να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με 2: . Αυτή η ενέργεια είναι πολύ χρήσιμη γιατί απλοποιεί περαιτέρω μετασχηματισμούς του πίνακα.

5) Αυτή η μεταμόρφωση προκαλεί τις περισσότερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο. Σε μια σειρά μιας μήτρας μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν. Ας δούμε τον πίνακα μας από ένα πρακτικό παράδειγμα: . Πρώτα θα περιγράψω τη μεταμόρφωση με μεγάλη λεπτομέρεια. Πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με –2: , Και στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –2: . Τώρα η πρώτη γραμμή μπορεί να διαιρεθεί "πίσω" με –2: . Όπως μπορείτε να δείτε, η γραμμή που είναι ΠΡΟΣΘΗΚΗ LI – δεν έχει αλλάξει. Πάντοτεαλλάζει η γραμμή ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΠΡΟΣΘΗΚΕΤΑΙ UT.

Στην πράξη, φυσικά, δεν το περιγράφουν τόσο λεπτομερώς, αλλά το γράφουν εν συντομία: Για άλλη μια φορά: στη δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Μια γραμμή συνήθως πολλαπλασιάζεται προφορικά ή σε προσχέδιο, με τη διαδικασία νοητικού υπολογισμού να πηγαίνει κάπως έτσι:

«Ξαναγράφω τη μήτρα και ξαναγράφω την πρώτη γραμμή: »

«Πρώτη στήλη. Στο κάτω μέρος πρέπει να πάρω το μηδέν. Επομένως, πολλαπλασιάζω το ένα στην κορυφή με –2: , και προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: 2 + (–2) = 0. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Τώρα η δεύτερη στήλη. Στην κορυφή, πολλαπλασιάζω -1 με -2: . Προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: 1 + 2 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Και η τρίτη στήλη. Στην κορυφή πολλαπλασιάζω -5 με -2: . Προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: –7 + 10 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

Παρακαλούμε κατανοήστε προσεκτικά αυτό το παράδειγμα και κατανοήστε τον αλγόριθμο διαδοχικού υπολογισμού, αν το καταλαβαίνετε αυτό, τότε η μέθοδος Gauss είναι πρακτικά στην τσέπη σας. Αλλά, φυσικά, θα συνεχίσουμε να δουλεύουμε σε αυτόν τον μετασχηματισμό.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

! ΠΡΟΣΟΧΗ: θεωρούνται χειρισμοί δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, εάν σας προσφερθεί μια εργασία όπου οι πίνακες δίνονται "από μόνες τους". Για παράδειγμα, με το "κλασικό" πράξεις με πίνακεςΣε καμία περίπτωση δεν πρέπει να αναδιατάξετε οτιδήποτε μέσα στους πίνακες! Ας επιστρέψουμε στο σύστημά μας. Πρακτικά γίνεται κομμάτια.

Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον αναγάγουμε σε κλιμακωτή όψη:

(1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Και πάλι: γιατί πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με –2; Για να πάρετε το μηδέν στο κάτω μέρος, που σημαίνει να απαλλαγείτε από μια μεταβλητή στη δεύτερη γραμμή.

(2) Διαιρέστε τη δεύτερη γραμμή με το 3.

Ο σκοπός των στοιχειωδών μετασχηματισμών – μειώστε τον πίνακα σε σταδιακή μορφή: . Στο σχεδιασμό της εργασίας, απλώς επισημαίνουν τις "σκάλες" με ένα απλό μολύβι και κυκλώνουν επίσης τους αριθμούς που βρίσκονται στα "σκαλοπάτια". Ο ίδιος ο όρος «βηματική άποψη» δεν είναι εντελώς θεωρητικός, σε επιστημονικό και εκπαιδευτική βιβλιογραφίασυχνά ονομάζεται τραπεζοειδής όψηή τριγωνική όψη.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, λάβαμε ισοδύναμοςαρχικό σύστημα εξισώσεων:

Τώρα το σύστημα πρέπει να "ξετυλιχτεί" προς την αντίθετη κατεύθυνση - από κάτω προς τα πάνω, αυτή η διαδικασία ονομάζεται αντίστροφη της μεθόδου Gauss.

Στην κάτω εξίσωση έχουμε ήδη ένα έτοιμο αποτέλεσμα: .

Ας εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος και ας αντικαταστήσουμε την ήδη γνωστή τιμή του «y»:

Ας εξετάσουμε την πιο κοινή κατάσταση, όταν η μέθοδος Gauss απαιτεί την επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Παράδειγμα 1

Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Τώρα θα σχεδιάσω αμέσως το αποτέλεσμα στο οποίο θα καταλήξουμε κατά τη διάρκεια της λύσης: Και επαναλαμβάνω, στόχος μας είναι να φέρουμε τη μήτρα σε μια σταδιακή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Από πού να ξεκινήσω;

Αρχικά, κοιτάξτε τον επάνω αριστερό αριθμό: Πρέπει να είναι σχεδόν πάντα εδώ μονάδα. Σε γενικές γραμμές, το –1 (και μερικές φορές άλλοι αριθμοί) θα κάνει, αλλά κατά κάποιο τρόπο παραδοσιακά συνέβαινε να τοποθετείται συνήθως κάποιος εκεί. Πώς να οργανώσετε μια μονάδα; Κοιτάμε την πρώτη στήλη - έχουμε μια ολοκληρωμένη μονάδα! Μεταμόρφωση 1: αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή:

Τώρα η πρώτη γραμμή θα παραμείνει αμετάβλητη μέχρι το τέλος της λύσης. Είναι ήδη πιο εύκολο.

Η μονάδα στην επάνω αριστερή γωνία είναι οργανωμένη. Τώρα πρέπει να λάβετε μηδενικά σε αυτά τα μέρη:

Παίρνουμε μηδενικά χρησιμοποιώντας έναν «δύσκολο» μετασχηματισμό. Πρώτα ασχολούμαστε με τη δεύτερη γραμμή (2, –1, 3, 13). Τι πρέπει να γίνει για να πάρει το μηδέν στην πρώτη θέση; Ανάγκη να στη δεύτερη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Διανοητικά ή σε σχέδιο, πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με –2: (–2, –4, 2, –18). Και πραγματοποιούμε με συνέπεια (πάλι νοερά ή σε προσχέδιο) προσθήκη, στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, που έχει ήδη πολλαπλασιαστεί με –2:

Γράφουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή:

Αντιμετωπίζουμε την τρίτη γραμμή με τον ίδιο τρόπο (3, 2, –5, –1). Για να πάρετε ένα μηδέν στην πρώτη θέση, χρειάζεστε στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –3. Διανοητικά ή σε σχέδιο, πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με –3: (–3, –6, 3, –27). ΚΑΙ στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –3:

Γράφουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη γραμμή:

Στην πράξη, αυτές οι ενέργειες συνήθως εκτελούνται προφορικά και καταγράφονται σε ένα βήμα:

Δεν χρειάζεται να μετράτε τα πάντα ταυτόχρονα και ταυτόχρονα. Η σειρά των υπολογισμών και η «εισαγωγή» των αποτελεσμάτων συνεπήςκαι συνήθως είναι κάπως έτσι: πρώτα ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή και σιγά-σιγά φυσάμε τον εαυτό μας - ΣΥΝΕΧΕΙΑ και ΠΡΟΣΕΧΤΙΚΑ:
Και έχω ήδη συζητήσει τη νοητική διαδικασία των ίδιων των υπολογισμών παραπάνω.

ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαΑυτό είναι εύκολο να γίνει, διαιρέστε τη δεύτερη γραμμή με –5 (καθώς όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 5 χωρίς υπόλοιπο). Ταυτόχρονα, διαιρούμε την τρίτη γραμμή με –2, γιατί όσο μικρότεροι είναι οι αριθμοί, τόσο πιο απλή είναι η λύση:

Στο τελικό στάδιο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, πρέπει να πάρετε ένα άλλο μηδέν εδώ:

Για αυτό στην τρίτη γραμμή προσθέστε τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –2:
Προσπαθήστε να καταλάβετε αυτήν την ενέργεια μόνοι σας - πολλαπλασιάστε νοερά τη δεύτερη γραμμή με –2 και εκτελέστε την πρόσθεση.

Η τελευταία ενέργεια που εκτελείται είναι το χτένισμα του αποτελέσματος, διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 3.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προέκυψε ένα ισοδύναμο σύστημα γραμμικών εξισώσεων: Δροσερός.

Τώρα μπαίνει στο παιχνίδι το αντίστροφο της μεθόδου Gauss. Οι εξισώσεις «ξετυλίγονται» από κάτω προς τα πάνω.

Στην τρίτη εξίσωση έχουμε ήδη ένα έτοιμο αποτέλεσμα:

Ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση: . Η έννοια του "zet" είναι ήδη γνωστή, επομένως:

Και τέλος, η πρώτη εξίσωση: . Το "Igrek" και το "zet" είναι γνωστά, είναι απλά θέμα μικρών πραγμάτων:

Απάντηση:

Όπως έχει ήδη σημειωθεί αρκετές φορές, για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων είναι δυνατό και απαραίτητο να ελεγχθεί η λύση που βρέθηκε, ευτυχώς, αυτό είναι εύκολο και γρήγορο.

Παράδειγμα 2

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, ένα δείγμα του τελικού σχεδιασμού και μια απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σας εξέλιξη της απόφασηςμπορεί να μην συμπίπτει με τη διαδικασία απόφασής μου, και αυτό είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss. Αλλά οι απαντήσεις πρέπει να είναι ίδιες!

Παράδειγμα 3

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Θα πρέπει να έχουμε ένα εκεί. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου μονάδες στην πρώτη στήλη, επομένως η αναδιάταξη των σειρών δεν θα λύσει τίποτα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Έκανα αυτό: (1) Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή με –1 και προσθέσαμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά υπάρχει το «μείον ένα», που μας ταιριάζει αρκετά. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον κίνηση: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με –1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

(2) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 5 προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Άλλαξε και το σήμα της τρίτης γραμμής και μεταφέρθηκε στη δεύτερη θέση, ώστε στο δεύτερο «σκαλοπάτι» να έχουμε την απαιτούμενη μονάδα.

(4) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

(5) Η τρίτη γραμμή διαιρέθηκε με 3.

Ένα κακό σημάδι που υποδηλώνει λάθος στους υπολογισμούς (σπανιότερα, τυπογραφικό λάθος) είναι μια «κακή» κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι σαν , παρακάτω, και, κατά συνέπεια, , τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορούμε να πούμε ότι έγινε σφάλμα κατά τη διάρκεια στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Χρεώνουμε το αντίστροφο, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων συχνά δεν ξαναγράφουν το ίδιο το σύστημα, αλλά οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Το αντίστροφο κτύπημα, σας θυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω. Ναι, εδώ είναι ένα δώρο:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας, είναι κάπως πιο περίπλοκο. Δεν πειράζει αν κάποιος μπερδευτεί. Πλήρης λύση και σχέδιο δείγματος στο τέλος του μαθήματος. Η λύση σας μπορεί να είναι διαφορετική από τη δική μου.

Στο τελευταίο μέρος θα δούμε μερικά χαρακτηριστικά του αλγορίθμου Gauss. Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι μερικές φορές λείπουν ορισμένες μεταβλητές από τις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα: Πώς να γράψετε σωστά τον εκτεταμένο πίνακα συστήματος; Έχω ήδη μιλήσει για αυτό το σημείο στην τάξη. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος μήτρας. Στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, βάζουμε μηδενικά στη θέση των μεταβλητών που λείπουν: Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ένα αρκετά εύκολο παράδειγμα, καθώς η πρώτη στήλη έχει ήδη ένα μηδέν και υπάρχουν λιγότεροι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί για εκτέλεση.

Το δεύτερο χαρακτηριστικό είναι αυτό. Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, τοποθετήσαμε είτε –1 είτε +1 στα «βήματα». Θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλοι αριθμοί εκεί; Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν. Σκεφτείτε το σύστημα: .

Εδώ στο επάνω αριστερό «σκαλοπάτι» έχουμε ένα δύο. Αλλά παρατηρούμε το γεγονός ότι όλοι οι αριθμοί στην πρώτη στήλη διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο - και ο άλλος είναι δύο και έξι. Και τα δύο πάνω αριστερά θα μας ταιριάζουν! Στο πρώτο βήμα, πρέπει να εκτελέσετε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί –1 στη δεύτερη γραμμή. στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –3. Οπότε παίρνουμε απαραίτητα μηδενικάστην πρώτη στήλη.

Ή ένα άλλο συμβατικό παράδειγμα: . Εδώ μας ταιριάζει και το τρία στο δεύτερο «σκαλοπάτι», αφού το 12 (το μέρος όπου πρέπει να πάρουμε το μηδέν) διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε τον ακόλουθο μετασχηματισμό: προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -4, ως αποτέλεσμα του οποίου θα ληφθεί το μηδέν που χρειαζόμαστε.

Η μέθοδος του Gauss είναι καθολική, αλλά υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Μπορείτε να μάθετε με σιγουριά να επιλύετε συστήματα χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους (μέθοδος Cramer, μέθοδος μήτρας) κυριολεκτικά την πρώτη φορά - έχουν έναν πολύ αυστηρό αλγόριθμο. Αλλά για να αισθάνεστε σίγουροι για τη μέθοδο Gaussian, θα πρέπει να «βάλετε τα δόντια σας» και να λύσετε τουλάχιστον 5-10 δέκα συστήματα. Επομένως, στην αρχή μπορεί να υπάρξει σύγχυση και λάθη στους υπολογισμούς και δεν υπάρχει τίποτα ασυνήθιστο ή τραγικό σε αυτό.

Βροχερός φθινοπωρινός καιρός έξω από το παράθυρο.... Επομένως, για όλους όσους θέλουν περισσότερα σύνθετο παράδειγμαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Να λύσετε ένα σύστημα 4 γραμμικών εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Ένα τέτοιο έργο δεν είναι τόσο σπάνιο στην πράξη. Νομίζω ότι ακόμη και μια τσαγιέρα που έχει μελετήσει διεξοδικά αυτήν τη σελίδα θα κατανοήσει τον αλγόριθμο για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος διαισθητικά. Βασικά, όλα είναι ίδια - υπάρχουν απλώς περισσότερες ενέργειες.

Οι περιπτώσεις που το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπές) ή έχει άπειρες λύσεις συζητούνται στο μάθημα Μη συμβατά συστήματα και συστήματα με κοινή λύση. Εκεί μπορείτε να διορθώσετε τον εξεταζόμενο αλγόριθμο της μεθόδου Gauss.

Εύχομαι καλή επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Διάλυμα : Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή.
Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί που πραγματοποιήθηκαν: (1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1. Προσοχή! Εδώ μπορεί να μπείτε στον πειρασμό να αφαιρέσετε την πρώτη από την τρίτη γραμμή. Συνιστώ ανεπιφύλακτα να μην την αφαιρέσετε - ο κίνδυνος σφάλματος αυξάνεται πολύ. Απλά διπλώστε το! (2) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με –1). Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή έχουν αλλάξει. Παρακαλώ σημειώστε , ότι στα “σκαλιά” δεν αρκούμε μόνο σε ένα, αλλά και με –1, που είναι ακόμα πιο βολικό. (3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 5. (4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με –1). Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με το 14.

Αντίστροφο:

Απάντηση : .

Παράδειγμα 4: Διάλυμα : Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν: (1) Μια δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην πρώτη γραμμή. Έτσι, η επιθυμητή μονάδα οργανώνεται στο επάνω αριστερό «σκαλοπάτι». (2) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 7 προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 6 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

Με το δεύτερο «βήμα» όλα γίνονται χειρότερα , οι «υποψήφιοι» για αυτό είναι οι αριθμοί 17 και 23 και χρειαζόμαστε είτε ένα είτε –1. Οι μετασχηματισμοί (3) και (4) θα στοχεύουν στην απόκτηση της επιθυμητής μονάδας (3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1. (4) Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –3. Το απαιτούμενο στοιχείο στο δεύτερο βήμα έχει ληφθεί . (5) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 6. (6) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με –1, η τρίτη γραμμή διαιρέθηκε με -83.

Αντίστροφο:

Απάντηση :

Παράδειγμα 5: Διάλυμα : Ας γράψουμε τον πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν: (1) Η πρώτη και η δεύτερη γραμμή έχουν αλλάξει. (2) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –3. (3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιάστηκε με 4. Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με –1. (4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε. Η τέταρτη γραμμή χωρίστηκε με 3 και τοποθετήθηκε στη θέση της τρίτης γραμμής. (5) Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –5.

Αντίστροφο:

Απάντηση :

Έστω ένα σύστημα γραμμικό αλγεβρικές εξισώσεις, που πρέπει να λυθεί (να βρείτε τέτοιες τιμές των αγνώστων xi που μετατρέπουν κάθε εξίσωση του συστήματος σε ισότητα).

Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί:

1) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι μη άρθρωση).
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Έχετε μία μόνο λύση.

Όπως θυμόμαστε, ο κανόνας του Cramer και η μέθοδος matrix δεν είναι κατάλληλοι σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μέθοδος Gauss – το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσεων σε οποιοδήποτε σύστημα γραμμικών εξισώσεων, το οποίο σε κάθε περίπτωσηθα μας οδηγήσει στην απάντηση! Ο ίδιος ο αλγόριθμος της μεθόδου λειτουργεί το ίδιο και στις τρεις περιπτώσεις. Εάν οι μέθοδοι Cramer και matrix απαιτούν γνώση καθοριστικών παραγόντων, τότε για να εφαρμόσετε τη μέθοδο Gauss χρειάζεστε μόνο γνώση αριθμητικών πράξεων, γεγονός που την καθιστά προσιτή ακόμη και σε μαθητές δημοτικού.

Μετασχηματισμοί επαυξημένου πίνακα ( αυτός είναι ο πίνακας του συστήματος - ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από τους συντελεστές των αγνώστων, συν μια στήλη ελεύθερων όρων)συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στη μέθοδο Gauss:

1) Με trokiμήτρες Κουτί τακτοποιώσε ορισμένα σημεία.

2) εάν αναλογικές (ως ειδική περίπτωση – πανομοιότυπες) σειρές εμφανίζονται (ή υπάρχουν) στον πίνακα, τότε θα πρέπει να διαγράφωΌλες αυτές οι σειρές είναι από τον πίνακα εκτός από μία.

3) εάν εμφανίζεται μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε θα πρέπει επίσης να είναι διαγράφω.

4) μια σειρά του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)σε οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

5) σε μια σειρά του πίνακα μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν.

Στη μέθοδο Gauss, οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss αποτελείται από δύο στάδια:

"Άμεση κίνηση" - χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον εκτεταμένο πίνακα ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε μια "τριγωνική" μορφή βήματος: τα στοιχεία του εκτεταμένου πίνακα που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν (κίνηση από πάνω προς τα κάτω). Για παράδειγμα, σε αυτόν τον τύπο:

Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

1) Ας θεωρήσουμε την πρώτη εξίσωση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων και ο συντελεστής για x 1 είναι ίσος με Κ. Η δεύτερη, τρίτη κ.λπ. μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις ως εξής: διαιρούμε κάθε εξίσωση (συντελεστές των αγνώστων, συμπεριλαμβανομένων των ελεύθερων όρων) με τον συντελεστή του αγνώστου x 1, που υπάρχει σε κάθε εξίσωση, και πολλαπλασιάζουμε με Κ. Μετά από αυτό, αφαιρούμε την πρώτη από το δεύτερη εξίσωση (συντελεστές αγνώστων και ελεύθερων όρων). Για x 1 στη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε τον συντελεστή 0. Από την τρίτη μετασχηματισμένη εξίσωση αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση έως ότου όλες οι εξισώσεις εκτός από την πρώτη, για άγνωστο x 1, έχουν συντελεστή 0.

2) Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εξίσωση. Έστω αυτή η δεύτερη εξίσωση και ο συντελεστής για x 2 ίσος με M. Προχωράμε με όλες τις «κατώτερες» εξισώσεις όπως περιγράφηκε παραπάνω. Έτσι, «κάτω» από το άγνωστο x 2 θα υπάρχουν μηδενικά σε όλες τις εξισώσεις.

3) Προχωρήστε στην επόμενη εξίσωση και ούτω καθεξής μέχρι να παραμείνει ένας τελευταίος άγνωστος και ο μετασχηματισμένος ελεύθερος όρος.

Η «αντίστροφη κίνηση» της μεθόδου Gauss είναι να ληφθεί μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (η κίνηση «από κάτω προς τα πάνω»).

Από την τελευταία «κατώτερη» εξίσωση παίρνουμε μια πρώτη λύση - τον άγνωστο x n. Για να γίνει αυτό, λύνουμε τη στοιχειώδη εξίσωση A * x n = B. Στο παράδειγμα που δίνεται παραπάνω, x 3 = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην "άνω" επόμενη εξίσωση και τη λύνουμε σε σχέση με τον επόμενο άγνωστο. Για παράδειγμα, x 2 – 4 = 1, δηλ. x 2 = 5. Και ούτω καθεξής μέχρι να βρούμε όλα τα άγνωστα.

Παράδειγμα.

Ας λύσουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, όπως συμβουλεύουν ορισμένοι συγγραφείς:

Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:
Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Θα πρέπει να έχουμε ένα εκεί. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου μονάδες στην πρώτη στήλη, επομένως η αναδιάταξη των σειρών δεν θα λύσει τίποτα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Ας κάνουμε αυτό: . Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή με –1 και προσθέσαμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά υπάρχει το «μείον ένα», που μας ταιριάζει αρκετά. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια πρόσθετη ενέργεια: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με –1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

Βήμα 2 . Η πρώτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί 5, προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή Η πρώτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί 3, προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

Βήμα 3 . Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Άλλαξε και το σήμα της τρίτης γραμμής και μεταφέρθηκε στη δεύτερη θέση, ώστε στο δεύτερο «σκαλοπάτι» να έχουμε την απαιτούμενη μονάδα.

Βήμα 4 . Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

Βήμα 5 . Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με 3.

Ένα σημάδι που υποδεικνύει σφάλμα στους υπολογισμούς (σπανιότερα, τυπογραφικό λάθος) είναι μια «κακή» κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι σαν (0 0 11 |23) παρακάτω, και, κατά συνέπεια, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορούμε να πούμε ότι έγινε σφάλμα κατά τη διάρκεια του δημοτικού μεταμορφώσεις.

Ας κάνουμε το αντίστροφο στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται, αλλά οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Η αντίστροφη κίνηση, σας θυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω. Σε αυτό το παράδειγμα, το αποτέλεσμα ήταν ένα δώρο:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, επομένως x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Απάντηση:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Ας λύσουμε το ίδιο σύστημα χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο αλγόριθμο. παίρνουμε

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με 5 και την τρίτη με 3. Παίρνουμε:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση με 4, παίρνουμε:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση, έχουμε:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με το 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Πολλαπλασιάστε την τρίτη εξίσωση με 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Αφαιρώντας τη δεύτερη από την τρίτη εξίσωση, λαμβάνουμε έναν "βηματικό" εκτεταμένο πίνακα:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Έτσι, δεδομένου ότι το σφάλμα συσσωρεύτηκε κατά τους υπολογισμούς, λαμβάνουμε x 3 = 0,96 ή περίπου 1.

x 2 = 3 και x 1 = –1.

Λύνοντας με αυτόν τον τρόπο, δεν θα μπερδευτείτε ποτέ στους υπολογισμούς και, παρά τα λάθη υπολογισμού, θα έχετε το αποτέλεσμα.

Αυτή η μέθοδος επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι εύκολο να προγραμματιστεί και δεν λαμβάνει υπόψη συγκεκριμένα χαρακτηριστικάσυντελεστές για αγνώστους, γιατί στην πράξη (σε οικονομικούς και τεχνικούς υπολογισμούς) πρέπει να ασχοληθεί κανείς με μη ακέραιους συντελεστές.

Εύχομαι καλή επιτυχία! Τα λέμε στην τάξη! Παιδαγωγός.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Μέθοδος GaussΙδανικά κατάλληλο για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με άλλες μεθόδους:

Πρώτον, δεν χρειάζεται να εξεταστεί πρώτα το σύστημα εξισώσεων για συνέπεια.
δεύτερον, η μέθοδος Gauss μπορεί να λύσει όχι μόνο SLAE στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, αλλά και συστήματα εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με ο αριθμός των άγνωστων μεταβλητών ή ο προσδιοριστής του κύριου πίνακα είναι ίσος με μηδέν.
Τρίτον, η μέθοδος Gauss οδηγεί σε αποτελέσματα με σχετικά μικρό αριθμό υπολογιστικών πράξεων.

Σύντομη επισκόπηση του άρθρου.

Αρχικά, δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς και εισάγουμε σημειώσεις.

Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου Gauss για την απλούστερη περίπτωση, δηλαδή για συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, ο αριθμός των εξισώσεων στις οποίες συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι όχι ίσο με μηδέν. Κατά την επίλυση τέτοιων συστημάτων εξισώσεων, η ουσία της μεθόδου Gauss είναι πιο ευδιάκριτη, η οποία είναι η διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών. Επομένως, η μέθοδος Gauss ονομάζεται επίσης μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων. Θα σας δείξουμε λεπτομερείς λύσειςαρκετά παραδείγματα.

Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε τη λύση με τη μέθοδο Gauss συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, ο κύριος πίνακας των οποίων είναι είτε ορθογώνιος είτε ενικός. Η λύση σε τέτοια συστήματα έχει ορισμένα χαρακτηριστικά, τα οποία θα εξετάσουμε λεπτομερώς χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Βασικοί ορισμοί και σημειώσεις.

Θεωρήστε ένα σύστημα p γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους (το p μπορεί να είναι ίσο με n):

Όπου υπάρχουν άγνωστες μεταβλητές, είναι αριθμοί (πραγματικοί ή μιγαδικοί) και είναι ελεύθεροι όροι.

Αν , τότε ονομάζεται το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ομοιογενής, αλλιώς - ετερογενής.

Καλείται το σύνολο των τιμών των άγνωστων μεταβλητών για τις οποίες όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται ταυτότητες απόφαση της SLAU.

Αν υπάρχει τουλάχιστον μία λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, τότε ονομάζεται άρθρωση, αλλιώς - μη άρθρωση.

Εάν ένα SLAE έχει μια μοναδική λύση, τότε ονομάζεται βέβαιος. Εάν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις, τότε το σύστημα καλείται αβέβαιος.

Λένε ότι το σύστημα είναι γραμμένο φόρμα συντεταγμένων, αν έχει τη μορφή
.

Αυτό το σύστημα σε μορφή μήτραςη εγγραφή έχει τη μορφή , όπου - ο κύριος πίνακας του SLAE, - ο πίνακας της στήλης των άγνωστων μεταβλητών, - ο πίνακας των ελεύθερων όρων.

Αν προσθέσουμε μια μήτρα-στήλη ελεύθερων όρων στον πίνακα Α ως (n+1)η στήλη, παίρνουμε το λεγόμενο εκτεταμένη μήτρασυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Συνήθως, ένας εκτεταμένος πίνακας συμβολίζεται με το γράμμα T και η στήλη των ελεύθερων όρων χωρίζεται με μια κάθετη γραμμή από τις υπόλοιπες στήλες, δηλαδή

Ο τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται εκφυλισμένος, αν η ορίζουσα του είναι μηδέν. Αν , τότε καλείται ο πίνακας Α μη εκφυλισμένος.

Πρέπει να σημειωθεί το ακόλουθο σημείο.

Εάν εκτελέσετε τις παρακάτω ενέργειες με ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

ανταλλάξτε δύο εξισώσεις,
πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης με έναν αυθαίρετο και μη μηδενικό πραγματικό (ή μιγαδικό) αριθμό k,
και στις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης προσθέστε τα αντίστοιχα μέρη μιας άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k,

τότε παίρνετε ένα ισοδύναμο σύστημα που έχει τις ίδιες λύσεις (ή, όπως το αρχικό, δεν έχει λύσεις).

Για έναν εκτεταμένο πίνακα ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, αυτές οι ενέργειες θα σημαίνουν τη διεξαγωγή στοιχειωδών μετασχηματισμών με τις σειρές:

ανταλλάσσοντας δύο γραμμές,
πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς του πίνακα T με έναν μη μηδενικό αριθμό k,
προσθέτοντας στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς ενός πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην περιγραφή της μεθόδου Gauss.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, με τη μέθοδο Gaussian.

Τι θα κάναμε στο σχολείο αν μας έδιναν το καθήκον να βρούμε λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων; .

Κάποιοι θα το έκαναν αυτό.

Σημειώστε ότι προσθέτοντας την αριστερή πλευρά της πρώτης στην αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης και τη δεξιά πλευρά στη δεξιά πλευρά, μπορείτε να απαλλαγείτε από τις άγνωστες μεταβλητές x 2 και x 3 και να βρείτε αμέσως το x 1:

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε x 1 =1 στην πρώτη και τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της τρίτης εξίσωσης του συστήματος με -1 και τις προσθέσουμε στα αντίστοιχα μέρη της πρώτης εξίσωσης, απαλλαγούμε από την άγνωστη μεταβλητή x 3 και μπορούμε να βρούμε το x 2:

Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα τιμή x 2 = 2 στην τρίτη εξίσωση και βρίσκουμε την υπόλοιπη άγνωστη μεταβλητή x 3:

Άλλοι θα έκαναν διαφορετικά.

Ας επιλύσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος σε σχέση με την άγνωστη μεταβλητή x 1 και ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος για να εξαιρέσουμε αυτή τη μεταβλητή από αυτές:

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος για το x 2 και ας αντικαταστήσουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει στην τρίτη εξίσωση για να εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 2 από αυτήν:

Από την τρίτη εξίσωση του συστήματος είναι σαφές ότι x 3 =3. Από τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε , και από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε .

Γνωστές λύσεις, σωστά;

Το πιο ενδιαφέρον εδώ είναι ότι η δεύτερη μέθοδος λύσης είναι ουσιαστικά η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων, δηλαδή η μέθοδος Gauss. Όταν εκφράσαμε τις άγνωστες μεταβλητές (πρώτη x 1, στο επόμενο στάδιο x 2) και τις αντικαταστήσαμε στις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος, έτσι τις αποκλείσαμε. Πραγματοποιήσαμε εξάλειψη έως ότου έμεινε μόνο μία άγνωστη μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση. Η διαδικασία της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ονομάζεται άμεση μέθοδος Gauss. Αφού ολοκληρώσουμε την κίνηση προς τα εμπρός, έχουμε την ευκαιρία να υπολογίσουμε την άγνωστη μεταβλητή που βρέθηκε στην τελευταία εξίσωση. Με τη βοήθειά του, βρίσκουμε την επόμενη άγνωστη μεταβλητή από την προτελευταία εξίσωση κ.ο.κ. Η διαδικασία της διαδοχικής εύρεσης άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση στην πρώτη ονομάζεται αντίστροφη της μεθόδου Gauss.

Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν εκφράζουμε x 1 ως x 2 και x 3 στην πρώτη εξίσωση, και στη συνέχεια αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση, οι ακόλουθες ενέργειες οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα:

Πράγματι, μια τέτοια διαδικασία καθιστά επίσης δυνατή την εξάλειψη της άγνωστης μεταβλητής x 1 από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Αποχρώσεις με την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών με τη χρήση της μεθόδου Gauss προκύπτουν όταν οι εξισώσεις του συστήματος δεν περιέχουν κάποιες μεταβλητές.

Για παράδειγμα, στο SLAU στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει άγνωστη μεταβλητή x 1 (με άλλα λόγια, ο συντελεστής μπροστά της είναι μηδέν). Επομένως, δεν μπορούμε να λύσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος για x 1 προκειμένου να εξαλειφθεί αυτή η άγνωστη μεταβλητή από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Η διέξοδος από αυτή την κατάσταση είναι να ανταλλάξουμε τις εξισώσεις του συστήματος. Εφόσον εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων των οποίων οι ορίζοντες των κύριων πινάκων είναι διαφορετικοί από το μηδέν, υπάρχει πάντα μια εξίσωση στην οποία υπάρχει η μεταβλητή που χρειαζόμαστε και μπορούμε να αναδιατάξουμε αυτήν την εξίσωση στη θέση που χρειαζόμαστε. Για το παράδειγμά μας, αρκεί να ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος , τότε μπορείτε να επιλύσετε την πρώτη εξίσωση για το x 1 και να την εξαιρέσετε από τις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος (αν και το x 1 δεν υπάρχει πλέον στη δεύτερη εξίσωση).

Ελπίζουμε να καταλάβετε την ουσία.

Ας περιγράψουμε Αλγόριθμος μεθόδου Gauss.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα n γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με n αγνώστους μεταβλητές της φόρμας , και έστω η ορίζουσα του κύριου πίνακα του να είναι διαφορετική από το μηδέν.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Ας εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , στην τρίτη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στην nη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και .

Θα είχαμε φτάσει στο ίδιο αποτέλεσμα αν είχαμε εκφράσει x 1 ως προς άλλες άγνωστες μεταβλητές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαθιστούσαμε την έκφραση που προκύπτει με όλες τις άλλες εξισώσεις. Έτσι, η μεταβλητή x 1 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, προχωράμε με παρόμοιο τρόπο, αλλά μόνο με μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να γίνει αυτό, στην τρίτη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , στην τέταρτη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στην nη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και . Έτσι, η μεταβλητή x 2 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια, προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου x 3 και ενεργούμε παρόμοια με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από αυτή τη στιγμή ξεκινάμε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss: υπολογίζουμε το x n από την τελευταία εξίσωση καθώς, χρησιμοποιώντας την τιμή του x n που προκύπτει, βρίσκουμε x n-1 από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε x 1 από την πρώτη εξίσωση .

Ας δούμε τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Μέθοδος Gauss.

Διάλυμα.

Ο συντελεστής a 11 είναι μη μηδενικός, οπότε ας προχωρήσουμε στην άμεση πρόοδο της μεθόδου Gauss, δηλαδή στον αποκλεισμό της άγνωστης μεταβλητής x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος εκτός από την πρώτη. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή και δεξιά πλευρά της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης εξίσωσης, προσθέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί, αντίστοιχα. Και :

Η άγνωστη μεταβλητή x 1 έχει εξαλειφθεί, ας προχωρήσουμε στην εξάλειψη του x 2 . Στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τρίτης και τέταρτης εξίσωσης του συστήματος προσθέτουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες με αντίστοιχα Και :

Για να ολοκληρώσουμε την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, πρέπει να εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 3 από την τελευταία εξίσωση του συστήματος. Ας προσθέσουμε στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τέταρτης εξίσωσης, αντίστοιχα, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της τρίτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί :

Μπορείτε να ξεκινήσετε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Από την τελευταία εξίσωση έχουμε ,
από την τρίτη εξίσωση παίρνουμε,
από το δεύτερο,
από την πρώτη.

Για έλεγχο, μπορείτε να αντικαταστήσετε τις λαμβανόμενες τιμές των άγνωστων μεταβλητών στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Όλες οι εξισώσεις μετατρέπονται σε ταυτότητες, γεγονός που δείχνει ότι η λύση με τη μέθοδο Gauss βρέθηκε σωστά.

Απάντηση:

Τώρα ας δώσουμε μια λύση στο ίδιο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian σε σημειογραφία πίνακα.

Βρείτε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων Μέθοδος Gauss.

Διάλυμα.

Ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος έχει τη μορφή . Στην κορυφή κάθε στήλης βρίσκονται οι άγνωστες μεταβλητές που αντιστοιχούν στα στοιχεία του πίνακα.

Η άμεση προσέγγιση της μεθόδου Gauss εδώ περιλαμβάνει τη μείωση της εκτεταμένης μήτρας του συστήματος σε τραπεζοειδή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Αυτή η διαδικασία είναι παρόμοια με την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών που κάναμε με το σύστημα σε μορφή συντεταγμένων. Τώρα θα το δείτε αυτό.

Ας μετατρέψουμε τον πίνακα έτσι ώστε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης, ξεκινώντας από τη δεύτερη, να μηδενίζονται. Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης γραμμής προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής πολλαπλασιαζόμενα επί , και αναλόγως:

Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε τον πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε στη δεύτερη στήλη όλα τα στοιχεία, ξεκινώντας από την τρίτη, να μηδενίζονται. Αυτό θα αντιστοιχεί στην εξάλειψη της άγνωστης μεταβλητής x 2 . Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της τρίτης και τέταρτης σειράς προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με αντίστοιχα Και :

Απομένει να εξαιρεθεί η άγνωστη μεταβλητή x 3 από την τελευταία εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της τελευταίας σειράς του πίνακα που προκύπτει προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της προτελευταίας σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί :

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο πίνακας αντιστοιχεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

που αποκτήθηκε νωρίτερα μετά από μια κίνηση προς τα εμπρός.

Είναι ώρα να γυρίσουμε πίσω. Στη σημειογραφία μήτρας, το αντίστροφο της μεθόδου Gauss περιλαμβάνει τον μετασχηματισμό του πίνακα που προκύπτει με τέτοιο τρόπο ώστε ο πίνακας που σημειώνεται στο σχήμα

έγινε διαγώνιος, πήρε δηλαδή τη μορφή

που είναι κάποιοι αριθμοί.

Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι παρόμοιοι με τους προς τα εμπρός μετασχηματισμούς της μεθόδου Gauss, αλλά εκτελούνται όχι από την πρώτη γραμμή στην τελευταία, αλλά από την τελευταία στην πρώτη.

Προσθέστε στα στοιχεία της τρίτης, δεύτερης και πρώτης γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία της τελευταίας γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί , συνέχεια και συνέχεια αντίστοιχα:

Τώρα προσθέστε στα στοιχεία της δεύτερης και της πρώτης γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί και επί, αντίστοιχα:

Στο τελευταίο βήμα της αντίστροφης μεθόδου Gauss, στα στοιχεία της πρώτης σειράς προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί:

Ο προκύπτων πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα των εξισώσεων , από όπου βρίσκουμε τις άγνωστες μεταβλητές.

Απάντηση:

ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΣΗΜΕΙΩΣΤΕ.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, θα πρέπει να αποφεύγονται οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί, καθώς αυτό μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς εσφαλμένα αποτελέσματα. Συνιστούμε να μην στρογγυλοποιείτε δεκαδικούς αριθμούς. Καλύτερα από δεκαδικάπροχωρήστε στα συνηθισμένα κλάσματα.

Να λύσετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss .

Διάλυμα.

Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα οι άγνωστες μεταβλητές έχουν διαφορετικό προσδιορισμό (όχι x 1, x 2, x 3, αλλά x, y, z). Ας περάσουμε στα συνηθισμένα κλάσματα:

Ας εξαιρέσουμε τον άγνωστο x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Στο προκύπτον σύστημα, η άγνωστη μεταβλητή y απουσιάζει στη δεύτερη εξίσωση και η y υπάρχει στην τρίτη εξίσωση, επομένως, ας ανταλλάξουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση:

Αυτό ολοκληρώνει την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss (δεν χρειάζεται να εξαιρέσουμε το y από την τρίτη εξίσωση, αφού αυτή η άγνωστη μεταβλητή δεν υπάρχει πλέον).

Ας ξεκινήσουμε την αντίστροφη κίνηση.

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ,
από την προτελευταία

από την πρώτη εξίσωση που έχουμε

Απάντηση:

X = 10, y = 5, z = -20.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων ή ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι ενικός, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Συστήματα εξισώσεων, ο κύριος πίνακας των οποίων είναι ορθογώνιος ή τετράγωνος ενικός, μπορεί να μην έχουν λύσεις, μπορεί να έχουν μία μόνο λύση ή μπορεί να έχουν άπειρο αριθμό λύσεων.

Τώρα θα καταλάβουμε πώς η μέθοδος Gauss μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη συμβατότητα ή την ασυνέπεια ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και, στην περίπτωση της συμβατότητάς του, να προσδιορίσουμε όλες τις λύσεις (ή μία μόνο λύση).

Κατ' αρχήν, η διαδικασία εξάλειψης άγνωστων μεταβλητών στην περίπτωση τέτοιων SLAE παραμένει η ίδια. Ωστόσο, αξίζει να αναφερθούμε λεπτομερώς σε ορισμένες καταστάσεις που μπορεί να προκύψουν.

Ας περάσουμε στο πιο σημαντικό στάδιο.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, αφού ολοκληρώσει την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, παίρνει τη μορφή και ούτε μία εξίσωση δεν περιορίστηκε σε (σε αυτή την περίπτωση θα συμπεράνουμε ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο). Προκύπτει λογική ερώτηση: «Τι να κάνουμε μετά»;

Ας γράψουμε τις άγνωστες μεταβλητές που έρχονται πρώτες σε όλες τις εξισώσεις του προκύπτοντος συστήματος:

Στο παράδειγμά μας αυτά είναι τα x 1, x 4 και x 5. Στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος αφήνουμε μόνο εκείνους τους όρους που περιέχουν τις γραπτές άγνωστες μεταβλητές x 1, x 4 και x 5, οι υπόλοιποι όροι μεταφέρονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων με το αντίθετο πρόσημο:

Ας δώσουμε στις άγνωστες μεταβλητές που βρίσκονται στα δεξιά των εξισώσεων αυθαίρετες τιμές, όπου - αυθαίρετοι αριθμοί:

Μετά από αυτό, οι δεξιές πλευρές όλων των εξισώσεων του SLAE μας περιέχουν αριθμούς και μπορούμε να προχωρήσουμε στο αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Από την τελευταία εξίσωση του συστήματος έχουμε, από την προτελευταία εξίσωση βρίσκουμε, από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε

Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο τιμών άγνωστων μεταβλητών

Δίνοντας Αριθμούς διαφορετικές έννοιες, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις στο σύστημα των εξισώσεων. Δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων μας έχει άπειρες λύσεις.

Απάντηση:

Οπου - αυθαίρετους αριθμούς.

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις αρκετών ακόμη παραδειγμάτων.

Να λύσετε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Μέθοδος Gauss.

Διάλυμα.

Ας εξαιρέσουμε την άγνωστη μεταβλητή x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, στην αριστερή και δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, προσθέτουμε, αντίστοιχα, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί , και στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τρίτης εξίσωσης, προσθέτουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεξιές πλευρές της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί:

Τώρα ας εξαιρέσουμε το y από την τρίτη εξίσωση του προκύπτοντος συστήματος εξισώσεων:

Το SLAE που προκύπτει είναι ισοδύναμο με το σύστημα .

Αφήνουμε στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος μόνο τους όρους που περιέχουν τις άγνωστες μεταβλητές x και y και μετακινούμε τους όρους με την άγνωστη μεταβλητή z στη δεξιά πλευρά:

Σε αυτό το άρθρο, η μέθοδος θεωρείται ως μέθοδος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (SLAE). Η μέθοδος είναι αναλυτική, δηλαδή σας επιτρέπει να γράψετε έναν αλγόριθμο λύσης γενική άποψηκαι, στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις τιμές από συγκεκριμένα παραδείγματα εκεί. Σε αντίθεση με τη μέθοδο του πίνακα ή τους τύπους του Cramer, όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε επίσης να εργαστείτε με εκείνες που έχουν άπειρο αριθμό λύσεων. Ή δεν το έχουν καθόλου.

Τι σημαίνει η επίλυση με τη μέθοδο Gaussian;

Αρχικά, πρέπει να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων μας στο Φαίνεται κάπως έτσι. Πάρτε το σύστημα:

Οι συντελεστές γράφονται με τη μορφή πίνακα και οι ελεύθεροι όροι γράφονται σε ξεχωριστή στήλη στα δεξιά. Η στήλη με τους ελεύθερους όρους διαχωρίζεται για ευκολία Η μήτρα που περιλαμβάνει αυτή τη στήλη ονομάζεται εκτεταμένη.

Στη συνέχεια, ο κύριος πίνακας με τους συντελεστές πρέπει να μειωθεί σε μια ανώτερη τριγωνική μορφή. Αυτό είναι το κύριο σημείο επίλυσης του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Με απλά λόγια, μετά από ορισμένους χειρισμούς η μήτρα θα πρέπει να φαίνεται έτσι ώστε το κάτω αριστερό τμήμα της να περιέχει μόνο μηδενικά:

Στη συνέχεια, αν γράψετε ξανά τον νέο πίνακα ως σύστημα εξισώσεων, θα παρατηρήσετε ότι η τελευταία σειρά περιέχει ήδη την τιμή μιας από τις ρίζες, η οποία στη συνέχεια αντικαθίσταται στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκεται μια άλλη ρίζα κ.ο.κ.

Αυτή είναι μια περιγραφή της λύσης με τη μέθοδο Gaussian κατά πολύ γενικό περίγραμμα. Τι θα συμβεί αν ξαφνικά το σύστημα δεν έχει λύση; Ή είναι άπειρα πολλά από αυτά; Για να απαντήσουμε σε αυτές και σε πολλές άλλες ερωτήσεις, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ξεχωριστά όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται για την επίλυση της μεθόδου Gauss.

Πίνακες, οι ιδιότητές τους

Κανένας κρυφό νόημαόχι στη μήτρα. Είναι απλό βολικό τρόποκαταγραφή δεδομένων για επακόλουθες εργασίες μαζί τους. Ακόμα και οι μαθητές δεν χρειάζεται να τους φοβούνται.

Η μήτρα είναι πάντα ορθογώνια, γιατί είναι πιο βολική. Ακόμη και στη μέθοδο Gauss, όπου όλα καταλήγουν στην κατασκευή ενός πίνακα τριγωνικής μορφής, ένα ορθογώνιο εμφανίζεται στην καταχώρηση, μόνο με μηδενικά στο σημείο όπου δεν υπάρχουν αριθμοί. Τα μηδενικά μπορεί να μην γράφονται, αλλά υπονοούνται.

Η μήτρα έχει μέγεθος. Το "πλάτος" του είναι ο αριθμός των σειρών (m), το "μήκος" είναι ο αριθμός των στηλών (n). Στη συνέχεια, το μέγεθος του πίνακα A (για τη συμβολή τους συνήθως χρησιμοποιούνται κεφαλαία λατινικά γράμματα) θα συμβολίζεται ως A m×n. Αν m=n, τότε αυτός ο πίνακας είναι τετράγωνος και m=n είναι η σειρά του. Αντίστοιχα, οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Α μπορεί να συμβολιστεί με τους αριθμούς σειρών και στηλών του: a xy ; x - αριθμός σειράς, αλλαγές, y - αριθμός στήλης, αλλαγές.

Το Β δεν είναι το κύριο σημείο της απόφασης. Κατ 'αρχήν, όλες οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν απευθείας με τις ίδιες τις εξισώσεις, αλλά η σημείωση θα είναι πολύ πιο περίπλοκη και θα είναι πολύ πιο εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτήν.

Καθοριστικός

Ο πίνακας έχει επίσης μια ορίζουσα. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό. Δεν χρειάζεται να μάθετε τη σημασία του τώρα, μπορείτε απλώς να δείξετε πώς υπολογίζεται και στη συνέχεια να πείτε ποιες ιδιότητες του πίνακα καθορίζει. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε την ορίζουσα είναι μέσω διαγωνίων. Οι φανταστικές διαγώνιοι σχεδιάζονται στον πίνακα. τα στοιχεία που βρίσκονται σε καθένα από αυτά πολλαπλασιάζονται και στη συνέχεια προστίθενται τα προϊόντα που προκύπτουν: διαγώνιες με κλίση προς τα δεξιά - με σύμβολο συν, με κλίση προς τα αριστερά - με σύμβολο μείον.

Είναι εξαιρετικά σημαντικό να σημειωθεί ότι η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί μόνο για έναν τετραγωνικό πίνακα. Για έναν ορθογώνιο πίνακα, μπορείτε να κάνετε τα εξής: επιλέξτε το μικρότερο από τον αριθμό των γραμμών και τον αριθμό των στηλών (ας είναι k) και, στη συνέχεια, σημειώστε τυχαία k στήλες και k σειρές στον πίνακα. Τα στοιχεία στη τομή των επιλεγμένων στηλών και γραμμών θα σχηματίσουν έναν νέο τετράγωνο πίνακα. Εάν η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα είναι ένας μη μηδενικός αριθμός, ονομάζεται ελάσσονα βάσης του αρχικού ορθογώνιου πίνακα.

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, δεν βλάπτει να υπολογίσετε την ορίζουσα. Εάν αποδειχθεί μηδέν, τότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι ο πίνακας έχει είτε άπειρο αριθμό λύσεων είτε καμία απολύτως. Σε μια τέτοια θλιβερή περίπτωση, πρέπει να προχωρήσετε περαιτέρω και να μάθετε για την κατάταξη του πίνακα.

Ταξινόμηση συστήματος

Υπάρχει κάτι όπως η κατάταξη μιας μήτρας. Αυτή είναι η μέγιστη τάξη της μη μηδενικής ορίζοντάς της (αν θυμηθούμε τη βασική ελάσσονα, μπορούμε να πούμε ότι η κατάταξη ενός πίνακα είναι η τάξη της ελάσσονος βάσης).

Με βάση την κατάσταση με την κατάταξη, το SLAE μπορεί να χωριστεί σε:

Αρθρωση. UΣτα κοινά συστήματα, η κατάταξη του κύριου πίνακα (που αποτελείται μόνο από συντελεστές) συμπίπτει με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα (με μια στήλη ελεύθερων όρων). Τέτοια συστήματα έχουν λύση, αλλά όχι απαραίτητα, άρα επιπλέον συστήματα αρθρώσεωνχωρίζεται σε:
- βέβαιος- έχοντας μια ενιαία λύση. Σε ορισμένα συστήματα, η κατάταξη του πίνακα και ο αριθμός των αγνώστων (ή ο αριθμός των στηλών, που είναι το ίδιο πράγμα) είναι ίσοι.
- απροσδιόριστο -με άπειρο αριθμό λύσεων. Η κατάταξη των πινάκων σε τέτοια συστήματα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.
Ασυμβίβαστος. UΣε τέτοια συστήματα, οι τάξεις των κύριων και εκτεταμένων πινάκων δεν συμπίπτουν. Τα ασύμβατα συστήματα δεν έχουν λύση.

Η μέθοδος Gauss είναι καλή γιατί κατά τη διάρκεια της λύσης επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει είτε μια ξεκάθαρη απόδειξη της ασυνέπειας του συστήματος (χωρίς να υπολογίζονται οι ορίζουσες μεγάλων πινάκων), είτε μια λύση σε γενική μορφή για ένα σύστημα με άπειρο αριθμό λύσεων.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις

Πριν προχωρήσετε απευθείας στην επίλυση του συστήματος, μπορείτε να το κάνετε λιγότερο περίπλοκο και πιο βολικό για υπολογισμούς. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών - τέτοιοι που η εφαρμογή τους δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο την τελική απάντηση. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ορισμένοι από τους δεδομένους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ισχύουν μόνο για πίνακες, η πηγή των οποίων ήταν το SLAE. Ακολουθεί μια λίστα με αυτούς τους μετασχηματισμούς:

Αναδιάταξη χορδών. Προφανώς, εάν αλλάξετε τη σειρά των εξισώσεων στην εγγραφή συστήματος, αυτό δεν θα επηρεάσει τη λύση με κανέναν τρόπο. Κατά συνέπεια, στη μήτρα αυτού του συστήματος είναι επίσης δυνατή η εναλλαγή σειρών, χωρίς φυσικά να ξεχνάμε τη στήλη των ελεύθερων όρων.
Πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία μιας συμβολοσειράς με έναν ορισμένο συντελεστή. Πολύ χρήσιμο! Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κοντύνει μεγάλα νούμεραστον πίνακα ή αφαιρέστε μηδενικά. Πολλές αποφάσεις, ως συνήθως, δεν θα αλλάξουν, αλλά οι περαιτέρω λειτουργίες θα γίνουν πιο βολικές. Το κύριο πράγμα είναι ότι ο συντελεστής δεν είναι ίσος με μηδέν.
Αφαίρεση σειρών με αναλογικούς παράγοντες. Αυτό προκύπτει εν μέρει από την προηγούμενη παράγραφο. Εάν δύο ή περισσότερες σειρές σε έναν πίνακα έχουν αναλογικούς συντελεστές, τότε όταν μία από τις σειρές πολλαπλασιαστεί/διαιρεθεί με τον συντελεστή αναλογικότητας, προκύπτουν δύο (ή, πάλι, περισσότερες) απολύτως ίδιες σειρές και οι επιπλέον μπορούν να αφαιρεθούν, αφήνοντας μόνο ένα.
Αφαίρεση μηδενικής γραμμής. Εάν, κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού, λαμβάνεται μια σειρά κάπου στην οποία όλα τα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένου του ελεύθερου όρου, είναι μηδέν, τότε μια τέτοια σειρά μπορεί να ονομαστεί μηδέν και να πεταχτεί έξω από τη μήτρα.
Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς τα στοιχεία μιας άλλης (στις αντίστοιχες στήλες), πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο συντελεστή. Η πιο αφανής και πιο σημαντική μεταμόρφωση όλων. Αξίζει να σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Προσθήκη συμβολοσειράς πολλαπλασιαζόμενη με έναν παράγοντα

Για ευκολία κατανόησης, αξίζει να αναλύσουμε αυτή τη διαδικασία βήμα προς βήμα. Δύο σειρές λαμβάνονται από τον πίνακα:

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a 21 a 22 ... a 2n | β 2

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσετε το πρώτο στο δεύτερο, πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Στη συνέχεια, η δεύτερη σειρά στη μήτρα αντικαθίσταται με μια νέα και η πρώτη παραμένει αμετάβλητη.

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο συντελεστής πολλαπλασιασμού μπορεί να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο σειρών, ένα από τα στοιχεία νέα γραμμήήταν ίσο με μηδέν. Επομένως, είναι δυνατό να ληφθεί μια εξίσωση σε ένα σύστημα όπου θα υπάρχει ένας λιγότερο άγνωστος. Και αν λάβετε δύο τέτοιες εξισώσεις, τότε η πράξη μπορεί να γίνει ξανά και να πάρετε μια εξίσωση που θα περιέχει δύο λιγότερους αγνώστους. Και αν κάθε φορά που μετατρέπετε έναν συντελεστή σε μηδέν για όλες τις σειρές που βρίσκονται κάτω από τον αρχικό, τότε μπορείτε, σαν σκάλες, να κατεβείτε στο κάτω μέρος του πίνακα και να πάρετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Αυτό ονομάζεται επίλυση του συστήματος με τη χρήση της μεθόδου Gauss.

Σε γενικές γραμμές

Ας υπάρχει σύστημα. Έχει m εξισώσεις και n άγνωστες ρίζες. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

Ο κύριος πίνακας καταρτίζεται από τους συντελεστές του συστήματος. Μια στήλη ελεύθερων όρων προστίθεται στον εκτεταμένο πίνακα και, για ευκολία, χωρίζεται με μια γραμμή.

η πρώτη σειρά του πίνακα πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή k = (-a 21 /a 11).
Η πρώτη τροποποιημένη σειρά και η δεύτερη σειρά του πίνακα προστίθενται.
αντί για τη δεύτερη σειρά, το αποτέλεσμα της προσθήκης από την προηγούμενη παράγραφο εισάγεται στη μήτρα.
τώρα ο πρώτος συντελεστής στη νέα δεύτερη σειρά είναι 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Τώρα εκτελείται η ίδια σειρά μετασχηματισμών, εμπλέκονται μόνο η πρώτη και η τρίτη σειρά. Αντίστοιχα, σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, το στοιχείο a 21 αντικαθίσταται από ένα 31. Στη συνέχεια όλα επαναλαμβάνονται για ένα 41, ... ένα m1. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας όπου το πρώτο στοιχείο στις σειρές είναι μηδέν. Τώρα πρέπει να ξεχάσετε τη γραμμή νούμερο ένα και να εκτελέσετε τον ίδιο αλγόριθμο, ξεκινώντας από τη γραμμή δύο:

συντελεστής k = (-a 32 /a 22);
η δεύτερη τροποποιημένη γραμμή προστίθεται στην "τρέχουσα" γραμμή.
το αποτέλεσμα της προσθήκης αντικαθίσταται στην τρίτη, τέταρτη και ούτω καθεξής γραμμές, ενώ η πρώτη και η δεύτερη παραμένουν αμετάβλητες.
στις σειρές του πίνακα τα δύο πρώτα στοιχεία είναι ήδη ίσα με μηδέν.

Ο αλγόριθμος πρέπει να επαναληφθεί μέχρι να εμφανιστεί ο συντελεστής k = (-a m,m-1 /a mm). Αυτό σημαίνει ότι σε τελευταία φοράο αλγόριθμος εκτελέστηκε μόνο για την κατώτερη εξίσωση. Τώρα ο πίνακας μοιάζει με τρίγωνο ή έχει βαθμιδωτό σχήμα. Στην κάτω γραμμή υπάρχει η ισότητα a mn × x n = b m. Ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι γνωστοί και η ρίζα εκφράζεται μέσω αυτών: x n = b m /a mn. Η προκύπτουσα ρίζα αντικαθίσταται στην επάνω γραμμή για να βρεθεί x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Και ούτω καθεξής κατ' αναλογία: σε κάθε επόμενη γραμμή υπάρχει μια νέα ρίζα και, έχοντας φτάσει στην "κορυφή" του συστήματος, μπορείτε να βρείτε πολλές λύσεις. Θα είναι το μόνο.

Όταν δεν υπάρχουν λύσεις

Εάν σε μία από τις σειρές του πίνακα όλα τα στοιχεία εκτός από τον ελεύθερο όρο είναι ίσα με μηδέν, τότε η εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή τη σειρά μοιάζει με 0 = b. Δεν έχει λύση. Και αφού μια τέτοια εξίσωση περιλαμβάνεται στο σύστημα, τότε το σύνολο των λύσεων ολόκληρου του συστήματος είναι κενό, είναι δηλαδή εκφυλισμένο.

Όταν υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων

Μπορεί να συμβεί στον δεδομένο τριγωνικό πίνακα να μην υπάρχουν σειρές με ένα στοιχείο συντελεστή της εξίσωσης και έναν ελεύθερο όρο. Υπάρχουν μόνο γραμμές που, όταν ξαναγραφούν, θα μοιάζουν με εξίσωση με δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση μπορεί να δοθεί με τη μορφή γενικής λύσης. Πώς να το κάνετε αυτό;

Όλες οι μεταβλητές στον πίνακα χωρίζονται σε βασικές και ελεύθερες. Τα βασικά είναι αυτά που στέκονται «στην άκρη» των σειρών στον πίνακα βημάτων. Τα υπόλοιπα είναι δωρεάν. Στη γενική λύση, οι βασικές μεταβλητές γράφονται μέσω ελεύθερων.

Για ευκολία, ο πίνακας επανεγγράφεται αρχικά σε ένα σύστημα εξισώσεων. Στη συνέχεια, στην τελευταία από αυτές, όπου ακριβώς μένει μόνο μία βασική μεταβλητή, αυτή παραμένει στη μία πλευρά και όλα τα άλλα μεταφέρονται στην άλλη. Αυτό γίνεται για κάθε εξίσωση με μία βασική μεταβλητή. Στη συνέχεια, στις υπόλοιπες εξισώσεις, όπου είναι δυνατόν, η έκφραση που προκύπτει για αυτό αντικαθίσταται αντί της βασικής μεταβλητής. Εάν το αποτέλεσμα είναι πάλι μια παράσταση που περιέχει μόνο μία βασική μεταβλητή, εκφράζεται ξανά από εκεί και ούτω καθεξής, έως ότου κάθε βασική μεταβλητή γραφτεί ως έκφραση με ελεύθερες μεταβλητές. Αυτή είναι η γενική λύση του SLAE.

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη βασική λύση του συστήματος - δώστε στις δωρεάν μεταβλητές οποιεσδήποτε τιμές και, στη συνέχεια, για τη συγκεκριμένη περίπτωση υπολογίστε τις τιμές των βασικών μεταβλητών. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός συγκεκριμένων λύσεων που μπορούν να δοθούν.

Λύση με συγκεκριμένα παραδείγματα

Εδώ είναι ένα σύστημα εξισώσεων.

Για ευκολία, είναι καλύτερο να δημιουργήσετε αμέσως τη μήτρα του

Είναι γνωστό ότι όταν λυθεί με τη μέθοδο Gauss, η εξίσωση που αντιστοιχεί στην πρώτη σειρά θα παραμείνει αμετάβλητη στο τέλος των μετασχηματισμών. Επομένως, θα είναι πιο κερδοφόρο εάν το επάνω αριστερό στοιχείο της μήτρας είναι το μικρότερο - τότε τα πρώτα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών μετά τις πράξεις θα μετατραπούν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στον μεταγλωττισμένο πίνακα θα είναι πλεονεκτικό να τοποθετηθεί η δεύτερη σειρά στη θέση της πρώτης.

δεύτερη γραμμή: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

τρίτη γραμμή: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Τώρα, για να μην μπερδευτείτε, πρέπει να γράψετε έναν πίνακα με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα των μετασχηματισμών.

Προφανώς, ένας τέτοιος πίνακας μπορεί να γίνει πιο βολικός για την αντίληψη χρησιμοποιώντας ορισμένες λειτουργίες. Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε όλα τα "πλην" από τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1".

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι στην τρίτη γραμμή όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια των τριών. Στη συνέχεια, μπορείτε να συντομεύσετε τη γραμμή κατά αυτόν τον αριθμό, πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1/3" (μείον - ταυτόχρονα, για να αφαιρέσετε αρνητικές τιμές).

Φαίνεται πολύ πιο ωραίο. Τώρα πρέπει να αφήσουμε ήσυχη την πρώτη γραμμή και να δουλέψουμε με τη δεύτερη και την τρίτη. Το καθήκον είναι να προσθέσουμε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με έναν τέτοιο συντελεστή ώστε το στοιχείο a 32 να γίνει ίσο με μηδέν.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (εάν κατά τη διάρκεια ορισμένων μετασχηματισμών η απάντηση δεν αποδειχθεί ακέραιος, συνιστάται να διατηρηθεί η ακρίβεια των υπολογισμών προς αποχώρηση είναι «ως έχει», στη μορφή κοινό κλάσμα, και μόνο τότε, όταν ληφθούν οι απαντήσεις, αποφασίστε εάν θα στρογγυλοποιήσετε και θα μετατρέψετε σε άλλη μορφή εγγραφής)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ο πίνακας γράφεται ξανά με νέες τιμές.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Όπως μπορείτε να δείτε, ο προκύπτων πίνακας έχει ήδη μια κλιμακωτή μορφή. Επομένως, δεν απαιτούνται περαιτέρω μετασχηματισμοί του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian. Αυτό που μπορείτε να κάνετε εδώ είναι να αφαιρέσετε τον συνολικό συντελεστή "-1/7" από την τρίτη γραμμή.

Τώρα όλα είναι όμορφα. Το μόνο που μένει να κάνετε είναι να γράψετε ξανά τον πίνακα με τη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων και να υπολογίσετε τις ρίζες

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Ο αλγόριθμος με τον οποίο θα βρεθούν τώρα οι ρίζες ονομάζεται αντίστροφη κίνηση στη μέθοδο Gauss. Η εξίσωση (3) περιέχει την τιμή z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Και η πρώτη εξίσωση μας επιτρέπει να βρούμε το x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Έχουμε το δικαίωμα να ονομάσουμε ένα τέτοιο σύστημα κοινό, και μάλιστα οριστικό, δηλαδή να έχει μια μοναδική λύση. Η απάντηση γράφεται με την ακόλουθη μορφή:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Παράδειγμα αβέβαιου συστήματος

Η παραλλαγή της επίλυσης ενός συγκεκριμένου συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss έχει αναλυθεί τώρα είναι απαραίτητο να εξεταστεί η περίπτωση εάν το σύστημα είναι αβέβαιο, δηλαδή, μπορούν να βρεθούν άπειρες λύσεις για αυτό.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Η ίδια η εμφάνιση του συστήματος είναι ήδη ανησυχητική, επειδή ο αριθμός των αγνώστων είναι n = 5 και η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ήδη ακριβώς μικρότερη από αυτόν τον αριθμό, επειδή ο αριθμός των σειρών είναι m = 4, δηλαδή, Η υψηλότερη τάξη του τετραγώνου της ορίζουσας είναι 4. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων και πρέπει να αναζητήσετε τη γενική του εμφάνιση. Η μέθοδος Gauss για γραμμικές εξισώσεις σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό.

Αρχικά, ως συνήθως, συντάσσεται ένας εκτεταμένος πίνακας.

Δεύτερη γραμμή: συντελεστής k = (-a 21 /a 11) = -3. Στην τρίτη γραμμή, το πρώτο στοιχείο είναι πριν από τους μετασχηματισμούς, επομένως δεν χρειάζεται να αγγίξετε τίποτα, πρέπει να το αφήσετε ως έχει. Τέταρτη γραμμή: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς με κάθε έναν από τους συντελεστές τους με τη σειρά και προσθέτοντάς τα στις απαιτούμενες σειρές, λαμβάνουμε έναν πίνακα με την ακόλουθη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, η δεύτερη, η τρίτη και η τέταρτη σειρά αποτελούνται από στοιχεία ανάλογα μεταξύ τους. Το δεύτερο και το τέταρτο είναι γενικά πανομοιότυπα, επομένως ένα από αυτά μπορεί να αφαιρεθεί αμέσως, και το υπόλοιπο μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή "-1" και να πάρει τη γραμμή 3. Και πάλι, από δύο όμοιες γραμμές, αφήστε μία.

Το αποτέλεσμα είναι ένας τέτοιος πίνακας. Ενώ το σύστημα δεν έχει ακόμη καταγραφεί, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι βασικές μεταβλητές εδώ - αυτές που βρίσκονται στους συντελεστές a 11 = 1 και a 22 = 1, και οι ελεύθερες - όλες οι υπόλοιπες.

Στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μόνο μία βασική μεταβλητή - x 2. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να εκφραστεί από εκεί γράφοντάς το μέσω των μεταβλητών x 3 , x 4 , x 5 , οι οποίες είναι ελεύθερες.

Αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στην πρώτη εξίσωση.

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση στην οποία η μόνη βασική μεταβλητή είναι x 1 . Ας κάνουμε το ίδιο με το x 2.

Όλες οι βασικές μεταβλητές, από τις οποίες υπάρχουν δύο, εκφράζονται ως τρεις ελεύθερες, τώρα μπορούμε να γράψουμε την απάντηση σε γενική μορφή.

Μπορείτε επίσης να καθορίσετε μία από τις συγκεκριμένες λύσεις του συστήματος. Για τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως επιλέγονται μηδενικά ως τιμές για ελεύθερες μεταβλητές. Τότε η απάντηση θα είναι:

16, 23, 0, 0, 0.

Παράδειγμα μη συνεργατικού συστήματος

Η επίλυση ασυμβίβαστων συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι η ταχύτερη. Τελειώνει αμέσως μόλις σε ένα από τα στάδια προκύψει μια εξίσωση που δεν έχει λύση. Δηλαδή, το στάδιο του υπολογισμού των ριζών, που είναι αρκετά μεγάλο και κουραστικό, εξαλείφεται. Θεωρείται το ακόλουθο σύστημα:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ως συνήθως, η μήτρα συντάσσεται:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Και μειώνεται σε μια σταδιακή μορφή:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Μετά τον πρώτο μετασχηματισμό, η τρίτη γραμμή περιέχει μια εξίσωση της μορφής

χωρίς λύση. Κατά συνέπεια, το σύστημα είναι ασυνεπές και η απάντηση θα είναι το κενό σύνολο.

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου

Εάν επιλέξετε ποια μέθοδο θα επιλύσετε SLAE σε χαρτί με στυλό, τότε η μέθοδος που συζητήθηκε σε αυτό το άρθρο φαίνεται η πιο ελκυστική. Είναι πολύ πιο δύσκολο να μπερδευτείτε σε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς από ό,τι εάν πρέπει να αναζητήσετε με μη αυτόματο τρόπο έναν προσδιοριστή ή κάποιον δύσκολο αντίστροφο πίνακα. Ωστόσο, εάν χρησιμοποιείτε προγράμματα για εργασία με δεδομένα αυτού του τύπου, για παράδειγμα, υπολογιστικά φύλλα, τότε αποδεικνύεται ότι τέτοια προγράμματα περιέχουν ήδη αλγόριθμους για τον υπολογισμό των κύριων παραμέτρων των πινάκων - ορίζοντα, δευτερεύουσες, αντίστροφες και ούτω καθεξής. Και αν είστε βέβαιοι ότι το μηχάνημα θα υπολογίσει μόνο του αυτές τις τιμές και δεν θα κάνει λάθος, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο matrix ή τους τύπους Cramer, επειδή η χρήση τους αρχίζει και τελειώνει με τον υπολογισμό των οριζόντων και των αντίστροφων πινάκων.

Εφαρμογή

Δεδομένου ότι η λύση Gaussian είναι ένας αλγόριθμος και ο πίνακας είναι στην πραγματικότητα ένας δισδιάστατος πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον προγραμματισμό. Αλλά επειδή το άρθρο τοποθετείται ως οδηγός "για ανδρείκελα", θα πρέπει να ειπωθεί ότι το πιο εύκολο μέρος για να τοποθετήσετε τη μέθοδο είναι τα υπολογιστικά φύλλα, για παράδειγμα, το Excel. Και πάλι, κάθε SLAE που εισάγεται σε έναν πίνακα με τη μορφή πίνακα θα θεωρείται από το Excel ως ένας δισδιάστατος πίνακας. Και για πράξεις με αυτά υπάρχουν πολλές ωραίες εντολές: πρόσθεση (μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες του ίδιου μεγέθους!), πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό, πολλαπλασιασμός πινάκων (επίσης με ορισμένους περιορισμούς), εύρεση των αντίστροφων και μεταφερόμενων πινάκων και, το πιο σημαντικό , υπολογίζοντας την ορίζουσα. Εάν αυτή η χρονοβόρα εργασία αντικατασταθεί από μία μόνο εντολή, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η κατάταξη της μήτρας πολύ πιο γρήγορα και, επομένως, να διαπιστωθεί η συμβατότητα ή η ασυμβατότητά της.