Η λειτουργία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.
Ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων εύρεσης παραγώγων των απλούστερων (και όχι πολύ απλών) συναρτήσεων ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του επιχειρήματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και επακριβώς καθορισμένοι κανόνες διαφοροποίησης . Οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων ήταν ο Isaac Newton (1643-1727) και ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Επομένως, στην εποχή μας, για να βρείτε την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν χρειάζεται να υπολογίσετε το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα τα παράγωγα και οι κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.
Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το πρώτο σύμβολο αναλύει τις απλές λειτουργίες σε στοιχείακαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων στον πίνακα των παραγώγων και τους τύπους για τις παραγώγους του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου - στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο πίνακας παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.
Παράδειγμα 1.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.
Από τον πίνακα των παραγώγων διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του «Χ» ισούται με ένα και η παράγωγος του ημιτονοειδούς ισούται με το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:
Παράδειγμα 2.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Διαφοροποιούμε ως παράγωγο ενός αθροίσματος στο οποίο ο δεύτερος όρος έχει σταθερό παράγοντα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:
Εάν εξακολουθούν να προκύπτουν ερωτήματα σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, συνήθως ξεκαθαρίζονται μετά την εξοικείωση με τον πίνακα των παραγώγων και τους απλούστερους κανόνες διαφοροποίησης. Προχωράμε σε αυτούς αυτή τη στιγμή.
Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων
| 1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα ίσο με μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά | |
| 2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "Χ". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να το θυμάστε για μεγάλο χρονικό διάστημα | |
| 3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε δυνάμεις. | |
| 4. Παράγωγος μεταβλητής στην ισχύ -1 | |
| 5. Παράγωγο τετραγωνική ρίζα | |
| 6. Παράγωγο ημιτόνου | |
| 7. Παράγωγο συνημίτονου |  |
| 8. Παράγωγος εφαπτομένης |  |
| 9. Παράγωγο συνεφαπτομένης |  |
| 10. Παράγωγο αρσινίου |  |
| 11. Παράγωγο αρκοσίνης |  |
| 12. Παράγωγο του arctangent |  |
| 13. Παράγωγο συνεφαπτομένης τόξου |  |
| 14. Παράγωγος του φυσικού λογάριθμου | |
| 15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης |  |
| 16. Παράγωγος του εκθέτη | |
| 17. Παράγωγο εκθετική συνάρτηση |
Κανόνες διαφοροποίησης
| 1. Παράγωγο αθροίσματος ή διαφοράς |  |
| 2. Παράγωγο του προϊόντος |  |
| 2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα | |
| 3. Παράγωγος του πηλίκου |  |
| 4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης |  |
Κανόνας 1.Εάν οι λειτουργίες
είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο, τότε οι συναρτήσεις είναι διαφοροποιήσιμες στο ίδιο σημείο
και
εκείνοι. η παράγωγος ενός αλγεβρικού αθροίσματος συναρτήσεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.
Συνέπεια. Εάν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά έναν σταθερό όρο, τότε οι παράγωγοί τους είναι ίσες, δηλ.
Κανόνας 2.Εάν οι λειτουργίες
είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο
και
εκείνοι. Η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.
Συμπέρασμα 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:
Συμπέρασμα 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου κάθε παράγοντα και όλων των άλλων.
Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:
Κανόνας 3.Εάν οι λειτουργίες
διαφοροποιούνται σε κάποιο σημείο Και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμοu/v και
εκείνοι. η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του ο πρώην αριθμητής.
Πού να αναζητήσετε πράγματα σε άλλες σελίδες
Όταν βρίσκουμε την παράγωγο ενός προϊόντος και ένα πηλίκο σε πραγματικά προβλήματα, είναι πάντα απαραίτητο να εφαρμόζουμε αρκετούς κανόνες διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα για αυτές τις παραγώγους στο άρθρο"Παράγωγο του γινομένου και πηλίκο συναρτήσεων".
Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο σε άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του ισούται με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, βγαίνει από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό τυπικό λάθος, που εμφανίζεται στις αρχικό στάδιομελετώντας τα παράγωγα, αλλά καθώς λύνουν πολλά παραδείγματα ενός και δύο τμημάτων, ο μέσος μαθητής δεν κάνει πλέον αυτό το λάθος.
Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, στην οποία u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (αυτή η περίπτωση συζητείται στο παράδειγμα 10).
Αλλος κοινό λάθος- μηχανική λύση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Γι' αυτό παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερώνεται ένα ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παραγώγους απλών συναρτήσεων.
Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς να μεταμορφώσετε εκφράσεις. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε το εγχειρίδιο σε νέα παράθυρα. Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςΚαι Πράξεις με κλάσματα .
Αν αναζητάτε λύσεις σε παραγώγους κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με 
, μετά ακολουθήστε το μάθημα «Παράγωγος αθροισμάτων κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».
Εάν έχετε μια εργασία όπως 
, τότε θα πάρετε το μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».
Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο
Παράδειγμα 3.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Ορίζουμε τα μέρη της παράστασης συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει ένα προϊόν και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντος: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις από την παράγωγο της άλλης:
Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα ο δεύτερος όρος έχει πρόσημο μείον. Σε κάθε άθροισμα βλέπουμε και μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "Χ" μετατρέπεται σε ένα και το μείον 5 μετατρέπεται σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται επί 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". παίρνουμε παρακάτω τιμέςπαράγωγα:
Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:
Παράδειγμα 4.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση του πηλίκου: η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστής και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:
Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο Παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή στο τρέχον παράδειγμαλαμβάνονται με το σύμβολο μείον:
Αν ψάχνετε για λύσεις σε προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και δυνάμεις, όπως, για παράδειγμα, 
, τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Παράγωγο αθροισμάτων κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .
Εάν χρειάζεται να μάθετε περισσότερα για τις παραγώγους των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δηλαδή όταν μοιάζει η συνάρτηση , τότε ένα μάθημα για εσάς "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .
Παράδειγμα 5.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Σε αυτή τη συνάρτηση βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του γινομένου και της πινακοποιημένης τιμής της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:
Παράδειγμα 6.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Διάλυμα. Σε αυτή τη συνάρτηση βλέπουμε ένα πηλίκο του οποίου το μέρισμα είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης των πηλίκων, που επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την πινακοποιημένη τιμή της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:
Για να απαλλαγείτε από ένα κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .
Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο συνάρτησης ισχύος (x στη δύναμη του α). Θεωρούνται παράγωγα από ρίζες του x. Τύπος για την παράγωγο συνάρτησης ισχύος υψηλότερης τάξης. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων.
Η παράγωγος του x στη δύναμη του a είναι ίση με a επί x στη δύναμη ενός μείον ένα:
(1)
.
Η παράγωγος της νης ρίζας του x στη mth δύναμη είναι:
(2)
.
Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο συνάρτησης ισχύος
Περίπτωση x > 0
Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος της μεταβλητής x με εκθέτη a:
(3)
.
Εδώ το a είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση.
Για να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης (3), χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος και τη μετατρέπουμε στην ακόλουθη μορφή:
.
Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας:
;
.
Εδώ .
Η φόρμουλα (1) έχει αποδειχθεί.
Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο ρίζας βαθμού n του x στον βαθμό m
Τώρα θεωρήστε μια συνάρτηση που είναι η ρίζα της παρακάτω φόρμας:
(4)
.
Για να βρούμε την παράγωγο, μετατρέπουμε τη ρίζα σε συνάρτηση ισχύος:
.
Συγκρίνοντας με τον τύπο (3) βλέπουμε ότι
.
Τότε
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) βρίσκουμε την παράγωγο:
(1)
;
;
(2)
.
Στην πράξη, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τον τύπο (2). Είναι πολύ πιο βολικό να μετατρέψετε πρώτα τις ρίζες σε συναρτήσεις ισχύος και, στη συνέχεια, να βρείτε τα παράγωγά τους χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) (δείτε παραδείγματα στο τέλος της σελίδας).
Περίπτωση x = 0
Αν, τότε λειτουργία ισχύοςορίζεται επίσης για την τιμή της μεταβλητής x = 0
. 0
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης (3) στο x =
.
Ας αντικαταστήσουμε το x = 0
:
.
Στην περίπτωση αυτή, ως παράγωγος εννοούμε το δεξιό όριο για το οποίο .
Βρήκαμε λοιπόν:
.
Από αυτό είναι σαφές ότι για , .
Στο , .
Στο , .
Αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει επίσης από τον τύπο (1):
(1)
.
Επομένως, ο τύπος (1) ισχύει και για x = 0
.
Περίπτωση x< 0
Εξετάστε ξανά τη συνάρτηση (3):
(3)
.
Για ορισμένες τιμές της σταθεράς a, ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμέςμεταβλητή x.
,
Δηλαδή, έστω a είναι ένας ρητός αριθμός. Τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως μη αναγώγιμο κλάσμα: όπου m και n είναι ακέραιοι χωρίς.
κοινός διαιρέτης 3
Εάν το n είναι περιττό, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για τις αρνητικές τιμές της μεταβλητής x. 1
Για παράδειγμα, όταν n =
.
και m =
έχουμε την κυβική ρίζα του x:
.
Ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμές της μεταβλητής x.
.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ισχύος (3) για και για λογικές τιμές της σταθεράς a για την οποία ορίζεται. Για να γίνει αυτό, ας αναπαραστήσουμε το x στην ακόλουθη μορφή:
.
Τότε,
.
Βρίσκουμε την παράγωγο τοποθετώντας τη σταθερά έξω από το πρόσημο της παραγώγου και εφαρμόζοντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης:
.
Τότε
.
Εδώ . Αλλά
(1)
.
Από τότε
Δηλαδή, ο τύπος (1) ισχύει και για:
(3)
.
Παράγωγα υψηλότερης τάξης
.
Ας βρούμε τώρα παραγώγους υψηλότερης τάξης της συνάρτησης ισχύος
.
Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο πρώτης τάξης:
;
.
Παίρνοντας τη σταθερά a έξω από το πρόσημο της παραγώγου, βρίσκουμε την παράγωγο δεύτερης τάξης: Ομοίως, βρίσκουμε παράγωγα τρίτης και τέταρτης τάξης:Από αυτό είναι σαφές ότι
.
παράγωγο αυθαίρετης νης τάξης έχει την εξής μορφή: Σημειώστε ότι
αν είναι α
.
φυσικός αριθμός
,
, τότε η ντη παράγωγος είναι σταθερή:
Τότε όλες οι επόμενες παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν:
στο .
Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων
.
Παράδειγμα
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
;
.
Διάλυμα
.
Ας μετατρέψουμε τις ρίζες σε δυνάμεις:
;
.
Τότε η αρχική συνάρτηση παίρνει τη μορφή:
.
Εύρεση παραγώγων δυνάμεων: Η παράγωγος της σταθεράς είναι μηδέν:Στην οποία αναλύσαμε τις απλούστερες παραγώγους, και επίσης γνωρίσαμε τους κανόνες διαφοροποίησης και μερικά
τεχνικές μεθόδους εύρεση παραγώγων. Έτσι, εάν δεν είστε πολύ καλοί με τις παραγώγους συναρτήσεων ή κάποια σημεία σε αυτό το άρθρο δεν είναι απολύτως ξεκάθαρα, τότε διαβάστε πρώτα το παραπάνω μάθημα. Σας παρακαλώ να έχετε μια σοβαρή διάθεση - το υλικό δεν είναι απλό, αλλά θα προσπαθήσω να το παρουσιάσω απλά και καθαρά.Στην πράξη με την παράγωγο
σύνθετη λειτουργία
Ας το καταλάβουμε. Πρώτα απ 'όλα, ας προσέξουμε το λήμμα. Εδώ έχουμε δύο συναρτήσεις – και , και η συνάρτηση, μεταφορικά μιλώντας, είναι ένθετη μέσα στη συνάρτηση . Μια συνάρτηση αυτού του τύπου (όταν μια συνάρτηση είναι ένθετη μέσα σε μια άλλη) ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση.
Θα καλέσω τη συνάρτηση εξωτερική λειτουργίακαι τη συνάρτηση – εσωτερική (ή ένθετη) λειτουργία.
! Αυτοί οι ορισμοί δεν είναι θεωρητικοί και δεν πρέπει να εμφανίζονται στον τελικό σχεδιασμό των εργασιών. Χρησιμοποιώ άτυπες εκφράσεις "εξωτερική λειτουργία", "εσωτερική" λειτουργία μόνο για να σας διευκολύνω να κατανοήσετε το υλικό.
Για να διευκρινίσετε την κατάσταση, σκεφτείτε:
Παράδειγμα 1
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Κάτω από το ημίτονο δεν έχουμε μόνο το γράμμα "X", αλλά μια ολόκληρη έκφραση, οπότε η εύρεση της παραγώγου αμέσως από τον πίνακα δεν θα λειτουργήσει. Παρατηρούμε επίσης ότι είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι τέσσερις πρώτοι κανόνες εδώ, φαίνεται να υπάρχει μια διαφορά, αλλά το γεγονός είναι ότι το ημίτονο δεν μπορεί να «σκιστεί σε κομμάτια»:
ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαΕίναι ήδη διαισθητικά σαφές από τις εξηγήσεις μου ότι μια συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το πολυώνυμο είναι μια εσωτερική συνάρτηση (ενσωμάτωση) και μια εξωτερική συνάρτηση.
Πρώτο βήμααυτό που πρέπει να κάνετε όταν βρίσκετε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι να να κατανοήσουν ποια συνάρτηση είναι εσωτερική και ποια εξωτερική.
Σε περίπτωση απλά παραδείγματαΦαίνεται ξεκάθαρο ότι ένα πολυώνυμο είναι ενσωματωμένο κάτω από το ημίτονο. Τι γίνεται όμως αν όλα δεν είναι προφανή; Πώς να προσδιορίσετε με ακρίβεια ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική; Για να γίνει αυτό, προτείνω να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη τεχνική, η οποία μπορεί να γίνει νοερά ή σε προσχέδιο.
Ας φανταστούμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης σε μια αριθμομηχανή (αντί για ένα μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός).
Τι θα υπολογίσουμε πρώτα; Προπαντόςθα χρειαστεί να εκτελέσετε την ακόλουθη ενέργεια: , επομένως το πολυώνυμο θα είναι μια εσωτερική συνάρτηση: 
Δεύτεροθα χρειαστεί να βρεθεί, άρα το ημιτονικό – θα είναι μια εξωτερική συνάρτηση: 
Αφού εμείς ΕΞΑΝΤΛΗΜΕΝΑμε εσωτερικές και εξωτερικές λειτουργίες, ήρθε η ώρα να εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των πολύπλοκων συναρτήσεων 
.
Ας αρχίσουμε να αποφασίζουμε. Από το μάθημα Πώς να βρείτε το παράγωγο; θυμόμαστε ότι ο σχεδιασμός μιας λύσης σε οποιαδήποτε παράγωγο ξεκινά πάντα έτσι - περικλείουμε την έκφραση σε παρενθέσεις και βάζουμε μια πινελιά πάνω δεξιά:
Αρχικάβρίσκουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (ημιτονοειδές), κοιτάμε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων και παρατηρούμε ότι . Όλοι οι τύποι πίνακα ισχύουν επίσης εάν το "x" αντικατασταθεί με μια σύνθετη έκφραση, V σε αυτή την περίπτωση:
Σημειώστε ότι η εσωτερική λειτουργία δεν έχει αλλάξει, δεν το αγγίζουμε.
Λοιπόν, είναι προφανές ότι
Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τύπου 
στην τελική του μορφή μοιάζει με αυτό:
Ο σταθερός παράγοντας τοποθετείται συνήθως στην αρχή της έκφρασης:
Εάν υπάρχει κάποια παρεξήγηση, γράψτε τη λύση σε χαρτί και διαβάστε ξανά τις εξηγήσεις.
Παράδειγμα 2
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Παράδειγμα 3
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Όπως πάντα, γράφουμε: 
Ας δούμε πού έχουμε μια εξωτερική λειτουργία και πού μια εσωτερική. Για να γίνει αυτό, προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης στο . Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να υπολογίσετε με τι ισούται η βάση: επομένως, το πολυώνυμο είναι η εσωτερική συνάρτηση: 
Και, μόνο τότε εκτελείται η εκτόξευση, επομένως, η συνάρτηση ισχύος είναι μια εξωτερική συνάρτηση: 
Σύμφωνα με τον τύπο 
, πρώτα πρέπει να βρείτε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, σε αυτήν την περίπτωση, τον βαθμό. Αναζητούμε τον απαιτούμενο τύπο στον πίνακα: . Επαναλαμβάνουμε ξανά: οποιοσδήποτε τύπος πίνακα ισχύει όχι μόνο για το "X", αλλά και για μια σύνθετη έκφραση. Έτσι, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης 
επόμενος:
Τονίζω ξανά ότι όταν παίρνουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, η εσωτερική μας συνάρτηση δεν αλλάζει: 
Τώρα το μόνο που μένει είναι να βρείτε μια πολύ απλή παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και να τροποποιήσετε λίγο το αποτέλεσμα:
Παράδειγμα 4
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Για να εμπεδώσω την κατανόησή σας για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης, θα δώσω ένα παράδειγμα χωρίς σχόλια, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας, αιτιολογήστε πού βρίσκεται η εξωτερική και πού η εσωτερική συνάρτηση, γιατί οι εργασίες λύνονται με αυτόν τον τρόπο;
Παράδειγμα 5
α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
Παράδειγμα 6
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
Εδώ έχουμε μια ρίζα, και για να διαφοροποιηθεί η ρίζα, πρέπει να αναπαρασταθεί ως δύναμη. Έτσι, πρώτα φέρνουμε τη συνάρτηση στη μορφή που είναι κατάλληλη για διαφοροποίηση:
Αναλύοντας τη συνάρτηση, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το άθροισμα των τριών όρων είναι εσωτερική συνάρτηση και η αύξηση σε ισχύ είναι εξωτερική συνάρτηση. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των σύνθετων συναρτήσεων 
:
Και πάλι παριστάνουμε τον βαθμό ως ρίζα (ρίζα) και για την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης εφαρμόζουμε έναν απλό κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:
Ετοιμος. Μπορείτε επίσης να δώσετε την έκφραση σε παρένθεση στο κοινός παρονομαστήςκαι γράψε τα πάντα ως ένα κλάσμα. Είναι όμορφο, φυσικά, αλλά όταν λαμβάνετε δυσκίνητα μακροπρόθεσμα παράγωγα, είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό (είναι εύκολο να μπερδευτείτε, να κάνετε ένα περιττό λάθος και θα είναι άβολο για τον δάσκαλο να ελέγξει).
Παράδειγμα 7
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μερικές φορές αντί για τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου 
, αλλά μια τέτοια λύση θα μοιάζει με ασυνήθιστη διαστροφή. Ακολουθεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα:
Παράδειγμα 8
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου 
, αλλά είναι πολύ πιο κερδοφόρο να βρεθεί η παράγωγος μέσω του κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
Προετοιμάζουμε τη συνάρτηση για διαφοροποίηση - μετακινούμε το μείον από το πρόσημο της παραγώγου και ανεβάζουμε το συνημίτονο στον αριθμητή:
Το συνημίτονο είναι μια εσωτερική συνάρτηση, η εκθετικότητα είναι μια εξωτερική συνάρτηση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μας 
:
Βρίσκουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και επαναφέρουμε το συνημίτονο:
Ετοιμος. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σημαντικό να μην μπερδεύεστε στα ζώδια. Παρεμπιπτόντως, προσπαθήστε να το λύσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα 
, οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.
Παράδειγμα 9
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει περιπτώσεις όπου είχαμε μόνο μία φωλιά σε μια σύνθετη συνάρτηση. Σε πρακτικές εργασίες, μπορείτε συχνά να βρείτε παράγωγα, όπου, όπως οι κούκλες που φωλιάζουν, η μία μέσα στην άλλη, 3 ή ακόμα και 4-5 συναρτήσεις είναι φωλιασμένες ταυτόχρονα.
Παράδειγμα 10
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
Ας κατανοήσουμε τα συνημμένα αυτής της συνάρτησης. Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την έκφραση χρησιμοποιώντας την πειραματική τιμή. Πώς θα υπολογίζαμε σε μια αριθμομηχανή;
Πρώτα πρέπει να βρείτε , που σημαίνει ότι το τόξο είναι η βαθύτερη ενσωμάτωση:
Αυτό το τόξο του ενός πρέπει στη συνέχεια να τετραγωνιστεί:
Και τέλος, ανεβάζουμε επτά σε δύναμη: 
Δηλαδή, σε αυτό το παράδειγμα έχουμε τρεις διαφορετικές συναρτήσεις και δύο ενσωματώσεις, ενώ η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι το τόξο και η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η εκθετική συνάρτηση.
Ας αρχίσουμε να αποφασίζουμε
Σύμφωνα με τον κανόνα 
Πρώτα πρέπει να πάρετε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης. Κοιτάμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης: Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για «x» έχουμε μια σύνθετη έκφραση, η οποία δεν αναιρεί την εγκυρότητα αυτού του τύπου. Άρα, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης 
επόμενος.