Αυτό το θέμα μπορεί να φαίνεται δύσκολο στην αρχή λόγω πολλών όχι και τόσο απλοί τύποι. Όχι μόνο οι ίδιες οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν μακριές σημειώσεις, αλλά οι ρίζες βρίσκονται επίσης μέσω της διάκρισης. Συνολικά, λαμβάνονται τρεις νέοι τύποι. Δεν είναι πολύ εύκολο να θυμάστε. Αυτό είναι δυνατό μόνο μετά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων συχνά. Τότε όλοι οι τύποι θα θυμούνται από μόνες τους.
Γενική άποψη τετραγωνικής εξίσωσης
Εδώ προτείνουμε τη ρητή καταγραφή τους, όταν τα περισσότερα υψηλός βαθμόςγραμμένο πρώτα και μετά με φθίνουσα σειρά. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις όπου οι όροι είναι ασυνεπείς. Τότε είναι καλύτερο να ξαναγράψουμε την εξίσωση με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής.
Ας εισάγουμε κάποια σημειογραφία. Παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.
Εάν δεχθούμε αυτούς τους συμβολισμούς, όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονται στον ακόλουθο συμβολισμό.
Επιπλέον, ο συντελεστής a ≠ 0. Ας οριστεί αυτός ο τύπος ως νούμερο ένα.
Όταν δίνεται μια εξίσωση, δεν είναι ξεκάθαρο πόσες ρίζες θα υπάρχουν στην απάντηση. Επειδή μία από τις τρεις επιλογές είναι πάντα δυνατή:
- η λύση θα έχει δύο ρίζες.
- η απάντηση θα είναι ένας αριθμός.
- η εξίσωση δεν θα έχει καθόλου ρίζες.
Και μέχρι να οριστικοποιηθεί η απόφαση, είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια επιλογή θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.
Είδη καταγραφών τετραγωνικών εξισώσεων
Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές καταχωρήσεις στις εργασίες. Δεν θα μοιάζουν πάντα με τον γενικό τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Μερικές φορές θα λείπουν κάποιοι όροι. Αυτό που γράφτηκε παραπάνω είναι η πλήρης εξίσωση. Εάν αφαιρέσετε τον δεύτερο ή τον τρίτο όρο σε αυτό, θα λάβετε κάτι άλλο. Αυτές οι εγγραφές ονομάζονται επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, μόνο ελλιπείς.
Επιπλέον, μόνο όροι με συντελεστές "b" και "c" μπορούν να εξαφανιστούν. Ο αριθμός «α» δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι ίσος με μηδέν. Γιατί σε αυτή την περίπτωση ο τύπος γίνεται γραμμική εξίσωση. Οι τύποι για την ημιτελή μορφή εξισώσεων θα είναι οι εξής:
Έτσι, υπάρχουν μόνο δύο τύποι, εκτός από τους πλήρεις, υπάρχουν και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Αφήστε τον πρώτο τύπο να είναι ο αριθμός δύο και ο δεύτερος - τρία.
Διάκριση και εξάρτηση του αριθμού των ριζών από την αξία του
Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον αριθμό για να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης. Μπορεί πάντα να υπολογιστεί, ανεξάρτητα από τον τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να υπολογίσετε τη διάκριση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που γράφεται παρακάτω, η οποία θα έχει τον αριθμό τέσσερα.
Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των συντελεστών σε αυτόν τον τύπο, μπορείτε να λάβετε αριθμούς με διαφορετικά σημάδια. Εάν η απάντηση είναι ναι, τότε η απάντηση στην εξίσωση θα είναι δύο διαφορετικές ρίζες. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, δεν θα υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Αν είναι ίσο με μηδέν, θα υπάρχει μόνο μία απάντηση.
Πώς να λύσετε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση;
Μάλιστα, η εξέταση αυτού του θέματος έχει ήδη ξεκινήσει. Γιατί πρώτα πρέπει να βρεις έναν διακριτικό. Αφού διαπιστωθεί ότι υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι γνωστός ο αριθμός τους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τύπους για τις μεταβλητές. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, τότε πρέπει να εφαρμόσετε τον ακόλουθο τύπο.
Δεδομένου ότι περιέχει ένα σύμβολο "±", θα υπάρχουν δύο έννοιες. Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας είναι η διάκριση. Επομένως, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί διαφορετικά.
Φόρμουλα νούμερο πέντε. Από την ίδια εγγραφή είναι ξεκάθαρο ότι αν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, τότε και οι δύο ρίζες θα λάβουν τις ίδιες τιμές.
Εάν η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων δεν έχει ακόμη επεξεργαστεί, τότε είναι καλύτερο να γράψετε τις τιμές όλων των συντελεστών πριν εφαρμόσετε τους τύπους διάκρισης και μεταβλητής. Αργότερα αυτή η στιγμή δεν θα προκαλέσει δυσκολίες. Αλλά στην αρχή υπάρχει σύγχυση.
Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση;
Όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ. Δεν υπάρχει καν ανάγκη για πρόσθετους τύπους. Και αυτά που έχουν ήδη γραφτεί για τον διακρίνοντα και τον άγνωστο δεν θα χρειαστούν.
Ας εξετάσουμε πρώτα ημιτελής εξίσωσηστο νούμερο δύο. Σε αυτή την ισότητα, είναι απαραίτητο να βγάλουμε την άγνωστη ποσότητα από αγκύλες και να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση, η οποία θα παραμείνει σε αγκύλες. Η απάντηση θα έχει δύο ρίζες. Το πρώτο είναι απαραίτητα ίσο με μηδέν, γιατί υπάρχει ένας πολλαπλασιαστής που αποτελείται από την ίδια τη μεταβλητή. Το δεύτερο θα ληφθεί λύνοντας μια γραμμική εξίσωση.
Η ημιτελής εξίσωση αριθμός τρία λύνεται μετακινώντας τον αριθμό από την αριστερή πλευρά της ισότητας προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε με τον συντελεστή που βλέπει το άγνωστο. Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και να θυμάστε να τη γράψετε δύο φορές με αντίθετα σημάδια.
Παρακάτω είναι μερικά βήματα που θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να λύνετε κάθε είδους ισότητες που μετατρέπονται σε εξισώσεις δευτεροβάθμιας. Θα βοηθήσουν τον μαθητή να αποφύγει λάθη που οφείλονται σε απροσεξία. Αυτές οι ελλείψεις μπορεί να προκαλέσουν χαμηλούς βαθμούς όταν μελετάτε ένα ευρύ θέμα». Τετραγωνικές εξισώσεις(8η τάξη)". Στη συνέχεια, αυτές οι ενέργειες δεν θα χρειάζεται να εκτελούνται συνεχώς. Γιατί θα εμφανιστεί μια σταθερή ικανότητα.
- Πρώτα πρέπει να γράψετε την εξίσωση σε τυπική μορφή. Δηλαδή, πρώτα ο όρος με τον μεγαλύτερο βαθμό της μεταβλητής και μετά - χωρίς βαθμό, και τελευταίος - μόνο ένας αριθμός.
- Εάν εμφανιστεί ένα μείον πριν από τον συντελεστή "a", μπορεί να περιπλέξει τη δουλειά για έναν αρχάριο που μελετά τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Είναι καλύτερα να το ξεφορτωθείς. Για το σκοπό αυτό, όλη η ισότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με "-1". Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι όροι θα αλλάξουν πρόσημο στο αντίθετο.
- Συνιστάται να απαλλαγείτε από τα κλάσματα με τον ίδιο τρόπο. Απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα έτσι ώστε οι παρονομαστές να ακυρωθούν.
Παραδείγματα
Απαιτείται η επίλυση των ακόλουθων τετραγωνικών εξισώσεων:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
Η πρώτη εξίσωση: x 2 − 7x = 0. Είναι ελλιπής, επομένως λύνεται όπως περιγράφεται για τον τύπο δύο.
Αφού το βγάλετε από αγκύλες, προκύπτει: x (x - 7) = 0.
Η πρώτη ρίζα παίρνει την τιμή: x 1 = 0. Η δεύτερη θα βρεθεί από τη γραμμική εξίσωση: x - 7 = 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι x 2 = 7.
Δεύτερη εξίσωση: 5x 2 + 30 = 0. Και πάλι ημιτελής. Μόνο που λύνεται όπως περιγράφεται για τον τρίτο τύπο.
Αφού μετακινήσετε το 30 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 5x 2 = 30. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε με το 5. Αποδεικνύεται: x 2 = 6. Οι απαντήσεις θα είναι οι αριθμοί: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Η τρίτη εξίσωση: 15 − 2x − x 2 = 0. Εδώ και περαιτέρω, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα ξεκινήσει ξαναγράφοντάς τες σε τυπική μορφή: − x 2 − 2x + 15 = 0. Τώρα είναι ώρα να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη χρήσιμες συμβουλέςκαι πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με μείον ένα. Αποδεικνύεται x 2 + 2x - 15 = 0. Χρησιμοποιώντας τον τέταρτο τύπο, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Είναι θετικός αριθμός. Από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, προκύπτει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Πρέπει να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον πέμπτο τύπο. Αποδεικνύεται ότι x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Τότε x 1 = 3, x 2 = - 5.
Η τέταρτη εξίσωση x 2 + 8 + 3x = 0 μετατρέπεται σε αυτή: x 2 + 3x + 8 = 0. Η διάκρισή της είναι ίση με αυτήν την τιμή: -23. Δεδομένου ότι αυτός ο αριθμός είναι αρνητικός, η απάντηση σε αυτήν την εργασία θα είναι η ακόλουθη καταχώριση: "Δεν υπάρχουν ρίζες".
Η πέμπτη εξίσωση 12x + x 2 + 36 = 0 θα πρέπει να ξαναγραφτεί ως εξής: x 2 + 12x + 36 = 0. Μετά την εφαρμογή του τύπου για τη διάκριση, προκύπτει ο αριθμός μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει μία ρίζα, δηλαδή: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Η έκτη εξίσωση (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) απαιτεί μετασχηματισμούς, οι οποίοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρέπει να φέρετε παρόμοιους όρους, ανοίγοντας πρώτα τις αγκύλες. Στη θέση της πρώτης θα υπάρχει η ακόλουθη έκφραση: x 2 + 2x + 1. Μετά την ισότητα, θα εμφανιστεί αυτή η καταχώρηση: x 2 + 3x + 2. Αφού μετρηθούν παρόμοιοι όροι, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 - x = 0. Έχει γίνει ημιτελής . Κάτι παρόμοιο έχει ήδη συζητηθεί λίγο πιο πάνω. Οι ρίζες αυτού θα είναι οι αριθμοί 0 και 1.
Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! *Στο εξής θα αναφέρεται ως «KU».Φίλοι, φαίνεται ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει τίποτα πιο απλό στα μαθηματικά από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί άνθρωποι έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εμφανίσεις κατ' απαίτηση δίνει η Yandex ανά μήνα. Να τι συνέβη, δείτε:
Τι σημαίνει; Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτή η πληροφορία, τι σχέση έχει αυτό το καλοκαίρι και τι θα γίνει μεταξύ σχολική χρονιά— θα υπάρξουν διπλάσιες αιτήσεις. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι τύποι και τα κορίτσια που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις του Unified State, αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές προσπαθούν επίσης να ανανεώσουν τη μνήμη τους.
Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που σας λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα επίσης να συνεισφέρω και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θέλω οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου με βάση αυτό το αίτημα. Δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν εμφανιστεί το θέμα "KU", θα παράσχω έναν σύνδεσμο προς αυτό το άρθρο. Τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό,τι συνήθως αναφέρεται σε άλλους ιστότοπους. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:
όπου οι συντελεστές α,σικαι c είναι αυθαίρετοι αριθμοί, με a≠0.
ΣΕ σχολικό μάθηματο υλικό δίνεται στην ακόλουθη μορφή - οι εξισώσεις χωρίζονται συμβατικά σε τρεις κατηγορίες:
1. Έχουν δύο ρίζες.
2. *Έχετε μόνο μία ρίζα.
3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει ιδιαίτερα να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν πραγματικές ρίζες
Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!
Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτή την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:
Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:
*Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους από έξω.
Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να λύσετε:
Παράδειγμα:
1. Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.
3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Ας δούμε την εξίσωση:
Από αυτή την άποψη, όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, το σχολικό μάθημα λέει ότι προκύπτει μία ρίζα, εδώ είναι ίση με εννέα. Όλα είναι σωστά, έτσι είναι, αλλά...
Αυτή η ιδέα είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, έχετε δύο ίσες ρίζες, και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, τότε η απάντηση θα πρέπει να γράφει δύο ρίζες:
x 1 = 3 x 2 = 3
Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκκλιση. Στο σχολείο μπορείς να το γράψεις και να πεις ότι υπάρχει μία ρίζα.
Τώρα το επόμενο παράδειγμα:
Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί, επομένως οι λύσεις σε σε αυτήν την περίπτωσηΟχι.
Αυτή είναι η όλη διαδικασία απόφασης.
Τετραγωνική λειτουργία.
Αυτό δείχνει πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση της τετραγωνικής ανισότητας).
Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:
όπου x και y είναι μεταβλητές
a, b, c – δεδομένοι αριθμοί, με a ≠ 0
Η γραφική παράσταση είναι παραβολή:
Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι λύνοντας μια τετραγωνική εξίσωση με «y» ίσο με μηδέν, βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) και κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Λεπτομέρειες για τετραγωνική λειτουργία Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.
Ας δούμε παραδείγματα:
Παράδειγμα 1: Λύση 2x 2 +8 Χ–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = –12
*Ήταν δυνατό να διαιρεθεί αμέσως η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το 2, δηλαδή να απλοποιηθεί. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.
Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Βρήκαμε ότι x 1 = 11 και x 2 = 11
Επιτρέπεται να γράψετε x = 11 στην απάντηση.
Απάντηση: x = 11
Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.
Απάντηση: Καμία λύση
Η διάκριση είναι αρνητική. Υπάρχει λύση!
Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Γνωρίζετε τίποτα για τους μιγαδικούς αριθμούς; Δεν θα υπεισέλθω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και πού προέκυψαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η αναγκαιότητα τους στα μαθηματικά αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.
Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.
Λίγη θεωρία.
Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας
z = a + bi
όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.
a+bi – αυτός είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.
Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα του μείον ένα:
Τώρα σκεφτείτε την εξίσωση:
Παίρνουμε δύο συζυγείς ρίζες.
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.
Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Μπορούν να λυθούν εύκολα χωρίς διακρίσεις.
Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.
Η εξίσωση γίνεται:
Ας μεταμορφώσουμε:
Παράδειγμα:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Περίπτωση 2. Συντελεστής c = 0.
Η εξίσωση γίνεται:
Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε:
*Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.
Παράδειγμα:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ή x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.
Εδώ είναι σαφές ότι η λύση της εξίσωσης θα είναι πάντα x = 0.
Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.
Υπάρχουν ιδιότητες που σας επιτρέπουν να λύσετε εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές.
ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα
ένα + σι+ c = 0,Οτι
- αν για τους συντελεστές της εξίσωσης ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα
ένα+ γ =σι, Οτι
Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην απόφαση ένα συγκεκριμένο είδοςεξισώσεις
Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0
Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, που σημαίνει
Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0
Ισχύει η ισότητα ένα+ γ =σι, Που σημαίνει
Κανονικότητα συντελεστών.
1. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx + c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής “c” είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Αν στην Εξ. ax 2 + bx – c = 0 συντελεστής «b» ισούται με (α 2 – 1), και ο συντελεστής «γ» ισούται αριθμητικά με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx – c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 – 1), και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Το θεώρημα του Βιέτα.
Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από τον διάσημο Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου KU ως προς τους συντελεστές του.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι οι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις προφορικά αμέσως.
Το θεώρημα του Vieta, επιπλέον. Είναι βολικό στο ότι μετά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνήθη τρόπο (μέσω ενός διαχωριστή), οι προκύπτουσες ρίζες μπορούν να ελεγχθούν. Συνιστώ να το κάνετε αυτό πάντα.
ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "πεταχτεί" σε αυτόν, γι' αυτό ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς».Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.
Αν ΕΝΑ± β+γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:
2Χ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => Χ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta στην εξίσωση (2), είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 = 10 x 2 = 1
Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (καθώς οι δύο "πετάχτηκαν" από το x 2), παίρνουμε
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Ποιο είναι το σκεπτικό; Κοίτα τι συμβαίνει.
Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι ίσες:
Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, λαμβάνετε μόνο διαφορετικούς παρονομαστές και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:
Το δεύτερο (τροποποιημένο) έχει ρίζες 2 φορές μεγαλύτερες.
Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.
*Αν ξανατυλίξουμε τα τρία, θα διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 3 κ.λπ.
Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5
πλ. ur-ie και Ενιαία Κρατική Εξέταση.
Θα σας πω εν συντομία για τη σημασία του - ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΤΕ γρήγορα και χωρίς σκέψη, πρέπει να γνωρίζετε τις φόρμουλες των ριζών και των διακρίσεων από καρδιάς. Πολλά προβλήματα που περιλαμβάνονται στις εργασίες της Ενιαίας Εξέτασης Πολιτείας καταλήγουν στην επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).
Κάτι που αξίζει να σημειωθεί!
1. Η μορφή γραφής μιας εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώρηση:
15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x+42+9x 2 - 45x=0 ή 15 -5x+10x 2 = 0.
Πρέπει να τον φέρεις τυπική όψη(για να μην μπερδεύεστε όταν αποφασίζετε).
2. Θυμηθείτε ότι το x είναι άγνωστη ποσότητα και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.
», δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε αυτό που ονομάζεται τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.
Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;
Σπουδαίος!
Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.
Εάν η μέγιστη ισχύς στην οποία ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.
Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Σπουδαίος! Η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:
A x 2 + b x + c = 0
Τα «α», «β» και «γ» δίνονται αριθμοί.- Το "a" είναι ο πρώτος ή ο υψηλότερος συντελεστής.
- Το "b" είναι ο δεύτερος συντελεστής.
- Το «c» είναι ελεύθερο μέλος.
Για να βρείτε τα «a», «b» και «c» πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης «ax 2 + bx + c = 0».
Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών «α», «β» και «γ» σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
| Η εξίσωση | Πιθανότητα | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- γ =
1 3
- α = 1
- b = 0,25
- c = 0
- α = 1
- b = 0
- c = −8
Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις
Σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, χρησιμοποιείται μια ειδική μέθοδος για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. τύπος για την εύρεση ριζών.
Θυμάμαι!
Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:
- ανάγουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική εμφάνιση"ax 2 + bx + c = 0". Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
- χρησιμοποιήστε τη φόρμουλα για τις ρίζες:
Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση.
X 2 − 3x − 4 = 0
Η εξίσωση «x 2 − 3x − 4 = 0» έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0» και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, αρκεί να κάνουμε αίτηση τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Στον τύπο "x 1;2 = " η ριζική έκφραση αντικαθίσταται συχνά
«b 2 − 4ac» για το γράμμα «D» και λέγεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού συζητείται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.
x 2 + 9 + x = 7x
Σε αυτή τη μορφή, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας μειώσουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0».
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.
Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Απάντηση: x = 3
Υπάρχουν φορές που οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις δεν έχουν ρίζες. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ο τύπος περιέχει έναν αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα.
Συνεχίζοντας το θέμα «Επίλυση εξισώσεων», το υλικό σε αυτό το άρθρο θα σας εισάγει στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
Ας δούμε τα πάντα λεπτομερώς: την ουσία και τη σημειογραφία μιας τετραγωνικής εξίσωσης, ορίστε τους συνοδευτικούς όρους, αναλύστε το σχήμα για την επίλυση ημιτελών και πλήρων εξισώσεων, εξοικειωθείτε με τον τύπο των ριζών και τη διάκριση, δημιουργήστε συνδέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών, και φυσικά θα δώσουμε οπτική λύση σε πρακτικά παραδείγματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τετραγωνική εξίσωση, τα είδη της
Ορισμός 1Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση που γράφεται ως a x 2 + b x + c = 0, Οπου Χ– μεταβλητή, a , b και ντο– κάποιοι αριθμοί, ενώ έναδεν είναι μηδέν.
Συχνά, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ονομάζονται και εξισώσεις δεύτερου βαθμού, αφού στην ουσία μια τετραγωνική εξίσωση είναι αλγεβρική εξίσωσηδευτέρου βαθμού.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να επεξηγήσουμε τον ορισμό: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, κ.λπ. Αυτές είναι τετραγωνικές εξισώσεις.
Ορισμός 2
Αριθμοί α, β και ντοείναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 + b x + c = 0, ενώ ο συντελεστής έναονομάζεται πρώτος, ή ανώτερος, ή συντελεστής στο x 2, b - ο δεύτερος συντελεστής, ή συντελεστής στο Χ, ΕΝΑ ντοονομάζεται ελεύθερο μέλος.
Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ο κύριος συντελεστής είναι 6, ο δεύτερος συντελεστής είναι − 2 , και ο ελεύθερος όρος ισούται με − 11 . Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι όταν οι συντελεστές σικαι/ή τα c είναι αρνητικά, μετά χρησιμοποιήστε σύντομη μορφήρεκόρ όπως 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, αλλά όχι 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Ας διευκρινίσουμε επίσης αυτή την πτυχή: αν οι συντελεστές ένακαι/ή σιίσος 1 ή − 1 , τότε ενδέχεται να μην λάβουν ρητό μέρος στη σύνταξη της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, κάτι που εξηγείται από τις ιδιαιτερότητες γραφής των αναγραφόμενων αριθμητικών συντελεστών. Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση y 2 − y + 7 = 0ο κύριος συντελεστής είναι 1 και ο δεύτερος συντελεστής είναι − 1 .
Ανηγμένες και μη αναγωγικές τετραγωνικές εξισώσεις
Με βάση την τιμή του πρώτου συντελεστή, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις χωρίζονται σε μειωμένες και μη αναγωγικές.
Ορισμός 3
Μειωμένη τετραγωνική εξίσωσηείναι μια τετραγωνική εξίσωση όπου ο κύριος συντελεστής είναι 1. Για άλλες τιμές του κύριου συντελεστή, η τετραγωνική εξίσωση δεν είναι μειωμένη.
Ας δώσουμε παραδείγματα: οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 μειώνονται, σε καθεμία από τις οποίες ο κύριος συντελεστής είναι 1.
9 x 2 − x − 2 = 0- μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, όπου ο πρώτος συντελεστής είναι διαφορετικός από 1 .
Οποιαδήποτε μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε ανηγμένη εξίσωση διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον πρώτο συντελεστή (ισοδύναμος μετασχηματισμός). Η μετασχηματισμένη εξίσωση θα έχει τις ίδιες ρίζες με τη δεδομένη μη ανηγμένη εξίσωση ή επίσης δεν θα έχει καθόλου ρίζες.
Θεώρηση συγκεκριμένο παράδειγμαθα μας επιτρέψει να δείξουμε ξεκάθαρα τη μετάβαση από μια μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση σε μια ανηγμένη.
Παράδειγμα 1
Δίνεται η εξίσωση 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Είναι απαραίτητο να μετατραπεί η αρχική εξίσωση στη μειωμένη μορφή.
Λύση
Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον κύριο συντελεστή 6. Τότε παίρνουμε: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, και αυτό είναι το ίδιο με: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0και επιπλέον: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Από εδώ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Έτσι, προκύπτει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.
Απάντηση: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Πλήρεις και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Ας στραφούμε στον ορισμό μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Σε αυτό διευκρινίσαμε ότι a ≠ 0. Μια παρόμοια συνθήκη είναι απαραίτητη για την εξίσωση a x 2 + b x + c = 0ήταν ακριβώς τετράγωνο, αφού στο a = 0ουσιαστικά μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση b x + c = 0.
Στην περίπτωση που οι συντελεστές σιΚαι ντοισούνται με μηδέν (κάτι που είναι δυνατό, μεμονωμένα και από κοινού), η τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ελλιπής.
Ορισμός 4
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x + c = 0,όπου τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές σιΚαι ντο(ή και τα δύο) είναι μηδέν.
Πλήρης τετραγωνική εξίσωση– μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία όλοι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.
Ας συζητήσουμε γιατί δίνονται ακριβώς αυτά τα ονόματα στους τύπους των τετραγωνικών εξισώσεων.
Όταν b = 0, η τετραγωνική εξίσωση παίρνει τη μορφή a x 2 + 0 x + c = 0, που είναι το ίδιο με a x 2 + c = 0. Στο c = 0τετραγωνική εξίσωση γραμμένη ως a x 2 + b x + 0 = 0, που είναι ισοδύναμο a x 2 + b x = 0. Στο b = 0Και c = 0η εξίσωση θα πάρει τη μορφή a x 2 = 0. Οι εξισώσεις που λάβαμε διαφέρουν από την πλήρη τετραγωνική εξίσωση στο ότι οι αριστερές τους πλευρές δεν περιέχουν ούτε όρο με τη μεταβλητή x ούτε έναν ελεύθερο όρο ή και τα δύο. Στην πραγματικότητα, αυτό το γεγονός έδωσε το όνομα σε αυτόν τον τύπο εξίσωσης - ελλιπής.
Για παράδειγμα, x 2 + 3 x + 4 = 0 και − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 είναι πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις. x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.
Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων
Ο ορισμός που δίνεται παραπάνω καθιστά δυνατή τη διάκριση των ακόλουθων τύπων ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:
- a x 2 = 0, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στους συντελεστές b = 0και c = 0 ;
- a · x 2 + c = 0 στο b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 στο c = 0.
Ας εξετάσουμε διαδοχικά τη λύση κάθε τύπου ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Λύση της εξίσωσης a x 2 =0
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στους συντελεστές σιΚαι ντο, ίσο με μηδέν. Η εξίσωση a x 2 = 0μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμη εξίσωση x 2 = 0, το οποίο λαμβάνουμε διαιρώντας και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον αριθμό ένα, όχι ίσο με μηδέν. Το προφανές γεγονός είναι ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 = 0αυτό είναι μηδέν γιατί 0 2 = 0 . Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, κάτι που μπορεί να εξηγηθεί από τις ιδιότητες του βαθμού: για οποιονδήποτε αριθμό Π,δεν ισούται με μηδέν, η ανισότητα είναι αληθής p 2 > 0, από το οποίο προκύπτει ότι όταν p ≠ 0ισότητα p 2 = 0δεν θα επιτευχθεί ποτέ.
Ορισμός 5
Έτσι, για την ημιτελή τετραγωνική εξίσωση a x 2 = 0 υπάρχει μία μόνο ρίζα x = 0.
Παράδειγμα 2
Για παράδειγμα, ας λύσουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση − 3 x 2 = 0. Είναι ισοδύναμο με την εξίσωση x 2 = 0, η μόνη ρίζα του είναι x = 0, τότε η αρχική εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα - μηδέν.
Συνοπτικά, η λύση γράφεται ως εξής:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Επίλυση της εξίσωσης a x 2 + c = 0
Επόμενη στη σειρά είναι η λύση των ημιτελών δευτεροβάθμιων εξισώσεων, όπου b = 0, c ≠ 0, δηλαδή εξισώσεις της μορφής a x 2 + c = 0. Ας μετατρέψουμε αυτήν την εξίσωση μετακινώντας έναν όρο από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο και διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν:
- ΜΕΤΑΦΟΡΑ ντοστη δεξιά πλευρά, που δίνει την εξίσωση a x 2 = − γ;
- διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με ένα, καταλήγουμε σε x = - c a .
Οι μετασχηματισμοί μας είναι κατά συνέπεια ισοδύναμοι, η εξίσωση που προκύπτει είναι επίσης ισοδύναμη με την αρχική, και αυτό το γεγονός καθιστά δυνατή την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης. Από ποιες είναι οι αξίες έναΚαι ντοη τιμή της έκφρασης - c a εξαρτάται: μπορεί να έχει πρόσημο μείον (για παράδειγμα, αν α = 1Και c = 2, τότε - c a = - 2 1 = - 2) ή ένα σύμβολο συν (για παράδειγμα, αν a = − 2Και c = 6, τότε - c a = - 6 - 2 = 3); δεν είναι μηδέν γιατί c ≠ 0. Ας σταθούμε αναλυτικότερα σε καταστάσεις όταν - γ α< 0 и - c a > 0 .
Στην περίπτωση που - γ α< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Πη ισότητα p 2 = - c a δεν μπορεί να είναι αληθής.
Όλα είναι διαφορετικά όταν - c a > 0: θυμηθείτε την τετραγωνική ρίζα και θα γίνει προφανές ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 = - c a θα είναι ο αριθμός - c a, αφού - c a 2 = - c a. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι ο αριθμός - - c a είναι και η ρίζα της εξίσωσης x 2 = - c a: πράγματι, - - c a 2 = - c a.
Η εξίσωση δεν θα έχει άλλες ρίζες. Μπορούμε να το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίφασης. Αρχικά, ας ορίσουμε τις σημειώσεις για τις ρίζες που βρέθηκαν παραπάνω ως x 1Και − x 1. Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση x 2 = - c a έχει επίσης ρίζα x 2, που διαφέρει από τις ρίζες x 1Και − x 1. Το γνωρίζουμε αντικαθιστώντας στην εξίσωση Χτις ρίζες της, μετατρέπουμε την εξίσωση σε μια δίκαιη αριθμητική ισότητα.
Για x 1Και − x 1γράφουμε: x 1 2 = - c a , και για x 2- x 2 2 = - c a . Με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων, αφαιρούμε έναν ορθό όρο ισότητας ανά όρο από έναν άλλο, που θα μας δώσει: x 1 2 − x 2 2 = 0. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των πράξεων με αριθμούς για να ξαναγράψουμε την τελευταία ισότητα ως (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Είναι γνωστό ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς είναι μηδέν. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι x 1 − x 2 = 0και/ή x 1 + x 2 = 0, που είναι το ίδιο x 2 = x 1και/ή x 2 = − x 1. Προέκυψε μια προφανής αντίφαση, γιατί στην αρχή συμφωνήθηκε ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2διαφέρει από x 1Και − x 1. Άρα, αποδείξαμε ότι η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες εκτός από x = - c a και x = - - c a.
Ας συνοψίσουμε όλα τα επιχειρήματα παραπάνω.
Ορισμός 6
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 + c = 0είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 = - c a, η οποία:
- δεν θα έχει ρίζες στο - γ α< 0 ;
- θα έχει δύο ρίζες x = - c a και x = - - c a for - c a > 0.
Ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης των εξισώσεων a x 2 + c = 0.
Παράδειγμα 3
Δίνεται μια τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0.Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση.
Λύση
Ας μετακινήσουμε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή 9 x 2 = − 7.
Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με 9
, φτάνουμε στο x 2 = - 7 9 . Στη δεξιά πλευρά βλέπουμε έναν αριθμό με αρνητικό πρόσημο, που σημαίνει: y δεδομένη εξίσωσηχωρίς ρίζες. Τότε η αρχική ημιτελής τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0δεν θα έχει ρίζες.
Απάντηση:την εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0δεν έχει ρίζες.
Παράδειγμα 4
Η εξίσωση πρέπει να λυθεί − x 2 + 36 = 0.
Λύση
Ας μετακινήσουμε το 36 στη δεξιά πλευρά: − x 2 = − 36.
Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά − 1
, παίρνουμε x 2 = 36. Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένας θετικός αριθμός, από τον οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι
x = 36 ή
x = - 36 .
Ας εξαγάγουμε τη ρίζα και ας γράψουμε το τελικό αποτέλεσμα: ημιτελής τετραγωνική εξίσωση − x 2 + 36 = 0έχει δύο ρίζες x=6ή x = − 6.
Απάντηση: x=6ή x = − 6.
Λύση της εξίσωσης a x 2 +b x=0
Ας αναλύσουμε τον τρίτο τύπο ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων, όταν c = 0. Να βρεθεί λύση σε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x = 0, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο παραγοντοποίησης. Ας παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός αγκύλων Χ. Αυτό το βήμα θα επιτρέψει τη μετατροπή της αρχικής ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης σε ισοδύναμη x (a x + b) = 0. Και αυτή η εξίσωση, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων x = 0Και a x + b = 0. Η εξίσωση a x + b = 0γραμμικό και η ρίζα του: x = − b α.
Ορισμός 7
Έτσι, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x = 0θα έχει δύο ρίζες x = 0Και x = − b α.
Ας ενισχύσουμε το υλικό με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Λύση
Θα το βγάλουμε Χέξω από τις αγκύλες παίρνουμε την εξίσωση x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις x = 0και 2 3 x - 2 2 7 = 0. Τώρα πρέπει να λύσετε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Γράψτε εν συντομία τη λύση της εξίσωσης ως εξής:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ή 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ή x = 3 3 7
Απάντηση: x = 0, x = 3 3 7.
Διάκριση, τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Για να βρούμε λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχει ένας τύπος ρίζας:
Ορισμός 8
x = - b ± D 2 · a, όπου D = b 2 − 4 a γ– το λεγόμενο διαχωριστικό μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Γράψιμο x = - b ± D 2 · a ουσιαστικά σημαίνει ότι x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Θα ήταν χρήσιμο να κατανοήσουμε πώς προέκυψε αυτός ο τύπος και πώς να τον εφαρμόσετε.
Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Ας βρεθούμε αντιμέτωποι με το έργο της επίλυσης μιας εξίσωσης δευτεροβάθμιας a x 2 + b x + c = 0. Ας πραγματοποιήσουμε έναν αριθμό ισοδύναμων μετασχηματισμών:
- διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό ένα, διαφορετικό από το μηδέν, λαμβάνουμε την ακόλουθη τετραγωνική εξίσωση: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- ας τονίσουμε Τέλειο τετράγωνοστην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + γ α
Μετά από αυτό, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Τώρα είναι δυνατό να μεταφέρουμε τους δύο τελευταίους όρους στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο, μετά από το οποίο παίρνουμε: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Τέλος, μετασχηματίζουμε την έκφραση που είναι γραμμένη στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .
Έτσι, καταλήγουμε στην εξίσωση x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση a x 2 + b x + c = 0.
Εξετάσαμε τη λύση τέτοιων εξισώσεων στις προηγούμενες παραγράφους (επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων). Η εμπειρία που έχει ήδη αποκτηθεί καθιστά δυνατό να εξαχθεί ένα συμπέρασμα σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:
- με b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- όταν b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 η εξίσωση είναι x + b 2 · a 2 = 0, τότε x + b 2 · a = 0.
Από εδώ η μόνη ρίζα x = - b 2 · a είναι προφανής.
- για b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, θα ισχύει το εξής: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ή x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , που είναι ίδιο με το x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ή x = - b 2 · a - b 2 - 4 · α · γ 4 · α 2 , δηλ. η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Είναι δυνατόν να συμπεράνουμε ότι η παρουσία ή η απουσία ριζών της εξίσωσης x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (και επομένως η αρχική εξίσωση) εξαρτάται από το πρόσημο της έκφρασης b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 γραμμένο στη δεξιά πλευρά. Και το πρόσημο αυτής της έκφρασης δίνεται από το πρόσημο του αριθμητή, (παρονομαστής 4 α 2θα είναι πάντα θετικό), δηλαδή το πρόσημο της έκφρασης β 2 − 4 α γ. Αυτή η έκφραση β 2 − 4 α γδίνεται το όνομα - η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και το γράμμα D ορίζεται ως ο χαρακτηρισμός της. Εδώ μπορείτε να γράψετε την ουσία της διάκρισης - με βάση την τιμή και το πρόσημο της, μπορούν να συμπεράνουν εάν η τετραγωνική εξίσωση θα έχει πραγματικές ρίζες και, αν ναι, ποιος είναι ο αριθμός των ριζών - μία ή δύο.
Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Ας το ξαναγράψουμε χρησιμοποιώντας διακριτικό συμβολισμό: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Ας διατυπώσουμε ξανά τα συμπεράσματά μας:
Ορισμός 9
- στο ρε< 0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
- στο D=0η εξίσωση έχει μία ρίζα x = - b 2 · a ;
- στο Δ > 0η εξίσωση έχει δύο ρίζες: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ή x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Με βάση τις ιδιότητες των ριζών, αυτές οι ρίζες μπορούν να γραφτούν με τη μορφή: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. Και, όταν επεκτείνουμε τις μονάδες και μειώνουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, παίρνουμε: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Έτσι, το αποτέλεσμα του συλλογισμού μας ήταν η παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, διακρίνουσα ρευπολογίζεται με τον τύπο D = b 2 − 4 a γ.
Αυτοί οι τύποι καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό και των δύο πραγματικών ριζών όταν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η εφαρμογή και των δύο τύπων θα δώσει την ίδια ρίζα ως μοναδική λύση στην τετραγωνική εξίσωση. Στην περίπτωση που η διάκριση είναι αρνητική, αν προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη ρίζα μιας τετραγωνικής εξίσωσης, θα βρεθούμε αντιμέτωποι με την ανάγκη εξαγωγής Τετραγωνική ρίζααπό έναν αρνητικό αριθμό, που θα μας πάει πέρα από τους πραγματικούς αριθμούς. Με μια αρνητική διάκριση, η τετραγωνική εξίσωση δεν θα έχει πραγματικές ρίζες, αλλά είναι δυνατό ένα ζεύγος σύνθετων συζυγών ριζών, που προσδιορίζονται από τους ίδιους τύπους ρίζας που λάβαμε.
Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση ριζικών τύπων
Είναι δυνατό να λυθεί μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας αμέσως τον τύπο ρίζας, αλλά αυτό γίνεται γενικά όταν είναι απαραίτητο να βρεθούν σύνθετες ρίζες.
Στην πλειονότητα των περιπτώσεων, συνήθως σημαίνει αναζήτηση όχι για σύνθετες, αλλά για πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Στη συνέχεια, είναι βέλτιστο, πριν χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, να προσδιορίσετε πρώτα τη διάκριση και να βεβαιωθείτε ότι δεν είναι αρνητική (διαφορετικά θα συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες) και στη συνέχεια να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της αξία των ριζών.
Ο παραπάνω συλλογισμός καθιστά δυνατή τη διατύπωση ενός αλγορίθμου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής.
Ορισμός 10
Για να λύσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση a x 2 + b x + c = 0, απαραίτητη:
- σύμφωνα με τον τύπο D = b 2 − 4 a γβρείτε τη διακριτική τιμή.
- στο Δ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- για D = 0, βρείτε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - b 2 · a ;
- για D > 0, προσδιορίστε δύο πραγματικές ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - b ± D 2 · a.
Σημειώστε ότι όταν η διάκριση είναι μηδέν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο x = - b ± D 2 · a, θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο x = - b 2 · a.
Ας δούμε παραδείγματα.
Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων
Ας δώσουμε μια λύση στα παραδείγματα για διαφορετικές έννοιεςδιακριτική.
Παράδειγμα 6
Πρέπει να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 + 2 x − 6 = 0.
Λύση
Ας γράψουμε τους αριθμητικούς συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a = 1, b = 2 και c = − 6. Στη συνέχεια προχωράμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. Ας αρχίσουμε να υπολογίζουμε το διακριτικό, για το οποίο θα αντικαταστήσουμε τους συντελεστές a, b Και ντοστον τύπο διάκρισης: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Έτσι παίρνουμε D > 0, που σημαίνει ότι η αρχική εξίσωση θα έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Για να τα βρούμε, χρησιμοποιούμε τον ριζικό τύπο x = - b ± D 2 · a και, αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές, παίρνουμε: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ας απλοποιήσουμε την έκφραση που προκύπτει αφαιρώντας τον παράγοντα από το σύμβολο της ρίζας και στη συνέχεια μειώνοντας το κλάσμα:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 ή x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 ή x = - 1 - 7
Απάντηση: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.
Παράδειγμα 7
Ανάγκη επίλυσης τετραγωνικής εξίσωσης − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Λύση
Ας ορίσουμε τη διάκριση: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Με αυτήν την τιμή του διαχωριστή, η αρχική εξίσωση θα έχει μόνο μία ρίζα, που καθορίζεται από τον τύπο x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3,5
Απάντηση: x = 3,5.
Παράδειγμα 8
Η εξίσωση πρέπει να λυθεί 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Λύση
Οι αριθμητικοί συντελεστές αυτής της εξίσωσης θα είναι: a = 5, b = 6 και c = 2. Χρησιμοποιούμε αυτές τις τιμές για να βρούμε τη διάκριση: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Η υπολογιζόμενη διάκριση είναι αρνητική, επομένως η αρχική τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Στην περίπτωση που η εργασία είναι να υποδείξουμε σύνθετες ρίζες, εφαρμόζουμε τον τύπο ρίζας, εκτελώντας ενέργειες με μιγαδικούς αριθμούς:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 ή x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i ή x = - 3 5 - 1 5 · i.
Απάντηση:δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. οι μιγαδικές ρίζες είναι οι εξής: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΔεν υπάρχει τυπική απαίτηση για αναζήτηση σύνθετων ριζών, επομένως, εάν κατά τη διάρκεια της λύσης η διάκριση κριθεί αρνητική, η απάντηση καταγράφεται αμέσως ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Τύπος ρίζας για ακόμη και δεύτερους συντελεστές
Ο ριζικός τύπος x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) καθιστά δυνατή την απόκτηση ενός άλλου τύπου, πιο συμπαγούς, που επιτρέπει σε κάποιον να βρει λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις με άρτιο συντελεστή για x ( ή με συντελεστή της μορφής 2 · n, για παράδειγμα, 2 3 ή 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ας δείξουμε πώς προκύπτει αυτός ο τύπος.
Ας βρεθούμε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε μια λύση στην τετραγωνική εξίσωση a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Προχωράμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο: προσδιορίζουμε τη διάκριση D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ριζικό τύπο:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Έστω η παράσταση n 2 − a · c συμβολίζεται ως D 1 (μερικές φορές συμβολίζεται με D "). Τότε ο τύπος για τις ρίζες της εξίσωσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον δεύτερο συντελεστή 2 · n θα έχει τη μορφή:
x = - n ± D 1 a, όπου D 1 = n 2 − a · c.
Είναι εύκολο να δούμε ότι D = 4 · D 1, ή D 1 = D 4. Με άλλα λόγια, το D 1 είναι το ένα τέταρτο της διάκρισης. Προφανώς, το πρόσημο του D 1 είναι το ίδιο με το πρόσημο του D, που σημαίνει ότι το πρόσημο του D 1 μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως δείκτης της παρουσίας ή απουσίας ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.
Ορισμός 11
Έτσι, για να βρεθεί μια λύση σε μια τετραγωνική εξίσωση με δεύτερο συντελεστή 2 n, είναι απαραίτητο:
- βρείτε D 1 = n 2 − a · c ;
- στο Δ 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- όταν D 1 = 0, προσδιορίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - n a.
- για D 1 > 0, προσδιορίστε δύο πραγματικές ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - n ± D 1 a.
Παράδειγμα 9
Είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.
Λύση
Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον δεύτερο συντελεστή της δεδομένης εξίσωσης ως 2 · (− 3) . Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση ως 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, όπου a = 5, n = − 3 και c = − 32.
Ας υπολογίσουμε το τέταρτο μέρος της διάκρισης: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Η τιμή που προκύπτει είναι θετική, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο ρίζας:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 ή x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 ή x = - 2
Θα ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τον συνήθη τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά σε αυτή την περίπτωση η λύση θα ήταν πιο δύσκολη.
Απάντηση: x = 3 1 5 ή x = - 2 .
Απλοποίηση της μορφής των τετραγωνικών εξισώσεων
Μερικές φορές είναι δυνατό να βελτιστοποιηθεί η μορφή της αρχικής εξίσωσης, η οποία θα απλοποιήσει τη διαδικασία υπολογισμού των ριζών.
Για παράδειγμα, η τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 είναι σαφώς πιο βολική για επίλυση από 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.
Συχνότερα, η απλοποίηση της μορφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές της με έναν ορισμένο αριθμό. Για παράδειγμα, παραπάνω δείξαμε μια απλοποιημένη αναπαράσταση της εξίσωσης 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, που προκύπτει διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 100.
Ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι δυνατός όταν οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης δεν είναι αμοιβαίοι πρώτοι αριθμοί. Τότε συνήθως διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη μεγαλύτερη κοινός διαιρέτηςαπόλυτες τιμές των συντελεστών του.
Ως παράδειγμα, χρησιμοποιούμε την τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Ας προσδιορίσουμε το GCD των απόλυτων τιμών των συντελεστών του: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης με το 6 και πάρουμε την ισοδύναμη τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.
Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές μιας τετραγωνικής εξίσωσης, συνήθως απαλλαγείτε από τους κλασματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή, πολλαπλασιάζονται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών του. Για παράδειγμα, εάν κάθε μέρος της τετραγωνικής εξίσωσης 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 πολλαπλασιαστεί με LCM (6, 3, 1) = 6, τότε θα γραφτεί σε περισσότερα σε απλή μορφή x 2 + 4 x − 18 = 0 .
Τέλος, σημειώνουμε ότι σχεδόν πάντα απαλλαγούμε από το μείον στον πρώτο συντελεστή μιας τετραγωνικής εξίσωσης αλλάζοντας τα πρόσημα κάθε όρου της εξίσωσης, το οποίο επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) και τις δύο πλευρές με − 1. Για παράδειγμα, από την τετραγωνική εξίσωση − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, μπορείτε να μεταβείτε στην απλοποιημένη έκδοσή της 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών
Ο τύπος για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων, ήδη γνωστός σε εμάς, x = - b ± D 2 · a, εκφράζει τις ρίζες της εξίσωσης μέσω των αριθμητικών συντελεστών της. Με βάση αυτόν τον τύπο, έχουμε την ευκαιρία να καθορίσουμε άλλες εξαρτήσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών.
Οι πιο διάσημοι και εφαρμόσιμοι τύποι είναι το θεώρημα του Vieta:
x 1 + x 2 = - b a και x 2 = c a.
Συγκεκριμένα, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ο δεύτερος συντελεστής με το αντίθετο πρόσημο και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Για παράδειγμα, κοιτάζοντας τη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, είναι δυνατό να προσδιοριστεί αμέσως ότι το άθροισμα των ριζών της είναι 7 3 και το γινόμενο των ριζών είναι 22 3.
Μπορείτε επίσης να βρείτε μια σειρά από άλλες συνδέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Για παράδειγμα, το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να εκφραστεί με όρους συντελεστών:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Τα προβλήματα τετραγωνικών εξισώσεων μελετώνται τόσο στο σχολικό πρόγραμμα όσο και στα πανεπιστήμια. Σημαίνουν εξισώσεις της μορφής a*x^2 + b*x + c = 0, όπου Χ-μεταβλητή, a, b, c – σταθερές. ένα<>0 . Το καθήκον είναι να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης.
Γεωμετρική έννοια τετραγωνικής εξίσωσης
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που παριστάνεται με μια τετραγωνική εξίσωση είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης (x). Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις:
1) η παραβολή δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται στο πάνω επίπεδο με κλαδιά προς τα πάνω ή στο κάτω μέρος με κλαδιά προς τα κάτω. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (έχει δύο μιγαδικές ρίζες).
2) η παραβολή έχει ένα σημείο τομής με τον άξονα Ox. Ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται κορυφή της παραβολής και η τετραγωνική εξίσωση σε αυτήν αποκτά την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της. Σε αυτή την περίπτωση, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (ή δύο ίδιες ρίζες).
3) Τελευταία περίπτωσηστην πράξη είναι πιο ενδιαφέρον - υπάρχουν δύο σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης.
Με βάση την ανάλυση των συντελεστών των δυνάμεων των μεταβλητών, μπορούν να εξαχθούν ενδιαφέροντα συμπεράσματα για την τοποθέτηση της παραβολής.
1) Αν ο συντελεστής α είναι μεγαλύτερος από μηδέν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, αν είναι αρνητικός, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.
2) Αν ο συντελεστής b είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό ημιεπίπεδο αν χρειάζεται αρνητικό νόημα- μετά στα δεξιά.
Παραγωγή του τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Ας μεταφέρουμε τη σταθερά από την τετραγωνική εξίσωση 
για το πρόσημο ίσου, παίρνουμε την έκφραση
Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 4α 
Για να πάρετε ένα πλήρες τετράγωνο στα αριστερά, προσθέστε b^2 και στις δύο πλευρές και πραγματοποιήστε τον μετασχηματισμό
Από εδώ βρίσκουμε
Τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
Το διαχωριστικό είναι η τιμή της ριζικής έκφρασης, αν είναι θετική, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, που υπολογίζονται από τον τύπο 
Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία λύση (δύο συμπίπτουσες ρίζες), η οποία μπορεί να ληφθεί εύκολα από τον παραπάνω τύπο για το D=0, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ωστόσο, οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης βρίσκονται στο μιγαδικό επίπεδο και η τιμή τους υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο 
Το θεώρημα του Βιέτα
Ας εξετάσουμε δύο ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης και ας κατασκευάσουμε μια τετραγωνική εξίσωση με βάση τους το θεώρημα του Βιέτα εύκολα προκύπτει από τη σημειογραφία: αν έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής. 
τότε το άθροισμα των ριζών του είναι ίσο με τον συντελεστή p που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο q. Η τυπική αναπαράσταση των παραπάνω θα μοιάζει με αυτό.
Πρόγραμμα τετραγωνικών εξισώσεων Factoring
Αφήστε την εργασία να οριστεί: παράγετε μια τετραγωνική εξίσωση. Για να γίνει αυτό, λύνουμε πρώτα την εξίσωση (βρίσκουμε τις ρίζες). Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις ρίζες που βρέθηκαν στον τύπο επέκτασης για την τετραγωνική εξίσωση Αυτό θα λύσει το πρόβλημα.
Προβλήματα τετραγωνικών εξισώσεων
Εργασία 1. Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης
x^2-26x+120=0 .
Λύση: Γράψτε τους συντελεστές και αντικαταστήστε τους στον τύπο διάκρισης
Ρίζα του δεδομένη αξίαείναι ίσο με 14, είναι εύκολο να το βρεις με μια αριθμομηχανή ή να το θυμηθείς με συχνή χρήση, ωστόσο, για ευκολία, στο τέλος του άρθρου θα σας δώσω μια λίστα με τετράγωνα αριθμών που μπορούν συχνά να συναντηθούν σε τέτοια προβλήματα.
Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο ρίζας 
και παίρνουμε 
Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση
2x 2 +x-3=0.
Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, γράφουμε τους συντελεστές και βρίσκουμε τη διάκριση 
Χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους βρίσκουμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης 
Εργασία 3. Λύστε την εξίσωση
9x 2 -12x+4=0.
Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Προσδιορισμός της διάκρισης
Έχουμε μια περίπτωση όπου οι ρίζες συμπίπτουν. Βρείτε τις τιμές των ριζών χρησιμοποιώντας τον τύπο 
Εργασία 4. Λύστε την εξίσωση
x^2+x-6=0 .
Λύση: Σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν μικροί συντελεστές για το x, καλό είναι να εφαρμοστεί το θεώρημα του Vieta. Από την κατάστασή του παίρνουμε δύο εξισώσεις
Από τη δεύτερη συνθήκη βρίσκουμε ότι το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο με -6. Αυτό σημαίνει ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Έχουμε το παρακάτω πιθανό ζεύγος λύσεων (-3;2), (3;-2) . Λαμβάνοντας υπόψη την πρώτη συνθήκη, απορρίπτουμε το δεύτερο ζεύγος λύσεων.
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες
Πρόβλημα 5. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου αν η περίμετρός του είναι 18 cm και το εμβαδόν του είναι 77 cm 2.
Λύση: Η μισή περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι ίση με το άθροισμα των διπλανών πλευρών του. Ας συμβολίσουμε το x ως τη μεγαλύτερη πλευρά, τότε το 18-x είναι η μικρότερη πλευρά του. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των μηκών:
x(18-x)=77;
ή
x 2 -18x+77=0.
Ας βρούμε τη διάκριση της εξίσωσης
Υπολογισμός των ριζών της εξίσωσης 
Αν x=11,Οτι 18 = 7,ισχύει και το αντίθετο (αν x=7, τότε 21's=9).
Πρόβλημα 6. Υπολογίστε την τετραγωνική εξίσωση 10x 2 -11x+3=0.
Λύση: Ας υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης, για να το κάνουμε αυτό βρίσκουμε το διαχωριστικό 
Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον ριζικό τύπο και υπολογίζουμε 
Εφαρμόζουμε τον τύπο για την αποσύνθεση μιας τετραγωνικής εξίσωσης κατά ρίζες 
Ανοίγοντας τις αγκύλες παίρνουμε μια ταυτότητα.
Τετραγωνική εξίσωση με παράμετρο
Παράδειγμα 1. Σε ποιες τιμές παραμέτρων ΕΝΑ ,η εξίσωση (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 έχει μία ρίζα;
Λύση: Με άμεση αντικατάσταση της τιμής a=3 βλέπουμε ότι δεν έχει λύση. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι με μηδενική διάκριση η εξίσωση έχει μία ρίζα πολλαπλότητας 2. Ας γράψουμε τη διάκριση 
Ας το απλοποιήσουμε και ας το εξισώσουμε με το μηδέν
Έχουμε λάβει μια τετραγωνική εξίσωση ως προς την παράμετρο a, η λύση της οποίας μπορεί να ληφθεί εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο τους είναι 12. Με απλή αναζήτηση διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί 3,4 θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Εφόσον έχουμε ήδη απορρίψει τη λύση a=3 στην αρχή των υπολογισμών, η μόνη σωστή θα είναι - a=4.Έτσι, όταν a=4 η εξίσωση έχει μία ρίζα.
Παράδειγμα 2. Σε ποιες τιμές παραμέτρων ΕΝΑ ,την εξίσωση a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0έχει περισσότερες από μία ρίζες;
Λύση: Ας εξετάσουμε πρώτα τα μοναδικά σημεία, θα είναι οι τιμές a=0 και a=-3. Όταν a=0, η εξίσωση θα απλοποιηθεί στη μορφή 6x-9=0. x=3/2 και θα υπάρχει μία ρίζα. Για a= -3 λαμβάνουμε την ταυτότητα 0=0.
Ας υπολογίσουμε τη διάκριση 
και βρείτε την τιμή του a στην οποία είναι θετική 
Από την πρώτη συνθήκη παίρνουμε a>3. Για το δεύτερο, βρίσκουμε τη διάκριση και τις ρίζες της εξίσωσης 
Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές. Αντικαθιστώντας το σημείο a=0 παίρνουμε 3>0
.
Έτσι, εκτός του διαστήματος (-3;1/3) η συνάρτηση είναι αρνητική. Μην ξεχνάτε την ουσία a=0,το οποίο θα πρέπει να εξαιρεθεί επειδή η αρχική εξίσωση έχει μία ρίζα σε αυτήν.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο διαστήματα που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος 
Θα υπάρχουν πολλές παρόμοιες εργασίες στην πράξη, προσπαθήστε να καταλάβετε μόνοι σας τις εργασίες και μην ξεχάσετε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες που αλληλοαποκλείονται. Μελετήστε καλά τους τύπους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που χρειάζονται συχνά σε υπολογισμούς σε διάφορα προβλήματα και επιστήμες.