Τα πολυώνυμα παραγοντοποίησης είναι ένας μετασχηματισμός ταυτότητας, ως αποτέλεσμα του οποίου ένα πολυώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο πολλών παραγόντων - πολυωνύμων ή μονοωνύμων.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι παραγοντοποίησης πολυωνύμων.
Μέθοδος 1. Αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Αυτός ο μετασχηματισμός βασίζεται στον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού: ac + bc = c(a + b). Η ουσία του μετασχηματισμού είναι να απομονωθεί ο κοινός παράγοντας στις δύο υπό εξέταση συνιστώσες και να τον «βγάλει» από αγκύλες.
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο 28x 3 – 35x 4.
Λύση.
1. Βρείτε τα στοιχεία 28x3 και 35x4 κοινός διαιρέτης. Για 28 και 35 θα είναι 7? για x 3 και x 4 – x 3. Με άλλα λόγια, ο κοινός μας παράγοντας είναι 7x3.
2. Αντιπροσωπεύουμε καθένα από τα στοιχεία ως προϊόν παραγόντων, ένας από τους οποίους
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Μέθοδος 2. Χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. Η «κυριότητα» της χρήσης αυτής της μεθόδου είναι να παρατηρήσετε έναν από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού στην έκφραση.
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 6 – 1.
Λύση.
1. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων σε αυτήν την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε το x 6 ως (x 3) 2 και το 1 ως 1 2, δηλ. 1. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων στην παράσταση που προκύπτει:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Ετσι,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Μέθοδος 3. Ομαδοποίηση. Η μέθοδος ομαδοποίησης είναι ο συνδυασμός των συνιστωσών ενός πολυωνύμου με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι εύκολο να εκτελεστούν πράξεις σε αυτά (πρόσθεση, αφαίρεση, αφαίρεση κοινού παράγοντα).
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Λύση.
1. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά με αυτόν τον τρόπο: το 1ο με το 2ο και το 3ο με το 4ο
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Στην παράσταση που προκύπτει, βγάζουμε τους κοινούς παράγοντες από αγκύλες: x 2 στην πρώτη περίπτωση και 5 στη δεύτερη.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x – 3 από αγκύλες και παίρνουμε:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Ετσι,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Ας εξασφαλίσουμε το υλικό.
Συντελεστής το πολυώνυμο a 2 – 7ab + 12b 2 .
Λύση.
1. Ας παραστήσουμε το μονώνυμο 7ab ως άθροισμα 3ab + 4ab. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας πάρουμε:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά του πολυωνύμου με αυτόν τον τρόπο: 1ος με 2ο και 3ος με 4ο. Παίρνουμε:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Ας βγάλουμε από αγκύλες τον κοινό παράγοντα (a – 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Ετσι,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.
Τα πολυώνυμα παραγοντοποίησης είναι ένας μετασχηματισμός ταυτότητας, ως αποτέλεσμα του οποίου ένα πολυώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο πολλών παραγόντων - πολυωνύμων ή μονοωνύμων.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι παραγοντοποίησης πολυωνύμων.
Μέθοδος 1. Αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Αυτός ο μετασχηματισμός βασίζεται στον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού: ac + bc = c(a + b). Η ουσία του μετασχηματισμού είναι να απομονωθεί ο κοινός παράγοντας στις δύο υπό εξέταση συνιστώσες και να τον «βγάλει» από αγκύλες.
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο 28x 3 – 35x 4.
Λύση.
1. Βρείτε έναν κοινό διαιρέτη για τα στοιχεία 28x3 και 35x4. Για 28 και 35 θα είναι 7? για x 3 και x 4 – x 3. Με άλλα λόγια, ο κοινός μας παράγοντας είναι 7x3.
2. Αντιπροσωπεύουμε καθένα από τα στοιχεία ως προϊόν παραγόντων, ένας από τους οποίους
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Μέθοδος 2. Χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. Η «κυριότητα» της χρήσης αυτής της μεθόδου είναι να παρατηρήσετε έναν από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού στην έκφραση.
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 6 – 1.
Λύση.
1. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων σε αυτήν την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε το x 6 ως (x 3) 2 και το 1 ως 1 2, δηλ. 1. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων στην παράσταση που προκύπτει:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Ετσι,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Μέθοδος 3. Ομαδοποίηση. Η μέθοδος ομαδοποίησης είναι ο συνδυασμός των συνιστωσών ενός πολυωνύμου με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι εύκολο να εκτελεστούν πράξεις σε αυτά (πρόσθεση, αφαίρεση, αφαίρεση κοινού παράγοντα).
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Λύση.
1. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά με αυτόν τον τρόπο: το 1ο με το 2ο και το 3ο με το 4ο
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Στην παράσταση που προκύπτει, βγάζουμε τους κοινούς παράγοντες από αγκύλες: x 2 στην πρώτη περίπτωση και 5 στη δεύτερη.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x – 3 από αγκύλες και παίρνουμε:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Ετσι,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Ας εξασφαλίσουμε το υλικό.
Συντελεστής το πολυώνυμο a 2 – 7ab + 12b 2 .
Λύση.
1. Ας παραστήσουμε το μονώνυμο 7ab ως άθροισμα 3ab + 4ab. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας πάρουμε:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά του πολυωνύμου με αυτόν τον τρόπο: 1ος με 2ο και 3ος με 4ο. Παίρνουμε:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Ας βγάλουμε από αγκύλες τον κοινό παράγοντα (a – 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Ετσι,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση που αποτελείται από το άθροισμα μονοωνύμων. Τα τελευταία είναι το γινόμενο μιας σταθεράς (αριθμός) και της ρίζας (ή ρίζες) της έκφρασης στη δύναμη του k. Στην περίπτωση αυτή, μιλάμε για πολυώνυμο βαθμού k. Η επέκταση ενός πολυωνύμου περιλαμβάνει έναν μετασχηματισμό της έκφρασης στην οποία οι όροι αντικαθίστανται από παράγοντες. Ας εξετάσουμε τους κύριους τρόπους πραγματοποίησης αυτού του είδους μετασχηματισμού.
Μέθοδος επέκτασης πολυωνύμου με απομόνωση κοινού παράγοντα
Αυτή η μέθοδος βασίζεται στους νόμους του νόμου διανομής. Άρα, mn + mk = m * (n + k).
- Παράδειγμα:επέκταση 7y 2 + 2uy και 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Ωστόσο, ο παράγοντας που υπάρχει αναγκαστικά σε κάθε πολυώνυμο μπορεί να μην βρίσκεται πάντα, επομένως αυτή τη μέθοδοδεν είναι καθολική.
Πολυωνυμική μέθοδος επέκτασης που βασίζεται σε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού ισχύουν για πολυώνυμα οποιουδήποτε βαθμού. ΣΕ γενική εικόναΗ έκφραση μετατροπής μοιάζει με αυτό:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), όπου k είναι αντιπρόσωπος του φυσικοί αριθμοί.
Οι τύποι που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην πράξη είναι για πολυώνυμα δεύτερης και τρίτης τάξης:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Παράδειγμα:επέκταση 25p 2 – 144b 2 και 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Μέθοδος πολυωνυμικής επέκτασης - ομαδοποίηση όρων μιας έκφρασης
Αυτή η μέθοδος κατά κάποιο τρόπο έχει κάτι κοινό με την τεχνική εξαγωγής του κοινού παράγοντα, αλλά έχει κάποιες διαφορές. Συγκεκριμένα, πριν απομονωθεί ένας κοινός παράγοντας, τα μονώνυμα θα πρέπει να ομαδοποιηθούν. Η ομαδοποίηση βασίζεται στους κανόνες συνδυαστικών και μετατροπικών νόμων.
Όλα τα μονώνυμα που παρουσιάζονται στην έκφραση χωρίζονται σε ομάδες, σε καθεμία από τις οποίες γενική σημασίαέτσι ώστε ο δεύτερος παράγοντας να είναι ίδιος σε όλες τις ομάδες. Γενικά, αυτή η μέθοδος αποσύνθεσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως η έκφραση:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Παράδειγμα:απλωμένο 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Μέθοδος πολυωνυμικής διαστολής - σχηματισμός τέλειου τετραγώνου
Αυτή η μέθοδος είναι μια από τις πιο αποτελεσματικές στην επέκταση ενός πολυωνύμου. Στο αρχικό στάδιο, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν μονώνυμα που μπορούν να «συμπέσει» στο τετράγωνο της διαφοράς ή του αθροίσματος. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε μία από τις σχέσεις:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,
- Παράδειγμα:επεκτείνετε την έκφραση u 4 + 4u 2 – 1.
Από τα μονοώνυμα του επιλέγουμε τους όρους που σχηματίζουν πλήρες τετράγωνο: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Ολοκληρώστε τον μετασχηματισμό χρησιμοποιώντας τους συντομευμένους κανόνες πολλαπλασιασμού: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Οτι. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Για να παραγοντοποιήσουμε, είναι απαραίτητο να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις. Αυτό είναι απαραίτητο για να μπορεί να μειωθεί περαιτέρω. Η επέκταση ενός πολυωνύμου έχει νόημα όταν ο βαθμός του δεν είναι μικρότερος από δύο. Ένα πολυώνυμο με τον πρώτο βαθμό ονομάζεται γραμμικό.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Το άρθρο θα καλύψει όλες τις έννοιες της αποσύνθεσης, θεωρητική βάσηκαι μέθοδοι παραγοντοποίησης ενός πολυωνύμου.
Θεωρία
Θεώρημα 1Όταν οποιοδήποτε πολυώνυμο με βαθμό n, που έχει τη μορφή P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, αντιπροσωπεύονται ως γινόμενο με σταθερό παράγοντα με τον υψηλότερο βαθμό a n και n γραμμικούς συντελεστές (x - x i), i = 1, 2, ..., n, μετά P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , όπου x i, i = 1, 2, …, n είναι οι ρίζες του πολυωνύμου.
Το θεώρημα προορίζεται για ρίζες μιγαδικού τύπου x i, i = 1, 2, …, n και για μιγαδικούς συντελεστές a k, k = 0, 1, 2, …, n. Αυτή είναι η βάση οποιασδήποτε αποσύνθεσης.
Όταν οι συντελεστές της μορφής a k, k = 0, 1, 2, …, n είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε οι μιγαδικές ρίζες που θα εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη. Για παράδειγμα, οι ρίζες x 1 και x 2 σχετίζονται με ένα πολυώνυμο της μορφής P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 θεωρούνται μιγαδικές συζυγείς, τότε οι άλλες ρίζες είναι πραγματικές, από τις οποίες προκύπτει ότι το πολυώνυμο παίρνει τη μορφή P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, όπου x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Σχόλιο
Οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να επαναληφθούν. Ας εξετάσουμε την απόδειξη του θεωρήματος της άλγεβρας, συνέπεια του θεωρήματος του Bezout.
Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας
Θεώρημα 2Κάθε πολυώνυμο με βαθμό n έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
Το θεώρημα του Bezout
Μετά τη διαίρεση ενός πολυωνύμου της μορφής P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s), τότε παίρνουμε το υπόλοιπο, που είναι ίσο με το πολυώνυμο στο σημείο s, τότε παίρνουμε
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , όπου Q n - 1 (x) είναι ένα πολυώνυμο με βαθμό n - 1.
Συμπέρασμα στο θεώρημα του Bezout
Όταν η ρίζα του πολυωνύμου P n (x) θεωρείται s, τότε P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Αυτό το συμπέρασμα είναι αρκετό όταν χρησιμοποιείται για την περιγραφή της λύσης.
Παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου
Ένα τετράγωνο τριώνυμο της μορφής a x 2 + b x + c μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γραμμικούς παράγοντες. τότε παίρνουμε ότι a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , όπου x 1 και x 2 είναι ρίζες (σύνθετες ή πραγματικές).
Από αυτό είναι σαφές ότι η ίδια η επέκταση μειώνεται στη λύση τετραγωνική εξίσωσηακολούθως.
Παράδειγμα 1
Συντελεστής το τετραγωνικό τριώνυμο.
Λύση
Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε την τιμή του διαχωριστή χρησιμοποιώντας τον τύπο και, στη συνέχεια, παίρνουμε D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Από εδώ το έχουμε
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Από αυτό παίρνουμε ότι 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Για να εκτελέσετε τον έλεγχο, πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις. Τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Αφού ελέγξουμε, φτάνουμε στην αρχική έκφραση. Δηλαδή, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αποσύνθεση έγινε σωστά.
Παράδειγμα 2
Συντελεστής το τετραγωνικό τριώνυμο της μορφής 3 x 2 - 7 x - 11 .
Λύση
Διαπιστώνουμε ότι είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε την προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση της μορφής 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Για να βρείτε τις ρίζες, πρέπει να προσδιορίσετε την τιμή του διαχωριστή. Το καταλαβαίνουμε
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Από αυτό παίρνουμε ότι 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Παράδειγμα 3
Συντελεστής το πολυώνυμο 2 x 2 + 1.
Λύση
Τώρα πρέπει να λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 + 1 = 0 και να βρούμε τις ρίζες της. Το καταλαβαίνουμε
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Αυτές οι ρίζες ονομάζονται σύνθετες συζυγείς, που σημαίνει ότι η ίδια η επέκταση μπορεί να απεικονιστεί ως 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Παράδειγμα 4
Διασπάστε το τετραγωνικό τριώνυμο x 2 + 1 3 x + 1 .
Λύση
Πρώτα πρέπει να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής x 2 + 1 3 x + 1 = 0 και να βρείτε τις ρίζες της.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Έχοντας αποκτήσει τις ρίζες, γράφουμε
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Σχόλιο
Εάν η τιμή διάκρισης είναι αρνητική, τότε τα πολυώνυμα θα παραμείνουν πολυώνυμα δεύτερης τάξης. Από αυτό προκύπτει ότι δεν θα τους επεκτείνουμε σε γραμμικούς παράγοντες.
Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμου βαθμού μεγαλύτερου από δύο
Κατά την αποσύνθεση, θεωρείται μια καθολική μέθοδος. Οι περισσότερες περιπτώσεις βασίζονται σε μια απόρροια του θεωρήματος του Bezout. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επιλέξετε την τιμή της ρίζας x 1 και να μειώσετε το βαθμό της διαιρώντας με ένα πολυώνυμο με 1 διαιρώντας με (x - x 1). Το πολυώνυμο που προκύπτει πρέπει να βρει τη ρίζα x 2 και η διαδικασία αναζήτησης είναι κυκλική μέχρι να λάβουμε μια πλήρη επέκταση.
Εάν δεν βρεθεί η ρίζα, τότε χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι παραγοντοποίησης: ομαδοποίηση, πρόσθετοι όροι. Αυτό το θέμα περιλαμβάνει την επίλυση εξισώσεων με υψηλότερους βαθμούςκαι ακέραιους συντελεστές.
Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων
Θεωρήστε την περίπτωση που ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με μηδέν, τότε η μορφή του πολυωνύμου γίνεται P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Μπορεί να φανεί ότι η ρίζα ενός τέτοιου πολυωνύμου θα είναι ίση με x 1 = 0, τότε το πολυώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως η έκφραση P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Αυτή η μέθοδος θεωρείται ότι αφαιρεί τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Παράδειγμα 5
Συντελεστής το πολυώνυμο τρίτου βαθμού 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Λύση
Βλέπουμε ότι x 1 = 0 είναι η ρίζα του δεδομένου πολυωνύμου, τότε μπορούμε να αφαιρέσουμε το x από τις αγκύλες ολόκληρης της παράστασης. Παίρνουμε:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Ας προχωρήσουμε στην εύρεση των ριζών του τετραγωνικού τριωνύμου 4 x 2 + 8 x - 1. Ας βρούμε τη διάκριση και τις ρίζες:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Τότε προκύπτει ότι
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Αρχικά, ας λάβουμε υπόψη μια μέθοδο αποσύνθεσης που περιέχει ακέραιους συντελεστές της μορφής P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, όπου ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού είναι 1.
Όταν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε θεωρούνται διαιρέτες του ελεύθερου όρου.
Παράδειγμα 6
Να αποσυνθέσετε την παράσταση f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Λύση
Ας εξετάσουμε αν υπάρχουν πλήρεις ρίζες. Είναι απαραίτητο να γράψετε τους διαιρέτες του αριθμού - 18. Παίρνουμε ότι ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Από αυτό προκύπτει ότι αυτό το πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες. Μπορείτε να ελέγξετε χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner. Είναι πολύ βολικό και σας επιτρέπει να αποκτήσετε γρήγορα τους συντελεστές διαστολής ενός πολυωνύμου:
Από αυτό προκύπτει ότι x = 2 και x = - 3 είναι οι ρίζες του αρχικού πολυωνύμου, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο της μορφής:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Προχωράμε στην επέκταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου της μορφής x 2 + 2 x + 3.
Εφόσον η διάκριση είναι αρνητική, σημαίνει ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Απάντηση: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Σχόλιο
Επιτρέπεται η χρήση επιλογής ρίζας και διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο αντί του σχήματος του Horner. Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της επέκτασης ενός πολυωνύμου που περιέχει ακέραιους συντελεστές της μορφής P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , το υψηλότερο από τα οποία είναι ίσο με ένα.
Αυτή η περίπτωση εμφανίζεται για λογικά κλάσματα.
Παράδειγμα 7
Παραγοντοποιήστε f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Λύση
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τη μεταβλητή y = 2 x, θα πρέπει να προχωρήσετε σε ένα πολυώνυμο με συντελεστές ίσους με 1 στον υψηλότερο βαθμό. Πρέπει να ξεκινήσετε πολλαπλασιάζοντας την έκφραση με 4. Το καταλαβαίνουμε
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Όταν η προκύπτουσα συνάρτηση της μορφής g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 έχει ακέραιες ρίζες, τότε η θέση τους είναι μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Η καταχώρηση θα μοιάζει με:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό της συνάρτησης g (y) σε αυτά τα σημεία για να πάρουμε το μηδέν ως αποτέλεσμα. Το καταλαβαίνουμε
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Διαπιστώνουμε ότι το y = - 5 είναι η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, που σημαίνει ότι x = y 2 = - 5 2 είναι η ρίζα της αρχικής συνάρτησης.
Παράδειγμα 8
Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε με μια στήλη 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 με x + 5 2.
Λύση
Ας το γράψουμε και ας πάρουμε:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Ο έλεγχος των διαιρετών θα πάρει πολύ χρόνο, επομένως είναι πιο κερδοφόρο να παραγοντοποιήσετε το προκύπτον τετραγωνικό τριώνυμο της μορφής x 2 + 7 x + 3. Εξισώνοντας με το μηδέν βρίσκουμε τη διάκριση.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Από αυτό προκύπτει ότι
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Τεχνητές τεχνικές παραγοντοποίησης πολυωνύμου
Οι ορθολογικές ρίζες δεν είναι εγγενείς σε όλα τα πολυώνυμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ειδικές μεθόδους για να βρείτε παράγοντες. Αλλά δεν μπορούν όλα τα πολυώνυμα να επεκταθούν ή να αναπαρασταθούν ως γινόμενο.
Μέθοδος ομαδοποίησης
Υπάρχουν περιπτώσεις που μπορείτε να ομαδοποιήσετε τους όρους ενός πολυωνύμου για να βρείτε έναν κοινό παράγοντα και να τον βάλετε εκτός παρενθέσεων.
Παράδειγμα 9
Συντελεστής το πολυώνυμο x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Λύση
Επειδή οι συντελεστές είναι ακέραιοι, τότε οι ρίζες μπορεί πιθανώς να είναι και ακέραιοι. Για έλεγχο, πάρτε τις τιμές 1, - 1, 2 και - 2 για να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου σε αυτά τα σημεία. Το καταλαβαίνουμε
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Αυτό δείχνει ότι δεν υπάρχουν ρίζες είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί άλλη μέθοδος επέκτασης και λύσης.
Είναι απαραίτητο να ομαδοποιηθούν:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Αφού ομαδοποιήσετε το αρχικό πολυώνυμο, είναι απαραίτητο να το αναπαραστήσετε ως γινόμενο δύο τετράγωνα τριώνυμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να παραγοντοποιήσουμε. το καταλαβαίνουμε
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Σχόλιο
Η απλότητα της ομαδοποίησης δεν σημαίνει ότι η επιλογή όρων είναι αρκετά εύκολη. Δεν υπάρχει συγκεκριμένη μέθοδος επίλυσης, επομένως είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν ειδικά θεωρήματα και κανόνες.
Παράδειγμα 10
Συντελεστής το πολυώνυμο x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Λύση
Το δεδομένο πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες. Οι όροι πρέπει να ομαδοποιηθούν. Το καταλαβαίνουμε
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Μετά την παραγοντοποίηση παίρνουμε ότι
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού και διωνύμου του Νεύτωνα για τον παράγοντα ενός πολυωνύμου
Η εμφάνιση συχνά δεν καθιστά σαφές ποια μέθοδος πρέπει να χρησιμοποιηθεί κατά την αποσύνθεση. Αφού γίνουν οι μετασχηματισμοί, μπορείτε να δημιουργήσετε μια γραμμή που αποτελείται από το τρίγωνο του Πασκάλ, διαφορετικά ονομάζονται διώνυμο του Νεύτωνα.
Παράδειγμα 11
Συντελεστής το πολυώνυμο x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Λύση
Είναι απαραίτητο να μετατρέψετε την έκφραση στη μορφή
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Η ακολουθία των συντελεστών του αθροίσματος σε παρένθεση υποδεικνύεται με την έκφραση x + 1 4 .
Αυτό σημαίνει ότι έχουμε x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Αφού εφαρμόσουμε τη διαφορά των τετραγώνων, παίρνουμε
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Εξετάστε την έκφραση που βρίσκεται στη δεύτερη αγκύλη. Είναι σαφές ότι δεν υπάρχουν ιππότες εκεί, οπότε θα πρέπει να εφαρμόσουμε ξανά τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων. Παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Παράδειγμα 12
Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Λύση
Ας αρχίσουμε να μεταμορφώνουμε την έκφραση. Το καταλαβαίνουμε
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο τύπος για συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των κύβων. Παίρνουμε:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Μια μέθοδος για την αντικατάσταση μιας μεταβλητής κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου
Κατά την αντικατάσταση μιας μεταβλητής, ο βαθμός μειώνεται και το πολυώνυμο συνυπολογίζεται.
Παράδειγμα 13
Συντελεστής το πολυώνυμο της μορφής x 6 + 5 x 3 + 6 .
Λύση
Σύμφωνα με την προϋπόθεση, είναι σαφές ότι είναι απαραίτητο να γίνει η αντικατάσταση y = x 3. Παίρνουμε:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης που προκύπτει είναι y = - 2 και y = - 3, τότε
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο τύπος για συντομευμένο πολλαπλασιασμό του αθροίσματος των κύβων. Παίρνουμε εκφράσεις της φόρμας:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Δηλαδή, αποκτήσαμε την επιθυμητή αποσύνθεση.
Οι περιπτώσεις που συζητήθηκαν παραπάνω θα βοηθήσουν στην εξέταση και την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου με διαφορετικούς τρόπους.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.