Στα μαθηματικά, μια από τις παραμέτρους που περιγράφει τη θέση μιας ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο συντεταγμένων είναι ο γωνιακός συντελεστής αυτής της ευθείας. Αυτή η παράμετρος χαρακτηρίζει την κλίση της ευθείας προς τον άξονα της τετμημένης. Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την κλίση, θυμηθείτε πρώτα τη γενική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής στο σύστημα συντεταγμένων XY.

Γενικά, οποιαδήποτε γραμμή μπορεί να αναπαρασταθεί με την παράσταση ax+by=c, όπου τα a, b και c είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί, αλλά a 2 + b 2 ≠ 0.

Χρησιμοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς, μια τέτοια εξίσωση μπορεί να φέρει τη μορφή y=kx+d, στην οποία οι k και d είναι πραγματικοί αριθμοί. Ο αριθμός k είναι κλίση, και η εξίσωση μιας ευθείας αυτού του τύπου ονομάζεται εξίσωση με γωνιακό συντελεστή. Αποδεικνύεται ότι για να βρείτε την κλίση, πρέπει απλώς να μειώσετε την αρχική εξίσωση στη μορφή που υποδεικνύεται παραπάνω. Για πληρέστερη κατανόηση, εξετάστε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

Πρόβλημα: Βρείτε την κλίση της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση 36x - 18y = 108

Λύση: Ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση.

Απάντηση: Η απαιτούμενη κλίση αυτής της γραμμής είναι 2.

Αν κατά τον μετασχηματισμό της εξίσωσης λάβαμε μια παράσταση όπως x = const και ως αποτέλεσμα δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε το y ως συνάρτηση του x, τότε έχουμε να κάνουμε με μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Χ μια ευθεία είναι ίση με το άπειρο.

Για ευθείες που εκφράζονται με μια εξίσωση όπως y = const, η κλίση είναι μηδέν. Αυτό είναι χαρακτηριστικό για ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα της τετμημένης. Για παράδειγμα:

Πρόβλημα: Βρείτε την κλίση της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Λύση: Ας μειώσουμε την αρχική εξίσωση σε γενική εμφάνιση

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Είναι αδύνατο να εκφράσουμε το y από την προκύπτουσα έκφραση, επομένως ο γωνιακός συντελεστής αυτής της ευθείας είναι ίσος με το άπειρο και η ίδια η ευθεία θα είναι παράλληλη προς τον άξονα Υ.

Γεωμετρική σημασία

Για καλύτερη κατανόησηΑς δούμε την εικόνα:

Στο σχήμα βλέπουμε μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης όπως y = kx. Για απλοποίηση, ας πάρουμε τον συντελεστή c = 0. Στο τρίγωνο ΟΑΒ, ο λόγος της πλευράς ΒΑ προς ΑΟ θα είναι ίσος με τον γωνιακό συντελεστή k. Ταυτόχρονα, ο λόγος VA/AO είναι η εφαπτομένη οξεία γωνίαα σε ορθογώνιο τρίγωνο OAV. Αποδεικνύεται ότι ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας που κάνει αυτή η ευθεία με τον άξονα της τετμημένης του πλέγματος συντεταγμένων.

Επιλύοντας το πρόβλημα του τρόπου εύρεσης του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας γραμμής, βρίσκουμε την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ αυτής και του άξονα Χ του πλέγματος συντεταγμένων. Οριακές περιπτώσεις, όταν η εν λόγω ευθεία είναι παράλληλη με τους άξονες συντεταγμένων, επιβεβαιώστε τα παραπάνω. Πράγματι, για μια ευθεία που περιγράφεται από την εξίσωση y=const, η γωνία μεταξύ αυτής και του άξονα της τετμημένης είναι μηδέν. Η εφαπτομένη της μηδενικής γωνίας είναι επίσης μηδέν και η κλίση είναι επίσης μηδέν.

Για ευθείες γραμμές που είναι κάθετες στον άξονα x και περιγράφονται με την εξίσωση x=const, η γωνία μεταξύ αυτών και του άξονα Χ είναι 90 μοίρες. Εφαπτομένη γραμμή ορθή γωνίαισούται με το άπειρο και ο γωνιακός συντελεστής παρόμοιων ευθειών είναι επίσης ίσος με το άπειρο, γεγονός που επιβεβαιώνει αυτό που γράφτηκε παραπάνω.

Εφαπτομένη κλίση

Μια κοινή εργασία που συναντάται συχνά στην πράξη είναι επίσης να βρεθεί η κλίση μιας εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο. Μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή, επομένως η έννοια της κλίσης είναι επίσης εφαρμόσιμη σε αυτήν.

Για να καταλάβουμε πώς να βρούμε την κλίση μιας εφαπτομένης, θα χρειαστεί να θυμηθούμε την έννοια της παραγώγου. Η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο είναι μια σταθερά αριθμητικά ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ της εφαπτομένης στο καθορισμένο σημείο στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης και του άξονα της τετμημένης. Αποδεικνύεται ότι για να προσδιορίσουμε τον γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης στο σημείο x 0, πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παραγώγου της αρχικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο k = f"(x 0). Ας δούμε το παράδειγμα:

Πρόβλημα: Βρείτε την κλίση της ευθείας που εφάπτεται στη συνάρτηση y = 12x 2 + 2xe x στο x = 0,1.

Λύση: Να βρείτε την παράγωγο της αρχικής συνάρτησης σε γενική μορφή

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Απάντηση: Η απαιτούμενη κλίση στο σημείο x = 0,1 είναι 4,831

Στο προηγούμενο κεφάλαιο δείχθηκε ότι επιλέγοντας ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, μπορούμε γεωμετρικές ιδιότητες, που χαρακτηρίζει τα σημεία της ευθείας που εξετάζουμε, εκφράζεται αναλυτικά με μια εξίσωση μεταξύ των τρεχουσών συντεταγμένων. Έτσι παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας. Αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσει τις ευθείες εξισώσεις.

Για να δημιουργήσετε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή σε καρτεσιανές συντεταγμένες, πρέπει να ορίσετε με κάποιο τρόπο τις συνθήκες που καθορίζουν τη θέση της σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.

Αρχικά, θα εισαγάγουμε την έννοια του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας, που είναι ένα από τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη θέση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο.

Ας ονομάσουμε γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox τη γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί ο άξονας Ox ώστε να συμπίπτει με τη δεδομένη ευθεία (ή να είναι παράλληλη με αυτήν). Ως συνήθως, θα εξετάσουμε τη γωνία λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο (το πρόσημο καθορίζεται από την κατεύθυνση περιστροφής: αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα). Δεδομένου ότι μια πρόσθετη περιστροφή του άξονα Ox μέσω γωνίας 180° θα τον ευθυγραμμίσει και πάλι με την ευθεία γραμμή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα δεν μπορεί να επιλεγεί με σαφήνεια (σε έναν όρο, πολλαπλάσιο του ).

Η εφαπτομένη αυτής της γωνίας καθορίζεται μοναδικά (αφού η αλλαγή της γωνίας δεν αλλάζει την εφαπτομένη της).

Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα Ox ονομάζεται γωνιακός συντελεστής της ευθείας.

Ο γωνιακός συντελεστής χαρακτηρίζει την κατεύθυνση της ευθείας (δεν διακρίνουμε εδώ δύο αμοιβαία αντίθετες κατευθύνσεις της ευθείας). Αν η κλίση μιας ευθείας είναι μηδέν, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Με θετικό γωνιακό συντελεστή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι οξεία (θεωρούμε εδώ τη μικρότερη θετική τιμή της γωνίας κλίσης) (Εικ. 39). Επιπλέον, όσο μεγαλύτερος είναι ο γωνιακός συντελεστής, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης του προς τον άξονα Ox. Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι αρνητικός, τότε η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι αμβλεία (Εικ. 40). Σημειώστε ότι μια ευθεία κάθετη στον άξονα Ox δεν έχει γωνιακό συντελεστή (η εφαπτομένη της γωνίας δεν υπάρχει).

Συνέχεια του θέματος, η εξίσωση ευθείας σε επίπεδο βασίζεται στη μελέτη ευθείας από μαθήματα άλγεβρας. Αυτό το άρθρο παρέχει γενικές πληροφορίες σχετικά με το θέμα της εξίσωσης ευθείας γραμμής με κλίση. Ας εξετάσουμε τους ορισμούς, ας πάρουμε την ίδια την εξίσωση και ας προσδιορίσουμε τη σύνδεση με άλλους τύπους εξισώσεων. Όλα θα συζητηθούν χρησιμοποιώντας παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πριν γράψουμε μια τέτοια εξίσωση, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x με τον γωνιακό συντελεστή τους. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x στο επίπεδο.

Ορισμός 1

Η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x,που βρίσκεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x y στο επίπεδο, αυτή είναι η γωνία που μετράται από τη θετική κατεύθυνση O x προς την ευθεία αριστερόστροφα.

Όταν η ευθεία είναι παράλληλη προς το O x ή συμπίπτει σε αυτήν, η γωνία κλίσης είναι 0. Τότε η γωνία κλίσης της δεδομένης ευθείας α προσδιορίζεται στο διάστημα [ 0 , π) .

Ορισμός 2

Άμεση κλίσηείναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μιας δεδομένης ευθείας.

Η τυπική ονομασία είναι k. Από τον ορισμό βρίσκουμε ότι k = t g α . Όταν η ευθεία είναι παράλληλη με το Ox, λένε ότι η κλίση δεν υπάρχει, αφού πηγαίνει στο άπειρο.

Η κλίση είναι θετική όταν αυξάνεται το γράφημα της συνάρτησης και αντίστροφα. Το σχήμα δείχνει διάφορες παραλλαγές στη θέση της ορθής γωνίας σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων με την τιμή του συντελεστή.

Για να βρεθεί αυτή η γωνία, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο ορισμός του γωνιακού συντελεστή και να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης στο επίπεδο.

Λύση

Από την συνθήκη έχουμε ότι α = 120°. Εξ ορισμού, η κλίση πρέπει να υπολογιστεί. Ας το βρούμε από τον τύπο k = t g α = 120 = - 3.

Απάντηση: k = - 3 .

Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι γνωστός και είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία κλίσης ως προς τον άξονα της τετμημένης, τότε θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η τιμή του γωνιακού συντελεστή. Αν k > 0, τότε η ορθή γωνία είναι οξεία και βρίσκεται με τον τύπο α = a r c t g k. Αν κ< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Παράδειγμα 2

Προσδιορίστε τη γωνία κλίσης της δεδομένης ευθείας προς το Ο x με γωνιακό συντελεστή 3.

Λύση

Από την προϋπόθεση ότι ο γωνιακός συντελεστής είναι θετικός, που σημαίνει ότι η γωνία κλίσης προς το Ο x είναι μικρότερη από 90 μοίρες. Οι υπολογισμοί γίνονται χρησιμοποιώντας τον τύπο α = a r c t g k = a r c t g 3.

Απάντηση: α = a r c t g 3 .

Παράδειγμα 3

Βρείτε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x εάν η κλίση = - 1 3.

Λύση

Αν πάρουμε το γράμμα k ως προσδιορισμό του γωνιακού συντελεστή, τότε α είναι η γωνία κλίσης σε μια δεδομένη ευθεία στη θετική κατεύθυνση O x. Επομένως k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Απάντηση: 5 π 6 .

Μια εξίσωση της μορφής y = k x + b, όπου k είναι η κλίση και b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας με κλίση. Η εξίσωση είναι χαρακτηριστική για κάθε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα O y.

Αν εξετάσουμε λεπτομερώς μια ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων, η οποία καθορίζεται από μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή που έχει τη μορφή y = k x + b. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσησημαίνει ότι η εξίσωση αντιστοιχεί στις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας. Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M, M 1 (x 1, y 1) στην εξίσωση y = k x + b, τότε στην περίπτωση αυτή η ευθεία θα περάσει από αυτό το σημείο, διαφορετικά το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία.

Παράδειγμα 4

Δίνεται ευθεία με κλίση y = 1 3 x - 1. Να υπολογίσετε αν τα σημεία M 1 (3, 0) και M 2 (2, - 2) ανήκουν στη δεδομένη ευθεία.

Λύση

Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 1 (3, 0) στη δεδομένη εξίσωση, τότε παίρνουμε 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Η ισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη γραμμή.

Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 2 (2, - 2), τότε παίρνουμε μια εσφαλμένη ισότητα της μορφής - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σημείο Μ 2 δεν ανήκει στην ευθεία.

Απάντηση:Το Μ 1 ανήκει στη γραμμή, αλλά το Μ 2 όχι.

Είναι γνωστό ότι η ευθεία ορίζεται από την εξίσωση y = k · x + b, περνώντας από το M 1 (0, b), κατά την αντικατάσταση λάβαμε μια ισότητα της μορφής b = k · 0 + b ⇔ b = b. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή y = k x + b στο επίπεδο ορίζει μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο 0, β. Σχηματίζει γωνία α με τη θετική φορά του άξονα O x, όπου k = t g α.

Ας εξετάσουμε, ως παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή που ορίζεται χρησιμοποιώντας έναν γωνιακό συντελεστή που καθορίζεται με τη μορφή y = 3 · x - 1. Λαμβάνουμε ότι η ευθεία θα διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένη 0, - 1 με κλίση α = a r c t g 3 = π 3 ακτίνια στη θετική κατεύθυνση του άξονα O x. Αυτό δείχνει ότι ο συντελεστής είναι 3.

Εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

Είναι απαραίτητο να λυθεί ένα πρόβλημα όπου είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1).

Η ισότητα y 1 = k · x + b μπορεί να θεωρηθεί έγκυρη, αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1). Για να αφαιρέσετε τον αριθμό b, πρέπει να αφαιρέσετε την εξίσωση με την κλίση από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Από αυτό προκύπτει ότι y - y 1 = k · (x - x 1) . Αυτή η ισότητα ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση k, που διέρχεται από τις συντεταγμένες του σημείου M 1 (x 1, y 1).

Παράδειγμα 5

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ 1 με συντεταγμένες (4, - 1), με γωνιακό συντελεστή ίσο με -2.

Λύση

Με συνθήκη έχουμε ότι x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Από εδώ η εξίσωση της γραμμής θα γραφτεί ως εξής: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Απάντηση: y = - 2 x + 7 .

Παράδειγμα 6

Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή που διέρχεται από το σημείο Μ 1 με συντεταγμένες (3, 5), παράλληλη στην ευθεία y = 2 x - 2.

Λύση

Σύμφωνα με την συνθήκη, έχουμε ότι οι παράλληλες γραμμές έχουν γωνίες κλίσης που συμπίπτουν, πράγμα που σημαίνει ότι οι γωνιακοί συντελεστές είναι ίσοι. Για να βρείτε την κλίση από αυτή την εξίσωση, πρέπει να θυμάστε τον βασικό τύπο της y = 2 x - 2, προκύπτει ότι k = 2. Συνθέτουμε μια εξίσωση με τον συντελεστή κλίσης και παίρνουμε:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Απάντηση: y = 2 x - 1 .

Μετάβαση από μια εξίσωση ευθείας γραμμής με κλίση σε άλλους τύπους εξισώσεων ευθείας γραμμής και πίσω

Αυτή η εξίσωση δεν είναι πάντα εφαρμόσιμη για την επίλυση προβλημάτων, καθώς δεν είναι πολύ βολική γραμμένη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να το παρουσιάσετε σε διαφορετική μορφή. Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής y = k · x + b δεν μας επιτρέπει να γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής ή τις συντεταγμένες ενός κανονικού διανύσματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθετε να αναπαριστάτε με εξισώσεις διαφορετικού τύπου.

Μπορούμε να λάβουμε την κανονική εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας με συντελεστή γωνίας. Παίρνουμε x - x 1 a x = y - y 1 a y . Είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τον όρο b στην αριστερή πλευρά και να διαιρέσετε με την έκφραση της προκύπτουσας ανισότητας. Τότε παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Η εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή έγινε κανονική εξίσωσηαυτή τη γραμμή.

Παράδειγμα 7

Φέρτε την εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή y = - 3 x + 12 σε κανονική μορφή.

Λύση

Ας το υπολογίσουμε και ας το παρουσιάσουμε με τη μορφή κανονικής εξίσωσης ευθείας γραμμής. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Απάντηση: x 1 = y - 12 - 3.

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας είναι πιο εύκολο να ληφθεί από y = k · x + b, αλλά για αυτό είναι απαραίτητο να γίνουν μετασχηματισμοί: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Γίνεται μια μετάβαση από τη γενική εξίσωση της γραμμής σε εξισώσεις διαφορετικού τύπου.

Παράδειγμα 8

Δίνεται ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής y = 1 7 x - 2 . Βρείτε αν το διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (- 1, 7) είναι κανονικό διάνυσμα γραμμής;

Λύση

Για να λυθεί είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε άλλη μορφή αυτής της εξίσωσης, για αυτό γράφουμε:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Οι συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας. Ας το γράψουμε ως εξής: n → = 1 7, - 1, άρα 1 7 x - y - 2 = 0. Είναι σαφές ότι το διάνυσμα a → = (- 1, 7) είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα n → = 1 7, - 1, αφού έχουμε τη δίκαιη σχέση a → = - 7 · n →. Συνεπάγεται ότι το αρχικό διάνυσμα a → = - 1, 7 είναι ένα κανονικό διάνυσμα της ευθείας 1 7 x - y - 2 = 0, που σημαίνει ότι θεωρείται κανονικό διάνυσμα για την ευθεία y = 1 7 x - 2.

Απάντηση:Είναι

Ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα αυτού.

Είναι απαραίτητο να μετακινηθούμε από τη γενική μορφή της εξίσωσης A x + B y + C = 0, όπου B ≠ 0, σε μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση για το y. Παίρνουμε A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση με κλίση ίση με - A B .

Παράδειγμα 9

Δίνεται ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Λάβετε την εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας με γωνιακό συντελεστή.

Λύση

Με βάση την συνθήκη, είναι απαραίτητο να λυθεί το y, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Απάντηση: y = 1 6 x + 1 4 .

Μια εξίσωση της μορφής x a + y b = 1 λύνεται με παρόμοιο τρόπο, που ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα, ή κανονικού τύπου x - x 1 a x = y - y 1 a y . Πρέπει να το λύσουμε για το y, μόνο τότε παίρνουμε μια εξίσωση με την κλίση:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Η κανονική εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μορφή με γωνιακό συντελεστή. Για αυτό:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Παράδειγμα 10

Υπάρχει μια ευθεία γραμμή που δίνεται από την εξίσωση x 2 + y - 3 = 1. Αναγωγή σε μορφή εξίσωσης με γωνιακό συντελεστή.

Λύση.

Με βάση την συνθήκη, είναι απαραίτητος ο μετασχηματισμός, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής _τύπος_. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με - 3 για να ληφθεί η απαιτούμενη εξίσωση κλίσης. Μεταμορφώνοντας, παίρνουμε:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Απάντηση: y = 3 2 x - 3 .

Παράδειγμα 11

Μειώστε την ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής x - 2 2 = y + 1 5 σε μορφή με γωνιακό συντελεστή.

Λύση

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η έκφραση x - 2 2 = y + 1 5 ως αναλογία. Παίρνουμε ότι 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Τώρα πρέπει να το ενεργοποιήσετε πλήρως, για να το κάνετε αυτό:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Απάντηση: y = 5 2 x - 6 .

Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι παραμετρικές εξισώσεις της γραμμής της μορφής x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ πρέπει να μειωθούν στην κανονική εξίσωση της γραμμής, μόνο μετά από αυτό μπορεί κανείς να προχωρήσει στην εξίσωση με ο συντελεστής κλίσης.

Παράδειγμα 12

Να βρείτε την κλίση της ευθείας αν δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Λύση

Είναι απαραίτητο να γίνει μετάβαση από την παραμετρική θέα στην κλίση. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την κανονική εξίσωση από τη δεδομένη παραμετρική:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Τώρα είναι απαραίτητο να επιλυθεί αυτή η ισότητα ως προς το y για να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή. Για να γίνει αυτό, ας το γράψουμε ως εξής:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Από αυτό προκύπτει ότι η κλίση της γραμμής είναι 2. Αυτό γράφεται ως k = 2.

Απάντηση: k = 2.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ. Κανονικό διάνυσμα

Η ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο είναι από τις πιο απλές γεωμετρικά σχήματα, οικείο σε εσάς από τότε junior classes, και σήμερα θα μάθουμε πώς να το αντιμετωπίζουμε χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της αναλυτικής γεωμετρίας. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, πρέπει να είστε σε θέση να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή. ξέρετε ποια εξίσωση ορίζει μια ευθεία γραμμή, συγκεκριμένα μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων και τις ευθείες γραμμές παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων. Αυτή η πληροφορίαμπορεί να βρεθεί στο εγχειρίδιο Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων, το δημιούργησα για τον Mathan, αλλά η ενότητα σχετικά με τη γραμμική συνάρτηση αποδείχθηκε πολύ επιτυχημένη και λεπτομερής. Γι' αυτό, αγαπητοί τσαγιέρες, ζεσταθείτε πρώτα εκεί. Επιπλέον, πρέπει να έχετε βασικές γνώσεις για φορείς, διαφορετικά η κατανόηση του υλικού θα είναι ελλιπής.

Επί αυτό το μάθημαΘα εξετάσουμε τρόπους με τους οποίους μπορείτε να δημιουργήσετε μια εξίσωση ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Συνιστώ να μην αμελήσετε πρακτικά παραδείγματα (ακόμα και αν φαίνονται πολύ απλά), αφού θα τους παρέχω στοιχειώδη και σημαντικά γεγονότα, τεχνικές μεθόδους, που θα απαιτηθούν στο μέλλον, συμπεριλαμβανομένων και άλλων τμημάτων ανώτερων μαθηματικών.

• Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας;
• Πως ;
• Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και ξεκινάμε:

Εξίσωση ευθείας με κλίση

Η γνωστή «σχολική» μορφή μιας ευθείας εξίσωσης ονομάζεται εξίσωση ευθείας με κλίση. Για παράδειγμα, αν μια ευθεία δίνεται από την εξίσωση, τότε η κλίση της είναι: . Ας σκεφτούμε γεωμετρική σημασίααυτού του συντελεστή και πώς η τιμή του επηρεάζει τη θέση της γραμμής:

Σε ένα μάθημα γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι η κλίση της ευθείας είναι ίση με εφαπτομένη της γωνίαςμεταξύ θετικής κατεύθυνσης άξονακαι αυτή η γραμμή: , και η γωνία «ξεβιδώνει» αριστερόστροφα.

Για να μην ακατασταθεί το σχέδιο, σχεδίασα γωνίες μόνο για δύο ευθείες γραμμές. Ας εξετάσουμε την «κόκκινη» γραμμή και την κλίση της. Σύμφωνα με τα παραπάνω: (η γωνία «άλφα» υποδεικνύεται με πράσινο τόξο). Για τη «μπλε» ευθεία με τον συντελεστή γωνίας, η ισότητα είναι αληθής (η γωνία «βήτα» υποδεικνύεται με ένα καφέ τόξο). Και αν η εφαπτομένη της γωνίας είναι γνωστή, τότε αν χρειαστεί είναι εύκολο να βρεθεί και η ίδια η γωνίαμε τη χρήση αντίστροφη συνάρτηση– τολμηρός. Όπως λένε, ένα τριγωνομετρικό τραπέζι ή μια μικροαριθμομηχανή στα χέρια σας. Ετσι, ο γωνιακός συντελεστής χαρακτηρίζει τον βαθμό κλίσης της ευθείας προς τον άξονα της τετμημένης.

Είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Εάν η κλίση είναι αρνητική: τότε η γραμμή, χονδρικά μιλώντας, πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω. Παραδείγματα είναι οι ευθείες γραμμές "μπλε" και "βατόμουρο" στο σχέδιο.

2) Εάν η κλίση είναι θετική: τότε η γραμμή πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω. Παραδείγματα - "μαύρες" και "κόκκινες" ευθείες γραμμές στο σχέδιο.

3) Αν η κλίση είναι μηδέν: , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή , και η αντίστοιχη ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα. Ένα παράδειγμα είναι η «κίτρινη» ευθεία γραμμή.

4) Για μια οικογένεια γραμμών παράλληλων σε έναν άξονα (δεν υπάρχει παράδειγμα στο σχέδιο, εκτός από τον ίδιο τον άξονα), ο γωνιακός συντελεστής δεν υπάρχει (η εφαπτομένη των 90 μοιρών δεν ορίζεται).

Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής κλίσης σε απόλυτη τιμή, τόσο πιο απότομο γίνεται το ευθύγραμμο γράφημα..

Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο ευθείες γραμμές. Εδώ, λοιπόν, η ευθεία έχει μεγαλύτερη κλίση. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ενότητα σας επιτρέπει να αγνοήσετε το σημάδι, μόνο μας ενδιαφέρει απόλυτες τιμέςγωνιακούς συντελεστές.

Με τη σειρά του, μια ευθεία γραμμή είναι πιο απότομη από τις ευθείες .

Αντίστροφα: όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής κλίσης σε απόλυτη τιμή, τόσο πιο επίπεδη είναι η ευθεία.

Για ευθείες γραμμές η ανισότητα είναι αληθινή, επομένως η ευθεία είναι πιο επίπεδη. Παιδική τσουλήθρα, για να μην προκαλέσετε μελανιές και χτυπήματα.

Γιατί είναι απαραίτητο αυτό;

Παρατείνετε το μαρτύριο σας Η γνώση των παραπάνω γεγονότων σάς επιτρέπει να δείτε αμέσως τα λάθη σας, ιδίως τα λάθη κατά την κατασκευή γραφημάτων - εάν το σχέδιο αποδειχθεί ότι "προφανώς κάτι δεν πάει καλά". Συνιστάται να αμέσωςήταν σαφές ότι, για παράδειγμα, η ευθεία είναι πολύ απότομη και πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω, και η ευθεία είναι πολύ επίπεδη, πιέζεται κοντά στον άξονα και πηγαίνει από πάνω προς τα κάτω.

Σε γεωμετρικά προβλήματα, εμφανίζονται συχνά πολλές ευθείες γραμμές, επομένως είναι βολικό να τις ορίσετε με κάποιο τρόπο.

Ονομασίες: Οι ευθείες γραμμές χαρακτηρίζονται με μικρά λατινικά γράμματα: . Μια δημοφιλής επιλογή είναι να τα ορίσετε χρησιμοποιώντας το ίδιο γράμμα με φυσικούς δείκτες. Για παράδειγμα, οι πέντε γραμμές που μόλις εξετάσαμε μπορούν να υποδηλωθούν με .

Δεδομένου ότι κάθε ευθεία γραμμή καθορίζεται μοναδικά από δύο σημεία, μπορεί να συμβολιστεί με αυτά τα σημεία: και τα λοιπά. Ο προσδιορισμός υποδηλώνει ξεκάθαρα ότι τα σημεία ανήκουν στη γραμμή.

Ήρθε η ώρα να ζεσταθούμε λίγο:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας;

Εάν ένα σημείο που ανήκει σε μια συγκεκριμένη ευθεία και ο γωνιακός συντελεστής αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 1

Να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή αν είναι γνωστό ότι το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Λύση: Ας συνθέσουμε την εξίσωση της ευθείας χρησιμοποιώντας τον τύπο . Σε αυτήν την περίπτωση:

Απάντηση:

Εξέτασηγίνεται απλά. Αρχικά, κοιτάμε την εξίσωση που προκύπτει και βεβαιωνόμαστε ότι η κλίση μας είναι στη θέση του. Δεύτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν αυτή η εξίσωση. Ας τα συνδέσουμε στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

συμπέρασμα: Η εξίσωση βρέθηκε σωστά.

Ένα πιο δύσκολο παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 2

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή αν είναι γνωστό ότι η γωνία κλίσης της ως προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα είναι , και το σημείο ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, διαβάστε ξανά το θεωρητικό υλικό. Πιο συγκεκριμένα, πιο πρακτικό, παραλείπω πολλά στοιχεία.

Χτύπησε τελευταία κλήση, το πάρτι αποφοίτησης έχει σβήσει και έξω από τις πύλες του γενέθλιου σχολείου μας, μας περιμένει η ίδια η αναλυτική γεωμετρία. Τελείωσαν τα αστεία... Ή ίσως μόλις αρχίζουν =)

Κουνάμε νοσταλγικά το στυλό μας στο οικείο και εξοικειωνόμαστε με τη γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής. Επειδή στην αναλυτική γεωμετρία αυτό ακριβώς χρησιμοποιείται:

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: , όπου υπάρχουν μερικοί αριθμοί. Παράλληλα οι συντελεστές ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑδεν είναι ίσα με μηδέν, αφού η εξίσωση χάνει το νόημά της.

Ας ντυθούμε με κοστούμι και ας δέσουμε την εξίσωση με τον συντελεστή κλίσης. Αρχικά, ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά:

Ο όρος με "Χ" πρέπει να τεθεί στην πρώτη θέση:

Κατ 'αρχήν, η εξίσωση έχει ήδη τη μορφή , αλλά σύμφωνα με τους κανόνες της μαθηματικής εθιμοτυπίας, ο συντελεστής του πρώτου όρου (στην περίπτωση αυτή) πρέπει να είναι θετικός. Αλλαγή πινακίδων:

Θυμηθείτε αυτό το τεχνικό χαρακτηριστικό!Τον πρώτο συντελεστή τον κάνουμε (τις περισσότερες φορές) θετικό!

Στην αναλυτική γεωμετρία, η εξίσωση μιας ευθείας θα δίνεται σχεδόν πάντα γενική μορφή. Λοιπόν, εάν είναι απαραίτητο, μπορεί εύκολα να μειωθεί στη μορφή "σχολείου" με γωνιακό συντελεστή (με εξαίρεση τις ευθείες γραμμές παράλληλες στον άξονα τεταγμένων).

Ας αναρωτηθούμε τι αρκετάξέρετε να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή; Δύο σημεία. Αλλά περισσότερα για αυτό το περιστατικό της παιδικής ηλικίας, τώρα ο κανόνας κολλάει με τα βέλη. Κάθε ευθεία έχει μια πολύ συγκεκριμένη κλίση, στην οποία είναι εύκολο να «προσαρμόζεται». διάνυσμα.

Ένα διάνυσμα που είναι παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Είναι προφανές ότι κάθε ευθεία γραμμή έχει άπειρο αριθμό διανυσμάτων κατεύθυνσης και όλα θα είναι συγγραμμικά (συνκατευθυντικά ή όχι - δεν έχει σημασία).

Θα συμβολίσω το διάνυσμα κατεύθυνσης ως εξής: .

Αλλά ένα διάνυσμα δεν αρκεί για την κατασκευή μιας ευθείας γραμμής, το διάνυσμα είναι ελεύθερο και δεν συνδέεται με κανένα σημείο του επιπέδου. Επομένως, είναι επιπλέον απαραίτητο να γνωρίζουμε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης;

Εάν ένα ορισμένο σημείο που ανήκει σε μια γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της γραμμής είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της γραμμής μπορεί να συνταχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Μερικές φορές ονομάζεται κανονική εξίσωση της γραμμής .

Τι να κάνετε πότε μία από τις συντεταγμένεςισούται με μηδέν, θα καταλάβουμε σε πρακτικά παραδείγματα παρακάτω. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε - και τα δύο ταυτόχροναοι συντεταγμένες δεν μπορούν να είναι ίσες με μηδέν, αφού το μηδενικό διάνυσμα δεν καθορίζει μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Λύση: Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας τον τύπο. Σε αυτήν την περίπτωση:

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας απαλλαγούμε από τα κλάσματα:

Και φέρνουμε την εξίσωση στη γενική της μορφή:

Απάντηση:

Κατά κανόνα, δεν χρειάζεται να κάνετε ένα σχέδιο σε τέτοια παραδείγματα, αλλά για λόγους κατανόησης:

Στο σχέδιο βλέπουμε το σημείο εκκίνησης, το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης (μπορεί να αποτυπωθεί από οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου) και την κατασκευασμένη ευθεία. Παρεμπιπτόντως, σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο βολικό να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή. Είναι εύκολο να μετατρέψουμε την εξίσωσή μας σε μορφή και να επιλέξουμε εύκολα ένα άλλο σημείο για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή.

Όπως σημειώθηκε στην αρχή της παραγράφου, μια ευθεία έχει άπειρο αριθμό διανυσμάτων κατεύθυνσης και όλα είναι συγγραμμικά. Για παράδειγμα, σχεδίασα τρία τέτοια διανύσματα: . Όποιο διάνυσμα κατεύθυνσης κι αν επιλέξουμε, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα η ίδια ευθύγραμμη εξίσωση.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Επίλυση της αναλογίας:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με –2 και λάβετε τη γνωστή εξίσωση:

Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να δοκιμάσουν διανύσματα με τον ίδιο τρόπο ή οποιοδήποτε άλλο συγγραμμικό διάνυσμα.

Τώρα ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα:

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής;

Πολύ απλό:

Εάν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.

Παραδείγματα εύρεσης διανυσμάτων κατεύθυνσης ευθειών:

Η πρόταση μας επιτρέπει να βρούμε μόνο ένα διάνυσμα κατεύθυνσης από έναν άπειρο αριθμό, αλλά δεν χρειαζόμαστε περισσότερα. Αν και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σκόπιμο να μειωθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Έτσι, η εξίσωση καθορίζει μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα και οι συντεταγμένες του προκύπτοντος διανύσματος κατεύθυνσης διαιρούνται εύκολα με –2, λαμβάνοντας ακριβώς το διάνυσμα βάσης ως διάνυσμα κατεύθυνσης. Λογικός.

Ομοίως, η εξίσωση καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, και διαιρώντας τις συντεταγμένες του διανύσματος με το 5, λαμβάνουμε το μοναδιαίο διάνυσμα ως διάνυσμα κατεύθυνσης.

Τώρα ας το κάνουμε έλεγχος του παραδείγματος 3. Το παράδειγμα ανέβηκε, οπότε σας υπενθυμίζω ότι σε αυτό συντάξαμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Πρώτα, χρησιμοποιώντας την εξίσωση της ευθείας ανακατασκευάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της: – όλα είναι εντάξει, έχουμε λάβει το αρχικό διάνυσμα (σε ορισμένες περιπτώσεις το αποτέλεσμα μπορεί να είναι ένα συγγραμμικό διάνυσμα με το αρχικό, και αυτό είναι συνήθως εύκολο να το παρατηρήσετε από την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων).

κατα δευτερον, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση. Τα αντικαθιστούμε στην εξίσωση:

Επιτεύχθηκε η σωστή ισότητα, για την οποία χαιρόμαστε πολύ.

συμπέρασμα: Η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά.

Παράδειγμα 4

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος. Συνιστάται ιδιαίτερα να κάνετε έλεγχο χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που μόλις συζητήθηκε. Προσπαθήστε να ελέγχετε πάντα (αν είναι δυνατόν) ένα πρόχειρο. Είναι ανόητο να κάνεις λάθη όπου μπορούν να αποφευχθούν 100%.

Στην περίπτωση που μία από τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι μηδέν, προχωρήστε πολύ απλά:

Παράδειγμα 5

Λύση: Ο τύπος δεν είναι κατάλληλος αφού ο παρονομαστής στη δεξιά πλευρά είναι μηδέν. Υπάρχει έξοδος! Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αναλογίας, ξαναγράφουμε τον τύπο στη φόρμα και το υπόλοιπο κύλησε κατά μήκος μιας βαθιάς αυλάκωσης:

Απάντηση:

Εξέταση:

1) Επαναφέρετε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας:
– το διάνυσμα που προκύπτει είναι συγγραμμικό με το αρχικό διάνυσμα κατεύθυνσης.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου στην εξίσωση:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα

συμπέρασμα: εργασία ολοκληρώθηκε σωστά

Γεννιέται το ερώτημα, γιατί να ασχοληθείτε με τη φόρμουλα εάν υπάρχει μια καθολική έκδοση που θα λειτουργήσει σε κάθε περίπτωση; Υπάρχουν δύο λόγοι. Πρώτον, ο τύπος έχει τη μορφή κλάσματος πολύ καλύτερα θυμόμαστε. Και δεύτερον, το μειονέκτημα της καθολικής φόρμουλας είναι ότι ο κίνδυνος σύγχυσης αυξάνεται σημαντικάκατά την αντικατάσταση συντεταγμένων.

Παράδειγμα 6

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Ας επιστρέψουμε στα απανταχού δύο σημεία:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας δύο σημεία;

Εάν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτά τα σημεία μπορεί να συνταχθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Στην πραγματικότητα, αυτός είναι ένας τύπος τύπου και να γιατί: αν είναι γνωστά δύο σημεία, τότε το διάνυσμα θα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεδομένης ευθείας. Στο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαθεωρήσαμε απλούστερη εργασία– πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από δύο σημεία. Σύμφωνα με αυτό το πρόβλημα, οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης είναι:

Σημείωση : οι πόντοι μπορούν να «ανταλλάσσονται» και ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί . Μια τέτοια λύση θα είναι ισοδύναμη.

Παράδειγμα 7

Να γράψετε μια εξίσωση ευθείας χρησιμοποιώντας δύο σημεία .

Λύση: Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Χτενίζοντας τους παρονομαστές:

Και ανακατέψτε την τράπουλα:

Τώρα είναι η ώρα να απαλλαγούμε από τους κλασματικούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τις δύο πλευρές επί 6:

Ανοίξτε τις αγκύλες και θυμηθείτε την εξίσωση:

Απάντηση:

Εξέτασηείναι προφανές - οι συντεταγμένες των αρχικών σημείων πρέπει να ικανοποιούν την προκύπτουσα εξίσωση:

1) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

2) Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου:

Αληθινή ισότητα.

συμπέρασμα: Η εξίσωση της γραμμής είναι γραμμένη σωστά.

Αν τουλάχιστον ένατων σημείων δεν ικανοποιεί την εξίσωση, ψάξτε για λάθος.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η γραφική επαλήθευση σε αυτή την περίπτωση είναι δύσκολη, αφού η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής και η διαπίστωση εάν τα σημεία ανήκουν σε αυτήν , όχι τόσο απλό.

Θα σημειώσω μερικές ακόμη τεχνικές πτυχές της λύσης. Ίσως σε αυτό το πρόβλημα είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο καθρέφτη και στα ίδια σημεία φτιάξε μια εξίσωση:

Λιγότερα κλάσματα. Εάν θέλετε, μπορείτε να εκτελέσετε τη λύση μέχρι το τέλος, το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι η ίδια εξίσωση.

Το δεύτερο σημείο είναι να εξετάσουμε την τελική απάντηση και να καταλάβουμε εάν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω; Για παράδειγμα, εάν λάβετε την εξίσωση , τότε καλό είναι να τη μειώσετε κατά δύο: – η εξίσωση θα ορίσει την ίδια ευθεία γραμμή. Ωστόσο, αυτό είναι ήδη θέμα συζήτησης σχετική θέση των γραμμών.

Έχοντας λάβει την απάντηση στο Παράδειγμα 7, για παν ενδεχόμενο, έλεγξα αν ΟΛΟΙ οι συντελεστές της εξίσωσης διαιρούνται με το 2, το 3 ή το 7. Αν και, τις περισσότερες φορές τέτοιες μειώσεις γίνονται κατά τη διάρκεια της λύσης.

Παράδειγμα 8

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, η οποία θα σας επιτρέψει να κατανοήσετε καλύτερα και να εξασκήσετε τις τεχνικές υπολογισμού.

Παρόμοια με την προηγούμενη παράγραφο: εάν στον τύπο ένας από τους παρονομαστές (η συντεταγμένη του διανύσματος κατεύθυνσης) γίνεται μηδέν, στη συνέχεια το ξαναγράφουμε με τη μορφή . Και πάλι, παρατηρήστε πόσο άβολη και μπερδεμένη φαίνεται. Δεν βλέπω πολύ νόημα να δίνω πρακτικά παραδείγματα, αφού έχουμε ήδη λύσει αυτό το πρόβλημα (βλ. Αρ. 5, 6).

Άμεσο κανονικό διάνυσμα (κανονικό διάνυσμα)

Τι είναι φυσιολογικό; Με απλά λόγια, η κανονική είναι κάθετη. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Προφανώς, κάθε ευθεία έχει έναν άπειρο αριθμό από αυτά (καθώς και διανύσματα κατεύθυνσης) και όλα τα κανονικά διανύσματα της ευθείας θα είναι συγγραμμικά (συμκατευθυντικά ή όχι, δεν έχει διαφορά).

Η αντιμετώπισή τους θα είναι ακόμα πιο εύκολη από ό,τι με διανύσματα οδηγών:

Αν μια ευθεία δίνεται από μια γενική εξίσωση σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας.

Εάν οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης πρέπει να «τραβηχτούν» προσεκτικά από την εξίσωση, τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος μπορούν απλώς να «αφαιρεθούν».

Το κανονικό διάνυσμα είναι πάντα ορθογώνιο προς το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Ας επαληθεύσουμε την ορθογωνικότητα αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας προϊόν με κουκκίδες:

Θα δώσω παραδείγματα με τις ίδιες εξισώσεις όπως για το διάνυσμα κατεύθυνσης:

Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα; Το νιώθω στο έντερο μου, είναι δυνατό. Εάν το κανονικό διάνυσμα είναι γνωστό, τότε η κατεύθυνση της ίδιας της ευθείας γραμμής είναι σαφώς καθορισμένη - αυτή είναι μια "άκαμπτη δομή" με γωνία 90 μοιρών.

Πώς να γράψετε μια εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Εάν ένα ορισμένο σημείο που ανήκει σε μια ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστό, τότε η εξίσωση αυτής της ευθείας εκφράζεται με τον τύπο:

Εδώ όλα λειτούργησαν χωρίς κλάσματα και άλλες εκπλήξεις. Αυτό είναι το κανονικό μας διάνυσμα. Τον αγαπώ. Και σεβασμός =)

Παράδειγμα 9

Να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Λύση: Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Η γενική εξίσωση της ευθείας έχει ληφθεί, ας ελέγξουμε:

1) «Αφαιρέστε» τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος από την εξίσωση: – ναι, πράγματι, το αρχικό διάνυσμα ελήφθη από τη συνθήκη (ή θα πρέπει να ληφθεί ένα συγγραμμικό διάνυσμα).

2) Ας ελέγξουμε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση:

Αληθινή ισότητα.

Αφού πειστούμε ότι η εξίσωση έχει συντεθεί σωστά, θα ολοκληρώσουμε το δεύτερο, πιο εύκολο μέρος της εργασίας. Βγάζουμε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας:

Απάντηση:

Στο σχέδιο η κατάσταση μοιάζει με αυτό:

Για σκοπούς εκπαίδευσης, μια παρόμοια εργασία για ανεξάρτητη επίλυση:

Παράδειγμα 10

Να γράψετε μια εξίσωση ευθείας με ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα. Βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Η τελευταία ενότητα του μαθήματος θα είναι αφιερωμένη σε λιγότερο κοινά, αλλά και σημαντικά είδηεξισώσεις ευθείας γραμμής σε επίπεδο

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
Εξίσωση ευθείας σε παραμετρική μορφή

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα έχει τη μορφή , όπου είναι μη μηδενικές σταθερές. Ορισμένοι τύποι εξισώσεων δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με αυτήν τη μορφή, για παράδειγμα, η ευθεία αναλογικότητα (καθώς ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με μηδέν και δεν υπάρχει τρόπος να βρεθεί ένας στη δεξιά πλευρά).

Αυτό είναι, μεταφορικά μιλώντας, ένας «τεχνικός» τύπος εξίσωσης. Ένα κοινό καθήκον είναι να γενική εξίσωσηαντιπροσωπεύουν μια γραμμή με τη μορφή μιας εξίσωσης μιας γραμμής σε τμήματα. Πώς είναι βολικό; Η εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τα σημεία τομής μιας ευθείας με άξονες συντεταγμένων, που μπορεί να είναι πολύ σημαντικό σε ορισμένα προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Ας βρούμε το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα. Μηδενίζουμε το "y" και η εξίσωση παίρνει τη μορφή . Το επιθυμητό σημείο λαμβάνεται αυτόματα: .

Το ίδιο και ο άξονας – το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα τεταγμένων.

Μάθετε να παίρνετε παραγώγους συναρτήσεων.Η παράγωγος χαρακτηρίζει τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο που βρίσκεται στο γράφημα αυτής της συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, το γράφημα μπορεί να είναι είτε ευθεία είτε καμπύλη γραμμή. Δηλαδή, η παράγωγος χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Θυμάμαι γενικοί κανόνες, με την οποία λαμβάνονται τα παράγωγα, και μόνο τότε προχωρήστε στο επόμενο βήμα.

• Διάβασε το άρθρο.
• Πώς να πάρετε τα πιο απλά παράγωγα, για παράδειγμα, παράγωγο εκθετική εξίσωση, περιγράφεται. Οι υπολογισμοί που παρουσιάζονται στα ακόλουθα βήματα θα βασιστούν στις μεθόδους που περιγράφονται σε αυτά.

Μάθετε να διακρίνετε προβλήματα στα οποία η κλίση πρέπει να υπολογίζεται μέσω της παραγώγου μιας συνάρτησης.Τα προβλήματα δεν σας ζητούν πάντα να βρείτε την κλίση ή την παράγωγο μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης στο σημείο A(x,y). Μπορεί επίσης να σας ζητηθεί να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο A(x,y). Και στις δύο περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ληφθεί η παράγωγος της συνάρτησης.

Πάρτε την παράγωγο της συνάρτησης που σας δίνεται.Δεν χρειάζεται να δημιουργήσετε ένα γράφημα εδώ - χρειάζεστε μόνο την εξίσωση της συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, πάρτε την παράγωγο της συνάρτησης. Πάρτε την παράγωγο σύμφωνα με τις μεθόδους που περιγράφονται στο άρθρο που αναφέρεται παραπάνω:

• Παράγωγο:

Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου που σας δίνεται με την ευρεθείσα παράγωγο για να υπολογίσετε την κλίση.Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ίση με την κλίση σε ένα ορισμένο σημείο. Με άλλα λόγια, η f"(x) είναι η κλίση της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο (x,f(x)). Στο παράδειγμά μας:

• Βρείτε την κλίση της συνάρτησης f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)στο σημείο Α(4,2).
• Παράγωγος συνάρτησης:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Αντικαταστήστε την τιμή της συντεταγμένης «x» αυτού του σημείου:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Βρείτε την κλίση:
• Λειτουργία κλίσης f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)στο σημείο Α(4,2) ισούται με 22.

Εάν είναι δυνατόν, ελέγξτε την απάντησή σας σε ένα γράφημα.Θυμηθείτε ότι η κλίση δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο. Ο διαφορικός λογισμός εξετάζει σύνθετες λειτουργίεςκαι σύνθετα γραφήματα, όπου η κλίση δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο, και σε ορισμένες περιπτώσεις τα σημεία δεν βρίσκονται καθόλου στα γραφήματα. Εάν είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή γραφικών για να ελέγξετε ότι η κλίση της συνάρτησης που σας δίνεται είναι σωστή. Διαφορετικά, σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο γράφημα στο σημείο που σας δίνεται και σκεφτείτε αν η τιμή κλίσης που βρήκατε ταιριάζει με αυτό που βλέπετε στο γράφημα.

• Η εφαπτομένη θα έχει την ίδια κλίση με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο. Για να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο, μετακινηθείτε αριστερά/δεξιά στον άξονα X (στο παράδειγμά μας, 22 τιμές προς τα δεξιά) και στη συνέχεια προς τα πάνω στον άξονα Y, και στη συνέχεια συνδέστε το με τον άξονα σημείο που σας δόθηκε. Στο παράδειγμά μας, συνδέστε τα σημεία με τις συντεταγμένες (4,2) και (26,3).