Προφανώς, στην περίπτωση ενός διανυσματικού γινόμενου, η σειρά με την οποία λαμβάνονται τα διανύσματα έχει σημασία, επιπλέον,
Επίσης, απευθείας από τον ορισμό προκύπτει ότι για οποιονδήποτε βαθμωτό παράγοντα k (αριθμός) ισχύει το εξής:
Το διασταυρούμενο γινόμενο των συγγραμμικών διανυσμάτων είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα. Εξάλλου, διανυσματικό προϊόνδύο διανυσμάτων ισούται με μηδέν αν και μόνο αν είναι συγγραμμικά. (Σε περίπτωση που ένα από αυτά είναι μηδενικό διάνυσμα, είναι απαραίτητο να θυμάστε ότι ένα μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα εξ ορισμού).
Το διανυσματικό προϊόν έχει επιμεριστική ιδιότητα, αυτό είναι
Εκφράζοντας το διανυσματικό γινόμενο μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων.
Έστω δύο διανύσματα
(πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του - δείτε το άρθρο Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων, στοιχείο Εναλλακτικός ορισμός του γινόμενου κουκκίδων ή υπολογισμός του γινόμενου κουκκίδων δύο διανυσμάτων που καθορίζονται από τις συντεταγμένες τους.)
Γιατί χρειάζεστε ένα διανυσματικό προϊόν;
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να χρησιμοποιήσετε το διασταυρούμενο γινόμενο, για παράδειγμα, όπως γράφτηκε παραπάνω, υπολογίζοντας το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορείτε να μάθετε εάν είναι συγγραμμικά.
Ή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως τρόπος υπολογισμού του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί από αυτά τα διανύσματα. Με βάση τον ορισμό, το μήκος του διανύσματος που προκύπτει είναι το εμβαδόν του δεδομένου παραλληλογράμμου.
Επίσης μεγάλο ποσόυπάρχουν εφαρμογές στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό.Online διανυσματική αριθμομηχανή προϊόντος.
Για να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων χρησιμοποιώντας αυτήν την αριθμομηχανή, πρέπει να εισάγετε στην πρώτη γραμμή με τη σειρά τις συντεταγμένες του πρώτου διανύσματος, σε δεύτερος - δεύτερος. Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μπορούν να υπολογιστούν από τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους τους (βλ. άρθρο Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων, στοιχείο Ένας εναλλακτικός ορισμός του γινόμενου κουκκίδων ή ο υπολογισμός του γινόμενου κουκκίδων δύο διανυσμάτων που δίνονται από τις συντεταγμένες τους.)
ο ηλεκτρονική αριθμομηχανήυπολογίζει το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων. Δεδομένος αναλυτική λύση. Για να υπολογίσετε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων, εισαγάγετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός".
×
Προειδοποίηση
Διαγραφή όλων των κελιών;
Κλείσιμο Clear
Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να εισαχθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, κ.λπ.
Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων
Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων, ας εξετάσουμε τις έννοιες διατεταγμένη διανυσματική τριπλέτα, αριστερή διανυσματική τριπλέτα, δεξιά διανυσματική τριπλέτα.
Ορισμός 1. Λέγονται τρία διανύσματα παρήγγειλε τριπλό(ή τριπλό), εάν υποδεικνύεται ποιο από αυτά τα διανύσματα είναι το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ποιο το τρίτο.
Ρεκόρ cba- σημαίνει - το πρώτο είναι διάνυσμα ντο, το δεύτερο είναι το διάνυσμα σικαι το τρίτο είναι το διάνυσμα ένα.
Ορισμός 2. Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοκαλείται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν μειωθεί σε γενική αρχή, αυτά τα διανύσματα εντοπίζονται με τον ίδιο τρόπο που βρίσκονται ο μεγάλος, μη λυγισμένος δείκτης και ο μεσαίος δάκτυλος του δεξιού (αριστερού) χεριού, αντίστοιχα.
Ο ορισμός 2 μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά.
Ορισμός 2". Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν ανάγεται σε κοινή αρχή, το διάνυσμα ντοβρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου που ορίζεται από τα διανύσματα έναΚαι σι, από πού είναι η συντομότερη στροφή έναΠρος την σιεκτελείται αριστερόστροφα (δεξιόστροφα).
Τρόικα των διανυσμάτων αλφάβητο, φαίνεται στο Σχ. Το 1 είναι σωστό και το τρία αλφάβητοφαίνεται στο Σχ. Το 2 είναι το αριστερό.
 |
Εάν δύο τριάδες διανυσμάτων είναι δεξιά ή αριστερά, τότε λέγεται ότι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό. Διαφορετικά λέγεται ότι έχουν αντίθετο προσανατολισμό.
Ορισμός 3. Ένα καρτεσιανό ή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν τρία διανύσματα βάσης σχηματίζουν ένα δεξιό (αριστερό) τριπλό.
Για λόγους βεβαιότητας, σε αυτό που ακολουθεί θα εξετάσουμε μόνο δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων.
Ορισμός 4. Διάνυσμα έργα τέχνηςδιάνυσμα ένασε διάνυσμα σιονομάζεται διάνυσμα Με, που συμβολίζεται με το σύμβολο c=[αβ] (ή c=[α, β], ή c=a×b) και πληρούν τις ακόλουθες τρεις απαιτήσεις:
- διανυσματικό μήκος Μείσο με το γινόμενο των διανυσματικών μηκών έναΚαι σιαπό το ημίτονο της γωνίας φ μεταξυ τους:
- διάνυσμα Μεορθογώνιο σε κάθε ένα από τα διανύσματα έναΚαι σι;
- διάνυσμα ντοσκηνοθετημένο έτσι ώστε οι τρεις αλφάβητοειναι σωστο.
| |ντο|=|[αβ]|=|ένα||σι|sinφ; | (1) |
Το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
- [αβ]=−[βα] (αντιμεταβλητότηταπαράγοντες)·
- [(λα)σι]=λ [αβ] (συνδυασμόςσε σχέση με τον αριθμητικό παράγοντα).
- [(α+β)ντο]=[έναντο]+[σιντο] (διανεμητικότητασε σχέση με το άθροισμα των διανυσμάτων).
- [αα]=0 για οποιοδήποτε διάνυσμα ένα.
Γεωμετρικές ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων
Θεώρημα 1. Για να είναι δύο διανύσματα συγγραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό το διανυσματικό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.
Απόδειξη. Ανάγκη. Αφήστε τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Τότε η γωνία μεταξύ τους είναι 0 ή 180° και sinφ=αμαρτία180=αμαρτία 0=0. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (1), το μήκος του διανύσματος ντοίσο με μηδέν. Επειτα ντομηδενικό διάνυσμα.
Επάρκεια. Έστω το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σιπροφανώς μηδέν: [ αβ]=0. Ας αποδείξουμε ότι τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα έναΚαι σιμηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά (καθώς το μηδενικό διάνυσμα έχει απροσδιόριστη διεύθυνση και μπορεί να θεωρηθεί συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα).
Αν και τα δύο διανύσματα έναΚαι σιμη μηδενικό, τότε | ένα|>0, |σι|>0. Στη συνέχεια από [ αβ]=0 και από το (1) προκύπτει ότι sinφ=0. Επομένως τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική.
Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.
Θεώρημα 2. Μήκος (μέτρο) του διανυσματικού γινομένου [ αβ] ισούται με εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο που κατασκευάζεται σε διανύσματα ανηγμένα σε μια κοινή αρχή έναΚαι σι.
Απόδειξη. Όπως γνωρίζετε, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των γειτονικών πλευρών αυτού του παραλληλογράμμου και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Ως εκ τούτου:
Τότε το διανυσματικό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων έχει τη μορφή:
Επεκτείνοντας την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, λαμβάνουμε την αποσύνθεση του διανύσματος α×βκατά βάση i, j, k, που ισοδυναμεί με τον τύπο (3).
Απόδειξη του Θεωρήματος 3. Ας δημιουργήσουμε όλα τα πιθανά ζεύγη διανυσμάτων βάσης i, j, kκαι να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο τους. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα διανύσματα βάσης είναι αμοιβαία ορθογώνια, σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο τριπλό και έχουν μήκος μονάδας (με άλλα λόγια, μπορούμε να υποθέσουμε ότι Εγώ={1, 0, 0}, ι={0, 1, 0}, κ=(0, 0, 1)). Τότε έχουμε:
Από την τελευταία ισότητα και σχέσεις (4), λαμβάνουμε:
Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα 3x3, η πρώτη σειρά του οποίου είναι τα βασικά διανύσματα i, j, k,και οι υπόλοιπες γραμμές γεμίζουν με διανυσματικά στοιχεία έναΚαι σι:
Έτσι, το αποτέλεσμα του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων έναΚαι σιθα είναι ένα διάνυσμα:
 .
|
Παράδειγμα 2. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων [ αβ], όπου είναι το διάνυσμα ένααντιπροσωπεύεται από δύο σημεία. Σημείο εκκίνησης του διανύσματος α: 
, τελικό σημείο του διανύσματος ένα: 
, διάνυσμα σιμοιάζει με 
.
Λύση: Μετακινήστε το πρώτο διάνυσμα στην αρχή. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε τις συντεταγμένες του σημείου εκκίνησης από τις αντίστοιχες συντεταγμένες του τελικού σημείου:
Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα αυτού του πίνακα επεκτείνοντάς τον κατά μήκος της πρώτης σειράς. Το αποτέλεσμα αυτών των υπολογισμών είναι το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σι.
Διάνυσμα έργα τέχνηςείναι ένα ψευδοδιάνυσμα κάθετο σε ένα επίπεδο κατασκευασμένο από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της δυαδικής πράξης «διανυσματικός πολλαπλασιασμός» σε διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το διανυσματικό γινόμενο δεν έχει τις ιδιότητες της ανταλλαξιμότητας και της συσχέτισης (είναι αντιμεταθετικό) και, σε αντίθεση με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, είναι διάνυσμα. Χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλές εφαρμογές μηχανικής και φυσικής. Για παράδειγμα, η γωνιακή ορμή και η δύναμη Lorentz γράφονται μαθηματικά ως διανυσματικό γινόμενο. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη "μέτρηση" της καθετότητας των διανυσμάτων - το μέτρο του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών τους εάν είναι κάθετα και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.
Το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους, και θεωρητικά, σε ένα χώρο οποιασδήποτε διάστασης n, μπορεί κανείς να υπολογίσει το γινόμενο n-1 διανυσμάτων, λαμβάνοντας έτσι ένα μόνο διάνυσμα κάθετο σε όλα. Αλλά αν το γινόμενο περιορίζεται σε μη τετριμμένα δυαδικά προϊόντα με διανυσματικά αποτελέσματα, τότε το παραδοσιακό διανυσματικό γινόμενο ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατους και επταδιάστατους χώρους. Το αποτέλεσμα ενός διανυσματικού γινόμενου, όπως ένα βαθμωτό γινόμενο, εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδειου χώρου.
Σε αντίθεση με τον τύπο για τον υπολογισμό των διανυσμάτων βαθμωτών γινομένων από συντεταγμένες σε ένα τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο τύπος για το διαγώνιο γινόμενο εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ή, με άλλα λόγια, από τη «χειρικότητά» του.
Ορισμός:
Το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος a και του διανύσματος b στον χώρο R3 είναι ένα διάνυσμα c που ικανοποιεί τις ακόλουθες απαιτήσεις:
το μήκος του διανύσματος c είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων a και b και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας φ:
|c|=|a||b|sin φ;
Το διάνυσμα c είναι ορθογώνιο σε καθένα από τα διανύσματα a και b.
Το διάνυσμα c κατευθύνεται έτσι ώστε το τριπλό των διανυσμάτων abc να είναι δεξιόστροφο.
στην περίπτωση του χώρου R7 απαιτείται η συσχέτιση του τριπλού των διανυσμάτων a, b, c.
Ονομασία:
c===a × β
Ρύζι. 1. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μέτρο του διανυσματικού γινομένου
Γεωμετρικές ιδιότητες διασταυρούμενου προϊόντος:
Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι το διανυσματικό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.
Ενότητα πολλαπλών προϊόντων ισούται με εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο που κατασκευάζεται σε διανύσματα ανηγμένα σε μια κοινή αρχή έναΚαι σι(βλ. Εικ. 1).
Αν μι- μοναδιαίο διάνυσμα ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα έναΚαι σικαι επιλέχθηκε έτσι ώστε τρεις α,β,ε- σωστά, και μικρόείναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί πάνω τους (ανάγεται σε κοινή αρχή), τότε ισχύει ο τύπος για το διανυσματικό γινόμενο:
=S e
Εικ.2. Όγκος παραλληλεπίπεδου χρησιμοποιώντας το διάνυσμα και το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. διακεκομμένες γραμμέςΔείξτε τις προβολές του διανύσματος c στο a × b και του διανύσματος a στο b × c, το πρώτο βήμα είναι να βρείτε τα βαθμωτά γινόμενα
Αν ντο- κάποιο διάνυσμα, π
- οποιοδήποτε επίπεδο που περιέχει αυτό το διάνυσμα, μι- μοναδιαίο διάνυσμα που βρίσκεται στο επίπεδο π
και ορθογώνια προς γ, ζ- μοναδιαίο διάνυσμα ορθογώνιο ως προς το επίπεδο π
και κατευθύνεται έτσι ώστε το τριπλό των διανυσμάτων ecgείναι σωστό, τότε για οποιοδήποτε ψέμα στο αεροπλάνο π
διάνυσμα έναο τύπος είναι σωστός:
=Pr e a |c|g
όπου Pr e a είναι η προβολή του διανύσματος e στο a
|c|-μέτρο του διανύσματος γ
Όταν χρησιμοποιείτε διανυσματικά και κλιμακωτά γινόμενα, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα μειωμένα σε μια κοινή αρχή α, βΚαι ντο. Ένα τέτοιο γινόμενο τριών διανυσμάτων ονομάζεται μικτό.
V=|a (b×c)|
Το σχήμα δείχνει ότι αυτός ο όγκος μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους: το γεωμετρικό αποτέλεσμα διατηρείται ακόμη και όταν τα προϊόντα "κλιμακωτή" και "διανυσματική" ανταλλάσσονται:
V=a×b c=a b×c
Το μέγεθος του εγκάρσιου γινόμενου εξαρτάται από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των αρχικών διανυσμάτων, επομένως το εγκάρσιο γινόμενο μπορεί να εκληφθεί ως ο βαθμός «καθετότητας» των διανυσμάτων, όπως το βαθμωτό γινόμενο μπορεί να θεωρηθεί ως ο βαθμός «παραλληλισμού ". Το διανυσματικό γινόμενο δύο μονάδων διανυσμάτων είναι ίσο με 1 (μοναδιαίο διάνυσμα) εάν τα αρχικά διανύσματα είναι κάθετα και ίσο με 0 (μηδενικό διάνυσμα) εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.
Έκφραση για το διασταυρούμενο γινόμενο σε καρτεσιανές συντεταγμένες
Αν δύο διανύσματα έναΚαι σιορίζονται από τις ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες τους, ή ακριβέστερα, που αναπαριστώνται σε ορθοκανονική βάση
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
και το σύστημα συντεταγμένων είναι δεξιόστροφο, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους έχει τη μορφή
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Για να θυμάστε αυτόν τον τύπο:
i =∑ε ijk a j b k
Οπου ε ijk- σύμβολο του Levi-Civita.
Ιδιότητες του προϊόντος με τελείες
Scalar προϊόνδιανύσματα, ορισμός, ιδιότητες
Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.
Διανύσματα, βασικές έννοιες, ορισμοί, γραμμικές πράξεις πάνω τους
Ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων του, με το πρώτο σημείο να ονομάζεται αρχή και το δεύτερο σημείο να είναι το τέλος του διανύσματος
Δύο διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ίσα και συνκατευθυντικά.
Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ονομάζονται συμκατευθυντικά εάν είναι συμκατευθυντικά με κάποιο από το ίδιο διάνυσμα που δεν βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή.
Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμικά και τα συγγραμμικά αλλά όχι συνκατευθυντικά ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα.
Τα διανύσματα που βρίσκονται σε κάθετες ευθείες ονομάζονται ορθογώνια.
Ορισμός 5.4. Ποσό α+β φορείς ένα Και σι ονομάζεται διάνυσμα που προέρχεται από την αρχή του διανύσματος ΕΝΑ μέχρι το τέλος του διανύσματος σι , εάν η αρχή του διανύσματος σι συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος ΕΝΑ .
Ορισμός 5.5. Με διαφορά α – β φορείς ΕΝΑ Και σι ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται Με , το οποίο αθροίζεται με το διάνυσμα σι δίνει ένα διάνυσμα ΕΝΑ .
Ορισμός 5.6. Η δουλειάκ ένα διάνυσμα ΕΝΑ ανά αριθμό κονομάζεται διάνυσμα σι , συγγραμμική με το διάνυσμα ΕΝΑ , με συντελεστή ίσο με | κ||ένα |, και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση ΕΝΑ στο κ>0 και το αντίθετο ΕΝΑ στο κ<0.
Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό:
Ιδιοκτησία 1. κ(α+β ) = κ ένα+κ σι.
Ιδιοκτησία 2. (k + m)ένα = κ ένα+m ένα.
Ιδιοκτησία 3. k(m ένα) = (χλμ)ένα .
Συνέπεια. Αν μη μηδενικά διανύσματα ΕΝΑ Και σι είναι συγγραμμικές, τότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός κ, Τι β = κ ένα.
Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων έναΚαι σιείναι ένας αριθμός (βαθμωτός) ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας φ. Το προϊόν με τελείες μπορεί να υποδηλωθεί με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα ως αβ, ένα · σι, (ένα , σι), (ένα · σι). Άρα το προϊόν με τελείες είναι:
ένα · σι = |ένα| · | σι| cos φ
Εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν, τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι μηδέν.
· Ιδιότητα μετάθεσης: ένα · σι = σι · ένα(το κλιμακωτό γινόμενο δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των παραγόντων).
· Ιδιότητα διανομής: ένα · ( σι · ντο) = (ένα · σι) · ντο(το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά πολλαπλασιασμού).
· Ιδιότητα συνδυασμού (σε σχέση με τον βαθμωτό παράγοντα): (λ ένα) · σι = λ ( ένα · σι).
· Ιδιότητα ορθογωνικότητας (καθετότητα): αν το διάνυσμα έναΚαι σιείναι μη μηδενικά, τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν μόνο όταν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια (κάθετα μεταξύ τους) ένα ┴ σι;
· Ακίνητο τετραγώνου: ένα · ένα = ένα 2 = |ένα| 2 (το κλιμακωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι ίσο με το τετράγωνο του συντελεστή του).
· Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ένα=(x 1, y 1, z 1) και σι=(x 2 , y 2 , z 2 ), τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με ένα · σι= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .
Διάνυσμα κρατώντας διανύσματα. Ορισμός: Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα για το οποίο:
Το δομοστοιχείο είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κατασκευαστεί σε αυτά τα διανύσματα, δηλ. , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και
Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στα διανύσματα που πολλαπλασιάζονται, δηλ.
Εάν τα διανύσματα είναι μη γραμμικά, τότε σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο τριπλό διανυσμάτων.
Ιδιότητες διασταυρούμενου προϊόντος:
1. Κατά την αλλαγή της σειράς των παραγόντων, το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο, διατηρώντας το μέτρο, δηλ.
2 .Το τετράγωνο του διανύσματος είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, δηλ.
3 .Ο βαθμωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του γινομένου του διανύσματος, δηλ.
4 .Για οποιαδήποτε τρία διανύσματα η ισότητα είναι αληθής
5 .Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων και :