Ορισμός.Μεγαλύτερο φυσικός αριθμός, με το οποίο διαιρούνται οι αριθμοί a και b χωρίς υπόλοιπο, καλείται μέγιστος κοινός διαιρέτης (GCD)αυτούς τους αριθμούς.
Ας βρούμε το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςαριθμούς 24 και 35.
Οι διαιρέτες του 24 είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 και οι διαιρέτες του 35 είναι οι αριθμοί 1, 5, 7, 35.
Βλέπουμε ότι οι αριθμοί 24 και 35 έχουν μόνο έναν κοινό διαιρέτη - τον αριθμό 1. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται αμοιβαία πρωταρχική.
Ορισμός.Οι φυσικοί αριθμοί ονομάζονται αμοιβαία πρωταρχική, αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους (GCD) είναι 1.
Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD)μπορούν να βρεθούν χωρίς να γράψουμε όλους τους διαιρέτες των δεδομένων αριθμών.
Συνυπολογίζοντας τους αριθμούς 48 και 36, παίρνουμε:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του πρώτου από αυτούς τους αριθμούς, διαγράφουμε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση του δεύτερου αριθμού (δηλαδή δύο δύο).
Οι συντελεστές που απομένουν είναι 2 * 2 * 3. Το γινόμενο τους είναι ίσο με 12. Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 48 και 36. Βρίσκεται επίσης ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τριών ή περισσότερων αριθμών.
Να βρω μέγιστο κοινό διαιρέτη
2) από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από αυτούς τους αριθμούς, διαγράψτε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση άλλων αριθμών.
3) βρείτε το γινόμενο των υπόλοιπων παραγόντων.
Εάν όλοι οι αριθμοί που δίνονται διαιρούνται με έναν από αυτούς, τότε αυτός ο αριθμός είναι μέγιστο κοινό διαιρέτηδεδομένους αριθμούς.
Για παράδειγμα, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 15, 45, 75 και 180 είναι ο αριθμός 15, αφού όλοι οι άλλοι αριθμοί διαιρούνται με αυτόν: 45, 75 και 180.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)
Ορισμός. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)Οι φυσικοί αριθμοί a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο και του a και του b. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των αριθμών 75 και 60 μπορεί να βρεθεί χωρίς να γράψετε τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών στη σειρά. Για να γίνει αυτό, ας αποσυνθέσουμε το 75 και το 60 σε πρωταρχικούς παράγοντες: 75 = 3 * 5 * 5 και 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Ας γράψουμε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του πρώτου από αυτούς τους αριθμούς και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού (δηλαδή, συνδυάζουμε τους παράγοντες).
Παίρνουμε πέντε παράγοντες 2 * 2 * 3 * 5 * 5, το γινόμενο των οποίων είναι 300. Αυτός ο αριθμός είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 60.
Βρίσκουν επίσης το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών.
Προς την βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοαρκετούς φυσικούς αριθμούς, χρειάζεστε:
1) συντελεστές τους σε πρώτους παράγοντες.
2) καταγράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς.
3) προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από τις επεκτάσεις των υπόλοιπων αριθμών.
4) βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν.
Σημειώστε ότι εάν ένας από αυτούς τους αριθμούς διαιρείται με όλους τους άλλους αριθμούς, τότε αυτός ο αριθμός είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.
Για παράδειγμα, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 12, 15, 20 και 60 είναι 60 επειδή διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.Χ.) και οι μαθητές του μελέτησαν το ζήτημα της διαιρετότητας των αριθμών. Αριθμός, ίσο με το άθροισμαΟνόμασαν όλους τους διαιρέτες του (χωρίς τον ίδιο τον αριθμό) τέλειο αριθμό. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) είναι τέλειοι. Οι επόμενοι τέλειοι αριθμοί είναι 496, 8128, 33.550.336 Οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν μόνο τους τρεις πρώτους τέλειους αριθμούς. Το τέταρτο - 8128 - έγινε γνωστό τον 1ο αιώνα. n. μι. Το πέμπτο - 33.550.336 - βρέθηκε τον 15ο αιώνα. Μέχρι το 1983, 27 τέλειοι αριθμοί ήταν ήδη γνωστοί. Αλλά οι επιστήμονες εξακολουθούν να μην γνωρίζουν αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί ή αν υπάρχει ένας μεγαλύτερος τέλειος αριθμός.
Το ενδιαφέρον των αρχαίων μαθηματικών για τους πρώτους αριθμούς πηγάζει από το γεγονός ότι οποιοσδήποτε αριθμός είναι είτε πρώτος είτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτοι αριθμοί, δηλαδή οι πρώτοι αριθμοί είναι σαν τούβλα από τα οποία χτίζονται οι υπόλοιποι φυσικοί αριθμοί.
Πιθανώς παρατηρήσατε ότι οι πρώτοι αριθμοί στη σειρά των φυσικών αριθμών εμφανίζονται άνισα - σε ορισμένα μέρη της σειράς υπάρχουν περισσότεροι από αυτούς, σε άλλα - λιγότεροι. Αλλά όσο περισσότερο προχωράμε κατά μήκος της σειράς αριθμών, τόσο λιγότερο συνηθισμένοι είναι οι πρώτοι αριθμοί. Τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τελευταίος (μεγαλύτερος) πρώτος αριθμός; Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης (3ος αιώνας π.Χ.), στο βιβλίο του «Στοιχεία», που ήταν το κύριο εγχειρίδιο των μαθηματικών για δύο χιλιάδες χρόνια, απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, δηλαδή πίσω από κάθε πρώτο αριθμό υπάρχει ακόμη μεγαλύτερος πρώτος. αριθμός.
Για να βρει τους πρώτους αριθμούς, ένας άλλος Έλληνας μαθηματικός της ίδιας εποχής, ο Ερατοσθένης, σκέφτηκε αυτή τη μέθοδο. Έγραψε όλους τους αριθμούς από το 1 σε κάποιον αριθμό, και μετά διέγραψε έναν, που δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος, μετά διέγραψε μέσω ενός όλους τους αριθμούς που έρχονται μετά το 2 (αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 2, δηλ. 4, 6, 8, κ.λπ.). Ο πρώτος αριθμός που απομένει μετά το 2 ήταν 3. Στη συνέχεια, μετά από δύο, διαγράφηκαν όλοι οι αριθμοί που έρχονται μετά το 3 (αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 3, δηλ. 6, 9, 12, κ.λπ.). στο τέλος μόνο οι πρώτοι αριθμοί έμειναν αδιασταύρωτοι.
Αλλά πολλοί φυσικοί αριθμοί διαιρούνται επίσης με άλλους φυσικούς αριθμούς.
Για παράδειγμα:
Ο αριθμός 12 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12.
Ο αριθμός 36 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12, με το 18, με το 36.
Οι αριθμοί με τους οποίους ο αριθμός διαιρείται με ένα σύνολο (για το 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12) λέγονται διαιρέτες αριθμών. Διαιρέτης φυσικού αριθμού ένα- είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται δεδομένου αριθμού έναχωρίς ίχνος. Ένας φυσικός αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες ονομάζεται σύνθετος .
Σημειώστε ότι οι αριθμοί 12 και 36 έχουν κοινούς παράγοντες. Αυτοί οι αριθμοί είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ο μεγαλύτερος διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 12. Ο κοινός διαιρέτης αυτών των δύο αριθμών έναΚαι σι- αυτός είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο αριθμοί χωρίς υπόλοιπο έναΚαι σι.
Κοινά πολλαπλάσιααρκετοί αριθμοί είναι ένας αριθμός που διαιρείται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 9, 18 και 45 έχουν κοινό πολλαπλάσιο του 180. Αλλά το 90 και το 360 είναι επίσης κοινά πολλαπλάσια τους. Μεταξύ όλων των κοινών πολλαπλασίων υπάρχει πάντα ένα μικρότερο, in σε αυτήν την περίπτωσηαυτό είναι 90. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται το μικρότεροκοινά πολλαπλάσια (CMM).
Το LCM είναι πάντα ένας φυσικός αριθμός που πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Ιδιότητες.
Ανταλλαγή:
Συνεταιρισμός:
Συγκεκριμένα, αν και είναι συμπρώτοι αριθμοί, τότε:
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων ΜΚαι nείναι διαιρέτης όλων των άλλων κοινών πολλαπλασίων ΜΚαι n. Επιπλέον, το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων m, nσυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλασίων για το LCM( m, n).
Οι ασυμπτωτικές για μπορούν να εκφραστούν με όρους ορισμένων αριθμητικών συναρτήσεων.
Ετσι, Λειτουργία Chebyshev. Και:
Αυτό προκύπτει από τον ορισμό και τις ιδιότητες της συνάρτησης Landau g(n).
Τι προκύπτει από τον νόμο κατανομής των πρώτων αριθμών.
Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM).
NOC( α, β) μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους:
1. Εάν είναι γνωστός ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σύνδεσή του με το LCM:
2. Ας είναι γνωστή η κανονική αποσύνθεση και των δύο αριθμών σε πρώτους παράγοντες:
Οπου p 1 ,...,p k- διάφοροι πρώτοι αριθμοί, και d 1 ,...,d kΚαι e 1 ,...,e k— μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί (μπορούν να είναι μηδενικοί αν ο αντίστοιχος πρώτος δεν βρίσκεται στην επέκταση).
Στη συνέχεια NOC ( ένα,σι) υπολογίζεται με τον τύπο:
Με άλλα λόγια, η αποσύνθεση LCM περιέχει όλους τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις αποσυνθέσεις των αριθμών α, β, και λαμβάνεται ο μεγαλύτερος από τους δύο εκθέτες αυτού του πολλαπλασιαστή.
Παράδειγμα:
Ο υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου πολλών αριθμών μπορεί να μειωθεί σε αρκετούς διαδοχικούς υπολογισμούς του LCM δύο αριθμών:
Κανόνας.Για να βρείτε το LCM μιας σειράς αριθμών, χρειάζεστε:
- Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
- μεταφέρετε τη μεγαλύτερη διαστολή (το γινόμενο των συντελεστών του επιθυμητού προϊόντος) στους συντελεστές του επιθυμητού προϊόντος μεγάλος αριθμόςαπό τους δεδομένους) και, στη συνέχεια, προσθέστε παράγοντες από την επέκταση άλλων αριθμών που δεν εμφανίζονται στον πρώτο αριθμό ή εμφανίζονται σε αυτόν λιγότερες φορές.
— το προκύπτον γινόμενο των πρώτων παραγόντων θα είναι το LCM των δεδομένων αριθμών.
Οποιοιδήποτε δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί έχουν το δικό τους LCM. Αν οι αριθμοί δεν είναι πολλαπλάσιοι ο ένας του άλλου ή δεν έχουν τους ίδιους συντελεστές στην επέκταση, τότε το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών.
Οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 28 (2, 2, 7) συμπληρώνονται με τον παράγοντα 3 (ο αριθμός 21), το γινόμενο (84) που προκύπτει θα είναι ο μικρότερος αριθμός, που διαιρείται με το 21 και το 28.
Οι πρώτοι παράγοντες του μεγαλύτερου αριθμού 30 συμπληρώνονται από τον παράγοντα 5 του αριθμού 25, το γινόμενο 150 που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από τον μεγαλύτερο αριθμό 30 και διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Αυτό λιγότερο προϊόντου δυνατού (150, 250, 300...), στο οποίο όλοι οι αριθμοί που δίνονται είναι πολλαπλοί.
Οι αριθμοί 2,3,11,37 είναι πρώτοι αριθμοί, άρα το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο των δεδομένων αριθμών.
Κανόνας. Για να υπολογίσετε το LCM των πρώτων αριθμών, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους αυτούς τους αριθμούς μαζί.
Αλλη επιλογή:
Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) πολλών αριθμών χρειάζεστε:
1) αντιπροσωπεύει κάθε αριθμό ως γινόμενο των πρώτων παραγόντων του, για παράδειγμα:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) Καταγράψτε τις δυνάμεις όλων των πρώτων παραγόντων:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) Καταγράψτε όλους τους πρώτους διαιρέτες (πολλαπλασιαστές) καθενός από αυτούς τους αριθμούς.
4) επιλέξτε τον μεγαλύτερο βαθμό καθενός από αυτούς, που βρίσκεται σε όλες τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών.
5) πολλαπλασιάστε αυτές τις δυνάμεις.
Παράδειγμα. Βρείτε το LCM των αριθμών: 168, 180 και 3024.
Λύση. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Γράφουμε έξω μεγαλύτερους βαθμούςόλους τους πρώτους διαιρέτες και πολλαπλασιάστε τους:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο με τίτλο LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σύνδεση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), Και Ιδιαίτερη προσοχήΑς επικεντρωθούμε στην επίλυση παραδειγμάτων. Αρχικά, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών χρησιμοποιώντας το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου με παραγοντοποίηση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD
Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Υπάρχουσα σύνδεσημεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων χρησιμοποιώντας έναν γνωστό μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος είναι LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο τύπο.
Παράδειγμα.
Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών 126 και 70.
Λύση.
Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σύνδεση μεταξύ LCM και GCD, που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών χρησιμοποιώντας τον γραπτό τύπο.
Ας βρούμε το GCD(126, 70) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, επομένως, GCD(126, 70)=14.
Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Απάντηση:
LCM(126, 70)=630.
Παράδειγμα.
Με τι ισούται το LCM(68, 34);
Λύση.
Επειδή Το 68 διαιρείται με το 34, τότε το GCD(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Απάντηση:
LCM(68, 34)=68 .
Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.
Εύρεση LCM με παραγοντοποίηση αριθμών
Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν συνθέσετε ένα γινόμενο από όλους τους πρώτους συντελεστές των δεδομένων αριθμών και στη συνέχεια εξαιρέσετε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις επεκτάσεις των δεδομένων αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών .
Ο αναφερόμενος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών α και β είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση των αριθμών α και β. Με τη σειρά του, το GCD(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (όπως περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας την επέκταση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Ας συνθέσουμε το γινόμενο από όλους τους συντελεστές αυτών των επεκτάσεων: 2·3·3·5·5·5·7 . Τώρα από αυτό το γινόμενο εξαιρούμε όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2·3·5·5·7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 75 και του 210, δηλαδή NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.
Λύση.
Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:
Παίρνουμε 441=3·3·7·7 και 700=2·2·5·5·7.
Τώρα ας δημιουργήσουμε ένα προϊόν από όλους τους παράγοντες που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των αριθμών: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ετσι, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Απάντηση:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Εάν οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b προστεθούν στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού α, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.
Για παράδειγμα, ας πάρουμε τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2·3·5·5·7, η τιμή του οποίου είναι ίσο με LCM(75, 210).
Παράδειγμα.
Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.
Λύση.
Λαμβάνουμε πρώτα τις αποσυνθέσεις των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2·2·3·7 και 648=2·2·2·3·3·3·3. Στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2, 3, 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648, παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7, που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648 είναι 4.536.
Απάντηση:
LCM(84, 648)=4,536.
Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών
Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Ας θυμηθούμε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρούμε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.
Θεώρημα.
Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.
Παράδειγμα.
Βρείτε το LCM τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250.
Λύση.
Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Πρώτα βρίσκουμε m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε το GCD(140, 9), έχουμε 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, επομένως, GCD(140, 9)=1 , από όπου GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Δηλαδή, m 2 = 1 260.
Τώρα βρίσκουμε m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του GCD(1 260, 54), το οποίο προσδιορίζουμε επίσης χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Τότε gcd(1,260, 54)=18, από το οποίο gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Δηλαδή, m 3 = 3 780.
Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3,780, 250) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Επομένως, GCM(3,780, 250)=10, από όπου GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Δηλαδή m 4 =94.500.
Άρα το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.
Απάντηση:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
Σε πολλές περιπτώσεις, είναι βολικό να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών χρησιμοποιώντας πρώτους παραγοντοποιήσεις των δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρείτε τον ακόλουθο κανόνα. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους συντελεστές που προκύπτουν και ούτω καθεξής.
Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση πρώτων.
Παράδειγμα.
Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.
Λύση.
Αρχικά, λαμβάνουμε τις αποσυνθέσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (το 7 είναι πρώτος αριθμός, συμπίπτει με την αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες) και 143=11·13.
Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2, 2, 3 και 7), πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6. Η αποσύνθεση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην αποσύνθεση του πρώτου αριθμού 84. Στη συνέχεια, στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48, παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2, 2, 2, 2, 3 και 7. Δεν θα χρειαστεί να προσθέσετε πολλαπλασιαστές σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2, 2, 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143. Παίρνουμε το γινόμενο 2·2·2·2·3·7·11·13, που ισούται με 48.048.
Δεύτερος αριθμός: b=
Διαχωριστής χιλιάδωνΧωρίς διαχωριστικό χώρου "'
Αποτέλεσμα:
Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης GCD( ένα,σι)=6
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του LCM( ένα,σι)=468
Ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με τους αριθμούς a και b ονομάζεται μέγιστο κοινό διαιρέτη(GCD) αυτών των αριθμών. Συμβολίζεται με gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ή hcf(a,b).
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοΤο LCM δύο ακεραίων a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με το a και το b χωρίς υπόλοιπο. Συμβολίζεται LCM(a,b) ή lcm(a,b).
Οι ακέραιοι α και β λέγονται αμοιβαία πρωταρχική, αν δεν έχουν κοινούς διαιρέτες εκτός από +1 και −1.
Μέγιστο κοινό διαιρέτη
Έστω δύο θετικοί αριθμοί ένα 1 και ένα 2 1). Απαιτείται να βρεθεί ο κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών, δηλ. βρείτε έναν τέτοιο αριθμό λ , που διαιρεί αριθμούς ένα 1 και ένα 2 ταυτόχρονα. Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο.
1) Σε αυτό το άρθρο, η λέξη αριθμός θα γίνει κατανοητή ως ακέραιος.
Αφήνω ένα 1 ≥ ένα 2 και ας
Οπου Μ 1 , ένα 3 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ένα 3 <ένα 2 (υπόλοιπο διαίρεσης ένα 1 ανά ένα 2 θα πρέπει να είναι μικρότερο ένα 2).
Ας το προσποιηθούμε λ χωρίζει ένα 1 και ένα 2 τότε λ χωρίζει Μ 1 ένα 2 και λ χωρίζει ένα 1 −Μ 1 ένα 2 =ένα 3 (Δήλωση 2 του άρθρου «Διαιρετότητα αριθμών. Δοκιμασία διαιρετότητας»). Από αυτό προκύπτει ότι κάθε κοινός διαιρέτης ένα 1 και έναΤο 2 είναι ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3. Το αντίστροφο ισχύει επίσης αν λ κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3 τότε Μ 1 ένα 2 και ένα 1 =Μ 1 ένα 2 +έναΤο 3 διαιρείται επίσης με λ . Επομένως ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και έναΤο 3 είναι επίσης κοινός διαιρέτης ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 3 <ένα 2 ≤ένα 1, τότε μπορούμε να πούμε ότι η λύση στο πρόβλημα της εύρεσης του κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ανάγεται στο απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης του κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 2 και ένα 3 .
Αν ένα 3 ≠0, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε ένα 2 σε ένα 3. Επειτα
,
Οπου Μ 1 και ένα 4 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ( ένα 4 απομένουν από τη διαίρεση ένα 2 σε ένα 3 (ένα 4 <ένα 3)). Με παρόμοιο συλλογισμό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 3 και έναΤο 4 συμπίπτει με κοινούς διαιρέτες αριθμών ένα 2 και ένα 3, και επίσης με κοινούς διαιρέτες ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ένα 4, ... είναι αριθμοί που μειώνονται συνεχώς, και δεδομένου ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός ακεραίων μεταξύ ένα 2 και 0, μετά σε κάποιο βήμα n, το υπόλοιπο της διαίρεσης ένα n σε ένα n+1 θα είναι ίσο με μηδέν ( ένα n+2 =0).
.
Κάθε κοινός διαιρέτης λ αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 2 και ένα 3 , ένα 3 και ένα 4 , .... ένα n και ένα n+1 . Αληθεύει και το αντίστροφο, κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτες αριθμών ένα n−1 και ένα n , .... , ένα 2 και ένα 3 , ένα 1 και ένα 2. Αλλά ο κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι ένας αριθμός ένα n+1 , επειδή ένα n και έναΤα n+1 διαιρούνται με ένα n+1 (θυμηθείτε ότι ένα n+2 =0). Ως εκ τούτου έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 1 και ένα 2 .
Σημειώστε ότι ο αριθμός έναΤο n+1 είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης των αριθμών ένα n και ένα n+1 , αφού ο μεγαλύτερος διαιρέτης ένα n+1 είναι ο ίδιος ένα n+1 . Αν έναΤο n+1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο ακεραίων, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι επίσης κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 1 και ένα 2. Αριθμός ένα n+1 καλείται μέγιστο κοινό διαιρέτηαριθμοί ένα 1 και ένα 2 .
Αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 μπορεί να είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί αριθμοί. Εάν ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με μηδέν, τότε ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών θα είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του άλλου αριθμού. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μηδενικών αριθμών είναι απροσδιόριστος.
Ο παραπάνω αλγόριθμος ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμοςνα βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων.
Ένα παράδειγμα εύρεσης του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών
Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών 630 και 434.
- Βήμα 1. Διαιρέστε τον αριθμό 630 με 434. Το υπόλοιπο είναι 196.
- Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμό 434 με το 196. Το υπόλοιπο είναι 42.
- Βήμα 3. Διαιρέστε τον αριθμό 196 με το 42. Το υπόλοιπο είναι 28.
- Βήμα 4. Διαιρέστε τον αριθμό 42 με 28. Το υπόλοιπο είναι 14.
- Βήμα 5. Διαιρέστε τον αριθμό 28 με 14. Το υπόλοιπο είναι 0.
Στο βήμα 5, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0. Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 630 και 434 είναι το 14. Σημειώστε ότι οι αριθμοί 2 και 7 είναι επίσης διαιρέτες των αριθμών 630 και 434.
Συμπρώτοι αριθμοί
Ορισμός 1. Έστω ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ισούται με ένα. Τότε καλούνται αυτοί οι αριθμοί συμπρώτους αριθμούς, χωρίς κοινό διαιρέτη.
Θεώρημα 1. Αν ένα 1 και ένα 2 συμπρώτες αριθμοί, και λ κάποιος αριθμός και μετά οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης αριθμών λα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης ένας κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .
Απόδειξη. Εξετάστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη αριθμών ένα 1 και ένα 2 (βλ. παραπάνω).
.
Από τις συνθήκες του θεωρήματος προκύπτει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 και επομένως ένα n και ένα n+1 είναι 1. Δηλαδή ένα n+1 =1.
Ας πολλαπλασιάσουμε όλες αυτές τις ισότητες επί λ , Επειτα
.
Έστω ο κοινός διαιρέτης ένα 1 λ Και ένα 2 ναι δ . Επειτα δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα 1 λ , Μ 1 ένα 2 λ και στο ένα 1 λ -Μ 1 ένα 2 λ =ένα 3 λ (βλ. «Διαιρετότητα αριθμών», Δήλωση 2). Περαιτέρω δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα 2 λ Και Μ 2 ένα 3 λ , και, ως εκ τούτου, περιλαμβάνεται ως παράγοντας σε ένα 2 λ -Μ 2 ένα 3 λ =ένα 4 λ .
Συλλογιζόμενοι έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα n−1 λ Και Μ n−1 ένα n λ , και ως εκ τούτου σε ένα n−1 λ −Μ n−1 ένα n λ =ένα n+1 λ . Επειδή ένα n+1 =1, τότε δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο λ . Επομένως ο αριθμός δ είναι ο κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .
Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήματος 1.
Συνέπεια 1. Αφήνω έναΚαι ντοΟι πρώτοι αριθμοί είναι σχετικά σι. Μετά το προϊόν τους μετα Χριστονείναι πρώτος αριθμός σε σχέση με σι.
Πραγματικά. Από το Θεώρημα 1 μετα ΧριστονΚαι σιέχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες με ντοΚαι σι. Αλλά οι αριθμοί ντοΚαι σισχετικά απλό, δηλ. έχουν έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Τότε μετα ΧριστονΚαι σιέχουν επίσης έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Επομένως μετα ΧριστονΚαι σιαμοιβαία απλή.
Συνέπεια 2. Αφήνω έναΚαι σισυμπρώτοι αριθμοί και ας σιχωρίζει ακ. Επειτα σιδιαιρεί και κ.
Πραγματικά. Από την προϋπόθεση έγκρισης ακΚαι σιέχουν κοινό διαιρέτη σι. Δυνάμει του Θεωρήματος 1, σιπρέπει να είναι κοινός διαιρέτης σιΚαι κ. Ως εκ τούτου σιχωρίζει κ.
Το συμπέρασμα 1 μπορεί να γενικευτεί.
Συνέπεια 3. 1. Αφήστε τους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ..., έναΤα m είναι πρώτοι σε σχέση με τον αριθμό σι. Επειτα ένα 1 ένα 2 , ένα 1 ένα 2 · ένα 3 , ..., ένα 1 ένα 2 ένα 3 ··· ένα m, το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι πρώτος σε σχέση με τον αριθμό σι.
2. Ας έχουμε δύο σειρές αριθμών
έτσι ώστε κάθε αριθμός της πρώτης σειράς να είναι πρώτος στην αναλογία κάθε αριθμού της δεύτερης σειράς. Στη συνέχεια το προϊόν
Πρέπει να βρείτε αριθμούς που να διαιρούνται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς.
Αν ένας αριθμός διαιρείται με ένα 1, τότε έχει τη μορφή ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ 1 όπου μικρόκάποιο νούμερο. Αν qείναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2, λοιπόν
Οπου μικρόΤο 1 είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Επειτα
είναι ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια αριθμών ένα 1 και ένα 2 .
ένα 1 και έναΟι 2 είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 και ένα 2:
Πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο αριθμών ένα 1 , ένα 2 , έναΤο 3 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε Και ένα 3 και πίσω. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε Και ένα 3 ναι ε 1 . Στη συνέχεια, πολλαπλάσια αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , έναΤο 4 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε 1 και ένα 4 . Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε 1 και ένα 4 ναι ε 2. Έτσι, ανακαλύψαμε ότι όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m συμπίπτει με πολλαπλάσια ενός συγκεκριμένου αριθμού ε n, που ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών.
Στην ειδική περίπτωση που οι αριθμοί ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 , ένα 2, όπως φαίνεται παραπάνω, έχει τη μορφή (3). Στη συνέχεια, από τότε ένα 3 πρώτοι σε σχέση με αριθμούς ένα 1 , ένα 2 τότε ένα 3 πρώτος αριθμός ένα 1 · ένα 2 (Συνέπεια 1). Σημαίνει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 ,ένα 2 ,έναΤο 3 είναι ένας αριθμός ένα 1 · ένα 2 · ένα 3. Συλλογιζόμενοι με παρόμοιο τρόπο, φτάνουμε στις ακόλουθες δηλώσεις.
Δήλωση 1. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι ίσο με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· έναΜ.
Δήλωση 2. Κάθε αριθμός που διαιρείται με καθέναν από τους συμπρώιμους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m διαιρείται επίσης με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· έναΜ.
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι βασικές αριθμητικές έννοιες που κάνουν την εργασία με κλάσματα αβίαστη. LCM και χρησιμοποιούνται συχνότερα για την εύρεση του κοινού παρονομαστή πολλών κλασμάτων.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Ο διαιρέτης ενός ακέραιου X είναι ένας άλλος ακέραιος αριθμός Y με τον οποίο το X διαιρείται χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ο διαιρέτης του 4 είναι 2 και του 36 είναι 4, 6, 9. Πολλαπλάσιο ενός ακέραιου Χ είναι ένας αριθμός Υ που διαιρείται με το Χ χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 3 είναι πολλαπλάσιο του 15 και το 6 είναι πολλαπλάσιο του 12.
Για οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών μπορούμε να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες και πολλαπλάσια τους. Για παράδειγμα, για το 6 και το 9, το κοινό πολλαπλάσιο είναι 18 και ο κοινός διαιρέτης είναι 3. Προφανώς, τα ζεύγη μπορούν να έχουν πολλούς διαιρέτες και πολλαπλάσια, επομένως οι υπολογισμοί χρησιμοποιούν τον μεγαλύτερο διαιρέτη GCD και το μικρότερο πολλαπλάσιο LCM.
Ο ελάχιστος διαιρέτης δεν έχει νόημα, αφού για οποιονδήποτε αριθμό είναι πάντα ένα. Το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο είναι επίσης χωρίς νόημα, αφού η ακολουθία των πολλαπλασίων πηγαίνει στο άπειρο.
Εύρεση gcd
Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη, οι πιο διάσημες από τις οποίες είναι:
- διαδοχική απαρίθμηση διαιρετών, επιλογή κοινών για ένα ζευγάρι και αναζήτηση του μεγαλύτερου από αυτούς.
- αποσύνθεση αριθμών σε αδιαίρετους παράγοντες.
- Ευκλείδειος αλγόριθμος;
- δυαδικός αλγόριθμος.
Σήμερα στα εκπαιδευτικά ιδρύματα οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι είναι η αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες και ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Το τελευταίο, με τη σειρά του, χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων Διοφαντίνης: απαιτείται αναζήτηση για GCD για να ελεγχθεί η εξίσωση για τη δυνατότητα ανάλυσης σε ακέραιους αριθμούς.
Εύρεση του NOC
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο προσδιορίζεται επίσης με διαδοχική απαρίθμηση ή αποσύνθεση σε αδιαίρετους παράγοντες. Επιπλέον, είναι εύκολο να βρείτε το LCM εάν έχει ήδη προσδιοριστεί ο μεγαλύτερος διαιρέτης. Για τους αριθμούς X και Y, το LCM και το GCD σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Για παράδειγμα, εάν GCM(15,18) = 3, τότε LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Το πιο προφανές παράδειγμα χρήσης LCM είναι να βρείτε τον κοινό παρονομαστή, που είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του δοσμένα κλάσματα.
Συμπρώτοι αριθμοί
Εάν ένα ζεύγος αριθμών δεν έχει κοινούς διαιρέτες, τότε ένα τέτοιο ζεύγος λέγεται συμπρώτος. Το gcd για τέτοια ζεύγη είναι πάντα ίσο με ένα, και με βάση τη σύνδεση μεταξύ διαιρετών και πολλαπλασίων, το gcd για τα συμπρωτεύοντα ζεύγη είναι ίσο με το γινόμενο τους. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 25 και 28 είναι σχετικά πρώτοι, επειδή δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, και LCM(25, 28) = 700, που αντιστοιχεί στο γινόμενο τους. Τυχόν δύο αδιαίρετοι αριθμοί θα είναι πάντα σχετικά πρώτοι.
Κοινός διαιρέτης και πολλαπλή αριθμομηχανή
Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή μας, μπορείτε να υπολογίσετε το GCD και το LCM για έναν αυθαίρετο αριθμό αριθμών για να διαλέξετε. Οι εργασίες για τον υπολογισμό κοινών διαιρετών και πολλαπλασίων βρίσκονται στην αριθμητική της 5ης και 6ης τάξης, αλλά το GCD και το LCM είναι βασικές έννοιες στα μαθηματικά και χρησιμοποιούνται στη θεωρία αριθμών, την επιπεδομετρία και την επικοινωνιακή άλγεβρα.
Παραδείγματα πραγματικής ζωής
Κοινός παρονομαστής των κλασμάτων
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή πολλαπλών κλασμάτων. Ας πούμε ότι σε ένα αριθμητικό πρόβλημα πρέπει να αθροίσετε 5 κλάσματα:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Για να προσθέσετε κλάσματα, η έκφραση πρέπει να μειωθεί σε έναν κοινό παρονομαστή, ο οποίος μειώνεται στο πρόβλημα εύρεσης του LCM. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε 5 αριθμούς στην αριθμομηχανή και εισαγάγετε τις τιμές των παρονομαστών στα κατάλληλα κελιά. Το πρόγραμμα θα υπολογίσει το LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Τώρα πρέπει να υπολογίσετε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Έτσι οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλα τα κλάσματα με τον αντίστοιχο πρόσθετο παράγοντα και παίρνουμε:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Μπορούμε εύκολα να αθροίσουμε τέτοια κλάσματα και να πάρουμε το αποτέλεσμα ως 159/360. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 και βλέπουμε την τελική απάντηση - 53/120.
Επίλυση γραμμικών Διοφαντικών εξισώσεων
Οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις είναι εκφράσεις της μορφής ax + by = d. Αν ο λόγος d / gcd(a, b) είναι ακέραιος, τότε η εξίσωση είναι επιλύσιμη σε ακέραιους αριθμούς. Ας ελέγξουμε μερικές εξισώσεις για να δούμε αν έχουν ακέραια λύση. Αρχικά, ας ελέγξουμε την εξίσωση 150x + 8y = 37. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, βρίσκουμε GCD (150,8) = 2. Διαιρέστε 37/2 = 18,5. Ο αριθμός δεν είναι ακέραιος, επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Ας ελέγξουμε την εξίσωση 1320x + 1760y = 10120. Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για να βρείτε GCD(1320, 1760) = 440. Διαιρέστε 10120/440 = 23. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν ακέραιο, επομένως, η εξίσωση συντελεστή Diophantine is .
συμπέρασμα
Το GCD και το LCM παίζουν μεγάλο ρόλο στη θεωρία αριθμών και οι ίδιες οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως σε μια μεγάλη ποικιλία τομέων των μαθηματικών. Χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή μας για να υπολογίσετε τους μεγαλύτερους διαιρέτες και τα ελάχιστα πολλαπλάσια οποιουδήποτε αριθμού αριθμών.