Ενεπίγραφοτετράπλευρο - ένα τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές βρίσκονται όλες στον ίδιο κύκλο.
Προφανώς, αυτός ο κύκλος θα ονομάζεται περιγράφεταιγύρω από το τετράγωνο.
Περιγράφεταιένα τετράπλευρο είναι τέτοιο ώστε όλες οι πλευρές του να εφάπτονται σε έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση ο κύκλος εγγεγραμμένοςσε τετράγωνο.
Το σχήμα δείχνει εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα τετράπλευρα και τις ιδιότητές τους.
Ας δούμε πώς χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδιότητες για την επίλυση προβλημάτων Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης.
1. Δύο γωνίες ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι 82° και 58°. Βρείτε τη μεγαλύτερη γωνία που απομένει. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.
Το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου είναι 180°. Έστω η γωνία Α 82°. Τότε υπάρχει μια γωνία 98 μοιρών απέναντι του. Αν η γωνία Β είναι 58°, τότε η γωνία Δ είναι 180° - 58° = 122°.
Απάντηση: 122.
2. Οι τρεις πλευρές ενός τετράπλευρου που περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο έχουν αναλογία (με διαδοχική σειρά) ως 1:2:3. Βρείτε τη μεγαλύτερη πλευρά αυτού του τετράπλευρου αν είναι γνωστό ότι η περίμετρός του είναι 32.
Έστω η πλευρά AB x, η AD είναι 2x και η DC είναι 3x. Σύμφωνα με την ιδιότητα του περιγραφόμενου τετράπλευρου, τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα και επομένως
x + 3x = π.Χ. + 2x.
Αποδεικνύεται ότι το BC είναι ίσο με 2x. Τότε η περίμετρος του τετράπλευρου είναι 8x. Παίρνουμε ότι x = 4 και η μεγαλύτερη πλευρά είναι 12.
3. Ένα τραπέζι περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο, του οποίου η περίμετρος είναι 40. Βρείτε τη μέση γραμμή του.
Το θυμόμαστε αυτό ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτραπεζοειδές είναι ίσο με το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων. Έστω οι βάσεις του τραπεζίου ίσες με a και c, και πλευρές- β και δ. Σύμφωνα με την ιδιότητα του περιγραφόμενου τετράπλευρου,
a + c = b + d, που σημαίνει ότι η περίμετρος είναι 2(a + c).
Παίρνουμε ότι a + c = 20 και η μεσαία γραμμή είναι 10.
Ας επαναλάβουμε για άλλη μια φορά τις ιδιότητες ενός εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου τετράπλευρου.
Ένα τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο εάν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι ίσο με 180°.
Ένα τετράπλευρο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο εάν και μόνο αν τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.
Πίσω μπροστά
Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Αν ενδιαφέρεσαι αυτή η δουλειά, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.
Στόχοι.
Εκπαιδευτικός.Δημιουργία συνθηκών για επιτυχή κατάκτηση της έννοιας του περιγραφόμενου τετράπλευρου, των ιδιοτήτων, των χαρακτηριστικών του και κατάκτηση των δεξιοτήτων εφαρμογής τους στην πράξη.
Αναπτυξιακή. Ανάπτυξη μαθηματικών ικανοτήτων, δημιουργία συνθηκών για την ικανότητα γενίκευσης και εφαρμογής του συρμού σκέψης προς τα εμπρός και προς τα πίσω.
Εκπαιδευτικός. Καλλιεργώντας την αίσθηση της ομορφιάς μέσα από την αισθητική των σχεδίων, έκπληξη με το ασυνήθιστο
απόφαση, σχηματισμός οργάνωσης, ευθύνη για τα αποτελέσματα της δουλειάς κάποιου.
1. Μελετήστε τον ορισμό του περιγεγραμμένου τετράπλευρου.
2. Να αποδείξετε την ιδιότητα των πλευρών του περιγεγραμμένου τετράπλευρου.
3. Εισάγετε τη δυαδικότητα των ιδιοτήτων των αθροισμάτων απέναντι πλευρών και αντίθετων γωνιών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων τετραπλεύρων.
4. Να παρέχει εμπειρία στην πρακτική εφαρμογή των θεωρημάτων που εξετάζονται κατά την επίλυση προβλημάτων.
5. Διεξαγωγή αρχικής παρακολούθησης του επιπέδου αφομοίωσης νέου υλικού.
Εξοπλισμός:
- υπολογιστής, προβολέας;
- εγχειρίδιο «Γεωμετρία. 10-11 τάξεις» για τη γενική εκπαίδευση. ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα αυτοκινήτων A.V. Πογκορέλοφ.
Λογισμικό: Microsoft Word, Microsoft Power Point.
Χρήση υπολογιστή κατά την προετοιμασία ενός δασκάλου για ένα μάθημα.
Χρησιμοποιώντας ένα τυπικό πρόγραμμα λειτουργικού συστήματος Windows, δημιουργήθηκαν τα ακόλουθα για το μάθημα:
- Παρουσίαση.
- Πίνακες.
- Σχεδιαγράμματα.
- Ελεημοσύνη.
Πλάνο μαθήματος
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
1. Οργανωτική στιγμή. Χαιρετίσματα. Δηλώστε το θέμα και το σκοπό του μαθήματος. Καταγράψτε την ημερομηνία και το θέμα του μαθήματος στο τετράδιό σας.
2. Έλεγχος της εργασίας.
3. Μελέτη νέου υλικού.
Εργαστείτε στην έννοια του περιγεγραμμένου πολυγώνου.
Ορισμός. Το πολύγωνο ονομάζεται περιγράφεταιγια έναν κύκλο, αν Ολα τα πλευρά του ανησυχία κάποιο κύκλο.
Ερώτηση. Ποια από τα προτεινόμενα πολύγωνα περιγράφονται και ποια όχι και γιατί;
<Презентация. Слайд №2>
Απόδειξη των ιδιοτήτων του περιγεγραμμένου τετράπλευρου.
<Презентация. Слайд №3>
Θεώρημα. Σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο, τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα.
Οι μαθητές εργάζονται με ένα σχολικό βιβλίο και σημειώνουν τη διατύπωση του θεωρήματος σε ένα τετράδιο.
1. Να παρουσιάσετε τη διατύπωση του θεωρήματος με τη μορφή υπό όρους πρότασης.
2. Ποια είναι η προϋπόθεση του θεωρήματος;
3. Ποιο είναι το συμπέρασμα του θεωρήματος;
Απάντηση. Ανένα τετράπλευρο περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο, Οτιτα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα.
Η απόδειξη πραγματοποιείται, οι μαθητές σημειώνουν στο τετράδιό τους.
<Презентация. Слайд №4>
Δάσκαλος. Σημείωση δυαδικότητα καταστάσεις για πλευρές και γωνίες περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων τετραπλεύρων.
Εμπέδωση της αποκτηθείσας γνώσης.
Καθήκοντα.
Απάντηση. 1. 10 μ. 2. 20 μ. 3. 21 μ
Απόδειξη του χαρακτηριστικού ενός περιγεγραμμένου τετράπλευρου.
Να διατυπώσετε το θεώρημα της αντίστροφης.
Απάντηση. Εάν σε ένα τετράπλευρο τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτό. (Επιστροφή στη διαφάνεια 2, Εικ. 7) <Презентация. Слайд №2>
Δάσκαλος. Να διευκρινιστεί η διατύπωση του θεωρήματος.
Θεώρημα. Αν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών κυρτόςτετράπλευρα είναι ίσα, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε αυτό.
Εργασία με το σχολικό βιβλίο. Εξοικειωθείτε με την απόδειξη του τεστ για περιγεγραμμένο τετράπλευρο χρησιμοποιώντας το σχολικό βιβλίο.
Εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης.
3. Εργασίες που βασίζονται σε τελειωμένα σχέδια.
1. Είναι δυνατόν να εγγραφεί κύκλος σε τετράπλευρο με αντίθετες πλευρές 9 m και 4 m, 10 m και 3 m;
2. Είναι δυνατόν να εγγραφεί κύκλος σε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις 1 m και 9 m, και ύψος 3 m;
<Презентация. Слайд №6>
Γραπτές εργασίες σε τετράδια
.Εργο.Βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ρόμβο με διαγώνιες 6 m και 8 m.
<Презентация. Слайд № 7>
4. Ανεξάρτητη εργασία.
1 επιλογή
1. Είναι δυνατόν να εγγραφεί ένας κύκλος
1) σε ορθογώνιο με πλευρές 7 m και 10 m,
2. Οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου που περιβάλλεται γύρω από έναν κύκλο είναι 7 m και 10 m.
Να βρείτε την περίμετρο του τετράπλευρου.
3. Περιγράφεται γύρω από κύκλο ισόπλευρο τραπέζιο με βάσεις 4 m και 16 m.
1) ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
Επιλογή 2
1. Είναι δυνατόν να εγγραφεί ένας κύκλος:
1) σε παραλληλόγραμμο με πλευρές 6 m και 13 m,
2) τετράγωνο;
2. Οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου περιγεγραμμένου γύρω από έναν κύκλο είναι 9 m και 11 m Βρείτε την περίμετρο του τετράπλευρου.
3. Ένα ισόπλευρο τραπέζιο με πλευρική πλευρά 5 m περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο με ακτίνα 2 m.
1) η βάση του τραπεζοειδούς,
2) ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.
5. Εργασία για το σπίτι. Σελ.86, Νο. 28, 29, 30.
6. Περίληψη μαθήματος. Ελέγχεται η ανεξάρτητη εργασία και δίνονται βαθμοί.
<Презентация. Слайд № 8>
Το μάθημα βίντεο «Get an A» περιλαμβάνει όλα τα θέματα που είναι απαραίτητα για επιτυχία περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηστα μαθηματικά για 60-65 μονάδες. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!
Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.
Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.
Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.
Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Βάση λύσης σύνθετες εργασίες 2 μέρη της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.
Θεώρημα 1. Το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός κυκλικού τετράπλευρου είναι 180°.
Έστω ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το Ο (Εικ. 412). Απαιτείται να αποδειχθεί ότι ∠A + ∠C = 180° και ∠B + ∠D = 180°.
∠Α, όπως εγγράφεται στον κύκλο Ο, έχει μέγεθος 1 / 2 \(\breve(BCD)\).
∠C, όπως εγγράφεται στον ίδιο κύκλο, έχει μέγεθος 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Κατά συνέπεια, το άθροισμα των γωνιών Α και Γ μετριέται με το άθροισμα των τόξων BCD και BAD, τα τόξα αυτά συνθέτουν έναν κύκλο, δηλ. έχουν 360°.
Ως εκ τούτου ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι ∠B + ∠D = 180°. Ωστόσο, αυτό μπορεί να συναχθεί με άλλο τρόπο. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι 360°. Το άθροισμα των γωνιών Α και Γ είναι ίσο με 180°, που σημαίνει ότι το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών του τετραπλεύρου παραμένει επίσης 180°.
Θεώρημα 2 (αντίστροφη). Αν σε ένα τετράπλευρο το άθροισμα δύο απέναντι γωνιών είναι ίσο 180° , τότε ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τέτοιο τετράπλευρο.
Έστω το άθροισμα των απέναντι γωνιών του τετράπλευρου ABCD ίσο με 180°, δηλαδή
∠A + ∠C = 180° και ∠B + ∠D = 180° (Εικ. 412).
Ας αποδείξουμε ότι ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τέτοιο τετράπλευρο.
Απόδειξη. Μέσα από οποιεσδήποτε 3 κορυφές αυτού του τετράπλευρου μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο, για παράδειγμα μέσα από τα σημεία Α, Β και Γ. Πού θα βρίσκεται το σημείο Δ;
Το σημείο Δ μπορεί να πάρει μόνο μία από τις ακόλουθες τρεις θέσεις: να είναι μέσα στον κύκλο, να είναι έξω από τον κύκλο, να είναι στην περιφέρεια του κύκλου.
Ας υποθέσουμε ότι η κορυφή βρίσκεται μέσα στον κύκλο και παίρνει τη θέση D’ (Εικ. 413). Τότε στο τετράπλευρο ABCD’ θα έχουμε:
∠B + ∠D' = 2 ρε.
Συνεχίζοντας την πλευρά AD’ προς την τομή με τον κύκλο στο σημείο Ε και συνδέοντας τα σημεία Ε και Γ, λαμβάνουμε το κυκλικό τετράπλευρο ABCE, στο οποίο, με το άμεσο θεώρημα
∠B + ∠E = 2 ρε.
Από αυτές τις δύο ισότητες προκύπτει:
∠D’ = 2 ρε- ∠B;
∠E = 2 ρε- ∠B;
αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι, αφού το ∠D’, όντας εξωτερικό σε σχέση με το τρίγωνο CD’E, πρέπει να είναι μεγαλύτερο από τη γωνία Ε. Επομένως, το σημείο D δεν μπορεί να βρίσκεται μέσα στον κύκλο.
Αποδεικνύεται επίσης ότι η κορυφή D δεν μπορεί να πάρει τη θέση D" έξω από τον κύκλο (Εικ. 414).
Απομένει να αναγνωρίσουμε ότι η κορυφή D πρέπει να βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, δηλαδή να συμπίπτει με το σημείο Ε, πράγμα που σημαίνει ότι ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από το τετράπλευρο ABCD.
Συνέπειες.
1. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιοδήποτε ορθογώνιο.
2. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα ισοσκελές τραπεζοειδές.
Και στις δύο περιπτώσεις, το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°.
Θεώρημα 3. Σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο, τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα. Έστω ότι το τετράπλευρο ABCD περιγράφεται γύρω από έναν κύκλο (Εικ. 415), δηλαδή οι πλευρές του AB, BC, CD και DA είναι εφαπτομένες σε αυτόν τον κύκλο.
Απαιτείται να αποδειχθεί ότι AB + CD = AD + BC. Ας υποδηλώσουμε τα σημεία εφαπτομένης με τα γράμματα M, N, K, P. Με βάση τις ιδιότητες των εφαπτομένων που σχεδιάζονται σε έναν κύκλο από ένα σημείο, έχουμε:
Ας προσθέσουμε αυτές τις ισότητες ανά όρο. Παίρνουμε:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
δηλαδή AB + CD = AD + BC, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
Άλλα υλικάΓια ένα τρίγωνο, τόσο ένας εγγεγραμμένος κύκλος όσο και ένας κύκλος είναι πάντα δυνατοί.
Για ένα τετράπλευρο, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί μόνο εάν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι τα ίδια. Από όλα τα παραλληλόγραμμα, μόνο ένας ρόμβος και ένα τετράγωνο μπορούν να εγγραφούν με κύκλο. Το κέντρο του βρίσκεται στη διασταύρωση των διαγωνίων.
Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράπλευρο μόνο εάν το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°. Από όλα τα παραλληλόγραμμα, μόνο ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο μπορούν να περιγραφούν ως κύκλος. Το κέντρο του βρίσκεται στη διασταύρωση των διαγωνίων.
Είναι δυνατόν να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από ένα τραπεζοειδές ή ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπεζοειδές εάν το τραπεζοειδές είναι ισοσκελές.
Circumcenter
Θεώρημα. Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο είναι το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων στις πλευρές του τριγώνου.
Το κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα πολύγωνο είναι το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων στις πλευρές αυτού του πολυγώνου.
Κέντρο εγγεγραμμένος κύκλος
Ορισμός. Ένας κύκλος που εγγράφεται σε ένα κυρτό πολύγωνο είναι ένας κύκλος που αγγίζει όλες τις πλευρές αυτού του πολυγώνου (δηλαδή, κάθε πλευρά του πολυγώνου εφάπτεται στον κύκλο).
Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται μέσα στο πολύγωνο.
Ένα πολύγωνο στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένο.
Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα κυρτό πολύγωνο ανοι διχοτόμοι όλων των εσωτερικών γωνιών του τέμνονται σε ένα σημείο.
Κέντρο κύκλου εγγεγραμμένου σε πολύγωνο- το σημείο τομής των διχοτόμων του.
Το κέντρο του κύκλου απέχει ίση από τις πλευρές του πολυγώνου. Η απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε πλευρά είναι ίση με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου Σύμφωνα με την ιδιότητα των εφαπτομένων που σχεδιάζονται από ένα σημείο, οποιαδήποτε κορυφή του περιγεγραμμένου πολυγώνου είναι ίση απόσταση από τα σημεία εφαπτομένης που βρίσκονται στις πλευρές που εκτείνονται από αυτήν την κορυφή.
Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο. Το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο ονομάζεται κέντρο.
Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα κυρτό τετράπλευρο εάν και μόνο αν τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. Συγκεκριμένα, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τραπέζιο αν το άθροισμα των βάσεων του είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρών του.
Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο. Μπορείτε επίσης να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο. Το κέντρο του κύκλου και του κυκλικού κύκλου βρίσκονται στο κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου.
Για οποιοδήποτε περιγεγραμμένο πολύγωνο, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
Όπου S είναι το εμβαδόν του πολυγώνου, p είναι η ημιπερίμετρός του.
Κανονικό n-gon - τύποι
Τύποι για το μήκος πλευράς ενός κανονικού n-gon
1. Τύπος για την πλευρά ενός κανονικού n-gon ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου:
2. Τύπος για την πλευρά ενός κανονικού n-gon ως προς την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου:
Τύπος για την εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου ενός κανονικού n-gon
Τύπος για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός n-γωνίου ως προς το μήκος της πλευράς:
4. Φόρμουλα ακτίνας περιτομής κανονικό τρίγωνοκατά μήκος της πλευράς:
6. Τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου: S = r 2 3√3
7. Τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου ως προς την ακτίνα του κυκλικού κύκλου:
4. Τύπος για την περιφέρεια ενός κανονικού τετράπλευρου ως προς το μήκος της πλευράς:
2. Τύπος για την πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου ως προς την περιφέρεια: a = R
3. Τύπος για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού εξαγώνου ως προς το μήκος της πλευράς:
6. Τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου: S = r 2 2√3
7. Τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου ως προς την ακτίνα του κυκλικού κύκλου:
| S= | R 2 3√3 |
8. Γωνία μεταξύ των πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου: α = 120°
Σημασία αριθμού(σαφής "πι") - μαθηματική σταθερά, ίσο με την αναλογία
η περιφέρεια ενός κύκλου στο μήκος της διαμέτρου του, εκφράζεται ως άπειρο δεκαδικό κλάσμα.
Συμβολίζεται με το γράμμα «πι» του ελληνικού αλφαβήτου. Με τι ισούται το pi;ΣΕ απλές περιπτώσειςΑρκεί να γνωρίζουμε τα 3 πρώτα ζώδια (3.14).
53. Να βρείτε το μήκος του τόξου ενός κύκλου ακτίνας R που αντιστοιχεί στην κεντρική γωνία του n°
Η κεντρική γωνία που υποτείνεται από ένα τόξο του οποίου το μήκος είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου ονομάζεται γωνία 1 ακτινίου.
Το μέτρο της μοίρας μιας γωνίας 1 ακτινίου είναι:
Από το μήκος τόξου π
R (ημικύκλιο), υποτείνει επίκεντρη γωνίαστα 180 °
, τότε ένα τόξο μήκους R υποτάσσει τη γωνία σε π
φορές μικρότερο, δηλ. 
Και αντίστροφα
Επειδή π = 3,14, μετά 1 rad = 57,3°
Αν η γωνία περιέχει ένα radian, τότε αυτό μέτρο βαθμούίσο με 
Και αντίστροφα 
Συνήθως, όταν δηλώνεται το μέτρο μιας γωνίας σε ακτίνια, το όνομα "rad" παραλείπεται.
Για παράδειγμα, 360° = 2π rad, γράφουν 360° = 2π
Ο πίνακας δείχνει τα πιο συνηθισμένα γωνίες σε μοίρες και ακτίνια.