Ένας από τους τομείς των μαθηματικών που οι μαθητές παλεύουν περισσότερο είναι η τριγωνομετρία. Δεν αποτελεί έκπληξη: για να κατακτήσετε ελεύθερα αυτόν τον τομέα γνώσης, χρειάζεστε χωρική σκέψη, την ικανότητα να βρίσκετε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένους, συνεφαπτομένους χρησιμοποιώντας τύπους, να απλοποιείτε εκφράσεις και να μπορείτε να χρησιμοποιείτε τον αριθμό pi στο υπολογισμούς. Επιπλέον, πρέπει να είστε σε θέση να χρησιμοποιείτε την τριγωνομετρία όταν αποδεικνύετε θεωρήματα, και αυτό απαιτεί είτε μια ανεπτυγμένη μαθηματική μνήμη είτε την ικανότητα εξαγωγής πολύπλοκων λογικών αλυσίδων.
Προέλευση της τριγωνομετρίας
Η εξοικείωση με αυτή την επιστήμη θα πρέπει να ξεκινήσει με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης μιας γωνίας, αλλά πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι κάνει η τριγωνομετρία γενικά.
Ιστορικά, το κύριο αντικείμενο μελέτης σε αυτόν τον κλάδο της μαθηματικής επιστήμης ήταν τα ορθογώνια τρίγωνα. Η παρουσία γωνίας 90 μοιρών καθιστά δυνατή την εκτέλεση διαφόρων εργασιών που επιτρέπουν σε κάποιον να προσδιορίσει τις τιμές όλων των παραμέτρων του εν λόγω σχήματος χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και μία γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά. Στο παρελθόν, οι άνθρωποι παρατήρησαν αυτό το μοτίβο και άρχισαν να το χρησιμοποιούν ενεργά στην κατασκευή κτιρίων, στη ναυσιπλοΐα, στην αστρονομία και ακόμη και στην τέχνη.
Πρώτο στάδιο
Αρχικά, οι άνθρωποι μίλησαν για τη σχέση μεταξύ γωνιών και πλευρών χρησιμοποιώντας αποκλειστικά το παράδειγμα ορθογώνια τρίγωνα. Στη συνέχεια ανακαλύφθηκαν ειδικοί τύποι που επέτρεψαν την επέκταση των ορίων χρήσης Καθημερινή ζωήαυτόν τον κλάδο των μαθηματικών.
Η μελέτη της τριγωνομετρίας στο σχολείο σήμερα ξεκινά με ορθογώνια τρίγωνα, μετά τα οποία οι μαθητές χρησιμοποιούν τις αποκτηθείσες γνώσεις στη φυσική και στην επίλυση αφηρημένων προβλημάτων. τριγωνομετρικές εξισώσεις, εργασία με την οποία ξεκινά από το λύκειο.
Σφαιρική τριγωνομετρία
Αργότερα, όταν η επιστήμη έφτασε στο επόμενο επίπεδο ανάπτυξης, οι τύποι με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη άρχισαν να χρησιμοποιούνται στη σφαιρική γεωμετρία, όπου ισχύουν διαφορετικοί κανόνες και το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι πάντα πάνω από 180 μοίρες. Αυτό το τμήμα δεν μελετάται στο σχολείο, αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για την ύπαρξή του τουλάχιστον επειδή η επιφάνεια της γης, και η επιφάνεια οποιουδήποτε άλλου πλανήτη είναι κυρτή, πράγμα που σημαίνει ότι οποιαδήποτε επιφανειακή σήμανση θα έχει «σχήμα τόξου» στον τρισδιάστατο χώρο.
Πάρτε την υδρόγειο και το νήμα. Συνδέστε το νήμα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υδρογείου, έτσι ώστε να είναι τεντωμένο. Παρακαλώ σημειώστε - έχει πάρει το σχήμα τόξου. Η σφαιρική γεωμετρία ασχολείται με τέτοιες μορφές, η οποία χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, την αστρονομία και άλλα θεωρητικά και εφαρμοσμένα πεδία.
Ορθογώνιο τρίγωνο
Έχοντας μάθει λίγο για τους τρόπους χρήσης της τριγωνομετρίας, ας επιστρέψουμε στη βασική τριγωνομετρία για να κατανοήσουμε περαιτέρω τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη, ποιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν με τη βοήθειά τους και ποιους τύπους να χρησιμοποιήσουμε.
Το πρώτο βήμα είναι να κατανοήσουμε τις έννοιες που σχετίζονται με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Πρώτον, η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Είναι το μεγαλύτερο. Θυμόμαστε ότι σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η αριθμητική του τιμή είναι ίση με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών.
Για παράδειγμα, εάν οι δύο πλευρές είναι 3 και 4 εκατοστά αντίστοιχα, το μήκος της υποτείνουσας θα είναι 5 εκατοστά. Παρεμπιπτόντως, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν για αυτό περίπου τεσσεράμισι χιλιάδες χρόνια πριν.
Οι δύο υπόλοιπες πλευρές, που σχηματίζουν ορθή γωνία, ονομάζονται πόδια. Επιπλέον, πρέπει να θυμόμαστε ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι ίσο με 180 μοίρες.
Ορισμός
Τέλος, με μια σταθερή κατανόηση της γεωμετρικής βάσης, μπορεί κανείς να στραφεί στον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης μιας γωνίας.
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (δηλαδή, της πλευράς απέναντι από την επιθυμητή γωνία) προς την υποτείνουσα. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την υποτείνουσα.
Να θυμάστε ότι ούτε ημίτονο ούτε συνημίτονο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα! Γιατί; Επειδή η υποτείνουσα είναι από προεπιλογή η μεγαλύτερη διάρκεια του σκέλους, θα είναι μικρότερη από την υποτείνουσα, πράγμα που σημαίνει ότι η αναλογία τους θα είναι πάντα μικρότερη από ένα. Έτσι, εάν στην απάντησή σας σε ένα πρόβλημα λάβετε ένα ημίτονο ή συνημίτονο με τιμή μεγαλύτερη από 1, αναζητήστε ένα σφάλμα στους υπολογισμούς ή τη συλλογιστική. Αυτή η απάντηση είναι σαφώς λανθασμένη.
Τέλος, η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Η διαίρεση του ημιτόνου με το συνημίτονο θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα. Κοιτάξτε: σύμφωνα με τον τύπο, διαιρούμε το μήκος της πλευράς με την υποτείνουσα, μετά διαιρούμε με το μήκος της δεύτερης πλευράς και πολλαπλασιάζουμε με την υποτείνουσα. Έτσι, παίρνουμε την ίδια σχέση όπως στον ορισμό της εφαπτομένης.
Η συνεφαπτομένη, κατά συνέπεια, είναι η αναλογία της πλευράς που γειτνιάζει με τη γωνία προς την αντίθετη πλευρά. Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα διαιρώντας το ένα με την εφαπτομένη.
Έτσι, εξετάσαμε τους ορισμούς του τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη και μπορούμε να προχωρήσουμε σε τύπους.
Οι πιο απλοί τύποι
Στην τριγωνομετρία δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς τύπους - πώς να βρείτε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη χωρίς αυτούς; Αλλά αυτό ακριβώς απαιτείται κατά την επίλυση προβλημάτων.
Ο πρώτος τύπος που πρέπει να γνωρίζετε όταν αρχίζετε να μελετάτε την τριγωνομετρία λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα. Αυτός ο τύπος είναι άμεση συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος, αλλά εξοικονομεί χρόνο εάν χρειάζεται να γνωρίζετε το μέγεθος της γωνίας και όχι την πλευρά.
Πολλοί μαθητές δεν μπορούν να θυμηθούν τον δεύτερο τύπο, ο οποίος είναι επίσης πολύ δημοφιλής κατά την επίλυση σχολικών προβλημάτων: το άθροισμα του ενός και του τετραγώνου της εφαπτομένης μιας γωνίας είναι ίσο με το ένα διαιρούμενο με το τετράγωνο του συνημιτόνου της γωνίας. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά: αυτή είναι η ίδια πρόταση όπως στον πρώτο τύπο, μόνο και οι δύο πλευρές της ταυτότητας διαιρούνταν με το τετράγωνο του συνημιτόνου. Αποδεικνύεται ότι μια απλή μαθηματική πράξη κάνει τριγωνομετρικός τύποςεντελώς αγνώριστο. Θυμηθείτε: γνωρίζοντας τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη, κανόνες μετατροπής και πολλά βασικοί τύποιμπορείτε ανά πάσα στιγμή να αποσύρετε τα απαιτούμενα περισσότερα σύνθετους τύπουςσε ένα κομμάτι χαρτί.
Τύποι για διπλές γωνίες και προσθήκη ορισμάτων
Δύο ακόμη τύποι που πρέπει να μάθετε σχετίζονται με τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου για το άθροισμα και τη διαφορά των γωνιών. Παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα. Λάβετε υπόψη ότι στην πρώτη περίπτωση, το ημίτονο και το συνημίτονο πολλαπλασιάζονται και τις δύο φορές, και στη δεύτερη, προστίθεται το κατά ζεύγος γινόμενο ημίτονο και συνημίτονο.
Υπάρχουν επίσης τύποι που σχετίζονται με ορίσματα διπλής γωνίας. Προέρχονται πλήρως από τα προηγούμενα - ως πρακτική, προσπαθήστε να τα αποκτήσετε μόνοι σας παίρνοντας τη γωνία άλφα ίση με τη γωνία βήτα.
Τέλος, σημειώστε ότι οι τύποι διπλής γωνίας μπορούν να αναδιαταχθούν για να μειωθεί η ισχύς του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης άλφα.
Θεωρήματα
Τα δύο κύρια θεωρήματα στη βασική τριγωνομετρία είναι το ημιτονικό θεώρημα και το συνημιτονικό θεώρημα. Με τη βοήθεια αυτών των θεωρημάτων, μπορείτε εύκολα να καταλάβετε πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, και επομένως την περιοχή του σχήματος και το μέγεθος κάθε πλευράς κ.λπ.
Το ημιτονικό θεώρημα δηλώνει ότι η διαίρεση του μήκους κάθε πλευράς ενός τριγώνου με την αντίθετη γωνία έχει ως αποτέλεσμα τον ίδιο αριθμό. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με δύο ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή τον κύκλο που περιέχει όλα τα σημεία ενός δεδομένου τριγώνου.
Το θεώρημα συνημιτόνου γενικεύει το πυθαγόρειο θεώρημα, προβάλλοντάς το σε οποιαδήποτε τρίγωνα. Αποδεικνύεται ότι από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών, αφαιρέστε το γινόμενο τους πολλαπλασιασμένο με το διπλό συνημίτονο της γειτονικής γωνίας - η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο της τρίτης πλευράς. Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται ότι είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος συνημιτόνου.
Απρόσεκτα λάθη
Ακόμη και αν γνωρίζουμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, είναι εύκολο να κάνουμε ένα λάθος λόγω απουσίας ή λάθους στους απλούστερους υπολογισμούς. Για να αποφύγετε τέτοια λάθη, ας ρίξουμε μια ματιά στα πιο δημοφιλή.
Πρώτον, δεν πρέπει να μετατρέψετε τα κλάσματα σε δεκαδικά ψηφία μέχρι να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα - μπορείτε να αφήσετε την απάντηση ως κοινό κλάσμα, εκτός εάν ορίζεται διαφορετικά στους όρους. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός δεν μπορεί να ονομαστεί λάθος, αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι σε κάθε στάδιο του προβλήματος μπορεί να εμφανιστούν νέες ρίζες, οι οποίες, σύμφωνα με την ιδέα του συγγραφέα, θα πρέπει να μειωθούν. Σε αυτή την περίπτωση, θα σπαταλήσετε τον χρόνο σας σε περιττές μαθηματικές πράξεις. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για αξίες όπως η ρίζα των τριών ή η ρίζα των δύο, επειδή βρίσκονται σε προβλήματα σε κάθε βήμα. Το ίδιο ισχύει και για τη στρογγυλοποίηση «άσχημων» αριθμών.
Επιπλέον, σημειώστε ότι το θεώρημα συνημιτόνου ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο, αλλά όχι για το Πυθαγόρειο θεώρημα! Εάν ξεχάσετε κατά λάθος να αφαιρέσετε το διπλάσιο του γινόμενου των πλευρών πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, όχι μόνο θα έχετε ένα εντελώς λάθος αποτέλεσμα, αλλά θα δείξετε και παντελή έλλειψη κατανόησης του θέματος. Αυτό είναι χειρότερο από ένα απρόσεκτο λάθος.
Τρίτον, μην συγχέετε τις τιμές για γωνίες 30 και 60 μοιρών για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες, συνεφαπτομένες. Θυμηθείτε αυτές τις τιμές, γιατί το ημίτονο των 30 μοιρών είναι ίσο με το συνημίτονο του 60 και το αντίστροφο. Είναι εύκολο να τα μπερδέψετε, με αποτέλεσμα να έχετε αναπόφευκτα ένα λανθασμένο αποτέλεσμα.
Εφαρμογή
Πολλοί μαθητές δεν βιάζονται να αρχίσουν να σπουδάζουν τριγωνομετρία γιατί δεν κατανοούν την πρακτική σημασία της. Τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη για έναν μηχανικό ή αστρονόμο; Αυτές είναι έννοιες που καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό της απόστασης από μακρινά αστέρια, την πρόβλεψη της πτώσης ενός μετεωρίτη ή την αποστολή ενός ερευνητικού καθετήρα σε άλλο πλανήτη. Χωρίς αυτά, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα κτίριο, να σχεδιαστεί ένα αυτοκίνητο, να υπολογιστεί το φορτίο σε μια επιφάνεια ή η τροχιά ενός αντικειμένου. Και αυτά είναι μόνο τα πιο προφανή παραδείγματα! Εξάλλου, η τριγωνομετρία με τη μία ή την άλλη μορφή χρησιμοποιείται παντού, από τη μουσική μέχρι την ιατρική.
Τελικά
Άρα είσαι ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη. Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε σε υπολογισμούς και να λύσετε με επιτυχία σχολικά προβλήματα.
Το όλο θέμα της τριγωνομετρίας καταλήγει στο γεγονός ότι χρησιμοποιώντας τις γνωστές παραμέτρους ενός τριγώνου πρέπει να υπολογίσετε τους αγνώστους. Υπάρχουν έξι παράμετροι συνολικά: μήκος τρεις πλευρέςκαι τα μεγέθη των τριών γωνιών. Η μόνη διαφορά στις εργασίες έγκειται στο γεγονός ότι δίνονται διαφορετικά δεδομένα εισόδου.
Πώς να βρείτε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη με βάση γνωστά μήκηπόδια ή υποτείνουσα, ξέρετε τώρα. Δεδομένου ότι αυτοί οι όροι δεν σημαίνουν τίποτα περισσότερο από έναν λόγο και ένας λόγος είναι ένα κλάσμα, ο κύριος στόχος ενός προβλήματος τριγωνομετρίας είναι να βρει τις ρίζες μιας συνηθισμένης εξίσωσης ή συστήματος εξισώσεων. Και εδώ τα μαθηματικά του κανονικού σχολείου θα σας βοηθήσουν.
Το ημίτονο είναι μια από τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η χρήση της οποίας δεν περιορίζεται μόνο στη γεωμετρία. Πίνακες για τον υπολογισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων, όπως οι αριθμομηχανές μηχανικής, δεν είναι πάντα διαθέσιμοι και ο υπολογισμός του ημιτόνου χρειάζεται μερικές φορές για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Γενικά, ο υπολογισμός του ημιτόνου θα συμβάλει στην εδραίωση των δεξιοτήτων σχεδίασης και της γνώσης των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.
Παιχνίδια με χάρακα και μολύβι
Μια απλή εργασία: πώς να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας που σχεδιάστηκε σε χαρτί; Για να λύσετε, θα χρειαστείτε έναν κανονικό χάρακα, ένα τρίγωνο (ή πυξίδα) και ένα μολύβι. Ο απλούστερος τρόπος για να υπολογίσετε το ημίτονο μιας γωνίας είναι διαιρώντας το μακρινό σκέλος ενός τριγώνου με ορθή γωνία με τη μεγάλη πλευρά - την υποτείνουσα. Έτσι, πρέπει πρώτα να ολοκληρώσετε την οξεία γωνία ως προς το σχήμα ενός ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζοντας μια γραμμή κάθετη σε μία από τις ακτίνες σε αυθαίρετη απόσταση από την κορυφή της γωνίας. Θα χρειαστεί να διατηρήσουμε μια γωνία ακριβώς 90°, για την οποία χρειαζόμαστε ένα γραφικό τρίγωνο.
Η χρήση μιας πυξίδας είναι λίγο πιο ακριβής, αλλά θα πάρει περισσότερο χρόνο. Σε μία από τις ακτίνες πρέπει να σημειώσετε 2 σημεία σε μια ορισμένη απόσταση, να ορίσετε μια ακτίνα στην πυξίδα περίπου ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων και να σχεδιάσετε ημικύκλια με κέντρα σε αυτά τα σημεία μέχρι να ληφθούν οι τομές αυτών των γραμμών. Συνδέοντας τα σημεία τομής των κύκλων μας μεταξύ τους, παίρνουμε μια αυστηρή κάθετη στην ακτίνα της γωνίας μας το μόνο που μένει είναι να επεκτείνουμε τη γραμμή μέχρι να τέμνεται με μια άλλη ακτίνα.
Στο τρίγωνο που προκύπτει, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν χάρακα για να μετρήσετε την πλευρά απέναντι από τη γωνία και τη μακριά πλευρά σε μία από τις ακτίνες. Η αναλογία της πρώτης διάστασης προς τη δεύτερη θα είναι η επιθυμητή τιμή του ημιτονοειδούς οξεία γωνία.
Βρείτε το ημίτονο για γωνία μεγαλύτερη από 90°
Για μια αμβλεία γωνία το έργο δεν είναι πολύ πιο δύσκολο. Πρέπει να σχεδιάσουμε μια ακτίνα από την κορυφή προς την αντίθετη κατεύθυνση χρησιμοποιώντας έναν χάρακα για να σχηματίσουμε μια ευθεία γραμμή με μια από τις ακτίνες της γωνίας που μας ενδιαφέρει. Η προκύπτουσα οξεία γωνία πρέπει να αντιμετωπιστεί όπως περιγράφεται παραπάνω, τα ημίτονο των γειτονικών γωνιών που μαζί σχηματίζουν μια αντίστροφη γωνία 180° είναι ίσα.
Υπολογισμός ημιτόνου με χρήση άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Επίσης, ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι δυνατός εάν είναι γνωστές οι τιμές άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας ή τουλάχιστον τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες θα μας βοηθήσουν σε αυτό. Ας δούμε κοινά παραδείγματα.
Πώς να βρείτε το ημίτονο με ένα γνωστό συνημίτονο μιας γωνίας; Η πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα, βασισμένη στο Πυθαγόρειο θεώρημα, δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα.
Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή εφαπτομένη μιας γωνίας; Η εφαπτομένη προκύπτει διαιρώντας την μακρινή πλευρά με την κοντινή πλευρά ή διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο. Έτσι, το ημίτονο θα είναι το γινόμενο του συνημιτόνου και της εφαπτομένης, και το τετράγωνο του ημιτόνου θα είναι το τετράγωνο αυτού του γινόμενου. Αντικαθιστούμε το τετράγωνο συνημίτονο με τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του τετραγώνου σύμφωνα με την πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα και, μέσω απλών χειρισμών, ανάγουμε την εξίσωση στον υπολογισμό του τετραγώνου ημιτόνου μέσω της εφαπτομένης ανάλογα, για να υπολογίσουμε το ημίτονο πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του ληφθέντος αποτελέσματος.
Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή συνεφαπτομένη γωνίας; Η τιμή της συνεφαπτομένης μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας το μήκος του ποδιού που βρίσκεται πιο κοντά στη γωνία με το μήκος της μακρινής, καθώς και διαιρώντας το συνημίτονο με το ημίτονο, δηλαδή, η συνεφαπτομένη είναι συνάρτηση αντίστροφη προς την εφαπτομένη σχετική στον αριθμό 1. Για να υπολογίσετε το ημίτονο, μπορείτε να υπολογίσετε την εφαπτομένη χρησιμοποιώντας τον τύπο tg α = 1 / ctg α και να χρησιμοποιήσετε τον τύπο στη δεύτερη επιλογή. Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε έναν άμεσο τύπο κατ' αναλογία με την εφαπτομένη, που θα μοιάζει με αυτό.
Πώς να βρείτε το ημίτονο τριών πλευρών ενός τριγώνου
Υπάρχει ένας τύπος για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, όχι μόνο ενός ορθογωνίου τριγώνου, από δύο γνωστές πλευρές χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική συνάρτηση του συνημιτόνου της αντίθετης γωνίας. Μοιάζει κάπως έτσι.
Μέσο επίπεδο
Ορθογώνιο τρίγωνο. The Complete Illustrated Guide (2019)
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ. ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.
Στα προβλήματα, η σωστή γωνία δεν είναι καθόλου απαραίτητη - κάτω αριστερά, επομένως πρέπει να μάθετε να αναγνωρίζετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτήν τη μορφή,
και σε αυτό
και σε αυτό 
Τι καλό έχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Λοιπόν... πρώτα από όλα, υπάρχουν ειδικές όμορφα ονόματαγια τις πλευρές του.
Προσοχή στο σχέδιο!
Θυμηθείτε και μην μπερδεύετε: υπάρχουν δύο πόδια, και υπάρχει μόνο μία υποτείνουσα(το ένα και μοναδικό, το μοναδικό και το μακρύτερο)!
Λοιπόν, συζητήσαμε τα ονόματα, τώρα το πιο σημαντικό πράγμα: το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Πυθαγόρειο θεώρημα.
Αυτό το θεώρημα είναι το κλειδί για την επίλυση πολλών προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το απέδειξε ο Πυθαγόρας σε εντελώς αμνημονεύτων χρόνων, και από τότε έχει φέρει πολλά οφέλη σε όσους το γνωρίζουν. Και το καλύτερο είναι ότι είναι απλό.
Ετσι, Πυθαγόρειο θεώρημα:
Θυμάστε το αστείο: «Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές!»;
Ας σχεδιάσουμε αυτά τα ίδια πυθαγόρεια παντελόνια και ας τα δούμε. 
Δεν μοιάζει με κάποιο σορτς; Λοιπόν, σε ποιες πλευρές και πού είναι ίσες; Γιατί και από πού προήλθε το αστείο; Και αυτό το αστείο συνδέεται ακριβώς με το Πυθαγόρειο θεώρημα, ή ακριβέστερα με τον τρόπο που ο ίδιος ο Πυθαγόρας διατύπωσε το θεώρημά του. Και το διατύπωσε ως εξής:
"Αθροισμα περιοχές των τετραγώνων, χτισμένο στα πόδια, ισούται με τετραγωνική έκταση, χτισμένο πάνω στην υποτείνουσα».
Αλήθεια ακούγεται λίγο διαφορετικό; Και έτσι, όταν ο Πυθαγόρας σχεδίασε τη δήλωση του θεωρήματός του, αυτή είναι ακριβώς η εικόνα που βγήκε.
Σε αυτήν την εικόνα, το άθροισμα των εμβαδών των μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Και για να θυμούνται καλύτερα τα παιδιά ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, κάποιος πνευματώδης σκέφτηκε αυτό το αστείο για το πυθαγόρειο παντελόνι.
Γιατί διατυπώνουμε τώρα το Πυθαγόρειο θεώρημα;
Υπέφερε ο Πυθαγόρας και μίλησε για τετράγωνα;
Βλέπετε, στα αρχαία χρόνια δεν υπήρχε... άλγεβρα! Δεν υπήρχαν σημάδια και ούτω καθεξής. Δεν υπήρχαν επιγραφές. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο τρομερό ήταν για τους φτωχούς αρχαίους μαθητές να θυμούνται τα πάντα με λέξεις;;! Και μπορούμε να χαιρόμαστε που έχουμε μια απλή διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ας το επαναλάβουμε για να το θυμόμαστε καλύτερα:
Θα πρέπει να είναι εύκολο τώρα:
| Τετράγωνο της υποτείνουσας ίσο με το άθροισματετράγωνα των ποδιών. |
Λοιπόν, το πιο σημαντικό θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα έχει συζητηθεί. Αν σας ενδιαφέρει πώς αποδεικνύεται, διαβάστε τα παρακάτω επίπεδα θεωρίας, και τώρα ας προχωρήσουμε... στο σκοτεινό δάσος... τριγωνομετρία! Στις τρομερές λέξεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά. Φυσικά, ο «πραγματικός» ορισμός του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης θα πρέπει να εξεταστεί στο άρθρο. Αλλά πραγματικά δεν θέλω, έτσι δεν είναι; Μπορούμε να χαρούμε: για να λύσετε προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε απλά να συμπληρώσετε τα ακόλουθα απλά πράγματα:
Γιατί όλα είναι στη γωνία; Πού είναι η γωνία; Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να ξέρετε πώς γράφονται με λέξεις οι προτάσεις 1 - 4. Κοίτα, κατάλαβε και θυμήσου!
1.
Στην πραγματικότητα ακούγεται κάπως έτσι:
Τι γίνεται με τη γωνία; Υπάρχει πόδι που είναι απέναντι από τη γωνία, δηλαδή απέναντι (για γωνία) πόδι; Φυσικά και έχουν! Αυτό είναι ένα πόδι!
Τι γίνεται με τη γωνία; Κοίτα προσεκτικά. Ποιο πόδι είναι δίπλα στη γωνία; Φυσικά, το πόδι. Αυτό σημαίνει ότι για τη γωνία το πόδι είναι γειτονικό, και
Τώρα, προσοχή! Δείτε τι έχουμε:
Δείτε πόσο cool είναι:
Τώρα ας περάσουμε στην εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.
Πώς μπορώ να το γράψω με λόγια τώρα; Τι είναι το πόδι σε σχέση με τη γωνία; Απέναντι, φυσικά - «βρίσκεται» απέναντι από τη γωνία. Τι γίνεται με το πόδι; Δίπλα στη γωνία. Τι έχουμε λοιπόν;
Δείτε πώς έχουν ανταλλάξει τις θέσεις ο αριθμητής και ο παρονομαστής;
Και τώρα πάλι οι γωνίες και έγινε ανταλλαγή:
Περίληψη
Ας γράψουμε εν συντομία όλα όσα μάθαμε.
 |
Πυθαγόρειο θεώρημα: |
Το κύριο θεώρημα για τα ορθογώνια τρίγωνα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Πυθαγόρειο θεώρημα
Παρεμπιπτόντως, θυμάσαι καλά τι είναι τα πόδια και η υποτείνουσα; Εάν δεν είναι πολύ καλό, τότε δείτε την εικόνα - ανανεώστε τις γνώσεις σας
Είναι πολύ πιθανό να έχετε ήδη χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα πολλές φορές, αλλά έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί ισχύει ένα τέτοιο θεώρημα; Πώς μπορώ να το αποδείξω; Ας κάνουμε όπως οι αρχαίοι Έλληνες. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με μια πλευρά.
Δείτε πόσο έξυπνα χωρίσαμε τα πλαϊνά του σε μήκη και!
Τώρα ας συνδέσουμε τις σημειωμένες κουκκίδες
Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι κοιτάτε το σχέδιο και σκέφτεστε γιατί συμβαίνει αυτό.
Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου; Σωστά, . Τι γίνεται με μια μικρότερη περιοχή; Σίγουρα,. Το συνολικό εμβαδόν των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι τα πήραμε δύο τη φορά και τα ακουμπούσαμε το ένα πάνω στο άλλο με τις υποτείνυσές τους. Τι συνέβη; Δύο ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή των "κοψίματος" είναι ίση.
Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.
Ας μεταμορφώσουμε:
Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.
Ορθογώνιο τρίγωνο και τριγωνομετρία
Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:
Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με το λόγο της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα
Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.
Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.
Και για άλλη μια φορά όλα αυτά με τη μορφή tablet:
Είναι πολύ άνετο!
Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων
I. Από δύο πλευρές
II. Με το πόδι και την υπόταση
III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία
IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία
ένα) 
σι) 
Προσοχή! Είναι πολύ σημαντικό εδώ τα πόδια να είναι «κατάλληλα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:
ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.
Πρέπει να και στα δύο τρίγωνα το πόδι ήταν δίπλα, ή και στα δύο ήταν απέναντι.
Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων; Ρίξτε μια ματιά στο θέμα «και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, τρία από τα στοιχεία τους πρέπει να είναι ίσα: δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία, δύο γωνίες και η πλευρά μεταξύ τους ή τρεις πλευρές. Για την ισότητα όμως των ορθογωνίων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Τέλεια, σωστά;
Η κατάσταση είναι περίπου η ίδια με τα σημάδια ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων.
Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων
I. Κατά μήκος οξείας γωνίας
II. Σε δύο πλευρές
III. Με το πόδι και την υπόταση
Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο
Γιατί είναι έτσι;
Αντί για ορθογώνιο τρίγωνο, σκεφτείτε ένα ολόκληρο ορθογώνιο.
Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο και ας εξετάσουμε ένα σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων. Τι είναι γνωστό για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;
Και τι προκύπτει από αυτό;
Έτσι αποδείχθηκε ότι
- - διάμεσος:
Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!
Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίθετο.
Τι ωφέλιμο μπορεί να ληφθεί από το γεγονός ότι η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας; Ας δούμε την εικόνα
Κοίτα προσεκτικά. Έχουμε: , δηλαδή, οι αποστάσεις από το σημείο και στις τρεις κορυφές του τριγώνου αποδείχθηκαν ίσες. Αλλά υπάρχει μόνο ένα σημείο στο τρίγωνο, οι αποστάσεις από το οποίο και από τις τρεις κορυφές του τριγώνου είναι ίσες, και αυτό είναι το ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ. Λοιπόν τι έγινε;
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό το «εκτός...».
Ας δούμε και.
Αλλά παρόμοια τρίγωνα έχουν όλες ίσες γωνίες!
Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και
Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:
Τι όφελος μπορεί να αποκομίσει αυτή η «τριπλή» ομοιότητα;
Λοιπόν, για παράδειγμα - δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Ας γράψουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:
Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε ο πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":
Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .
Τι θα γίνει τώρα;
Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο:
Πρέπει να θυμάστε πολύ καλά και τους δύο αυτούς τύπους και να χρησιμοποιήσετε αυτόν που είναι πιο βολικός. Ας τα ξαναγράψουμε
Πυθαγόρειο θεώρημα:
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: .
Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:
- σε δύο πλευρές:
- με το πόδι και την υποτείνουσα: ή
- κατά μήκος του σκέλους και της παρακείμενης οξείας γωνίας: ή
- κατά μήκος του σκέλους και της αντίθετης οξείας γωνίας: ή
- κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία: ή.
Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων:
- μια οξεία γωνία: ή
- από την αναλογικότητα δύο ποδιών:
- από την αναλογικότητα του ποδιού και της υποτείνουσας: ή.
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο
- Το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:
- Το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
- Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά:
- Η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι πλευρά: .
Ύψος ορθογωνίου τριγώνου: ή.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος αντλείται από την κορυφή ορθή γωνία, ισούται με το μισό της υποτείνουσας: .
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:
- μέσω των ποδιών:
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD|
- μήκος τόξου κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια. Εφαπτομένη () ταν α
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .) Συμεφαπτομένη (
ctg α
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Οπου
.
;
;
.
n
- ολόκληρος.
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tan x
;
;
.
Συνεφαπτομένη
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
Γίνονται επίσης δεκτές οι ακόλουθες σημειώσεις:
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένηςΠεριοδικότης Συναρτήσεις y = tg x
και y =
ctg x
είναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι περιττές.
| Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης | Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες Συναρτήσεις y = | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | ||
| Εύρος τιμών | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Αυξάνεται | - | |
| Φθίνων | - | |
| Ακρα | - | - |
| Μηδενικά, y = 0 | ||
| Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0 | Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες 0 | - |
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Εκφράσεις με χρήση ημιτόνου και συνημίτονου
;
;
;
;
;
Τύποι για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη από άθροισμα και διαφορά
Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα
Προϊόν των εφαπτομένων
Τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων
Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων
;
;
Παράγωγα
; .
.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης:
.
Εξαγωγή τύπων για την εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >
Ολοκληρώματα
Επεκτάσεις σειράς
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε σειρά ισχύοςγια λειτουργίες αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους, .
Αυτό παράγει τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο . Οπου Bn
;
;
- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
Οπου . 
Ή σύμφωνα με τον τύπο του Laplace:
Αντίστροφες συναρτήσειςΑντίστροφες συναρτήσεις
σε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
, Οπου
Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Arccotangent, arcctg
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Επιστήμονες και Μηχανικούς, 2012.
Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με το ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας. Να σας το υπενθυμίσουμεορθή γωνία
είναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.Κοφτερή γωνία
- λιγότερο από 90 μοίρες.Αμβλεία γωνία
- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)
Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η απέναντι πλευρά γωνία Α ορίζεται .
Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.Υποτείνουσα
ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.Πόδια
- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες. Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεταιαπεναντι απο (σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται.
γειτονικόςΚόλπος
Η οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος του παρακείμενου σκέλους προς την υποτείνουσα:
Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική:
Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:
Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):
Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.
Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.
Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;
Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.
Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .
Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;
Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.
Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης συναρτήσεις τριγωνομετρικής γωνίας- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΚαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.
Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.
Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.
Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.
1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .
Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.
Επειδή η , .
2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα .
Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το πρόβλημα λύθηκε.
Συχνά στα προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και. Θυμηθείτε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!
Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.
Εξετάσαμε προβλήματα που λύνουν ορθογώνια τρίγωνα - δηλαδή βρίσκοντας άγνωστες πλευρές ή γωνίες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! ΣΕ Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά υπάρχουν πολλά προβλήματα όπου εμφανίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη ή η συνεφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.