Σε αυτό το άρθρο θα ρίξουμε μια περιεκτική ματιά. Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι ισότητες που δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας και επιτρέπουν σε κάποιον να βρει οποιαδήποτε από αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω μιας γνωστής άλλης.
Ας απαριθμήσουμε αμέσως τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που θα αναλύσουμε σε αυτό το άρθρο. Ας τους γράψουμε σε έναν πίνακα και παρακάτω θα δώσουμε την έξοδο αυτών των τύπων και θα παρέχουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Σχέση μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου μιας γωνίας
Μερικές φορές δεν μιλούν για τις κύριες τριγωνομετρικές ταυτότητες που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα, αλλά για ένα μοναδικό βασική τριγωνομετρική ταυτότηταείδος 
. Η εξήγηση για αυτό το γεγονός είναι αρκετά απλή: οι ισότητες λαμβάνονται από την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα αφού διαιρεθούν και τα δύο μέρη της με και, αντίστοιχα, και τις ισότητες 
Και 
ακολουθήστε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα μιλήσουμε για αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες στις επόμενες παραγράφους.
Είναι δηλαδή η ισότητα που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, στην οποία δόθηκε το όνομα της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.
Πριν αποδείξουμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα, δίνουμε τη διατύπωσή της: το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι πανομοιότυπα ίσο με ένα. Τώρα ας το αποδείξουμε.
Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά όταν μετατροπή τριγωνομετρικών εκφράσεων. Επιτρέπει το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας να αντικατασταθεί από ένα. Όχι λιγότερο συχνά, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα χρησιμοποιείται με την αντίστροφη σειρά: η μονάδα αντικαθίσταται από το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου οποιασδήποτε γωνίας.
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς
Ταυτότητες που συνδέουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οπτικής γωνίας και 
ακολουθήστε αμέσως από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Πράγματι, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι η τεταγμένη του y, το συνημίτονο είναι η τετμημένη του x, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη, δηλαδή, 
και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης προς την τεταγμένη, δηλαδή, 
.
Χάρη σε τέτοια προφανή των ταυτοτήτων και Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συχνά ορίζονται όχι μέσω της αναλογίας τετμημένης και τεταγμένης, αλλά μέσω της αναλογίας ημιτόνου και συνημιτονοειδούς. Άρα η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο αυτής της γωνίας και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του συνημιτονοειδούς προς το ημίτονο.
Συμπερασματικά της παραγράφου αυτής, να σημειωθεί ότι οι ταυτότητες και λαμβάνουν χώρα για όλες τις γωνίες στις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές. Άρα ο τύπος ισχύει για οποιαδήποτε , εκτός από (αλλιώς ο παρονομαστής θα έχει μηδέν, και δεν ορίσαμε διαίρεση με το μηδέν), και ο τύπος - για όλα , διαφορετικά από , όπου z είναι οποιοδήποτε .
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Μια ακόμη πιο εμφανής τριγωνομετρική ταυτότητα από τις δύο προηγούμενες είναι η ταυτότητα που συνδέει την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας της μορφής . Είναι σαφές ότι ισχύει για οποιεσδήποτε άλλες γωνίες εκτός από , διαφορετικά δεν ορίζονται είτε η εφαπτομένη είτε η συνεφαπτομένη.
Απόδειξη του τύπου πολύ απλό. Εξ ορισμού και από πού 
. Η απόδειξη θα μπορούσε να είχε γίνει λίγο διαφορετικά. Από , Αυτό 
.
Άρα, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι .
Συνεχίζουμε την κουβέντα μας για τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους στην τριγωνομετρία. Οι πιο σημαντικοί από αυτούς είναι οι τύποι προσθήκης.
Ορισμός 1
Οι τύποι πρόσθεσης σάς επιτρέπουν να εκφράσετε συναρτήσεις της διαφοράς ή του αθροίσματος δύο γωνιών χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών.
Αρχικά, θα δώσουμε πλήρης λίστατύπους προσθήκης, στη συνέχεια θα τους αποδείξουμε και θα αναλύσουμε αρκετά επεξηγηματικά παραδείγματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Βασικοί τύποι πρόσθεσης στην τριγωνομετρία
Υπάρχουν οκτώ βασικοί τύποι: ημίτονο του αθροίσματος και ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών, συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες του αθροίσματος και της διαφοράς, αντίστοιχα. Παρακάτω είναι οι τυπικές συνθέσεις και οι υπολογισμοί τους.
1. Το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών μπορεί να ληφθεί ως εξής:
Υπολογίζουμε το γινόμενο του ημιτόνου της πρώτης γωνίας και του συνημιτόνου της δεύτερης.
Πολλαπλασιάστε το συνημίτονο της πρώτης γωνίας με το ημίτονο της πρώτης.
Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.
Η γραφική γραφή του τύπου μοιάζει με αυτό: αμαρτία (α + β) = αμαρτία α · συν β + συν α · αμαρτία β
2. Το ημίτονο της διαφοράς υπολογίζεται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, μόνο που τα γινόμενα που προκύπτουν δεν πρέπει να προστίθενται, αλλά να αφαιρούνται το ένα από το άλλο. Έτσι υπολογίζουμε τα γινόμενα του ημιτόνου της πρώτης γωνίας και του συνημιτόνου της δεύτερης και του συνημιτόνου της πρώτης γωνίας και του ημιτόνου της δεύτερης και βρίσκουμε τη διαφορά τους. Ο τύπος γράφεται ως εξής: αμαρτία (α - β) = αμαρτία α · συν β + αμαρτία α · αμαρτία β
3. Συνημίτονο του αθροίσματος. Για αυτήν, βρίσκουμε τα γινόμενα του συνημιτόνου της πρώτης γωνίας με το συνημίτονο της δεύτερης και του ημιτόνου της πρώτης γωνίας με το ημίτονο της δεύτερης, αντίστοιχα, και βρίσκουμε τη διαφορά τους: cos (α + β) = συν α. · συν β - αμαρτία α · αμαρτία β
4. Συνημίτονο της διαφοράς: υπολογίστε τα γινόμενα των ημιτόνων και των συνημιτόνων αυτών των γωνιών, όπως πριν, και προσθέστε τα. Τύπος: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Εφαπτομένη του αθροίσματος. Αυτός ο τύπος εκφράζεται ως κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το άθροισμα των εφαπτομένων των απαιτούμενων γωνιών και ο παρονομαστής είναι μια μονάδα από την οποία αφαιρείται το γινόμενο των εφαπτομένων των επιθυμητών γωνιών. Όλα είναι ξεκάθαρα από τη γραφική του σημειογραφία: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Εφαπτομένη της διαφοράς. Υπολογίζουμε τις τιμές της διαφοράς και του γινομένου των εφαπτομένων αυτών των γωνιών και προχωράμε σε αυτές με παρόμοιο τρόπο. Στον παρονομαστή προσθέτουμε σε ένα, και όχι αντίστροφα: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Συνεφαπτομένη του ποσού. Για να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα χρειαστούμε το γινόμενο και το άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών, το οποίο προχωράμε ως εξής: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Συνεφαπτομένη της διαφοράς . Ο τύπος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο, αλλά ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι μείον, όχι συν c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Πιθανότατα έχετε παρατηρήσει ότι αυτοί οι τύποι είναι παρόμοιοι σε ζεύγη. Χρησιμοποιώντας τα σημάδια ± (συν-πλην) και ∓ (μείον-συν), μπορούμε να τα ομαδοποιήσουμε για ευκολία στην εγγραφή:
αμαρτία (α ± β) = αμαρτία α · συν β ± συν α · αμαρτία β συν (α ± β) = συν α · συν β ∓ αμαρτία α · αμαρτία β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Αντίστοιχα, έχουμε έναν τύπο εγγραφής για το άθροισμα και τη διαφορά κάθε τιμής, απλώς σε μια περίπτωση δίνουμε προσοχή στο πάνω πρόσημο, στην άλλη - στο κάτω.
Ορισμός 2
Μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε γωνίες α και β, και οι τύποι πρόσθεσης για συνημίτονο και ημίτονο θα λειτουργήσουν γι' αυτές. Εάν μπορούμε να προσδιορίσουμε σωστά τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών, τότε οι τύποι πρόσθεσης για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη θα ισχύουν και για αυτές.
Όπως οι περισσότερες έννοιες στην άλγεβρα, οι τύποι πρόσθεσης μπορούν να αποδειχθούν. Ο πρώτος τύπος που θα αποδείξουμε είναι ο τύπος συνημιτόνου διαφοράς. Τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν στη συνέχεια να συναχθούν εύκολα από αυτό.
Ας διευκρινίσουμε τις βασικές έννοιες. θα χρειαστούμε κύκλος μονάδας. Θα φανεί αν πάρουμε ένα ορισμένο σημείο Α και περιστρέψουμε τις γωνίες α και β γύρω από το κέντρο (σημείο Ο). Τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων O A 1 → και O A → 2 θα είναι ίση με (α - β) + 2 π · z ή 2 π - (α - β) + 2 π · z (z είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός). Τα διανύσματα που προκύπτουν σχηματίζουν μια γωνία που είναι ίση με α - β ή 2 π - (α - β), ή μπορεί να διαφέρει από αυτές τις τιμές κατά έναν ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών. Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:
Χρησιμοποιήσαμε τους τύπους μείωσης και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Αποτέλεσμα: το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων O A 1 → και O A 2 → είναι ίσο με το συνημίτονο της γωνίας α - β, επομένως, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Ας θυμηθούμε τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς: το ημίτονο είναι συνάρτηση της γωνίας, ίσο με την αναλογίατο σκέλος της αντίθετης γωνίας προς την υποτείνουσα, συνημίτονο είναι το ημίτονο της συμπληρωματικής γωνίας. Ως εκ τούτου, τα σημεία Α 1Και Α 2έχουν συντεταγμένες (cos α, sin α) και (cos β, sin β).
Παίρνουμε τα εξής:
O A 1 → = (cos α, sin α) και O A 2 → = (cos β, sin β)
Αν δεν είναι ξεκάθαρο, κοιτάξτε τις συντεταγμένες των σημείων που βρίσκονται στην αρχή και στο τέλος των διανυσμάτων.
Τα μήκη των διανυσμάτων είναι ίσα με 1, γιατί Έχουμε έναν κύκλο μονάδας.
Ας το δούμε τώρα προϊόν με κουκκίδεςδιανύσματα O A 1 → και O A 2 → . Στις συντεταγμένες μοιάζει με αυτό:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + αμαρτία α · αμαρτία β
Από αυτό μπορούμε να αντλήσουμε την ισότητα:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Έτσι, αποδεικνύεται ο τύπος συνημιτόνου διαφοράς.
Τώρα θα αποδείξουμε τον ακόλουθο τύπο - το συνημίτονο του αθροίσματος. Αυτό είναι πιο εύκολο γιατί μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους προηγούμενους υπολογισμούς. Ας πάρουμε την παράσταση α + β = α - (- β) . Έχουμε:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + αμαρτία α αμαρτία β
Αυτή είναι η απόδειξη του τύπου αθροίσματος συνημιτόνου. Η τελευταία γραμμή χρησιμοποιεί την ιδιότητα του ημιτόνου και του συνημιτόνου αντίθετων γωνιών.
Ο τύπος για το ημίτονο ενός αθροίσματος μπορεί να προέλθει από τον τύπο για το συνημίτονο μιας διαφοράς. Ας πάρουμε τον τύπο μείωσης για αυτό:
του τύπου sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Ετσι
αμαρτία (α + β) = συν (π 2 (α + β)) = συν ((π 2 - α) - β) = = συν (π 2 - α) συν β + αμαρτία (π 2 - α) αμαρτία β = = αμαρτία α cos β + cos α αμαρτία β
Και εδώ είναι η απόδειξη της ημιτονοειδούς φόρμουλας:
αμαρτία (α - β) = αμαρτία (α + (- β)) = αμαρτία α cos (- β) + cos α αμαρτία (- β) = = αμαρτία α cos β - cos α αμαρτία β.
Σημειώστε τη χρήση των ιδιοτήτων ημιτόνου και συνημιτονοειδούς αντίθετων γωνιών στον τελευταίο υπολογισμό.
Στη συνέχεια χρειαζόμαστε αποδείξεις των τύπων πρόσθεσης για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Ας θυμηθούμε τους βασικούς ορισμούς (η εφαπτομένη είναι η αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο και η συνεφαπτομένη είναι αντίστροφα) και ας πάρουμε τους τύπους που έχουν ήδη προκύψει εκ των προτέρων. Πήραμε αυτό:
t g (α + β) = αμαρτία (α + β) cos (α + β) = αμαρτία α cos β + cos α sin β cos α cos β - αμαρτία α αμαρτία β
Έχουμε ένα σύνθετο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με το cos α · cos β, δεδομένου ότι cos α ≠ 0 και συν β ≠ 0, παίρνουμε:
αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β cos α · cos β cos α · cos β - αμαρτία α · αμαρτία β cos α · cos β = αμαρτία α · cos β cos α · cos β + cos α · αμαρτία β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Τώρα μειώνουμε τα κλάσματα και παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Πήραμε t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Αυτή είναι η απόδειξη του τύπου πρόσθεσης εφαπτομένης.
Ο επόμενος τύπος που θα αποδείξουμε είναι η εφαπτομένη του τύπου διαφοράς. Όλα φαίνονται ξεκάθαρα στους υπολογισμούς:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Οι τύποι για την συνεφαπτομένη αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - αμαρτία α · αμαρτία β αμαρτία α · αμαρτία β αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β αμαρτία α · αμαρτία β = cos α · cos β αμαρτία α · αμαρτία β - 1 αμαρτία α · cos β αμαρτία α · αμαρτία β + cos α · αμαρτία β αμαρτία α · αμαρτία β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Επόμενος:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών
Σε αυτή την ενότητα θα αποδειχθούν οι ακόλουθοι δύο τύποι:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Το συνημίτονο του αθροίσματος (διαφορά) δύο γωνιών είναι ίσο με το γινόμενο των συνημιτόνων αυτών των γωνιών μείον (συν) το γινόμενο των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα παρουσίασης, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες α Και β πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Έστω το θετικό τμήμα του άξονα 0x η κοινή αρχική πλευρά των γωνιών α Και β .
Σημειώνουμε τις ακραίες πλευρές αυτών των γωνιών με 0Α και 0Β, αντίστοιχα. Προφανώς η γωνία α - β μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία κατά την οποία η δέσμη 0Β πρέπει να περιστραφεί γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα έτσι ώστε η διεύθυνσή της να συμπίπτει με την κατεύθυνση της δέσμης 0Α.
Στις ακτίνες 0Α και 0Β σημειώνουμε τα σημεία M και N, που βρίσκονται σε απόσταση 1 από την αρχή των συντεταγμένων 0, έτσι ώστε 0M = 0N = 1.
Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, το σημείο M έχει συντεταγμένες ( cos α, sin α), και το σημείο N είναι οι συντεταγμένες ( cos β, αμαρτία β). Επομένως, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Στους υπολογισμούς μας χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Τώρα εξετάστε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων B0C, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους άξονες 0x και 0y γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα κατά γωνία β .
Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (cos ( α - β ), αμαρτία ( α - β )), και το σημείο N είναι συντεταγμένες (1,0). Επομένως, το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ αμαρτία 2 (α - β) = 2 .
Αλλά η απόσταση μεταξύ των σημείων M και N δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων με το οποίο εξετάζουμε αυτά τα σημεία σε σχέση. Γι' αυτό
δ 1 2 = δ 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Εδώ ακολουθεί ο τύπος (2).
Τώρα θα πρέπει να θυμηθούμε τους δύο περιορισμούς που επιβάλαμε για απλότητα παρουσίασης στις γωνίες α Και β .
Η απαίτηση ότι κάθε μία από τις γωνίες α Και β ήταν μη αρνητικό, όχι πραγματικά σημαντικό. Εξάλλου, σε οποιαδήποτε από αυτές τις γωνίες μπορείτε να προσθέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2, κάτι που δεν θα επηρεάσει την εγκυρότητα του τύπου (2). Με τον ίδιο τρόπο, από καθεμία από αυτές τις γωνίες μπορείτε να αφαιρέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2π. Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Η κατάσταση αποδεικνύεται επίσης ασήμαντη α > β . Πράγματι, αν α < β , Αυτό β >α ; επομένως, δεδομένης της ισοτιμίας της συνάρτησης συν Χ , παίρνουμε:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + αμαρτία β sin α,
που ουσιαστικά συμπίπτει με τον τύπο (2). Ο τύπος λοιπόν
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
ισχύει για όλες τις γωνίες α Και β . Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας σε αυτό β σε - β και δεδομένου ότι η συνάρτηση συνΧ είναι άρτιο και η συνάρτηση αμαρτίαΧ περίεργο, παίρνουμε:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + αμαρτία α αμαρτία (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
που αποδεικνύει τον τύπο (1).
Έτσι, οι τύποι (1) και (2) αποδεικνύονται.
Παραδείγματα.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Γυμνάσια
1 . Υπολογίστε χωρίς χρήση τριγωνομετρικοί πίνακες:
α) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
β) αμαρτία 3° αμαρτία 42° - συν 39° συν 42°;
γ) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
δ) αμαρτία 97° αμαρτία 37° + συν 37° συν 97°;
ε) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
ε) αμαρτία 3π / 5 αμαρτία 7π / 5 - συν 3π / 5 συν 7π / 5 .
2.Απλοποιήστε τις εκφράσεις:
ένα). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
σι). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + αμαρτία (36° + α ) αμαρτία ( α - 24°).
V). sin(π/4 - α ) αμαρτία (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
δ) συν 2 α + tg α αμαρτία 2 α .
3 . Υπολογίζω :
ένα) cos(α - β), Αν
cos α = - 2 / 5 , αμαρτία β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
β) ως ( α + π / 6), εάν συν α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Εύρημα cos(α + β)και συν (α - β) ,αν είναι γνωστό ότι η αμαρτία α = 7 / 25, συν β = - 5 / 13 και οι δύο γωνίες ( α Και β ) λήγει στο ίδιο τρίμηνο.
5 .Υπολογίζω:
ΕΝΑ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
σι). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων για δύο γωνίες α και β μας επιτρέπουν να μετακινηθούμε από το άθροισμα αυτών των γωνιών στο γινόμενο των γωνιών α + β 2 και α - β 2. Ας σημειώσουμε αμέσως ότι δεν πρέπει να συγχέετε τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων με τους τύπους για τα ημίτονο και τα συνημίτονα του αθροίσματος και της διαφοράς. Παρακάτω παραθέτουμε αυτούς τους τύπους, δίνουμε τις παραγώγους τους και δείχνουμε παραδείγματα εφαρμογής για συγκεκριμένα προβλήματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Ας γράψουμε πώς μοιάζουν οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο
αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για συνημίτονα
cos α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 συν α - συν β = - 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 , συν α - συν β = 2 αμαρτία α + β 2 · β - α 2
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β. Οι γωνίες α + β 2 και α - β 2 ονομάζονται μισό άθροισμα και μισή διαφορά των γωνιών άλφα και βήτα αντίστοιχα. Ας δώσουμε τη διατύπωση για κάθε τύπο.
Ορισμοί τύπων για αθροίσματα και διαφορές ημιτόνων και συνημιτόνων
Άθροισμα ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημιαθροίσματος αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς.
Διαφορά ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου του ημι-αθροίσματος.
Άθροισμα συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών.
Διαφορά συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημι-αθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών, που λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο.
Εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων
Για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά του ημιτόνου και του συνημιτόνου δύο γωνιών, χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης. Ας τα απαριθμήσουμε παρακάτω
αμαρτία (α + β) = αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β sin (α - β) = αμαρτία α · cos β - cos α · αμαρτία β cos (α + β) = cos α · cos β - αμαρτία α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Ας φανταστούμε επίσης τις ίδιες τις γωνίες ως άθροισμα μισών αθροισμάτων και μισών διαφορών.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Προχωράμε απευθείας στην παραγωγή των τύπων αθροίσματος και διαφοράς για το sin και το cos.
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων
Στο άθροισμα sin α + sin β, αντικαθιστούμε τα α και β με τις εκφράσεις για αυτές τις γωνίες που δίνονται παραπάνω. παίρνουμε
αμαρτία α + αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2
Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο προσθήκης στην πρώτη έκφραση και στη δεύτερη - τον τύπο για το ημίτονο διαφορών γωνίας (βλ. τύπους παραπάνω)
αμαρτία α + β 2 + α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 sin α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 Ανοίξτε τις αγκύλες, προσθέστε παρόμοιους όρους και λάβετε τον απαιτούμενο τύπο
αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α + β 2 cos α - β 2
Τα βήματα για την παραγωγή των υπόλοιπων τύπων είναι παρόμοια.
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά ημιτόνων
αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 - αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α - β 2 cos α + β 2
Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των συνημίτονων
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 + συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 συν α + β 2 cos α - β 2
Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά συνημιτόνων
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 - συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = - 2 αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2
Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων
Αρχικά, ας ελέγξουμε έναν από τους τύπους αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές γωνίας σε αυτόν. Έστω α = π 2, β = π 6. Ας υπολογίσουμε την τιμή του αθροίσματος των ημιτόνων αυτών των γωνιών. Αρχικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα βασικών τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων.
Παράδειγμα 1. Έλεγχος του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών
α = π 2, β = π 6 αμαρτία π 2 + αμαρτία π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 αμαρτία π 2 + αμαρτία π 6 = 2 αμαρτία π 2 + π 6 2 συν π 2 - π 6 2 = 2 αμαρτία π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που οι τιμές γωνίας διαφέρουν από τις βασικές τιμές που παρουσιάζονται στον πίνακα. Έστω α = 165°, β = 75°. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των ημιτόνων αυτών των γωνιών.
Παράδειγμα 2. Εφαρμογή του τύπου διαφοράς ημιτόνων
α = 165 °, β = 75 ° αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° αμαρτία 165 - αμαρτία 75 = 2 αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° 2 συν 165 ° + αμαρτία 75 ° 2 = = 2 αμαρτία 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημίτονων, μπορείτε να μετακινηθείτε από το άθροισμα ή τη διαφορά στο γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι για τη μετάβαση από ένα άθροισμα σε ένα γινόμενο. Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD|
- μήκος τόξου κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια. Εφαπτομένη () ταν α - Αυτότριγωνομετρική συνάρτηση , ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλουςορθογώνιο τρίγωνο
, ίσος με τον λόγο του μήκους της απέναντι πλευράς |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .) Συμεφαπτομένη (
ctg α
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Οπου
.
;
;
.
n
- ολόκληρο.
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tan x
;
;
.
Συνεφαπτομένη
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
Γίνονται επίσης δεκτές οι ακόλουθες σημειώσεις:
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένηςΠεριοδικότης Συναρτήσεις y = tg x
και y =
ctg x
είναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι περιττές.
| Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης | Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες Συναρτήσεις y = | |
| Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (βλ. απόδειξη συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( | ||
| - ολόκληρο). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y = | - | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | - | |
| Εύρος τιμών | - | - |
| Αυξάνεται 0 | ||
| Φθίνων 0 | Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες 0 | - |
Ακρα
Μηδενικά, y =
;
;
;
;
;
Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x =
Φόρμουλες
Εκφράσεις με χρήση ημιτόνου και συνημίτονου
Τύποι για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη από άθροισμα και διαφορά
Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα 
Προϊόν των εφαπτομένων
Τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων
;
;
Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.
; .
.
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
.
Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων
Παράγωγα
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης:
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε σειρά ισχύοςγια λειτουργίες αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους, .
Αυτό παράγει τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο . Οπου Bn
;
;
- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
Που . 
Ή σύμφωνα με τον τύπο του Laplace:
Αντίστροφες συναρτήσειςΑντίστροφες συναρτήσεις
σε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
, Πού
Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Arccotangent, arcctg
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.