1. Τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι στοιχειώδεις συναρτήσεις των οποίων το όρισμα είναι γωνία. Με τη χρήση τριγωνομετρικές συναρτήσειςπεριγράφει τη σχέση μεταξύ των μερών και αιχμηρές γωνίεςσε ορθογώνιο τρίγωνο. Οι τομείς εφαρμογής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι εξαιρετικά διαφορετικοί. Για παράδειγμα, οποιεσδήποτε περιοδικές διεργασίες μπορούν να αναπαρασταθούν ως άθροισμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων (σειρά Fourier). Αυτές οι συναρτήσεις εμφανίζονται συχνά κατά την επίλυση διαφορικών και συναρτησιακών εξισώσεων.

2. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν τις ακόλουθες 6 συναρτήσεις: κόλπος, συνημίτονο, εφαπτομένη γραμμή,συνεφαπτομένη, διατέμνωνΚαι συντεμνούσα. Για καθεμία από αυτές τις συναρτήσεις υπάρχει μια αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση.

3. Γεωμετρικός ορισμόςΟι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν εύκολα να εισαχθούν χρησιμοποιώντας κύκλος μονάδας. Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν κύκλο με ακτίνα r=1. Το σημείο M(x,y) σημειώνεται στον κύκλο. Η γωνία μεταξύ του διανύσματος ακτίνας OM και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα Ox είναι ίση με α.

4. ΚόλποςΗ γωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης y του σημείου M(x,y) προς την ακτίνα r:
sinα=y/r.
Αφού r=1, τότε το ημίτονο ισούται με την τεταγμένη του σημείου M(x,y).

5. ΣυνημίτονοΗ γωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης x του σημείου M(x,y) προς την ακτίνα r:
cosα=x/r

6. Εφαπτομένη γραμμήΗ γωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης y ενός σημείου M(x,y) προς την τετμημένη του x:
tana=y/x,x≠0

7. ΣυνεφαπτομένηΗ γωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης x ενός σημείου M(x,y) προς την τεταγμένη του y:
cotα=x/y,y≠0

8. ΔιατέμνωνΗ γωνία α είναι ο λόγος της ακτίνας r προς την τετμημένη x του σημείου M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. ΣυντεμνούσαΗ γωνία α είναι ο λόγος της ακτίνας r προς την τεταγμένη y του σημείου M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Στον μοναδιαίο κύκλο, οι προβολές x, y, τα σημεία M(x,y) και η ακτίνα r σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, στο οποίο x,y είναι τα σκέλη και r η υποτείνουσα. Επομένως, οι παραπάνω ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο παράρτημα του ορθογώνιο τρίγωνοδιατυπώνονται ως εξής:
ΚόλποςΗ γωνία α είναι ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.
ΣυνημίτονοΗ γωνία α είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γραμμήγωνία α ονομάζεται το αντίθετο σκέλος από το διπλανό.
Συνεφαπτομένηγωνία α ονομάζεται η διπλανή πλευρά στην απέναντι πλευρά.
ΔιατέμνωνΗ γωνία α είναι ο λόγος της υποτείνουσας προς το διπλανό σκέλος.
ΣυντεμνούσαΗ γωνία α είναι ο λόγος της υποτείνουσας προς το αντίθετο σκέλος.

11. Γράφημα της ημιτονοειδούς συνάρτησης
y=sinx, πεδίο ορισμού: x∈R, εύρος τιμών: −1≤sinx≤1

12. Γράφημα της συνημίτονος
y=cosx, τομέας: x∈R, εύρος: −1≤cosx≤1

13. Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης
y=tanx, εύρος ορισμού: x∈R,x≠(2k+1)π/2, εύρος τιμών: −∞

14. Γράφημα της συνεπαπτομένης
y=cotx, τομέας: x∈R,x≠kπ, εύρος: −∞

15. Γράφημα της συνάρτησης τομής
y=secx, πεδίο ορισμού: x∈R,x≠(2k+1)π/2, εύρος τιμών: secx∈(−∞,−1]∪∪ – είπε η Έλεν, γυρίζοντας προς το μέρος της.
«Ω, ούι, [Ω, ναι»] απάντησε η Νατάσα.

Στο διάλειμμα, υπήρχε μια μυρωδιά κρύου στο κουτί της Ελένης, η πόρτα άνοιξε και, σκύβοντας και προσπαθώντας να μην πιάσει κανέναν, ο Ανατόλ μπήκε μέσα.
«Επιτρέψτε μου να σας συστήσω τον αδερφό μου», είπε η Έλεν, γυρίζοντας νευρικά τα μάτια της από τη Νατάσα στον Ανατόλ. Η Νατάσα γύρισε το όμορφο κεφάλι της πάνω από τον γυμνό της ώμο στον όμορφο άντρα και χαμογέλασε. Ο Ανατόλε, ο οποίος ήταν τόσο όμορφος όσο και από μακριά, κάθισε δίπλα της και είπε ότι ήθελε από καιρό να έχει αυτή την ευχαρίστηση, από τότε που έγινε η Μπάλα Naryshkin, στην οποία είχε την ευχαρίστηση που δεν είχε. ξέχασα, που την είδα. Ο Kuragin ήταν πολύ πιο έξυπνος και πιο απλός με τις γυναίκες από ό,τι στην ανδρική κοινωνία. Μίλησε με τόλμη και απλά, και η Νατάσα εντυπωσιάστηκε παράξενα και ευχάριστα από το γεγονός ότι όχι μόνο δεν υπήρχε τίποτα τόσο τρομερό σε αυτόν τον άνθρωπο για τον οποίο μιλούσαν τόσο πολύ, αλλά ότι, αντίθετα, είχε τον πιο αφελή, χαρούμενο και καλό- εγγενές χαμόγελο.
Ο Kuragin ρώτησε για την εντύπωση της παράστασης και της είπε πώς έπεσε η Semenova ενώ έπαιζε στην τελευταία παράσταση.
«Ξέρεις, κοντέσσα», είπε, απευθυνόμενος ξαφνικά σαν να ήταν παλιός γνώριμος, «έχουμε ένα καρουζέλ με κοστούμια. θα πρέπει να πάρετε μέρος σε αυτό: θα είναι πολύ διασκεδαστικό. Όλοι μαζεύονται στα Καραγκίνια. Παρακαλώ ελάτε, σωστά; - αυτός είπε.
Καθώς το είπε αυτό, δεν έβγαλε τα χαμογελαστά μάτια του από το πρόσωπο, το λαιμό και τα γυμνά χέρια της Νατάσα. Η Νατάσα αναμφίβολα ήξερε ότι τη θαύμαζε. Ήταν ευχαριστημένη με αυτό, αλλά για κάποιο λόγο η παρουσία του την έκανε να νιώθει στριμωγμένη και βαριά. Όταν δεν τον κοίταζε, ένιωσε ότι κοιτούσε τους ώμους της και έκοψε άθελά της το βλέμμα του για να κοιτάξει καλύτερα τα μάτια της. Όμως, κοιτάζοντάς τον στα μάτια, ένιωσε με φόβο ότι ανάμεσα σε εκείνον και εκείνη δεν υπήρχε κανένα απολύτως εμπόδιο σεμνότητας που ένιωθε πάντα μεταξύ της ίδιας και των άλλων ανδρών. Εκείνη, χωρίς να ξέρει πώς, μετά από πέντε λεπτά ένιωσε τρομερά κοντά σε αυτόν τον άντρα. Όταν γύρισε μακριά, φοβήθηκε ότι θα της έπαιρνε το γυμνό χέρι από πίσω και θα τη φιλούσε στο λαιμό. Μιλούσαν για τα πιο απλά πράγματα και ένιωθε ότι ήταν κοντά, σαν να μην είχε πάει ποτέ με άντρα. Η Νατάσα κοίταξε την Έλεν και τον πατέρα της, σαν να τους ρώτησε τι σήμαινε αυτό. αλλά η Έλεν ήταν απασχολημένη μιλώντας με κάποιον στρατηγό και δεν ανταποκρίθηκε στο βλέμμα της, και το βλέμμα του πατέρα της δεν της έλεγε τίποτα άλλο από αυτό που έλεγε πάντα: «Είναι διασκεδαστικό, λοιπόν, χαίρομαι».
Σε μια από τις στιγμές αμήχανης σιωπής, κατά τις οποίες ο Ανατόλε την κοίταξε ήρεμα και επίμονα με τα φουσκωμένα μάτια του, η Νατάσα, για να σπάσει αυτή τη σιωπή, τον ρώτησε πώς του άρεσε η Μόσχα. ρώτησε η Νατάσα και κοκκίνισε. Της φαινόταν συνεχώς ότι έκανε κάτι απρεπές όταν του μιλούσε. Ο Ανατόλ χαμογέλασε, σαν να την ενθάρρυνε.
– Στην αρχή δεν μου άρεσε πολύ, γιατί τι κάνει μια πόλη ευχάριστη, ce sont les jolies femmes, [όμορφες γυναίκες,] έτσι δεν είναι; Λοιπόν, τώρα μου αρέσει πολύ», είπε κοιτάζοντάς την αισθητά. – Θα πας στο καρουζέλ, κοντέσσα; «Πήγαινε», είπε και, απλώνοντας το χέρι του στην ανθοδέσμη της και χαμηλώνοντας τη φωνή του, είπε: «Vous serez la plus jolie». Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Θα είσαι η πιο όμορφη. Πήγαινε, αγαπητή κοντέσσα, και δώσε μου ως ενέχυρο αυτό το λουλούδι.]
Η Νατάσα δεν κατάλαβε τι είπε, όπως και ο ίδιος, αλλά ένιωθε ότι υπήρχε απρεπής πρόθεση στα ακατανόητα λόγια του. Δεν ήξερε τι να πει και γύρισε μακριά σαν να μην είχε ακούσει τι είπε. Αλλά μόλις γύρισε την πλάτη της, σκέφτηκε ότι ήταν εκεί πίσω της, τόσο κοντά της.
«Τι είναι τώρα; Είναι μπερδεμένος; Θυμωμένος; Πρέπει να το διορθώσω αυτό; ρώτησε τον εαυτό της. Δεν μπορούσε να μην κοιτάξει πίσω. Τον κοίταξε κατευθείαν στα μάτια και η εγγύτητα και η αυτοπεποίθησή του και η καλοσυνάτη τρυφερότητα του χαμόγελου του την νίκησαν. Χαμογέλασε όπως κι εκείνος κοιτώντας τον κατευθείαν στα μάτια. Και πάλι ένιωσε με φρίκη ότι δεν υπήρχε φράγμα ανάμεσα σε αυτόν και σε αυτήν.
Η αυλαία σηκώθηκε ξανά. Ο Ανατόλ έφυγε από το κουτί, ήρεμος και ευδιάθετος. Η Νατάσα επέστρεψε στο κουτί του πατέρα της, εντελώς υποταγμένη στον κόσμο στον οποίο βρέθηκε. Ό,τι συνέβαινε μπροστά της της φαινόταν ήδη εντελώς φυσικό. αλλά γι' αυτό, όλες οι προηγούμενες σκέψεις της για τον γαμπρό, για την πριγκίπισσα Μαρία, για τη ζωή του χωριού δεν μπήκαν ούτε μια φορά στο μυαλό της, σαν να ήταν όλα αυτά πριν από πολύ καιρό.
Στην τέταρτη πράξη υπήρχε κάποιο είδος διάβολου που τραγούδησε, κουνώντας το χέρι του μέχρι που τραβήχτηκαν οι σανίδες από κάτω του και κάθισε εκεί. Η Νατάσα είδε μόνο αυτό από την τέταρτη πράξη: κάτι την ανησύχησε και την βασάνιζε, και η αιτία αυτού του ενθουσιασμού ήταν ο Κουράγκιν, τον οποίο ακολούθησε ακούσια με τα μάτια της. Όταν βγήκαν από το θέατρο, ο Ανατόλ τους πλησίασε, κάλεσε την άμαξα και τους πήρε. Καθώς καθόταν τη Νατάσα, της έσφιξε το χέρι πάνω από τον αγκώνα. Η Νατάσα, ενθουσιασμένη και κατακόκκινη, τον κοίταξε πίσω. Την κοίταξε με τα μάτια του να σπινθηροβολούσαν και να χαμογελούσε τρυφερά.

Μόνο αφού έφτασε στο σπίτι, η Νατάσα μπόρεσε καθαρά να σκεφτεί όλα όσα της είχαν συμβεί, και ξαφνικά θυμήθηκε τον πρίγκιπα Αντρέι, τρομοκρατήθηκε και μπροστά σε όλους στο τσάι, στο οποίο όλοι κάθισαν μετά το θέατρο, ανάσαξε δυνατά και έτρεξε έξω. του δωματίου, αναψοκοκκινισμένο. - "Θεέ μου! Είμαι νεκρός! είπε στον εαυτό της. Πώς θα μπορούσα να το αφήσω να συμβεί αυτό;» σκέφτηκε. Κάθισε για πολλή ώρα, καλύπτοντας το κοκκινισμένο πρόσωπό της με τα χέρια της, προσπαθώντας να δώσει στον εαυτό της μια ξεκάθαρη περιγραφή του τι της είχε συμβεί, και δεν μπορούσε ούτε να καταλάβει τι της είχε συμβεί, ούτε τι ένιωθε. Όλα της φαίνονταν σκοτεινά, ασαφή και τρομακτικά. Εκεί, σε αυτήν την τεράστια, φωτισμένη αίθουσα, όπου ο Duport πήδηξε στις βρεγμένες σανίδες υπό τη μουσική με γυμνά πόδια με ένα σακάκι με πούλιες, και κορίτσια και γέροι, και η Ελένη, γυμνή με ένα ήρεμο και περήφανο χαμόγελο, φώναξε «μπράβο» Με χαρά - εκεί, κάτω από τη σκιά αυτής της Ελένης, εκεί ήταν όλα ξεκάθαρα και απλά. αλλά τώρα μόνη, με τον εαυτό της, ήταν ακατανόητο. - "Τι είναι; Ποιος ήταν αυτός ο φόβος που ένιωθα για εκείνον; Τι είναι αυτές οι τύψεις που νιώθω τώρα; σκέφτηκε.
Η Νατάσα θα μπορούσε να πει στη γριά κόμισσα μόνη στο κρεβάτι το βράδυ όλα όσα σκεφτόταν. Η Σόνια, ήξερε, με το αυστηρό και ολοζώντανο βλέμμα της, είτε δεν θα καταλάβαινε τίποτα, είτε θα είχε τρομοκρατηθεί από την ομολογία της. Η Νατάσα, μόνη με τον εαυτό της, προσπάθησε να λύσει αυτό που την βασάνιζε.
«Πέθανα για την αγάπη του πρίγκιπα Αντρέι ή όχι; ρώτησε τον εαυτό της και με ένα καθησυχαστικό χαμόγελο απάντησε στον εαυτό της: Τι ανόητη είμαι που το ρωτάω; Τι μου συνέβη; Τίποτα. Δεν έκανα τίποτα, δεν έκανα τίποτα για να το προκαλέσω. Κανείς δεν θα το μάθει και δεν θα τον ξαναδώ, είπε στον εαυτό της. Έγινε σαφές ότι τίποτα δεν είχε συμβεί, ότι δεν υπήρχε τίποτα για να μετανοήσω, ότι ο πρίγκιπας Αντρέι μπορούσε να με αγαπήσει ακριβώς έτσι. Τι είδους όμως; Ω Θεέ μου, Θεέ μου! Γιατί δεν είναι εδώ;» Η Νατάσα ηρέμησε για μια στιγμή, αλλά και πάλι κάποιο ένστικτο της είπε ότι παρόλο που όλα αυτά ήταν αλήθεια και παρόλο που τίποτα δεν είχε συμβεί, το ένστικτο της είπε ότι όλη η προηγούμενη αγνότητα της αγάπης της για τον πρίγκιπα Αντρέι είχε χαθεί. Και πάλι στη φαντασία της επανέλαβε ολόκληρη τη συνομιλία της με τον Κουράγκιν και φαντάστηκε το πρόσωπο, τις χειρονομίες και το απαλό χαμόγελο αυτού του όμορφου και γενναίου άνδρα, ενώ εκείνος της έσφιξε το χέρι.

Ο Anatol Kuragin ζούσε στη Μόσχα επειδή ο πατέρας του τον έστειλε μακριά από την Αγία Πετρούπολη, όπου ζούσε πάνω από είκοσι χιλιάδες το χρόνο σε χρήματα και το ίδιο ποσό σε χρέη που ζητούσαν οι πιστωτές από τον πατέρα του.
Ο πατέρας ανακοίνωσε στον γιο του ότι πλήρωνε τα μισά από τα χρέη του για τελευταία φορά. αλλά μόνο για να πάει στη Μόσχα στη θέση του υπασπιστή του αρχιστράτηγου που του προμήθευσε και να προσπαθήσει τελικά να κάνει ένα καλό ταίρι εκεί. Του έδειξε την πριγκίπισσα Μαρία και την Τζούλι Καραγκίνα.
Ο Ανατόλ συμφώνησε και πήγε στη Μόσχα, όπου έμεινε με τον Πιέρ. Ο Πιερ δέχτηκε τον Ανατόλ απρόθυμα στην αρχή, αλλά στη συνέχεια τον συνήθισε, μερικές φορές πήγαινε μαζί του στα καρούζα του και, με το πρόσχημα του δανείου, του έδωσε χρήματα.
Ο Anatole, όπως πολύ σωστά είπε για αυτόν ο Shinshin, από τότε που έφτασε στη Μόσχα, τρέλανε όλες τις κυρίες της Μόσχας, ειδικά επειδή τις παραμέλησε και προφανώς προτιμούσε τους τσιγγάνους και τις Γαλλίδες ηθοποιούς, με επικεφαλής την Mademoiselle Georges, όπως έλεγαν, ήταν σε στενές σχέσεις. Δεν έχασε ούτε ένα γλέντι με τον Ντανίλοφ και άλλους χαρούμενους φίλους της Μόσχας, έπινε όλη τη νύχτα, ξεπερνώντας τους πάντες και παρακολουθούσε όλα τα βράδια και τις μπάλες της υψηλής κοινωνίας. Μίλησαν για πολλές από τις ίντριγκες του με κυρίες της Μόσχας και σε μπάλες φλέρταρε μερικές. Δεν πλησίαζε όμως κορίτσια, ειδικά με πλούσιες νύφες, που ως επί το πλείστον ήταν όλες κακές, ειδικά αφού ο Ανατόλε, που κανείς δεν ήξερε εκτός από τους στενούς του φίλους, είχε παντρευτεί πριν από δύο χρόνια. Πριν από δύο χρόνια, ενώ το σύνταγμά του βρισκόταν στην Πολωνία, ένας φτωχός Πολωνός γαιοκτήμονας ανάγκασε τον Ανατόλ να παντρευτεί την κόρη του.
Ο Ανατόλ εγκατέλειψε πολύ σύντομα τη γυναίκα του και, για τα χρήματα που δέχτηκε να στείλει στον πεθερό του, διαπραγματεύτηκε για τον εαυτό του το δικαίωμα να θεωρείται ανύπαντρος.
Ο Ανατόλ ήταν πάντα ευχαριστημένος με τη θέση του, τον εαυτό του και τους άλλους. Ήταν ενστικτωδώς πεπεισμένος με όλο του το είναι ότι δεν μπορούσε να ζήσει διαφορετικά από τον τρόπο που ζούσε και ότι δεν είχε κάνει ποτέ τίποτα κακό στη ζωή του. Δεν ήταν σε θέση να σκεφτεί πώς οι πράξεις του θα μπορούσαν να επηρεάσουν τους άλλους, ούτε τι θα μπορούσε να προκύψει από μια τέτοια ή μια τέτοια ενέργεια. Ήταν πεπεισμένος ότι όπως μια πάπια δημιουργήθηκε με τέτοιο τρόπο ώστε να ζει πάντα στο νερό, έτσι δημιουργήθηκε από τον Θεό με τέτοιο τρόπο ώστε να ζει με εισόδημα τριάντα χιλιάδων και να κατέχει πάντα την υψηλότερη θέση στην κοινωνία . Το πίστευε τόσο ακράδαντα που βλέποντάς τον άλλοι πείστηκαν γι' αυτό και δεν του αρνήθηκαν ούτε την υψηλότερη θέση στον κόσμο ούτε τα χρήματα, που προφανώς δανείστηκε χωρίς επιστροφή από αυτούς που γνώρισε και όσους τον γνώρισαν.
Δεν ήταν τζογαδόρος, τουλάχιστον δεν ήθελε ποτέ να κερδίσει. Δεν ήταν ματαιόδοξος. Δεν τον ένοιαζε καθόλου τι πιστεύει ο κόσμος για αυτόν. Ακόμη λιγότερο θα μπορούσε να είναι ένοχος φιλοδοξίας. Πείραζε τον πατέρα του πολλές φορές, καταστρέφοντας την καριέρα του, και γέλασε με όλες τις τιμές. Δεν ήταν τσιγκούνης και δεν αρνιόταν σε κανέναν που του το ζητούσε. Το μόνο πράγμα που αγαπούσε ήταν η διασκέδαση και οι γυναίκες, και επειδή, σύμφωνα με τις έννοιες του, δεν υπήρχε τίποτα άδοξο σε αυτά τα γούστα, και δεν μπορούσε να σκεφτεί τι προέκυψε από την ικανοποίηση των γούστων του για άλλους ανθρώπους, στην ψυχή του πίστευε ότι θεωρούσε τον εαυτό του ένας άψογος άνθρωπος, ειλικρινά περιφρονούσε τους απατεώνες και τους κακούς ανθρώπους και σήκωνε το κεφάλι ψηλά με ήρεμη συνείδηση.
Οι γλεντζέδες, αυτοί οι αρσενικοί Μαγδαληνοί, έχουν μια κρυφή αίσθηση συνείδησης της αθωότητας, όπως και οι γυναίκες Μαγδαληνές, βασισμένη στην ίδια ελπίδα συγχώρεσης. «Όλα θα της συγχωρηθούν, γιατί αγάπησε πολύ, και όλα θα του συγχωρηθούν, γιατί διασκέδασε πολύ».
Ο Ντολόχοφ, ο οποίος φέτος εμφανίστηκε ξανά στη Μόσχα μετά την εξορία και τις περσικές περιπέτειες, και έκανε μια πολυτελή ζωή τυχερών παιχνιδιών και τυχερών παιχνιδιών, ήρθε κοντά με τον παλιό του σύντροφο στην Αγία Πετρούπολη Κουράγκιν και τον χρησιμοποίησε για τους δικούς του σκοπούς.
Ο Anatole αγαπούσε ειλικρινά τον Dolokhov για την ευφυΐα και την τόλμη του. Ο Dolokhov, ο οποίος χρειαζόταν το όνομα, την αρχοντιά, τις συνδέσεις του Anatoly Kuragin για να παρασύρει πλούσιους νέους στην κοινωνία του τζόγου, χωρίς να τον αφήσει να το νιώσει αυτό, χρησιμοποίησε και διασκέδασε με τον Kuragin. Εκτός από τον υπολογισμό για τον οποίο χρειαζόταν το Anatol, η ίδια η διαδικασία του ελέγχου της θέλησης κάποιου άλλου ήταν μια ευχαρίστηση, μια συνήθεια και μια ανάγκη για τον Dolokhov.
Η Νατάσα έκανε έντονη εντύπωση στον Κουράγκιν. Στο δείπνο μετά το θέατρο, με τις τεχνικές ενός γνώστη, εξέτασε μπροστά στον Dolokhov την αξιοπρέπεια των χεριών, των ώμων, των ποδιών και των μαλλιών της και ανακοίνωσε την απόφασή του να συρθεί πίσω της. Τι θα μπορούσε να βγει από αυτήν την ερωτοτροπία - ο Ανατόλε δεν μπορούσε να το σκεφτεί και να μάθει, όπως δεν ήξερε ποτέ τι θα προέκυπτε από κάθε του ενέργεια.
«Είναι καλό, αδερφέ, αλλά όχι για εμάς», του είπε ο Ντολόχοφ.
«Θα πω στην αδερφή μου να την καλέσει για φαγητό», είπε ο Ανατόλ. - ΕΝΑ;
-Καλύτερα να περιμένεις μέχρι να παντρευτεί...
«Ξέρεις», είπε ο Ανατόλ, «j”adore les petites filles: [λατρεύω τα κορίτσια:] - τώρα θα χαθεί.
«Έχεις ήδη ερωτευτεί ένα μικροκαμωμένο [κορίτσι]», είπε ο Dolokhov, ο οποίος γνώριζε για τον γάμο του Anatole. - Κοίτα!
- Λοιπόν, δεν μπορείς να το κάνεις δύο φορές! ΕΝΑ; – είπε ο Ανατόλ γελώντας καλοπροαίρετα.

Την επόμενη μέρα μετά το θέατρο, οι Ροστόφ δεν πήγαν πουθενά και κανείς δεν τους ήρθε. Η Marya Dmitrievna, κρύβοντας κάτι από τη Νατάσα, μιλούσε με τον πατέρα της. Η Νατάσα μάντεψε ότι μιλούσαν για τον γέρο πρίγκιπα και έφτιαχναν κάτι, και αυτό την ενόχλησε και την προσέβαλε. Περίμενε κάθε λεπτό τον πρίγκιπα Αντρέι και δύο φορές εκείνη την ημέρα έστειλε τον θυρωρό στη Βζντβιζένκα για να μάθει αν είχε φτάσει. Δεν ήρθε. Τώρα ήταν πιο δύσκολο για εκείνη από τις πρώτες μέρες της άφιξής της. Η ανυπομονησία και η λύπη της γι' αυτόν συνδυάστηκαν με μια δυσάρεστη ανάμνηση της συνάντησής της με την πριγκίπισσα Μαρία και τον γέρο πρίγκιπα, και ο φόβος και το άγχος, για τα οποία δεν ήξερε τον λόγο. Της φαινόταν ότι είτε δεν θα ερχόταν ποτέ, είτε ότι κάτι θα της συνέβαινε πριν φτάσει. Δεν μπορούσε, όπως πριν, ήρεμα και συνέχεια, μόνη με τον εαυτό της, να τον σκέφτεται. Μόλις άρχισε να τον σκέφτεται, στη μνήμη του εντάχθηκε η μνήμη του γέρου πρίγκιπα, της πριγκίπισσας Μαρίας και της τελευταίας παράστασης και του Κουράγκιν. Αναρωτήθηκε ξανά αν ήταν ένοχη, αν είχε ήδη παραβιαστεί η πίστη της στον πρίγκιπα Αντρέι και πάλι βρήκε τον εαυτό της να θυμάται με την παραμικρή λεπτομέρεια κάθε λέξη, κάθε χειρονομία, κάθε απόχρωση έκφρασης στο πρόσωπο αυτού του άντρα, που ήξερε πώς να της ξυπνήσει κάτι ακατανόητο και ένα φοβερό συναίσθημα. Στα μάτια της οικογένειάς της, η Νατάσα φαινόταν πιο ζωηρή από ό,τι συνήθως, αλλά δεν ήταν τόσο ήρεμη και χαρούμενη όσο πριν.
Το πρωί της Κυριακής, η Marya Dmitrievna κάλεσε τους καλεσμένους της να λειτουργήσουν στην ενορία της Κοίμησης της Θεοτόκου στο Mogiltsy.
«Δεν μου αρέσουν αυτές οι μοντέρνες εκκλησίες», είπε, προφανώς περήφανη για την ελεύθερη σκέψη της. - Υπάρχει μόνο ένας Θεός παντού. Ο ιερέας μας είναι υπέροχος, υπηρετεί αξιοπρεπώς, είναι τόσο ευγενής, όπως και ο διάκονος. Αυτό το κάνει τόσο ιερό να τραγουδούν οι άνθρωποι συναυλίες στη χορωδία; Δεν μου αρέσει, είναι απλώς αυτοδιάθεση!
Η Marya Dmitrievna αγαπούσε τις Κυριακές και ήξερε πώς να τις γιορτάζει. Το σπίτι της πλύθηκε και καθαρίστηκε το Σάββατο. κόσμος και εκείνη δεν δούλευε, όλοι ήταν ντυμένοι για τις γιορτές και όλοι παρακολουθούσαν τη λειτουργία. Στο δείπνο του κυρίου προστέθηκε φαγητό και στους ανθρώπους έδιναν βότκα και ψητή χήνα ή γουρούνι. Αλλά πουθενά σε ολόκληρο το σπίτι δεν ήταν πιο αισθητές οι διακοπές από το πλατύ, αυστηρό πρόσωπο της Marya Dmitrievna, που εκείνη την ημέρα έλαβε μια αμετάβλητη έκφραση επισημότητας.
Όταν έπιναν καφέ μετά τη λειτουργία, στο σαλόνι με τα καλύμματα αφαιρεμένα, η Marya Dmitrievna ενημερώθηκε ότι η άμαξα ήταν έτοιμη και, με αυστηρό βλέμμα, ντυμένη με το τελετουργικό σάλι στο οποίο έκανε επισκέψεις, σηκώθηκε και ανακοίνωσε ότι πήγαινε στον πρίγκιπα Νικολάι Αντρέεβιτς Μπολκόνσκι για να του εξηγήσει για τη Νατάσα.
Αφού έφυγε η Marya Dmitrievna, ένας milliner από τη Madame Chalmet ήρθε στα Rostovs και η Natasha, έχοντας κλείσει την πόρτα στο δωμάτιο δίπλα στο σαλόνι, πολύ ευχαριστημένη από τη διασκέδαση, άρχισε να δοκιμάζει νέα φορέματα. Ενώ φορούσε ένα μπούστο κρέμας ακόμα χωρίς μανίκια και έσκυβε το κεφάλι της, κοιτάζοντας στον καθρέφτη πώς καθόταν η πλάτη, άκουσε στο σαλόνι τους κινούμενους ήχους της φωνής του πατέρα της και μια άλλη, γυναικεία φωνή, που την έκανε κοκκινίζω. Ήταν η φωνή της Ελένης. Πριν προλάβει η Νατάσα να βγάλει το μπούστο που δοκίμαζε, η πόρτα άνοιξε και η κοντέσα Μπεζουχάγια μπήκε στο δωμάτιο, με ένα καλοσυνάτο και στοργικό χαμόγελο, με ένα σκούρο μωβ, βελούδινο φόρεμα με ψηλό λαιμό.
- Αχ, ma delicieuse! [Ω, γοητευτική μου!] - είπε στην κοκκινισμένη Νατάσα. - Charmante! [Γοητευτικό!] Όχι, αυτό δεν μοιάζει με τίποτα, αγαπητέ μου Κόμη», είπε στον Ίλια Αντρέιτς, που μπήκε μετά από αυτήν. – Πώς να ζεις στη Μόσχα και να μην ταξιδεύεις πουθενά; Όχι, δεν θα σε αφήσω μόνη! Σήμερα το βράδυ ο M lle Georges απαγγέλλει και κάποιοι θα μαζευτούν. και αν δεν φέρεις τις ομορφιές σου, που είναι καλύτερες από τον M lle Georges, τότε δεν θέλω να σε γνωρίσω. Ο άντρας μου έφυγε, έφυγε για το Τβερ, αλλιώς θα τον έστελνα για σένα. Να είστε σίγουροι ότι θα έρθετε, οπωσδήποτε, στις εννιά. «Κούνησε καταφατικά το κεφάλι της στον μιλινέρ που γνώριζε, ο οποίος της κάθισε με σεβασμό, και κάθισε σε μια καρέκλα κοντά στον καθρέφτη, απλώνοντας γραφικά τις πτυχές του βελούδινου φορέματός της. Δεν σταμάτησε να συνομιλεί καλοπροαίρετα και χαρούμενα, θαυμάζοντας συνεχώς την ομορφιά της Νατάσα. Εξέτασε τα φορέματά της και τα επαίνεσε και καμάρωνε για το νέο της φόρεμα en gaz metallique, [από μεταλλικό αέριο], το οποίο έλαβε από το Παρίσι και συμβούλεψε τη Νατάσα να κάνει το ίδιο.
«Ωστόσο, όλα σου ταιριάζουν, αγαπημένη μου», είπε.
Το χαμόγελο της ευχαρίστησης δεν έφυγε ποτέ από το πρόσωπο της Νατάσας. Ένιωθε χαρούμενη και ανθισμένη κάτω από τους επαίνους αυτής της αγαπημένης κόμισσας Μπεζούκοβα, που της φαινόταν προηγουμένως μια τόσο απρόσιτη και σημαντική κυρία, και που ήταν τώρα τόσο ευγενική μαζί της. Η Νατάσα ένιωθε χαρούμενη και σχεδόν ερωτευμένη με αυτήν την τόσο όμορφη και τόσο καλοσυνάτη γυναίκα. Η Ελένη, από την πλευρά της, θαύμαζε ειλικρινά τη Νατάσα και ήθελε να τη διασκεδάσει. Ο Ανατόλε της ζήτησε να τον τακτοποιήσει με τη Νατάσα και για αυτό ήρθε στους Ροστόφ. Η σκέψη να στήσει τον αδερφό της με τη Νατάσα τη διασκέδασε.
Παρά το γεγονός ότι προηγουμένως είχε ενοχληθεί με τη Νατάσα επειδή της είχε πάρει τον Μπόρις στην Αγία Πετρούπολη, τώρα δεν το σκέφτηκε καν και με όλη της την ψυχή, με τον δικό της τρόπο, ευχήθηκε στη Νατάσα. Φεύγοντας από τα Ροστόφ, απέσυρε τον προστατευόμενό της στην άκρη.
- Χθες ο αδερφός μου δείπνησε μαζί μου - πεθαίναμε στα γέλια - δεν έφαγε τίποτα και αναστέναξε για σένα, πολύτιμη μου. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Τρελαίνεται, αλλά τρελαίνεται από την αγάπη για σένα, καλή μου.]
Η Νατάσα κοκκίνισε κατακόκκινη ακούγοντας αυτά τα λόγια.
- Πώς κοκκινίζει, πώς κοκκινίζει, ma delicieuse! [πολύτιμη μου!] - είπε η Ελένη. - Έλα οπωσδήποτε. Si vous aimez quelqu"un, ma delicieuse, ce n"est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes υπόσχομαι, je suis sure que votre promis aurait wish que vous alliez dans le monde en son απουσία plutot que de deperir d"ennui. [Ακριβώς επειδή αγαπάς κάποιον, αγαπημένη μου, δεν πρέπει να ζεις σαν καλόγρια. Ακόμη και αν είσαι νύφη, είμαι σίγουρος ότι ο γαμπρός σου θα προτιμούσε να βγεις στην κοινωνία ερήμην του παρά να πεθάνεις από την πλήξη.]
«Γνωρίζει λοιπόν ότι είμαι νύφη, άρα αυτή και ο άντρας της, με τον Πιέρ, με αυτόν τον ωραίο Πιέρ», σκέφτηκε η Νατάσα, μίλησε και γέλασε γι' αυτό. Άρα δεν είναι τίποτα». Και πάλι, υπό την επιρροή της Ελένης, αυτό που προηγουμένως φαινόταν τρομερό φαινόταν απλό και φυσικό. «Και είναι τόσο μεγάλη ντάμα, [σημαντική κυρία] τόσο γλυκιά και προφανώς με αγαπάει με όλη της την καρδιά», σκέφτηκε η Νατάσα. Και γιατί να μην διασκεδάσουμε; σκέφτηκε η Νατάσα κοιτάζοντας την Έλεν με έκπληκτα, ορθάνοιχτα μάτια.
Η Marya Dmitrievna επέστρεψε στο δείπνο, σιωπηλή και σοβαρή, εμφανώς νικημένη από τον γέρο πρίγκιπα. Ήταν ακόμα πολύ ενθουσιασμένη από τη σύγκρουση για να μπορέσει να πει ήρεμα την ιστορία. Στην ερώτηση του κόμη απάντησε ότι όλα είναι καλά και ότι θα του το πει αύριο. Έχοντας μάθει για την επίσκεψη και την πρόσκληση της κόμισσας Μπεζούκοβα στο βράδυ, η Marya Dmitrievna είπε:
«Δεν μου αρέσει να κάνω παρέα με τον Bezukhova και δεν θα το συνιστούσα. Λοιπόν, αν υποσχεθήκατε, πηγαίνετε, θα αποσπαστείτε», πρόσθεσε, γυρίζοντας προς τη Νατάσα.

Ο κόμης Ilya Andreich πήγε τα κορίτσια του στην κόμισσα Bezukhova. Υπήρχε πολύς κόσμος το βράδυ. Αλλά ολόκληρη η κοινωνία ήταν σχεδόν άγνωστη στη Νατάσα. Ο κόμης Ilya Andreich σημείωσε με δυσαρέσκεια ότι ολόκληρη αυτή η κοινωνία αποτελούνταν κυρίως από άνδρες και γυναίκες, γνωστούς για την ελευθερία τους στη θεραπεία. Ο M lle Georges, περιτριγυρισμένος από νέους, στεκόταν στη γωνία του σαλονιού. Υπήρχαν αρκετοί Γάλλοι, και ανάμεσά τους ο Μετιβιέ, που ήταν συγκάτοικός της από την άφιξη της Ελένης. Ο κόμης Ilya Andreich αποφάσισε να μην παίξει χαρτιά, να μην αφήσει τις κόρες του και να φύγει μόλις τελείωσε η παράσταση του Georges.
Ο Ανατόλ ήταν προφανώς στην πόρτα και περίμενε να μπουν οι Ροστόφ. Χαιρέτησε αμέσως τον κόμη, πλησίασε τη Νατάσα και την ακολούθησε. Μόλις τον είδε η Νατάσα, όπως και στο θέατρο, την κυρίευσε ένα αίσθημα μάταιης ευχαρίστησης που του άρεσε και φόβος από την απουσία ηθικών φραγμών ανάμεσα σε αυτήν και αυτόν. Η Ελένη δέχτηκε με χαρά τη Νατάσα και θαύμασε δυνατά την ομορφιά και το ντύσιμό της. Λίγο μετά την άφιξή τους, ο M lle Georges έφυγε από το δωμάτιο για να ντυθεί. Στο σαλόνι άρχισαν να τακτοποιούν καρέκλες και να κάθονται. Ο Ανατόλ τράβηξε μια καρέκλα για τη Νατάσα και ήθελε να καθίσει δίπλα της, αλλά ο κόμης, που δεν είχε πάρει τα μάτια του από τη Νατάσα, κάθισε δίπλα της. Ο Ανατόλ κάθισε πίσω.
Η M lle Georges, με γυμνά, λακκάκια, χοντρά μπράτσα, φορώντας ένα κόκκινο σάλι φορεμένο στον έναν ώμο, βγήκε στον κενό χώρο που της άφησαν ανάμεσα στις καρέκλες και σταμάτησε σε μια αφύσικη στάση. Ένας ενθουσιώδης ψίθυρος ακούστηκε. Η M lle Georges κοίταξε αυστηρά και μελαγχολικά το κοινό και άρχισε να λέει μερικά ποιήματα στα γαλλικά, που αφορούσαν τον εγκληματικό έρωτά της για τον γιο της. Σε κάποια σημεία ύψωνε τη φωνή της, σε άλλα ψιθύριζε σηκώνοντας πανηγυρικά το κεφάλι, σε άλλα σταματούσε και συριγόταν γουρλώνοντας τα μάτια της.
- Αξιολάτρευτο, divin, delicieux! [Απολαυστικό, θεϊκό, υπέροχο!] - ακούστηκε από όλες τις πλευρές. Η Νατάσα κοίταξε τον χοντρό Γιώργο, αλλά δεν άκουσε τίποτα, δεν είδε και δεν κατάλαβε τίποτα από αυτό που συνέβαινε μπροστά της. ένιωθε ξανά εντελώς αμετάκλητα σε αυτόν τον παράξενο, τρελό κόσμο, τόσο μακριά από τον προηγούμενο, σε εκείνον τον κόσμο που ήταν αδύνατο να μάθεις τι ήταν καλό, τι κακό, τι ήταν λογικό και τι ήταν τρελό. Ο Ανατόλ καθόταν πίσω της και εκείνη, νιώθοντας την εγγύτητά του, περίμενε φοβισμένη κάτι.
Μετά τον πρώτο μονόλογο, όλη η παρέα σηκώθηκε όρθια και περικύκλωσε την m lle Georges, εκφράζοντας της την χαρά της.
- Τι καλή που είναι! - είπε η Νατάσα στον πατέρα της, ο οποίος, μαζί με άλλους, σηκώθηκε και κινήθηκε μέσα από το πλήθος προς την ηθοποιό.
«Δεν το βρίσκω, κοιτάζω εσένα», είπε ο Ανατόλ ακολουθώντας τη Νατάσα. Το είπε σε μια στιγμή που μόνη της μπορούσε να τον ακούσει. «Είσαι υπέροχη… από τη στιγμή που σε είδα, δεν σταμάτησα…».
«Έλα, πάμε, Νατάσα», είπε ο κόμης, επιστρέφοντας για την κόρη του. - Πόσο καλό!
Η Νατάσα, χωρίς να πει τίποτα, πλησίασε τον πατέρα της και τον κοίταξε με ερωτηματικά, έκπληκτα μάτια.
Μετά από πολλές δεξιώσεις απαγγελίας, ο M lle Georges έφυγε και η κόμισσα Bezukhaya ζήτησε παρέα στην αίθουσα.
Ο Κόμης ήθελε να φύγει, αλλά η Έλεν τον παρακάλεσε να μην καταστρέψει την αυτοσχέδια μπάλα της. Οι Ροστόφ παρέμειναν. Ο Ανατόλ κάλεσε τη Νατάσα σε ένα βαλς και κατά τη διάρκεια του βαλς, κουνώντας τη μέση και το χέρι της, της είπε ότι ήταν ravissante [γοητευτική] και ότι την αγαπούσε. Κατά τη διάρκεια της οικοσυνεδρίας, που χόρεψε ξανά με τον Κουράγκιν, όταν έμειναν μόνοι, ο Ανατόλε δεν της είπε τίποτα και μόνο την κοίταξε. Η Νατάσα αμφέβαλλε αν είχε δει αυτό που της είπε κατά τη διάρκεια του βαλς σε ένα όνειρο. Στο τέλος της πρώτης φιγούρας της έσφιξε ξανά το χέρι. Η Νατάσα σήκωσε τα τρομαγμένα μάτια της προς το μέρος του, αλλά υπήρχε μια τέτοια τρυφερή έκφραση με αυτοπεποίθηση στο στοργικό βλέμμα και το χαμόγελό του που δεν μπορούσε να τον κοιτάξει και να πει αυτό που είχε να του πει. Χαμήλωσε τα μάτια της.
«Μη μου λες τέτοια πράγματα, είμαι αρραβωνιασμένος και αγαπώ κάποιον άλλο», είπε γρήγορα... «Τον κοίταξε. Ο Ανατόλ δεν ντρεπόταν ούτε αναστατώθηκε με αυτά που είπε.
- Μη μου το λες αυτό. Τι με νοιάζει; - αυτός είπε. «Λέω ότι είμαι τρελά, τρελά ερωτευμένος μαζί σου». Φταίω εγώ που είσαι καταπληκτικός; Ας αρχίσουμε.
Η Νατάσα, ζωηρή και ανήσυχη, κοίταξε γύρω της με γουρλωμένα, τρομαγμένα μάτια και φαινόταν πιο ευδιάθετη από το συνηθισμένο. Δεν θυμόταν σχεδόν τίποτα από αυτό που συνέβη εκείνο το βράδυ. Χόρεψαν Ecossaise και Gros Vater, ο πατέρας της την κάλεσε να φύγει, εκείνη ζήτησε να μείνει. Όπου κι αν ήταν, με όποιον κι αν μιλούσε, ένιωθε το βλέμμα του πάνω της. Μετά θυμήθηκε ότι ζήτησε από τον πατέρα της την άδεια να πάει στο καμαρίνι για να ισιώσει το φόρεμά της, ότι η Ελένη την ακολούθησε, της είπε γελώντας για την αγάπη του αδερφού της και ότι στον μικρό καναπέ συνάντησε ξανά τον Anatole, ότι η Ελένη εξαφανίστηκε κάπου , έμειναν μόνοι και ο Ανατόλε, πιάνοντάς της το χέρι, είπε με απαλή φωνή:
- Δεν μπορώ να πάω κοντά σου, αλλά πραγματικά δεν θα σε δω ποτέ; Σε αγαπώ τρελά. Αλήθεια ποτέ;...» κι εκείνος, κλείνοντάς της το δρόμο, έφερε το πρόσωπό του πιο κοντά στο δικό της.
Τα λαμπρά, μεγάλα, ανδρικά μάτια του ήταν τόσο κοντά στα μάτια της που δεν έβλεπε τίποτα άλλο παρά μόνο αυτά τα μάτια.
-Νάταλι;! – η φωνή του ψιθύρισε ερωτηματικά, και κάποιος της έσφιξε οδυνηρά τα χέρια.
-Νάταλι;!
«Δεν καταλαβαίνω τίποτα, δεν έχω τίποτα να πω», είπε το βλέμμα της.
Καυτά χείλη πίεσαν τα δικά της και εκείνη ακριβώς τη στιγμή ένιωσε ξανά ελεύθερη, και ο θόρυβος από τα βήματα και το φόρεμα της Έλεν ακούστηκε στο δωμάτιο. Η Νατάσα κοίταξε πίσω την Ελένη, μετά, κατακόκκινη και τρέμοντας, τον κοίταξε με τρομαγμένη απορία και πήγε προς την πόρτα.
«Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Μία λέξη, μόνο μία, για όνομα του Θεού», είπε ο Ανατόλε.
Εκείνη σταμάτησε. Είχε πολύ ανάγκη να πει αυτή τη λέξη, που θα της εξηγούσε τι είχε συμβεί και στην οποία θα του απαντούσε.
«Nathalie, un mot, un seul», επαναλάμβανε, προφανώς δεν ήξερε τι να πει, και το επανέλαβε μέχρι που τους πλησίασε η Έλεν.
Η Ελένη και η Νατάσα βγήκαν ξανά στο σαλόνι. Χωρίς να μείνουν για φαγητό, οι Ροστόφ έφυγαν.
Επιστρέφοντας στο σπίτι, η Νατάσα δεν κοιμήθηκε όλη τη νύχτα: βασανίστηκε από το άλυτο ερώτημα ποιον αγαπούσε, τον Ανατόλε ή τον Πρίγκιπα Αντρέι. Αγαπούσε τον πρίγκιπα Αντρέι - θυμόταν καθαρά πόσο πολύ τον αγαπούσε. Αλλά αγαπούσε και τον Ανατόλ, αυτό ήταν σίγουρο. «Διαφορετικά, πώς θα μπορούσαν να έχουν συμβεί όλα αυτά;» σκέφτηκε. «Αν μετά από αυτό, όταν τον αποχαιρέτησα, μπορούσα να απαντήσω στο χαμόγελό του με ένα χαμόγελο, αν μπορούσα να επιτρέψω να συμβεί αυτό, τότε σημαίνει ότι τον ερωτεύτηκα από το πρώτο λεπτό. Αυτό σημαίνει ότι είναι ευγενικός, ευγενής και όμορφος και ήταν αδύνατο να μην τον αγαπήσω. Τι πρέπει να κάνω όταν τον αγαπώ και αγαπώ έναν άλλον; είπε στον εαυτό της, μη βρίσκοντας απαντήσεις σε αυτές τις τρομερές ερωτήσεις.

Το πρωί ήρθε με τις έγνοιες και τη φασαρία του. Όλοι σηκώθηκαν, κινήθηκαν, άρχισαν να μιλάνε, οι milliners ήρθαν ξανά, η Marya Dmitrievna βγήκε ξανά και φώναξε για τσάι. Η Νατάσα, με γουρλωμένα μάτια, σαν να ήθελε να αναχαιτίσει κάθε βλέμμα της, κοίταξε γύρω της ανήσυχα τους πάντες και προσπάθησε να φανεί η ίδια όπως ήταν πάντα.
Μετά το πρωινό, η Marya Dmitrievna (αυτή ήταν η καλύτερη στιγμή της), καθισμένη στην καρέκλα της, κάλεσε τη Νατάσα και τον παλιό κόμη.
«Λοιπόν, φίλοι μου, τώρα το σκέφτηκα όλο το θέμα και εδώ είναι η συμβουλή μου προς εσάς», άρχισε. – Χθες, όπως γνωρίζετε, ήμουν με τον πρίγκιπα Νικολάι. Λοιπόν, του μίλησα... Αποφάσισε να φωνάξει. Δεν μπορείς να με φωνάξεις κάτω! Του τραγούδησα τα πάντα!
- Τι είναι αυτός; - ρώτησε ο κόμης.
- Τι είναι αυτός; τρελός... δεν θέλει να ακούσει. Λοιπόν, τι να πω, και έτσι βασανίσαμε το φτωχό κορίτσι», είπε η Marya Dmitrievna. «Και η συμβουλή μου σε εσάς είναι να τελειώσετε τα πράγματα και να πάτε σπίτι στο Otradnoye… και να περιμένετε εκεί…
- Ωχ όχι! – Ούρλιαξε η Νατάσα.
«Όχι, ας φύγουμε», είπε η Marya Dmitrievna. - Και περίμενε εκεί. «Αν έρθει ο γαμπρός εδώ τώρα, δεν θα γίνει καβγάς, αλλά εδώ θα τα συζητήσει όλα μόνος του με τον γέρο και μετά θα έρθει σε σένα».
Ο Ilya Andreich ενέκρινε αυτήν την πρόταση, καταλαβαίνοντας αμέσως τη λογική της. Εάν ο γέρος υποχωρήσει, τότε τόσο καλύτερα θα είναι να έρθετε κοντά του στη Μόσχα ή στα Φαλακρα Όρη, αργότερα. αν όχι, τότε θα είναι δυνατό να παντρευτεί παρά τη θέλησή του μόνο στο Otradnoye.
«Και η αληθινή αλήθεια», είπε. «Λυπάμαι που πήγα κοντά του και την πήρα», είπε ο γέρος κόμης.
- Όχι, γιατί να το μετανιώσω; Έχοντας βρεθεί εδώ, ήταν αδύνατο να μην αποτίσουμε φόρο τιμής. Λοιπόν, αν δεν θέλει, είναι δική του δουλειά», είπε η Marya Dmitrievna, αναζητώντας κάτι στο δίκτυό της. - Ναι, και η προίκα είναι έτοιμη, τι άλλο να περιμένεις; και ό,τι δεν είναι έτοιμο, θα σας το στείλω. Αν και σε λυπάμαι, είναι καλύτερα να πάμε με τον Θεό. «Έχοντας βρει αυτό που έψαχνε στο δικτυωτό, το έδωσε στη Νατάσα. Ήταν ένα γράμμα από την πριγκίπισσα Μαρία. - Σου γράφει. Πόσο υποφέρει, καημένη! Φοβάται ότι θα σκεφτείς ότι δεν σε αγαπάει.
«Ναι, δεν με αγαπάει», είπε η Νατάσα.
«Ανοησίες, μη μιλάς», φώναξε η Marya Dmitrievna.
- Δεν θα εμπιστευτώ κανέναν. «Ξέρω ότι δεν με αγαπάει», είπε η Νατάσα με τόλμη, παίρνοντας το γράμμα, και το πρόσωπό της εξέφραζε στεγνή και θυμωμένη αποφασιστικότητα, που έκανε τη Marya Dmitrievna να την κοιτάξει πιο προσεκτικά και να συνοφρυωθεί.
«Μην απαντάς έτσι, μητέρα», είπε. – Αυτό που λέω είναι αλήθεια. Γράψε μια απάντηση.
Η Νατάσα δεν απάντησε και πήγε στο δωμάτιό της για να διαβάσει το γράμμα της πριγκίπισσας Μαρίας.
Η πριγκίπισσα Μαρία έγραψε ότι ήταν σε απόγνωση για την παρεξήγηση που είχε συμβεί μεταξύ τους. Όποια και αν ήταν τα συναισθήματα του πατέρα της, έγραψε η πριγκίπισσα Μαρία, ζήτησε από τη Νατάσα να πιστέψει ότι δεν μπορούσε παρά να την αγαπήσει ως εκείνη που επέλεξε ο αδερφός της, για την ευτυχία του οποίου ήταν έτοιμη να θυσιάσει τα πάντα.
«Ωστόσο», έγραψε, «μη νομίζετε ότι ο πατέρας μου ήταν κακοπροαίρετος απέναντί ​​σας. Είναι ένας άρρωστος και ηλικιωμένος που πρέπει να δικαιολογηθεί. αλλά είναι ευγενικός, γενναιόδωρος και θα αγαπήσει αυτόν που θα κάνει τον γιο του ευτυχισμένο». Η πριγκίπισσα Μαρία ζήτησε περαιτέρω από τη Νατάσα να ορίσει μια ώρα που θα μπορούσε να τη δει ξανά.
Αφού διάβασε το γράμμα, η Νατάσα κάθισε στο γραφείο για να γράψει μια απάντηση: «Chere princesse», [Αγαπητή πριγκίπισσα], έγραψε γρήγορα, μηχανικά και σταμάτησε. «Τι θα μπορούσε να γράψει μετά από όλα όσα συνέβησαν χθες; Ναι, ναι, συνέβησαν όλα αυτά, και τώρα όλα είναι διαφορετικά», σκέφτηκε, καθισμένη πάνω από το γράμμα που είχε ξεκινήσει. «Να τον αρνηθώ; Είναι πραγματικά απαραίτητο; Αυτό είναι τρομερό!»... Και για να μην κάνει αυτές τις τρομερές σκέψεις, πήγε στη Σόνια και μαζί άρχισαν να τακτοποιούν τα μοτίβα.
Μετά το δείπνο, η Νατάσα πήγε στο δωμάτιό της και πήρε ξανά το γράμμα της πριγκίπισσας Μαρίας. - «Τελείωσαν πραγματικά όλα; σκέφτηκε. Μήπως πραγματικά όλα αυτά έγιναν τόσο γρήγορα και κατέστρεψαν ό,τι ήταν πριν»! Θυμήθηκε με όλη της την προηγούμενη δύναμη την αγάπη της για τον πρίγκιπα Αντρέι και ταυτόχρονα ένιωσε ότι αγαπούσε τον Κουράγκιν. Φαντάστηκε ζωηρά τον εαυτό της ως σύζυγο του πρίγκιπα Αντρέι, φαντάστηκε την εικόνα της ευτυχίας μαζί του να επαναλαμβάνεται τόσες φορές στη φαντασία της και ταυτόχρονα, κοκκινισμένη από ενθουσιασμό, φαντάστηκε όλες τις λεπτομέρειες της χθεσινής συνάντησής της με τον Ανατόλ.
«Γιατί να μην είναι μαζί; μερικές φορές, σε πλήρη έκλειψη, σκέφτηκε. Τότε μόνο θα ήμουν απόλυτα ευτυχισμένος, αλλά τώρα πρέπει να διαλέξω και χωρίς κανένα από τα δύο δεν μπορώ να είμαι ευτυχισμένος. Ένα πράγμα, σκέφτηκε, είναι εξίσου αδύνατο να πει κανείς τι σήμαινε για τον πρίγκιπα Αντρέι ή να το κρύψει. Και τίποτα δεν χαλάει με αυτό. Αλλά είναι πραγματικά δυνατό να αποχωριστώ για πάντα αυτή την ευτυχία της αγάπης του πρίγκιπα Αντρέι, που έζησα τόσο καιρό;»
«Νεαρή κυρία», είπε η κοπέλα ψιθυριστά με ένα μυστηριώδες βλέμμα, μπαίνοντας στο δωμάτιο. - Ένα άτομο μου είπε να το πω. Το κορίτσι παρέδωσε το γράμμα. «Μόνο για χάρη του Χριστού», έλεγε ακόμα η κοπέλα όταν η Νατάσα, χωρίς να το σκεφτεί, έσπασε τη σφραγίδα με μια μηχανική κίνηση και διάβασε το ερωτικό γράμμα του Ανατόλ, από το οποίο, χωρίς να καταλάβει λέξη, κατάλαβε μόνο ένα πράγμα - ότι αυτό το γράμμα ήταν από αυτόν, από εκείνον τον άντρα που αγαπά. «Ναι, αγαπάει, αλλιώς πώς θα μπορούσε να συμβεί αυτό που συνέβη; Θα μπορούσε να υπάρχει ένα ερωτικό γράμμα από αυτόν στο χέρι της;»

Ενιαία Κρατική Εξέταση για 4; Δεν θα σκάσεις από ευτυχία;

Η ερώτηση, όπως λένε, είναι ενδιαφέρουσα... Γίνεται, γίνεται να περάσεις με 4! Και ταυτόχρονα να μην σκάει... Βασική προϋπόθεση είναι να ασκείσαι τακτικά. Εδώ είναι η βασική προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Με όλα τα μυστικά και τα μυστήρια της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, για τα οποία δεν θα διαβάσετε στα σχολικά βιβλία... Μελετήστε αυτήν την ενότητα, λύστε περισσότερες εργασίες από διάφορες πηγές - και όλα θα πάνε καλά! Υποτίθεται ότι η βασική ενότητα "Ένα Γ είναι αρκετό για εσάς!" δεν σου δημιουργεί κανένα πρόβλημα. Αλλά αν ξαφνικά... Ακολουθήστε τους συνδέσμους, μην είστε τεμπέλης!

Και θα ξεκινήσουμε με ένα σπουδαίο και τρομερό θέμα.

Τριγωνομετρία

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Αυτό το θέμα προκαλεί πολλά προβλήματα στους μαθητές. Θεωρείται ένα από τα πιο σοβαρά. Τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο; Τι είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη; Τι είναι ένας αριθμητικός κύκλος;Μόλις κάνεις αυτές τις ακίνδυνες ερωτήσεις, το άτομο χλωμιάζει και προσπαθεί να εκτρέψει την κουβέντα... Μάταια όμως. Αυτές είναι απλές έννοιες. Και αυτό το θέμα δεν είναι πιο δύσκολο από άλλα. Απλώς πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τις απαντήσεις σε αυτές ακριβώς τις ερωτήσεις από την αρχή. Είναι πολύ σημαντικό. Αν καταλαβαίνεις, θα σου αρέσει η τριγωνομετρία. Ετσι,

Τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο; Τι είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη;

Ας ξεκινήσουμε από την αρχαιότητα. Μην ανησυχείτε, θα περάσουμε και τους 20 αιώνες τριγωνομετρίας σε περίπου 15 λεπτά και, χωρίς να το προσέξουμε, θα επαναλάβουμε ένα κομμάτι γεωμετρίας από την 8η τάξη.

Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β, γκαι γωνία Χ. Εδώ είναι.

Να θυμίσω ότι οι πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία λέγονται πόδια. α και γ– πόδια. Υπάρχουν δύο από αυτούς. Η υπόλοιπη πλευρά ονομάζεται υποτείνουσα. Με– υποτείνουσα.

Τρίγωνο και τρίγωνο, σκέψου! Τι να τον κάνεις; Όμως οι αρχαίοι άνθρωποι ήξεραν τι να κάνουν! Ας επαναλάβουμε τις πράξεις τους. Ας μετρήσουμε την πλευρά V. Στο σχήμα, τα κελιά είναι ειδικά σχεδιασμένα, όπως συμβαίνει στις εργασίες Unified State Examination. VΠλευρά ίσο με τέσσερα κελιά. ΕΝΤΑΞΕΙ. Ας μετρήσουμε την πλευράΕΝΑ.

Τρία κύτταρα. Τώρα ας διαιρέσουμε το μήκος της πλευράςΕΝΑ Vανά μήκος πλευράς Τώρα ας διαιρέσουμε το μήκος της πλευράς. Ή, όπως λένε επίσης, ας κρατήσουμε τη στάση V. Προς την= 3/4.

a/v VΑντίθετα, μπορείς να χωρίσεις ίσο με τέσσερα κελιά. ΕΝΤΑΞΕΙ. Ας μετρήσουμε την πλευράεπί VΠαίρνουμε 4/3. Μπορώ διαιρέστε μεΜε. ΜεΥποτείνουσα Είναι αδύνατο να μετρήσουμε με κελιά, αλλά είναι ίσο με 5. Παίρνουμευψηλή ποιότητα

= 4/5. Με λίγα λόγια, μπορείτε να διαιρέσετε τα μήκη των πλευρών μεταξύ τους και να πάρετε μερικούς αριθμούς.

Και λοιπόν; Ποιο είναι το νόημα αυτής της ενδιαφέρουσας δραστηριότητας; Καμία ακόμα. Μια άσκοπη άσκηση, για να το θέσω ωμά.) Τώρα ας το κάνουμε αυτό. Ας μεγεθύνουμε το τρίγωνο. Ας επεκτείνουμε τις πλευρέςμέσα και με Χ, αλλά έτσι ώστε το τρίγωνο να παραμένει ορθογώνιο. Γωνία , φυσικά, δεν αλλάζει. Για να το δείτε αυτό, περάστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την (αν έχετε tablet). Κόμματαα, β και γ θα μετατραπεί σε m, n, k

, και, φυσικά, τα μήκη των πλευρών θα αλλάξουν.

Αλλά η σχέση τους δεν είναι! Προς τηνΣτάση Προς τηνήταν: = 3/4, έγινε m/n = 6/8 = 3/4. Οι σχέσεις άλλων σχετικών μερών είναι επίσης δεν θα αλλάξει . Μπορείτε να αλλάξετε τα μήκη των πλευρών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο όπως θέλετε, να αυξήσετε, να μειώσετε, – χωρίς αλλαγή της γωνίας x η σχέση μεταξύ των σχετικών μερών δεν θα αλλάξει

Αλλά αυτό είναι ήδη πολύ σημαντικό! Οι λόγοι των πλευρών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο δεν εξαρτώνται σε καμία περίπτωση από τα μήκη των πλευρών (στην ίδια γωνία). Αυτό είναι τόσο σημαντικό που η σχέση μεταξύ των μερών έχει αποκτήσει το δικό της ειδικό όνομα. Τα ονόματά σας, ας πούμε.) Γνωρίστε.

Ποιο είναι το ημίτονο της γωνίας x ? Αυτή είναι η αναλογία της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα:

sinx = a/c

Ποιο είναι το συνημίτονο της γωνίας x ? Αυτή είναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υπόταση:

Μεosx= υψηλή ποιότητα

Τι είναι η εφαπτομένη x ? Αυτή είναι η αναλογία της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά:

tgx =Προς την

Ποια είναι η συνεφαπτομένη της γωνίας x ? Αυτή είναι η αναλογία της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη:

ctgx = v/a

Όλα είναι πολύ απλά. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι μερικοί αριθμοί. Αδιάστατο. Μόνο αριθμοί. Κάθε γωνία έχει τη δική της.

Γιατί τα επαναλαμβάνω όλα τόσο βαρετά; Τότε τι είναι αυτό πρέπει να θυμάστε. Είναι σημαντικό να θυμάστε. Η απομνημόνευση μπορεί να γίνει ευκολότερη. Είναι γνωστή η φράση «Ας ξεκινήσουμε από μακριά…»; Ξεκίνα λοιπόν από μακριά.

Κόλποςη γωνία είναι μια αναλογία μακρινόςαπό τη γωνία του ποδιού έως την υποτείνουσα. Συνημίτονο– ο λόγος του γείτονα προς την υποτείνουσα.

Εφαπτομένη γραμμήη γωνία είναι μια αναλογία μακρινόςαπό τη γωνία του ποδιού προς την κοντινή. Συνεφαπτομένη- αντίστροφα.

Είναι πιο εύκολο, σωστά;

Λοιπόν, αν θυμάστε ότι σε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη υπάρχουν μόνο σκέλη, και στο ημίτονο και το συνημίτονο εμφανίζεται η υποτείνουσα, τότε όλα θα γίνουν αρκετά απλά.

Όλη αυτή η ένδοξη οικογένεια - ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ονομάζεται επίσης τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Τώρα μια ερώτηση προς εξέταση.

Γιατί λέμε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη γωνία;Μιλάμε για τη σχέση των κομμάτων, όπως... Τι σχέση έχει; γωνία;

Ας δούμε τη δεύτερη εικόνα. Ακριβώς το ίδιο με το πρώτο.

Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα. Άλλαξα γωνία Χ. Το αύξησε από x έως x.Όλες οι σχέσεις έχουν αλλάξει! Στάση Προς τηνήταν 3/4, και η αντίστοιχη αναλογία τηλεόρασηέγινε 6/4.

Και όλες οι άλλες σχέσεις έγιναν διαφορετικές!

Επομένως, οι λόγοι των πλευρών δεν εξαρτώνται σε καμία περίπτωση από τα μήκη τους (σε μία γωνία x), αλλά εξαρτώνται έντονα από αυτήν ακριβώς τη γωνία! Και μόνο από αυτόν.Επομένως, αναφέρονται οι όροι ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη γωνία.Η γωνία εδώ είναι η κύρια.

Πρέπει να γίνει ξεκάθαρα κατανοητό ότι η γωνία είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις. Κάθε γωνία έχει το δικό της ημίτονο και συνημίτονο. Και σχεδόν ο καθένας έχει τη δική του εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.Είναι σημαντικό. Πιστεύεται ότι αν μας δοθεί μια γωνία, τότε το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ξέρουμε ! Και αντίστροφα. Με δεδομένο ένα ημίτονο ή οποιαδήποτε άλλη τριγωνομετρική συνάρτηση, σημαίνει ότι γνωρίζουμε τη γωνία.

Υπάρχουν ειδικοί πίνακες όπου για κάθε γωνία περιγράφονται οι τριγωνομετρικές της συναρτήσεις. Ονομάζονται τραπέζια Bradis. Έχουν συνταχθεί πριν από πολύ καιρό. Όταν δεν υπήρχαν ακόμη αριθμομηχανές ή υπολογιστές...

Φυσικά, είναι αδύνατο να θυμηθούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις όλων των γωνιών. Πρέπει να τα γνωρίζετε μόνο για μερικές γωνίες, περισσότερα για αυτό αργότερα. Αλλά το ξόρκι Γνωρίζω μια γωνία, που σημαίνει ότι γνωρίζω τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις» -λειτουργεί πάντα!

Επαναλάβαμε λοιπόν ένα κομμάτι γεωμετρίας από την 8η δημοτικού. Το χρειαζόμαστε για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους; Απαραίτητη. Εδώ είναι ένα τυπικό πρόβλημα από την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, αρκεί η 8η τάξη. Δεδομένη εικόνα:

Ολα. Δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία. Πρέπει να βρούμε το μήκος της πλευράς του αεροσκάφους.

Τα κελιά δεν βοηθούν πολύ, το τρίγωνο είναι κατά κάποιο τρόπο λανθασμένα τοποθετημένο... Επίτηδες, υποθέτω... Από τις πληροφορίες υπάρχει το μήκος της υποτείνουσας. 8 κύτταρα. Για κάποιο λόγο δόθηκε η γωνία.

Εδώ πρέπει να θυμάστε αμέσως την τριγωνομετρία. Υπάρχει μια γωνία, που σημαίνει ότι γνωρίζουμε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις. Ποια από τις τέσσερις συναρτήσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε; Για να δούμε, τι ξέρουμε; Γνωρίζουμε την υποτείνουσα και τη γωνία, αλλά πρέπει να βρούμε γειτονικόςκαθετήρας σε αυτή τη γωνία! Είναι σαφές, το συνημίτονο πρέπει να τεθεί σε δράση! Ορίστε. Απλώς γράφουμε, με τον ορισμό του συνημίτονος (την αναλογία γειτονικόςπόδι σε υπόταση):

cosC = BC/8

Η γωνία C μας είναι 60 μοίρες, το συνημίτονο του είναι 1/2. Πρέπει να το ξέρετε αυτό, χωρίς κανένα τραπέζι! Αυτό είναι:

1/2 = π.Χ./8

Στοιχειώδης γραμμική εξίσωση. Άγνωστο - Ήλιος. Για όσους έχουν ξεχάσει πώς να λύνουν εξισώσεις, ακολουθήστε τον σύνδεσμο, οι υπόλοιποι λύστε:

π.Χ. = 4

Όταν οι αρχαίοι άνθρωποι συνειδητοποίησαν ότι κάθε γωνία έχει το δικό της σύνολο τριγωνομετρικών συναρτήσεων, είχαν μια εύλογη ερώτηση. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη σχετίζονται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ τους;Έτσι, γνωρίζοντας μια συνάρτηση γωνίας, μπορείτε να βρείτε τις άλλες; Χωρίς να υπολογίσετε την ίδια τη γωνία;

Ήταν τόσο ανήσυχοι...)

Σχέση τριγωνομετρικών συναρτήσεων μιας γωνίας.

Φυσικά, το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας σχετίζονται μεταξύ τους. Οποιαδήποτε σύνδεση μεταξύ παραστάσεων δίνεται στα μαθηματικά με τύπους. Στην τριγωνομετρία υπάρχει ένας κολοσσιαίος αριθμός τύπων. Εδώ όμως θα δούμε τα πιο βασικά. Αυτοί οι τύποι ονομάζονται: βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.Εδώ είναι:

Πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτούς τους τύπους. Χωρίς αυτά, δεν υπάρχει γενικά τίποτα να κάνουμε στην τριγωνομετρία. Τρεις ακόμη βοηθητικές ταυτότητες προκύπτουν από αυτές τις βασικές ταυτότητες:

Σας προειδοποιώ αμέσως ότι οι τρεις τελευταίες φόρμουλες ξεφεύγουν γρήγορα από τη μνήμη σας. Για κάποιο λόγο.) Μπορείτε, φυσικά, να αντλήσετε αυτούς τους τύπους από τους τρεις πρώτους. Αλλά, στα δύσκολα... Καταλαβαίνεις.)

Σε τυπικά προβλήματα, όπως τα παρακάτω, υπάρχει τρόπος να αποφύγετε αυτές τις φόρμουλες που μπορείτε να ξεχάσετε. ΚΑΙ μειώνει δραματικά τα σφάλματαλόγω της λήθης, και στους υπολογισμούς επίσης. Αυτή η πρακτική βρίσκεται στην Ενότητα 555, μάθημα "Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων της ίδιας γωνίας."

Σε ποιες εργασίες και πώς χρησιμοποιούνται οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες; Η πιο δημοφιλής εργασία είναι να βρείτε κάποια συνάρτηση γωνίας εάν δοθεί άλλη. Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση μια τέτοια εργασία είναι παρούσα από χρόνο σε χρόνο.) Για παράδειγμα:

Να βρείτε την τιμή του sinx αν x είναι οξεία γωνία και cosx=0,8.

Το έργο είναι σχεδόν στοιχειώδες. Ψάχνουμε για μια φόρμουλα που περιέχει ημίτονο και συνημίτονο. Εδώ είναι ο τύπος:

αμαρτία 2 x + cos 2 x = 1

Αντικαθιστούμε εδώ μια γνωστή τιμή, δηλαδή, 0,8 αντί για το συνημίτονο:

αμαρτία 2 x + 0,8 2 = 1

Λοιπόν, μετράμε ως συνήθως:

αμαρτία 2 x + 0,64 = 1

αμαρτία 2 x = 1 - 0,64

Αυτό είναι πρακτικά όλο. Έχουμε υπολογίσει το τετράγωνο του ημιτόνου, το μόνο που μένει είναι να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα και η απάντηση είναι έτοιμη! Η ρίζα του 0,36 είναι 0,6.

Το έργο είναι σχεδόν στοιχειώδες. Αλλά η λέξη "σχεδόν" υπάρχει για έναν λόγο... Το γεγονός είναι ότι η απάντηση sinx= - 0,6 είναι επίσης κατάλληλη... (-0,6) 2 θα είναι επίσης 0,36.

Υπάρχουν δύο διαφορετικές απαντήσεις. Και χρειάζεσαι ένα. Το δεύτερο είναι λάθος. Πώς να είσαι!? Ναι, ως συνήθως.) Διαβάστε προσεκτικά την εργασία. Για κάποιο λόγο λέει:... αν το x είναι οξεία γωνία...Και στις εργασίες κάθε λέξη έχει νόημα, ναι... Αυτή η φράση είναι πρόσθετη πληροφορία για τη λύση.

Οξεία γωνία είναι μια γωνία μικρότερη από 90°. Και σε τέτοιες γωνίες Ολατριγωνομετρικές συναρτήσεις - ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη με συνεφαπτομένη - θετικός.Εκείνοι. Απλώς απορρίπτουμε την αρνητική απάντηση εδώ. Έχουμε το δικαίωμα.

Στην πραγματικότητα, οι μαθητές της όγδοης τάξης δεν χρειάζονται τέτοιες λεπτότητες. Λειτουργούν μόνο με ορθογώνια τρίγωνα, όπου οι γωνίες μπορούν να είναι μόνο οξείες. Και δεν ξέρουν, ευτυχισμένοι, ότι υπάρχουν και αρνητικές γωνίες και γωνίες 1000°... Και όλες αυτές οι τρομερές γωνίες έχουν τις δικές τους τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συν και πλην...

Αλλά για μαθητές γυμνασίου, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το σημάδι - δεν υπάρχει περίπτωση. Η πολλή γνώση πολλαπλασιάζει τις λύπες, ναι...) Και για τη σωστή λύση, υπάρχουν απαραίτητα πρόσθετες πληροφορίες στην εργασία (αν είναι απαραίτητο). Για παράδειγμα, μπορεί να δοθεί από την ακόλουθη καταχώρηση:

Ή με άλλο τρόπο. Θα δείτε στα παρακάτω παραδείγματα.) Για να λύσετε τέτοια παραδείγματα πρέπει να γνωρίζετε Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η δεδομένη γωνία x και ποιο πρόσημο έχει η επιθυμητή τριγωνομετρική συνάρτηση σε αυτό το τέταρτο;

Αυτά τα βασικά στοιχεία της τριγωνομετρίας συζητούνται στα μαθήματα σχετικά με το τι είναι ένας τριγωνομετρικός κύκλος, η μέτρηση των γωνιών σε αυτόν τον κύκλο, το μέτρο ακτίνων μιας γωνίας. Μερικές φορές χρειάζεται να γνωρίζετε τον πίνακα των ημιτόνων, των συνημιτόνων των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων.

Λοιπόν, ας σημειώσουμε το πιο σημαντικό:

Πρακτικές συμβουλές:

1. Θυμηθείτε τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Θα είναι πολύ χρήσιμο.

2. Καταλαβαίνουμε ξεκάθαρα: το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συνδέονται στενά με γωνίες. Ξέρουμε ένα πράγμα, που σημαίνει ότι ξέρουμε ένα άλλο.

3. Καταλαβαίνουμε ξεκάθαρα: το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας σχετίζονται μεταξύ τους με βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Γνωρίζουμε μια συνάρτηση, που σημαίνει ότι μπορούμε (αν έχουμε τις απαραίτητες πρόσθετες πληροφορίες) να υπολογίσουμε όλες τις άλλες.

Τώρα ας αποφασίσουμε, ως συνήθως. Πρώτον, εργασίες στο πεδίο εφαρμογής της 8ης τάξης. Αλλά και οι μαθητές γυμνασίου μπορούν να το κάνουν...)

1. Υπολογίστε την τιμή του tgA εάν ctgA = 0,4.

2. Το β είναι γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο. Βρείτε την τιμή του tanβ αν sinβ = 12/13.

3. Να προσδιορίσετε το ημίτονο της οξείας γωνίας x αν tgх = 4/3.

4. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

(1-cosx)(1+cosx), εάν sinx = 0,3

Απαντήσεις (χωρισμένες με ερωτηματικά, σε αταξία):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Συνέβη; Εξαιρετική! Οι μαθητές της όγδοης τάξης μπορούν ήδη να πάνε να πάρουν το Α τους.)

Δεν πήγαν όλα καλά; Οι εργασίες 2 και 3 κατά κάποιο τρόπο δεν είναι πολύ καλές...; Κανένα πρόβλημα! Υπάρχει μια όμορφη τεχνική για τέτοιες εργασίες. Όλα μπορούν να λυθούν πρακτικά χωρίς καθόλου τύπους! Και, επομένως, χωρίς λάθη. Αυτή η τεχνική περιγράφεται στο μάθημα: «Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων μιας γωνίας» στην Ενότητα 555. Όλες οι άλλες εργασίες αντιμετωπίζονται επίσης εκεί.

Αυτά ήταν προβλήματα όπως το Unified State Exam, αλλά σε απογυμνωμένη έκδοση. Ενιαία Κρατική Εξέταση - φως). Και τώρα σχεδόν τα ίδια καθήκοντα, αλλά σε πλήρη μορφή. Για μαθητές γυμνασίου με επιβάρυνση με γνώσεις.)

6. Βρείτε την τιμή του tanβ αν sinβ = 12/13, και

7. Προσδιορίστε το sinх εάν tgх = 4/3, και το x ανήκει στο διάστημα (- 540°; - 450°).

8. Βρείτε την τιμή της έκφρασης sinβ cosβ αν ctgβ = 1.

Απαντήσεις (σε αταξία):

0,8; 0,5; -2,4.

Εδώ στο πρόβλημα 6 η γωνία δεν καθορίζεται πολύ καθαρά... Αλλά στο πρόβλημα 8 δεν προσδιορίζεται καθόλου! Αυτό είναι επίτηδες). Πρόσθετες πληροφορίες λαμβάνονται όχι μόνο από την εργασία, αλλά και από το κεφάλι.) Αλλά αν αποφασίσετε, μια σωστή εργασία είναι εγγυημένη!

Κι αν δεν έχετε αποφασίσει; Χμ... Λοιπόν, η Ενότητα 555 θα βοηθήσει εδώ. Εκεί περιγράφονται αναλυτικά οι λύσεις σε όλες αυτές τις εργασίες, είναι δύσκολο να μην καταλάβουμε.

Αυτό το μάθημα παρέχει μια πολύ περιορισμένη κατανόηση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Εντός της 8ης τάξης. Και οι μεγάλοι έχουν ακόμα απορίες...

Για παράδειγμα, αν η γωνία Χ(κοιτάξτε τη δεύτερη εικόνα σε αυτή τη σελίδα) - να το κάνετε ανόητο!; Το τρίγωνο θα καταρρεύσει εντελώς! Οπότε τι θα έπρεπε να κάνουμε; Δεν θα υπάρχει πόδι, υποτείνουσα... Το ημίτονο έχει εξαφανιστεί...

Αν οι αρχαίοι άνθρωποι δεν είχαν βρει διέξοδο από αυτήν την κατάσταση, δεν θα είχαμε κινητά τηλέφωνα, τηλεόραση ή ηλεκτρισμό τώρα. Ναι ναι! Η θεωρητική βάση για όλα αυτά τα πράγματα χωρίς τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι μηδέν χωρίς ραβδί. Αλλά οι αρχαίοι άνθρωποι δεν απογοήτευσαν. Το πώς βγήκαν είναι στο επόμενο μάθημα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Ορισμοί

Οι ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δίνονται χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, ο οποίος νοείται ως κύκλος μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή.

Ας θεωρήσουμε δύο ακτίνες αυτού του κύκλου: ακίνητη (όπου είναι το σημείο) και κινούμενη (όπου είναι το σημείο). Αφήστε την κινούμενη ακτίνα να σχηματίσει γωνία με τη σταθερή.

Ο αριθμός ίσος με την τεταγμένη του άκρου μιας μονάδας ακτίνας που σχηματίζει μια γωνία με σταθερή ακτίνα ονομάζεται ημίτονο της γωνίας : .

Ο αριθμός ίσος με την τετμημένη του άκρου μιας μονάδας ακτίνας που σχηματίζει μια γωνία με σταθερή ακτίνα ονομάζεται συνημίτονο της γωνίας : .

Έτσι, το σημείο που είναι το άκρο της κινούμενης ακτίνας που σχηματίζει μια γωνία έχει συντεταγμένες.

Εφαπτομένη της γωνίαςΟ λόγος του ημιτόνου αυτής της γωνίας προς το συνημίτονό του ονομάζεται: , .

Συνεφαπτομένη της γωνίαςΟ λόγος του συνημιτόνου αυτής της γωνίας προς το ημίτονό του ονομάζεται: , .

Γεωμετρική έννοια τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η γεωμετρική έννοια του ημιτόνου και του συνημιτόνου σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο είναι σαφής από τον ορισμό: αυτή είναι η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου τομής της κινούμενης ακτίνας, που κάνει μια γωνία με τη σταθερή ακτίνα και τον τριγωνομετρικό κύκλο. Αυτό είναι, .

Ας εξετάσουμε τώρα τη γεωμετρική σημασία της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Τα τρίγωνα είναι παρόμοια σε τρεις γωνίες (,), τότε η σχέση ισχύει. Από την άλλη, στο, λοιπόν.

Επίσης παρόμοια σε τρεις γωνίες (,), τότε ισχύει η σχέση. Από την άλλη, στο, λοιπόν.

Λαμβάνοντας υπόψη τη γεωμετρική έννοια της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, εισάγεται η έννοια του άξονα εφαπτομένης και του άξονα συνεφαπτομένης.

Οι εφαπτομενικοί άξονες είναι άξονες, ο ένας από τους οποίους αγγίζει τον τριγωνομετρικό κύκλο σε ένα σημείο και κατευθύνεται προς τα πάνω, ο δεύτερος αγγίζει τον κύκλο σε ένα σημείο και κατευθύνεται προς τα κάτω.

Οι συνεφαπτομενικοί άξονες είναι άξονες, ο ένας από τους οποίους αγγίζει τον τριγωνομετρικό κύκλο σε ένα σημείο και κατευθύνεται προς τα δεξιά, ο δεύτερος αγγίζει τον κύκλο σε ένα σημείο και κατευθύνεται προς τα αριστερά.

Ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ας δούμε μερικές βασικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Άλλες ιδιότητες θα συζητηθούν στην ενότητα για γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Τομέας και εύρος τιμών

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το ημίτονο και το συνημίτονο υπάρχουν για οποιεσδήποτε γωνίες, δηλ. το πεδίο ορισμού αυτών των συναρτήσεων είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Εξ ορισμού, η εφαπτομένη δεν υπάρχει για τις γωνίες, και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχει για τις γωνίες, .

Δεδομένου ότι το ημίτονο και το συνημίτονο είναι η τεταγμένη και η τετμημένη ενός σημείου σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, οι τιμές τους βρίσκονται ενδιάμεσα. Το εύρος των τιμών της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών (αυτό είναι εύκολο να το δει κανείς κοιτάζοντας τους άξονες των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων).

Ζυγά μονά

Θεωρήστε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις δύο γωνιών (που αντιστοιχεί στην κινούμενη ακτίνα) και (που αντιστοιχεί στην κινούμενη ακτίνα). Γιατί αυτό σημαίνει ότι το σημείο έχει συντεταγμένες. Επομένως, δηλ. Το ημίτονο είναι μια περιττή συνάρτηση. , δηλ. συνημίτονο - άρτια συνάρτηση. , δηλ. Η εφαπτομένη είναι περιττή. , δηλ. Η συνεφαπτομένη είναι επίσης περίεργη.

Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου

Τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για διάφορα τέταρτα συντεταγμένων προκύπτουν από τον ορισμό αυτών των συναρτήσεων. Πρέπει να σημειωθεί ότι εφόσον η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι λόγοι ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, είναι θετικοί όταν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας έχουν το ίδιο πρόσημο και αρνητικό όταν είναι διαφορετικά.

Περιοδικότης

Η περιοδικότητα του ημιτόνου και του συνημιτόνου βασίζεται στο γεγονός ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά έναν ακέραιο αριθμό πλήρους περιστροφών αντιστοιχούν στην ίδια σχετική θέση των κινούμενων και των στατικών ακτίνων. Αντίστοιχα, οι συντεταγμένες του σημείου τομής της κινούμενης δέσμης και του τριγωνομετρικού κύκλου θα είναι ίδιες για γωνίες που διαφέρουν κατά ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών. Έτσι, η περίοδος του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς είναι και, όπου.

Προφανώς, αυτή είναι και η περίοδος για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Υπάρχει όμως μικρότερη περίοδος για αυτές τις λειτουργίες; Ας αποδείξουμε ότι η μικρότερη περίοδος για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη είναι.

Εξετάστε δύο γωνίες και. Σχετικά με τη γεωμετρική έννοια της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης,. Οι πλευρές και οι γειτονικές γωνίες των τριγώνων είναι ίσες και, επομένως, οι πλευρές τους είναι ίσες, που σημαίνει και. Ομοίως, μπορείτε να αποδείξετε πού. Έτσι, η περίοδος της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις θεμελιωδών γωνιών

Τύποι τριγωνομετρίας

Για να επιλύσετε με επιτυχία τριγωνομετρικά προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε πολλούς τριγωνομετρικούς τύπους. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε όλους τους τύπους. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε τις πιο βασικές από αυτές και πρέπει να είστε σε θέση να αντλήσετε τους υπόλοιπους τύπους εάν είναι απαραίτητο.

Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα και συνέπειες από αυτήν

Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας αυθαίρετης γωνίας είναι αλληλένδετες, δηλ. Γνωρίζοντας μια λειτουργία, μπορείτε πάντα να βρείτε τις υπόλοιπες. Αυτή η σύνδεση δίνεται από τους τύπους που συζητούνται σε αυτήν την ενότητα.

Θεώρημα 1 (Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα). Για οποιονδήποτε η ταυτότητα είναι αληθινή

Η απόδειξη συνίσταται στην εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη και υποτείνουσα.

Ισχύει επίσης ένα γενικότερο θεώρημα.

Θεώρημα 2. Για να ληφθούν δύο αριθμοί ως συνημίτονο και ημίτονο της ίδιας πραγματικής γωνίας, είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι ίσο με ένα:

Ας εξετάσουμε τις συνέπειες της κύριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.

Ας εκφράσουμε ημίτονο μέσω συνημίτονου και συνημίτονο μέσω ημιτονοειδούς:

Σε αυτόν τον τύπο, το σύμβολο συν ή πλην μπροστά από τη ρίζα επιλέγεται ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία.

Αντικαθιστώντας τους τύπους που λήφθηκαν παραπάνω με τους τύπους που ορίζουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη, λαμβάνουμε:

Διαιρώντας τον κύριο τριγωνομετρικό όρο ταυτότητας με τον όρο με ή λαμβάνουμε, αντίστοιχα:

Αυτές οι σχέσεις μπορούν να ξαναγραφτούν ως εξής:

Οι παρακάτω τύποι δίνουν τη σχέση μεταξύ εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Αφού στο, και στο, τότε η ισότητα ισχύει:

Φόρμουλες μείωσης

Χρησιμοποιώντας τύπους μείωσης, μπορείτε να εκφράσετε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων αυθαίρετων γωνιών μέσω των τιμών των συναρτήσεων οξείας γωνίας. Όλοι οι τύποι μείωσης μπορούν να γενικευθούν χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο κανόνα.

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική συνάρτηση μιας γωνίας είναι ίση σε απόλυτη τιμή με την ίδια συνάρτηση της γωνίας αν ο αριθμός είναι άρτιος και με τη συνσυνάρτηση της γωνίας αν ο αριθμός είναι περιττός. Επιπλέον, εάν η συνάρτηση γωνίας είναι θετική, όταν είναι οξεία θετική γωνία, τότε τα πρόσημα και των δύο συναρτήσεων είναι τα ίδια εάν είναι αρνητική, τότε είναι διαφορετικά.

Τύποι αθροίσματος και διαφορά γωνίας

Θεώρημα 3 . Για κάθε πραγματικό και ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

Η απόδειξη των υπόλοιπων τύπων βασίζεται στους τύπους αναγωγής και στις ζυγές/περιττές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Q.E.D.

Θεώρημα 4. Για κάθε πραγματικό και τέτοιο

1. , ισχύουν οι παρακάτω τύποι

2. , ισχύουν οι παρακάτω τύποι

Απόδειξη. Εξ ορισμού της εφαπτομένης

Ο τελευταίος μετασχηματισμός προκύπτει διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με.

Ομοίως για την συνεφαπτομένη (ο αριθμητής και ο παρονομαστής σε αυτήν την περίπτωση διαιρούνται με):

Q.E.D.

Πρέπει να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι η δεξιά και η αριστερή πλευρά των τελευταίων ισοτήτων έχουν διαφορετικά εύρη αποδεκτών τιμών. Επομένως, η χρήση αυτών των τύπων χωρίς περιορισμούς στις πιθανές τιμές γωνίας μπορεί να οδηγήσει σε εσφαλμένα αποτελέσματα.

Τύποι διπλής και μισής γωνίας

Οι τύποι διπλής γωνίας σάς επιτρέπουν να εκφράσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας αυθαίρετης γωνίας ως προς τις συναρτήσεις μιας γωνίας το ήμισυ της αρχικής γωνίας. Αυτοί οι τύποι είναι συνέπειες των τύπων για το άθροισμα δύο γωνιών, αν βάλουμε τις γωνίες σε αυτές ίσες μεταξύ τους.

Ο τελευταίος τύπος μπορεί να μετασχηματιστεί χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

Έτσι, για το συνημίτονο διπλής γωνίας υπάρχουν τρεις τύποι:

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο όταν

Ο τελευταίος τύπος ισχύει για, .

Παρόμοια με τις συναρτήσεις διπλής γωνίας, μπορούν να ληφθούν συναρτήσεις τριπλής γωνίας. Εδώ δίνονται αυτοί οι τύποι χωρίς απόδειξη:

Οι τύποι μισής γωνίας είναι συνέπειες των τύπων διπλής γωνίας και μας επιτρέπουν να εκφράσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας συγκεκριμένης γωνίας ως προς τις συναρτήσεις μιας γωνίας διπλάσιας της αρχικής.