Εάν είστε ήδη εξοικειωμένοι με τριγωνομετρικός κύκλος , και θέλετε απλώς να ανανεώσετε τη μνήμη σας για ορισμένα στοιχεία ή είστε εντελώς ανυπόμονοι, τότε ορίστε:
Εδώ θα αναλύσουμε τα πάντα λεπτομερώς βήμα προς βήμα.
Ο τριγωνομετρικός κύκλος δεν είναι πολυτέλεια, αλλά ανάγκη
Τριγωνομετρία
Πολλοί το συνδέουν με ένα αδιαπέραστο αλσύλλιο. Ξαφνικά υπάρχουν τόσα πολλά νοήματα τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τόσες πολλές φόρμουλες... Αλλά δεν πέτυχε στην αρχή, και... άπαξ και ξανά... πλήρης παρεξήγηση...
Είναι πολύ σημαντικό να μην τα παρατάτε τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων, - λένε, μπορείτε πάντα να κοιτάξετε το κίνητρο με έναν πίνακα τιμών.
Αν κοιτάζεις συνεχώς έναν πίνακα με αξίες τριγωνομετρικούς τύπους, ας απαλλαγούμε από αυτή τη συνήθεια!
Θα μας βοηθήσει! Θα το δουλέψετε αρκετές φορές και μετά θα εμφανιστεί στο μυαλό σας. Πώς είναι καλύτερο από ένα τραπέζι; Ναι, στον πίνακα θα βρείτε έναν περιορισμένο αριθμό τιμών, αλλά στον κύκλο - ΤΑ ΠΑΝΤΑ!
Για παράδειγμα, πείτε κοιτάζοντας τυπικός πίνακας τιμών τριγωνομετρικών τύπων , Γιατί ίσο με ημίτονο, ας πούμε 300 μοίρες, ή -45.
Δεν υπάρχει τρόπος;.. μπορείτε, φυσικά, να συνδεθείτε φόρμουλες μείωσης... Και κοιτάζοντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, μπορείτε εύκολα να απαντήσετε σε τέτοιες ερωτήσεις. Και σύντομα θα μάθετε πώς!
Και όταν αποφασίζει τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι ανισότητες χωρίς τον τριγωνομετρικό κύκλο - πουθενά.
Εισαγωγή στον τριγωνομετρικό κύκλο
Πάμε με τη σειρά.
Αρχικά, ας γράψουμε αυτή τη σειρά αριθμών:
Και τώρα αυτό:
Και τέλος αυτό:
Φυσικά, είναι σαφές ότι, στην πραγματικότητα, στην πρώτη θέση είναι , στη δεύτερη θέση είναι , και στην τελευταία θέση είναι . Δηλαδή θα μας ενδιαφέρει περισσότερο η αλυσίδα.
Μα πόσο όμορφο έγινε! Αν συμβεί κάτι, θα αποκαταστήσουμε αυτή τη «θαυματουργή σκάλα».
Και γιατί το χρειαζόμαστε;
Αυτή η αλυσίδα είναι οι κύριες τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου κατά το πρώτο τρίμηνο.
Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (δηλαδή παίρνουμε οποιαδήποτε ακτίνα σε μήκος και δηλώνουμε το μήκος της ως μονάδα).
Από τη δέσμη "0-Start" τοποθετούμε τις γωνίες προς την κατεύθυνση του βέλους (βλ. εικόνα).
Παίρνουμε τα αντίστοιχα σημεία στον κύκλο. Έτσι, αν προβάλλουμε τα σημεία σε κάθε έναν από τους άξονες, τότε θα λάβουμε ακριβώς τις τιμέςαπό την παραπάνω αλυσίδα.
Γιατί είναι αυτό, ρωτάτε;
Ας μην τα αναλύουμε όλα. Ας σκεφτούμε αρχή, που θα σας επιτρέψει να αντιμετωπίσετε άλλες, παρόμοιες καταστάσεις.
Το τρίγωνο AOB είναι ορθογώνιο και περιέχει . Και ξέρουμε ότι απέναντι από τη γωνία β βρίσκεται ένα πόδι στο μισό μέγεθος της υποτείνουσας (έχουμε την υποτείνουσα = την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή 1).
Αυτό σημαίνει ΑΒ= (και επομένως ΟΜ=). Και σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα
Ελπίζω κάτι να είναι ήδη ξεκάθαρο;
Άρα το σημείο Β θα αντιστοιχεί στην τιμή και το σημείο Μ θα αντιστοιχεί στην τιμή
Το ίδιο και οι άλλες αξίες του πρώτου τριμήνου.
Όπως καταλαβαίνετε, ο γνωστός άξονας (βόδι) θα είναι άξονα συνημιτόνουκαι ο άξονας (oy) – άξονας ημιτόνων . Αργότερα.
Στα αριστερά του μηδενός κατά μήκος του άξονα συνημιτόνου (κάτω από το μηδέν κατά μήκος του άξονα ημιτόνου) θα υπάρχει, φυσικά, αρνητικές τιμές.
Να, λοιπόν, ο ΠΑΝΔΥΝΑΤΟΣ, χωρίς τον οποίο δεν υπάρχει πουθενά στην τριγωνομετρία.
Αλλά θα μιλήσουμε για το πώς να χρησιμοποιήσουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο.
Μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Είναι σχεδόν το ίδιο με το προηγούμενο μάθημα. Υπάρχουν άξονες, κύκλος, γωνία, όλα είναι εντάξει. Προστέθηκαν αριθμοί τετάρτου (στις γωνίες του μεγάλου τετραγώνου) - από το πρώτο έως το τέταρτο. Τι γίνεται αν κάποιος δεν ξέρει; Όπως μπορείτε να δείτε, τέταρτα (λέγονται επίσης μια όμορφη λέξη"τεταρτημόρια") αριθμούνται αριστερόστροφα. Προστέθηκαν τιμές γωνίας σε άξονες. Όλα είναι ξεκάθαρα, κανένα πρόβλημα.
Και προστίθεται ένα πράσινο βέλος. Με ένα συν. Τι σημαίνει; Να σας θυμίσω ότι η σταθερή πλευρά της γωνίας Πάντα καρφωμένο στον θετικό ημιάξονα ΟΧ. Έτσι, αν περιστρέψουμε την κινητή πλευρά της γωνίας κατά μήκος του βέλους με ένα συν, δηλ. με αύξουσα σειρά αριθμών τριμήνου, η γωνία θα θεωρείται θετική.Για παράδειγμα, η εικόνα δείχνει μια θετική γωνία +60°.
Αν αφήσουμε στην άκρη τις γωνίες προς την αντίθετη κατεύθυνση, δεξιόστροφα, η γωνία θα θεωρείται αρνητική.Τοποθετήστε το δείκτη του ποντικιού σας πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας), θα δείτε ένα μπλε βέλος με το σύμβολο μείον. Αυτή είναι η κατεύθυνση της ανάγνωσης αρνητικής γωνίας. Για παράδειγμα, εμφανίζεται μια αρνητική γωνία (- 60°). Και θα δείτε επίσης πώς έχουν αλλάξει οι αριθμοί στους άξονες... Τους μετέτρεψα και σε αρνητικές γωνίες. Η αρίθμηση των τεταρτημορίων δεν αλλάζει.
Εδώ συνήθως ξεκινούν οι πρώτες παρεξηγήσεις. Πως και έτσι!; Τι γίνεται αν μια αρνητική γωνία σε έναν κύκλο συμπίπτει με μια θετική!; Και γενικά, αποδεικνύεται ότι η ίδια θέση της κινούμενης πλευράς (ή σημείου στον αριθμητικό κύκλο) μπορεί να ονομαστεί και αρνητική και θετική γωνία!;
Ναί. Ακριβώς. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική γωνία 90 μοιρών παίρνει έναν κύκλο ακριβώς το ίδιο θέση ως αρνητική γωνία μείον 270 μοιρών. Μια θετική γωνία, για παράδειγμα, παίρνει +110° μοίρες ακριβώς το ίδιο θέση ως αρνητική γωνία -250°.
Κανένα πρόβλημα. Οτιδήποτε είναι σωστό.) Η επιλογή του υπολογισμού θετικής ή αρνητικής γωνίας εξαρτάται από τις συνθήκες της εργασίας. Αν η συνθήκη δεν λέει τίποτα σε σαφές κείμενο σχετικά με το πρόσημο της γωνίας, (όπως "προσδιορίστε το μικρότερο θετικόςγωνία», κ.λπ.), τότε εργαζόμαστε με αξίες που μας βολεύουν.
Η εξαίρεση (πώς θα μπορούσαμε να ζήσουμε χωρίς αυτά;!) είναι οι τριγωνομετρικές ανισότητες, αλλά εκεί θα κατακτήσουμε αυτό το κόλπο.
Και τώρα μια ερώτηση για εσάς. Πώς ήξερα ότι η θέση της γωνίας 110° είναι ίδια με τη θέση της γωνίας -250°;
Επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω ότι αυτό συνδέεται με μια πλήρη επανάσταση. Σε 360°... Δεν είναι σαφές; Στη συνέχεια σχεδιάζουμε έναν κύκλο. Το σχεδιάζουμε μόνοι μας, σε χαρτί. Σήμανση της γωνίας κατά προσέγγιση 110°. ΚΑΙ νομίζουμε, πόσος χρόνος απομένει μέχρι μια πλήρη επανάσταση. Θα μείνουν μόλις 250°...
Το έπιασα; Και τώρα - προσοχή! Αν οι γωνίες 110° και -250° καταλαμβάνουν κύκλο ίδιο
κατάσταση, τότε τι; Ναι, οι γωνίες είναι 110° και -250° ακριβώς το ίδιο
ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη!
Εκείνοι. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) και ούτω καθεξής. Τώρα αυτό είναι πραγματικά σημαντικό! Και από μόνη της, υπάρχουν πολλές εργασίες όπου πρέπει να απλοποιήσετε τις εκφράσεις και ως βάση για την επακόλουθη γνώση των τύπων μείωσης και άλλων περιπλοκών της τριγωνομετρίας.
Φυσικά, πήρα 110° και -250° τυχαία, καθαρά ως παράδειγμα. Όλες αυτές οι ισότητες λειτουργούν για οποιεσδήποτε γωνίες καταλαμβάνουν την ίδια θέση στον κύκλο. 60° και -300°, -75° και 285°, και ούτω καθεξής. Επιτρέψτε μου να σημειώσω αμέσως ότι οι γωνίες σε αυτά τα ζεύγη είναι διαφορετικός.Αλλά έχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις - το ίδιο.
Νομίζω ότι καταλαβαίνεις ποιες είναι οι αρνητικές γωνίες. Είναι αρκετά απλό. Αριστερόστροφα - θετική μέτρηση. Στην πορεία - αρνητικό. Θεωρήστε τη γωνία θετική ή αρνητική εξαρτάται από εμάς. Από την επιθυμία μας. Λοιπόν, και επίσης από την εργασία, φυσικά... Ελπίζω να καταλαβαίνεις πώς να κινείσαι σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις από αρνητικές γωνίες σε θετικές και πίσω. Σχεδιάστε έναν κύκλο, μια κατά προσέγγιση γωνία και δείτε πόσα λείπει για να ολοκληρώσετε μια πλήρη περιστροφή, δηλ. έως 360°.
Γωνίες μεγαλύτερες από 360°.
Ας ασχοληθούμε με γωνίες που είναι μεγαλύτερες από 360°. Υπάρχουν τέτοια πράγματα; Υπάρχουν φυσικά. Πώς να τα σχεδιάσετε σε έναν κύκλο; Κανένα πρόβλημα! Ας πούμε ότι πρέπει να καταλάβουμε σε ποιο τέταρτο θα πέσει μια γωνία 1000°; Εύκολα! Κάνουμε μια πλήρη στροφή αριστερόστροφα (η γωνία που μας δόθηκε είναι θετική!). Γυρίσαμε προς τα πίσω 360°. Λοιπόν, ας προχωρήσουμε! Μια ακόμη στροφή - είναι ήδη 720°. Πόσο μένει; 280°. Δεν είναι αρκετό για μια πλήρη στροφή... Αλλά η γωνία είναι μεγαλύτερη από 270° - και αυτό είναι το όριο μεταξύ του τρίτου και του τέταρτου τριμήνου. Επομένως, η γωνία μας των 1000° πέφτει στο τέταρτο τέταρτο. Ολα.
Όπως μπορείτε να δείτε, είναι αρκετά απλό. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι η γωνία των 1000° και η γωνία των 280°, που αποκτήσαμε απορρίπτοντας τις «επιπλέον» πλήρεις στροφές, είναι, αυστηρά, διαφορετικόςγωνίες. Αλλά οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών ακριβώς το ίδιο! Εκείνοι. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280°, κ.λπ. Αν ήμουν ημιτόνιο, δεν θα παρατηρούσα τη διαφορά μεταξύ αυτών των δύο γωνιών...
Γιατί χρειάζονται όλα αυτά; Γιατί πρέπει να μετατρέψουμε τις γωνίες από τη μία στην άλλη; Ναι, όλα για το ίδιο πράγμα.) Για να απλοποιηθούν οι εκφράσεις. Απλοποίηση των εκφράσεων, μάλιστα, το κύριο καθήκονσχολικά μαθηματικά. Λοιπόν, και, στην πορεία, το κεφάλι είναι εκπαιδευμένο.)
Λοιπόν, ας εξασκηθούμε;)
Απαντάμε σε ερωτήσεις. Πρώτα τα απλά.
1. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η γωνία -325°;
2. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η γωνία 3000°;
3. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία -3000°;
Υπάρχει ένα πρόβλημα; Ή αβεβαιότητα; Ας πάμε στην Ενότητα 555, Πρακτική εργασία με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Εκεί, στο πρώτο μάθημα αυτού του πολύ " Πρακτική δουλειά...» όλα αναλυτικά... Στο τέτοιοςζητήματα αβεβαιότητας να είναι δεν πρέπει!
4. Τι πρόσημο έχει το sin555°;
5. Τι πρόσημο έχει το tg555°;
Έχετε αποφασίσει; Εξαιρετική! Έχετε αμφιβολίες; Πρέπει να πάτε στην Ενότητα 555... Παρεμπιπτόντως, εκεί θα μάθετε να σχεδιάζετε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Πολύ χρήσιμο πράγμα.
Και τώρα τα ερωτήματα είναι πιο περίπλοκα.
6. Μειώστε την έκφραση sin777° στο ημίτονο της μικρότερης θετικής γωνίας.
7. Μειώστε την έκφραση cos777° στο συνημίτονο της μεγαλύτερης αρνητικής γωνίας.
8. Μειώστε την έκφραση cos(-777°) στο συνημίτονο της μικρότερης θετικής γωνίας.
9. Μειώστε την έκφραση sin777° στο ημίτονο της μεγαλύτερης αρνητικής γωνίας.
Τι, οι ερωτήσεις 6-9 σε μπέρδεψαν; Συνήθισέ το, στο Unified State Exam δεν βρίσκεις τέτοιες διατυπώσεις... Ας είναι, θα το μεταφράσω. Μόνο για'σένα!
Οι λέξεις "φέρε μια έκφραση σε..." σημαίνουν να μεταμορφώσεις την έκφραση έτσι ώστε το νόημά της δεν έχει αλλάξειΕΝΑ εμφάνισηάλλαξε ανάλογα με την ανάθεση. Έτσι, στις εργασίες 6 και 9 πρέπει να πάρουμε ένα ημίτονο, μέσα στο οποίο υπάρχει μικρότερη θετική γωνία.Όλα τα άλλα δεν έχουν σημασία.
Θα δώσω τις απαντήσεις με τη σειρά (κατά παράβαση των κανόνων μας). Αλλά τι να κάνετε, υπάρχουν μόνο δύο σημάδια, και υπάρχουν μόνο τέσσερα τέταρτα... Δεν θα σας χαλάσει η επιλογή.
6. αμαρτία57°.
7. συν(-57°).
8. cos57°.
9. -sin(-57°)
Υποθέτω ότι οι απαντήσεις στις ερωτήσεις 6-9 μπέρδεψαν κάποιους. Ειδικά -sin(-57°), αλήθεια;) Πράγματι, στους στοιχειώδεις κανόνες για τον υπολογισμό των γωνιών υπάρχει χώρος για λάθη... Γι' αυτό έπρεπε να κάνω ένα μάθημα: "Πώς να προσδιορίσω τα σημάδια των συναρτήσεων και να δώσω γωνίες σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο;" Στην Ενότητα 555. Οι εργασίες 4 - 9 καλύπτονται εκεί. Καλά ταξινομημένο, με όλες τις παγίδες. Και είναι εδώ.)
Στο επόμενο μάθημα θα ασχοληθούμε με τα μυστηριώδη ακτίνια και τον αριθμό «Πι». Ας μάθουμε πώς να μετατρέπουμε εύκολα και σωστά τις μοίρες σε ακτίνια και το αντίστροφο. Και θα εκπλαγούμε να ανακαλύψουμε ότι αυτές οι βασικές πληροφορίες στον ιστότοπο αρκετά πια για να λύσετε ορισμένα προσαρμοσμένα προβλήματα τριγωνομετρίας!
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης εξαρτάται αποκλειστικά από το τεταρτημόριο συντεταγμένων στο οποίο βρίσκεται το αριθμητικό όρισμα. Την τελευταία φορά μάθαμε να μετατρέπουμε ορίσματα από ένα μέτρο ακτινίου σε ένα μέτρο μοιρών (βλ. μάθημα «Μέτρο ακτινίου και μοίρας μιας γωνίας») και στη συνέχεια να προσδιορίζουμε αυτό το ίδιο τέταρτο συντεταγμένων. Τώρα ας προσδιορίσουμε πραγματικά το πρόσημο του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης.
Το ημίτονο της γωνίας α είναι η τεταγμένη (συντεταγμένη y) ενός σημείου πάνω τριγωνομετρικός κύκλος, που συμβαίνει όταν η ακτίνα περιστρέφεται κατά γωνία α.
Το συνημίτονο της γωνίας α είναι η τετμημένη (συντεταγμένη x) ενός σημείου ενός τριγωνομετρικού κύκλου, που εμφανίζεται όταν η ακτίνα περιστρέφεται κατά γωνία α.
Η εφαπτομένη της γωνίας α είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο. Ή, που είναι το ίδιο πράγμα, ο λόγος της συντεταγμένης y προς τη συντεταγμένη x.
Σημείωση: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι γνωστοί σε εσάς από την άλγεβρα του γυμνασίου. Ωστόσο, δεν μας ενδιαφέρουν οι ίδιοι οι ορισμοί, αλλά οι συνέπειες που προκύπτουν στον τριγωνομετρικό κύκλο. Ρίξε μια ματιά:
Το μπλε χρώμα υποδηλώνει τη θετική κατεύθυνση του άξονα OY (άξονας τεταγμένων), το κόκκινο δείχνει τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX (άξονας τετμημένης). Σε αυτό το «ραντάρ» γίνονται εμφανή τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συγκεκριμένα:
- sin α > 0 αν η γωνία α βρίσκεται στο τεταρτημόριο συντεταγμένων I ή II. Αυτό συμβαίνει επειδή, εξ ορισμού, το ημίτονο είναι μια τεταγμένη (συντεταγμένη y). Και η συντεταγμένη y θα είναι θετική ακριβώς στα τέταρτα συντεταγμένων Ι και ΙΙ.
- cos α > 0, αν η γωνία α βρίσκεται στο 1ο ή 4ο τεταρτημόριο συντεταγμένων. Επειδή μόνο εκεί η συντεταγμένη x (γνωστή και ως τετμημένη) θα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.
- tan α > 0 αν η γωνία α βρίσκεται στο τεταρτημόριο συντεταγμένων I ή III. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό: τέλος πάντων, tan α = y : x, επομένως είναι θετικό μόνο όπου τα πρόσημα των x και y συμπίπτουν. Αυτό συμβαίνει στο πρώτο τέταρτο συντεταγμένων (εδώ x > 0, y > 0) και στο τρίτο τέταρτο συντεταγμένων (x< 0, y < 0).
Για λόγους σαφήνειας, ας σημειώσουμε τα σημάδια κάθε τριγωνομετρικής συνάρτησης - ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης - σε ξεχωριστά «ραντάρ». Παίρνουμε την παρακάτω εικόνα:
Σημείωση: στις συζητήσεις μου δεν μίλησα ποτέ για την τέταρτη τριγωνομετρική συνάρτηση - συνεφαπτομένη. Το γεγονός είναι ότι τα σύμβολα συμπίπτουν με τα εφαπτομενικά ζώδια - δεν υπάρχουν ειδικοί κανόνες εκεί.
Τώρα προτείνω να εξετάσουμε παραδείγματα παρόμοια με προβλήματα Β11 από το τεστ Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά, που πραγματοποιήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2011. Ο καλύτερος τρόποςΗ κατανόηση της θεωρίας είναι πράξη. Συνιστάται να κάνετε πολλή εξάσκηση. Φυσικά, οι συνθήκες των εργασιών άλλαξαν ελαφρώς.
Εργο. Προσδιορίστε τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και εκφράσεων (οι τιμές των ίδιων των συναρτήσεων δεν χρειάζεται να υπολογιστούν):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Το σχέδιο δράσης έχει ως εξής: πρώτα μετατρέπουμε όλες τις γωνίες από ακτινικά μέτρα σε μοίρες (π → 180°) και μετά κοιτάμε σε ποιο τέταρτο συντεταγμένων βρίσκεται ο αριθμός που προκύπτει. Γνωρίζοντας τα τέταρτα, μπορούμε εύκολα να βρούμε τα σημάδια - σύμφωνα με τους κανόνες που μόλις περιγράφηκαν. Εχουμε:
- αμαρτία (3π/4) = αμαρτία (3 · 180°/4) = αμαρτία 135°. Από 135° ∈ , αυτή είναι μια γωνία από το τεταρτημόριο συντεταγμένων II. Αλλά το ημίτονο στο δεύτερο τρίμηνο είναι θετικό, άρα sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Επειδή 210° ∈ , αυτή είναι η γωνία από το τρίτο τεταρτημόριο συντεταγμένων, στο οποίο όλα τα συνημίτονα είναι αρνητικά. Επομένως, cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Από 300° ∈ , βρισκόμαστε στο τέταρτο IV, όπου η εφαπτομένη παίρνει αρνητικές τιμές. Επομένως μαύρισμα (5π/3)< 0;
- αμαρτία (3π/4) συν (5π/6) = αμαρτία (3 180°/4) συν (5 180°/6) = αμαρτία 135° συν 150°. Ας ασχοληθούμε με το ημίτονο: γιατί 135° ∈ , αυτό είναι το δεύτερο τέταρτο στο οποίο τα ημίτονο είναι θετικά, δηλ. sin (3π/4) > 0. Τώρα δουλεύουμε με συνημίτονο: 150° ∈ - πάλι το δεύτερο τέταρτο, τα συνημίτονα εκεί είναι αρνητικά. Επομένως cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Κοιτάμε το συνημίτονο: 120° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων II, άρα cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый κανονική γωνίαστην τριγωνομετρία). Η εφαπτομένη εκεί είναι θετική, άρα μαύρισμα (π/4) > 0. Και πάλι παίρνουμε ένα γινόμενο στο οποίο οι παράγοντες έχουν διαφορετικά πρόσημα. Εφόσον το «μείον κατά συν δίνει μείον», έχουμε: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- αμαρτία (5π/6) συν (7π/4) = αμαρτία (5 180°/6) συν (7 180°/4) = αμαρτία 150° συν 315°. Εργαζόμαστε με το ημίτονο: από τις 150° ∈ , μιλάμε για το τέταρτο συντεταγμένων II, όπου τα ημίτονο είναι θετικά. Επομένως, sin (5π/6) > 0. Ομοίως, 315° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων IV, τα συνημίτονα εκεί είναι θετικά. Επομένως cos (7π/4) > 0. Λάβαμε το γινόμενο δύο θετικών αριθμών - μια τέτοια έκφραση είναι πάντα θετική. Συμπεραίνουμε: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Αλλά η γωνία 135° ∈ είναι το δεύτερο τέταρτο, δηλ. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Εφόσον το "μείον κατά συν δίνει πρόσημο μείον", έχουμε: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Εξετάζουμε το όρισμα συντεταγμένης: 240° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων III, άρα ctg (4π/3) > 0. Ομοίως, για την εφαπτομένη έχουμε: 30° ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων Ι, δηλ. η απλούστερη γωνία. Επομένως tan (π/6) > 0. Και πάλι έχουμε δύο θετικές εκφράσεις - το γινόμενο τους θα είναι επίσης θετικό. Επομένως κούνια (4π/3) tg (π/6) > 0.
Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικά ακόμα σύνθετες εργασίες. Εκτός από το να υπολογίσετε το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης, θα πρέπει να κάνετε λίγα μαθηματικά εδώ - ακριβώς όπως γίνεται στα πραγματικά προβλήματα Β11. Κατ 'αρχήν, αυτά είναι σχεδόν πραγματικά προβλήματα που εμφανίζονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά.
Εργο. Βρείτε το sin α αν sin 2 α = 0,64 και α ∈ [π/2; π].
Αφού αμαρτία 2 α = 0,64, έχουμε: αμαρτία α = ±0,8. Το μόνο που μένει είναι να αποφασίσουμε: συν ή πλην; Κατά συνθήκη, γωνία α ∈ [π/2; π] είναι το τέταρτο συντεταγμένων II, όπου όλα τα ημίτονο είναι θετικά. Επομένως, αμαρτία α = 0,8 - η αβεβαιότητα με τα σημάδια εξαλείφεται.
Εργο. Βρείτε cos α αν cos 2 α = 0,04 και α ∈ [π; 3π/2].
Ομοίως ενεργούμε, δηλ. εκχύλισμα Τετραγωνική ρίζα: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Κατά συνθήκη, γωνία α ∈ [π; 3π/2], δηλ. Μιλάμε για το τρίτο τρίμηνο συντεταγμένων. Όλα τα συνημίτονα εκεί είναι αρνητικά, άρα cos α = −0,2.
Εργο. Βρείτε την αμαρτία α αν η αμαρτία 2 α = 0,25 και α ∈ .
Έχουμε: αμαρτία 2 α = 0,25 ⇒ αμαρτία α = ±0,5. Βλέπουμε ξανά τη γωνία: α ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων IV, στο οποίο, όπως γνωρίζουμε, το ημίτονο θα είναι αρνητικό. Έτσι, συμπεραίνουμε: αμαρτία α = −0,5.
Εργο. Βρείτε το tan α αν tan 2 α = 9 και α ∈ .
Όλα είναι ίδια, μόνο για την εφαπτομένη. Εξάγετε την τετραγωνική ρίζα: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Αλλά σύμφωνα με την συνθήκη, η γωνία α ∈ είναι το τέταρτο συντεταγμένων I. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συμ. εφαπτομένη, υπάρχουν θετικά, άρα tan α = 3. Αυτό είναι!
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD|
- μήκος τόξου κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια. Εφαπτομένη () ταν α είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλουςορθογώνιο τρίγωνο
, ίσος με τον λόγο του μήκους της απέναντι πλευράς |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .) Συμεφαπτομένη (
ctg α
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Οπου
.
;
;
.
n
- ολόκληρος.
είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tan x
;
;
.
Συνεφαπτομένη
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
Γίνονται επίσης αποδεκτοί οι ακόλουθοι συμβολισμοί:
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένηςΠεριοδικότης Συναρτήσεις y = tg x
και y =
ctg x
είναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι περιττές.
| Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης | Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες Συναρτήσεις y = | |
| Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (βλ. απόδειξη συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( | ||
| - ολόκληρος). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y= | - | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | - | |
| Εύρος τιμών | - | - |
| Αυξάνεται 0 | ||
| Φθίνων 0 | Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες 0 | - |
Ακρα
Μηδενικά, y =
;
;
;
;
;
Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x =
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Εκφράσεις με χρήση ημιτόνου και συνημίτονου
Τύποι για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη από άθροισμα και διαφορά
Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων
;
;
Παράγωγα
; .
.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης:
.
Εξαγωγή τύπων για την εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >
Ολοκληρώματα
Επεκτάσεις σειράς
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε σειρά ισχύοςγια λειτουργίες αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους, .
Αυτό παράγει τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο . Οπου Bn
;
;
- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
Οπου . 
Ή σύμφωνα με τον τύπο του Laplace:
Αντίστροφες συναρτήσειςΑντίστροφες συναρτήσεις
σε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
, Οπου
Arctagent, arctg στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .Εφαπτομένη γραμμή
Arccotangent, arcctg
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Επιστήμονες και Μηχανικούς, 2012. Σας επιτρέπει να καθορίσετε έναν αριθμό χαρακτηριστικών αποτελεσμάτων -ιδιότητες ημιτόνου, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε τρεις κύριες ιδιότητες. Το πρώτο από αυτά δηλώνει τα πρόσημα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας α ανάλογα με τη γωνία της οποίας το τέταρτο συντεταγμένων είναι α. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την ιδιότητα της περιοδικότητας, η οποία καθιερώνει τη μεταβλητότητα των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας α όταν αυτή η γωνία αλλάζει κατά ακέραιο αριθμό περιστροφών. Η τρίτη ιδιότητα εκφράζει τη σχέση μεταξύ των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των αντίθετων γωνιών α και -α.
Αν ενδιαφέρεστε για τις ιδιότητες των συναρτήσεων ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, τότε μπορείτε να τις μελετήσετε στην αντίστοιχη ενότητα του άρθρου.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Σημάδια ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης κατά τέταρτα
Κάτω από αυτή την παράγραφο θα εμφανίζεται η φράση «γωνία τετάρτου συντεταγμένων I, II, III και IV». Ας εξηγήσουμε ποιες είναι αυτές οι γωνίες.
Ας πάρουμε έναν μοναδιαίο κύκλο, σημειώνουμε πάνω του το σημείο εκκίνησης A(1, 0) και το περιστρέφουμε γύρω από το σημείο O κατά γωνία α, και θα υποθέσουμε ότι θα φτάσουμε στο σημείο A 1 (x, y). Λένε ότιΗ γωνία α είναι η γωνία του τεταρτημορίου συντεταγμένων I, II, III, IV
Για λόγους σαφήνειας, εδώ είναι μια γραφική απεικόνιση. Τα παρακάτω σχέδια δείχνουν γωνίες περιστροφής 30, −210, 585 και −45 μοιρών, που είναι οι γωνίες των συντεταγμένων I, II, III και IV, αντίστοιχα.
Γωνίες 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …οι βαθμοί δεν ανήκουν σε κανένα από τα τέταρτα συντεταγμένων.
Τώρα ας καταλάβουμε ποια ζώδια έχουν τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής α, ανάλογα με το ποιο τεταρτημόριο είναι η γωνία α.
Για ημίτονο και συνημίτονο αυτό είναι εύκολο να γίνει.
Εξ ορισμού, το ημίτονο της γωνίας α είναι η τεταγμένη του σημείου Α 1. Προφανώς, στα τέταρτα συντεταγμένων I και II είναι θετική, και στα τρίμηνα III και IV είναι αρνητική. Έτσι, το ημίτονο της γωνίας α έχει πρόσημο συν στο 1ο και 2ο τέταρτο και πρόσημο μείον στο 3ο και 6ο τέταρτο.
Με τη σειρά του, το συνημίτονο της γωνίας α είναι η τετμημένη του σημείου Α 1. Στο I και IV τρίμηνο είναι θετικό, και στο II και III τρίμηνο είναι αρνητικό. Κατά συνέπεια, οι τιμές του συνημιτόνου της γωνίας α στα τέταρτα I και IV είναι θετικές και στα τέταρτα II και III είναι αρνητικές.
Για να προσδιορίσετε τα σημάδια των τετάρτων της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, πρέπει να θυμάστε τους ορισμούς τους: εφαπτομένη είναι η αναλογία της τεταγμένης του σημείου A 1 προς την τετμημένη και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης του σημείου A 1 προς την τεταγμένη. Στη συνέχεια από κανόνες για τη διαίρεση αριθμώνμε το ίδιο και διαφορετικά σημάδιαέπεται ότι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν πρόσημο συν όταν τα σημεία τετμημένης και τεταγμένης του σημείου Α 1 είναι τα ίδια και έχουν πρόσημο μείον όταν τα σημεία τετμημένης και τεταγμένης του σημείου Α 1 είναι διαφορετικά. Κατά συνέπεια, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της γωνίας έχουν πρόσημο + στα τέταρτα συντεταγμένων I και III και πρόσημο μείον στα τέταρτα II και IV.
Πράγματι, για παράδειγμα, στο πρώτο τέταρτο και η τετμημένη x και η τεταγμένη y του σημείου A 1 είναι θετικές, τότε και το πηλίκο x/y και το πηλίκο y/x είναι θετικά, επομένως, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν πρόσημο +. Και στο δεύτερο τέταρτο, η τετμημένη x είναι αρνητική και η τεταγμένη y είναι θετική, επομένως και οι δύο x/y και y/x είναι αρνητικές, επομένως η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν πρόσημο μείον.
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.
Ιδιότητα περιοδικότητας
Τώρα θα εξετάσουμε ίσως την πιο προφανή ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Έχει ως εξής: όταν η γωνία αλλάζει κατά ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης αυτής της γωνίας δεν αλλάζουν.
Αυτό είναι κατανοητό: όταν η γωνία αλλάζει κατά έναν ακέραιο αριθμό περιστροφών, θα φτάνουμε πάντα από το σημείο εκκίνησης Α στο σημείο Α 1 στον μοναδιαίο κύκλο, επομένως, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παραμένουν αμετάβλητες, αφού οι συντεταγμένες του σημείου Α 1 είναι αμετάβλητες.
Χρησιμοποιώντας τύπους, η εξεταζόμενη ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μπορεί να γραφεί ως εξής: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, όπου α είναι η γωνία περιστροφής σε ακτίνια, z είναι οποιαδήποτε, η απόλυτη τιμή του οποίου δείχνει τον αριθμό των πλήρων στροφών με τις οποίες το η γωνία α αλλάζει και το πρόσημο του αριθμού z δείχνει την κατεύθυνση στροφής.
Εάν η γωνία περιστροφής α καθορίζεται σε μοίρες, τότε οι υποδεικνυόμενοι τύποι θα ξαναγραφούν ως sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα ctg(α+360°·z)=ctgα.
Ας δώσουμε παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας. Για παράδειγμα, 
, επειδή 
, ΕΝΑ 
. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα: ή .
Αυτή η ιδιότητα, μαζί με τους τύπους αναγωγής, χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά τον υπολογισμό των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των «μεγάλων» γωνιών.
Η θεωρούμενη ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ονομάζεται μερικές φορές ιδιότητα της περιοδικότητας.
Ιδιότητες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών
Έστω A 1 το σημείο που προκύπτει περιστρέφοντας το αρχικό σημείο A(1, 0) γύρω από το σημείο O κατά μια γωνία α και το σημείο A 2 είναι το αποτέλεσμα της περιστροφής του σημείου A κατά μια γωνία -α, αντίθετη από τη γωνία α.
Η ιδιότητα των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών βασίζεται σε ένα αρκετά προφανές γεγονός: τα σημεία A 1 και A 2 που αναφέρονται παραπάνω είτε συμπίπτουν (at) είτε βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα Ox. Δηλαδή, αν το σημείο A 1 έχει συντεταγμένες (x, y), τότε το σημείο A 2 θα έχει συντεταγμένες (x, −y). Από εδώ, χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, γράφουμε τις ισότητες και .
Συγκρίνοντάς τα, καταλήγουμε σε σχέσεις μεταξύ ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών α και −α της μορφής.
Αυτή είναι η υπό εξέταση ιδιότητα με τη μορφή τύπων.
Ας δώσουμε παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας. Για παράδειγμα, οι ισότητες και 
.
Απομένει μόνο να σημειωθεί ότι η ιδιότητα των ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών, όπως η προηγούμενη ιδιότητα, χρησιμοποιείται συχνά κατά τον υπολογισμό των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και σας επιτρέπει να αποφύγετε εντελώς τα αρνητικά γωνίες.
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
- Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn και άλλοι. Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651.
- Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.