Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας καταλήγει τελικά στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και σε αυτό καλύτερος βοηθόςκαι πάλι αποδεικνύεται ότι είναι ένας τριγωνομετρικός κύκλος.
Ας θυμηθούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου.
Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου σε κύκλος μονάδας, που αντιστοιχεί σε περιστροφή μέσω μιας δεδομένης γωνίας.
Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή μέσω μιας δεδομένης γωνίας.
Θετική κατεύθυνση κίνησης κατά μήκος τριγωνομετρικός κύκλοςΛαμβάνεται υπόψη η αριστερόστροφη κίνηση. Μια περιστροφή 0 μοιρών (ή 0 ακτίνων) αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1;0)
Χρησιμοποιούμε αυτούς τους ορισμούς για να λύσουμε απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
1. Λύστε την εξίσωση
Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από όλες τις τιμές της γωνίας περιστροφής που αντιστοιχούν σε σημεία του κύκλου του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με .
Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τεταγμένη στον άξονα τεταγμένων:
Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή παράλληλη στον άξονα x μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Παίρνουμε δύο σημεία που βρίσκονται στον κύκλο και έχουν μια τεταγμένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια:
Αν, αφήνοντας το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο, γυρίσουμε έναν πλήρη κύκλο, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο και έχει την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή, αυτή η γωνία περιστροφής ικανοποιεί και την εξίσωσή μας. Μπορούμε να κάνουμε όσες «αδρανείς» περιστροφές θέλουμε, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο και όλες αυτές οι τιμές γωνίας θα ικανοποιήσουν την εξίσωσή μας. Ο αριθμός των περιστροφών "αδράνειας" θα υποδηλωθεί με το γράμμα (ή). Εφόσον μπορούμε να κάνουμε αυτές τις περιστροφές τόσο προς θετικές όσο και προς αρνητικές κατευθύνσεις, (ή) μπορούμε να λάβουμε οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.
Δηλαδή, η πρώτη σειρά λύσεων στην αρχική εξίσωση έχει τη μορφή:
, , - σύνολο ακεραίων αριθμών (1)
Ομοίως, η δεύτερη σειρά λύσεων έχει τη μορφή:
, Πού , . (2)
Όπως ίσως μαντέψατε, αυτή η σειρά λύσεων βασίζεται στο σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά .
Αυτές οι δύο σειρές λύσεων μπορούν να συνδυαστούν σε μία καταχώρηση:
Αν πάρουμε (δηλαδή, ζυγό) σε αυτό το λήμμα, τότε θα πάρουμε την πρώτη σειρά λύσεων.
Αν πάρουμε (δηλαδή, περιττό) σε αυτό το λήμμα, τότε παίρνουμε τη δεύτερη σειρά λύσεων.
2. Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση
Δεδομένου ότι αυτή είναι η τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που λαμβάνεται με περιστροφή κατά γωνία, σημειώνουμε το σημείο με την τετμημένη στον άξονα:
Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή παράλληλη προς τον άξονα μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Θα πάρουμε δύο πόντους ξαπλωμένοι στον κύκλο και έχοντας μια τετμημένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια. Θυμηθείτε ότι όταν κινούμαστε δεξιόστροφα έχουμε αρνητική γωνία περιστροφής:
Ας γράψουμε δύο σειρές λύσεων:
,
,
(Φτάνουμε στο επιθυμητό σημείο πηγαίνοντας από τον κύριο πλήρη κύκλο, δηλαδή.
Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μια καταχώρηση:
3. Λύστε την εξίσωση
Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,0) του μοναδιαίου κύκλου παράλληλη προς τον άξονα OY
Ας σημειώσουμε ένα σημείο πάνω του με τεταγμένη ίση με 1 (ψάχνουμε την εφαπτομένη της οποίας οι γωνίες είναι ίση με 1):
Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή των συντεταγμένων με μια ευθεία γραμμή και ας σημειώσουμε τα σημεία τομής της ευθείας με τον μοναδιαίο κύκλο. Τα σημεία τομής της ευθείας γραμμής και του κύκλου αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής επί και :
Δεδομένου ότι τα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής που ικανοποιούν την εξίσωσή μας βρίσκονται σε απόσταση ακτίνων μεταξύ τους, μπορούμε να γράψουμε τη λύση ως εξής:
4. Λύστε την εξίσωση
Η ευθεία των συνεφαπτομένων διέρχεται από το σημείο με τις συντεταγμένες του μοναδιαίου κύκλου παράλληλες προς τον άξονα.
Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τετμημένη -1 στη γραμμή συνεφαπτομένης:
Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή της ευθείας και ας το συνεχίσουμε μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Αυτή η ευθεία γραμμή θα τέμνει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια:
Δεδομένου ότι αυτά τα σημεία χωρίζονται μεταξύ τους με απόσταση ίση με , τότε γενική λύσηΜπορούμε να γράψουμε αυτή την εξίσωση ως εξής:
Στα δοσμένα παραδείγματα που απεικονίζουν τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιήθηκαν πινακικές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ωστόσο, εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης περιέχει μια μη πινακοποιημένη τιμή, τότε αντικαθιστούμε την τιμή στη γενική λύση της εξίσωσης:
ΕΙΔΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ:
Ας σημειώσουμε τα σημεία του κύκλου του οποίου η τεταγμένη είναι 0:
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι 1:
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με -1:
Δεδομένου ότι είναι συνηθισμένο να υποδεικνύουμε τιμές πλησιέστερες στο μηδέν, γράφουμε τη λύση ως εξής:
Ας σημειώσουμε τα σημεία του κύκλου του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 0:
5.
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 1:
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με -1:
Και κάπως πιο σύνθετα παραδείγματα:
1.
Το ημίτονο είναι ίσο με ένα εάν το όρισμα είναι ίσο με
Το όρισμα του ημιτονοειδούς μας είναι ίσο, οπότε παίρνουμε:
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 3:
Απάντηση:
2.
Το συνημίτονο είναι μηδέν αν το όρισμα του συνημίτονου είναι
Το όρισμα του συνημίτονου μας είναι ίσο με , οπότε παίρνουμε:
Ας εκφράσουμε , για να το κάνουμε αυτό κινούμαστε πρώτα προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:
Ας απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά:
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2:
Σημειώστε ότι το πρόσημο μπροστά από τον όρο δεν αλλάζει, αφού το k μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή.
Απάντηση:
Και τέλος, παρακολουθήστε το εκπαιδευτικό βίντεο «Επιλογή ριζών σε τριγωνομετρική εξίσωση χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικός κύκλος"
Αυτό ολοκληρώνει τη συζήτησή μας για την επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το πώς θα αποφασίσουμε.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κρατικούς φορείςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις λύνονται, κατά κανόνα, χρησιμοποιώντας τύπους. Να σας υπενθυμίσω ότι οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι:
sinx = α
cosx = α
tgx = α
ctgx = α
x είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί,
α είναι οποιοσδήποτε αριθμός.
Και εδώ είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε αμέσως τις λύσεις σε αυτές τις απλούστερες εξισώσεις.
Για ημιτονοειδή:
Για το συνημίτονο:
x = ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z
Για εφαπτομένη:
x = αρκτάνη a + π n, n ∈ Z
Για συμεφαπτομένη:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το θεωρητικό μέρος της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιπλέον, τα πάντα!) Τίποτα απολύτως. Ωστόσο, ο αριθμός των σφαλμάτων σε αυτό το θέμα είναι απλώς εκτός γραφημάτων. Ειδικά αν το παράδειγμα αποκλίνει ελαφρώς από το πρότυπο. Γιατί;
Ναι, επειδή πολλοί άνθρωποι γράφουν αυτά τα γράμματα, χωρίς να καταλαβαίνω καθόλου τη σημασία τους!Γράφει με προσοχή, μήπως συμβεί κάτι...) Αυτό πρέπει να διευθετηθεί. Τριγωνομετρία για τους ανθρώπους ή άνθρωποι για τριγωνομετρία τελικά!;)
Ας το καταλάβουμε;
Μια γωνία θα είναι ίση με τόξο α, δεύτερος: -arccos α.
Και πάντα έτσι θα βγαίνει.Για οποιαδήποτε ΕΝΑ.
Αν δεν με πιστεύετε, τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας.) Άλλαξα τον αριθμό ΕΝΑ σε κάτι αρνητικό. Τέλος πάντων, έχουμε μια γωνία τόξο α, δεύτερος: -arccos α.
Επομένως, η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως δύο σειρές ριζών:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία:
x= ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z
Και αυτό είναι όλο. Λάβαμε έναν γενικό τύπο για την επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης με συνημίτονο.
Αν καταλαβαίνετε ότι αυτό δεν είναι κάποιου είδους υπερεπιστημονική σοφία, αλλά απλώς μια συντομευμένη έκδοση δύο σειρών απαντήσεων,Θα μπορείτε επίσης να χειρίζεστε εργασίες "C". Με ανισώσεις, με επιλογή ριζών από ένα δεδομένο διάστημα... Εκεί η απάντηση με συν/πλην δεν λειτουργεί. Αλλά αν αντιμετωπίσετε την απάντηση με επιχειρηματικό τρόπο και τη χωρίσετε σε δύο ξεχωριστές απαντήσεις, όλα θα λυθούν.) Στην πραγματικότητα, γι' αυτό το εξετάζουμε. Τι, πώς και πού.
Στην απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση
sinx = α
παίρνουμε επίσης δύο σειρές ριζών. Πάντοτε. Και αυτές οι δύο σειρές μπορούν επίσης να ηχογραφηθούν σε μια γραμμή. Μόνο αυτή η γραμμή θα είναι πιο δύσκολη:
x = (-1) n τόξο a + π n, n ∈ Z
Όμως η ουσία παραμένει η ίδια. Οι μαθηματικοί απλώς σχεδίασαν έναν τύπο για να κάνουν μία αντί για δύο καταχωρήσεις για σειρές ριζών. Αυτό είναι όλο!
Ας ελέγξουμε τους μαθηματικούς; Και ποτέ δεν ξέρεις...)
Στο προηγούμενο μάθημα, συζητήθηκε λεπτομερώς η λύση (χωρίς τύπους) μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης με ημίτονο:
Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο σειρές ριζών:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Αν λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε την απάντηση:
x = (-1) n τόξο 0,5 + π n, n ∈ Z
Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση.) Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει αυτό τόξο 0,5 = π /6.Η πλήρης απάντηση θα ήταν:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Εδώ προκύπτει ενδιαφέρουσα ερώτηση. Απάντηση μέσω x 1; x 2 (αυτή είναι η σωστή απάντηση!) και μέσω της μοναξιάς Χ (και αυτή είναι η σωστή απάντηση!) - είναι το ίδιο πράγμα ή όχι; Θα μάθουμε τώρα.)
Αντικαθιστούμε στην απάντηση με x 1 αξίες n =0; 1; 2; κ.λπ., μετράμε, παίρνουμε μια σειρά από ρίζες:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.
Με την ίδια αντικατάσταση σε απάντηση με x 2 , παίρνουμε:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 και ούτω καθεξής.
Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις τιμές n (0; 1; 2; 3; 4...) στον γενικό τύπο για το single Χ . Δηλαδή ανεβάζουμε μείον ένα στη μηδενική ισχύ, μετά στην πρώτη, δεύτερη κ.λπ. Λοιπόν, φυσικά, αντικαθιστούμε το 0 στον δεύτερο όρο. 1; 2 3; 4, κ.λπ. Και μετράμε. Παίρνουμε τη σειρά:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.
Αυτό είναι το μόνο που μπορείτε να δείτε.) Ο γενικός τύπος μας δίνει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματαόπως και οι δύο απαντήσεις χωριστά. Όλα ταυτόχρονα, με τη σειρά. Οι μαθηματικοί δεν ξεγελάστηκαν.)
Μπορούν επίσης να ελεγχθούν τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αλλά δεν θα το κάνουμε.) Είναι ήδη απλά.
Έγραψα όλη αυτή την αντικατάσταση και τον έλεγχο συγκεκριμένα. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ένα πράγμα εδώ απλό πράγμα: υπάρχουν τύποι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, μόνο μια σύντομη περίληψη των απαντήσεων.Για αυτή τη συντομία, έπρεπε να εισαγάγουμε συν/πλην στο διάλυμα συνημιτόνου και (-1) n στο ημιτονικό διάλυμα.
Αυτά τα ένθετα δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο σε εργασίες όπου χρειάζεται απλώς να γράψετε την απάντηση σε μια στοιχειώδη εξίσωση. Αλλά αν πρέπει να λύσετε μια ανισότητα ή τότε πρέπει να κάνετε κάτι με την απάντηση: επιλέξτε ρίζες σε ένα διάστημα, ελέγξτε για ODZ κ.λπ., αυτές οι εισαγωγές μπορούν εύκολα να αναστατώσουν ένα άτομο.
Τι πρέπει να κάνω λοιπόν; Ναι, είτε γράψτε την απάντηση σε δύο σειρές, είτε λύστε την εξίσωση/ανίσωση χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αυτές οι παρεμβολές εξαφανίζονται και η ζωή γίνεται ευκολότερη.)
Μπορούμε να συνοψίσουμε.
Για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν έτοιμοι τύποι απαντήσεων. Τέσσερα κομμάτια. Είναι καλοί για να γράφουν αμέσως τη λύση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε τις εξισώσεις:
sinx = 0,3
Εύκολα: x = (-1) n τόξο 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Κανένα πρόβλημα: x = ± τόξο 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Εύκολα: x = αρκτάνη 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Ένα έμεινε: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Αν λάμπεις από γνώση, γράψε αμέσως την απάντηση:
x= ± τόξο 1,8 + 2π n, n ∈ Z
τότε ήδη λάμπεις, αυτό... εκείνο... από μια λακκούβα.) Σωστή απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις. Δεν καταλαβαίνετε γιατί; Διαβάστε τι είναι το συνημίτονο τόξου. Επιπλέον, εάν στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης υπάρχουν πινακοποιημένες τιμές ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 και τα λοιπά. - η απάντηση μέσα από τις καμάρες θα είναι ημιτελής. Τα τόξα πρέπει να μετατραπούν σε ακτίνια.
Και αν συναντήσετε ανισότητα, κάντε like
τότε η απάντηση είναι:
x πn, n ∈ Z
υπάρχουν σπάνιες ανοησίες, ναι...) Εδώ πρέπει να λύσετε χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τι θα κάνουμε στο αντίστοιχο θέμα.
Για όσους διαβάζουν ηρωικά αυτές τις γραμμές. Δεν μπορώ παρά να εκτιμήσω τις τιτάνιες προσπάθειές σας. Μπόνους για εσάς.)
Δώρο:
Όταν γράφετε τύπους σε μια ανησυχητική κατάσταση μάχης, ακόμη και οι έμπειροι σπασίκλες συχνά μπερδεύονται σχετικά με το πού πn, και που 2π n. Εδώ είναι ένα απλό κόλπο για εσάς. Σε καθέναςφόρμουλες αξίας πn. Εκτός από τη μοναδική φόρμουλα με συνημίτονο τόξου. Στέκεται εκεί 2πn. Δυοοξύ άκρο της σφύρας. Λέξη-κλειδί - δυο.Στην ίδια φόρμουλα υπάρχουν δυουπογράψει στην αρχή. Συν και πλην. Και εκεί, και εκεί - δυο.
Αν έγραψες λοιπόν δυουπογράψτε πριν από το συνημίτονο τόξου, είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι θα συμβεί στο τέλος δυοοξύ άκρο της σφύρας. Και συμβαίνει και το αντίστροφο. Το άτομο θα χάσει το σημάδι ± , φτάνει στο τέλος, γράφει σωστά δυο Pien, και θα συνέλθει. Υπάρχει κάτι μπροστά δυοσημείο! Το άτομο θα επιστρέψει στην αρχή και θα διορθώσει το λάθος! Τοιουτοτροπώς.)
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα , ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικά και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικό και τετραγωνικές ανισότητες, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικό. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: πρέπει να καθορίσετε τον τύπο του προβλήματος που επιλύετε, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.
Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.
Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.
Με εμφάνισηεξίσωση, μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.
Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:
1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.
Ας αναλογιστούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.
Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.
Παράδειγμα.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Διάλυμα.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Αντικατάσταση μεταβλητής
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Να μειώσετε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).
Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.
Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.
Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.
Παράδειγμα.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Διάλυμα.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Αντικαθιστώ δεδομένη εξίσωσηγραμμικό, χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη μείωση του βαθμού:
αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.
Παράδειγμα.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Διάλυμα.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ομογενείς εξισώσεις
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα
α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)
ή στη θέα
β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).
Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
α) cos x ≠ 0;
β) cos 2 x ≠ 0;
και πάρτε την εξίσωση για το tan x:
α) a tan x + b = 0;
β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Διάλυμα.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Έστω tg x = t, τότε
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ή t = -4, που σημαίνει
tg x = 1 ή tg x = -4.
Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων
Διάγραμμα λύσης
Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλα τα είδη τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγουμε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.
Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.
Παράδειγμα.
αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.
Διάλυμα.
1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;
Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.
Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ 
σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.
Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.
Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.
Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!
ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
Πληροφορίες αναφοράς για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις sine (sin x) και συνημίτονο (cos x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων, παράγωγα, ολοκληρώματα, επεκτάσεις σειρών, διατομή, συνημίτονο. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός ημιτόνου και συνημιτόνου
|BD|- μήκος τόξου κύκλου με κέντρο σε σημείο ΕΝΑ.
α
- γωνία εκφρασμένη σε ακτίνια.
Ορισμός
Ημίτονος (αμαρτία α)είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ορθογώνιο τρίγωνο, ίσο με την αναλογίαμήκος της απέναντι πλευράς |π.Χ.| στο μήκος της υποτείνουσας |AC|.
συνημίτονο (συν α)είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος της υποτείνουσας |AC|.
Αποδεκτές σημειώσεις
;
;
.
;
;
.
Γράφημα της συνάρτησης ημιτόνου, y = sin x
Γράφημα της συνημίτονος, y = cos x
Ιδιότητες ημιτόνου και συνημιτόνου
Περιοδικότης
Συναρτήσεις y = αμαρτία xκαι y = cos xπεριοδική με περίοδο 2π.
Ισοτιμία
Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι περιττή. Η συνημίτονο είναι άρτια.
Τομέας ορισμού και τιμών, άκρα, αύξηση, μείωση
Οι συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, δηλαδή για όλα τα x (βλ. απόδειξη συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητές τους παρουσιάζονται στον πίνακα (n - ακέραιος).
| y= αμαρτία x | y= cos x | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Εύρος τιμών | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Αυξάνεται | ||
| Φθίνων | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Ελάχιστα, y = - 1 | ||
| Μηδενικά, y = 0 | ||
| Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Βασικοί τύποι
Άθροισμα τετραγώνων ημιτόνου και συνημιτόνου
Τύποι για ημίτονο και συνημίτονο από άθροισμα και διαφορά
;
;
Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων και συνημιτόνων
Τύποι αθροίσματος και διαφοράς
Έκφραση ημιτόνου μέσω συνημίτονος
;
;
;
.
Έκφραση συνημιτόνου μέσω ημιτονοειδούς
;
;
;
.
Έκφραση μέσω της εφαπτομένης
; .
Όταν , έχουμε:
;
.
Στο:
;
.
Πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων
Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών
;
Ο τύπος του Euler
{ -∞ < x < +∞ }
Secant, συνοδευτικό
Αντίστροφες συναρτήσεις
Αντίστροφες συναρτήσειςτο ημίτονο και το συνημίτονο είναι το αρξίνη και η αρκοσίνη, αντίστοιχα.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.