Ενδιάμεσο επίπεδο

Τετραγωνικές ανισότητες. Περιεκτικός Οδηγός (2019)

Για να καταλάβουμε πώς να λύσουμε τετραγωνικές εξισώσεις, πρέπει να καταλάβουμε τι τετραγωνική συνάρτηση, και ποιες ιδιότητες έχει.

Ίσως έχετε αναρωτηθεί γιατί χρειάζεται καθόλου μια τετραγωνική συνάρτηση; Πού εφαρμόζεται η γραφική παράσταση (παραβολή) του; Ναι, απλά πρέπει να κοιτάξετε γύρω σας και θα το παρατηρήσετε κάθε μέρα καθημερινή ζωήτη συναντάς. Έχετε παρατηρήσει πώς πετάει μια πεταμένη μπάλα στη φυσική αγωγή; «Κατά μήκος του τόξου»; Η πιο σωστή απάντηση θα ήταν η «παραβολή»! Και σε ποια τροχιά κινείται ο πίδακας στο σιντριβάνι; Ναι, και σε παραβολή! Πώς πετάει μια σφαίρα ή ένα κοχύλι; Σωστά, και σε παραβολή! Έτσι, γνωρίζοντας τις ιδιότητες μιας τετραγωνικής συνάρτησης, θα είναι δυνατή η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Για παράδειγμα, σε ποια γωνία πρέπει να πεταχτεί μια μπάλα για να διασφαλιστεί η μεγαλύτερη απόσταση; Ή, πού θα καταλήξει το βλήμα αν το εκτοξεύσετε σε μια συγκεκριμένη γωνία; και τα λοιπά.

Τετραγωνική συνάρτηση

Λοιπόν, ας το καταλάβουμε.

Για παράδειγμα, . Τι είναι τα ίσα εδώ και; Λοιπόν, φυσικά!

Τι κι αν, δηλ. λιγότερο από το μηδέν; Λοιπόν, φυσικά, είμαστε «λυπημένοι», που σημαίνει ότι τα κλαδιά θα κατευθυνθούν προς τα κάτω! Ας δούμε το γράφημα.

Αυτό το σχήμα δείχνει το γράφημα μιας συνάρτησης. Αφού, δηλ. λιγότερο από το μηδέν, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω. Επιπλέον, πιθανότατα έχετε ήδη παρατηρήσει ότι οι κλάδοι αυτής της παραβολής τέμνουν τον άξονα, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει 2 ρίζες και η συνάρτηση παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές!

Στην αρχή, όταν δώσαμε τον ορισμό της τετραγωνικής συνάρτησης, ειπώθηκε ότι και είναι κάποιοι αριθμοί. Μπορούν να είναι ίσα με μηδέν; Λοιπόν, φυσικά και μπορούν! Θα αποκαλύψω ακόμη και ένα ακόμη μεγαλύτερο μυστικό (που δεν είναι καθόλου μυστικό, αλλά αξίζει να το αναφέρουμε): δεν υπάρχουν καθόλου περιορισμοί σε αυτούς τους αριθμούς (και)!

Λοιπόν, ας δούμε τι συμβαίνει με τα γραφήματα αν και είναι ίσα με μηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, τα γραφήματα των υπό εξέταση συναρτήσεων (και) έχουν μετατοπιστεί έτσι ώστε οι κορυφές τους να βρίσκονται τώρα στο σημείο με συντεταγμένες, δηλαδή στη διασταύρωση των αξόνων και, αυτό δεν επηρεάζει την κατεύθυνση των κλάδων . Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι υπεύθυνοι για την «κίνηση» του γραφήματος της παραβολής κατά μήκος του συστήματος συντεταγμένων.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αγγίζει τον άξονα σε ένα σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα. Έτσι, η συνάρτηση παίρνει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το μηδέν.

Ακολουθούμε την ίδια λογική με το γράφημα της συνάρτησης. Αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα. Έτσι, η συνάρτηση παίρνει τιμές μικρότερες ή ίσες με το μηδέν, δηλαδή.

Έτσι, για να προσδιορίσετε το πρόσημο μιας έκφρασης, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. Αυτό θα μας είναι πολύ χρήσιμο.

Τετραγωνική ανισότητα

Όταν λύνουμε τέτοιες ανισότητες, θα χρειαστούμε την ικανότητα να προσδιορίσουμε πού μια τετραγωνική συνάρτηση είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με το μηδέν. Ήτοι:

• εάν έχουμε μια ανισότητα της μορφής, τότε στην πραγματικότητα η εργασία καταλήγει στον προσδιορισμό του αριθμητικού διαστήματος των τιμών για το οποίο η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα.
• αν έχουμε μια ανισότητα της μορφής, τότε στην πραγματικότητα η εργασία καταλήγει στον προσδιορισμό του αριθμητικού διαστήματος των τιμών x για τις οποίες η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα.

Εάν οι ανισώσεις δεν είναι αυστηρές, τότε οι ρίζες (οι συντεταγμένες της τομής της παραβολής με τον άξονα) περιλαμβάνονται στο επιθυμητό αριθμητικό διάστημα, στην περίπτωση αυστηρών ανισώσεων, εξαιρούνται.

Όλα αυτά είναι αρκετά επισημοποιημένα, αλλά μην απελπίζεστε και μην φοβάστε! Τώρα ας δούμε τα παραδείγματα και όλα θα μπουν στη θέση τους.

Κατά την επίλυση τετραγωνικών ανισοτήτων, θα τηρήσουμε τον δεδομένο αλγόριθμο και μας περιμένει αναπόφευκτη επιτυχία!

Αλγόριθμος	Παράδειγμα:
1) Ας γράψουμε την αντίστοιχη ανισότητα τετραγωνική εξίσωση(απλώς αλλάξτε το πρόσημο της ανισότητας στο πρόσημο ίσου "=").
2) Ας βρούμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης.
3) Σημειώστε τις ρίζες στον άξονα και δείξτε σχηματικά τον προσανατολισμό των κλάδων της παραβολής ("πάνω" ή "κάτω")
4) Ας τοποθετήσουμε σημάδια στον άξονα που αντιστοιχεί στο πρόσημο της τετραγωνικής συνάρτησης: όπου η παραβολή είναι πάνω από τον άξονα, βάζουμε « », και όπου παρακάτω - « «.
5) Γράψτε το διάστημα(α) που αντιστοιχεί(α) σε " " ή " ", ανάλογα με το πρόσημο της ανισότητας. Εάν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, οι ρίζες περιλαμβάνονται στο διάστημα, εάν είναι αυστηρή, δεν είναι.

Κατάλαβες; Τότε προχωρήστε και καρφιτσώστε το!

Παράδειγμα:

Λοιπόν, λειτούργησε; Αν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες, αναζητήστε λύσεις.

Διάλυμα:

Ας γράψουμε τα διαστήματα που αντιστοιχούν στο πρόσημο " ", αφού το πρόσημο της ανισότητας είναι " ". Η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, επομένως οι ρίζες περιλαμβάνονται στα διαστήματα:

Ας γράψουμε την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση:

Ας βρούμε τις ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης:

Ας σημειώσουμε σχηματικά τις ρίζες που προέκυψαν στον άξονα και ας τακτοποιήσουμε τα σημάδια:

Ας γράψουμε τα διαστήματα που αντιστοιχούν στο πρόσημο " ", αφού το πρόσημο της ανισότητας είναι " ". Η ανισότητα είναι αυστηρή, επομένως οι ρίζες δεν περιλαμβάνονται στα διαστήματα:

Ας γράψουμε την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση:

Ας βρούμε τις ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης:

αυτή η εξίσωση έχει μία ρίζα

Ας σημειώσουμε σχηματικά τις ρίζες που προέκυψαν στον άξονα και ας τακτοποιήσουμε τα σημάδια:

Ας γράψουμε τα διαστήματα που αντιστοιχούν στο πρόσημο " ", αφού το πρόσημο της ανισότητας είναι " ". Για οποιαδήποτε, η συνάρτηση λαμβάνει μη αρνητικές τιμές. Εφόσον η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, η απάντηση θα είναι.

Ας γράψουμε την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση:

Ας βρούμε τις ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης:

Ας σχεδιάσουμε σχηματικά μια γραφική παράσταση μιας παραβολής και ας τακτοποιήσουμε τα σημάδια:

Ας γράψουμε τα διαστήματα που αντιστοιχούν στο πρόσημο " ", αφού το πρόσημο της ανισότητας είναι " ". Για οποιαδήποτε, η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές, επομένως, η λύση στην ανισότητα θα είναι το διάστημα:

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. ΜΕΣΑΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τετραγωνική συνάρτηση.

Πριν μιλήσουμε για το θέμα «τετραγωνικές ανισότητες», ας θυμηθούμε τι είναι η τετραγωνική συνάρτηση και ποια είναι η γραφική παράσταση της.

Με άλλα λόγια, αυτό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή (θυμάστε τι είναι αυτή;). Οι κλάδοι της κατευθύνονται προς τα πάνω εάν "α) η συνάρτηση παίρνει μόνο θετικές τιμές για όλους και στη δεύτερη () - μόνο αρνητικές:

Στην περίπτωση που η εξίσωση () έχει ακριβώς μία ρίζα (για παράδειγμα, αν η διάκριση είναι μηδέν), αυτό σημαίνει ότι το γράφημα αγγίζει τον άξονα:

Στη συνέχεια, παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση, για το " .

Έτσι, πρόσφατα μάθαμε πώς να προσδιορίζουμε πού μια τετραγωνική συνάρτηση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και πού είναι μικρότερη:

Εάν η τετραγωνική ανισότητα δεν είναι αυστηρή, τότε οι ρίζες περιλαμβάνονται στο αριθμητικό διάστημα, εάν είναι αυστηρή, δεν είναι.

Εάν υπάρχει μόνο μία ρίζα, δεν πειράζει, το ίδιο σημάδι θα υπάρχει παντού. Εάν δεν υπάρχουν ρίζες, όλα εξαρτώνται μόνο από τον συντελεστή: εάν "25((x)^(2))-30x+9

Απαντήσεις:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Δεν υπάρχουν ρίζες, οπότε ολόκληρη η έκφραση στην αριστερή πλευρά παίρνει το πρόσημο του συντελεστή πριν:

• Αν θέλετε να βρείτε ένα αριθμητικό διάστημα στο οποίο το τετραγωνικό τριώνυμο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, τότε αυτό είναι το αριθμητικό διάστημα όπου η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα.
• Αν θέλετε να βρείτε ένα αριθμητικό διάστημα στο οποίο το τετραγωνικό τριώνυμο είναι μικρότερο από το μηδέν, τότε αυτό είναι το αριθμητικό διάστημα όπου η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα.

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τετραγωνική συνάρτησηείναι συνάρτηση της μορφής: ,

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Τα κλαδιά του κατευθύνονται προς τα πάνω εάν και προς τα κάτω εάν:

Τύποι τετραγωνικών ανισοτήτων:

Όλες οι τετραγωνικές ανισότητες μειώνονται στους ακόλουθους τέσσερις τύπους:

Αλγόριθμος λύσης:

Αλγόριθμος	Παράδειγμα:
1) Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση που αντιστοιχεί στην ανισότητα (απλά αλλάξτε το πρόσημο της ανισότητας στο πρόσημο ίσου " ").
2) Ας βρούμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης.
3) Σημειώστε τις ρίζες στον άξονα και δείξτε σχηματικά τον προσανατολισμό των κλάδων της παραβολής ("πάνω" ή "κάτω")
4) Ας τοποθετήσουμε σημάδια στον άξονα που αντιστοιχεί στο πρόσημο της τετραγωνικής συνάρτησης: όπου η παραβολή είναι πάνω από τον άξονα, βάζουμε « », και όπου παρακάτω - « «.
5) Γράψτε το διάστημα(α) που αντιστοιχεί(α) σε " " ή " ", ανάλογα με το πρόσημο της ανισότητας. Εάν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, οι ρίζες περιλαμβάνονται στο διάστημα, εάν είναι αυστηρή, δεν είναι.

Τετραγωνική ανισότητα – «ΑΠΟ και ΠΡΟΣ».Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τη λύση των δευτεροβάθμιων ανισώσεων, η οποία ονομάζεται μέχρι τις λεπτές. Συνιστώ να μελετήσετε προσεκτικά το υλικό στο άρθρο χωρίς να χάσετε τίποτα. Δεν θα μπορείτε να μάθετε αμέσως το άρθρο, συνιστώ να το κάνετε με διάφορες προσεγγίσεις, υπάρχουν πολλές πληροφορίες.

Περιεχόμενο:

Εισαγωγή. Σπουδαίος!

Εισαγωγή. Σπουδαίος!

Μια τετραγωνική ανισότητα είναι μια ανισότητα της μορφής:

Εάν πάρετε μια τετραγωνική εξίσωση και αντικαταστήσετε το πρόσημο ίσου με οποιοδήποτε από τα παραπάνω, θα έχετε μια τετραγωνική ανισότητα. Η επίλυση μιας ανισότητας σημαίνει απάντηση στην ερώτηση για ποιες τιμές του x θα είναι αληθής αυτή η ανισότητα. Παραδείγματα:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Η τετραγωνική ανισότητα μπορεί να προσδιοριστεί έμμεσα, για παράδειγμα:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και να το φέρετε στην τυπική μορφή (1).

*Οι συντελεστές μπορεί να είναι κλασματικοί και παράλογοι, αλλά τέτοια παραδείγματα είναι σπάνια στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών και δεν απαντώνται καθόλου στις εργασίες της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Αλλά μην ανησυχείτε εάν, για παράδειγμα, συναντήσετε:

Αυτή είναι επίσης μια τετραγωνική ανισότητα.

Αρχικά, ας δούμε έναν απλό αλγόριθμο λύσης που δεν απαιτεί κατανόηση του τι είναι μια τετραγωνική συνάρτηση και πώς φαίνεται το γράφημά της στο επίπεδο συντεταγμένων σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων. Εάν μπορείτε να θυμάστε τις πληροφορίες σταθερά και για μεγάλο χρονικό διάστημα και να τις ενισχύετε τακτικά με εξάσκηση, τότε ο αλγόριθμος θα σας βοηθήσει. Επίσης, εάν, όπως λένε, πρέπει να λύσετε μια τέτοια ανισότητα "με τη μία", τότε ο αλγόριθμος θα σας βοηθήσει. Ακολουθώντας το, θα εφαρμόσετε εύκολα τη λύση.

Εάν σπουδάζετε στο σχολείο, τότε σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να ξεκινήσετε τη μελέτη του άρθρου από το δεύτερο μέρος, το οποίο λέει όλο το νόημα της λύσης (δείτε παρακάτω από το σημείο -). Εάν κατανοήσετε την ουσία, τότε δεν θα χρειαστεί να μάθετε ή να απομνημονεύσετε τον καθορισμένο αλγόριθμο, μπορείτε εύκολα να λύσετε οποιαδήποτε τετραγωνική ανισότητα.

Φυσικά, θα έπρεπε να ξεκινήσω αμέσως την εξήγηση με το γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης και μια εξήγηση της ίδιας της σημασίας, αλλά αποφάσισα να «κατασκευάσω» το άρθρο με αυτόν τον τρόπο.

Άλλο ένα θεωρητικό σημείο! Δείτε τον τύπο για την παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου:

όπου x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης ax 2+ bx+c=0

*Για να λυθεί μια τετραγωνική ανισότητα, θα χρειαστεί να συνυπολογίσουμε το τετραγωνικό τριώνυμο.

Ο αλγόριθμος που παρουσιάζεται παρακάτω ονομάζεται επίσης μέθοδος διαστήματος. Είναι κατάλληλο για την επίλυση ανισώσεων της μορφής φά(x)>0, φά(x)<0 , φά(x)≥0 καιφά(x)≤0 . Λάβετε υπόψη ότι μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι από δύο πολλαπλασιαστές, για παράδειγμα:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Αλγόριθμος λύσης. Μέθοδος διαστήματος. Παραδείγματα.

Δεδομένης της ανισότητας τσεκούρι 2 + bx+ c > 0 (οποιοδήποτε πρόσημο).

1. Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση τσεκούρι 2 + bx+ c = 0 και λύστε το. παίρνουμε x 1 και x 2– ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

2. Αντικαταστήστε τον συντελεστή στον τύπο (2) ένα και ρίζες. :

τσεκούρι – x 1 )(x – x 2)>0

3. Ορίστε διαστήματα στην αριθμητική γραμμή (οι ρίζες της εξίσωσης διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε διαστήματα):

4. Προσδιορίστε τα «σύμβολα» στα διαστήματα (+ ή –) αντικαθιστώντας μια αυθαίρετη τιμή «x» από κάθε διάστημα που προκύπτει στην παράσταση:

τσεκούρι – x 1 )(x – x2)

και να τα γιορτάσουμε.

5. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε τα διαστήματα που μας ενδιαφέρουν, σημειώνονται:

- με πρόσημο «+» αν η ανισότητα περιείχε «>0» ή «≥0».

- υπογράψτε «–» εάν η ανισότητα περιελάμβανε «<0» или «≤0».

ΔΙΝΩ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τα ίδια τα ζώδια στην ανισότητα μπορεί να είναι:

αυστηρό - αυτό είναι ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Πώς επηρεάζει αυτό το αποτέλεσμα της απόφασης;

Με αυστηρά ζώδια ανισότητας, τα όρια του διαστήματος ΔΕΝ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ στη λύση, ενώ στην απάντηση το ίδιο το διάστημα γράφεται με τη μορφή ( x 1 ; x 2 ) – στρογγυλά στηρίγματα.

Για αδύναμα ζώδια ανισότητας, τα όρια του διαστήματος περιλαμβάνονται στη λύση και η απάντηση γράφεται με τη μορφή [ x 1 ; x 2 ] – αγκύλες.

*Αυτό δεν ισχύει μόνο για τις τετραγωνικές ανισότητες. Η αγκύλη σημαίνει ότι το ίδιο το όριο του διαστήματος περιλαμβάνεται στη λύση.

Αυτό θα το δείτε στα παραδείγματα. Ας δούμε μερικά για να ξεκαθαρίσουμε όλες τις ερωτήσεις σχετικά με αυτό. Θεωρητικά, ο αλγόριθμος μπορεί να φαίνεται κάπως περίπλοκος, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι απλά.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Λύστε x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 –60 x+500=0

ρε = σι 2 –4 ακ = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Βρίσκοντας τις ρίζες:

Αντικαταστήστε τον συντελεστή ένα

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

Γράφουμε την ανισότητα στη μορφή (x–50)(x–10) ≤ 0

Οι ρίζες της εξίσωσης διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε διαστήματα. Ας τα δείξουμε στην αριθμητική γραμμή:

Λάβαμε τρία διαστήματα (–∞;10), (10;50) και (50;+∞).

Καθορίζουμε τα «σύμβολα» σε διαστήματα, το κάνουμε αντικαθιστώντας τις αυθαίρετες τιμές κάθε προκύπτοντος διαστήματος στην έκφραση (x–50)(x–10) και εξετάζουμε την αντιστοιχία του προκύπτοντος «σημού» με το σύμβολο στο την ανισότητα (x–50)(x–10) ≤ 0:

σε x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 λάθος

σε x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

σε x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 λάθος

Η λύση θα είναι το διάστημα.

Για όλες τις τιμές του x από αυτό το διάστημα η ανισότητα θα είναι αληθής.

*Σημειώστε ότι έχουμε συμπεριλάβει αγκύλες.

Για x = 10 και x = 50, θα ισχύει και η ανισότητα, δηλαδή τα όρια περιλαμβάνονται στη λύση.

Απάντηση: x∊

Πάλι:

— Τα όρια του διαστήματος ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ στη λύση της ανισότητας όταν η συνθήκη περιέχει το πρόσημο ≤ ή ≥ (μη αυστηρή ανισότητα). Σε αυτήν την περίπτωση, είναι σύνηθες να εμφανίζονται οι ρίζες που προκύπτουν σε ένα σκίτσο με έναν κύκλο HASHED.

— Τα όρια του διαστήματος ΔΕΝ ΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ στη λύση της ανισότητας όταν η συνθήκη περιέχει το πρόσημο< или >(αυστηρή ανισότητα). Σε αυτήν την περίπτωση, είναι σύνηθες να εμφανίζεται η ρίζα στο σκίτσο ως UNHASHED κύκλος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Λύστε x 2 + 4 x–21 > 0

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 + 4 x–21 = 0

ρε = σι 2 –4 ακ = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Βρίσκοντας τις ρίζες:

Αντικαταστήστε τον συντελεστή ένακαι ρίζες στον τύπο (2), παίρνουμε:

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

Γράφουμε την ανισότητα στη μορφή (x–3)(x+7) > 0.

Οι ρίζες της εξίσωσης διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε διαστήματα. Ας τα σημειώσουμε στην αριθμητική γραμμή:

*Η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, επομένως τα σύμβολα για τις ρίζες ΔΕΝ είναι σκιασμένα. Λάβαμε τρία διαστήματα (–∞;–7), (–7;3) και (3;+∞).

Καθορίζουμε τα «σύμβολα» στα διαστήματα, το κάνουμε αντικαθιστώντας αυθαίρετες τιμές αυτών των διαστημάτων στην έκφραση (x–3)(x+7) και αναζητούμε συμμόρφωση με την ανισότητα (x–3)(x+7)> 0:

σε x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 σωστά

σε x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

σε x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 σωστά

Η λύση θα είναι δύο διαστήματα (–∞;–7) και (3;+∞). Για όλες τις τιμές του x από αυτά τα διαστήματα η ανισότητα θα είναι αληθής.

*Σημειώστε ότι έχουμε συμπεριλάβει παρενθέσεις. Στο x = 3 και x = –7 η ανισότητα θα είναι λανθασμένη - τα όρια δεν περιλαμβάνονται στη λύση.

Απάντηση: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3: Λύστε – x 2 –9 x–20 > 0

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης – x 2 –9 x–20 = 0.

ένα = –1 σι = –9 ντο = –20

ρε = σι 2 –4 ακ = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Βρίσκοντας τις ρίζες:

Αντικαταστήστε τον συντελεστή ένακαι ρίζες στον τύπο (2), παίρνουμε:

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Γράφουμε την ανισότητα στη μορφή –(x+5)(x+4) > 0.

Οι ρίζες της εξίσωσης διαιρούν την αριθμητική γραμμή σε διαστήματα. Ας σημειώσουμε στην αριθμητική γραμμή:

*Η ανισότητα είναι αυστηρή, επομένως τα σύμβολα για τις ρίζες δεν είναι σκιασμένα. Πήραμε τρία διαστήματα (–∞;–5), (–5; –4) και (–4;+∞).

Ορίζουμε "σημάδια" κατά διαστήματα, το κάνουμε αντικαθιστώντας την έκφραση –(x+5)(x+4)αυθαίρετες τιμές αυτών των διαστημάτων και κοιτάξτε την αντιστοιχία με την ανισότητα –(x+5)(x+4)>0:

σε x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

σε x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 σωστό

σε x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

Η λύση θα είναι το διάστημα (–5,–4). Για όλες τις τιμές του "x" που ανήκουν σε αυτό, η ανισότητα θα είναι αληθής.

*Παρακαλώ σημειώστε ότι τα όρια δεν αποτελούν μέρος της λύσης. Για x = –5 και x = –4 η ανισότητα δεν θα είναι αληθής.

ΣΧΟΛΙΟ!

Όταν λύνουμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, μπορεί να καταλήξουμε με μία ρίζα ή καθόλου ρίζες, τότε όταν χρησιμοποιείται αυτή η μέθοδος στα τυφλά, μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στον προσδιορισμό της λύσης.

Μια μικρή περίληψη! Η μέθοδος είναι καλή και βολική στη χρήση, ειδικά αν είστε εξοικειωμένοι με την τετραγωνική συνάρτηση και γνωρίζετε τις ιδιότητες του γραφήματος της. Εάν όχι, ρίξτε μια ματιά και προχωρήστε στην επόμενη ενότητα.

Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης. προτείνω!

Το Τετραγωνικό είναι συνάρτηση της μορφής:

Η γραφική παράσταση της είναι παραβολή, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω:

Το γράφημα μπορεί να τοποθετηθεί ως εξής: μπορεί να τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία, μπορεί να τον αγγίξει σε ένα σημείο (κορυφή) ή δεν μπορεί να τέμνει. Περισσότερα για αυτό αργότερα.

Τώρα ας δούμε αυτήν την προσέγγιση με ένα παράδειγμα. Η όλη διαδικασία επίλυσης αποτελείται από τρία στάδια. Ας λύσουμε την ανισότητα x 2 +2 x –8 >0.

Πρώτο στάδιο

Επίλυση της εξίσωσης x 2 +2 x–8=0.

ρε = σι 2 –4 ακ = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Βρίσκοντας τις ρίζες:

Πήραμε x 1 = 2 και x 2 = – 4.

Δεύτερο στάδιο

Κατασκευή παραβολής y=x 2 +2 x–8 κατά σημεία:

Τα σημεία 4 και 2 είναι τα σημεία τομής της παραβολής και του άξονα x. Είναι απλό! Τι έκανες; Λύσαμε την τετραγωνική εξίσωση x 2 +2 x–8=0. Δείτε την ανάρτησή του ως εξής:

0 = x 2+2x – 8

Το μηδέν για εμάς είναι η τιμή του «y». Όταν y = 0, παίρνουμε την τετμημένη των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορούμε να πούμε ότι η μηδενική τιμή «y» είναι ο άξονας x.

Τώρα κοιτάξτε ποιες τιμές του x της έκφρασης x 2 +2 x – 8 μεγαλύτερο (ή μικρότερο) από το μηδέν; Αυτό δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί από το γράφημα της παραβολής, όπως λένε, όλα είναι ορατά:

1. Στο x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 θα είναι θετικό.

2. Στο –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 θα είναι αρνητικό.

3. Για x > 2, ο κλάδος της παραβολής βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Για το καθορισμένο x, το τριώνυμο x 2 +2 x –8 θα είναι θετικό.

Τρίτο στάδιο

Από την παραβολή μπορούμε να δούμε αμέσως σε τι x η έκφραση x 2 +2 x–8 μεγαλύτερο από μηδέν, ίσο με μηδέν, μικρότερο από μηδέν. Αυτή είναι η ουσία του τρίτου σταδίου της λύσης, δηλαδή να δούμε και να εντοπίσουμε τις θετικές και αρνητικές περιοχές στο σχέδιο. Συγκρίνουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με την αρχική ανισότητα και γράφουμε την απάντηση. Στο παράδειγμά μας, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε όλες τις τιμές του x για τις οποίες η έκφραση x 2 +2 x–8 περισσότερο από το μηδέν. Αυτό το κάναμε στο δεύτερο στάδιο.

Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση.

Απάντηση: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Ας συνοψίσουμε: έχοντας υπολογίσει τις ρίζες της εξίσωσης στο πρώτο βήμα, μπορούμε να σημειώσουμε τα σημεία που προκύπτουν στον άξονα x (αυτά είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x). Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε σχηματικά μια παραβολή και μπορούμε ήδη να δούμε τη λύση. Γιατί σχηματική; Δεν χρειαζόμαστε ένα μαθηματικά ακριβές πρόγραμμα. Και φανταστείτε, για παράδειγμα, εάν οι ρίζες είναι 10 και 1500, προσπαθήστε να δημιουργήσετε ένα ακριβές γράφημα σε ένα φύλλο χαρτιού με τέτοιο εύρος τιμών. Γεννιέται το ερώτημα! Λοιπόν, πήραμε τις ρίζες, καλά, τις σημειώσαμε στον άξονα ο, αλλά πρέπει να σκιαγραφήσουμε τη θέση της ίδιας της παραβολής - με τα κλαδιά της πάνω ή κάτω; Όλα είναι απλά εδώ! Ο συντελεστής για x 2 θα σας πει:

- αν είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

- εάν είναι μικρότερο από μηδέν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

Στο παράδειγμά μας ισούται με ένα, δηλαδή θετικό.

*Σημείωμα! Εάν η ανισότητα περιέχει ένα μη αυστηρό πρόσημο, δηλαδή ≤ ή ≥, τότε οι ρίζες στην αριθμητική γραμμή πρέπει να είναι σκιασμένες, αυτό υποδηλώνει υπό όρους ότι το όριο του ίδιου του διαστήματος περιλαμβάνεται στη λύση της ανισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ρίζες δεν είναι σκιασμένες (τρυπημένες), αφού η ανισότητα μας είναι αυστηρή (υπάρχει πρόσημο «>»). Επιπλέον, σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση χρησιμοποιεί παρενθέσεις και όχι τετράγωνες (τα σύνορα δεν περιλαμβάνονται στη λύση).

Πολλά έχουν γραφτεί, μάλλον μπέρδεψα κάποιον. Αλλά αν λύσετε τουλάχιστον 5 ανισότητες χρησιμοποιώντας παραβολές, τότε ο θαυμασμός σας δεν θα έχει όρια. Είναι απλό!

Λοιπόν, εν συντομία:

1. Καταγράφουμε την ανισότητα και τη μειώνουμε στην τυπική.

2. Γράψτε μια δευτεροβάθμια εξίσωση και λύστε την.

3. Σχεδιάστε τον άξονα x, σημειώστε τις ρίζες που προκύπτουν, σχεδιάστε σχηματικά μια παραβολή, με διακλαδώσεις προς τα πάνω εάν ο συντελεστής x 2 είναι θετικός ή διακλαδίζεται προς τα κάτω εάν είναι αρνητικός.

4. Εντοπίστε οπτικά θετικές ή αρνητικές περιοχές και σημειώστε την απάντηση στην αρχική ανισότητα.

Ας δούμε παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Λύστε x 2 –15 x+50 > 0

Πρώτο στάδιο.

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 –15 x+50=0

ρε = σι 2 –4 ακ = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Βρίσκοντας τις ρίζες:

Δεύτερο στάδιο.

Κατασκευάζουμε τον άξονα ο. Ας σημειώσουμε τις ρίζες που προκύπτουν. Εφόσον η ανισότητά μας είναι αυστηρή, δεν θα τις σκιάζουμε. Κατασκευάζουμε σχηματικά μια παραβολή, βρίσκεται με τους κλάδους της προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι θετικός:

Τρίτο στάδιο.

Ορίζουμε οπτικά θετικές και αρνητικές περιοχές, εδώ τις σημειώσαμε με διαφορετικά χρώματα για σαφήνεια, δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό.

Καταγράφουμε την απάντηση.

Απάντηση: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Το σύμβολο U υποδηλώνει μια λύση ενοποίησης. Μεταφορικά μιλώντας, η λύση είναι «αυτό» ΚΑΙ «αυτό» το διάστημα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Λύστε – x 2 + x+20 ≤ 0

Πρώτο στάδιο.

Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης – x 2 + x+20=0

ρε = σι 2 –4 ακ = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Βρίσκοντας τις ρίζες:

Δεύτερο στάδιο.

Κατασκευάζουμε τον άξονα ο. Ας σημειώσουμε τις ρίζες που προκύπτουν. Δεδομένου ότι η ανισότητα μας δεν είναι αυστηρή, σκιάζουμε τους χαρακτηρισμούς των ριζών. Κατασκευάζουμε σχηματικά μια παραβολή, βρίσκεται με τους κλάδους προς τα κάτω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι αρνητικός (ισούται με –1):

Τρίτο στάδιο.

Εντοπίζουμε οπτικά θετικές και αρνητικές περιοχές. Το συγκρίνουμε με την αρχική ανισότητα (το πρόσημο μας είναι ≤ 0). Η ανισότητα θα ισχύει για x ≤ – 4 και x ≥ 5.

Καταγράφουμε την απάντηση.

Απάντηση: x∊(–∞;–4] U· επιμέλεια S. A. Telyakovsky. - 16th ed. - M.: Education, 2008. - 271 σελ.: ill. - ISBN 978-5-09 -019243-9.