Βολικό για τον καθορισμό μιας συγκεκριμένης τιμής της ανεξάρτητης μεταβλητής x (όρισμα) και τον υπολογισμό της αντίστοιχης τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής y. Για παράδειγμα, αν δοθεί η συνάρτηση y = x 2, δηλ. f(x) = x 2, τότε για x = 1 παίρνουμε y = 1 2 = 1; Εν ολίγοις, γράφεται ως εξής: f(1) = 1. Για x = 2 παίρνουμε f(2) = 2 2 = 4, δηλαδή y = 4; για x = - 3 παίρνουμε f(- 3) = (- 3) 2 = 9, δηλαδή y = 9, κ.λπ.
Ήδη στην 7η τάξη αρχίσαμε να καταλαβαίνουμε ότι στην ισότητα y = f(x) η δεξιά πλευρά, δηλ. η έκφραση f(x) δεν περιορίζεται στις τέσσερις περιπτώσεις που αναφέρονται παραπάνω (C, kx, kx + m, x 2).
Για παράδειγμα, έχουμε ήδη συναντήσει τμηματικές συναρτήσεις, π.χ. λειτουργίες, που δίνονται από διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικά διαστήματα. Εδώ είναι μια τέτοια συνάρτηση: y = f(x), όπου
Θυμάστε πώς γράφετε τέτοιες συναρτήσεις; Πρώτα πρέπει να κατασκευάσετε μια παραβολή y = x 2 και να πάρετε το μέρος της στο x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Εικ. 2). Και τέλος, πρέπει να συνδυάσετε και τα δύο επιλεγμένα μέρη σε ένα σχέδιο, δηλαδή να βασιστείτε σε ένα επίπεδο συντεταγμένων(βλ. Εικ. 3).
Τώρα το καθήκον μας είναι το εξής: να αναπληρώσουμε το απόθεμα των μελετημένων συναρτήσεων. ΣΕ πραγματική ζωήΥπάρχουν διαδικασίες που περιγράφονται από διάφορα μαθηματικά μοντέλα της μορφής y = f(x), όχι μόνο από αυτά που αναφέραμε παραπάνω. Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε τη συνάρτηση y = kx 2, όπου συντελεστής k είναι οποιοσδήποτε αριθμός μη μηδενικός.
Στην πραγματικότητα, η συνάρτηση y = kx 2 σε μια περίπτωση σας είναι λίγο γνωστή. Κοιτάξτε: αν k = 1, τότε παίρνουμε y = x 2; Μελετήσατε αυτή τη συνάρτηση στην 7η δημοτικού και πιθανότατα θυμάστε ότι η γραφική παράσταση της είναι παραβολή (Εικ. 1). Ας συζητήσουμε τι συμβαίνει σε άλλες τιμές του συντελεστή k.
Θεωρήστε δύο συναρτήσεις: y = 2x 2 και y = 0,5x 2. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα τιμών για την πρώτη συνάρτηση y = 2x 2:
Ας κατασκευάσουμε τα σημεία (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1.5; 4.5), (-1.5; 4.5) στο επίπεδο συντεταγμένων(Εικ. 4); σκιαγραφούν μια συγκεκριμένη γραμμή, ας την τραβήξουμε (Εικ. 5).
Ας φτιάξουμε έναν πίνακα τιμών για τη δεύτερη συνάρτηση y = 0,5x 2:
Ας κατασκευάσουμε σημεία (0; 0), (1; 0.5), (-1; 0.5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) στο επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 6). σκιαγραφούν μια συγκεκριμένη γραμμή, ας τη σχεδιάσουμε (Εικ. 7)
.
Τα σημεία που φαίνονται στο Σχ. Τα 4 και 6 ονομάζονται μερικές φορές σημεία ελέγχου για το γράφημα της αντίστοιχης συνάρτησης.
Συγκρίνετε τα σχήματα 1, 5 και 7. Δεν είναι αλήθεια ότι οι γραμμές που σχεδιάζονται είναι παρόμοιες; Κάθε ένα από αυτά ονομάζεται παραβολή. Στην περίπτωση αυτή, το σημείο (0; 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής και ο άξονας y είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής. Η «ταχύτητα ανοδικής κίνησης» των κλαδιών της παραβολής ή, όπως λένε επίσης, ο «βαθμός κλίσης» της παραβολής εξαρτάται από την τιμή του συντελεστή k. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 8, όπου και οι τρεις παραβολές που κατασκευάστηκαν παραπάνω βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων.
Η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια με οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση της μορφής y = kx 2, όπου k > 0. Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή με κορυφή στην αρχή συντεταγμένες, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και όσο πιο απότομες τόσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής k. Ο άξονας y είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής. Παρεμπιπτόντως, για λόγους συντομίας, οι μαθηματικοί λένε συχνά "παραβολή y = kx 2" αντί για τη μεγάλη φράση "παραβολή που χρησιμεύει ως γράφημα της συνάρτησης y = kx 2" και αντί για τον όρο "άξονας συμμετρίας του μια παραβολή» χρησιμοποιούν τον όρο «άξονας παραβολής».
Παρατηρείτε ότι υπάρχει αναλογία με τη συνάρτηση y = kx; Αν k > 0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = kx είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων (θυμηθείτε, είπαμε εν συντομία: ευθεία y = kx), και εδώ, επίσης, ο «βαθμός κλίσης» του η ευθεία εξαρτάται από την τιμή του συντελεστή k. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 9, όπου σε ένα σύστημα συντεταγμένων απεικονίζονται γραφικάγραμμικές συναρτήσεις y = kx για τρεις τιμές του συντελεστή
Ας επιστρέψουμε στη συνάρτηση y = kx 2. Ας μάθουμε πώς έχουν τα πράγματα στην περίπτωση ενός αρνητικού συντελεστή ft. Ας φτιάξουμε, για παράδειγμα, ένα γράφημα της συνάρτησης
y = - x 2 (εδώ k = - 1). Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα τιμών:
Σημειώστε τους βαθμούς (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) στο επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 10). σκιαγραφούν μια συγκεκριμένη γραμμή, ας την τραβήξουμε (Εικ. 11). Αυτή είναι μια παραβολή με την κορυφή της στο σημείο (0; 0), ο άξονας y είναι ο άξονας συμμετρίας, αλλά σε αντίθεση με την περίπτωση που k > 0, αυτή τη φορά οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω. Η κατάσταση είναι παρόμοια και για άλλους αρνητικές τιμέςσυντελεστής k.
Άρα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι μια παραβολή με την κορυφή της στην αρχή. ο άξονας y είναι ο άξονας της παραβολής. οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω στο k>0 u προς τα κάτω στο k<0.
Ας σημειώσουμε επίσης ότι η παραβολή y = kx 2 αγγίζει τον άξονα x στο σημείο (0; 0), δηλαδή ο ένας κλάδος της παραβολής περνά ομαλά στον άλλο, σαν να πιέζει τον άξονα x.
Αν ενσωματωθεί σε ένα σύστημα συντεταγμένων γραφήματα συναρτήσεων y = x 2 και y = - x2, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι αυτές οι παραβολές είναι συμμετρικές μεταξύ τους ως προς τον άξονα x, ο οποίος είναι σαφώς ορατός στο Σχήμα. 12. Με τον ίδιο τρόπο, οι παραβολές y = 2x 2 και y = - 2x 2 είναι συμμετρικές μεταξύ τους σε σχέση με τον άξονα x (μην είστε τεμπέλης, κατασκευάστε αυτές
δύο παραβολές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και βεβαιωθείτε ότι η πρόταση είναι αληθής).
Γενικά, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - f(x) είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) σε σχέση με τον άξονα x.
Ιδιότητες της συνάρτησης y = kx 2 για k > 0
Περιγράφοντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, θα βασιστούμε στο γεωμετρικό της μοντέλο - μια παραβολή (Εικ. 13).
1. Εφόσον για οποιαδήποτε τιμή του x η αντίστοιχη τιμή του y μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y = kx 2, η συνάρτηση ορίζεται σε οποιοδήποτε σημείο x (για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος x). Εν ολίγοις, γράφεται ως εξής: το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι (-oo, +oo), δηλαδή ολόκληρη η γραμμή συντεταγμένων.
2. y = 0 στο x = 0; y > O στο . Αυτό μπορεί επίσης να φανεί από το γράφημα της συνάρτησης (βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα x), αλλά μπορεί να δικαιολογηθεί χωρίς τη βοήθεια γραφήματος: αν
Τότε kx 2 > O ως γινόμενο δύο θετικών αριθμών k και x 2 .
3. y = kx 2 - συνεχής συνάρτηση. Ας θυμηθούμε ότι προς το παρόν θεωρούμε αυτόν τον όρο ως συνώνυμο της πρότασης «η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι μια συμπαγής γραμμή που μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί». Στις υψηλότερες τάξεις, θα δοθεί μια πιο ακριβής μαθηματική ερμηνεία της έννοιας της συνέχειας μιας συνάρτησης, χωρίς να βασίζεται σε γεωμετρική απεικόνιση.
4.y/ naim = 0 (επιτεύχθηκε σε x = 0); nai6 δεν υπάρχει.
Να σας υπενθυμίσουμε ότι (/name is μικρότερη τιμήλειτουργίες και Unaib. - τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα. εάν το διάστημα δεν καθορίζεται, τότε unaim- και y naib, - αντίστοιχα, το μικρότερο και υψηλότερη τιμήλειτουργίες στον τομέα του ορισμού.
5. Η συνάρτηση y = kx 2 αυξάνεται ως x > O και μειώνεται ως x< 0.
Ας θυμηθούμε ότι στο μάθημα της άλγεβρας της 7ης τάξης συμφωνήσαμε να καλέσουμε μια συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση στο υπό εξέταση διάστημα πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά σαν «ανηφόρα», αυξανόμενη και λειτουργία, η γραφική παράσταση της οποίας στο διάστημα που εξετάζουμε πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά, σαν «κατηφόρα», μειώνεται. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να πούμε το εξής: η συνάρτηση y = f (x) λέγεται ότι αυξάνεται στο διάστημα X αν σε αυτό το διάστημα υψηλότερη τιμήτο όρισμα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή συνάρτησης. μια συνάρτηση y = f (x) λέγεται ότι μειώνεται σε ένα διάστημα X εάν σε αυτό το διάστημα μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Στο εγχειρίδιο Άλγεβρα 7, ονομάσαμε τη διαδικασία της απαρίθμησης των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης που διαβάζει γράφημα. Η διαδικασία της ανάγνωσης ενός γραφήματος θα γίνει σταδιακά πιο πλούσια και πιο ενδιαφέρουσα καθώς μαθαίνουμε νέες ιδιότητες συναρτήσεων. Συζητήσαμε τις πέντε ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω στην 7η τάξη για τις λειτουργίες που μελετήσαμε εκεί. Ας προσθέσουμε ένα νέο ακίνητο.
Μια συνάρτηση y = f(x) ονομάζεται δεσμευμένη παρακάτω εάν όλες οι τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερες από έναν ορισμένο αριθμό. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από ένα ορισμένο ευθεία, παράλληλα με τον άξονα x.
Τώρα κοιτάξτε: το γράφημα της συνάρτησης y = kx 2 βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή y = - 1 (ή y = - 2, δεν έχει σημασία) - φαίνεται στο Σχ. 13. Αυτό σημαίνει ότι η y - kx2 (k > 0) είναι μια συνάρτηση που οριοθετείται από κάτω.
Μαζί με τις συναρτήσεις που οριοθετούνται παρακάτω, εξετάζονται και οι συναρτήσεις που οριοθετούνται παραπάνω. Μια συνάρτηση y - f(x) λέγεται ότι οριοθετείται από πάνω αν όλες οι τιμές της συνάρτησης είναι μικρότερες από έναν ορισμένο αριθμό. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από κάποια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x.
Υπάρχει τέτοια ευθεία για την παραβολή y = kx 2, όπου k > 0; Οχι. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν είναι άνω όριο.
Λοιπόν, έχουμε ένα ακόμη ακίνητο, ας το προσθέσουμε στα πέντε που αναφέρονται παραπάνω.
6. Η συνάρτηση y = kx 2 (k > 0) οριοθετείται από κάτω και όχι οριοθετημένη από πάνω.
Ιδιότητες της συνάρτησης y = kx 2 για k< 0
Όταν περιγράφουμε τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, βασιζόμαστε στα γεωμετρικά της μοντέλο- παραβολή (Εικ. 14).
1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι (-oo, +oo).
2. y = 0 στο x = 0; στο< 0 при .
Z.y = kx 2 - συνεχής συνάρτηση.
4. y nai6 = 0 (επιτεύχθηκε στο x = 0), το unaim δεν υπάρχει.
5. Η συνάρτηση αυξάνεται όσο x< 0, убывает при х > 0.
6.Η λειτουργία περιορίζεται από πάνω και δεν περιορίζεται από κάτω.
Ας εξηγήσουμε την τελευταία ιδιότητα: υπάρχει μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα x (για παράδειγμα, y = 1, σχεδιάζεται στο Σχ. 14), έτσι ώστε ολόκληρη η παραβολή να βρίσκεται κάτω από αυτήν την ευθεία γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση περιορίζεται παραπάνω. Από την άλλη πλευρά, είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα x έτσι ώστε ολόκληρη η παραβολή να βρίσκεται πάνω από αυτήν την ευθεία γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν περιορίζεται παρακάτω.
Η σειρά των κινήσεων που χρησιμοποιείται παραπάνω κατά την απαρίθμηση των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης δεν είναι νόμος, εφόσον έχει αναπτυχθεί χρονολογικά με αυτόν τον τρόπο.
Θα αναπτύξουμε μια λίγο πολύ συγκεκριμένη σειρά κινήσεων σταδιακά και θα την ενοποιήσουμε στο μάθημα της άλγεβρας της 9ης τάξης.
Παράδειγμα 1.Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης y = 2x 2 στο τμήμα: α) ; β) [- 2, - 1]; γ) [- 1, 1,5].
α) Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x2 και ας τονίσουμε το μέρος της στο τμήμα (Εικ. 15). Σημειώνουμε ότι 1/όνομα. = 0 (επιτεύχθηκε σε x = 0), και y max = 8 (επιτεύχθηκε σε x = 2).
β) Ας κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x2 και ας τονίσουμε το τμήμα της στο τμήμα [- 2, - 1] (Εικ. 16). Σημειώνουμε ότι 2/max = 2 (επιτεύχθηκε σε x = - 1), και y max = 8 (επιτεύχθηκε σε x = - 2).
γ) Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x2 και ας τονίσουμε το μέρος της στο τμήμα [- 1, 1.5] (Εικ. 17). Σημειώνουμε ότι unanm = 0 (επιτυγχάνεται στο x = 0), και το y επιτυγχάνεται περισσότερο στο σημείο x = 1,5. Ας υπολογίσουμε αυτή την τιμή: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Άρα, y max =4,5.
Παράδειγμα 2.Λύστε την εξίσωση - x 2 = 2x - 3.
Λύση. Στο σχολικό βιβλίο «Άλγεβρα-7» αναπτύξαμε αλγόριθμοςγραφική λύση εξισώσεων, ας την θυμηθούμε.
Για να λύσετε γραφικά την εξίσωση f(x) = g (x), χρειάζεστε:
1) θεωρήστε δύο συναρτήσεις y = -x 2 και y = 2x -3.
2) Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης i/ = / (x);
3) να δημιουργήσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = g (x);
4) βρείτε τα σημεία τομής των κατασκευασμένων γραφημάτων. τετμημένος-
Το sys αυτών των σημείων είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g (x).
Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον αλγόριθμο σε δεδομένη εξίσωση.
1) Θεωρήστε δύο συναρτήσεις: y = - x2 και y = 2x - 3.
2) Ας κατασκευάσουμε μια παραβολή - μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - x 2 (Εικ. 18).
3) Ας κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x - 3. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή για να την κατασκευάσουμε, αρκεί να βρούμε οποιαδήποτε δύο σημεία στο γράφημα. Αν x = 0, τότε y = - 3; αν x = 1, τότε y = -1. Έτσι, βρήκαμε δύο σημεία (0; -3) και (1; -1). Η ευθεία που διέρχεται από αυτά τα δύο σημεία (γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x - 3) φαίνεται στο ίδιο σχέδιο (βλ. Εικ. 18).
4) Σύμφωνα με το σχέδιο, βρίσκουμε ότι η ευθεία και η παραβολή τέμνονται σε δύο σημεία Α(1; -1) και Β(-3; -9). Που σημαίνει, δεδομένη εξίσωσηέχει δύο ρίζες: 1 και - 3 - αυτές είναι οι τετμημένες των σημείων Α και Β.
Απάντηση: 1,-3.
Σχόλιο.Φυσικά, δεν μπορείτε να εμπιστευτείτε τυφλά τις γραφικές απεικονίσεις. Ίσως απλώς μας φαίνεται ότι το σημείο Α έχει συντεταγμένες (1; - 1), αλλά στην πραγματικότητα είναι διαφορετικές, για παράδειγμα (0,98; - 1,01);
Επομένως, είναι πάντα χρήσιμο να ελέγχετε τον εαυτό σας. Έτσι, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι το σημείο A(1; -1) ανήκει στην παραβολή y = - x 2 (αυτό είναι εύκολο - απλώς αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου Α στον τύπο y = - x 2 λαμβάνουμε - 1 = - 1 2 - σωστή αριθμητική ισότητα) και την ευθεία y = 2x - 3 (και αυτό είναι εύκολο - απλώς αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου Α στον τύπο y = 2x - 3, παίρνουμε - 1 = ; 2-3 - η σωστή αριθμητική ισότητα). Το ίδιο πρέπει να γίνει και για το σημείο 8. Αυτός ο έλεγχος δείχνει ότι στην εξίσωση που εξετάστηκε, οι γραφικές παρατηρήσεις οδήγησαν στο σωστό αποτέλεσμα.
Παράδειγμα 3.Λύστε το σύστημα
Λύση. Ας μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή y = - x 2. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή που φαίνεται στο Σχ. 18.
Ας μετατρέψουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος στη μορφή y = 2x - 3. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι η ευθεία γραμμή που φαίνεται στο Σχ. 18.
Η παραβολή και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α (1; -1) και Β (- 3; - 9). Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων χρησιμεύουν ως λύσεις σε ένα δεδομένο σύστημα εξισώσεων.
Απάντηση: (1; -1), (-3; -9).
Παράδειγμα 4. Δίνεται συνάρτηση y - f (x), όπου
Απαιτείται:
α) Υπολογίστε f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);
β) να κατασκευάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης.
γ) χρησιμοποιήστε ένα γράφημα για να παραθέσετε τις ιδιότητες της συνάρτησης.
α) Η τιμή x = - 4 ικανοποιεί τη συνθήκη - επομένως, η f(-4) πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την πρώτη γραμμή της προδιαγραφής της συνάρτησης Έχουμε f(x) = - 0,5x2, που σημαίνει f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Παρομοίως βρίσκουμε:
f(-2) = -0,5 .
(-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 .
0 2 = 0.
Η τιμή ικανοποιεί τη συνθήκη, επομένως πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη δεύτερη γραμμή της προδιαγραφής λειτουργίας. Έχουμε f(x) = x + 1, που σημαίνει 
Η τιμή x = 1,5 ικανοποιεί τη συνθήκη 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Ομοίως παίρνουμε f(2)= 2 .
2 2 =8.
Η τιμή x = 3 δεν ικανοποιεί καμία από τις τρεις συνθήκες για τον καθορισμό της συνάρτησης, και επομένως η f(3) στο σε αυτήν την περίπτωσηδεν μπορεί να υπολογιστεί, το σημείο x = 3 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η εργασία του υπολογισμού της f(3) είναι λανθασμένη.
β) Θα φτιάξουμε το γράφημα «κομμάτι-κομμάτι». Αρχικά, ας κατασκευάσουμε μια παραβολή y = -0,5x 2 και ας επιλέξουμε το τμήμα της στο τμήμα [-4, 0] (Εικ. 19). Στη συνέχεια κατασκευάζουμε την ευθεία y = x + 1 u. Ας επιλέξουμε το μέρος της στο μισό διάστημα (0, 1] (Εικ. 20) Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε μια παραβολή y = 2x2 και θα επιλέξουμε το μέρος της στο μισό διάστημα (1, 2] (Εικ. 21).
Τέλος, θα απεικονίσουμε και τα τρία «κομμάτια» σε ένα σύστημα συντεταγμένων. παίρνουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) (Εικ. 22).
γ) Ας παραθέσουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης ή, όπως συμφωνήσαμε να πούμε, ας διαβάσουμε το γράφημα.
1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το τμήμα [-4, 2].
2. y = 0 στο x = 0; y > 0 στο 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.
3. Η συνάρτηση υφίσταται ασυνέχεια στο x = 0.
4. Η συνάρτηση αυξάνεται στο τμήμα [-4, 2].
5. Η λειτουργία περιορίζεται τόσο από κάτω όσο και από πάνω.
6. y max = -8 (επιτεύχθηκε σε x = -4); y περισσότερα6. = 8 (επιτεύχθηκε σε x = 2).
Παράδειγμα 5.Δίνεται η συνάρτηση y = f(x), όπου f(x) = 3x 2. Εύρημα.
Μια συνάρτηση της μορφής όπου καλείται τετραγωνική λειτουργία.
Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης – παραβολή.
Ας δούμε τις περιπτώσεις:
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΒΟΛΑ
Αυτό είναι , ,
Για την κατασκευή, συμπληρώστε τον πίνακα αντικαθιστώντας τις τιμές x στον τύπο:
Σημειώστε τους πόντους (0;0). (1;1); (-1;1) κ.λπ. στο επίπεδο συντεταγμένων (όσο μικρότερο είναι το βήμα που κάνουμε οι τιμές x (σε αυτή την περίπτωση, βήμα 1) και όσο περισσότερες τιμές x πάρουμε, τόσο πιο ομαλή θα είναι η καμπύλη), παίρνουμε μια παραβολή:
Είναι εύκολο να δούμε ότι αν πάρουμε την περίπτωση , , , δηλαδή, τότε παίρνουμε μια παραβολή που είναι συμμετρική ως προς τον άξονα (ω). Είναι εύκολο να το επαληθεύσετε συμπληρώνοντας έναν παρόμοιο πίνακα:
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ II, το "a" ΔΙΑΦΕΡΕΙ ΑΠΟ ΤΗ ΜΟΝΑΔΑ
Τι θα συμβεί αν πάρουμε , , ; Πώς θα αλλάξει η συμπεριφορά της παραβολής; Με title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Στην πρώτη εικόνα (βλ. παραπάνω) φαίνεται καθαρά ότι τα σημεία από τον πίνακα για την παραβολή (1;1), (-1;1) μετατράπηκαν σε σημεία (1;4), (1;-4), δηλαδή με τις ίδιες τιμές η τεταγμένη κάθε σημείου πολλαπλασιάζεται επί 4. Αυτό θα συμβεί σε όλα τα βασικά σημεία του αρχικού πίνακα. Ομοίως συλλογιζόμαστε στις περιπτώσεις των εικόνων 2 και 3.
Και όταν η παραβολή «γίνεται ευρύτερη» από την παραβολή:
Ας συνοψίσουμε:
1)Το πρόσημο του συντελεστή καθορίζει την κατεύθυνση των κλαδιών. Με title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Απόλυτη τιμήο συντελεστής (modulus) είναι υπεύθυνος για την «διαστολή» και τη «συμπίεση» της παραβολής. Όσο μεγαλύτερη, τόσο στενότερη είναι η παραβολή, τόσο μικρότερη είναι η παραβολή.
ΙΙΙ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, «Γ» ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ
Τώρα ας εισαγάγουμε στο παιχνίδι (δηλαδή, εξετάστε την περίπτωση πότε), θα εξετάσουμε τις παραβολές της μορφής . Δεν είναι δύσκολο να μαντέψετε (μπορείτε πάντα να ανατρέξετε στον πίνακα) ότι η παραβολή θα μετακινηθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα ανάλογα με το πρόσημο:
IV ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, «b» ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ
Πότε θα «απομακρυνθεί» η παραβολή από τον άξονα και τελικά θα «βαδίσει» σε όλο το επίπεδο συντεταγμένων; Πότε θα πάψει να είναι ίσο;
Εδώ για να κατασκευάσουμε μια παραβολή χρειαζόμαστε τύπος για τον υπολογισμό της κορυφής: , .
Σε αυτό το σημείο λοιπόν (όπως και στο σημείο (0;0) του νέου συστήματος συντεταγμένων) θα φτιάξουμε μια παραβολή, την οποία μπορούμε ήδη να κάνουμε. Εάν ασχολούμαστε με την περίπτωση, τότε από την κορυφή βάζουμε ένα τμήμα μονάδας προς τα δεξιά, ένα προς τα πάνω, - το σημείο που προκύπτει είναι δικό μας (ομοίως, ένα βήμα προς τα αριστερά, ένα βήμα προς τα πάνω είναι το σημείο μας). αν έχουμε να κάνουμε, για παράδειγμα, τότε από την κορυφή βάζουμε ένα τμήμα μονάδας προς τα δεξιά, δύο - προς τα πάνω κ.λπ.
Για παράδειγμα, η κορυφή μιας παραβολής:
Τώρα το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι σε αυτή την κορυφή θα κατασκευάσουμε μια παραβολή σύμφωνα με το μοτίβο της παραβολής, γιατί στην περίπτωσή μας.
Κατά την κατασκευή μιας παραβολής αφού βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής πολύΕίναι βολικό να λάβετε υπόψη τα ακόλουθα σημεία:
1) παραβολή σίγουρα θα περάσει από το σημείο . Πράγματι, αντικαθιστώντας x=0 στον τύπο, παίρνουμε ότι . Δηλαδή η τεταγμένη του σημείου τομής της παραβολής με τον άξονα (oy) είναι . Στο παράδειγμά μας (παραπάνω), η παραβολή τέμνει την τεταγμένη στο σημείο , αφού .
2) ΑΞΟΝΑΣ συμμετριας παραβολές είναι μια ευθεία γραμμή, οπότε όλα τα σημεία της παραβολής θα είναι συμμετρικά ως προς αυτήν. Στο παράδειγμά μας, παίρνουμε αμέσως το σημείο (0; -2) και το κατασκευάζουμε συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας της παραβολής, παίρνουμε το σημείο (4; -2) από το οποίο θα περάσει η παραβολή.
3) Εξισώνοντας με , βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα (ω). Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση. Ανάλογα με το διακριτικό, θα λάβουμε ένα (, ), δύο ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Στο προηγούμενο παράδειγμα, η ρίζα του διαχωριστή δεν είναι ακέραιος όταν κατασκευάζουμε, δεν έχει πολύ νόημα να βρούμε τις ρίζες, αλλά βλέπουμε καθαρά ότι θα έχουμε δύο σημεία τομής με τον άξονα (ω) (από τον τίτλο="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Ας το λύσουμε λοιπόν
Αλγόριθμος κατασκευής παραβολής αν δίνεται στη μορφή
1) προσδιορίστε την κατεύθυνση των κλαδιών (a>0 – επάνω, α<0 – вниз)
2) βρίσκουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής χρησιμοποιώντας τον τύπο , .
3) βρίσκουμε το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα (oy) χρησιμοποιώντας τον ελεύθερο όρο, κατασκευάζουμε ένα σημείο συμμετρικό σε αυτό το σημείο ως προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (θα πρέπει να σημειωθεί ότι συμβαίνει να είναι ασύμφορο να επισημάνουμε αυτό το σημείο, για παράδειγμα, επειδή η τιμή είναι μεγάλη... παραλείπουμε αυτό το σημείο...)
4) Στο σημείο που βρέθηκε - την κορυφή της παραβολής (όπως στο σημείο (0;0) του νέου συστήματος συντεταγμένων) κατασκευάζουμε μια παραβολή. If title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα (oy) (αν δεν έχουν ακόμη «ανέβει στην επιφάνεια») λύνοντας την εξίσωση
Παράδειγμα 1
Παράδειγμα 2
Σημείωση 1.Εάν η παραβολή αρχικά μας δοθεί με τη μορφή , όπου υπάρχουν κάποιοι αριθμοί (για παράδειγμα, ), τότε θα είναι ακόμα πιο εύκολο να την κατασκευάσουμε, γιατί μας έχουν ήδη δοθεί οι συντεταγμένες της κορυφής. Γιατί;
Ας πάρουμε τετραγωνικό τριώνυμοκαι τονίζουν σε αυτό Τέλειο τετράγωνο: Κοίτα, το καταλάβαμε, . Εσείς και εγώ ονομάζαμε προηγουμένως την κορυφή μιας παραβολής, δηλαδή τώρα,.
Για παράδειγμα, . Σημειώνουμε την κορυφή της παραβολής στο επίπεδο, καταλαβαίνουμε ότι τα κλαδιά κατευθύνονται προς τα κάτω, η παραβολή διαστέλλεται (σε σχέση με ). Δηλαδή εκτελούμε τα σημεία 1. 3; 4; 5 από τον αλγόριθμο κατασκευής παραβολής (βλ. παραπάνω).
Σημείωση 2.Αν η παραβολή δίνεται με παρόμοια μορφή (δηλαδή παρουσιάζεται ως γινόμενο δύο γραμμικών παραγόντων), τότε βλέπουμε αμέσως τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα (βόδι). Σε αυτήν την περίπτωση – (0;0) και (4;0). Για τα υπόλοιπα ενεργούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο ανοίγοντας τις αγκύλες.