Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Χίλμπερτ... Όλοι τους θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του ζητήματος. ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.
Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην πηδάτε σε ανταποδοτικά. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτή την απορία λογικό παράδοξομπορεί να ξεπεραστεί πολύ απλά - αρκεί να διευκρινιστεί ότι σε κάθε χρονική στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, το οποίο, στην πραγματικότητα, είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημείαχώρο σε μια χρονική στιγμή, αλλά είναι αδύνατο να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζονται ακόμα πρόσθετα δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Αυτό που θέλω να επισημάνω ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές δυνατότητεςγια έρευνα.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται πολύ καλά στη Wikipedia. Ας δούμε.
Όπως μπορείτε να δείτε, "δεν μπορούν να υπάρχουν δύο πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο", αλλά εάν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται "πολυσύνολο". Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια παράλογη λογική. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, που δεν έχουν νοημοσύνη από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί λειτουργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.
Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα ενώ δοκίμαζαν τη γέφυρα. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.
Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον, «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τις συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.
Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και βγάζουμε μισθούς. Έρχεται λοιπόν σε εμάς ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια, παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο του μισθού» του. Ας εξηγήσουμε στον μαθηματικό ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι ένα σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με ένα σύνολο με πανομοιότυπα στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.
Πρώτα απ 'όλα, θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: "Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλους, αλλά όχι σε μένα!" Τότε θα αρχίσουν να μας καθησυχάζουν ότι τα χαρτονομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας έχουν διαφορετικούς αριθμούς λογαριασμού, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν τα ίδια στοιχεία. Εντάξει, ας μετρήσουμε τους μισθούς σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται μανιωδώς τη φυσική: διαφορετικά νομίσματα έχουν διαφορετικές ποσότητες βρωμιάς, η κρυσταλλική δομή και η διάταξη των ατόμων είναι μοναδική για κάθε νόμισμα...
Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού βρίσκεται η γραμμή πέρα από την οποία τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και αντίστροφα; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη δεν είναι καν κοντά στο να ψεύδεται εδώ.
Δες εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Οι περιοχές των πεδίων είναι οι ίδιες - που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν δούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι και σύνολο και πολυσύνολο. Ποιο είναι το σωστό; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-αιχμηρός βγάζει έναν άσσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.
Για να καταλάβετε πώς σύγχρονους σαμάνουςλειτουργούν με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».
Κυριακή 18 Μαρτίου 2018
Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά γι' αυτό είναι σαμάνοι, για να μάθουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.
Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν εύκολα.
Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και λοιπόν, ας έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.
1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι έχουμε κάνει; Μετατρέψαμε τον αριθμό σε σύμβολο γραφικού αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
2. Κόβουμε μια εικόνα που προκύπτει σε πολλές εικόνες που περιέχουν μεμονωμένους αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.
3. Μετατρέψτε μεμονωμένα γραφικά σύμβολα σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα είναι μαθηματικά.
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» που διδάσκονται από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.
Από μαθηματική άποψη, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε έναν αριθμό. Έτσι, μέσα διαφορετικά συστήματαΣτον λογισμό, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. ΜΕ ένας μεγάλος αριθμός 12345 Δεν θέλω να κοροϊδέψω το κεφάλι μου, ας δούμε τον αριθμό 26 από το άρθρο για το . Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα κάτω από ένα μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.
Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι το ίδιο σαν να προσδιορίζατε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά, θα είχατε εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα.
Το μηδέν φαίνεται το ίδιο σε όλα τα συστήματα αριθμών και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι. Ερώτηση για μαθηματικούς: πώς ορίζεται κάτι που δεν είναι αριθμός στα μαθηματικά; Τι, για τους μαθηματικούς δεν υπάρχει τίποτα εκτός από αριθμούς; Μπορώ να το επιτρέψω για σαμάνους, αλλά όχι για επιστήμονες. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.
Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα συστήματα αριθμών είναι μονάδες μέτρησης για αριθμούς. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα μετά τη σύγκριση τους, τότε αυτό δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.
Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής πράξης δεν εξαρτάται από το μέγεθος του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.
Ω! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νεαρή γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της άφιλης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψή τους στον ουρανό! Φωτοστέφανο στην κορυφή και βέλος επάνω. Τι άλλη τουαλέτα;
Θηλυκό... Το φωτοστέφανο από πάνω και το βέλος κάτω είναι αρσενικό.
Εάν ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,
Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:
Προσωπικά, προσπαθώ να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (μια σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός βαθμού). Και δεν νομίζω ότι αυτό το κορίτσι είναι ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα ισχυρό στερεότυπο για την αντίληψη γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.
Το 1Α δεν είναι «μείον τέσσερις μοίρες» ή «ένα α». Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" σε δεκαεξαδικό συμβολισμό. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα έναν αριθμό και ένα γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.
Μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Είναι σχεδόν το ίδιο με το προηγούμενο μάθημα. Υπάρχουν άξονες, κύκλος, γωνία, όλα είναι εντάξει. Προστέθηκαν αριθμοί τετάρτου (στις γωνίες του μεγάλου τετραγώνου) - από το πρώτο έως το τέταρτο. Τι γίνεται αν κάποιος δεν ξέρει; Όπως μπορείτε να δείτε, τέταρτα (λέγονται επίσης μια όμορφη λέξη"τεταρτημόρια") αριθμούνται αριστερόστροφα. Προστέθηκαν τιμές γωνίας σε άξονες. Όλα είναι ξεκάθαρα, κανένα πρόβλημα.
Και προστίθεται ένα πράσινο βέλος. Με ένα συν. Τι σημαίνει αυτό; Να σας θυμίσω ότι η σταθερή πλευρά της γωνίας Πάντοτε καρφωμένο στον θετικό ημιάξονα ΟΧ. Έτσι, αν περιστρέψουμε την κινητή πλευρά της γωνίας κατά μήκος του βέλους με ένα συν, δηλ. με αύξουσα σειρά αριθμών τριμήνου, η γωνία θα θεωρείται θετική.Για παράδειγμα, η εικόνα δείχνει μια θετική γωνία +60°.
Αν αφήσουμε στην άκρη τις γωνίες προς την αντίθετη κατεύθυνση, δεξιόστροφα, η γωνία θα θεωρείται αρνητική.Τοποθετήστε το δείκτη του ποντικιού πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας), θα δείτε ένα μπλε βέλος με το σύμβολο μείον. Αυτή είναι η κατεύθυνση της ανάγνωσης αρνητικής γωνίας. Για παράδειγμα, εμφανίζεται μια αρνητική γωνία (- 60°). Και θα δείτε επίσης πώς έχουν αλλάξει οι αριθμοί στους άξονες... Τους μετέτρεψα και σε αρνητικές γωνίες. Η αρίθμηση των τεταρτημορίων δεν αλλάζει.
Εδώ συνήθως ξεκινούν οι πρώτες παρεξηγήσεις. Πώς έτσι!? Τι γίνεται αν μια αρνητική γωνία σε έναν κύκλο συμπίπτει με μια θετική!; Και γενικά, αποδεικνύεται ότι η ίδια θέση της κινούμενης πλευράς (ή σημείου στον αριθμητικό κύκλο) μπορεί να ονομαστεί και αρνητική και θετική γωνία!;
Ναί. Αυτό είναι σωστό. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική γωνία 90 μοιρών παίρνει έναν κύκλο ακριβώς το ίδιο θέση ως αρνητική γωνία μείον 270 μοιρών. Μια θετική γωνία, για παράδειγμα, παίρνει +110° μοίρες ακριβώς το ίδιο θέση ως αρνητική γωνία -250°.
Καμία ερώτηση. Οτιδήποτε είναι σωστό.) Η επιλογή του υπολογισμού θετικής ή αρνητικής γωνίας εξαρτάται από τις συνθήκες της εργασίας. Αν η συνθήκη δεν λέει τίποτα σε σαφές κείμενο σχετικά με το πρόσημο της γωνίας, (όπως "προσδιορίστε το μικρότερο θετικόςγωνία», κ.λπ.), τότε εργαζόμαστε με αξίες που μας βολεύουν.
Η εξαίρεση (πώς θα μπορούσαμε να ζήσουμε χωρίς αυτά;!) είναι οι τριγωνομετρικές ανισότητες, αλλά εκεί θα κατακτήσουμε αυτό το κόλπο.
Και τώρα μια ερώτηση για εσάς. Πώς ήξερα ότι η θέση της γωνίας 110° είναι ίδια με τη θέση της γωνίας -250°;
Επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω ότι αυτό συνδέεται με μια πλήρη επανάσταση. Σε 360°... Δεν είναι σαφές; Στη συνέχεια σχεδιάζουμε έναν κύκλο. Το σχεδιάζουμε μόνοι μας, σε χαρτί. Σήμανση της γωνίας περίπου 110°. ΚΑΙ νομίζουμε, πόσος χρόνος απομένει μέχρι μια πλήρη επανάσταση. Θα μείνουν μόλις 250°...
Κατάλαβες; Και τώρα - προσοχή! Αν οι γωνίες 110° και -250° καταλαμβάνουν κύκλο το ίδιο πράγμα
κατάσταση, τότε τι; Ναι, οι γωνίες είναι 110° και -250° ακριβώς το ίδιο
ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη!
Εκείνοι. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) και ούτω καθεξής. Τώρα αυτό είναι πραγματικά σημαντικό! Και από μόνη της, υπάρχουν πολλές εργασίες όπου πρέπει να απλοποιήσετε τις εκφράσεις και ως βάση για την επακόλουθη γνώση των τύπων μείωσης και άλλων περιπλοκών της τριγωνομετρίας.
Φυσικά πήρα 110° και -250° τυχαία, καθαρά ως παράδειγμα. Όλες αυτές οι ισότητες λειτουργούν για οποιεσδήποτε γωνίες καταλαμβάνουν την ίδια θέση στον κύκλο. 60° και -300°, -75° και 285°, και ούτω καθεξής. Επιτρέψτε μου να σημειώσω αμέσως ότι οι γωνίες σε αυτά τα ζεύγη είναι διαφορετικός.Αλλά έχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις - απαράλλακτος.
Νομίζω ότι καταλαβαίνεις ποιες είναι οι αρνητικές γωνίες. Είναι αρκετά απλό. Αριστερόστροφα - θετική μέτρηση. Στην πορεία - αρνητικό. Θεωρήστε τη γωνία θετική ή αρνητική εξαρτάται από εμάς. Από την επιθυμία μας. Λοιπόν, και επίσης από την εργασία, φυσικά... Ελπίζω να καταλαβαίνετε πώς να μετακινηθείτε από αρνητικές γωνίες σε θετικές γωνίες και πίσω στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Σχεδιάστε έναν κύκλο, μια κατά προσέγγιση γωνία και δείτε πόσα λείπουν για να ολοκληρώσετε μια πλήρη περιστροφή, δηλ. έως 360°.
Γωνίες μεγαλύτερες από 360°.
Ας ασχοληθούμε με γωνίες που είναι μεγαλύτερες από 360°. Υπάρχουν τέτοια πράγματα; Υπάρχουν φυσικά. Πώς να τα σχεδιάσετε σε έναν κύκλο; Κανένα πρόβλημα! Ας πούμε ότι πρέπει να καταλάβουμε σε ποιο τέταρτο θα πέσει μια γωνία 1000°; Εύκολα! Κάνουμε μια πλήρη στροφή αριστερόστροφα (η γωνία που μας δόθηκε είναι θετική!). Γυρίσαμε προς τα πίσω 360°. Λοιπόν, ας προχωρήσουμε! Μια ακόμη στροφή - είναι ήδη 720°. Πόσοι έχουν μείνει; 280°. Δεν είναι αρκετό για μια πλήρη στροφή... Αλλά η γωνία είναι μεγαλύτερη από 270° - και αυτό είναι το όριο μεταξύ του τρίτου και του τέταρτου τριμήνου. Επομένως, η γωνία μας των 1000° πέφτει στο τέταρτο τέταρτο. Ολοι.
Όπως μπορείτε να δείτε, είναι αρκετά απλό. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι η γωνία των 1000° και η γωνία των 280°, που αποκτήσαμε απορρίπτοντας τις «επιπλέον» πλήρεις στροφές, είναι, αυστηρά, διαφορετικόςγωνίες. Αλλά οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών ακριβώς το ίδιο! Εκείνοι. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280°, κ.λπ. Αν ήμουν ημιτόνιο, δεν θα παρατηρούσα τη διαφορά μεταξύ αυτών των δύο γωνιών...
Γιατί χρειάζονται όλα αυτά; Γιατί πρέπει να μετατρέψουμε τις γωνίες από τη μία στην άλλη; Ναι, όλα για το ίδιο πράγμα.) Για να απλοποιηθούν οι εκφράσεις. Απλοποίηση των εκφράσεων, μάλιστα, κύριο καθήκονσχολικά μαθηματικά. Λοιπόν, και, στην πορεία, το κεφάλι είναι εκπαιδευμένο.)
Λοιπόν, ας εξασκηθούμε;)
Απαντάμε σε ερωτήσεις. Πρώτα τα απλά.
1. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η γωνία -325°;
2. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η γωνία 3000°;
3. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία -3000°;
Κανένα πρόβλημα; Ή αβεβαιότητα; Ας πάμε στην Ενότητα 555, Πρακτική εργασία με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Εκεί, στο πρώτο μάθημα αυτού του πολύ " Πρακτική εργασία...» όλα αναλυτικά... Στο τέτοιοςζητήματα αβεβαιότητας να είναι δεν πρέπει!
4. Τι πρόσημο έχει το sin555°;
5. Τι πρόσημο έχει το tg555°;
Έχετε αποφασίσει; Μεγάλος! Έχετε αμφιβολίες; Πρέπει να πάτε στην Ενότητα 555... Παρεμπιπτόντως, εκεί θα μάθετε να σχεδιάζετε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Πολύ χρήσιμο πράγμα.
Και τώρα τα ερωτήματα είναι πιο περίπλοκα.
6. Μειώστε την έκφραση sin777° στο ημίτονο της μικρότερης θετικής γωνίας.
7. Μειώστε την έκφραση cos777° στο συνημίτονο της μεγαλύτερης αρνητικής γωνίας.
8. Μειώστε την έκφραση cos(-777°) στο συνημίτονο της μικρότερης θετικής γωνίας.
9. Μειώστε την έκφραση sin777° στο ημίτονο της μεγαλύτερης αρνητικής γωνίας.
Τι, οι ερωτήσεις 6-9 σε μπέρδεψαν; Συνήθισέ το, στο Unified State Exam δεν βρίσκεις τέτοιες διατυπώσεις... Ας είναι, θα το μεταφράσω. Μόνο για σένα!
Οι λέξεις "φέρε μια έκφραση σε..." σημαίνουν να μεταμορφώσεις την έκφραση έτσι ώστε το νόημά της δεν έχει αλλάξειΕΝΑ εμφάνισηάλλαξε ανάλογα με την ανάθεση. Έτσι, στις εργασίες 6 και 9 πρέπει να πάρουμε ένα ημίτονο, μέσα στο οποίο υπάρχει μικρότερη θετική γωνία.Όλα τα άλλα δεν έχουν σημασία.
Θα δώσω τις απαντήσεις με τη σειρά (κατά παράβαση των κανόνων μας). Αλλά τι να κάνετε, υπάρχουν μόνο δύο σημάδια, και υπάρχουν μόνο τέσσερα τέταρτα... Δεν θα σας χαλάσει η επιλογή.
6. αμαρτία57°.
7. συν(-57°).
8. cos57°.
9. -sin(-57°)
Υποθέτω ότι οι απαντήσεις στις ερωτήσεις 6-9 μπέρδεψαν κάποιους. Ειδικά -sin(-57°), αλήθεια;) Πράγματι, στους στοιχειώδεις κανόνες για τον υπολογισμό των γωνιών υπάρχει χώρος για λάθη... Γι' αυτό έπρεπε να κάνω ένα μάθημα: "Πώς να προσδιορίσω τα σημάδια των συναρτήσεων και να δώσω γωνίες σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο;" Στην Ενότητα 555. Οι εργασίες 4 - 9 καλύπτονται εκεί. Καλά ταξινομημένο, με όλες τις παγίδες. Και είναι εδώ.)
Στο επόμενο μάθημα θα ασχοληθούμε με τα μυστηριώδη ακτίνια και τον αριθμό «Πι». Ας μάθουμε πώς να μετατρέπουμε εύκολα και σωστά τις μοίρες σε ακτίνια και το αντίστροφο. Και θα εκπλαγούμε να ανακαλύψουμε ότι αυτές οι βασικές πληροφορίες στον ιστότοπο αρκετά ήδη για να λύσετε ορισμένα προσαρμοσμένα προβλήματα τριγωνομετρίας!
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Σας επιτρέπει να καθορίσετε έναν αριθμό χαρακτηριστικών αποτελεσμάτων - ιδιότητες ημιτόνου, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε τρεις κύριες ιδιότητες. Το πρώτο από αυτά δηλώνει τα πρόσημα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας α ανάλογα με τη γωνία της οποίας το τέταρτο συντεταγμένων είναι α. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την ιδιότητα της περιοδικότητας, η οποία καθιερώνει τη μεταβλητότητα των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας α όταν αυτή η γωνία αλλάζει κατά ακέραιο αριθμό περιστροφών. Η τρίτη ιδιότητα εκφράζει τη σχέση μεταξύ των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των αντίθετων γωνιών α και -α.
Αν ενδιαφέρεστε για τις ιδιότητες των συναρτήσεων ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, τότε μπορείτε να τις μελετήσετε στην αντίστοιχη ενότητα του άρθρου.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Σημάδια ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης κατά τέταρτα
Κάτω από αυτή την παράγραφο θα εμφανίζεται η φράση «γωνία τετάρτου συντεταγμένων I, II, III και IV». Ας εξηγήσουμε ποιες είναι αυτές οι γωνίες.
Ας πάρουμε έναν μοναδιαίο κύκλο, σημειώνουμε πάνω του το σημείο εκκίνησης A(1, 0) και το περιστρέφουμε γύρω από το σημείο O κατά γωνία α, και θα υποθέσουμε ότι θα φτάσουμε στο σημείο A 1 (x, y).
Το λένε αυτό Η γωνία α είναι η γωνία του τεταρτημορίου συντεταγμένων I, II, III, IV, εάν το σημείο A 1 βρίσκεται στα τέταρτα I, II, III, IV, αντίστοιχα. αν η γωνία α είναι τέτοια ώστε το σημείο A 1 να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις συντεταγμένες Ox ή Oy, τότε αυτή η γωνία δεν ανήκει σε κανένα από τα τέσσερα τέταρτα.
Για λόγους σαφήνειας, εδώ είναι μια γραφική απεικόνιση. Τα παρακάτω σχέδια δείχνουν γωνίες περιστροφής 30, −210, 585 και −45 μοιρών, που είναι οι γωνίες των συντεταγμένων I, II, III και IV, αντίστοιχα.
Γωνίες 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …οι βαθμοί δεν ανήκουν σε κανένα από τα τέταρτα συντεταγμένων.
Τώρα ας καταλάβουμε ποια ζώδια έχουν τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής α, ανάλογα με το ποιο τέταρτο είναι η γωνία α.
Για το ημίτονο και το συνημίτονο αυτό είναι εύκολο να γίνει.
Εξ ορισμού, το ημίτονο της γωνίας α είναι η τεταγμένη του σημείου Α 1. Προφανώς, στα τέταρτα συντεταγμένων I και II είναι θετική, και στα τρίμηνα III και IV είναι αρνητική. Έτσι, το ημίτονο της γωνίας α έχει πρόσημο συν στο 1ο και 2ο τέταρτο και πρόσημο μείον στο 3ο και 6ο τέταρτο.
Με τη σειρά του, το συνημίτονο της γωνίας α είναι η τετμημένη του σημείου Α 1. Στο I και IV τρίμηνο είναι θετικό, και στο II και III τρίμηνο είναι αρνητικό. Κατά συνέπεια, οι τιμές του συνημιτόνου της γωνίας α στα τέταρτα I και IV είναι θετικές και στα τέταρτα II και III είναι αρνητικές.
Για να προσδιορίσετε τα σημεία κατά τέταρτα της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, πρέπει να θυμάστε τους ορισμούς τους: εφαπτομένη είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 προς την τετμημένη και η συνεφαπτομένη είναι η αναλογία της τετμημένης του σημείου A 1 προς την τεταγμένη. Στη συνέχεια από κανόνες για τη διαίρεση αριθμώνμε τα ίδια και διαφορετικά πρόσημα προκύπτει ότι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν πρόσημο συν όταν τα σημεία τετμημένης και τεταγμένης του σημείου A 1 είναι τα ίδια και έχουν πρόσημο μείον όταν η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου A 1 είναι διαφορετικά. Κατά συνέπεια, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της γωνίας έχουν πρόσημο + στα τέταρτα συντεταγμένων I και III και πρόσημο μείον στα τέταρτα II και IV.
Πράγματι, για παράδειγμα, στο πρώτο τέταρτο και η τετμημένη x και η τεταγμένη y του σημείου A 1 είναι θετικές, τότε και το πηλίκο x/y και το πηλίκο y/x είναι θετικά, επομένως, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν πρόσημο +. Και στο δεύτερο τέταρτο, η τετμημένη x είναι αρνητική και η τεταγμένη y είναι θετική, επομένως και οι δύο x/y και y/x είναι αρνητικές, επομένως η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν πρόσημο μείον.
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.
Ιδιότητα περιοδικότητας
Τώρα θα εξετάσουμε ίσως την πιο προφανή ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας. Έχει ως εξής: όταν η γωνία αλλάζει κατά έναν ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης αυτής της γωνίας δεν αλλάζουν.
Αυτό είναι κατανοητό: όταν η γωνία αλλάζει κατά έναν ακέραιο αριθμό περιστροφών, από το σημείο εκκίνησης Α θα φτάνουμε πάντα στο σημείο Α 1 με κύκλος μονάδαςΕπομένως, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παραμένουν αμετάβλητες, αφού οι συντεταγμένες του σημείου Α 1 παραμένουν αμετάβλητες.
Χρησιμοποιώντας τύπους, η εξεταζόμενη ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μπορεί να γραφεί ως εξής: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, όπου α είναι η γωνία περιστροφής σε ακτίνια, z είναι οποιαδήποτε, η απόλυτη τιμή του οποίου δείχνει τον αριθμό των πλήρων στροφών με τις οποίες το η γωνία α αλλάζει και το πρόσημο του αριθμού z δείχνει την κατεύθυνση στροφής.
Εάν η γωνία περιστροφής α καθορίζεται σε μοίρες, τότε οι υποδεικνυόμενοι τύποι θα ξαναγραφούν ως sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα ctg(α+360°·z)=ctgα.
Ας δώσουμε παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας. Για παράδειγμα, 
, γιατί 
, Α 
. Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα: ή .
Αυτή η ιδιότητα, μαζί με τους τύπους αναγωγής, χρησιμοποιείται πολύ συχνά κατά τον υπολογισμό των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης των «μεγάλων» γωνιών.
Η θεωρούμενη ιδιότητα του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ονομάζεται μερικές φορές ιδιότητα της περιοδικότητας.
Ιδιότητες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών
Έστω A 1 το σημείο που προκύπτει περιστρέφοντας το αρχικό σημείο A(1, 0) γύρω από το σημείο O κατά μια γωνία α και το σημείο A 2 είναι το αποτέλεσμα της περιστροφής του σημείου A κατά μια γωνία -α, αντίθετη από τη γωνία α.
Η ιδιότητα των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών βασίζεται σε ένα αρκετά προφανές γεγονός: τα σημεία A 1 και A 2 που αναφέρονται παραπάνω είτε συμπίπτουν (at) είτε βρίσκονται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα Ox. Δηλαδή, αν το σημείο A 1 έχει συντεταγμένες (x, y), τότε το σημείο A 2 θα έχει συντεταγμένες (x, −y). Από εδώ, χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, γράφουμε τις ισότητες και .
Συγκρίνοντάς τα, καταλήγουμε σε σχέσεις μεταξύ ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών α και −α της μορφής.
Αυτή είναι η υπό εξέταση ιδιότητα με τη μορφή τύπων.
Ας δώσουμε παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας. Για παράδειγμα, οι ισότητες και 
.
Μένει μόνο να σημειωθεί ότι η ιδιότητα των ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων αντίθετων γωνιών, όπως η προηγούμενη ιδιότητα, χρησιμοποιείται συχνά κατά τον υπολογισμό των τιμών του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και σας επιτρέπει να αποφύγετε εντελώς τα αρνητικά γωνίες.
Αναφορές.
- Αλγεβρα:Σχολικό βιβλίο για την 9η τάξη. μέσος όρος σχολείο/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
- Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για τις τάξεις 10-11. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn και άλλοι. Εκδ. A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 2004. - 384 pp.: ISBN 5-09-013651.
- Μπασμάκοφ Μ. Ι.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο. για τις τάξεις 10-11. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. - 351 σελ.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Κόλποςαριθμοί ΕΝΑονομάζεται τεταγμένη του σημείου που αντιπροσωπεύει αυτόν τον αριθμό στον αριθμητικό κύκλο. Ημίτονο γωνίας σε ΕΝΑακτίνιο ονομάζεται ημίτονο ενός αριθμού ΕΝΑ.
Κόλπος- αριθμητική λειτουργία x. Αυτήν τομέα ορισμού
Ημιτονικό εύρος- τμήμα από -1 να 1 , αφού οποιοσδήποτε αριθμός αυτού του τμήματος στον άξονα τεταγμένων είναι προβολή οποιουδήποτε σημείου στον κύκλο, αλλά κανένα σημείο εκτός αυτού του τμήματος δεν είναι προβολή κανενός από αυτά τα σημεία.
Ημιτονοειδής περίοδος
Ημιτονικό σημάδι:
1. ημίτονο είναι ίσο με μηδέν στο , όπου n- οποιοδήποτε ακέραιο?
2. το ημίτονο είναι θετικό στο , όπου n- οποιοδήποτε ακέραιο?
3. το ημίτονο είναι αρνητικό όταν
Οπου n- οποιοδήποτε ακέραιο.
Κόλπος- λειτουργία περιττός xΚαι -χ, τότε οι τεταγμένες τους - ημίτονο - θα αποδειχθούν επίσης αντίθετες. Ήτοι 
για κανέναν x.
1. Το ημίτονο αυξάνεται στα τμήματα 
, Πού n- οποιοδήποτε ακέραιο.
2. Το ημίτονο μειώνεται στο τμήμα 
, Πού n- οποιοδήποτε ακέραιο.
Στο 
;
στο 
.
Συνημίτονο
Συνημίτονοαριθμοί ΕΝΑΗ τετμημένη του σημείου που αντιπροσωπεύει αυτόν τον αριθμό στον κύκλο αριθμών ονομάζεται. Συνημίτονο της γωνίας σε ΕΝΑακτίνιο ονομάζεται συνημίτονο ενός αριθμού ΕΝΑ.
Συνημίτονο- συνάρτηση αριθμού. Αυτήν τομέα ορισμού- το σύνολο όλων των αριθμών, αφού για οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να βρείτε την τεταγμένη του σημείου που τον αντιπροσωπεύει.
Εύρος συνημιτόνου- τμήμα από -1 να 1 , αφού οποιοσδήποτε αριθμός αυτού του τμήματος στον άξονα x είναι προβολή οποιουδήποτε σημείου του κύκλου, αλλά κανένα σημείο έξω από αυτό το τμήμα δεν είναι προβολή κανενός από αυτά τα σημεία.
Συνημιτονική περίοδοςίσο με . Εξάλλου, κάθε φορά η θέση του σημείου που αντιπροσωπεύει τον αριθμό επαναλαμβάνεται ακριβώς.
Σήμα συνημίτονου:
1. συνημίτονο είναι ίσο με μηδέν στο , όπου n- οποιοδήποτε ακέραιο?
2. το συνημίτονο είναι θετικό όταν 
, Πού n- οποιοδήποτε ακέραιο?
3. συνημίτονο είναι αρνητικό όταν 
, Πού n- οποιοδήποτε ακέραιο.
Συνημίτονο- λειτουργία ακόμη και. Πρώτον, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των αριθμών, και επομένως είναι συμμετρικό ως προς την αρχή. Και δεύτερον, αν αφήσουμε στην άκρη δύο αντίθετους αριθμούς από την αρχή: xΚαι -χ, τότε τα τετμημένα - συνημίτονά τους - θα είναι ίσα. Ήτοι
για κανέναν x.
1. Το συνημίτονο αυξάνεται στα τμήματα 
, Πού n- οποιοδήποτε ακέραιο.
2. Το συνημίτονο μειώνεται στα τμήματα 
, Πού n- οποιοδήποτε ακέραιο.
στο ;
στο 
.
Εφαπτομένη γραμμή
Εφαπτομένη γραμμήενός αριθμού λέγεται λόγος του ημίτονου αυτού του αριθμού προς το συνημίτονο αυτού του αριθμού: .
Εφαπτομένη γραμμήγωνία σε ΕΝΑακτίνιο είναι η εφαπτομένη ενός αριθμού ΕΝΑ.
Εφαπτομένη γραμμή- συνάρτηση αριθμού. Αυτήν τομέα ορισμού- το σύνολο όλων των αριθμών των οποίων το συνημίτονο δεν είναι ίσο με το μηδέν, αφού δεν υπάρχουν άλλοι περιορισμοί στον προσδιορισμό της εφαπτομένης. Και αφού το συνημίτονο είναι ίσο με μηδέν στο , τότε 
, Πού .
Εύρος εφαπτομένης
Εφαπτομένη περίοδος x(όχι ίσα), που διαφέρουν μεταξύ τους κατά , και τραβήξτε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά, τότε αυτή η ευθεία γραμμή θα διέλθει από την αρχή των συντεταγμένων και θα τέμνει τη γραμμή των εφαπτομένων σε κάποιο σημείο t. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι, δηλαδή, ο αριθμός είναι η περίοδος της εφαπτομένης.
Σημάδι εφαπτομένης:εφαπτομένη είναι η αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο. Αυτός λοιπόν
1. ισούται με μηδέν όταν το ημίτονο είναι μηδέν, δηλαδή όταν , όπου n- οποιοδήποτε ακέραιο.
2. θετικό όταν το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν τα ίδια πρόσημα. Αυτό συμβαίνει μόνο στο πρώτο και τρίτο τρίμηνο, όταν δηλαδή 
, Πού ΕΝΑ- οποιοδήποτε ακέραιο.
3. αρνητικό όταν ημίτονο και συνημίτονο έχουν διαφορετικά σημάδια. Αυτό συμβαίνει μόνο στο δεύτερο και τέταρτο τρίμηνο, όταν δηλαδή 
, Πού ΕΝΑ- οποιοδήποτε ακέραιο.
Εφαπτομένη γραμμή- λειτουργία περιττός. Πρώτον, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι συμμετρικό σε σχέση με την προέλευση. Και δεύτερον, 
. Λόγω της περιττότητας του ημιτόνου και του άρτιου συνημιτονοειδούς, ο αριθμητής του κλάσματος που προκύπτει είναι ίσος με , και ο παρονομαστής του είναι ίσος με , πράγμα που σημαίνει ότι αυτό το ίδιο το κλάσμα είναι ίσο με .
Αποδείχθηκε λοιπόν ότι .
Μέσα, η εφαπτομένη αυξάνεται σε κάθε τμήμα του πεδίου ορισμού της, δηλαδή σε όλα τα διαστήματα της φόρμας 
, Πού ΕΝΑ- οποιοδήποτε ακέραιο.
Συνεφαπτομένη
Συνεφαπτομένηενός αριθμού λέγεται λόγος του συνημιτόνου αυτού του αριθμού προς το ημίτονο αυτού του αριθμού: . Συνεφαπτομένηγωνία σε ΕΝΑακτίνιο ονομάζεται συνεφαπτομένη ενός αριθμού ΕΝΑ. Συνεφαπτομένη- συνάρτηση αριθμού. Αυτήν τομέα ορισμού- το σύνολο όλων των αριθμών των οποίων το ημίτονο δεν είναι ίσο με μηδέν, αφού δεν υπάρχουν άλλοι περιορισμοί στον ορισμό της συνεφαπτομένης. Και εφόσον το ημίτονο είναι ίσο με μηδέν στο , τότε πού
Εύρος συνεφαπτομένων- το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
Περίοδος συνεφαπτομένηςίσο με . Άλλωστε, αν πάρουμε οποιεσδήποτε δύο έγκυρες τιμές x(όχι ίσα), που διαφέρουν μεταξύ τους κατά , και τραβήξτε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά, τότε αυτή η ευθεία θα περάσει από την αρχή των συντεταγμένων και θα τέμνει τη γραμμή των συνεφαπτομένων σε κάποιο σημείο t. Αποδεικνύεται λοιπόν ότι, δηλαδή, ότι ο αριθμός είναι η περίοδος της συνεφαπτομένης.