Ορισμός. Πλαϊνή άκρη- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η απέναντι πλευρά συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).
Ορισμός. Πλαϊνά πλευρά- αυτές είναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες και οι γωνίες ενός πολυγώνου.
Ορισμός. Ύψος πυραμίδας- αυτή είναι μια κάθετη χαμηλωμένη από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.
Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι μια κάθετη προς την πλευρική όψη της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.
Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.
Ορισμός. Σωστή πυραμίδα είναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, και το ύψος πέφτει στο κέντρο της βάσης.
Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας
Τύπος. Όγκος της πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:
Ιδιότητες της πυραμίδας
Εάν όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης να συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, από το κέντρο της βάσης (κύκλος) περνάει μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή.
Αν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στις ίδιες γωνίες.
Οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες όταν σχηματίζονται με το επίπεδο της βάσης ίσες γωνίεςή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Αν πλαϊνά πρόσωπαμε κλίση προς το επίπεδο της βάσης σε μία γωνία, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της.
Αν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.
2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.
3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση σε ίσες γωνίες ως προς τη βάση.
4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.
6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.
7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.
8. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.
9. Αν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.
Η σύνδεση μεταξύ της πυραμίδας και της σφαίρας
Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.
Είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική ή κανονική πυραμίδα.
Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.
Σύνδεση πυραμίδας με κώνο
Ένας κώνος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους.
Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.
Σχέση πυραμίδας και κυλίνδρου
Μια πυραμίδα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.
Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.
Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιαδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν αγγίζονται.
Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριγωνική γωνία.
Το τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).
Διδιάμεσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).
Όλα τα δίμεσα και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, οι δίμεσοι χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι χωρίζονται σε αναλογία 3:1 ξεκινώντας από την κορυφή.
Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Αμβλεία πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.
Ορισμός. Κανονικό τετράεδρο- ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Σε ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες (μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (στην κορυφή) είναι ίσες.
Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροείναι ένα τετράεδρο με ορθή γωνία μεταξύ τριών άκρων στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριγωνική γωνίακαι οι όψεις είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.
Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροονομάζεται τετράεδρο του οποίου οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Ένα τέτοιο τετράεδρο έχει όψεις που είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο τέμνονται σε ένα σημείο όλα τα ύψη (κάθετοι) που κατεβαίνουν από την κορυφή προς την απέναντι όψη.
Ορισμός. Αστρική πυραμίδαονομάζεται πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι.
Συνεχίζουμε να εξετάζουμε τα καθήκοντα που περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Έχουμε ήδη μελετήσει προβλήματα όπου δίνεται η συνθήκη και απαιτείται να βρεθεί η απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων ή μιας γωνίας.
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο, οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα και έχουν μια κοινή κορυφή.
Μια κανονική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα - η βάση είναι ένα τετράγωνο Η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (τετράγωνο).
ML - αποθέμα
∠MLO - διεδρική γωνία στη βάση της πυραμίδας
∠MCO - γωνία μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης της πυραμίδας
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα για την επίλυση μιας κανονικής πυραμίδας. Πρέπει να βρείτε κάποιο στοιχείο, πλευρική επιφάνεια, όγκο, ύψος. Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, τον τύπο για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας και τον τύπο για την εύρεση του όγκου μιας πυραμίδας.
Στο άρθρο Το "" παρουσιάζει τους τύπους που είναι απαραίτητοι για την επίλυση προβλημάτων στη στερεομετρία. Λοιπόν, οι εργασίες:
SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης,μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 51, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 136. Βρε πλαϊνή πλευρά S.C..
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηη βάση είναι τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι οι διαγώνιοι AC και BD είναι ίσες, τέμνονται και διχοτομούνται από το σημείο τομής. Σημειώστε ότι σε μια κανονική πυραμίδα το ύψος που πέφτει από την κορυφή της περνά από το κέντρο της βάσης της πυραμίδας. Άρα SO είναι το ύψος και το τρίγωνοSOCορθογώνιος. Τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα από μεγάλος αριθμός.
Απάντηση: 85
Αποφασίστε μόνοι σας:
Στα δεξιά τετράγωνη πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 6. Βρείτε το πλευρικό άκρο S.C..
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, S.C. = 5, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.= 6. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΕΤΣΙ.
Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCDτελεία Ο- κέντρο της βάσης, μικρόκορυφή, ΕΤΣΙ = 4, S.C.= 5. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..
SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 7, α S.R.= 16. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος (απόθεμα είναι το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της):
Ή μπορούμε να πούμε αυτό: το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι ίσο με το άθροισμα τρία τετράγωναπλευρικές άκρες. Τα πλαϊνά άκρα στο σωστό τριγωνική πυραμίδαείναι τρίγωνα ίσου εμβαδού. Σε αυτήν την περίπτωση:
Απάντηση: 168
Αποφασίστε μόνοι σας:
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, α S.R.= 2. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC R- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι ΑΒ= 1, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος S.R..
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC μεγάλο- μέση της πλευράς ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ., μικρό- μπλουζα. Είναι γνωστό ότι SL= 2, και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι 3. Βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABC Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοείναι 25, ο όγκος της πυραμίδας είναι 100. Βρείτε το μήκος του τμήματος Κυρία.
Η βάση της πυραμίδας είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Να γιατί Μείναι το κέντρο της βάσης, καιΚυρία- ύψος κανονικής πυραμίδαςSABC. Όγκος της πυραμίδας SABCίσον: προβολή λύσης
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Εμβαδόν τριγώνου αλφάβητοισούται με 3, Κυρία= 1. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.
Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα SABCοι διάμεσοι της βάσης τέμνονται στο σημείο Μ. Ο όγκος της πυραμίδας είναι 1, Κυρία= 1. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου αλφάβητο.
Ας τελειώσουμε εδώ. Όπως μπορείτε να δείτε, τα προβλήματα λύνονται σε ένα ή δύο βήματα. Στο μέλλον, θα εξετάσουμε και άλλα προβλήματα από αυτό το κομμάτι, όπου δίνονται φορείς επανάστασης, μην το χάσετε!
Σου εύχομαι επιτυχία!
Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Τριγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τρίγωνο στη βάση της. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι η κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της.
Εύρεση του ύψους μιας πυραμίδας
Πώς να βρείτε το ύψος μιας πυραμίδας; Πολύ απλό! Για να βρείτε το ύψος οποιασδήποτε τριγωνικής πυραμίδας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο όγκου: V = (1/3)Sh, όπου S είναι η περιοχή της βάσης, V είναι ο όγκος της πυραμίδας, h είναι το ύψος της. Από αυτόν τον τύπο, εξάγετε τον τύπο ύψους: για να βρείτε το ύψος μιας τριγωνικής πυραμίδας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον όγκο της πυραμίδας επί 3 και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε την τιμή που προκύπτει με το εμβαδόν της βάσης, θα είναι: h = (3V)/S. Δεδομένου ότι η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Αν γνωρίζουμε: το εμβαδόν του τριγώνου S και την πλευρά του z, τότε σύμφωνα με τον τύπο εμβαδού S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, όπου h το ύψος της πυραμίδας, γ είναι η άκρη του τριγώνου. τη γωνία μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των ίδιων των δύο πλευρών, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)γφsinQ, όπου γ, φ είναι οι πλευρές του τριγώνου, βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Η τιμή του ημιτόνου της γωνίας Q πρέπει να εξεταστεί στον πίνακα ημιτόνων, ο οποίος είναι διαθέσιμος στο Διαδίκτυο. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του εμβαδού στον τύπο ύψους: h = (2S)/γ. Εάν η εργασία απαιτεί τον υπολογισμό του ύψους μιας τριγωνικής πυραμίδας, τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι ήδη γνωστός.
Κανονική τριγωνική πυραμίδα
Βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, δηλαδή μιας πυραμίδας στην οποία όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα, γνωρίζοντας το μέγεθος της άκρης γ. Στην περίπτωση αυτή, οι άκρες της πυραμίδας είναι οι πλευρές των ισόπλευρων τριγώνων. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας θα είναι: h = γ√(2/3), όπου γ είναι μια ακμή ισόπλευρο τρίγωνο, h είναι το ύψος της πυραμίδας. Εάν το εμβαδόν της βάσης (S) είναι άγνωστο και δίνονται μόνο το μήκος της ακμής (γ) και ο όγκος (V) του πολύεδρου, τότε η απαραίτητη μεταβλητή στον τύπο από το προηγούμενο βήμα πρέπει να αντικατασταθεί από το ισοδύναμό του, το οποίο εκφράζεται ως προς το μήκος της άκρης. Το εμβαδόν ενός τριγώνου (κανονικό) είναι ίσο με το 1/4 του γινομένου του μήκους της πλευράς αυτού του τριγώνου τετραγωνισμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3. Αντικαθιστούμε αυτόν τον τύπο αντί για το εμβαδόν της βάσης στο προηγούμενο τύπος, και λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ο όγκος ενός τετραέδρου μπορεί να εκφραστεί μέσω του μήκους της άκρης του, στη συνέχεια από τον τύπο για τον υπολογισμό του ύψους ενός σχήματος, μπορείτε να αφαιρέσετε όλες τις μεταβλητές και να αφήσετε μόνο την πλευρά τριγωνικό πρόσωποφιγούρες. Ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας με το 12 από το γινόμενο το μήκος σε κύβους της όψης της με την τετραγωνική ρίζα του 2.
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για υπολογισμό: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Επίσης σωστό τριγωνικό πρίσμαμπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα, και γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα της σφαίρας (R) μπορεί κανείς να βρει το ύψος του ίδιου του τετραέδρου. Το μήκος της ακμής του τετραέδρου είναι: γ = 4R/√6. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή γ με αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και παίρνουμε τον τύπο: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί γνωρίζοντας την ακτίνα (R) ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τετράεδρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της άκρης του τριγώνου θα είναι ίσο με 12 αναλογίες μεταξύ τετραγωνική ρίζατου 6 και ακτίνας. Αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και έχουμε: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Για να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε το μήκος του ύψους μιας πυραμίδας, πρέπει να ξέρετε τι είναι μια κανονική πυραμίδα. Μια τετραγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τετράγωνο στη βάση της. Εάν στις συνθήκες του προβλήματος έχουμε: τον όγκο (V) και το εμβαδόν της βάσης (S) της πυραμίδας, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του ύψους του πολυέδρου (h) θα είναι ο εξής - διαιρέστε το όγκος πολλαπλασιασμένος επί 3 με την περιοχή S: h = (3V)/S. Δεδομένης μιας τετραγωνικής βάσης μιας πυραμίδας με δεδομένο όγκο (V) και μήκος πλευράς γ, αντικαταστήστε το εμβαδόν (S) στον προηγούμενο τύπο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας h = SO διέρχεται ακριβώς από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση. Δεδομένου ότι η βάση αυτής της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο, το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων AD και BC. Έχουμε: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Στη συνέχεια, είμαστε μέσα ορθογώνιο τρίγωνοΒρίσκουμε SOC (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα): SO = √(SC 2 -OC 2). Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας.
Εισαγωγή
Όταν αρχίσαμε να μελετάμε στερεομετρικά σχήματα, αγγίξαμε το θέμα «Πυραμίδα». Μας άρεσε αυτό το θέμα γιατί η πυραμίδα χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην αρχιτεκτονική. Και από τη δική μας μελλοντικό επάγγελμααρχιτέκτονας, εμπνευσμένη από αυτή τη φιγούρα, πιστεύουμε ότι μπορεί να μας ωθήσει σε σπουδαία έργα.
Η δύναμη των αρχιτεκτονικών κατασκευών είναι η σημαντικότερη ποιότητά τους. Η σύνδεση της αντοχής, πρώτον, με τα υλικά από τα οποία δημιουργούνται και, δεύτερον, με τα χαρακτηριστικά των λύσεων σχεδιασμού, αποδεικνύεται ότι η αντοχή μιας δομής σχετίζεται άμεσα με το γεωμετρικό σχήμα που είναι βασικό για αυτήν.
Μιλάμε δηλαδή για ένα γεωμετρικό σχήμα που μπορεί να θεωρηθεί ως υπόδειγμα της αντίστοιχης αρχιτεκτονικής μορφής. Αποδεικνύεται ότι το γεωμετρικό σχήμα καθορίζει επίσης τη δύναμη μιας αρχιτεκτονικής δομής.
Από την αρχαιότητα, οι αιγυπτιακές πυραμίδες θεωρούνται οι πιο ανθεκτικές αρχιτεκτονικές κατασκευές. Όπως γνωρίζετε, έχουν το σχήμα κανονικών τετραγωνικών πυραμίδων.
Αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι που παρέχει τη μεγαλύτερη σταθερότητα λόγω της μεγάλης επιφάνειας βάσης. Από την άλλη πλευρά, το σχήμα της πυραμίδας διασφαλίζει ότι η μάζα μειώνεται καθώς αυξάνεται το ύψος πάνω από το έδαφος. Αυτές οι δύο ιδιότητες είναι που κάνουν την πυραμίδα σταθερή, και επομένως ισχυρή υπό τις συνθήκες της βαρύτητας.
Στόχος του έργου: μάθετε κάτι νέο για τις πυραμίδες, εμβαθύνετε τις γνώσεις σας και βρείτε πρακτική εφαρμογή.
Για την επίτευξη αυτού του στόχου, ήταν απαραίτητο να επιλυθούν οι ακόλουθες εργασίες:
· Μάθετε ιστορικές πληροφορίες για την πυραμίδα
· Θεωρήστε την πυραμίδα ως γεωμετρικό σχήμα
· Βρείτε εφαρμογή στη ζωή και την αρχιτεκτονική
· Βρείτε τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ των πυραμίδων που βρίσκονται μέσα διαφορετικά μέρηΣβέτα
Θεωρητικό μέρος
Ιστορικές πληροφορίες
Η αρχή της γεωμετρίας της πυραμίδας τέθηκε στην Αρχαία Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, αλλά αναπτύχθηκε ενεργά το Αρχαία Ελλάδα. Ο πρώτος που καθόρισε τον όγκο της πυραμίδας ήταν ο Δημόκριτος και ο Εύδοξος ο Κνίδος το απέδειξε. Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης συστηματοποίησε τη γνώση για την πυραμίδα στον XII τόμο των «Στοιχείων» του και εξήγαγε επίσης τον πρώτο ορισμό της πυραμίδας: μια συμπαγή φιγούρα που οριοθετείται από επίπεδα που συγκλίνουν από ένα επίπεδο σε ένα σημείο.
Τάφοι Αιγυπτίων Φαραώ. Οι μεγαλύτερες από αυτές - οι πυραμίδες του Χέοπα, του Χάφρε και του Μικερίν στην Ελ Γκίζα - θεωρούνταν ένα από τα Επτά Θαύματα του Κόσμου στην αρχαιότητα. Η κατασκευή της πυραμίδας, στην οποία οι Έλληνες και οι Ρωμαίοι είδαν ήδη ένα μνημείο για την άνευ προηγουμένου υπερηφάνεια των βασιλιάδων και τη σκληρότητα που καταδίκασε ολόκληρο τον λαό της Αιγύπτου σε ανούσια κατασκευή, ήταν η πιο σημαντική λατρευτική πράξη και υποτίθεται ότι εκφράζει, προφανώς, την μυστικιστική ταυτότητα της χώρας και του κυβερνήτη της. Ο πληθυσμός της χώρας εργαζόταν για την κατασκευή του τάφου το διάστημα του χρόνου ελεύθερο από αγροτικές εργασίες. Πλήθος κειμένων μαρτυρούν την προσοχή και τη φροντίδα που έδιναν οι ίδιοι οι βασιλείς (έστω και μεταγενέστερης εποχής) στην κατασκευή του τάφου τους και των κατασκευαστών του. Είναι επίσης γνωστό για τις ειδικές λατρευτικές τιμές που αποδίδονταν στην ίδια την πυραμίδα.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα που έχουν κοινή κορυφή.
Απόθεμ- το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας, που προέρχεται από την κορυφή της.
Πλαϊνά πρόσωπα- τρίγωνα που συναντώνται σε μια κορυφή.
Πλαϊνά πλευρά- κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων.
Κορυφή της πυραμίδας- ένα σημείο που συνδέει τις πλευρικές νευρώσεις και δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης.
Υψος- ένα κάθετο τμήμα που τραβιέται από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης της (τα άκρα αυτού του τμήματος είναι η κορυφή της πυραμίδας και η βάση της κάθετου).
Διαγώνιο τμήμα πυραμίδας- τμήμα της πυραμίδας που διέρχεται από την κορυφή και τη διαγώνιο της βάσης.
Βάση- ένα πολύγωνο που δεν ανήκει στην κορυφή της πυραμίδας.
Βασικές ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας
Οι πλευρικές ακμές, οι πλευρικές όψεις και τα αποθέματα είναι αντίστοιχα ίσα.
Οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι ίσες.
Οι δίεδρες γωνίες στα πλάγια άκρα είναι ίσες.
Κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές της βάσης.
Κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις πλευρικές όψεις.
Βασικοί τύποι πυραμίδας
Πλαϊνή περιοχή και πλήρη επιφάνειαπυραμίδες.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας (πλήρης και κολοβωμένη) είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρικών της όψεων, η συνολική επιφάνεια είναι το άθροισμα των περιοχών όλων των όψεών της.
Θεώρημα: Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος της πυραμίδας.
Π- περίμετρος βάσης.
η- αποθέμα.
Η περιοχή των πλευρικών και πλήρων επιφανειών μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
σελ 1, Π 2 - περίμετροι βάσης.
η- αποθέμα.
R- συνολική επιφάνεια μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
S πλευρά- περιοχή της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας.
S 1 + S 2- περιοχή βάσης
Όγκος της πυραμίδας
Μορφή Το volume ula χρησιμοποιείται για πυραμίδες κάθε είδους.
H- ύψος της πυραμίδας.
Γωνίες πυραμίδας
Οι γωνίες που σχηματίζονται από την πλευρική όψη και τη βάση της πυραμίδας ονομάζονται διεδρικές γωνίες στη βάση της πυραμίδας.
Μια διεδρική γωνία σχηματίζεται από δύο κάθετες.
Για να προσδιορίσετε αυτή τη γωνία, συχνά χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα των τριών κάθετων.
Ονομάζονται οι γωνίες που σχηματίζει η πλευρική ακμή και η προβολή της στο επίπεδο της βάσης γωνίες μεταξύ του πλευρικού άκρου και του επιπέδου της βάσης.
Η γωνία που σχηματίζεται από δύο πλευρικές ακμές ονομάζεται διεδρική γωνία στο πλάγιο άκρο της πυραμίδας.
Η γωνία που σχηματίζεται από δύο πλευρικές ακμές μιας όψης της πυραμίδας ονομάζεται γωνία στην κορυφή της πυραμίδας.
Τμήματα πυραμίδας
Η επιφάνεια μιας πυραμίδας είναι η επιφάνεια ενός πολυέδρου. Κάθε όψη του είναι ένα επίπεδο, επομένως το τμήμα μιας πυραμίδας που ορίζεται από ένα επίπεδο κοπής είναι σπασμένη γραμμή, που αποτελείται από μεμονωμένες ευθείες γραμμές.
Διαγώνιο τμήμα
Το τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο πλευρικές ακμές που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη ονομάζεται διαγώνιο τμήμαπυραμίδες.
Παράλληλες τομές
Θεώρημα:
Εάν η πυραμίδα τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, τότε οι πλευρικές ακμές και τα ύψη της πυραμίδας διαιρούνται από αυτό το επίπεδο σε αναλογικά μέρη.
Το τμήμα αυτού του επιπέδου είναι ένα πολύγωνο παρόμοιο με τη βάση.
Τα εμβαδά της τομής και της βάσης σχετίζονται μεταξύ τους ως τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από την κορυφή.
Τύποι πυραμίδας
Σωστή πυραμίδα– μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Για μια κανονική πυραμίδα:
1. οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες
2. οι πλευρικές όψεις είναι ίσες
3. τα αποθέματα είναι ίσα
4. οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι ίσες
5. οι δίεδρες γωνίες στα πλάγια άκρα είναι ίσες
6. κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές της βάσης
7. κάθε σημείο ύψους έχει ίση απόσταση από όλες τις πλευρικές ακμές
Κόλουρη πυραμίδα- τμήμα της πυραμίδας που περικλείεται μεταξύ της βάσης της και ενός επιπέδου κοπής παράλληλο προς τη βάση.
Η βάση και το αντίστοιχο τμήμα μιας κολοβωμένης πυραμίδας ονομάζονται βάσεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
Μια κάθετη που σύρεται από οποιοδήποτε σημείο μιας βάσης στο επίπεδο μιας άλλης ονομάζεται το ύψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας.
Καθήκοντα
Νο. 1. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, το σημείο Ο είναι το κέντρο της βάσης, SO=8 cm, BD=30 cm Βρείτε την πλευρική ακμή SA.
Επίλυση προβλήματος
Νο. 1. Σε μια κανονική πυραμίδα, όλες οι όψεις και οι άκρες είναι ίσες.
Σκεφτείτε το OSB: Το OSB είναι ένα ορθογώνιο ορθογώνιο, γιατί.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Πυραμίδα στην αρχιτεκτονική
Μια πυραμίδα είναι μια μνημειακή δομή σε σχήμα συνηθισμένου κανονικού γεωμετρική πυραμίδα, όπου πλευρέςσυγκλίνουν σε ένα σημείο. Σύμφωνα με τον λειτουργικό τους σκοπό, οι πυραμίδες στην αρχαιότητα ήταν τόποι ταφής ή λατρείας. Η βάση μιας πυραμίδας μπορεί να είναι τριγωνική, τετράγωνη ή σε σχήμα πολυγώνου με αυθαίρετο αριθμό κορυφών, αλλά η πιο κοινή εκδοχή είναι η τετραγωνική βάση.
Έχει κατασκευαστεί ένας σημαντικός αριθμός πυραμίδων διαφορετικές κουλτούρες Αρχαίος κόσμοςκυρίως ως ναοί ή μνημεία. Οι μεγάλες πυραμίδες περιλαμβάνουν τις αιγυπτιακές πυραμίδες.
Σε όλη τη Γη μπορείτε να δείτε αρχιτεκτονικές κατασκευέςμε τη μορφή πυραμίδων. Τα κτίρια πυραμίδας θυμίζουν αρχαία χρόνια και φαίνονται πολύ όμορφα.
Αιγυπτιακές πυραμίδεςμέγιστος αρχιτεκτονικά μνημεία Αρχαία Αίγυπτος, μεταξύ των οποίων ένα από τα «Επτά Θαύματα του Κόσμου» είναι η Πυραμίδα του Χέοπα. Από το πόδι μέχρι την κορυφή φτάνει τα 137,3 μ. και πριν χάσει την κορυφή, το ύψος του ήταν 146,7 μ.
Το κτίριο του ραδιοφωνικού σταθμού στην πρωτεύουσα της Σλοβακίας, που μοιάζει με ανεστραμμένη πυραμίδα, χτίστηκε το 1983. Εκτός από γραφεία και χώρους εξυπηρέτησης, μέσα στον τόμο υπάρχει ένα αρκετά ευρύχωρο Μέγαρο Μουσικής, που διαθέτει ένα από τα μεγαλύτερα όργανα στη Σλοβακία.
Το Λούβρο, το οποίο «είναι σιωπηλό και μεγαλοπρεπές, σαν πυραμίδα», έχει υποστεί πολλές αλλαγές κατά τη διάρκεια των αιώνων πριν γίνει μεγαλύτερο μουσείοειρήνη. Γεννήθηκε ως φρούριο, που χτίστηκε από τον Φίλιππο Αύγουστο το 1190, το οποίο σύντομα έγινε βασιλική κατοικία. Το 1793 το παλάτι έγινε μουσείο. Οι συλλογές εμπλουτίζονται μέσω κληροδοτημάτων ή αγορών.
