Οι μαθητές συναντούν την έννοια της πυραμίδας πολύ πριν μελετήσουν τη γεωμετρία. Το λάθος έγκειται στα περίφημα μεγάλα αιγυπτιακά θαύματα του κόσμου. Επομένως, όταν αρχίζουν να μελετούν αυτό το υπέροχο πολύεδρο, οι περισσότεροι μαθητές το φαντάζονται ήδη ξεκάθαρα. Όλα τα προαναφερθέντα αξιοθέατα έχουν το σωστό σχήμα. Τι έγινε κανονική πυραμίδα, και ποιες ιδιότητες έχει θα συζητηθούν περαιτέρω.
Ορισμός
Υπάρχουν πολλοί ορισμοί της πυραμίδας. Από τα αρχαία χρόνια, ήταν πολύ δημοφιλές.
Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης το όρισε ως μια σωματική φιγούρα που αποτελείται από επίπεδα που ξεκινώντας από το ένα συγκλίνουν σε ένα ορισμένο σημείο.
Ο Heron έδωσε μια πιο ακριβή διατύπωση. Επέμεινε ότι αυτή ήταν η φιγούρα που έχει βάση και αεροπλάνα μέσα με τη μορφή τριγώνων, συγκλίνουν σε ένα σημείο.
Με βάση σύγχρονη ερμηνεία, η πυραμίδα αναπαρίσταται ως ένα χωρικό πολύεδρο που αποτελείται από ένα ορισμένο k-gon και k επίπεδες φιγούρεςτριγωνικού σχήματος με ένα κοινό σημείο.
Ας το δούμε πιο αναλυτικά, από ποια στοιχεία αποτελείται:
- Το k-gon θεωρείται η βάση του σχήματος.
- Τα 3-γωνικά σχήματα προεξέχουν ως τις άκρες του πλευρικού τμήματος.
- το πάνω μέρος από το οποίο προέρχονται τα πλευρικά στοιχεία ονομάζεται κορυφή.
- Όλα τα τμήματα που συνδέουν μια κορυφή ονομάζονται ακμές.
- εάν μια ευθεία γραμμή χαμηλώσει από την κορυφή στο επίπεδο του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών, τότε το τμήμα της που περιέχεται στον εσωτερικό χώρο είναι το ύψος της πυραμίδας.
- Σε οποιοδήποτε πλευρικό στοιχείο, μια κάθετη, που ονομάζεται απόθεμα, μπορεί να τραβηχτεί προς την πλευρά του πολύεδρου μας.
Ο αριθμός των ακμών υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο 2*k, όπου k είναι ο αριθμός των πλευρών του k-gon. Πόσες όψεις έχει ένα πολύεδρο όπως μια πυραμίδα μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την έκφραση k+1.
Σπουδαίος!Μια πυραμίδα κανονικού σχήματος είναι ένα στερεομετρικό σχήμα του οποίου το επίπεδο βάσης είναι ένα k-gon με ίσες πλευρές.
Βασικές ιδιότητες
Σωστή πυραμίδα έχει πολλές ιδιότητες,που είναι μοναδικά για αυτήν. Ας τα απαριθμήσουμε:
- Η βάση είναι ένα σχήμα με το σωστό σχήμα.
- Οι άκρες της πυραμίδας που περιορίζουν τα πλευρικά στοιχεία έχουν ίσες αριθμητικές τιμές.
- Τα πλευρικά στοιχεία είναι ισοσκελή τρίγωνα.
- Η βάση του ύψους του σχήματος πέφτει στο κέντρο του πολυγώνου, ενώ είναι ταυτόχρονα το κεντρικό σημείο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου.
- Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης με την ίδια γωνία.
- Όλες οι πλευρικές επιφάνειες έχουν την ίδια γωνία κλίσης σε σχέση με τη βάση.
Χάρη σε όλες τις αναφερόμενες ιδιότητες, η εκτέλεση υπολογισμών στοιχείων είναι πολύ πιο απλή. Με βάση τις παραπάνω ιδιότητες, δίνουμε προσοχή δύο σημάδια:
- Στην περίπτωση που ένα πολύγωνο χωράει σε κύκλο, πλαϊνά πρόσωπαθα έχει με τη βάση ίσες γωνίες.
- Όταν περιγράφεται ένας κύκλος γύρω από ένα πολύγωνο, όλες οι άκρες της πυραμίδας που προέρχονται από την κορυφή θα έχουν ίσου μήκουςκαι ίσες γωνίες με τη βάση.
Η βάση είναι ένα τετράγωνο
Κανονική τετραγωνική πυραμίδα - ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα τετράγωνο.
Έχει τέσσερις πλευρικές όψεις, οι οποίες είναι ισοσκελές στην όψη.
Ένα τετράγωνο απεικονίζεται σε ένα επίπεδο, αλλά βασίζεται σε όλες τις ιδιότητες ενός κανονικού τετράπλευρου.
Για παράδειγμα, εάν είναι απαραίτητο να συσχετίσετε την πλευρά ενός τετραγώνου με τη διαγώνιό του, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο: η διαγώνιος είναι ίση με το γινόμενο της πλευράς του τετραγώνου και την τετραγωνική ρίζα του δύο.
Βασίζεται σε κανονικό τρίγωνο
Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο.
Εάν η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο και οι πλευρικές άκρες είναι ίσες με τις άκρες της βάσης, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται τετράεδρο.
Όλες οι όψεις ενός τετραέδρου είναι ισόπλευρες 3-γωνίες. ΣΕ σε αυτή την περίπτωσηΠρέπει να γνωρίζετε ορισμένα σημεία και να μην χάνετε χρόνο σε αυτά κατά τον υπολογισμό:
- η γωνία κλίσης των νευρώσεων σε οποιαδήποτε βάση είναι 60 μοίρες.
- το μέγεθος όλων των εσωτερικών όψεων είναι επίσης 60 μοίρες.
- οποιοδήποτε πρόσωπο μπορεί να λειτουργήσει ως βάση.
- , σχεδιασμένα μέσα στο σχήμα, αυτά είναι ίσα στοιχεία.
Τομές ενός πολυέδρου
Σε οποιοδήποτε πολύεδρο υπάρχουν διάφορους τύπους τμημάτωνεπίπεδα. Συχνά σε σχολικό μάθημαοι γεωμετρίες λειτουργούν με δύο:
- αξονικός;
- παράλληλα με τη βάση.
Μια αξονική τομή λαμβάνεται με τομή ενός πολύεδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή, τις πλευρικές ακμές και τον άξονα. Στην περίπτωση αυτή, ο άξονας είναι το ύψος που αντλείται από την κορυφή. Το επίπεδο κοπής περιορίζεται από τις γραμμές τομής με όλες τις όψεις, με αποτέλεσμα ένα τρίγωνο.
Προσοχή!Σε μια κανονική πυραμίδα, το αξονικό τμήμα είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο.
Εάν το επίπεδο κοπής τρέχει παράλληλα με τη βάση, τότε το αποτέλεσμα είναι η δεύτερη επιλογή. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε ένα σχήμα διατομής παρόμοιο με τη βάση.
Για παράδειγμα, εάν υπάρχει ένα τετράγωνο στη βάση, τότε το τμήμα παράλληλο στη βάση θα είναι επίσης ένα τετράγωνο, μόνο μικρότερων διαστάσεων.
Κατά την επίλυση προβλημάτων υπό αυτήν την προϋπόθεση, χρησιμοποιούν σημεία και ιδιότητες ομοιότητας των σχημάτων, με βάση το θεώρημα του Θαλή. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο συντελεστής ομοιότητας.
Αν το επίπεδο τραβηχτεί παράλληλα με τη βάση και αποκοπεί πάνω μέροςπολύεδρο, τότε λαμβάνεται μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα στο κάτω μέρος. Τότε οι βάσεις ενός κόλουρου πολυέδρου λέγονται ότι είναι παρόμοια πολύγωνα. Στην περίπτωση αυτή, οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τραπεζοειδή. Το αξονικό τμήμα είναι επίσης ισοσκελές.
Προκειμένου να προσδιοριστεί το ύψος ενός κόλουρου πολυέδρου, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε το ύψος στην αξονική τομή, δηλαδή στο τραπέζιο.
Επιφάνειες
Τα κύρια γεωμετρικά προβλήματα που πρέπει να λυθούν σε ένα σχολικό μάθημα γεωμετρίας είναι βρίσκοντας την επιφάνεια και τον όγκο μιας πυραμίδας.
Υπάρχουν δύο τύποι τιμών επιφάνειας:
- περιοχή των πλευρικών στοιχείων.
- περιοχή ολόκληρης της επιφάνειας.
Από το ίδιο το όνομα είναι ξεκάθαρο για τι πράγμα μιλάμε. Η πλαϊνή επιφάνεια περιλαμβάνει μόνο τα πλαϊνά στοιχεία. Από αυτό προκύπτει ότι για να το βρείτε, πρέπει απλώς να προσθέσετε τις περιοχές των πλευρικών επιπέδων, δηλαδή τις περιοχές των ισοσκελές 3-γωνίων. Ας προσπαθήσουμε να εξαγάγουμε τον τύπο για την περιοχή των πλευρικών στοιχείων:
- Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς 3-γωνίου είναι ίσο με Str=1/2(aL), όπου a είναι η πλευρά της βάσης, L είναι το απόθεμα.
- Ο αριθμός των πλευρικών επιπέδων εξαρτάται από τον τύπο του k-gon στη βάση. Για παράδειγμα, μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει τέσσερα πλευρικά επίπεδα. Επομένως, είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τα εμβαδά τεσσάρων σχημάτων Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Η έκφραση απλοποιείται με αυτόν τον τρόπο επειδή η τιμή είναι 4a = Rosn, όπου Rosn είναι η περίμετρος της βάσης. Και η έκφραση 1/2*Rosn είναι η ημιπερίμετρός του.
- Έτσι, συμπεραίνουμε ότι η περιοχή των πλευρικών στοιχείων κανονική πυραμίδαίσο με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου της βάσης και του αποθέματος: Sside=Rosn*L.
Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας της πυραμίδας αποτελείται από το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών επιπέδων και της βάσης: Sp.p = Sside + Sbas.
Όσον αφορά την περιοχή της βάσης, εδώ ο τύπος χρησιμοποιείται σύμφωνα με τον τύπο του πολυγώνου.
Όγκος κανονικής πυραμίδαςίσο με το γινόμενο του εμβαδού του επιπέδου βάσης και του ύψους διαιρούμενο με τρία: V=1/3*Sbas*H, όπου H είναι το ύψος του πολυέδρου.
Τι είναι μια κανονική πυραμίδα στη γεωμετρία
Ιδιότητες του σωστού τετράγωνη πυραμίδα
Υπόθεση:πιστεύουμε ότι η τελειότητα του σχήματος της πυραμίδας οφείλεται στους μαθηματικούς νόμους που είναι εγγενείς στο σχήμα της.
Στόχος:έχοντας μελετήσει την πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα, για να εξηγήσει την τελειότητα της μορφής του.
Καθήκοντα:
1. Δώστε έναν μαθηματικό ορισμό της πυραμίδας.
2. Μελετήστε την πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα.
3. Κατανοήστε ποιες μαθηματικές γνώσεις ενσωμάτωσαν οι Αιγύπτιοι στις πυραμίδες τους.
Προσωπικές ερωτήσεις:
1. Τι είναι η πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα;
2. Πώς μπορεί να εξηγηθεί το μοναδικό σχήμα της πυραμίδας από μαθηματική άποψη;
3. Τι εξηγεί τα γεωμετρικά θαύματα της πυραμίδας;
4. Τι εξηγεί την τελειότητα του σχήματος της πυραμίδας;
Ορισμός πυραμίδας.
ΠΥΡΑΜΙΔΑ (από το ελληνικό pyramis, γεν. pyramidos) - ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα που έχουν κοινή κορυφή (σχέδιο). Με βάση τον αριθμό των γωνιών βάσης, οι πυραμίδες ταξινομούνται σε τριγωνικές, τετράγωνες κ.λπ.
ΠΥΡΑΜΙΔΑ - μια μνημειακή κατασκευή που έχει το γεωμετρικό σχήμα μιας πυραμίδας (μερικές φορές επίσης βαθμιδωτή ή πυργόσχημη). Πυραμίδες είναι το όνομα που δόθηκε στους γιγάντιους τάφους των αρχαίων Αιγυπτίων Φαραώ της 3ης-2ης χιλιετίας π.Χ. ε., καθώς και αρχαία αμερικανικά βάθρα ναών (στο Μεξικό, τη Γουατεμάλα, την Ονδούρα, το Περού), που σχετίζονται με κοσμολογικές λατρείες.
Είναι πιθανό η ελληνική λέξη «πυραμίδα» να προέρχεται από την αιγυπτιακή έκφραση per-em-us, δηλαδή από έναν όρο που σημαίνει το ύψος της πυραμίδας. Ο εξέχων Ρώσος Αιγυπτιολόγος V. Struve πίστευε ότι το ελληνικό «puram...j» προέρχεται από το αρχαίο αιγυπτιακό «p»-mr».
Από την ιστορία. Έχοντας μελετήσει το υλικό στο εγχειρίδιο "Γεωμετρία" από τους συγγραφείς του Atanasyan. Butuzov και άλλοι, μάθαμε ότι: Ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα n-γώνιο A1A2A3 ... An και n τρίγωνα PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 ονομάζεται πυραμίδα. Το πολύγωνο A1A2A3...An είναι η βάση της πυραμίδας και τα τρίγωνα PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 είναι οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας, P είναι η κορυφή της πυραμίδας, τμήματα PA1, PA2,..., PAn εκτάριο πλευρικές νευρώσεις.
Ωστόσο, αυτός ο ορισμός της πυραμίδας δεν υπήρχε πάντα. Για παράδειγμα, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, ο συγγραφέας των θεωρητικών πραγματειών για τα μαθηματικά που έχουν φτάσει σε εμάς, ο Ευκλείδης, ορίζει μια πυραμίδα ως μια συμπαγή μορφή που οριοθετείται από επίπεδα που συγκλίνουν από ένα επίπεδο σε ένα σημείο.
Αλλά αυτός ο ορισμός επικρίθηκε ήδη στην αρχαιότητα. Έτσι ο Heron πρότεινε τον ακόλουθο ορισμό της πυραμίδας: «Είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από τρίγωνα που συγκλίνουν σε ένα σημείο και η βάση του οποίου είναι ένα πολύγωνο».
Η ομάδα μας, αφού συγκρίνει αυτούς τους ορισμούς, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν έχουν σαφή διατύπωση της έννοιας του «θεμελίου».
Εξετάσαμε αυτούς τους ορισμούς και βρήκαμε τον ορισμό του Adrien Marie Legendre, ο οποίος το 1794 στο έργο του "Elements of Geometry" ορίζει μια πυραμίδα ως εξής: "Μια πυραμίδα είναι ένα συμπαγές σχήμα που σχηματίζεται από τρίγωνα που συγκλίνουν σε ένα σημείο και τελειώνουν σε διαφορετικές πλευρές του μια επίπεδη βάση.»
Μας φαίνεται ότι ο τελευταίος ορισμός δίνει μια σαφή ιδέα για την πυραμίδα, καθώς μιλά για το γεγονός ότι η βάση είναι επίπεδη. Ένας άλλος ορισμός της πυραμίδας εμφανίστηκε σε ένα εγχειρίδιο του 19ου αιώνα: «μια πυραμίδα είναι μια συμπαγής γωνία που τέμνεται από ένα επίπεδο».
Η πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα.
Οτι. Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, του οποίου μια όψη (βάση) είναι πολύγωνο, οι υπόλοιπες όψεις (πλευρές) είναι τρίγωνα που έχουν μια κοινή κορυφή (την κορυφή της πυραμίδας).
Η κάθετη που σύρεται από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης ονομάζεται ύψοςηπυραμίδες.
Εκτός από την αυθαίρετη πυραμίδα, υπάρχουν σωστή πυραμίδαστη βάση του οποίου βρίσκεται ένα κανονικό πολύγωνο και κολοβωμένη πυραμίδα.
Στο σχήμα υπάρχει μια πυραμίδα PABCD, ABCD είναι η βάση της, PO είναι το ύψος της.
Συνολική επιφάνεια μιας πυραμίδας είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεών της.
Sfull = Side + Smain,Οπου Πλευρά– το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών όψεων.
Όγκος της πυραμίδας βρίσκεται με τον τύπο:
V=1/3Sbas. η, όπου ο Sbas. - περιοχή βάσης, η- ύψος.
 |
|
Το Apothem ST είναι το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας.
Η περιοχή της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας εκφράζεται ως εξής: Πλευρά. =1/2P η, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης, η- ύψος της πλευρικής όψης (απόθεμα κανονικής πυραμίδας). Αν η πυραμίδα τέμνεται από το επίπεδο A'B'C'D', παράλληλο στη βάση, τότε:
1) οι πλευρικές νευρώσεις και το ύψος χωρίζονται από αυτό το επίπεδο σε ανάλογα μέρη.
2) σε διατομή προκύπτει ένα πολύγωνο A'B'C'D', παρόμοιο με τη βάση.
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Βάσεις κολοβωμένης πυραμίδας– παρόμοια πολύγωνα ABCD και A`B`C`D`, οι πλευρικές όψεις είναι τραπεζοειδή.
Υψοςκολοβωμένη πυραμίδα - η απόσταση μεταξύ των βάσεων.
Περικομμένος όγκοςΗ πυραμίδα βρίσκεται με τον τύπο:
V=1/3 η(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας εκφράζεται ως εξής: Side = ½(P+P') η, όπου P και P' είναι οι περίμετροι των βάσεων, η- ύψος της πλάγιας όψης (απόθεμα ενός κανονικού κόλουρου πιράμι
Τμήματα μιας πυραμίδας.
Τα τμήματα μιας πυραμίδας από επίπεδα που διέρχονται από την κορυφή της είναι τρίγωνα.
Ένα τμήμα που διέρχεται από δύο μη γειτονικά πλευρικά άκρα μιας πυραμίδας ονομάζεται διαγώνιο τμήμα.
Εάν το τμήμα διέρχεται από ένα σημείο στο πλευρικό άκρο και στην πλευρά της βάσης, τότε το ίχνος του στο επίπεδο της βάσης της πυραμίδας θα είναι αυτή η πλευρά.
Ένα τμήμα που διέρχεται από ένα σημείο που βρίσκεται στην όψη της πυραμίδας και ένα δεδομένο ίχνος τομής στο επίπεδο βάσης, τότε η κατασκευή θα πρέπει να γίνει ως εξής:
· Να βρείτε το σημείο τομής του επιπέδου μιας δεδομένης όψης και το ίχνος του τμήματος της πυραμίδας και να το προσδιορίσετε.
κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται δεδομένο σημείοκαι το σημείο τομής που προκύπτει.
· επαναλάβετε αυτά τα βήματα για τα επόμενα πρόσωπα.
, που αντιστοιχεί στην αναλογία των ποδιών ορθογώνιο τρίγωνο 4:3. Αυτή η αναλογία των ποδιών αντιστοιχεί στο γνωστό ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3:4:5, το οποίο ονομάζεται «τέλειο», «ιερό» ή «αιγυπτιακό». Σύμφωνα με τους ιστορικούς, στο «αιγυπτιακό» τρίγωνο δόθηκε ένα μαγικό νόημα. Ο Πλούταρχος έγραψε ότι οι Αιγύπτιοι συνέκριναν τη φύση του σύμπαντος με ένα «ιερό» τρίγωνο. συμβολικά παρομοίασαν το κάθετο πόδι με τον σύζυγο, τη βάση με τη σύζυγο και την υποτείνουσα με αυτό που γεννιέται και από τα δύο.
Για ένα τρίγωνο 3:4:5, ισχύει η ισότητα: 32 + 42 = 52, που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δεν ήταν αυτό το θεώρημα που ήθελαν να διαιωνίσουν οι Αιγύπτιοι ιερείς όταν έχτισαν μια πυραμίδα βασισμένη στο τρίγωνο 3:4:5; Είναι δύσκολο να βρεθεί ένα πιο επιτυχημένο παράδειγμα για να επεξηγήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο ήταν γνωστό στους Αιγύπτιους πολύ πριν την ανακάλυψή του από τον Πυθαγόρα.
Έτσι, οι λαμπροί δημιουργοί Αιγυπτιακές πυραμίδεςπροσπάθησαν να καταπλήξουν τους μακρινούς απογόνους με το βάθος της γνώσης τους και το πέτυχαν επιλέγοντας το «χρυσό» ορθογώνιο τρίγωνο ως «κύρια γεωμετρική ιδέα» για την πυραμίδα του Χέοπα και το «ιερό» ή «αιγυπτιακό» τρίγωνο για την πυραμίδα Khafre. .
Πολύ συχνά στην έρευνά τους, οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πυραμίδων με αναλογίες Χρυσής Αναλογίας.
Στα μαθηματικά εγκυκλοπαιδικό λεξικόΔίνεται ο ακόλουθος ορισμός της Χρυσής Τομής - αυτός είναι μια αρμονική διαίρεση, διαίρεση σε ακραία και μέση αναλογία - που διαιρεί το τμήμα AB σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε το μεγαλύτερο μέρος του AC να είναι η μέση αναλογία μεταξύ ολόκληρου του τμήματος ΑΒ και του μικρότερο τμήμα ΒΑ.
Αλγεβρικός προσδιορισμός της Χρυσής τομής ενός τμήματος ΑΒ = αανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης a: x = x: (a – x), από την οποία το x είναι περίπου ίσο με 0,62a. Ο λόγος x μπορεί να εκφραστεί ως κλάσματα 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, όπου 2, 3, 5, 8, 13, 21 είναι αριθμοί Fibonacci.
Η γεωμετρική κατασκευή της Χρυσής Τομής του τμήματος ΑΒ πραγματοποιείται ως εξής: στο σημείο Β αποκαθίσταται η κάθετη στην ΑΒ, τοποθετείται πάνω του το τμήμα ΒΕ = 1/2 ΑΒ, συνδέονται Α και Ε, ΔΕ = ΒΕ. απολύεται και, τέλος, AC = AD, τότε ικανοποιείται η ισότητα AB: CB = 2:3.
Χρυσή αναλογίαχρησιμοποιείται συχνά σε έργα τέχνης, αρχιτεκτονικής και βρίσκεται στη φύση. Ζωντανά παραδείγματαείναι το γλυπτό του Απόλλωνα Μπελβεντέρε, ο Παρθενώνας. Κατά την κατασκευή του Παρθενώνα χρησιμοποιήθηκε ο λόγος του ύψους του κτιρίου προς το μήκος του και ο λόγος αυτός είναι 0,618. Τα αντικείμενα γύρω μας παρέχουν επίσης παραδείγματα της Χρυσής Αναλογίας, για παράδειγμα, οι βιβλιοδεσίες πολλών βιβλίων έχουν λόγο πλάτους προς μήκος κοντά στο 0,618. Λαμβάνοντας υπόψη τη διάταξη των φύλλων στον κοινό μίσχο των φυτών, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ανάμεσα σε κάθε δύο ζεύγη φύλλων το τρίτο βρίσκεται στη Χρυσή Αναλογία (διαφάνειες). Καθένας από εμάς «κουβαλάει» τη Χρυσή Αναλογία μαζί μας «στα χέρια μας» - αυτή είναι η αναλογία των φαλαγγών των δακτύλων.
Χάρη στην ανακάλυψη αρκετών μαθηματικών παπύρων, οι αιγυπτιολόγοι έμαθαν κάτι για τα αρχαία αιγυπτιακά συστήματα υπολογισμού και μέτρησης. Τα καθήκοντα που περιέχονταν σε αυτά επιλύθηκαν από γραφείς. Ένας από τους πιο γνωστούς είναι ο μαθηματικός πάπυρος Rhind. Μελετώντας αυτά τα προβλήματα, οι Αιγυπτιολόγοι έμαθαν πώς αντιμετώπιζαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι τις διάφορες ποσότητες που προέκυψαν κατά τον υπολογισμό των μέτρων βάρους, μήκους και όγκου, τα οποία συχνά περιλάμβαναν κλάσματα, καθώς και πώς χειρίζονταν τις γωνίες.
Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μια μέθοδο υπολογισμού γωνιών με βάση τον λόγο του ύψους προς τη βάση ενός ορθογωνίου τριγώνου. Εξέφρασαν οποιαδήποτε γωνία στη γλώσσα μιας κλίσης. Η κλίση της κλίσης εκφράστηκε ως ακέραιος λόγος που ονομάζεται "seced". Στο Mathematics in the Age of the Pharaohs, ο Richard Pillins εξηγεί: «Το άκρο μιας κανονικής πυραμίδας είναι η κλίση οποιασδήποτε από τις τέσσερις τριγωνικές όψεις προς το επίπεδο της βάσης, που μετριέται με τον ντον αριθμό οριζόντιων μονάδων ανά κατακόρυφη μονάδα ανόδου. . Έτσι, αυτή η μονάδα μέτρησης είναι ισοδύναμη με τη σύγχρονη συνεφαπτομένη της γωνίας κλίσης. Επομένως, η αιγυπτιακή λέξη "seced" σχετίζεται με το δικό μας σύγχρονη λέξη"κλίση"".
Το αριθμητικό κλειδί για τις πυραμίδες βρίσκεται στην αναλογία του ύψους τους προς τη βάση. Σε πρακτικούς όρους, αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε τα πρότυπα απαραίτητα για να ελέγχετε συνεχώς τη σωστή γωνία κλίσης σε όλη την κατασκευή της πυραμίδας.
Οι αιγυπτιολόγοι θα χαρούν να μας πείσουν ότι κάθε φαραώ λαχταρούσε να εκφράσει την ατομικότητά του, εξ ου και οι διαφορές στις γωνίες κλίσης για κάθε πυραμίδα. Αλλά μπορεί να υπάρχει άλλος λόγος. Ίσως όλοι ήθελαν να ενσαρκώσουν διαφορετικούς συμβολικούς συνειρμούς, κρυμμένους σε διαφορετικές αναλογίες. Ωστόσο, η γωνία της πυραμίδας του Khafre (με βάση το τρίγωνο (3:4:5) εμφανίζεται στα τρία προβλήματα που παρουσιάζουν οι πυραμίδες στον Μαθηματικό Πάπυρο Rhind). Αυτή λοιπόν η στάση ήταν πολύ γνωστή στους αρχαίους Αιγύπτιους.
Για να είμαστε δίκαιοι με τους Αιγυπτιολόγους που ισχυρίζονται ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν το τρίγωνο 3:4:5, το μήκος της υποτείνουσας 5 δεν αναφέρθηκε ποτέ. Αλλά μαθηματικά προβλήματαΟι ερωτήσεις που αφορούν τις πυραμίδες αποφασίζονται πάντα με βάση τη δεύτερη γωνία - την αναλογία του ύψους προς τη βάση. Δεδομένου ότι το μήκος της υποτείνουσας δεν αναφέρθηκε ποτέ, συνήχθη το συμπέρασμα ότι οι Αιγύπτιοι δεν υπολόγισαν ποτέ το μήκος της τρίτης πλευράς.
Οι αναλογίες ύψους προς βάση που χρησιμοποιήθηκαν στις πυραμίδες της Γκίζας ήταν αναμφίβολα γνωστές στους αρχαίους Αιγύπτιους. Είναι πιθανό ότι αυτές οι σχέσεις για κάθε πυραμίδα επιλέχθηκαν αυθαίρετα. Ωστόσο, αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη σημασία που αποδίδεται στον συμβολισμό των αριθμών σε όλα τα είδη της αιγυπτιακής καλών τεχνών. Είναι πολύ πιθανό ότι τέτοιες σχέσεις ήταν σημαντικές επειδή εξέφραζαν συγκεκριμένες θρησκευτικές ιδέες. Με άλλα λόγια, ολόκληρο το συγκρότημα της Γκίζας ήταν υποταγμένο σε ένα συνεκτικό σχέδιο σχεδιασμένο να αντικατοπτρίζει ένα συγκεκριμένο θεϊκό θέμα. Αυτό θα εξηγούσε γιατί επέλεξαν οι σχεδιαστές διαφορετικές γωνίεςη κλίση των τριών πυραμίδων.
Στο The Mystery of Orion, ο Bauval και ο Gilbert παρουσίασαν πειστικά στοιχεία που συνδέουν τις πυραμίδες της Γκίζας με τον αστερισμό του Ωρίωνα, ιδιαίτερα με τα αστέρια της Ζώνης του Ωρίωνα. Ο ίδιος αστερισμός υπάρχει στον μύθο της Ίσιδας και του Όσιρι κάθε πυραμίδα ως αναπαράσταση μιας από τις τρεις κύριες θεότητες - Όσιρις, Ίσιδα και Ώρος.
«ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ» ΘΑΥΜΑΤΑ.
Ανάμεσα στις μεγαλειώδεις πυραμίδες της Αιγύπτου, κατέχει ξεχωριστή θέση Μεγάλη Πυραμίδα του Φαραώ Χέοπα (Khufu). Πριν αρχίσουμε να αναλύουμε το σχήμα και το μέγεθος της πυραμίδας του Χέοπα, θα πρέπει να θυμηθούμε ποιο σύστημα μέτρων χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι. Οι Αιγύπτιοι είχαν τρεις μονάδες μήκους: ένα "πήχυ" (466 χλστ.), το οποίο ήταν ίσο με επτά "φοίνικα" (66,5 χλστ.), το οποίο, με τη σειρά του, ήταν ίσο με τέσσερα "δάχτυλα" (16,6 χλστ.).
Ας αναλύσουμε τις διαστάσεις της πυραμίδας του Χέοπα (Εικ. 2), ακολουθώντας τα επιχειρήματα που δίνονται στο υπέροχο βιβλίο του Ουκρανού επιστήμονα Nikolai Vasyutinsky " Χρυσή αναλογία" (1990).
Οι περισσότεροι ερευνητές συμφωνούν ότι το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας, για παράδειγμα, GFεφάμιλλος μεγάλο= 233,16 m Αυτή η τιμή αντιστοιχεί σχεδόν ακριβώς σε 500 «αγκώνες». Η πλήρης συμμόρφωση με 500 «αγκώνες» θα συμβεί εάν το μήκος του «αγκώνα» θεωρηθεί ίσο με 0,4663 m.
Ύψος της πυραμίδας ( H) υπολογίζεται από τους ερευνητές ποικιλοτρόπως από 146,6 έως 148,2 μ. Και ανάλογα με το αποδεκτό ύψος της πυραμίδας, αλλάζουν όλες οι αναλογίες της γεωμετρικά στοιχεία. Ποιος είναι ο λόγος για τις διαφορές στις εκτιμήσεις του ύψους της πυραμίδας; Το γεγονός είναι ότι, αυστηρά μιλώντας, η πυραμίδα του Χέοπα είναι περικομμένη. Η άνω εξέδρα του σήμερα έχει μήκος περίπου 10΄10μ, αλλά πριν από έναν αιώνα ήταν 6΄6μ. Προφανώς, η κορυφή της πυραμίδας αποσυναρμολογήθηκε και δεν αντιστοιχεί στην αρχική.
Κατά την αξιολόγηση του ύψους της πυραμίδας, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ένας τέτοιος φυσικός παράγοντας όπως το "σχέδιο" της δομής. Για πολύ καιρόυπό την επίδραση της κολοσσιαίας πίεσης (φτάνοντας τους 500 τόνους ανά 1 m2 της κάτω επιφάνειας), το ύψος της πυραμίδας μειώθηκε σε σύγκριση με το αρχικό της ύψος.
Ποιο ήταν το αρχικό ύψος της πυραμίδας; Αυτό το ύψος μπορεί να αναδημιουργηθεί βρίσκοντας τη βασική «γεωμετρική ιδέα» της πυραμίδας.
Εικόνα 2.
Το 1837, ο Άγγλος συνταγματάρχης G. Wise μέτρησε τη γωνία κλίσης των όψεων της πυραμίδας: αποδείχθηκε ότι ήταν ίση ένα= 51°51". Αυτή η τιμή εξακολουθεί να αναγνωρίζεται από τους περισσότερους ερευνητές σήμερα. Η καθορισμένη τιμή γωνίας αντιστοιχεί στην εφαπτομένη (tg ένα), ίσο με 1,27306. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στην αναλογία του ύψους της πυραμίδας ACστη μισή βάση του C.B.(Εικ.2), δηλαδή A.C. / C.B. = H / (μεγάλο / 2) = 2H / μεγάλο.
Και εδώ οι ερευνητές αντιμετώπισαν μια μεγάλη έκπληξη!.png" width="25" height="24">= 1.272. Συγκρίνοντας αυτήν την τιμή με την τιμή tg ένα= 1,27306, βλέπουμε ότι αυτές οι τιμές είναι πολύ κοντά η μία στην άλλη. Αν πάρουμε τη γωνία ένα= 51°50", δηλαδή, μειώστε το κατά ένα λεπτό τόξου και μετά την τιμή έναθα γίνει ίσο με 1,272, δηλαδή θα συμπίπτει με την τιμή. Ας σημειωθεί ότι το 1840 ο G. Wise επανέλαβε τις μετρήσεις του και διευκρίνισε ότι η τιμή της γωνίας ένα=51°50".
Αυτές οι μετρήσεις οδήγησαν τους ερευνητές στην ακόλουθη πολύ ενδιαφέρουσα υπόθεση: το τρίγωνο ACB της πυραμίδας του Χέοπα βασίστηκε στη σχέση AC / C.B. = = 1,272!
Σκεφτείτε τώρα το ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητο, στην οποία η αναλογία των ποδιών A.C. / C.B.= (Εικ. 2). Αν τώρα τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου αλφάβητοορίζει από x, y, z, και επίσης λάβετε υπόψη ότι η αναλογία y/x= , τότε σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το μήκος zμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Αν δεχτούμε x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Εικόνα 3."Χρυσό" ορθογώνιο τρίγωνο.
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο οι πλευρές συσχετίζονται ως t:χρυσό" ορθογώνιο τρίγωνο.
Στη συνέχεια, αν πάρουμε ως βάση την υπόθεση ότι η κύρια «γεωμετρική ιδέα» της πυραμίδας του Χέοπα είναι ένα «χρυσό» ορθογώνιο τρίγωνο, τότε από εδώ μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το ύψος «σχεδιασμού» της πυραμίδας του Χέοπα. Είναι ίσο με:
H = (L/2) ´ = 148,28 m.
Ας εξαγάγουμε τώρα κάποιες άλλες σχέσεις για την πυραμίδα του Χέοπα, οι οποίες προκύπτουν από τη «χρυσή» υπόθεση. Συγκεκριμένα, θα βρούμε την αναλογία του εξωτερικού εμβαδού της πυραμίδας προς το εμβαδόν της βάσης της. Για να γίνει αυτό, παίρνουμε το μήκος του ποδιού C.B.ανά μονάδα, δηλαδή: C.B.= 1. Στη συνέχεια όμως το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας GF= 2 και το εμβαδόν της βάσης EFGHθα είναι ίσοι SEFGH = 4.
Ας υπολογίσουμε τώρα το εμβαδόν της πλευρικής όψης της πυραμίδας του Χέοπα SD. Γιατί το ύψος ΑΒτρίγωνο ΑΕΦεφάμιλλος t, τότε η περιοχή της πλευρικής όψης θα είναι ίση με SD = t. Τότε το συνολικό εμβαδόν και των τεσσάρων πλευρικών όψεων της πυραμίδας θα είναι ίσο με 4 t, και η αναλογία της συνολικής εξωτερικής επιφάνειας της πυραμίδας προς την περιοχή της βάσης θα είναι ίση με τη χρυσή τομή! Αυτό είναι - το κύριο γεωμετρικό μυστήριο της πυραμίδας του Χέοπα!
Η ομάδα των «γεωμετρικών θαυμάτων» της πυραμίδας του Χέοπα περιλαμβάνει πραγματικές και τραβηγμένες ιδιότητες των σχέσεων μεταξύ των διαφόρων διαστάσεων στην πυραμίδα.
Κατά κανόνα, λαμβάνονται σε αναζήτηση ορισμένων «σταθερών», ειδικότερα, του αριθμού «pi» (αριθμός του Λούντολφο), ίσος με 3,14159... λόγους φυσικούς λογάριθμους"e" (αριθμός Neper), ίσος με 2,71828...; ο αριθμός "F", ο αριθμός της "χρυσής τομής", ίσος, για παράδειγμα, με 0,618... κ.λπ.
Μπορείτε να ονομάσετε, για παράδειγμα: 1) Περιουσία Ηροδότου: (Ύψος)2 = 0,5 άρ. βασικός x Apothem; 2) Ακίνητο του V. Τιμή: Ύψος: 0,5 άρθ. βάση = Τετραγωνική ρίζα του "F"; 3) Ιδιοκτησία M. Eist: Περίμετρος βάσης: 2 Ύψος = "Pi"; σε διαφορετική ερμηνεία - 2 κουταλιές της σούπας. βασικός : Ύψος = "Pi"; 4) Ιδιοκτησία Γ. Άκρη: Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου: 0,5 άρθ. βασικός = "F"; 5) Ιδιοκτησία K. Kleppisch: (Άρθ. κύρια.)2: 2(Άρθ. κύρια. x Απόθεμα) = (Άρθ. κύρια. W. Apothema) = 2(Άρθ. κύρια. x Απόθεμα) : ((2 άρθ. . κύρια X Apothem) + (v. κύρια)2). Και ούτω καθεξής. Μπορείτε να βρείτε πολλές τέτοιες ιδιότητες, ειδικά αν συνδέσετε δύο γειτονικές πυραμίδες. Για παράδειγμα, ως «Ιδιότητες του Α. Αρέφιεφ» μπορεί να αναφερθεί ότι η διαφορά στους όγκους της πυραμίδας του Χέοπα και της πυραμίδας του Χαφρέ είναι ίση με το διπλάσιο του όγκου της πυραμίδας του Μίκεριν...
Πολλές ενδιαφέρουσες διατάξεις, ιδιαίτερα για την κατασκευή πυραμίδων σύμφωνα με τη «χρυσή τομή», παρατίθενται στα βιβλία των D. Hambidge «Dynamic symmetry in architecture» και M. Gick «Aesthetics of Relation in nature and art». Ας θυμηθούμε ότι η «χρυσή τομή» είναι η διαίρεση ενός τμήματος σε τέτοιο λόγο ώστε το μέρος Α να είναι τόσες φορές μεγαλύτερο από το μέρος Β, πόσες φορές το Α είναι μικρότερο από ολόκληρο το τμήμα Α + Β. Ο λόγος Α/Β Σε αυτή την περίπτωση ισούται με τον αριθμό "F" == 1.618 .. Η χρήση της "χρυσής αναλογίας" υποδεικνύεται όχι μόνο σε μεμονωμένες πυραμίδες, αλλά και σε ολόκληρο το σύμπλεγμα των πυραμίδων στη Γκίζα.
Το πιο περίεργο, ωστόσο, είναι ότι η ίδια πυραμίδα του Χέοπα απλά «δεν μπορεί» να περιέχει τόσες πολλές υπέροχες ιδιότητες. Λαμβάνοντας ένα συγκεκριμένο ακίνητο ένα προς ένα, μπορεί να "τοποθετηθεί", αλλά δεν ταιριάζουν όλα ταυτόχρονα - δεν συμπίπτουν, έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Επομένως, εάν, για παράδειγμα, κατά τον έλεγχο όλων των ιδιοτήτων, πάρουμε αρχικά την ίδια πλευρά της βάσης της πυραμίδας (233 m), τότε τα ύψη των πυραμίδων με διαφορετικές ιδιότητες θα είναι επίσης διαφορετικά. Με άλλα λόγια, υπάρχει μια ορισμένη «οικογένεια» πυραμίδων που είναι εξωτερικά παρόμοιες με τον Χέοπα, αλλά έχουν διαφορετικές ιδιότητες. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει τίποτα ιδιαίτερα θαυμαστό στις «γεωμετρικές» ιδιότητες - πολλά προκύπτουν καθαρά αυτόματα, από τις ιδιότητες του ίδιου του σχήματος. Ένα «θαύμα» θα έπρεπε να θεωρείται μόνο κάτι που ήταν σαφώς αδύνατο για τους αρχαίους Αιγύπτιους. Αυτό, ειδικότερα, περιλαμβάνει «κοσμικά» θαύματα, στα οποία οι μετρήσεις της πυραμίδας του Χέοπα ή του συμπλέγματος της πυραμίδας στη Γκίζα συγκρίνονται με ορισμένες αστρονομικές μετρήσεις και υποδεικνύονται «ζυγοί» αριθμοί: ένα εκατομμύριο φορές λιγότερο, ένα δισεκατομμύριο φορές λιγότερο και ούτω καθεξής. Ας εξετάσουμε μερικές «κοσμικές» σχέσεις.
Μία από τις δηλώσεις είναι: «αν διαιρέσετε την πλευρά της βάσης της πυραμίδας με το ακριβές μήκος του έτους, θα λάβετε ακριβώς τα 10 εκατομμυριοστά του άξονα της γης». Υπολογίστε: διαιρέστε το 233 με το 365, παίρνουμε 0,638. Η ακτίνα της Γης είναι 6378 km.
Μια άλλη δήλωση είναι στην πραγματικότητα το αντίθετο από την προηγούμενη. Ο F. Noetling επεσήμανε ότι αν χρησιμοποιήσουμε τον «αιγυπτιακό πήχη» που εφηύρε ο ίδιος, τότε η πλευρά της πυραμίδας θα αντιστοιχεί στην «ακριβέστερη διάρκεια του ηλιακού έτους, εκφρασμένη με ακρίβεια ένα δισεκατομμυριοστό της ημέρας» - 365.540. 903.777.
Η δήλωση του Π. Σμιθ: «Το ύψος της πυραμίδας είναι ακριβώς το ένα δισεκατομμυριοστό της απόστασης από τη Γη στον Ήλιο». Αν και το ύψος που λαμβάνεται συνήθως είναι 146,6 m, ο Smith το πήρε ως 148,2 m. Αυτή είναι η μέση απόσταση από τη Γη στον Ήλιο, αλλά στο περιήλιο είναι 5.000.000 χιλιόμετρα μικρότερη από ό,τι στο αφήλιο.
Μια τελευταία ενδιαφέρουσα δήλωση:
«Πώς μπορούμε να εξηγήσουμε ότι οι μάζες των πυραμίδων του Χέοπα, του Χαφρέ και του Μυκερίνου σχετίζονται μεταξύ τους, όπως οι μάζες των πλανητών Γη, Αφροδίτης, Άρη;» Ας υπολογίσουμε. Οι μάζες των τριών πυραμίδων είναι: Khafre - 0,835; Χέοπας - 1.000; Mikerin - 0,0915. Οι αναλογίες των μαζών των τριών πλανητών: Αφροδίτη - 0,815; Γη - 1.000; Άρης - 0,108.
Έτσι, παρά τον σκεπτικισμό, σημειώνουμε τη γνωστή αρμονία της κατασκευής των δηλώσεων: 1) το ύψος της πυραμίδας, σαν μια γραμμή «που πηγαίνει στο διάστημα», αντιστοιχεί στην απόσταση από τη Γη στον Ήλιο. 2) η πλευρά της βάσης της πυραμίδας, που είναι πιο κοντά "στο υπόστρωμα", δηλαδή στη Γη, είναι υπεύθυνη για την ακτίνα της γης και την κυκλοφορία της γης. 3) οι όγκοι της πυραμίδας (διαβάστε - μάζες) αντιστοιχούν στην αναλογία των μαζών των πλανητών που βρίσκονται πιο κοντά στη Γη. Ένας παρόμοιος «κρυπτογράφηση» μπορεί να εντοπιστεί, για παράδειγμα, στη γλώσσα των μελισσών που ανέλυσε ο Karl von Frisch. Ωστόσο, προς το παρόν θα αποφύγουμε να σχολιάσουμε αυτό το θέμα.
ΣΧΗΜΑ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ
Το περίφημο τετραεδρικό σχήμα των πυραμίδων δεν προέκυψε αμέσως. Οι Σκύθες έκαναν ταφές με τη μορφή χωμάτινων λόφων - τύμβων. Οι Αιγύπτιοι έχτισαν «λόφους» από πέτρες – πυραμίδες. Αυτό συνέβη για πρώτη φορά μετά την ενοποίηση της Άνω και της Κάτω Αιγύπτου, τον 28ο αιώνα π.Χ., όταν ο ιδρυτής της Τρίτης Δυναστείας, Φαραώ Djoser (Zoser), βρέθηκε αντιμέτωπος με το καθήκον να ενισχύσει την ενότητα της χώρας.
Και εδώ, σύμφωνα με τους ιστορικούς, σημαντικό ρόλο στην ενίσχυση κεντρική κυβέρνησηπαίζεται από τη «νέα έννοια της θεοποίησης» του βασιλιά. Αν και οι βασιλικές ταφές διακρίνονταν από μεγαλύτερη λαμπρότητα, κατ 'αρχήν, δεν διέφεραν από τους τάφους των ευγενών της αυλής, ήταν οι ίδιες κατασκευές - μασταμπάς. Πάνω από τον θάλαμο με τη σαρκοφάγο που περιείχε τη μούμια, χύθηκε ένας ορθογώνιος λόφος από μικρές πέτρες, όπου στη συνέχεια τοποθετήθηκε ένα μικρό κτίριο από μεγάλους πέτρινους ογκόλιθους - ένας «μασταμπάς» (στα αραβικά - «πάγκος»). Ο Φαραώ Djoser έστησε την πρώτη πυραμίδα στη θέση του μασταμπά του προκατόχου του, Sanakht. Ήταν κλιμακωτό και ήταν ένα ορατό μεταβατικό στάδιο από τη μια αρχιτεκτονική μορφή στην άλλη, από μια μασταμπά σε μια πυραμίδα.
Με αυτόν τον τρόπο, ο σοφός και αρχιτέκτονας Imhotep, που αργότερα θεωρήθηκε μάγος και ταυτίστηκε από τους Έλληνες με τον θεό Ασκληπιό, «μεγάλωσε» τον φαραώ. Λες και είχαν στηθεί έξι μασταμπάς στη σειρά. Επιπλέον, η πρώτη πυραμίδα καταλάμβανε έκταση 1125 x 115 μέτρα, με εκτιμώμενο ύψος 66 μέτρα (σύμφωνα με τα αιγυπτιακά πρότυπα - 1000 "φοίνικα"). Αρχικά, ο αρχιτέκτονας σχεδίαζε να κατασκευάσει έναν μασταμπά, αλλά όχι επιμήκη, αλλά τετράγωνο σε κάτοψη. Αργότερα επεκτάθηκε, αλλά αφού η επέκταση έγινε χαμηλότερα, φαινόταν ότι υπήρχαν δύο σκαλοπάτια.
Αυτή η κατάσταση δεν ικανοποίησε τον αρχιτέκτονα και στην επάνω πλατφόρμα της τεράστιας επίπεδης μασταμπάς, ο Imhotep τοποθέτησε άλλες τρεις, μειώνοντας σταδιακά προς την κορυφή. Ο τάφος βρισκόταν κάτω από την πυραμίδα.
Είναι γνωστές αρκετές ακόμη πυραμίδες βημάτων, αλλά αργότερα οι οικοδόμοι προχώρησαν στην κατασκευή τετραεδρικών πυραμίδων που είναι πιο γνωστές σε εμάς. Γιατί, όμως, όχι τριγωνικό ή, ας πούμε, οκταγωνικό; Μια έμμεση απάντηση δίνεται από το γεγονός ότι σχεδόν όλες οι πυραμίδες είναι τέλεια προσανατολισμένες κατά μήκος των τεσσάρων βασικών κατευθύνσεων και επομένως έχουν τέσσερις πλευρές. Επιπλέον, η πυραμίδα ήταν ένα «σπίτι», το κέλυφος ενός τετραγωνικού ταφικού θαλάμου.
Τι καθόρισε όμως τη γωνία κλίσης των προσώπων; Στο βιβλίο «The Principle of Proportions» ένα ολόκληρο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο σε αυτό: «Τι θα μπορούσε να έχει καθορίσει τις γωνίες κλίσης των πυραμίδων». Συγκεκριμένα, επισημαίνεται ότι «η εικόνα προς την οποία έλκονται οι μεγάλες πυραμίδες του Παλαιού Βασιλείου είναι ένα τρίγωνο με ορθή γωνία στην κορυφή.
Στο διάστημα είναι ένα ημι-οκτάεδρο: μια πυραμίδα στην οποία οι άκρες και οι πλευρές της βάσης είναι ίσες, οι άκρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα." Ορισμένες σκέψεις δίνονται για αυτό το θέμα στα βιβλία των Hambidge, Gick και άλλων.
Ποιο είναι το πλεονέκτημα της ημι-οκταεδρικής γωνίας; Σύμφωνα με περιγραφές αρχαιολόγων και ιστορικών, μερικές πυραμίδες κατέρρευσαν από το ίδιο τους το βάρος. Αυτό που χρειαζόταν ήταν μια «γωνία μακροζωίας», μια γωνία που ήταν η πιο αξιόπιστη ενεργειακά. Καθαρά εμπειρικά, αυτή η γωνία μπορεί να ληφθεί από τη γωνία κορυφής σε ένα σωρό θρυμματισμένης ξηρής άμμου. Αλλά για να λάβετε ακριβή δεδομένα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα μοντέλο. Λαμβάνοντας τέσσερις σφιχτά στερεωμένες μπάλες, πρέπει να τοποθετήσετε μια πέμπτη πάνω τους και να μετρήσετε τις γωνίες κλίσης. Ωστόσο, εδώ μπορεί να κάνετε λάθος, οπότε βοηθάει ένας θεωρητικός υπολογισμός: θα πρέπει να συνδέσετε τα κέντρα των μπάλων με γραμμές (διανοητικά). Η βάση θα είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με τη διπλάσια ακτίνα. Το τετράγωνο θα είναι απλώς η βάση της πυραμίδας, το μήκος των άκρων της οποίας θα είναι επίσης ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας.
Έτσι, ένα στενό πακέτο μπάλες όπως το 1:4 θα μας δώσει ένα κανονικό ημι-οκτάεδρο.
Ωστόσο, γιατί πολλές πυραμίδες, που έλκονται προς ένα παρόμοιο σχήμα, δεν το διατηρούν ωστόσο; Οι πυραμίδες μάλλον γερνούν. Σε αντίθεση με το γνωστό ρητό:
«Τα πάντα στον κόσμο φοβούνται τον χρόνο και ο χρόνος φοβάται τις πυραμίδες», τα κτίρια των πυραμίδων πρέπει να γεράσουν, όχι μόνο μπορούν και πρέπει να συμβούν διεργασίες εξωτερικών καιρικών συνθηκών, αλλά και διαδικασίες εσωτερικής «συρρίκνωσης», από τις οποίες οι πυραμίδες μπορεί να γίνουν χαμηλότερες. Η συρρίκνωση είναι επίσης δυνατή επειδή, όπως αποκαλύπτεται από το έργο του D. Davidovits, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν την τεχνολογία κατασκευής τεμαχίων από ασβέστη, με άλλα λόγια, από «σκυρόδεμα». Είναι ακριβώς παρόμοιες διαδικασίες που θα μπορούσαν να εξηγήσουν τον λόγο για την καταστροφή της πυραμίδας Medum, που βρίσκεται 50 χιλιόμετρα νότια του Καΐρου. Είναι 4600 ετών, οι διαστάσεις της βάσης είναι 146 x 146 m, το ύψος είναι 118 m. «Γιατί είναι τόσο παραμορφωμένο;» ρωτά ο V. Zamarovsky «Οι συνήθεις αναφορές στις καταστροφικές συνέπειες του χρόνου και στη «χρήση της πέτρας για άλλα κτίρια» δεν είναι κατάλληλες.
Άλλωστε, τα περισσότερα από τα τετράγωνά του και οι πλάκες του έχουν παραμείνει στη θέση τους μέχρι σήμερα, σε ερείπια στους πρόποδές του." σε κάθε περίπτωση, σε όλες τις αρχαίες εικόνες οι πυραμίδες είναι μυτερές ...
Το σχήμα των πυραμίδων θα μπορούσε επίσης να είχε δημιουργηθεί με μίμηση: ορισμένων φυσικών δειγμάτων, «θαυματουργή τελειότητα», ας πούμε, ορισμένων κρυστάλλων με τη μορφή οκταέδρου.
Παρόμοιοι κρύσταλλοι θα μπορούσαν να είναι κρύσταλλοι με διαμάντια και χρυσό. Χαρακτηριστικός μεγάλο αριθμό"επικαλυπτόμενα" σημάδια για έννοιες όπως Φαραώ, Ήλιος, Χρυσός, Διαμάντι. Παντού - ευγενής, λαμπρός (λαμπρός), σπουδαίος, άψογος και ούτω καθεξής. Οι ομοιότητες δεν είναι τυχαίες.
Η ηλιακή λατρεία, όπως είναι γνωστό, αποτελούσε σημαντικό μέρος της θρησκείας Αρχαία Αίγυπτος. «Ανεξάρτητα από το πώς μεταφράζουμε το όνομα της μεγαλύτερης από τις πυραμίδες», σημειώνει ένας από τους σύγχρονα βοηθήματα- "Το στερέωμα του Khufu" ή "Το στερέωμα του Khufu", σήμαινε ότι ο βασιλιάς είναι ο ήλιος, αν ο Khufu, με τη λάμψη της δύναμής του, φανταζόταν τον εαυτό του ως τον δεύτερο ήλιο, τότε ο γιος του Djedef-Ra έγινε. ο πρώτος από τους Αιγύπτιους βασιλιάδες που αυτοαποκαλούνταν «γιος του Ρα», δηλαδή ο γιος του Ήλιου. Ο Ήλιος σχεδόν όλων των λαών συμβολιζόταν από το «ηλιακό μέταλλο», τον χρυσό. «Ένας μεγάλος δίσκος από λαμπερό χρυσό». - έτσι μας έλεγαν οι Αιγύπτιοι φως ημέρας. Οι Αιγύπτιοι γνώριζαν τέλεια τον χρυσό, γνώριζαν τις εγγενείς μορφές του, όπου οι κρύσταλλοι χρυσού μπορούν να εμφανιστούν με τη μορφή οκταέδρων.
Η "ηλιακή πέτρα" - το διαμάντι - είναι επίσης ενδιαφέρουσα εδώ ως "δείγμα μορφών". Το όνομα του διαμαντιού προήλθε ακριβώς από τον αραβικό κόσμο, "almas" - το πιο σκληρό, πιο σκληρό, άφθαρτο. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν αρκετά καλά το διαμάντι και τις ιδιότητές του. Σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς, χρησιμοποιούσαν ακόμη και χάλκινους σωλήνες με διαμαντοκόπτες για διάτρηση.
Σήμερα ο κύριος προμηθευτής διαμαντιών είναι η Νότια Αφρική, αλλά και η Δυτική Αφρική είναι πλούσια σε διαμάντια. Η επικράτεια της Δημοκρατίας του Μάλι αποκαλείται ακόμη και «η γη των διαμαντιών». Εν τω μεταξύ, στην επικράτεια του Μάλι ζουν οι Ντόγκον, με τους οποίους οι υποστηρικτές της υπόθεσης της παλαιοεπίσκεψης εναποθέτουν πολλές ελπίδες (βλ. παρακάτω). Τα διαμάντια δεν θα μπορούσαν να ήταν η αφορμή για τις επαφές των αρχαίων Αιγυπτίων με αυτή την περιοχή. Ωστόσο, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, είναι πιθανό ότι ακριβώς αντιγράφοντας τα οκτάεδρα από διαμάντια και χρυσούς κρυστάλλους, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θεοποίησαν έτσι τους Φαραώ, «άφθαρτους» σαν το διαμάντι και «λαμπρούς» σαν χρυσό, τους γιους του Ήλιου, συγκρίσιμους μόνο στα πιο υπέροχα δημιουργήματα της φύσης.
Σύναψη:
Έχοντας μελετήσει την πυραμίδα ως γεωμετρικό σώμα, γνωρίζοντας τα στοιχεία και τις ιδιότητές της, πειστήκαμε για την εγκυρότητα της άποψης για την ομορφιά του σχήματος της πυραμίδας.
Ως αποτέλεσμα της έρευνάς μας, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι οι Αιγύπτιοι, έχοντας συγκεντρώσει την πιο πολύτιμη μαθηματική γνώση, την ενσάρκωσαν σε μια πυραμίδα. Επομένως, η πυραμίδα είναι πραγματικά το τελειότερο δημιούργημα της φύσης και του ανθρώπου.
ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΑΝΑΦΟΡΩΝ
«Γεωμετρία: Σχολικό βιβλίο. για 7-9 τάξεις. γενικής εκπαίδευσης ιδρύματα\, κ.λπ. - 9η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1999
Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο, M: "Prosveshchenie", 1982.
Γεωμετρία 10-11 τάξεις, Μ: «Διαφωτισμός», 2000
Peter Tompkins “Secrets of the Great Pyramid of Cheops”, M: “Tsentropoligraf”, 2005.
Πόροι του Διαδικτύου
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Ορισμός
Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) και \(n\) τρίγωνα με κοινή κορυφή \(P\) (δεν βρίσκεται στο επίπεδο του πολυγώνου) και πλευρές απέναντι από αυτό, που συμπίπτουν με την πλευρές του πολυγώνου.
Ονομασία: \(PA_1A_2...A_n\) .
Παράδειγμα: πενταγωνική πυραμίδα \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Τρίγωνα \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), κ.λπ. καλούνται πλαϊνά πρόσωπαπυραμίδες, τμήματα \(PA_1, PA_2\) κ.λπ. – πλευρικές νευρώσεις, πολύγωνο \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – βάση, σημείο \(P\) – κορυφή.
ΥψοςΟι πυραμίδες είναι μια κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης.
Μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της ονομάζεται τετράεδρο.
Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός, εάν η βάση του είναι κανονικό πολύγωνο και πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
\((α)\) οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας είναι ίσες.
\((β)\) το ύψος της πυραμίδας διέρχεται από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.
\((γ)\) οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.
\((δ)\) οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.
Κανονικό τετράεδροείναι μια τριγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι όψεις είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.
Θεώρημα
Οι συνθήκες \((α), (β), (γ), (δ)\) είναι ισοδύναμες.
Απόδειξη
Ας βρούμε το ύψος της πυραμίδας \(PH\) . Έστω \(\άλφα\) το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας.
1) Ας αποδείξουμε ότι από το \((a)\) προκύπτει \((b)\) . Έστω \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Επειδή \(PH\perp \alpha\), τότε το \(PH\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο κοινό σκέλος \(PH\) και στην υποτείνουσα \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Αυτό σημαίνει \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \(A_1, A_2, ..., A_n\) βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το σημείο \(H\), επομένως, βρίσκονται στον ίδιο κύκλο με την ακτίνα \(A_1H\) . Αυτός ο κύκλος, εξ ορισμού, περικλείεται στο πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) .
2) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και ίσο σε δύο πόδια. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες τους είναι επίσης ίσες, επομένως, \(\γωνία PA_1H=\γωνία PA_2H=...=\γωνία PA_nH\).
3) Ας αποδείξουμε ότι το \((c)\) υποδηλώνει \((a)\) .
Παρόμοια με το πρώτο σημείο, τρίγωνα \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και κατά μήκος του ποδιού και αιχμηρή γωνία. Αυτό σημαίνει ότι και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες, δηλαδή \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((d)\) .
Επειδή σε ένα κανονικό πολύγωνο, τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν (γενικά μιλώντας, αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου), τότε το \(H\) είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Ας σχεδιάσουμε κάθετες από το σημείο \(H\) στις πλευρές της βάσης: \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. Αυτές είναι οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου (εξ ορισμού). Στη συνέχεια, σύμφωνα με το TTP (το \(PH\) είναι κάθετο στο επίπεδο, \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. είναι προεξοχές κάθετες στις πλευρές) με κλίση \(PK_1, PK_2\), κ.λπ. κάθετες στις πλευρές \(A_1A_2, A_2A_3\), κ.λπ. αντίστοιχα. Έτσι, εξ ορισμού \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H\)ίσες με τις γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης. Επειδή τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια σε δύο πλευρές), τότε οι γωνίες \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H, ...\)είναι ίσοι.
5) Ας αποδείξουμε ότι το \((d)\) υποδηλώνει \((b)\) .
Παρόμοια με το τέταρτο σημείο, τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια κατά μήκος του σκέλους και οξεία γωνία), που σημαίνει ότι τα τμήματα \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) είναι ίσος. Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, το \(H\) είναι το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στη βάση. Επειδή όμως Για κανονικά πολύγωνα, τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν, τότε το \(H\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Chtd.
Συνέπεια
Οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.
Ορισμός
Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμα.
Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους και είναι επίσης διάμεσοι και διχοτόμοι.
Σημαντικές Σημειώσεις
1. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των υψών (ή διχοτόμων, ή διαμέσου) της βάσης (η βάση είναι κανονικό τρίγωνο).
2. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι τετράγωνο).
3. Το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι κανονικό εξάγωνο).
4. Το ύψος της πυραμίδας είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στη βάση.
Ορισμός
Η πυραμίδα ονομάζεται ορθογώνιος, αν ένα από τα πλευρικά άκρα του είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης.
Σημαντικές Σημειώσεις
1. Σε μια ορθογώνια πυραμίδα, η άκρη κάθετη στη βάση είναι το ύψος της πυραμίδας. Δηλαδή, \(SR\) είναι το ύψος.
2. Επειδή Το \(SR\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε γραμμή από τη βάση, λοιπόν \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– ορθογώνια τρίγωνα.
3. Τρίγωνα \(\τρίγωνο SRN, \τρίγωνο SRK\)- επίσης ορθογώνιο.
Δηλαδή, κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτή την άκρη και η διαγώνιος που αναδύεται από την κορυφή αυτής της ακμής που βρίσκεται στη βάση θα είναι ορθογώνιο.
\[(\Large(\text(Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας)))\]
Θεώρημα
Ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της πυραμίδας: \
Συνέπειες
Έστω \(a\) η πλευρά της βάσης, \(h\) το ύψος της πυραμίδας.
1. Ο όγκος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(δεξιό τρίγωνο.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Ο όγκος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Ο όγκος ενός κανονικού τετραέδρου είναι \(V_(\text(δεξιά tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Θεώρημα
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Ορισμός
Σκεφτείτε μια αυθαίρετη πυραμίδα \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας μέσα από ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται στο πλευρικό άκρο της πυραμίδας. Αυτό το επίπεδο θα χωρίσει την πυραμίδα σε δύο πολύεδρα, το ένα από τα οποία είναι πυραμίδα (\(PB_1B_2...B_n\)) και το άλλο ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Η κολοβωμένη πυραμίδα έχει δύο βάσεις - πολύγωνα \(A_1A_2...A_n\) και \(B_1B_2...B_n\) που είναι παρόμοια μεταξύ τους.
Το ύψος μιας κόλουρης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από κάποιο σημείο της άνω βάσης στο επίπεδο της κάτω βάσης.
Σημαντικές Σημειώσεις
1. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή.
2. Το τμήμα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας (δηλαδή μιας πυραμίδας που προκύπτει από διατομή μιας κανονικής πυραμίδας) είναι το ύψος.
Τριγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τρίγωνο στη βάση της. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι η κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της.
Εύρεση του ύψους μιας πυραμίδας
Πώς να βρείτε το ύψος μιας πυραμίδας; Πολύ απλό! Για να βρείτε το ύψος οποιασδήποτε τριγωνικής πυραμίδας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο όγκου: V = (1/3)Sh, όπου S είναι η περιοχή της βάσης, V είναι ο όγκος της πυραμίδας, h είναι το ύψος της. Από αυτόν τον τύπο, εξάγετε τον τύπο ύψους: για να βρείτε το ύψος μιας τριγωνικής πυραμίδας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον όγκο της πυραμίδας επί 3 και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε την τιμή που προκύπτει με το εμβαδόν της βάσης, θα είναι: h = (3V)/S. Δεδομένου ότι η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Αν γνωρίζουμε: το εμβαδόν του τριγώνου S και την πλευρά του z, τότε σύμφωνα με τον τύπο εμβαδού S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, όπου h το ύψος της πυραμίδας, γ είναι η άκρη του τριγώνου. τη γωνία μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των ίδιων των δύο πλευρών, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)γφsinQ, όπου γ, φ είναι οι πλευρές του τριγώνου, βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Η τιμή του ημιτόνου της γωνίας Q πρέπει να εξεταστεί στον πίνακα ημιτόνων, ο οποίος είναι διαθέσιμος στο Διαδίκτυο. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του εμβαδού στον τύπο ύψους: h = (2S)/γ. Εάν η εργασία απαιτεί τον υπολογισμό του ύψους μιας τριγωνικής πυραμίδας, τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι ήδη γνωστός.
Κανονική τριγωνική πυραμίδα
Να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, δηλαδή μιας πυραμίδας στην οποία όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα, γνωρίζοντας το μέγεθος της ακμής γ. Στην περίπτωση αυτή, οι άκρες της πυραμίδας είναι οι πλευρές των ισόπλευρων τριγώνων. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας θα είναι: h = γ√(2/3), όπου γ είναι η άκρη του ισόπλευρου τριγώνου, h το ύψος της πυραμίδας. Εάν το εμβαδόν της βάσης (S) είναι άγνωστο και δίνονται μόνο το μήκος της ακμής (γ) και ο όγκος (V) του πολύεδρου, τότε η απαραίτητη μεταβλητή στον τύπο από το προηγούμενο βήμα πρέπει να αντικατασταθεί από το ισοδύναμό του, το οποίο εκφράζεται ως προς το μήκος της άκρης. Το εμβαδόν ενός τριγώνου (κανονικό) είναι ίσο με το 1/4 του γινομένου του μήκους της πλευράς αυτού του τριγώνου τετραγωνισμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3. Αντικαθιστούμε αυτόν τον τύπο αντί για το εμβαδόν της βάσης στο προηγούμενο τύπος, και λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ο όγκος ενός τετραέδρου μπορεί να εκφραστεί μέσω του μήκους της άκρης του, στη συνέχεια από τον τύπο για τον υπολογισμό του ύψους του σχήματος, μπορείτε να αφαιρέσετε όλες τις μεταβλητές και να αφήσετε μόνο την πλευρά τριγωνικό πρόσωποφιγούρες. Ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας με το 12 από το γινόμενο το μήκος σε κύβους της όψης της με την τετραγωνική ρίζα του 2.
Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για υπολογισμό: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Επίσης σωστό τριγωνικό πρίσμαμπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα, και γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα της σφαίρας (R) μπορεί κανείς να βρει το ύψος του ίδιου του τετραέδρου. Το μήκος της ακμής του τετραέδρου είναι: γ = 4R/√6. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή γ με αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και παίρνουμε τον τύπο: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί γνωρίζοντας την ακτίνα (R) ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τετράεδρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της άκρης του τριγώνου θα είναι ίσο με 12 αναλογίες μεταξύ τετραγωνική ρίζατου 6 και ακτίνας. Αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και έχουμε: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε το μήκος του ύψους μιας πυραμίδας, πρέπει να ξέρετε τι είναι μια κανονική πυραμίδα. Μια τετραγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τετράγωνο στη βάση της. Εάν στις συνθήκες του προβλήματος έχουμε: όγκο (V) και εμβαδόν της βάσης (S) της πυραμίδας, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του ύψους του πολυέδρου (h) θα είναι ο εξής - διαιρέστε τον όγκο πολλαπλασιασμένο κατά 3 από την περιοχή S: h = (3V)/S. Δεδομένης μιας τετραγωνικής βάσης μιας πυραμίδας με δεδομένο όγκο (V) και μήκος πλευράς γ, αντικαταστήστε το εμβαδόν (S) στον προηγούμενο τύπο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας h = SO διέρχεται ακριβώς από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση. Δεδομένου ότι η βάση αυτής της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο, το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων AD και BC. Έχουμε: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Στη συνέχεια, στο ορθογώνιο τρίγωνο SOC βρίσκουμε (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα): SO = √(SC 2 -OC 2). Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας.
Αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο θα βοηθήσει τους χρήστες να πάρουν μια ιδέα για το θέμα της Πυραμίδας. Σωστή πυραμίδα. Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της πυραμίδας και θα δώσουμε έναν ορισμό. Ας εξετάσουμε τι είναι μια κανονική πυραμίδα και ποιες ιδιότητες έχει. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε το θεώρημα για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας.
Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της πυραμίδας και θα της δώσουμε έναν ορισμό.
Θεωρήστε ένα πολύγωνο Α 1 Α 2...A n, που βρίσκεται στο επίπεδο α, και το σημείο Π, το οποίο δεν βρίσκεται στο επίπεδο α (Εικ. 1). Ας συνδέσουμε τις τελείες Πμε κορυφές Α 1, Α 2, Α 3, … A n. παίρνουμε nτρίγωνα: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rκαι ούτω καθεξής.
Ορισμός. Πολύεδρο RA 1 A 2 ...A n, αποτελείται από n-πλατεία Α 1 Α 2...A nΚαι nτρίγωνα RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 λέγεται n-πυραμίδα άνθρακα. Ρύζι. 1.
Ρύζι. 1
Σκεφτείτε μια τετράγωνη πυραμίδα PABCD(Εικ. 2).
R- η κορυφή της πυραμίδας.
ABCD- τη βάση της πυραμίδας.
RA- πλαϊνή πλευρά.
ΑΒ- νεύρωση βάσης.
Από σημείο Rας ρίξουμε την κάθετη RNστο επίπεδο βάσης ABCD. Η κάθετη που σχεδιάζεται είναι το ύψος της πυραμίδας.
Ρύζι. 2
Πλήρης επιφάνειαΗ πυραμίδα αποτελείται από μια πλευρική επιφάνεια, δηλαδή την περιοχή όλων των πλευρικών όψεων και την περιοχή της βάσης:
S πλήρης = S πλευρά + S κύρια
Μια πυραμίδα ονομάζεται σωστή αν:
- Η βάση του είναι ένα κανονικό πολύγωνο.
- το τμήμα που συνδέει την κορυφή της πυραμίδας με το κέντρο της βάσης είναι το ύψος της.
Επεξήγηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας
Σκεφτείτε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα PABCD(Εικ. 3).
R- η κορυφή της πυραμίδας. Βάση της πυραμίδας ABCD- κανονικό τετράπλευρο, δηλαδή τετράγωνο. Τελεία ΓΙΑ, το σημείο τομής των διαγωνίων, είναι το κέντρο του τετραγώνου. Μέσα, ROείναι το ύψος της πυραμίδας.
Ρύζι. 3
Εξήγηση: στο σωστό nΣε ένα τρίγωνο, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο του κυκλικού κύκλου συμπίπτουν. Αυτό το κέντρο ονομάζεται κέντρο του πολυγώνου. Μερικές φορές λένε ότι η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο.
Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμακαι ορίζεται η α.
1. όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες.
2. Οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα.
Θα δώσουμε μια απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας.
Δεδομένος: PABCD- κανονική τετράγωνη πυραμίδα,
ABCD- τετράγωνο,
RO- ύψος της πυραμίδας.
Αποδεικνύω:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Βλέπε Εικ. 4.
Ρύζι. 4
Απόδειξη.
RO- ύψος της πυραμίδας. Στρέιτ δηλαδή ROκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, και επομένως άμεση JSC, VO, SOΚαι ΚΑΝΩξαπλωμένος σε αυτό. Τρίγωνα λοιπόν ROA, ROV, ROS, ROD- ορθογώνιο.
Θεωρήστε ένα τετράγωνο ABCD. Από τις ιδιότητες ενός τετραγώνου προκύπτει ότι AO = VO = CO = ΚΑΝΩ.
Στη συνέχεια τα ορθογώνια τρίγωνα ROA, ROV, ROS, RODπόδι RO- γενική και πόδια JSC, VO, SOΚαι ΚΑΝΩείναι ίσα, που σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα σε δύο πλευρές. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα των τμημάτων, RA = PB = RS = PD.Το σημείο 1 έχει αποδειχθεί.
Τμήματα ΑΒΚαι Ήλιοςείναι ίσες επειδή είναι πλευρές του ίδιου τετραγώνου, RA = PB = RS. Τρίγωνα λοιπόν AVRΚαι VSR -ισοσκελές και ίσοι στις τρεις πλευρές.
Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι τα τρίγωνα ABP, VCP, CDP, DAPείναι ισοσκελές και ίσα, όπως απαιτείται να αποδεικνύεται στην παράγραφο 2.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος:
Για να το αποδείξουμε αυτό, ας επιλέξουμε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα.
Δεδομένος: RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα.
AB = BC = AC.
RO- ύψος.
Αποδεικνύω: 
. Βλέπε Εικ. 5.
Ρύζι. 5
Απόδειξη.
RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα. Ήτοι ΑΒ= AC = π.Χ. Αφήνω ΓΙΑ- κέντρο του τριγώνου αλφάβητο, Τότε ROείναι το ύψος της πυραμίδας. Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ισόπλευρο τρίγωνο αλφάβητο. Σημειώστε ότι 
.
Τρίγωνα RAV, RVS, RSA- ίσα ισοσκελή τρίγωνα (κατά ιδιότητα). Μια τριγωνική πυραμίδα έχει τρεις πλευρικές όψεις: RAV, RVS, RSA. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι:
S πλευρά = 3S RAW
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 3 m, το ύψος της πυραμίδας είναι 4 m. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.
Δεδομένος: κανονική τετράγωνη πυραμίδα ABCD,
ABCD- τετράγωνο,
r= 3 m,
RO- ύψος της πυραμίδας,
RO= 4 μ.
Εύρημα: S πλευρά. Βλέπε Εικ. 6.
Ρύζι. 6
Διάλυμα.
Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, .
Ας βρούμε πρώτα την πλευρά της βάσης ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 3 m.
Στη συνέχεια, μ.
Βρείτε την περίμετρο του τετραγώνου ABCDμε πλευρά 6 m:
Θεωρήστε ένα τρίγωνο BCD. Αφήνω Μ- στη μέση της πλευράς DC. Επειδή ΓΙΑ- μέση BD, Αυτό 
(m).
Τρίγωνο DPC- ισοσκελές. Μ- μέση DC. Ήτοι, RM- διάμεσος, και επομένως το ύψος στο τρίγωνο DPC. Τότε RM- αποθέμα της πυραμίδας.
RO- ύψος της πυραμίδας. Μετά, ευθεία ROκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, και επομένως άμεση ΟΜ, ξαπλωμένος σε αυτό. Ας βρούμε το απόθεμα RMαπό ορθογώνιο τρίγωνο ROM.
Τώρα μπορούμε να βρούμε πλευρική επιφάνειαπυραμίδες:
Απάντηση: 60 m2.
Η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίση με m Η πλευρική επιφάνεια είναι 18 m 2. Βρείτε το μήκος του αποθέματος.
Δεδομένος: ABCP- κανονική τριγωνική πυραμίδα,
AB = BC = SA,
R= m,
S πλευρά = 18 m2.
Εύρημα: . Βλέπε Εικ. 7.
Ρύζι. 7
Διάλυμα.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητοΔίνεται η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Ας βρούμε μια πλευρά ΑΒαυτό το τρίγωνο χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων.
Γνωρίζοντας την πλευρά κανονικό τρίγωνο(m), ας βρούμε την περίμετρό του.
Με το θεώρημα της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας, όπου η α- αποθέμα της πυραμίδας. Τότε:
Απάντηση: 4 μ.
Έτσι, εξετάσαμε τι είναι μια πυραμίδα, τι είναι μια κανονική πυραμίδα και αποδείξαμε το θεώρημα για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας. Στο επόμενο μάθημα θα εξοικειωθούμε με την κολοβωμένη πυραμίδα.
Αναφορές
- Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
- Γεωμετρία. 10-11 τάξη: Εγχειρίδιο γενικής παιδείας εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
- Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδ., στερεότυπο. - M.: Bustard, 008. - 233 σελ.: ill.
- Διαδικτυακή πύλη "Yaklass" ()
- Διαδικτυακή πύλη «Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Πρωτο Σεπτέμβρη» ()
- Διαδικτυακή πύλη "Slideshare.net" ()
Σχολική εργασία στο σπίτι
- Μπορεί ένα κανονικό πολύγωνο να είναι η βάση μιας ακανόνιστης πυραμίδας;
- Να αποδείξετε ότι οι ασύνδετες ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι κάθετες.
- Βρείτε την τιμή της διεδρικής γωνίας στην πλευρά της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας αν το απόθεμα της πυραμίδας είναι ίσο με την πλευρά της βάσης της.
- RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα. Κατασκευάστε τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας στη βάση της πυραμίδας.