Η επιστήμη της γεωμετρίας μας λέει τι είναι τρίγωνο, τετράγωνο και κύβος. ΣΕ σύγχρονος κόσμοςμελετάται στα σχολεία από όλους ανεξαιρέτως. Επίσης, η επιστήμη που μελετά άμεσα τι είναι ένα τρίγωνο και τι ιδιότητες έχει είναι η τριγωνομετρία. Εξερευνά λεπτομερώς όλα τα φαινόμενα που σχετίζονται με τα δεδομένα Θα μιλήσουμε για το τι είναι ένα τρίγωνο σήμερα στο άρθρο μας. Οι τύποι τους θα περιγραφούν παρακάτω, καθώς και ορισμένα θεωρήματα που σχετίζονται με αυτά.
Τι είναι ένα τρίγωνο; Ορισμός
Αυτό είναι ένα επίπεδο πολύγωνο. Έχει τρεις γωνίες, όπως φαίνεται και από το όνομά του. Έχει επίσης τρεις πλευρές και τρεις κορυφές, η πρώτη από αυτές είναι τμήματα, η δεύτερη είναι σημεία. Γνωρίζοντας με τι ισούνται δύο γωνίες, μπορείτε να βρείτε την τρίτη αφαιρώντας το άθροισμα των δύο πρώτων από τον αριθμό 180.
Τι είδη τριγώνων υπάρχουν;
Μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με διάφορα κριτήρια.
Πρώτα απ 'όλα, χωρίζονται σε οξεία γωνία, αμβλεία γωνία και ορθογώνια. Οι πρώτες έχουν οξείες γωνίες, δηλαδή αυτές που είναι ίσες με μικρότερες από 90 μοίρες. Στις αμβλείες γωνίες, μια από τις γωνίες είναι αμβλεία, δηλαδή μια που είναι ίση με περισσότερες από 90 μοίρες, οι άλλες δύο είναι οξείες. Τα οξέα τρίγωνα περιλαμβάνουν επίσης ισόπλευρα τρίγωνα. Τέτοια τρίγωνα έχουν όλες τις πλευρές και τις γωνίες ίσες. Είναι όλες ίσες με 60 μοίρες, αυτό μπορεί εύκολα να υπολογιστεί διαιρώντας το άθροισμα όλων των γωνιών (180) με το τρία.
Ορθογώνιο τρίγωνο
Είναι αδύνατο να μην μιλήσουμε για το τι είναι ορθογώνιο τρίγωνο.
Ένα τέτοιο σχήμα έχει μια γωνία ίση με 90 μοίρες (ευθεία), δηλαδή δύο από τις πλευρές του είναι κάθετες. Οι υπόλοιπες δύο γωνίες είναι οξείες. Μπορούν να είναι ίσοι, τότε θα είναι ισοσκελές. Το Πυθαγόρειο θεώρημα σχετίζεται με το ορθογώνιο τρίγωνο. Χρησιμοποιώντας το, μπορείτε να βρείτε την τρίτη πλευρά, γνωρίζοντας τις δύο πρώτες. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, αν προσθέσετε το τετράγωνο του ενός σκέλους στο τετράγωνο του άλλου, μπορείτε να πάρετε το τετράγωνο της υποτείνουσας. Το τετράγωνο του σκέλους μπορεί να υπολογιστεί αφαιρώντας το τετράγωνο του γνωστού σκέλους από το τετράγωνο της υποτείνουσας. Μιλώντας για το τι είναι τρίγωνο, μπορούμε επίσης να θυμηθούμε ένα ισοσκελές τρίγωνο. Αυτό είναι ένα στο οποίο δύο από τις πλευρές είναι ίσες και δύο γωνίες είναι επίσης ίσες.
Τι είναι το πόδι και η υπόταση;
Ένα σκέλος είναι μία από τις πλευρές ενός τριγώνου που σχηματίζει γωνία 90 μοιρών. Η υποτείνουσα είναι η εναπομένουσα πλευρά που είναι απέναντι ορθή γωνία. Μπορείτε να κατεβάσετε μια κάθετη από αυτό στο πόδι. Ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την υποτείνουσα ονομάζεται συνημίτονο και η αντίθετη πλευρά ονομάζεται ημιτονοειδές.
- ποια είναι τα χαρακτηριστικά του;
Είναι ορθογώνιο. Τα πόδια του είναι τρία και τέσσερα και η υποτείνησή του είναι πέντε. Αν δείτε ότι τα σκέλη ενός δεδομένου τριγώνου είναι ίσα με τρία και τέσσερα, μπορείτε να είστε σίγουροι ότι η υποτείνουσα θα είναι ίση με πέντε. Επίσης, χρησιμοποιώντας αυτήν την αρχή, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε ότι το πόδι θα είναι ίσο με τρία εάν το δεύτερο είναι ίσο με τέσσερα και η υποτείνουσα είναι ίση με πέντε. Για να αποδείξετε αυτή τη δήλωση, μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Εάν δύο σκέλη είναι ίσα με 3 και 4, τότε 9 + 16 = 25, η ρίζα του 25 είναι 5, δηλαδή η υποτείνουσα είναι ίση με 5. Ένα αιγυπτιακό τρίγωνο είναι επίσης ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με 6, 8 και 10? 9, 12 και 15 και άλλοι αριθμοί με αναλογία 3:4:5.
Τι άλλο θα μπορούσε να είναι ένα τρίγωνο;
Τα τρίγωνα μπορούν επίσης να είναι εγγεγραμμένα ή περιγεγραμμένα. Το σχήμα γύρω από το οποίο περιγράφεται ο κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένο, όλες οι κορυφές του βρίσκονται στον κύκλο. Περιγεγραμμένο τρίγωνο είναι εκείνο στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος. Όλες οι πλευρές του έρχονται σε επαφή μαζί του σε ορισμένα σημεία.
Πώς βρίσκεται;
Το εμβαδόν οποιουδήποτε αριθμού μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες (τετρ. μέτρα, τετραγωνικά χιλιοστά, τετραγωνικά εκατοστά, τετραγωνικά δεκατόμετρα κ.λπ.) Αυτή η τιμή μπορεί να υπολογιστεί με ποικίλους τρόπους, ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου. Το εμβαδόν οποιουδήποτε σχήματος με γωνίες μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας την πλευρά του με την κάθετο που έπεσε πάνω του από την αντίθετη γωνία και διαιρώντας αυτό το σχήμαανα δυο. Μπορείτε επίσης να βρείτε αυτήν την τιμή πολλαπλασιάζοντας τις δύο πλευρές. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε αυτόν τον αριθμό με το ημίτονο της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ αυτών των πλευρών και διαιρέστε αυτό το αποτέλεσμα με το δύο. Γνωρίζοντας όλες τις πλευρές ενός τριγώνου, αλλά μη γνωρίζοντας τις γωνίες του, μπορείτε να βρείτε την περιοχή με άλλο τρόπο. Για να γίνει αυτό πρέπει να βρείτε τη μισή περίμετρο. Στη συνέχεια, αφαιρέστε εναλλάξ διαφορετικές πλευρές από αυτόν τον αριθμό και πολλαπλασιάστε τις τέσσερις τιμές που προκύπτουν. Στη συνέχεια, βρείτε από τον αριθμό που βγήκε. Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τριγώνου μπορεί να βρεθεί πολλαπλασιάζοντας όλες τις πλευρές και διαιρώντας τον αριθμό που προκύπτει με αυτόν που περιγράφεται γύρω του, πολλαπλασιαζόμενος επί τέσσερα.
Το εμβαδόν ενός περιγεγραμμένου τριγώνου βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο: πολλαπλασιάζουμε τη μισή περίμετρο με την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Εάν τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής: τετράγωνο της πλευράς, πολλαπλασιάστε τον αριθμό που προκύπτει με τη ρίζα του τρία και, στη συνέχεια, διαιρέστε αυτόν τον αριθμό με το τέσσερα. Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε το ύψος ενός τριγώνου στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες για να το κάνετε αυτό, μία από αυτές πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τη ρίζα των τριών και στη συνέχεια να διαιρεθεί δεδομένου αριθμούανα δυο.
Θεωρήματα που σχετίζονται με τρίγωνο
Τα κύρια θεωρήματα που συνδέονται με αυτό το σχήμα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα που περιγράφηκε παραπάνω και τα συνημίτονα. Το δεύτερο (των ημιτόνων) είναι ότι εάν διαιρέσετε οποιαδήποτε πλευρά με το ημίτονο της γωνίας απέναντι της, μπορείτε να πάρετε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτήν, πολλαπλασιαζόμενη επί δύο. Το τρίτο (συνημίτονα) είναι ότι αν από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών αφαιρέσουμε το γινόμενο τους πολλαπλασιασμένο επί δύο και το συνημίτονο της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ τους, τότε παίρνουμε το τετράγωνο της τρίτης πλευράς.
Τρίγωνο Dali - τι είναι;
Πολλοί, όταν έρχονται αντιμέτωποι με αυτήν την έννοια, στην αρχή πιστεύουν ότι πρόκειται για κάποιο είδος ορισμού στη γεωμετρία, αλλά αυτό δεν ισχύει καθόλου. Το τρίγωνο του Νταλί είναι συνηθισμένο όνοματρία μέρη που συνδέονται στενά με τη ζωή διάσημος καλλιτέχνης. Οι «κορυφές» του είναι το σπίτι στο οποίο έζησε ο Σαλβαδόρ Νταλί, το κάστρο που χάρισε στη γυναίκα του, καθώς και το μουσείο σουρεαλιστικών πινάκων. Μπορείτε να μάθετε πολλά κατά τη διάρκεια μιας περιήγησης σε αυτά τα μέρη. ενδιαφέροντα γεγονόταγια αυτόν τον μοναδικό δημιουργικό καλλιτέχνη που είναι γνωστός σε όλο τον κόσμο.
Ίσως το πιο βασικό, απλό και ενδιαφέρον σχήμα στη γεωμετρία είναι το τρίγωνο. Ξέρω ΛύκειοΟι βασικές ιδιότητές του μελετώνται, αλλά μερικές φορές η γνώση για αυτό το θέμα είναι ελλιπής. Οι τύποι των τριγώνων αρχικά καθορίζουν τις ιδιότητές τους. Αλλά αυτή η άποψη παραμένει μικτή. Επομένως, τώρα ας δούμε αυτό το θέμα με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες.
Οι τύποι των τριγώνων εξαρτώνται από το μέτρο της μοίρας των γωνιών. Αυτά τα σχήματα είναι οξείες, ορθογώνιες και αμβλείες. Εάν όλες οι γωνίες δεν υπερβαίνουν τις 90 μοίρες, τότε το σχήμα μπορεί να ονομαστεί με ασφάλεια οξεία. Εάν τουλάχιστον μία γωνία του τριγώνου είναι 90 μοίρες, τότε έχετε να κάνετε με ένα ορθογώνιο υποείδος. Αντίστοιχα, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η υπό εξέταση ονομάζεται αμβλεία γωνία.
Υπάρχουν πολλά προβλήματα για τους υποτύπους με οξεία γωνία. Διακριτικό χαρακτηριστικόείναι η εσωτερική θέση των σημείων τομής διχοτόμων, διαμέσου και υψομέτρου. Σε άλλες περιπτώσεις, αυτή η προϋπόθεση μπορεί να μην πληρούται. Δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του τριγωνικού σχήματος. Αρκεί να γνωρίζουμε, για παράδειγμα, το συνημίτονο κάθε γωνίας. Εάν κάποιες τιμές είναι μικρότερες από το μηδέν, τότε το τρίγωνο είναι σε κάθε περίπτωση αμβλύ. Στην περίπτωση μηδενικού δείκτη, το σχήμα έχει ορθή γωνία. Όλες οι θετικές τιμές είναι εγγυημένα ότι θα σας πουν ότι κοιτάτε σε μια γωνιακή θέα.
Είναι αδύνατο να μην πω για ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το πιο τέλεια θέα, όπου όλα τα σημεία τομής των διαμέσου, των διχοτόμων και των υψών συμπίπτουν. Στο ίδιο σημείο βρίσκεται και το κέντρο του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου. Για να λύσετε προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε μόνο τη μία πλευρά, αφού οι γωνίες αρχικά σας δίνονται και οι άλλες δύο πλευρές είναι γνωστές. Δηλαδή, το σχήμα καθορίζεται από μία μόνο παράμετρο. Υπάρχουν κύριο χαρακτηριστικό- ισότητα δύο πλευρών και γωνιών στη βάση.
Μερικές φορές τίθεται το ερώτημα εάν υπάρχει τρίγωνο με δεδομένες πλευρές. Αυτό που πραγματικά ρωτάτε είναι αν η περιγραφή ταιριάζει στο κύριο είδος. Για παράδειγμα, εάν το άθροισμα των δύο πλευρών είναι μικρότερο από την τρίτη, τότε στην πραγματικότητα τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει καθόλου. Εάν η εργασία σας ζητήσει να βρείτε τα συνημίτονα των γωνιών ενός τριγώνου με πλευρές 3,5,9, τότε το προφανές μπορεί να εξηγηθεί χωρίς πολύπλοκες μαθηματικές τεχνικές. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να φτάσετε από το σημείο Α στο σημείο Β. Η απόσταση σε μια ευθεία είναι 9 χιλιόμετρα. Ωστόσο, θυμηθήκατε ότι πρέπει να πάτε στο σημείο Γ στο κατάστημα. Η απόσταση από το Α στο Γ είναι 3 χιλιόμετρα και από το Γ στο Β είναι 5. Έτσι, αποδεικνύεται ότι όταν μετακινείστε μέσα από το κατάστημα, θα περπατήσετε ένα χιλιόμετρο λιγότερο. Επειδή όμως το σημείο Γ δεν βρίσκεται στην ευθεία ΑΒ, θα πρέπει να περπατήσετε μια επιπλέον απόσταση. Εδώ υπάρχει μια αντίφαση. Αυτή είναι, φυσικά, μια εξήγηση υπό όρους. Τα μαθηματικά γνωρίζουν περισσότερους από έναν τρόπους για να αποδείξουν ότι όλοι οι τύποι τριγώνων υπακούουν στη βασική ταυτότητα. Δηλώνει ότι το άθροισμα δύο πλευρών είναι μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης.
Οποιοσδήποτε τύπος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1) Το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 180 μοίρες.
2) Υπάρχει πάντα ένα ορθόκεντρο - το σημείο τομής και των τριών υψών.
3) Και οι τρεις διάμεσοι που προέρχονται από τις κορυφές των εσωτερικών γωνιών τέμνονται σε ένα σημείο.
4) Ένας κύκλος μπορεί να σχεδιαστεί γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο. Μπορείτε επίσης να εγγράψετε έναν κύκλο έτσι ώστε να έχει μόνο τρία σημεία επαφής και να μην εκτείνεται πέρα από τις εξωτερικές πλευρές.
Τώρα είστε εξοικειωμένοι με τις βασικές ιδιότητες που έχουν διαφορετικοί τύποι τριγώνων. Στο μέλλον, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τι αντιμετωπίζετε όταν λύνετε ένα πρόβλημα.
Περισσότερα παιδιά ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑξέρετε πώς μοιάζει ένα τρίγωνο. Όμως τα παιδιά έχουν ήδη αρχίσει να καταλαβαίνουν πώς είναι στο σχολείο. Ένας τύπος είναι ένα αμβλύ τρίγωνο. Ο ευκολότερος τρόπος για να καταλάβετε τι είναι είναι να δείτε μια εικόνα του. Και θεωρητικά αυτό είναι αυτό που αποκαλούν το «απλότερο πολύγωνο» με τρεις πλευρές και κορυφές, μία από τις οποίες είναι
Κατανόηση των εννοιών
Στη γεωμετρία, υπάρχουν αυτοί οι τύποι σχημάτων με τρεις πλευρές: οξεία, ορθογώνια και αμβλεία τρίγωνα. Επιπλέον, οι ιδιότητες αυτών των απλούστερων πολυγώνων είναι ίδιες για όλα. Ναι, για όλους παρατιθέμενους τύπουςθα παρατηρηθεί τέτοια ανισότητα. Το άθροισμα των μηκών οποιωνδήποτε δύο πλευρών θα είναι αναγκαστικά μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς.
Αλλά για να είμαστε σίγουροι ότι μιλάμε για ένα πλήρες σχήμα και όχι για ένα σύνολο μεμονωμένων κορυφών, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε ότι πληρούται η κύρια προϋπόθεση: το άθροισμα των γωνιών ενός αμβλύ τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες . Το ίδιο ισχύει και για άλλους τύπους φιγούρων με τρεις πλευρές. Είναι αλήθεια ότι σε ένα αμβλύ τρίγωνο, μία από τις γωνίες θα είναι ακόμη μεγαλύτερη από 90° και οι υπόλοιπες δύο θα είναι σίγουρα οξείες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι η μεγαλύτερη γωνία που θα είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά. Είναι αλήθεια ότι αυτές δεν είναι όλες οι ιδιότητες ενός αμβλύ τριγώνου. Αλλά ακόμη και γνωρίζοντας μόνο αυτά τα χαρακτηριστικά, οι μαθητές μπορούν να λύσουν πολλά προβλήματα στη γεωμετρία.
Για κάθε πολύγωνο με τρεις κορυφές, είναι επίσης αλήθεια ότι συνεχίζοντας οποιαδήποτε από τις πλευρές, παίρνουμε μια γωνία της οποίας το μέγεθος θα είναι ίσο με το άθροισμαδύο μη γειτονικές εσωτερικές κορυφές. Η περίμετρος ενός αμβλύ τριγώνου υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για άλλα σχήματα. Είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του. Για να το προσδιορίσουν αυτό, οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει διάφορους τύπους, ανάλογα με τα δεδομένα που υπάρχουν αρχικά.
Σωστό στυλ
Ενας από τις πιο σημαντικές προϋποθέσειςΗ επίλυση προβλημάτων στη γεωμετρία είναι το σωστό σχέδιο. Οι καθηγητές μαθηματικών λένε συχνά ότι θα βοηθήσει όχι μόνο να οπτικοποιήσετε τι δίνεται και τι απαιτείται από εσάς, αλλά και να πλησιάσετε κατά 80% τη σωστή απάντηση. Γι' αυτό είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πώς να κατασκευάζουμε ένα αμβλύ τρίγωνο. Εάν χρειάζεστε απλώς ένα υποθετικό σχήμα, τότε μπορείτε να σχεδιάσετε οποιοδήποτε πολύγωνο με τρεις πλευρές έτσι ώστε μία από τις γωνίες να είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες.
Εάν δίνονται ορισμένες τιμές των μηκών των πλευρών ή των βαθμών των γωνιών, τότε είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα αμβλύ τρίγωνο σύμφωνα με αυτές. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να προσπαθήσετε να απεικονίσετε τις γωνίες όσο το δυνατόν ακριβέστερα, υπολογίζοντάς τις χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο και να εμφανίσετε τις πλευρές ανάλογα με τις συνθήκες που δίνονται στην εργασία.
Κύριες γραμμές
Συχνά, δεν αρκεί για τους μαθητές να γνωρίζουν μόνο πώς πρέπει να μοιάζουν ορισμένες φιγούρες. Δεν μπορούν να περιοριστούν σε πληροφορίες μόνο για το ποιο τρίγωνο είναι αμβλύ και ποιο ορθό. Το μάθημα των μαθηματικών απαιτεί οι γνώσεις τους για τα βασικά χαρακτηριστικά των σχημάτων να είναι πληρέστερες.
Έτσι, κάθε μαθητής θα πρέπει να κατανοήσει τον ορισμό της διχοτόμου, της διάμεσης, της κάθετης διχοτόμου και του ύψους. Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζει τις βασικές τους ιδιότητες.
Έτσι, οι διχοτόμοι διαιρούν μια γωνία στο μισό και την απέναντι πλευρά σε τμήματα που είναι ανάλογα με τις γειτονικές πλευρές.
Η διάμεσος χωρίζει οποιοδήποτε τρίγωνο σε δύο ίσα σε εμβαδόν. Στο σημείο στο οποίο τέμνονται, καθένα από αυτά χωρίζεται σε 2 τμήματα σε αναλογία 2: 1, όταν το δούμε από την κορυφή από την οποία προέκυψε. Σε αυτή την περίπτωση, η μεγάλη διάμεσος τραβιέται πάντα στη μικρότερη πλευρά της.
Δεν δίνεται λιγότερη προσοχή στο ύψος. Αυτό είναι κάθετο στην πλευρά απέναντι από τη γωνία. Το ύψος ενός αμβλύ τριγώνου έχει τα δικά του χαρακτηριστικά. Αν τραβηχτεί από μια αιχμηρή κορυφή, τότε δεν καταλήγει στην πλευρά αυτού του απλούστερου πολυγώνου, αλλά στη συνέχειά του.
Η κάθετη διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που εκτείνεται από το κέντρο της όψης του τριγώνου. Επιπλέον, βρίσκεται σε ορθή γωνία με αυτό.
Εργασία με κύκλους
Στην αρχή της μελέτης της γεωμετρίας, αρκεί τα παιδιά να καταλάβουν πώς να σχεδιάζουν ένα αμβλύ τρίγωνο, να μάθουν να το ξεχωρίζουν από άλλους τύπους και να θυμούνται τις βασικές του ιδιότητες. Αλλά για μαθητές γυμνασίου αυτή η γνώση δεν είναι πλέον αρκετή. Για παράδειγμα, στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους υπάρχουν συχνά ερωτήσεις σχετικά με περιγεγραμμένους και εγγεγραμμένους κύκλους. Το πρώτο από αυτά αγγίζει και τις τρεις κορυφές του τριγώνου και το δεύτερο έχει ένα κοινό σημείο με όλες τις πλευρές.
Η κατασκευή ενός εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου αμβλυγώνιου τριγώνου είναι πολύ πιο δύσκολη, γιατί για να γίνει αυτό πρέπει πρώτα να μάθετε πού πρέπει να είναι το κέντρο του κύκλου και η ακτίνα του. Παρεμπιπτόντως, σε αυτή την περίπτωση, όχι μόνο ένα μολύβι με χάρακα, αλλά και μια πυξίδα θα γίνει απαραίτητο εργαλείο.
Οι ίδιες δυσκολίες προκύπτουν κατά την κατασκευή εγγεγραμμένων πολυγώνων με τρεις πλευρές. Οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει διάφορους τύπους που τους επιτρέπουν να προσδιορίζουν τη θέση τους όσο το δυνατόν ακριβέστερα.
Ενεπίγραφα τρίγωνα
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, εάν ένας κύκλος διέρχεται και από τις τρεις κορυφές, τότε ονομάζεται κυκλικός κύκλος. Η κύρια ιδιότητά του είναι ότι είναι μοναδικό. Για να μάθετε πώς πρέπει να βρίσκεται ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός αμβλείας τριγώνου, πρέπει να θυμάστε ότι το κέντρο του βρίσκεται στη τομή των τριών διτομικών καθέτων που πηγαίνουν στις πλευρές του σχήματος. Εάν σε ένα πολύγωνο με οξεία γωνία με τρεις κορυφές αυτό το σημείο θα βρίσκεται μέσα του, τότε σε ένα πολύγωνο με αμβλεία γωνία θα είναι έξω από αυτό.
Γνωρίζοντας, για παράδειγμα, ότι μία από τις πλευρές ενός αμβλείας τριγώνου είναι ίση με την ακτίνα του, μπορείτε να βρείτε τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη γνωστή όψη. Το ημίτονο του θα είναι ίσο με το αποτέλεσμα της διαίρεσης του μήκους της γνωστής πλευράς με το 2R (όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου). Δηλαδή, η αμαρτία της γωνίας θα είναι ίση με ½. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία θα είναι ίση με 150°.
Εάν πρέπει να βρείτε την περιφέρεια ενός αμβλύ τριγώνου, τότε θα χρειαστείτε πληροφορίες για το μήκος των πλευρών του (c, v, b) και το εμβαδόν του S. Εξάλλου, η ακτίνα υπολογίζεται ως εξής: (c x v x b) : 4 x S. Παρεμπιπτόντως, δεν έχει σημασία τι τύπο σχήματος έχετε: κλιμακωτό αμβλύ τρίγωνο, ισοσκελές, ορθογώνιο ή οξεία. Σε κάθε περίπτωση, χάρη στον παραπάνω τύπο, μπορείτε να μάθετε την περιοχή ενός δεδομένου πολυγώνου με τρεις πλευρές.
Περιγεγραμμένα τρίγωνα
Επίσης, συχνά πρέπει να εργαστείτε με εγγεγραμμένους κύκλους. Σύμφωνα με έναν τύπο, η ακτίνα ενός τέτοιου σχήματος, πολλαπλασιαζόμενη με το ½ της περιμέτρου, θα είναι ίση με το εμβαδόν του τριγώνου. Είναι αλήθεια ότι για να το καταλάβετε πρέπει να γνωρίζετε τις πλευρές ενός αμβλύ τριγώνου. Εξάλλου, για να προσδιορίσετε το ½ της περιμέτρου, πρέπει να προσθέσετε τα μήκη τους και να διαιρέσετε με το 2.
Για να καταλάβετε πού πρέπει να βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου που εγγράφεται σε ένα αμβλύ τρίγωνο, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε τρεις διχοτόμους. Αυτές είναι οι γραμμές που διχοτομούν τις γωνίες. Στη διασταύρωση τους θα βρίσκεται το κέντρο του κύκλου. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχει ίση απόσταση από κάθε πλευρά.
Η ακτίνα ενός τέτοιου κύκλου που εγγράφεται σε ένα αμβλύ τρίγωνο είναι ίση με το πηλίκο (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Στην περίπτωση αυτή, p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, c, v, b είναι οι πλευρές του.
Το απλούστερο πολύγωνο που μελετάται στο σχολείο είναι ένα τρίγωνο. Είναι πιο κατανοητό για τους μαθητές και συναντά λιγότερες δυσκολίες. Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν διαφορετικοί τύποι τριγώνων, τα οποία έχουν ειδικές ιδιότητες.
Ποιο σχήμα ονομάζεται τρίγωνο;
Σχηματίζεται από τρία σημεία και τμήματα. Οι πρώτες ονομάζονται κορυφές, οι δεύτερες ονομάζονται πλευρές. Επιπλέον, και τα τρία τμήματα πρέπει να συνδέονται έτσι ώστε να σχηματίζονται γωνίες μεταξύ τους. Εξ ου και το όνομα του σχήματος "τριγώνου".
Διαφορές στα ονόματα στις γωνίες
Δεδομένου ότι μπορεί να είναι οξεία, αμβλεία και ευθεία, οι τύποι των τριγώνων καθορίζονται από αυτά τα ονόματα. Κατά συνέπεια, υπάρχουν τρεις ομάδες τέτοιων στοιχείων.
- Πρώτα. Αν όλες οι γωνίες ενός τριγώνου είναι οξείες, τότε αυτό θα ονομάζεται οξεία. Όλα είναι λογικά.
- Δεύτερος. Μία από τις γωνίες είναι αμβλεία, που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι αμβλύ. Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό.
- Τρίτος. Υπάρχει μια γωνία ίση με 90 μοίρες, η οποία ονομάζεται ορθή γωνία. Το τρίγωνο γίνεται ορθογώνιο.
Διαφορές στα ονόματα στα πλαϊνά
Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά των πλευρών, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι τριγώνων:
η γενική περίπτωση είναι scalene, στην οποία όλες οι πλευρές έχουν αυθαίρετο μήκος.
ισοσκελές, δύο πλευρές των οποίων έχουν τις ίδιες αριθμητικές τιμές.
ισόπλευρο, τα μήκη όλων των πλευρών του είναι τα ίδια.
Εάν το πρόβλημα δεν καθορίζει έναν συγκεκριμένο τύπο τριγώνου, τότε πρέπει να σχεδιάσετε ένα αυθαίρετο. Στο οποίο όλες οι γωνίες είναι αιχμηρές και οι πλευρές έχουν διαφορετικά μήκη.
Ιδιότητες κοινές σε όλα τα τρίγωνα
- Αν αθροίσουμε όλες τις γωνίες ενός τριγώνου, θα έχουμε έναν αριθμό ίσο με 180º. Και δεν έχει σημασία τι είδους είναι. Αυτός ο κανόνας ισχύει πάντα.
- Η αριθμητική τιμή οποιασδήποτε πλευράς τριγώνου είναι μικρότερη από τις άλλες δύο αθροισμένες μαζί. Επιπλέον, είναι μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.
- Κάθε εξωτερική γωνία έχει μια τιμή που προκύπτει προσθέτοντας δύο εσωτερικές γωνίες που δεν γειτνιάζουν με αυτήν. Επιπλέον, είναι πάντα μεγαλύτερο από το εσωτερικό που βρίσκεται δίπλα του.
- Η μικρότερη γωνία βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μικρότερη πλευρά του τριγώνου. Και αντίστροφα, εάν η πλευρά είναι μεγάλη, τότε η γωνία θα είναι η μεγαλύτερη.
Αυτές οι ιδιότητες ισχύουν πάντα, ανεξάρτητα από το ποιοι τύποι τριγώνων λαμβάνονται υπόψη στα προβλήματα. Όλα τα υπόλοιπα απορρέουν από συγκεκριμένα χαρακτηριστικά.
Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου
- Οι γωνίες που γειτνιάζουν με τη βάση είναι ίσες.
- Το ύψος, που τραβιέται στη βάση, είναι επίσης η διάμεσος και η διχοτόμος.
- Τα ύψη, οι διάμεσοι και οι διχοτόμοι, που είναι χτισμένες στις πλευρικές πλευρές του τριγώνου, είναι αντίστοιχα ίσα μεταξύ τους.
Ιδιότητες ισόπλευρου τριγώνου
Εάν υπάρχει ένα τέτοιο ποσοστό, τότε όλες οι ιδιότητες που περιγράφονται λίγο παραπάνω θα είναι αληθινές. Γιατί ένα ισόπλευρο θα είναι πάντα ισοσκελές. Αλλά όχι το αντίστροφο, ένα ισοσκελές τρίγωνο δεν θα είναι απαραίτητα ισόπλευρο.
- Όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους και έχουν τιμή 60º.
- Οποιοσδήποτε διάμεσος ισόπλευρο τρίγωνοείναι το ύψος και η διχοτόμος του. Επιπλέον, είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους. Για τον προσδιορισμό των τιμών τους, υπάρχει ένας τύπος που αποτελείται από το γινόμενο της πλευράς και την τετραγωνική ρίζα του 3 διαιρούμενο με το 2.
Ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου
- Δύο οξείες γωνίες αθροίζονται σε 90º.
- Το μήκος της υποτείνουσας είναι πάντα μεγαλύτερο από αυτό οποιουδήποτε σκέλους.
- Η αριθμητική τιμή της διαμέσου που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της.
- Το σκέλος είναι ίσο με την ίδια τιμή εάν βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º.
- Το ύψος, το οποίο αντλείται από την κορυφή με τιμή 90º, έχει μια ορισμένη μαθηματική εξάρτηση από τα σκέλη: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Εδώ: α, β - πόδια, n - ύψος.
Προβλήματα με διαφορετικούς τύπους τριγώνων
Νο 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Η περίμετρός του είναι γνωστή και ίση με 90 cm Πρέπει να μάθουμε τις πλευρές του. Ως πρόσθετη προϋπόθεση: η πλαϊνή πλευρά είναι 1,2 φορές μικρότερη από τη βάση.
Η τιμή της περιμέτρου εξαρτάται άμεσα από τις ποσότητες που πρέπει να βρεθούν. Το άθροισμα και των τριών πλευρών θα δώσει 90 cm Τώρα πρέπει να θυμάστε το σημάδι ενός τριγώνου, σύμφωνα με το οποίο είναι ισοσκελές. Δηλαδή οι δύο πλευρές είναι ίσες. Μπορείτε να δημιουργήσετε μια εξίσωση με δύο αγνώστους: 2a + b = 90. Εδώ a είναι η πλευρά, b είναι η βάση.
Τώρα ήρθε η ώρα για μια επιπλέον προϋπόθεση. Μετά από αυτήν προκύπτει η δεύτερη εξίσωση: b = 1,2a. Μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτήν την έκφραση στην πρώτη. Αποδεικνύεται: 2a + 1,2a = 90. Μετά από μετασχηματισμούς: 3,2a = 90. Ως εκ τούτου a = 28,125 (cm). Τώρα είναι εύκολο να μάθετε τη βάση. Αυτό γίνεται καλύτερα από τη δεύτερη συνθήκη: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
Για έλεγχο, μπορείτε να προσθέσετε τρεις τιμές: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Σωστά.
Απάντηση: Οι πλευρές του τριγώνου είναι 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
Νο 2. Η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 12 cm Πρέπει να υπολογίσετε το ύψος του.
Λύση. Για να βρούμε την απάντηση, αρκεί να επιστρέψουμε στη στιγμή που περιγράφηκαν οι ιδιότητες του τριγώνου. Αυτός είναι ο τύπος για την εύρεση του ύψους, της μέσης και της διχοτόμου ενός ισόπλευρου τριγώνου.
n = a * √3 / 2, όπου n είναι το ύψος και a είναι η πλευρά.
Η αντικατάσταση και ο υπολογισμός δίνουν το εξής αποτέλεσμα: n = 6 √3 (cm).
Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτόν τον τύπο. Αρκεί να θυμόμαστε ότι το ύψος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι είναι ένα πόδι και η υποτείνουσα σε αυτό είναι η πλευρά του αρχικού, το δεύτερο πόδι είναι το ήμισυ της γνωστής πλευράς. Τώρα πρέπει να γράψετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να εξαγάγετε έναν τύπο για το ύψος.
Απάντηση: το ύψος είναι 6 √3 cm.
Νο. 3. Δεδομένου ότι το MKR είναι ένα τρίγωνο, στο οποίο η γωνία K κάνει 90 μοίρες Οι πλευρές MR και KR είναι ίσες με 30 και 15 cm, αντίστοιχα.
Λύση. Εάν κάνετε ένα σχέδιο, γίνεται σαφές ότι η MR είναι η υποτείνουσα. Επιπλέον, είναι διπλάσια από την πλευρά του KR. Και πάλι πρέπει να στραφείτε στα ακίνητα. Ένα από αυτά έχει να κάνει με γωνίες. Από αυτό είναι σαφές ότι η γωνία KMR είναι 30º. Αυτό σημαίνει ότι η επιθυμητή γωνία P θα είναι ίση με 60º. Αυτό προκύπτει από μια άλλη ιδιότητα, η οποία αναφέρει ότι το άθροισμα των δύο αιχμηρές γωνίεςπρέπει να είναι 90º.
Απάντηση: Η γωνία P είναι 60º.
Νο 4. Πρέπει να βρούμε όλες τις γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου. Είναι γνωστό ότι η εξωτερική γωνία από τη γωνία στη βάση είναι 110º.
Λύση. Δεδομένου ότι δίνεται μόνο η εξωτερική γωνία, αυτό είναι που πρέπει να χρησιμοποιήσετε. Σχηματίζει μια ξεδιπλωμένη γωνία με την εσωτερική. Αυτό σημαίνει ότι συνολικά θα δώσουν 180º. Δηλαδή, η γωνία στη βάση του τριγώνου θα είναι ίση με 70º. Εφόσον είναι ισοσκελές, η δεύτερη γωνία έχει την ίδια τιμή. Απομένει να υπολογίσουμε την τρίτη γωνία. Σύμφωνα με μια ιδιότητα κοινή για όλα τα τρίγωνα, το άθροισμα των γωνιών είναι 180º. Αυτό σημαίνει ότι το τρίτο θα οριστεί ως 180º - 70º - 70º = 40º.
Απάντηση: οι γωνίες είναι 70º, 70º, 40º.
Νο 5. Είναι γνωστό ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία απέναντι από τη βάση είναι 90º. Υπάρχει ένα σημείο σημειωμένο στη βάση. Το τμήμα που το συνδέει σε ορθή γωνία το διαιρεί σε αναλογία 1 προς 4. Πρέπει να μάθετε όλες τις γωνίες του μικρότερου τριγώνου.
Λύση. Μία από τις γωνίες μπορεί να προσδιοριστεί αμέσως. Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, αυτά που βρίσκονται στη βάση του θα είναι 45º το καθένα, δηλαδή 90º/2.
Το δεύτερο από αυτά θα σας βοηθήσει να βρείτε τη σχέση που είναι γνωστή στην κατάσταση. Εφόσον είναι ίσο με 1 προς 4, τα μέρη στα οποία χωρίζεται είναι μόνο 5. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε τη μικρότερη γωνία ενός τριγώνου χρειάζεστε 90º/5 = 18º. Μένει να μάθουμε το τρίτο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αφαιρέσετε 45º και 18º από 180º (το άθροισμα όλων των γωνιών του τριγώνου). Οι υπολογισμοί είναι απλοί και παίρνετε: 117º.
Όταν σπουδάζουν μαθηματικά, οι μαθητές αρχίζουν να εξοικειώνονται με διάφορους τύπους γεωμετρικά σχήματα. Σήμερα θα μιλήσουμε για διάφοροι τύποιτρίγωνα.
Ορισμός
Τα γεωμετρικά σχήματα που αποτελούνται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ονομάζονται τρίγωνα.
Τα τμήματα που συνδέουν τα σημεία ονομάζονται πλευρές και τα σημεία ονομάζονται κορυφές. Οι κορυφές χαρακτηρίζονται με κεφαλαία γράμματα, για παράδειγμα: A, B, C.
Οι πλευρές χαρακτηρίζονται από τα ονόματα των δύο σημείων από τα οποία αποτελούνται - AB, BC, AC. Τέμνοντας, οι πλευρές σχηματίζουν γωνίες. Η κάτω πλευρά θεωρείται η βάση του σχήματος.
Ρύζι. 1. Τρίγωνο ΑΒΓ.
Τύποι τριγώνων
Τα τρίγωνα ταξινομούνται κατά γωνίες και πλευρές. Κάθε τύπος τριγώνου έχει τις δικές του ιδιότητες.
Υπάρχουν τρεις τύποι τριγώνων στις γωνίες:
- οξεία γωνία?
- ορθογώνιος;
- αμβλεία γωνία.
Όλες οι γωνίες οξεία γωνίατα τρίγωνα είναι οξέα, δηλαδή μέτρο βαθμούτο καθένα δεν είναι περισσότερο από 90 0.
Ορθογώνιοςένα τρίγωνο περιέχει μια ορθή γωνία. Οι άλλες δύο γωνίες θα είναι πάντα οξείες, αφού διαφορετικά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα ξεπεράσει τις 180 μοίρες και αυτό είναι αδύνατο. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο ονομάζονται πόδια. Η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από το πόδι.
Κουτόςτο τρίγωνο περιέχει μια αμβλεία γωνία. Δηλαδή γωνία μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Οι άλλες δύο γωνίες σε ένα τέτοιο τρίγωνο θα είναι οξείες.
Ρύζι. 2. Τύποι τριγώνων στις γωνίες.
Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι 3, 4, 5.
Επιπλέον, η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα.
Τέτοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται συχνά για την κατασκευή απλές εργασίεςστη γεωμετρία. Επομένως, θυμηθείτε: εάν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες με 3, τότε η τρίτη θα είναι σίγουρα 5. Αυτό θα απλοποιήσει τους υπολογισμούς.
Τύποι τριγώνων στις πλευρές:
- ισόπλευρος;
- ισοσκελής;
- πολύπλευρος.
Ισόπλευροςένα τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Όλες οι γωνίες ενός τέτοιου τριγώνου είναι ίσες με 60 0, δηλαδή είναι πάντα οξεία.
Ισοσκελήςτρίγωνο - ένα τρίγωνο με μόνο δύο πλευρές ίσες. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλευρικές και η τρίτη ονομάζεται βάση. Επιπλέον, οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και πάντα οξείες.
Πολύπλευροςή αυθαίρετο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλα τα μήκη και όλες οι γωνίες δεν είναι ίσα μεταξύ τους.
Εάν το πρόβλημα δεν περιέχει διευκρινίσεις σχετικά με το σχήμα, τότε είναι γενικά αποδεκτό ότι μιλάμε για ένα αυθαίρετο τρίγωνο.
Ρύζι. 3. Τύποι τριγώνων στις πλευρές.
Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου, ανεξάρτητα από τον τύπο του, είναι 1800.
Απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία είναι η μεγαλύτερη πλευρά. Και επίσης το μήκος οποιασδήποτε πλευράς είναι πάντα μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών της. Αυτές οι ιδιότητες επιβεβαιώνονται από το θεώρημα της ανισότητας του τριγώνου.
Υπάρχει η έννοια του χρυσού τριγώνου. Αυτό είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με δύο πλευρέςανάλογο της βάσης και ίσο έναν ορισμένο αριθμό. Σε ένα τέτοιο σχήμα, οι γωνίες είναι ανάλογες με την αναλογία 2:2:1.
Εργο:
Υπάρχει τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι 6 cm, 3 cm, 4 cm;
Λύση:
Για λύσεις αυτής της ανάθεσηςπρέπει να χρησιμοποιήσετε την ανισότητα α
Τι μάθαμε;
Από αυτού του υλικούΑπό το μάθημα των μαθηματικών της Ε' τάξης μάθαμε ότι τα τρίγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τις πλευρές τους και το μέγεθος των γωνιών τους. Τα τρίγωνα έχουν ορισμένες ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση προβλημάτων.