Ο κύκλος είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, με το οποίο η εξοικείωση εμφανίζεται στο ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ. Αργότερα θα μάθετε τις ιδιότητές του και Χαρακτηριστικά. Εάν οι κορυφές ενός αυθαίρετου πολυγώνου βρίσκονται σε έναν κύκλο και το ίδιο το σχήμα βρίσκεται μέσα σε αυτόν, τότε έχετε ένα γεωμετρικό σχήμα εγγεγραμμένο στον κύκλο.
Η έννοια της ακτίνας χαρακτηρίζει την απόσταση από οποιοδήποτε σημείο ενός κύκλου μέχρι το κέντρο του. Η τελευταία βρίσκεται στην τομή των κάθετων σε κάθε πλευρά του πολυγώνου. Έχοντας αποφασίσει για την ορολογία, ας εξετάσουμε εκφράσεις που θα σας βοηθήσουν να βρείτε την ακτίνα για κάθε τύπο πολυγώνου.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός περιγεγραμμένου κύκλου - κανονικού πολυγώνου
Αυτό το σχήμα μπορεί να έχει οποιονδήποτε αριθμό κορυφών, αλλά όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Για να βρούμε την ακτίνα ενός κύκλου στον οποίο είναι τοποθετημένο ένα κανονικό πολύγωνο, αρκεί να γνωρίζουμε τον αριθμό των πλευρών του σχήματος και το μήκος τους.
R = b/2sin(180°/n),
β – μήκος πλευράς,
n είναι ο αριθμός των κορυφών (ή των πλευρών) του σχήματος.
Η δεδομένη σχέση για την περίπτωση ενός εξαγώνου θα έχει την ακόλουθη μορφή:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = β.
Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός ορθογωνίου
Όταν ένα τετράπλευρο βρίσκεται σε κύκλο, που έχει 2 ζεύγη παράλληλων πλευρών και εσωτερικές γωνίες 90°, το σημείο τομής των διαγωνίων του πολυγώνου θα είναι το κέντρο του. Χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια σχέση, καθώς και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου, λαμβάνουμε τις απαραίτητες εκφράσεις για να βρούμε την ακτίνα:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – πλευρές του ορθογωνίου,
d είναι η διαγώνιος του.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός περιγεγραμμένου κύκλου - τετραγώνου
Τοποθετήστε ένα τετράγωνο στον κύκλο. Το τελευταίο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με 4 πλευρές. Επειδή Δεδομένου ότι ένα τετράγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ενός ορθογωνίου, οι διαγώνιες του διαιρούνται επίσης στο μισό στο σημείο τομής τους.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – πλευρά του τετραγώνου,
d είναι η διαγώνιος του.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός περιγεγραμμένου κύκλου - ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς
Εάν ένα τραπεζοειδές τοποθετηθεί σε κύκλο, τότε για να προσδιορίσετε την ακτίνα θα πρέπει να γνωρίζετε τα μήκη των πλευρών του και τη διαγώνιο.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – πλευρές του τραπεζοειδούς,
d είναι η διαγώνιος του.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός περιγεγραμμένου κύκλου - ενός τριγώνου
Ελεύθερο Τρίγωνο
- Για να προσδιορίσουμε την ακτίνα ενός κύκλου που περιγράφει ένα τρίγωνο, αρκεί να γνωρίζουμε το μέγεθος των πλευρών του.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (m + l + k)/2,
m, l, k – πλευρές του τριγώνου. - Αν είναι γνωστό το μήκος της πλευράς και μέτρο βαθμούη γωνία απέναντι από αυτήν, τότε η ακτίνα προσδιορίζεται ως εξής:
Για τρίγωνο MLK
R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
M, L, K – οι γωνίες του (κορυφές). - Δεδομένου του εμβαδού ενός σχήματος, μπορείτε επίσης να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου στον οποίο τοποθετείται:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – πλευρές του τριγώνου,
S είναι η περιοχή του.
Ισοσκελές τρίγωνο
Αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε οι 2 πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους. Κατά την περιγραφή ενός τέτοιου σχήματος, η ακτίνα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη σχέση:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), αλλά m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – πλευρές του τριγώνου.
Ορθογώνιο τρίγωνο
Εάν μία από τις γωνίες του τριγώνου είναι ορθή και ένας κύκλος περιγράφεται γύρω από το σχήμα, τότε για να προσδιοριστεί το μήκος της ακτίνας του τελευταίου, θα απαιτηθεί η παρουσία γνωστών πλευρών του τριγώνου.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – πόδια,
k – υποτείνουσα.
Πρώτο επίπεδο
Περιγεγραμμένος κύκλος. Οπτικός οδηγός (2019)
Το πρώτο ερώτημα που μπορεί να προκύψει είναι: τι περιγράφεται - γύρω από τι;
Λοιπόν, στην πραγματικότητα, μερικές φορές συμβαίνει γύρω από οτιδήποτε, αλλά θα μιλήσουμε για έναν κύκλο που περικλείεται γύρω από ένα τρίγωνο (μερικές φορές λένε επίσης "περίπου"). Τι είναι αυτό;
Και απλά φανταστείτε, συμβαίνει ένα εκπληκτικό γεγονός:
Γιατί προκαλεί έκπληξη αυτό το γεγονός;
Αλλά τα τρίγωνα είναι διαφορετικά!
Και για όλους υπάρχει ένας κύκλος που θα περάσει και στις τρεις κορυφές, δηλαδή ο περιγεγραμμένος κύκλος.
Απόδειξη αυτού καταπληκτικό γεγονόςμπορείτε να βρείτε στα ακόλουθα επίπεδα της θεωρίας, αλλά εδώ σημειώνουμε μόνο ότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, ένα τετράπλευρο, τότε όχι για όλους θα υπάρχει ένας κύκλος που θα διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές. Για παράδειγμα, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα εξαιρετικό τετράπλευρο, αλλά δεν υπάρχει κύκλος που να διέρχεται από τις τέσσερις κορυφές του!
Και υπάρχει μόνο για ένα ορθογώνιο:
Ορίστε, και κάθε τρίγωνο έχει πάντα τον δικό του περιγεγραμμένο κύκλο!Και είναι ακόμα πολύ εύκολο να βρεις το κέντρο αυτού του κύκλου.
Ξέρεις τι είναι κάθετη διχοτόμος?
Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί αν θεωρήσουμε έως και τρεις κάθετες διχοτόμους στις πλευρές του τριγώνου.
Αποδεικνύεται (και αυτό ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί, αν και δεν θα το κάνουμε). και οι τρεις κάθετοι τέμνονται σε ένα σημείο.Κοιτάξτε την εικόνα - και οι τρεις κάθετες διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο.
Πιστεύετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο; Φανταστείτε - όχι πάντα!
Αλλα αν οξεία γωνία, μετά - μέσα:
Τι να κάνετε με ένα ορθογώνιο τρίγωνο;
Και με ένα επιπλέον μπόνους:
Εφόσον μιλάμε για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου: με τι ισούται για ένα αυθαίρετο τρίγωνο; Και υπάρχει απάντηση σε αυτό το ερώτημα: το λεγόμενο .
Και συγκεκριμένα:
Και φυσικά,
1. Ύπαρξη και κυκλικό κέντρο
Εδώ τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τέτοιος κύκλος για κάθε τρίγωνο; Αποδεικνύεται ότι ναι, για όλους. Και επιπλέον, θα διατυπώσουμε τώρα ένα θεώρημα που απαντά επίσης στο ερώτημα πού βρίσκεται το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.
Μοιάζει με αυτό:
Ας είμαστε γενναίοι και ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Εάν έχετε ήδη διαβάσει το θέμα "" και έχετε καταλάβει γιατί τρεις διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο, τότε θα είναι πιο εύκολο για εσάς, αλλά αν δεν το έχετε διαβάσει, μην ανησυχείτε: τώρα θα το καταλάβουμε.
Θα πραγματοποιήσουμε την απόδειξη χρησιμοποιώντας την έννοια του τόπου σημείων (GLP).
Λοιπόν, για παράδειγμα, είναι το σύνολο των σφαιρών ο «γεωμετρικός τόπος» των στρογγυλών αντικειμένων; Όχι βέβαια γιατί υπάρχουν στρογγυλά...καρπούζια. Είναι ένα σύνολο ανθρώπων, ένας «γεωμετρικός τόπος», που μπορεί να μιλήσει; Ούτε, γιατί υπάρχουν μωρά που δεν μπορούν να μιλήσουν. Στη ζωή, είναι γενικά δύσκολο να βρεθεί ένα παράδειγμα μιας πραγματικής «γεωμετρικής θέσης σημείων». Είναι πιο εύκολο στη γεωμετρία. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε:
Εδώ το σύνολο είναι η κάθετη διχοτόμος και η ιδιότητα " " είναι "να είναι ίση απόσταση (ένα σημείο) από τα άκρα του τμήματος."
Να τσεκάρουμε; Επομένως, πρέπει να βεβαιωθείτε για δύο πράγματα:
- Κάθε σημείο που είναι ίση απόσταση από τα άκρα ενός τμήματος βρίσκεται στην κάθετη με αυτό.
Ας συνδέσουμε τα c και c. Τότε η γραμμή είναι η διάμεσος και το ύψος b. Αυτό σημαίνει - ισοσκελές - φροντίσαμε ότι οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο είναι εξίσου μακριά από τα σημεία και.
Ας πάρουμε τη μέση και ας συνδεθούμε και. Το αποτέλεσμα είναι η διάμεσος. Σύμφωνα όμως με την συνθήκη, δεν είναι μόνο η διάμεσος ισοσκελές, αλλά και το ύψος, δηλαδή η κάθετη διχοτόμος. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο βρίσκεται ακριβώς στην κάθετη διχοτόμο.
Ολα! Έχουμε επαληθεύσει πλήρως το γεγονός ότι Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Όλα αυτά είναι καλά, αλλά έχουμε ξεχάσει τον περιγεγραμμένο κύκλο; Καθόλου, απλώς έχουμε προετοιμάσει τους εαυτούς μας ως «εφαλτήριο για επίθεση».
Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Ας σχεδιάσουμε δύο διτομικές κάθετες και, ας πούμε, στα τμήματα και. Θα διασταυρωθούν κάποια στιγμή, που θα ονομάσουμε.
Τώρα, προσοχή!
Το σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο.
το σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο.
Και αυτό σημαίνει, και.
Από αυτό προκύπτουν αρκετά πράγματα:
Πρώτον, το σημείο πρέπει να βρίσκεται στην τρίτη διχοτόμο κάθετη στο τμήμα.
Δηλαδή, η κάθετη διχοτόμος πρέπει επίσης να διέρχεται από το σημείο, και οι τρεις κάθετες διχοτόμοι τέμνονται σε ένα σημείο.
Δεύτερον: αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε σημείο και ακτίνα, τότε και αυτός ο κύκλος θα περάσει και από το σημείο και από το σημείο, δηλαδή θα είναι ένας περιγεγραμμένος κύκλος. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ήδη ότι η τομή τριών κάθετων διχοτόμων είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιοδήποτε τρίγωνο.
Και το τελευταίο: για τη μοναδικότητα. Είναι σαφές (σχεδόν) ότι το σημείο μπορεί να ληφθεί με μοναδικό τρόπο, επομένως ο κύκλος είναι μοναδικός. Λοιπόν, θα αφήσουμε "σχεδόν" για τον προβληματισμό σας. Έτσι αποδείξαμε το θεώρημα. Μπορείτε να φωνάξετε "Hurray!"
Τι γίνεται αν το πρόβλημα ρωτά «βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου»; Ή το αντίστροφο, η ακτίνα είναι δεδομένη, αλλά πρέπει να βρείτε κάτι άλλο; Υπάρχει τύπος που να συσχετίζει την ακτίνα του κυκλικού κύκλου με τα άλλα στοιχεία του τριγώνου;
Παρακαλώ σημειώστε: το ημιτονικό θεώρημα δηλώνει ότι για να βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, χρειάζεστε μια πλευρά (οποιαδήποτε!) και τη γωνία απέναντι από αυτήν. Αυτό είναι όλο!
3. Κέντρο του κύκλου - μέσα ή έξω
Τώρα το ερώτημα είναι: μπορεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου να βρίσκεται έξω από το τρίγωνο;
Απάντηση: όσο το δυνατόν περισσότερο. Επιπλέον, αυτό συμβαίνει πάντα σε ένα αμβλύ τρίγωνο.
Και γενικά μιλώντας:
ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ
1. Κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα τρίγωνο
Αυτός είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές αυτού του τριγώνου.
2. Ύπαρξη και κυκλικό κέντρο
Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.
Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!
Τώρα το πιο σημαντικό.
Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.
Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...
Για τι;
Για επιτυχημένη περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, δια βίου.
Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…
Άνθρωποι που έλαβαν μια καλή εκπαίδευση, κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έλαβαν. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.
Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.
Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...
Αλλά σκέψου μόνος σου...
Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;
ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.
Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.
Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.
Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.
Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.
Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.
Για να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.
Πως; Υπάρχουν δύο επιλογές:
- Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
- Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 999 τρίψτε.
Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.
Στη δεύτερη περίπτωση θα σας δώσουμεπροσομοιωτής "6000 προβλήματα με λύσεις και απαντήσεις, για κάθε θέμα, σε όλα τα επίπεδα πολυπλοκότητας." Σίγουρα θα είναι αρκετό για να βάλετε τα χέρια σας στην επίλυση προβλημάτων για οποιοδήποτε θέμα.
Στην πραγματικότητα, είναι πολύ περισσότερα από έναν προσομοιωτή - ολόκληρο το πρόγραμμαπαρασκευή. Αν χρειαστεί, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε και ΔΩΡΕΑΝ.
Η πρόσβαση σε όλα τα κείμενα και τα προγράμματα παρέχεται για ΟΛΗ την περίοδο ύπαρξης του ιστότοπου.
Συμπερασματικά...
Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.
Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.
Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου; Αυτή η ερώτηση είναι πάντα σχετική για τους μαθητές που σπουδάζουν επιπεδομετρία. Παρακάτω θα δούμε πολλά παραδείγματα για το πώς μπορείτε να αντιμετωπίσετε αυτό το έργο.
Ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου έτσι.
Τύπος 1: R = L / 2π, όπου L είναι και π είναι σταθερά ίση με 3,141...
Τύπος 2: R = √(S / π), όπου S είναι η περιοχή του κύκλου.
Τύπος 1: R = B/2, όπου B είναι η υποτείνουσα.
Τύπος 2: R = M*B, όπου B είναι η υποτείνουσα, και M είναι η διάμεσος που έλκεται σε αυτήν.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εάν περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό πολύγωνο
Τύπος: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), όπου A είναι το μήκος μιας από τις πλευρές του σχήματος και n είναι ο αριθμός των πλευρών σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου
Ένας εγγεγραμμένος κύκλος ονομάζεται όταν αγγίζει όλες τις πλευρές του πολυγώνου. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Τύπος 1: R = S / (P/2), όπου - S και P είναι το εμβαδόν και η περίμετρος του σχήματος, αντίστοιχα.
Τύπος 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), όπου P είναι η περίμετρος, A είναι το μήκος μιας από τις πλευρές και είναι η γωνία απέναντι από αυτήν την πλευρά.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εάν είναι εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο τρίγωνο
Φόρμουλα 1:
Η ακτίνα ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε ρόμβο
Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιονδήποτε ρόμβο, τόσο ισόπλευρο όσο και άνισο.
Τύπος 1: R = 2 * H, όπου H είναι το ύψος γεωμετρικό σχήμα.
Τύπος 2: R = S / (A*2), όπου S είναι και Α το μήκος της πλευράς του.
Τύπος 3: R = √((S * sin A)/4), όπου S είναι το εμβαδόν του ρόμβου και sin A είναι το ημίτονο οξεία γωνίααυτού του γεωμετρικού σχήματος.
Τύπος 4: R = B*G/(√(B² + G²), όπου B και G είναι τα μήκη των διαγωνίων του γεωμετρικού σχήματος.
Τύπος 5: R = B*sin (A/2), όπου B είναι η διαγώνιος του ρόμβου και A είναι η γωνία στις κορυφές που συνδέουν τη διαγώνιο.
Η ακτίνα ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο
Εάν στη δήλωση προβλήματος σας δίνονται τα μήκη όλων των πλευρών του σχήματος, τότε πρώτα υπολογίστε το (P) και μετά την ημιπερίμετρο (p):
P = A+B+C, όπου A, B, C είναι τα μήκη των πλευρών του γεωμετρικού σχήματος.
Τύπος 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
Και αν, γνωρίζοντας και τις τρεις ίδιες πλευρές, σας δοθεί επίσης μία, τότε μπορείτε να υπολογίσετε την απαιτούμενη ακτίνα ως εξής.
Τύπος 2: R = S * 2(A + B + C)
Τύπος 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), όπου - n είναι η ημιπερίμετρος του γεωμετρικού σχήματος.
Τύπος 4: R = (n - A) * tan (A/2), όπου n είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, A είναι μία από τις πλευρές του και tg (A/2) είναι η εφαπτομένη της μισής γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά.
Και ο παρακάτω τύπος θα σας βοηθήσει να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος
Τύπος 5: R = A * √3/6.
Η ακτίνα ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο τρίγωνο
Εάν το πρόβλημα δίνει τα μήκη των ποδιών, καθώς και την υποτείνουσα, τότε η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου προσδιορίζεται ως εξής.
Τύπος 1: R = (A+B-C)/2, όπου τα A, B είναι τα πόδια, το C είναι η υποτείνουσα.
Σε περίπτωση που σας δοθούν μόνο δύο σκέλη, είναι καιρός να θυμηθείτε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την υποτείνουσα και να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο.
C = √(A²+B²).
Η ακτίνα ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο
Ένας κύκλος που είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο χωρίζει και τις 4 πλευρές του ακριβώς στη μέση στα σημεία επαφής.
Τύπος 1: R = A/2, όπου Α είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου.
Τύπος 2: R = S / (P/2), όπου S και P είναι το εμβαδόν και η περίμετρος του τετραγώνου, αντίστοιχα.
Το θέμα «Εγγεγραμμένοι και περιγεγραμμένοι κύκλοι σε τρίγωνα» είναι ένα από τα πιο δύσκολα στο μάθημα της γεωμετρίας. Περνάει πολύ λίγο χρόνο στην τάξη.
Γεωμετρικά προβλήματα αυτού του θέματος περιλαμβάνονται στο δεύτερο μέρος χαρτί εξετάσεωνΕνιαία Κρατική Εξέταση ανά μάθημα Λύκειο. Για να ολοκληρώσετε με επιτυχία αυτές τις εργασίες χρειάζεστε γερές γνώσειςβασικά γεωμετρικά δεδομένα και κάποια εμπειρία στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.
Για κάθε τρίγωνο υπάρχει μόνο ένας κύκλος. Αυτός είναι ένας κύκλος στον οποίο βρίσκονται και οι τρεις κορυφές ενός τριγώνου με δεδομένες παραμέτρους. Η εύρεση της ακτίνας του μπορεί να χρειαστεί όχι μόνο σε ένα μάθημα γεωμετρίας. Σχεδιαστές, κόφτες, μηχανικοί και εκπρόσωποι πολλών άλλων επαγγελμάτων πρέπει να ασχολούνται συνεχώς με αυτό. Για να βρείτε την ακτίνα του, πρέπει να γνωρίζετε τις παραμέτρους του τριγώνου και τις ιδιότητές του. Το κέντρο του κυκλικού κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων του τριγώνου.
Φέρνω στην προσοχή σας όλους τους τύπους για την εύρεση της ακτίνας ενός περιγεγραμμένου κύκλου και όχι μόνο ενός τριγώνου. Οι τύποι για τον εγγεγραμμένο κύκλο μπορούν να προβληθούν.
α, β. Με -πλευρές του τριγώνου
α -
αντίθετη γωνίαένα,
ΜΙΚΡΟ-περιοχή ενός τριγώνου,
Π-ημιπερίμετρος
Στη συνέχεια, για να βρείτε την ακτίνα ( R) του κυκλικού κύκλου χρησιμοποιώντας τους τύπους:
Με τη σειρά του, το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν από τους ακόλουθους τύπους:
Εδώ είναι μερικές ακόμη φόρμουλες.
1. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι περίπου κανονικό τρίγωνο. Αν έναπλευρά του τριγώνου τότε
2. Η ακτίνα του κύκλου γύρω από ισοσκελές τρίγωνο. Αφήνω α, β- πλευρές του τριγώνου, λοιπόν
Η ακτίνα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει οποιοδήποτε σημείο ενός κύκλου με το κέντρο του. Αυτό είναι ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά αυτού του αριθμού, αφού στη βάση του μπορούν να υπολογιστούν όλες οι άλλες παράμετροι. Εάν ξέρετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου, μπορείτε να υπολογίσετε τη διάμετρο, το μήκος και το εμβαδόν του. Στην περίπτωση που ένα δεδομένο σχήμα είναι εγγεγραμμένο ή περιγράφεται γύρω από ένα άλλο, μπορείτε επίσης να λύσετε ολόκληρη γραμμήκαθήκοντα. Σήμερα θα δούμε τους βασικούς τύπους και τα χαρακτηριστικά της εφαρμογής τους.
Γνωστές ποσότητες
Εάν ξέρετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου, η οποία συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα R, τότε μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας ένα χαρακτηριστικό. Αυτές οι τιμές περιλαμβάνουν:
- περιφέρεια (C);
- διάμετρος (D) - ένα τμήμα (ή μάλλον, μια χορδή) που διέρχεται από το κεντρικό σημείο.
- περιοχή (S) - ο χώρος που περιορίζεται από ένα δεδομένο σχήμα.
Περιφέρεια
Εάν η τιμή του C είναι γνωστή στο πρόβλημα, τότε R = C / (2 * P). Αυτός ο τύπος είναι παράγωγος. Αν γνωρίζουμε ποια είναι η περιφέρεια, τότε δεν χρειάζεται πλέον να τη θυμόμαστε. Ας υποθέσουμε ότι στο πρόβλημα C = 20 m Πώς να βρούμε την ακτίνα του κύκλου σε αυτή την περίπτωση; Απλώς αντικαθιστούμε τη γνωστή τιμή στον παραπάνω τύπο. Σημειώστε ότι σε τέτοια προβλήματα η γνώση του αριθμού P υπονοείται πάντα για ευκολία στους υπολογισμούς, λαμβάνουμε την τιμή του ως 3,14. Η λύση σε αυτή την περίπτωση μοιάζει με αυτό: γράφουμε ποιες ποσότητες δίνονται, εξάγουμε τον τύπο και πραγματοποιούμε τους υπολογισμούς. Στην απάντηση γράφουμε ότι η ακτίνα είναι 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m Είναι σημαντικό να μην ξεχνάμε τι υπολογίσαμε και να αναφέρουμε το όνομα των μονάδων μέτρησης.
Κατά διάμετρο
Ας τονίσουμε αμέσως ότι αυτό είναι το απλούστερο είδος προβλήματος, το οποίο ρωτά πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου. Αν συναντήσατε ένα τέτοιο παράδειγμα σε ένα τεστ, τότε μπορείτε να είστε σίγουροι. Εδώ δεν χρειάζεστε καν αριθμομηχανή! Όπως έχουμε ήδη πει, η διάμετρος είναι ένα τμήμα ή, πιο σωστά, μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο. Στην περίπτωση αυτή, όλα τα σημεία του κύκλου απέχουν ίσα. Επομένως, αυτή η συγχορδία αποτελείται από δύο μισά. Καθένα από αυτά είναι μια ακτίνα, η οποία προκύπτει από τον ορισμό του ως τμήμα που συνδέει ένα σημείο σε έναν κύκλο και το κέντρο του. Εάν η διάμετρος είναι γνωστή στο πρόβλημα, τότε για να βρείτε την ακτίνα πρέπει απλώς να διαιρέσετε αυτήν την τιμή με δύο. Ο τύπος είναι ο εξής: R = D / 2. Για παράδειγμα, εάν η διάμετρος στο πρόβλημα είναι 10 m, τότε η ακτίνα είναι 5 μέτρα.
Ανά περιοχή κύκλου
Αυτό το είδος προβλήματος ονομάζεται συνήθως το πιο δύσκολο. Αυτό οφείλεται κυρίως σε άγνοια της φόρμουλας. Αν ξέρετε πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου σε αυτή την περίπτωση, τότε τα υπόλοιπα είναι θέμα τεχνικής. Στην αριθμομηχανή, πρέπει απλώς να βρείτε εκ των προτέρων το εικονίδιο υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας. Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι το γινόμενο του αριθμού P και της ακτίνας πολλαπλασιαζόμενη με τον εαυτό του. Ο τύπος είναι ο εξής: S = P * R 2. Απομονώνοντας την ακτίνα στη μία πλευρά της εξίσωσης, μπορείτε εύκολα να λύσετε το πρόβλημα. Θα είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου της περιοχής διαιρούμενο με τον αριθμό P. Αν S = 10 m, τότε R = 1,78 μέτρα. Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, είναι σημαντικό να θυμάστε τις μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιήθηκαν.
Πώς να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου
Ας υποθέσουμε ότι τα a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου. Εάν γνωρίζετε τις τιμές τους, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτόν. Για να γίνει αυτό, πρέπει πρώτα να βρείτε την ημιπερίμετρο του τριγώνου. Για να γίνει πιο κατανοητό, ας το συμβολίσουμε με το μικρό γράμμα p. Θα είναι ίσο με το ήμισυ του αθροίσματος των πλευρών. Ο τύπος του: p = (a + b + c) / 2.
Υπολογίζουμε και το γινόμενο των μηκών των πλευρών. Για ευκολία, ας το χαρακτηρίσουμε με το γράμμα S. Ο τύπος για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου θα μοιάζει με αυτό: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - γ)).
Ας δούμε ένα παράδειγμα εργασίας. Έχουμε έναν κύκλο περιγεγραμμένο γύρω από ένα τρίγωνο. Τα μήκη των πλευρών του είναι 5, 6 και 7 cm Αρχικά υπολογίζουμε την ημιπερίμετρο. Στο πρόβλημά μας θα είναι ίσο με 9 εκατοστά. Τώρα ας υπολογίσουμε το γινόμενο των μηκών των πλευρών - 210. Αντικαθιστούμε τα αποτελέσματα των ενδιάμεσων υπολογισμών στον τύπο και ανακαλύπτουμε το αποτέλεσμα. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι 3,57 εκατοστά. Καταγράφουμε την απάντηση, χωρίς να ξεχνάμε τις μονάδες μέτρησης.
Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου
Ας υποθέσουμε ότι τα a, b, c είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Εάν γνωρίζετε τις τιμές τους, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε αυτόν. Πρώτα πρέπει να βρείτε την ημιπερίμετρό του. Για να γίνει πιο κατανοητό, ας το συμβολίσουμε με το μικρό γράμμα p. Ο τύπος για τον υπολογισμό του είναι ο εξής: p = (a + b + c) / 2. Αυτός ο τύπος προβλήματος είναι κάπως απλούστερος από το προηγούμενο, επομένως δεν χρειάζονται άλλοι ενδιάμεσοι υπολογισμοί.
Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Ας το δούμε αυτό συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι το πρόβλημα περιγράφει ένα τρίγωνο με πλευρές 5, 7 και 10 cm είναι εγγεγραμμένος σε αυτό, η ακτίνα του οποίου πρέπει να βρεθεί. Πρώτα βρίσκουμε την ημιπερίμετρο. Στο πρόβλημά μας θα είναι ίσο με 11 cm Τώρα το αντικαθιστούμε στον κύριο τύπο. Η ακτίνα θα είναι ίση με 1,65 εκατοστά. Καταγράφουμε την απάντηση και δεν ξεχνάμε τις σωστές μονάδες μέτρησης.
Ο κύκλος και οι ιδιότητές του
Κάθε γεωμετρικό σχήμα έχει τα δικά του χαρακτηριστικά. Η ορθότητα της επίλυσης προβλημάτων εξαρτάται από την κατανόησή τους. Τα έχει και ο κύκλος. Συχνά χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση παραδειγμάτων με περιγραφόμενα ή εγγεγραμμένα σχήματα, καθώς παρέχουν μια σαφή εικόνα μιας τέτοιας κατάστασης. Ανάμεσα τους:
- Μια ευθεία μπορεί να έχει μηδέν, ένα ή δύο σημεία τομής με έναν κύκλο. Στην πρώτη περίπτωση δεν τέμνεται μαζί της, στη δεύτερη είναι εφαπτομένη, στην τρίτη είναι τέμνουσα.
- Εάν πάρετε τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε μόνο ένας κύκλος μπορεί να διαγραφεί μέσα από αυτά.
- Μια ευθεία γραμμή μπορεί να εφάπτεται σε δύο ψηφία ταυτόχρονα. Σε αυτή την περίπτωση, θα περάσει από ένα σημείο που βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει τα κέντρα των κύκλων. Το μήκος του είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων αυτών των σχημάτων.
- Ένας άπειρος αριθμός κύκλων μπορεί να σχεδιαστεί μέσα από ένα ή δύο σημεία.