Μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της. Βασικά στοιχεία της γεωμετρίας: μια κανονική πυραμίδα είναι

Ορισμός

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από ένα πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) και \(n\) τρίγωνα με κοινή κορυφή \(P\) (δεν βρίσκεται στο επίπεδο του πολυγώνου) και πλευρές απέναντι από αυτό, που συμπίπτουν με την πλευρές του πολυγώνου.
Ονομασία: \(PA_1A_2...A_n\) .
Παράδειγμα: πενταγωνική πυραμίδα \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Τρίγωνα \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), κ.λπ. λέγονται πλαϊνά πρόσωπαπυραμίδες, τμήματα \(PA_1, PA_2\), κ.λπ. – πλευρικές νευρώσεις, πολύγωνο \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – βάση, σημείο \(P\) – μπλουζα.

ΥψοςΟι πυραμίδες είναι μια κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης.

Μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της ονομάζεται τετράεδρο.

Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός, εάν η βάση του είναι κανονικό πολύγωνο και πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

\((ένα)\) πλευρικές νευρώσειςοι πυραμίδες είναι ίσες.

\((β)\) το ύψος της πυραμίδας διέρχεται από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση.

\((γ)\) οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.

\((ρε)\) πλαϊνά πρόσωπακλίση προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία.

Κανονικό τετράεδροείναι μια τριγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι όψεις είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Θεώρημα

Οι συνθήκες \((α), (β), (γ), (δ)\) είναι ισοδύναμες.

Απόδειξη

Ας βρούμε το ύψος της πυραμίδας \(PH\) . Έστω \(\άλφα\) το επίπεδο της βάσης της πυραμίδας.

1) Ας αποδείξουμε ότι το \((a)\) υποδηλώνει \((b)\) . Έστω \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Επειδή \(PH\perp \alpha\), τότε το \(PH\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα στο κοινό σκέλος \(PH\) και στην υποτείνουσα \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Αυτό σημαίνει \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία \(A_1, A_2, ..., A_n\) βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το σημείο \(H\), επομένως, βρίσκονται στον ίδιο κύκλο με την ακτίνα \(A_1H\) . Αυτός ο κύκλος, εξ ορισμού, περικλείεται στο πολύγωνο \(A_1A_2...A_n\) .

2) Ας αποδείξουμε ότι το \((b)\) υποδηλώνει \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και ίσο σε δύο πόδια. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες τους είναι επίσης ίσες, επομένως, \(\γωνία PA_1H=\γωνία PA_2H=...=\γωνία PA_nH\).

3) Ας αποδείξουμε ότι το \((c)\) υποδηλώνει \((a)\) .

Παρόμοια με το πρώτο σημείο, τρίγωνα \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)ορθογώνιο και κατά μήκος του ποδιού και αιχμηρή γωνία. Αυτό σημαίνει ότι και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες, δηλαδή \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Ας αποδείξουμε ότι από το \((b)\) προκύπτει \((d)\) .

Επειδή Σε ένα κανονικό πολύγωνο τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν (γενικά μιλώντας, αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου), τότε το \(H\) είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Ας σχεδιάσουμε κάθετες από το σημείο \(H\) στις πλευρές της βάσης: \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. Αυτές είναι οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου (εξ ορισμού). Στη συνέχεια, σύμφωνα με το TTP (το \(PH\) είναι κάθετο στο επίπεδο, \(HK_1, HK_2\), κ.λπ. είναι προβολές, κάθετα στις πλευρές) λοξό \(PK_1, PK_2\), κ.λπ. κάθετες στις πλευρές \(A_1A_2, A_2A_3\), κ.λπ. αντίστοιχα. Έτσι, εξ ορισμού \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H\)ίσες με τις γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης. Επειδή τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια σε δύο πλευρές), τότε οι γωνίες \(\γωνία PK_1H, \γωνία PK_2H, ...\)είναι ίσα.

5) Ας αποδείξουμε ότι το \((d)\) υποδηλώνει \((b)\) .

Παρόμοια με το τέταρτο σημείο, τα τρίγωνα \(PK_1H, PK_2H, ...\) είναι ίσα (ως ορθογώνια κατά μήκος του σκέλους και οξεία γωνία), που σημαίνει ότι τα τμήματα \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) είναι ίσος. Αυτό σημαίνει, εξ ορισμού, το \(H\) είναι το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στη βάση. Αλλά επειδή Για κανονικά πολύγωνα, τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν, τότε το \(H\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Chtd.

Συνέπεια

Οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τρίγωνα.

Ορισμός

Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμα.
Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους και είναι επίσης διάμεσοι και διχοτόμοι.

Σημαντικές σημειώσεις

1. Το ύψος είναι σωστό τριγωνική πυραμίδαπέφτει στο σημείο τομής των υψομέτρων (ή διχοτόμων, ή διάμεσων) της βάσης (η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο).

2. Το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι τετράγωνο).

3. Το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας πέφτει στο σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (η βάση είναι κανονικό εξάγωνο).

4. Το ύψος της πυραμίδας είναι κάθετο σε κάθε ευθεία που βρίσκεται στη βάση.

Ορισμός

Η πυραμίδα ονομάζεται ορθογώνιος, αν ένα από τα πλευρικά άκρα του είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης.

Σημαντικές σημειώσεις

1. Σε μια ορθογώνια πυραμίδα, η άκρη κάθετη στη βάση είναι το ύψος της πυραμίδας. Δηλαδή, \(SR\) είναι το ύψος.

2. Επειδή Το \(SR\) είναι κάθετο σε οποιαδήποτε γραμμή από τη βάση, λοιπόν \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– ορθογώνια τρίγωνα.

3. Τρίγωνα \(\τρίγωνο SRN, \τρίγωνο SRK\)- επίσης ορθογώνιο.
Δηλαδή, κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτή την άκρη και η διαγώνιος που αναδύεται από την κορυφή αυτής της ακμής που βρίσκεται στη βάση θα είναι ορθογώνιο.

\[(\Large(\text(Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας)))\]

Θεώρημα

Ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους της πυραμίδας: \

Συνέπειες

Έστω \(a\) η πλευρά της βάσης, \(h\) το ύψος της πυραμίδας.

1. Ο όγκος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(δεξιό τρίγωνο.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Ο όγκος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Ο όγκος ενός κανονικού τετραέδρου είναι \(V_(\text(δεξιά tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Θεώρημα

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Ορισμός

Σκεφτείτε μια αυθαίρετη πυραμίδα \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση της πυραμίδας μέσα από ένα συγκεκριμένο σημείο που βρίσκεται στο πλευρικό άκρο της πυραμίδας. Αυτό το επίπεδο θα χωρίσει την πυραμίδα σε δύο πολύεδρα, το ένα από τα οποία είναι πυραμίδα (\(PB_1B_2...B_n\)) και το άλλο ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Η κολοβωμένη πυραμίδα έχει δύο βάσεις - πολύγωνα \(A_1A_2...A_n\) και \(B_1B_2...B_n\) που είναι παρόμοια μεταξύ τους.

Το ύψος μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι μια κάθετη που τραβιέται από κάποιο σημείο της άνω βάσης στο επίπεδο της κάτω βάσης.

Σημαντικές σημειώσεις

1. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδή.

2. Το τμήμα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας (δηλαδή μιας πυραμίδας που προκύπτει από διατομή μιας κανονικής πυραμίδας) είναι το ύψος.

Ορισμός. Πλαϊνή άκρη- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η απέναντι πλευρά συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).

Ορισμός. Πλαϊνά πλευρά- αυτές είναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες και οι γωνίες ενός πολυγώνου.

Ορισμός. Ύψος πυραμίδας- αυτή είναι μια κάθετη χαμηλωμένη από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.

Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι μια κάθετη προς την πλευρική όψη της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.

Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.

Ορισμός. Σωστή πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, και το ύψος πέφτει στο κέντρο της βάσης.

Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας

Τύπος. Όγκος της πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:

Ιδιότητες της πυραμίδας

Εάν όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης να συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, από το κέντρο της βάσης (κύκλος) περνάει μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή.

Αν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στις ίδιες γωνίες.

Οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες όταν σχηματίζονται με το επίπεδο της βάσης ίσες γωνίεςή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Εάν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της.

Αν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.

Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας

1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.

2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.

3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση σε ίσες γωνίες ως προς τη βάση.

4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.

5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.

6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.

7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.

8. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.

9. Αν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.

Η σύνδεση μεταξύ της πυραμίδας και της σφαίρας

Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.

Είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική ή κανονική πυραμίδα.

Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.

Σύνδεση πυραμίδας με κώνο

Ένας κώνος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.

Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους.

Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.

Σχέση πυραμίδας και κυλίνδρου

Μια πυραμίδα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.

Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Ορισμός. Κόλουρη πυραμίδα (πυραμιδικό πρίσμα)είναι ένα πολύεδρο που βρίσκεται μεταξύ της βάσης της πυραμίδας και του επιπέδου τομής παράλληλο προς τη βάση. Έτσι η πυραμίδα έχει μια μεγάλη βάση και μια μικρότερη βάση που είναι παρόμοια με τη μεγαλύτερη. Οι πλευρικές όψεις είναι τραπεζοειδείς.

Ορισμός. Τριγωνική πυραμίδα (τετράεδρο)είναι μια πυραμίδα στην οποία τρεις όψεις και η βάση είναι αυθαίρετα τρίγωνα.

Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιαδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν αγγίζονται.

Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριγωνική γωνία.

Το τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).

Διδιάμεσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).

Όλα τα δίμεσα και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, οι δίμεσοι χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι χωρίζονται σε αναλογία 3:1 ξεκινώντας από την κορυφή.

Ορισμός. Κεκλιμένη πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία ένα από τα άκρα σχηματίζει αμβλεία γωνία (β) με τη βάση.

Ορισμός. Ορθογώνια πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία μία από τις πλευρικές όψεις είναι κάθετη στη βάση.

Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.

Ορισμός. Αμβλεία πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.

Ορισμός. Κανονικό τετράεδρο- ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Σε ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες (μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (στην κορυφή) είναι ίσες.

Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροείναι ένα τετράεδρο με ορθή γωνία μεταξύ τριών άκρων στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριγωνική γωνίακαι οι όψεις είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.

Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροονομάζεται τετράεδρο του οποίου οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Ένα τέτοιο τετράεδρο έχει όψεις που είναι ισοσκελές τρίγωνα.

Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο τέμνονται σε ένα σημείο όλα τα ύψη (κάθετοι) που κατεβαίνουν από την κορυφή προς την απέναντι όψη.

Ορισμός. Αστρική πυραμίδαονομάζεται πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι.

Ορισμός. Διπυραμίδα- ένα πολύεδρο που αποτελείται από δύο διαφορετικές πυραμίδες (οι πυραμίδες μπορούν επίσης να αποκοπούν), που έχουν κοινή βάση και οι κορυφές βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του επιπέδου βάσης.

Ένα τρισδιάστατο σχήμα που εμφανίζεται συχνά σε γεωμετρικά προβλήματα είναι η πυραμίδα. Το απλούστερο από όλα τα σχήματα αυτής της κατηγορίας είναι τριγωνικό. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε λεπτομερώς τους βασικούς τύπους και τις ιδιότητες του σωστού

Γεωμετρικές ιδέες για το σχήμα

Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση των ιδιοτήτων μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε τι είδους σχήμα μιλάμε.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα αυθαίρετο τρίγωνο στον τρισδιάστατο χώρο. Ας επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο σε αυτό το διάστημα που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου και ας το συνδέσουμε με τις τρεις κορυφές του τριγώνου. Έχουμε μια τριγωνική πυραμίδα.

Αποτελείται από 4 πλευρές, όλες τρίγωνες. Τα σημεία όπου συναντώνται τρεις όψεις ονομάζονται κορυφές. Η φιγούρα έχει επίσης τέσσερις από αυτές. Οι γραμμές τομής δύο όψεων είναι ακμές. Η εν λόγω πυραμίδα έχει 6 άκρες Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα αυτού του σχήματος.

Δεδομένου ότι το σχήμα σχηματίζεται από τέσσερις πλευρές, ονομάζεται επίσης τετράεδρο.

Σωστή πυραμίδα

Συζητήθηκε παραπάνω αυθαίρετη φιγούραμε τριγωνική βάση. Τώρα ας υποθέσουμε ότι σχεδιάζουμε ένα κάθετο τμήμα από την κορυφή της πυραμίδας μέχρι τη βάση της. Αυτό το τμήμα ονομάζεται ύψος. Προφανώς, μπορείτε να σχεδιάσετε 4 διαφορετικά ύψη για τη φιγούρα. Εάν το ύψος τέμνει την τριγωνική βάση στο γεωμετρικό κέντρο, τότε μια τέτοια πυραμίδα ονομάζεται ευθεία.

Μια ευθεία πυραμίδα, της οποίας η βάση είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ονομάζεται κανονική. Για αυτήν σχηματίζονται και τα τρία τρίγωνα πλευρική επιφάνειαΟι μορφές είναι ισοσκελές και ίσες μεταξύ τους. Μια ειδική περίπτωση κανονικής πυραμίδας είναι η κατάσταση όταν και οι τέσσερις πλευρές είναι ισόπλευρα πανομοιότυπα τρίγωνα.

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας και ας δώσουμε τους αντίστοιχους τύπους για τον υπολογισμό των παραμέτρων της.

Πλευρά βάσης, ύψος, πλευρική άκρη και απόθεμα

Οποιεσδήποτε δύο από τις παραμέτρους που παρατίθενται καθορίζουν μοναδικά τα άλλα δύο χαρακτηριστικά. Ας παρουσιάσουμε τύπους που συσχετίζουν αυτές τις ποσότητες.

Ας υποθέσουμε ότι η πλευρά της βάσης μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι α. Το μήκος της πλευρικής ακμής του είναι β. Ποιο θα είναι το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας και το απόθεμά της;

Για το ύψος h παίρνουμε την έκφραση:

Αυτός ο τύπος προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα για το οποίο είναι η πλευρική ακμή, το ύψος και τα 2/3 του ύψους της βάσης.

Το απόθεμα μιας πυραμίδας είναι το ύψος για οποιοδήποτε πλευρικό τρίγωνο. Το μήκος του αποθέματος a b ισούται με:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Από αυτούς τους τύπους είναι σαφές ότι ανεξάρτητα από την πλευρά της βάσης μιας τριγωνικής κανονικής πυραμίδας και το μήκος του πλευρικού άκρου της, το απόθεμα θα είναι πάντα μεγαλύτερο από το ύψος της πυραμίδας.

Οι δύο τύποι που παρουσιάζονται περιέχουν και τα τέσσερα γραμμικά χαρακτηριστικά του εν λόγω σχήματος. Επομένως, δεδομένων των δύο γνωστών, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα λύνοντας το σύστημα των γραπτών ισοτήτων.

Φιγούρα όγκου

Για απολύτως οποιαδήποτε πυραμίδα (συμπεριλαμβανομένης μιας κεκλιμένης), η τιμή του όγκου του χώρου που περιορίζεται από αυτήν μπορεί να προσδιοριστεί γνωρίζοντας το ύψος του σχήματος και την περιοχή της βάσης του. Ο αντίστοιχος τύπος είναι:

Εφαρμόζοντας αυτήν την έκφραση στο εν λόγω σχήμα, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο:

Όπου το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι h και η πλευρά της βάσης της είναι a.

Δεν είναι δύσκολο να αποκτήσουμε έναν τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου στον οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους και αντιπροσωπεύουν ισόπλευρα τρίγωνα. Σε αυτή την περίπτωση, ο όγκος του σχήματος καθορίζεται από τον τύπο:

Δηλαδή, καθορίζεται μοναδικά από το μήκος της πλευράς α.

Επιφάνεια

Ας συνεχίσουμε να εξετάζουμε τις ιδιότητες μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας. Το συνολικό εμβαδόν όλων των όψεων μιας φιγούρας ονομάζεται εμβαδόν επιφάνειάς της. Το τελευταίο μπορεί εύκολα να μελετηθεί λαμβάνοντας υπόψη την αντίστοιχη εξέλιξη. Το παρακάτω σχήμα δείχνει πώς μοιάζει η ανάπτυξη μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το ύψος h και την πλευρά της βάσης α του σχήματος. Τότε το εμβαδόν της βάσης του θα είναι ίσο με:

Κάθε μαθητής μπορεί να αποκτήσει αυτήν την έκφραση εάν θυμάται πώς να βρει το εμβαδόν ενός τριγώνου και επίσης λάβει υπόψη ότι το ύψος ισόπλευρο τρίγωνοείναι επίσης διχοτόμος και διάμεσος.

Η πλευρική επιφάνεια που σχηματίζεται από τρία όμοια ισοσκελή τρίγωνα είναι:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Αυτή η ισότητα προκύπτει από την έκφραση του αποθέματος της πυραμίδας ως προς το ύψος και το μήκος της βάσης.

Η συνολική επιφάνεια του σχήματος είναι:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Σημειώστε ότι για ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις πλευρές είναι πανομοιότυπα ισόπλευρα τρίγωνα, το εμβαδόν S θα είναι ίσο με:

Ιδιότητες μιας κανονικής κόλουρης τριγωνικής πυραμίδας

Εάν η κορυφή της εξεταζόμενης τριγωνικής πυραμίδας αποκοπεί με ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, τότε το υπόλοιπο κάτω μέρος θα ονομάζεται κόλουρη πυραμίδα.

Στην περίπτωση μιας τριγωνικής βάσης, το αποτέλεσμα της περιγραφόμενης μεθόδου τομής είναι ένα νέο τρίγωνο, το οποίο είναι επίσης ισόπλευρο, αλλά έχει μικρότερο μήκος πλευράς από την πλευρά της βάσης. Μια κολοβωμένη τριγωνική πυραμίδα φαίνεται παρακάτω.

Βλέπουμε ότι ο αριθμός αυτός περιορίζεται ήδη σε δύο τριγωνικές βάσειςκαι τρία ισοσκελή τραπεζοειδή.

Ας υποθέσουμε ότι το ύψος του σχήματος που προκύπτει είναι ίσο με h, τα μήκη των πλευρών της κάτω και της άνω βάσης είναι a 1 και a 2, αντίστοιχα, και το απόθεμα (ύψος του τραπεζοειδούς) είναι ίσο με a b. Στη συνέχεια, η επιφάνεια της κολοβωμένης πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Εδώ ο πρώτος όρος είναι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας, ο δεύτερος όρος είναι η περιοχή των τριγωνικών βάσεων.

Ο όγκος του σχήματος υπολογίζεται ως εξής:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Για να προσδιορίσετε με σαφήνεια τα χαρακτηριστικά μιας κολοβωμένης πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζετε τις τρεις παραμέτρους της, κάτι που αποδεικνύεται από τους δεδομένους τύπους.

Αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο θα βοηθήσει τους χρήστες να αποκτήσουν μια ιδέα για το θέμα της Πυραμίδας. Σωστή πυραμίδα. Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της πυραμίδας και θα της δώσουμε έναν ορισμό. Ας δούμε τι είναι κανονική πυραμίδακαι τι ιδιότητες έχει. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε το θεώρημα για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας.

Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της πυραμίδας και θα δώσουμε έναν ορισμό.

Θεωρήστε ένα πολύγωνο Α 1 Α 2...A n, που βρίσκεται στο επίπεδο α, και το σημείο Π, το οποίο δεν βρίσκεται στο επίπεδο α (Εικ. 1). Ας συνδέσουμε τις τελείες Πμε κορυφές Α 1, Α 2, Α 3, … A n. Παίρνουμε nτρίγωνα: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rκαι ούτω καθεξής.

Ορισμός. Πολύεδρο RA 1 A 2 ...A n, που αποτελείται από n-τετράγωνο Α 1 Α 2...A nΚαι nτρίγωνα RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 λέγεται n-πυραμίδα άνθρακα. Ρύζι. 1.

Ρύζι. 1

Σκεφτείτε μια τετράγωνη πυραμίδα PABCD(Εικ. 2).

R- η κορυφή της πυραμίδας.

Α Β Γ Δ- τη βάση της πυραμίδας.

RA- πλαϊνή πλευρά.

ΑΒ- νεύρωση βάσης.

Από σημείο Rας ρίξουμε την κάθετη RNστο επίπεδο βάσης Α Β Γ Δ. Η κάθετη που σχεδιάζεται είναι το ύψος της πυραμίδας.

Ρύζι. 2

Πλήρης επιφάνειαΗ πυραμίδα αποτελείται από μια πλευρική επιφάνεια, δηλαδή την περιοχή όλων των πλευρικών όψεων και την περιοχή της βάσης:

S πλήρης = S πλευρά + S κύρια

Μια πυραμίδα ονομάζεται σωστή αν:

• Η βάση του είναι ένα κανονικό πολύγωνο.
• το τμήμα που συνδέει την κορυφή της πυραμίδας με το κέντρο της βάσης είναι το ύψος της.

Επεξήγηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας

Σκεφτείτε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα PABCD(Εικ. 3).

R- η κορυφή της πυραμίδας. Βάση της πυραμίδας Α Β Γ Δ- κανονικό τετράπλευρο, δηλαδή τετράγωνο. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, το σημείο τομής των διαγωνίων, είναι το κέντρο του τετραγώνου. Που σημαίνει, ROείναι το ύψος της πυραμίδας.

Ρύζι. 3

Εξήγηση: στο σωστό nΣε ένα τρίγωνο, το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο του κυκλικού κύκλου συμπίπτουν. Αυτό το κέντρο ονομάζεται κέντρο του πολυγώνου. Μερικές φορές λένε ότι η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο.

Το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας που αντλείται από την κορυφή της ονομάζεται αποθεμακαι ορίζεται η α.

1. όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες.

2. Οι πλευρικές όψεις είναι ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Θα δώσουμε μια απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας.

Δεδομένος: PABCD- κανονική τετράγωνη πυραμίδα,

Α Β Γ Δ- τετράγωνο,

RO- ύψος της πυραμίδας.

Αποδεικνύω:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Βλέπε Εικ. 4.

Ρύζι. 4

Απόδειξη.

RO- ύψος της πυραμίδας. Στρέιτ δηλαδή ROκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, και επομένως άμεση JSC, VO, SOΚαι ΚΑΝΩξαπλωμένος σε αυτό. Τρίγωνα λοιπόν ROA, ROV, ROS, ROD- ορθογώνιο.

Θεωρήστε ένα τετράγωνο Α Β Γ Δ. Από τις ιδιότητες ενός τετραγώνου προκύπτει ότι AO = VO = CO = ΚΑΝΩ.

Στη συνέχεια τα ορθογώνια τρίγωνα ROA, ROV, ROS, RODπόδι RO- γενική και πόδια JSC, VO, SOΚαι ΚΑΝΩείναι ίσα, που σημαίνει ότι αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα σε δύο πλευρές. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα των τμημάτων, RA = PB = RS = PD.Το σημείο 1 έχει αποδειχθεί.

Τμήματα ΑΒΚαι Ήλιοςείναι ίσες επειδή είναι πλευρές του ίδιου τετραγώνου, RA = PB = RS. Τρίγωνα λοιπόν AVRΚαι VSR -ισοσκελές και ίσοι στις τρεις πλευρές.

Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι τα τρίγωνα ABP, VCP, CDP, DAPείναι ισοσκελές και ίσα, όπως απαιτείται να αποδεικνύεται στην παράγραφο 2.

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος:

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας επιλέξουμε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα.

Δεδομένος: RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα.

AB = BC = AC.

RO- ύψος.

Αποδεικνύω: . Βλέπε Εικ. 5.

Ρύζι. 5

Απόδειξη.

RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα. Αυτό είναι ΑΒ= AC = π.Χ. Αφήνω ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ- κέντρο του τριγώνου αλφάβητο, Επειτα ROείναι το ύψος της πυραμίδας. Στη βάση της πυραμίδας βρίσκεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο αλφάβητο. σημειώσε ότι .

Τρίγωνα RAV, RVS, RSA- ίσα ισοσκελή τρίγωνα (κατά ιδιότητα). Μια τριγωνική πυραμίδα έχει τρεις πλευρικές όψεις: RAV, RVS, RSA. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι:

S πλευρά = 3S RAW

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 3 m, το ύψος της πυραμίδας είναι 4 m. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.

Δεδομένος: κανονική τετράγωνη πυραμίδα Α Β Γ Δ,

Α Β Γ Δ- τετράγωνο,

r= 3 m,

RO- ύψος της πυραμίδας,

RO= 4 μ.

Εύρημα: S πλευρά. Βλέπε Εικ. 6.

Ρύζι. 6

Λύση.

Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, .

Ας βρούμε πρώτα την πλευρά της βάσης ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται στη βάση μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 3 m.

Στη συνέχεια, μ.

Βρείτε την περίμετρο του τετραγώνου Α Β Γ Δμε πλευρά 6 m:

Θεωρήστε ένα τρίγωνο BCD. Αφήνω Μ- στη μέση της πλευράς DC. Επειδή ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ- Μέσης BD, Οτι (Μ).

Τρίγωνο DPC- ισοσκελές. Μ- Μέσης DC. Αυτό είναι, RM- διάμεσος, και επομένως το ύψος στο τρίγωνο DPC. Επειτα RM- αποθέμα της πυραμίδας.

RO- ύψος της πυραμίδας. Μετά, ευθεία ROκάθετο στο επίπεδο αλφάβητο, και επομένως άμεση ΟΜ, ξαπλωμένος σε αυτό. Ας βρούμε το απόθεμα RMαπό ορθογώνιο τρίγωνο ROM.

Τώρα μπορούμε να βρούμε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας:

Απάντηση: 60 m2.

Η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι ίση με m Η πλευρική επιφάνεια είναι 18 m 2. Βρείτε το μήκος του αποθέματος.

Δεδομένος: ABCP- κανονική τριγωνική πυραμίδα,

AB = BC = SA,

R= m,

S πλευρά = 18 m2.

Εύρημα: . Βλέπε Εικ. 7.

Ρύζι. 7

Λύση.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητοΔίνεται η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Ας βρούμε μια πλευρά ΑΒαυτό το τρίγωνο χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων.

Γνωρίζοντας την πλευρά ενός κανονικού τριγώνου (m), βρίσκουμε την περίμετρό του.

Με το θεώρημα της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας, όπου η α- αποθέμα της πυραμίδας. Επειτα:

Απάντηση: 4 μ.

Έτσι, εξετάσαμε τι είναι μια πυραμίδα, τι είναι μια κανονική πυραμίδα και αποδείξαμε το θεώρημα για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας. Στο επόμενο μάθημα θα εξοικειωθούμε με την κολοβωμένη πυραμίδα.

Βιβλιογραφία

1. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ.
2. Γεωμετρία. 10-11 τάξη: Εγχειρίδιο γενικής παιδείας Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.
3. Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδ., στερεότυπο. - M.: Bustard, 008. - 233 σελ.: ill.

1. Διαδικτυακή πύλη "Yaklass" ()
2. Διαδικτυακή πύλη «Φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Πρωτο Σεπτέμβρη» ()
3. Διαδικτυακή πύλη "Slideshare.net" ()

Εργασία για το σπίτι

1. Μπορεί ένα κανονικό πολύγωνο να είναι η βάση μιας ακανόνιστης πυραμίδας;
2. Να αποδείξετε ότι οι ασύνδετες ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι κάθετες.
3. Βρείτε την τιμή της διεδρικής γωνίας στην πλευρά της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας αν το απόθεμα της πυραμίδας είναι ίσο με την πλευρά της βάσης της.
4. RAVS- κανονική τριγωνική πυραμίδα. Κατασκευάστε τη γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας στη βάση της πυραμίδας.

Τριγωνική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα που έχει ένα τρίγωνο στη βάση της. Το ύψος αυτής της πυραμίδας είναι η κάθετη που κατεβαίνει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της.

Εύρεση του ύψους μιας πυραμίδας

Πώς να βρείτε το ύψος μιας πυραμίδας; Πολύ απλό! Για να βρείτε το ύψος οποιασδήποτε τριγωνικής πυραμίδας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο όγκου: V = (1/3)Sh, όπου S είναι η περιοχή της βάσης, V είναι ο όγκος της πυραμίδας, h είναι το ύψος της. Από αυτόν τον τύπο, εξάγετε τον τύπο ύψους: για να βρείτε το ύψος μιας τριγωνικής πυραμίδας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον όγκο της πυραμίδας επί 3 και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε την τιμή που προκύπτει με το εμβαδόν της βάσης, θα είναι: h = (3V)/S. Δεδομένου ότι η βάση μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Αν γνωρίζουμε: το εμβαδόν του τριγώνου S και την πλευρά του z, τότε σύμφωνα με τον τύπο εμβαδού S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, όπου h το ύψος της πυραμίδας, γ είναι η άκρη του τριγώνου. τη γωνία μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των ίδιων των δύο πλευρών, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S = (1/2)γφsinQ, όπου γ, φ είναι οι πλευρές του τριγώνου, βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Η τιμή του ημιτόνου της γωνίας Q πρέπει να εξεταστεί στον πίνακα ημιτόνων, ο οποίος είναι διαθέσιμος στο Διαδίκτυο. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του εμβαδού στον τύπο ύψους: h = (2S)/γ. Εάν η εργασία απαιτεί τον υπολογισμό του ύψους μιας τριγωνικής πυραμίδας, τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι ήδη γνωστός.

Κανονική τριγωνική πυραμίδα

Βρείτε το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, δηλαδή μιας πυραμίδας στην οποία όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα, γνωρίζοντας το μέγεθος της άκρης γ. Στην περίπτωση αυτή, οι άκρες της πυραμίδας είναι οι πλευρές των ισόπλευρων τριγώνων. Το ύψος μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας θα είναι: h = γ√(2/3), όπου γ είναι η άκρη του ισόπλευρου τριγώνου, h το ύψος της πυραμίδας. Εάν το εμβαδόν της βάσης (S) είναι άγνωστο και δίνονται μόνο το μήκος της ακμής (γ) και ο όγκος (V) του πολύεδρου, τότε η απαραίτητη μεταβλητή στον τύπο από το προηγούμενο βήμα πρέπει να αντικατασταθεί από το ισοδύναμό του, το οποίο εκφράζεται ως προς το μήκος της άκρης. Το εμβαδόν ενός τριγώνου (κανονικό) είναι ίσο με το 1/4 του γινομένου του μήκους της πλευράς αυτού του τριγώνου τετραγωνισμένο με την τετραγωνική ρίζα του 3. Αντικαθιστούμε αυτόν τον τύπο αντί για το εμβαδόν της βάσης στο προηγούμενο τύπος, και λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Ο όγκος ενός τετραέδρου μπορεί να εκφραστεί μέσω του μήκους της άκρης του, στη συνέχεια από τον τύπο για τον υπολογισμό του ύψους ενός σχήματος, μπορείτε να αφαιρέσετε όλες τις μεταβλητές και να αφήσετε μόνο την πλευρά της τριγωνικής όψης του σχήματος. Ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας με το 12 από το γινόμενο το μήκος σε κύβους της όψης της με την τετραγωνική ρίζα του 2.

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για υπολογισμό: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Επίσης σωστό τριγωνικό πρίσμαμπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα, και γνωρίζοντας μόνο την ακτίνα της σφαίρας (R) μπορεί κανείς να βρει το ύψος του ίδιου του τετραέδρου. Το μήκος της ακμής του τετραέδρου είναι: γ = 4R/√6. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή γ με αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και παίρνουμε τον τύπο: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ο ίδιος τύπος μπορεί να ληφθεί γνωρίζοντας την ακτίνα (R) ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τετράεδρο. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της άκρης του τριγώνου θα είναι ίσο με 12 αναλογίες μεταξύ τετραγωνική ρίζατου 6 και ακτίνας. Αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο και έχουμε: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας

Για να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε το μήκος του ύψους μιας πυραμίδας, πρέπει να ξέρετε τι είναι μια κανονική πυραμίδα. Τετραγωνική πυραμίδαείναι μια πυραμίδα με ένα τετράγωνο στη βάση της. Εάν στις συνθήκες του προβλήματος έχουμε: τον όγκο (V) και το εμβαδόν της βάσης (S) της πυραμίδας, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του ύψους του πολυέδρου (h) θα είναι ο εξής - διαιρέστε το όγκος πολλαπλασιασμένος επί 3 με την περιοχή S: h = (3V)/S. Δεδομένης μιας τετραγωνικής βάσης μιας πυραμίδας με δεδομένο όγκο (V) και μήκος πλευράς γ, αντικαταστήστε το εμβαδόν (S) στον προηγούμενο τύπο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας h = SO διέρχεται ακριβώς από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση. Δεδομένου ότι η βάση αυτής της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο, το σημείο Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων AD και BC. Έχουμε: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Στη συνέχεια, είμαστε μέσα ορθογώνιο τρίγωνοΒρίσκουμε SOC (χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα): SO = √(SC 2 -OC 2). Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το ύψος μιας κανονικής πυραμίδας.