Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ ευθειών. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών σε απευθείας σύνδεση

28.09.2019

Γωνίαμεταξύ ευθειών στο χώρο θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου παράλληλου στα δεδομένα.

Ας δίνονται δύο γραμμές στο διάστημα:

Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των ευθειών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε χρησιμοποιώντας τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε

Οι συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών είναι ισοδύναμες με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και:

Δύο ευθείες παράλληλοεάν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλ. μεγάλο 1 παράλληλος μεγάλο 2 αν και μόνο αν είναι παράλληλη .

Δύο ευθείες κάθετοςαν και μόνο αν το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντελεστών είναι ίσο με μηδέν: .

U στόχος μεταξύ γραμμής και επιπέδου

Ας είναι ευθύ ρε- όχι κάθετο στο επίπεδο θ.
ρε′− προβολή γραμμής ρεστο επίπεδο θ.
Η μικρότερη γωνία μεταξύ ευθειών ρεΚαι ρε"θα καλέσουμε γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου.
Ας το χαρακτηρίσουμε ως φ=( ρε,θ)
Αν ρε⊥θ, τότε ( ρε,θ)=π/2

Oi→ι→κ→− ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.
Επίπεδη εξίσωση:

θ: Τσεκούρι+Με+Cz+ρε=0

Υποθέτουμε ότι η ευθεία ορίζεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης: ρε[Μ 0,Π→]
Διάνυσμα n→(ΕΝΑ,σι,ντο)⊥θ
Στη συνέχεια, μένει να μάθουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων n→ και Π→, ας το συμβολίσουμε ως γ=( n→,Π→).

Αν η γωνία γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Αν η γωνία είναι γ>π/2, τότε η επιθυμητή γωνία είναι φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Επειτα, γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδουμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Απ 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √ΕΝΑ 2+σι 2+ντο 2√Π 21+Π 22+Π 23

Ερώτηση 29. Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Προσηκότητα των τετραγωνικών μορφών.

Τετραγωνική μορφή j (x 1, x 2, …, x n) n πραγματικές μεταβλητές x 1, x 2, …, x nονομάζεται άθροισμα της μορφής
, (1)

Οπου ένα ij – κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να το υποθέσουμε ένα ij = ένα τζι.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται έγκυρος,Αν ένα ij Î GR. Πίνακας τετραγωνικής μορφήςονομάζεται πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές του. Η τετραγωνική μορφή (1) αντιστοιχεί στον μοναδικό συμμετρικό πίνακα
Αυτό είναι Α Τ = Α. Ως εκ τούτου, τετραγωνική μορφή(1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή μήτρας j ( Χ) = x T Ah, Οπου x Τ = (Χ 1 Χ 2 … x n). (2)

Και, αντίστροφα, κάθε συμμετρικός πίνακας (2) αντιστοιχεί σε μια μοναδική τετραγωνική μορφή μέχρι τη σημείωση των μεταβλητών.

Κατάταξη τετραγωνικής μορφήςονομάζεται κατάταξη του πίνακα του. Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται μη εκφυλισμένος,αν ο πίνακας του είναι μη ενικός ΕΝΑ. (θυμηθείτε ότι η μήτρα ΕΝΑλέγεται μη εκφυλισμένη αν η ορίζουσα του δεν είναι ίση με μηδέν). Διαφορετικά, η τετραγωνική μορφή είναι εκφυλισμένη.

θετική οριστική(ή αυστηρά θετικό) εάν

j ( Χ) > 0 , Για οποιονδηποτε Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), εκτός Χ = (0, 0, …, 0).

Μήτρα ΕΝΑθετική οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) ονομάζεται και θετική οριστική. Επομένως, μια θετική οριστική τετραγωνική μορφή αντιστοιχεί σε μια μοναδική θετική οριστική μήτρα και αντίστροφα.

Ο τετραγωνικός τύπος (1) ονομάζεται ορίζεται αρνητικά(ή αυστηρά αρνητικό) αν

j ( Χ) < 0, для любого Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, x n), εκτός Χ = (0, 0, …, 0).

Ομοίως όπως παραπάνω, ένας πίνακας αρνητικής οριστικής τετραγωνικής μορφής ονομάζεται επίσης αρνητικός ορισμένος.

Κατά συνέπεια, η θετική (αρνητική) οριστική τετραγωνική μορφή j ( Χ) φτάνει στην ελάχιστη (μέγιστη) τιμή j ( Χ*) = 0 στο Χ* = (0, 0, …, 0).

Σημειώστε ότι οι περισσότεροι τετραγωνικοί τύποι δεν είναι πρόσημα-οριστικοί, δηλαδή δεν είναι ούτε θετικοί ούτε αρνητικοί. Τέτοιες τετραγωνικές μορφές εξαφανίζονται όχι μόνο στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, αλλά και σε άλλα σημεία.

Οταν n> 2, απαιτούνται ειδικά κριτήρια για τον έλεγχο του πρόσημου ενός τετραγωνικού εντύπου. Ας τους δούμε.

Μείζονες ανήλικοιΗ τετραγωνική μορφή λέγεται ανήλικα:

δηλαδή πρόκειται για ανηλίκους της τάξης του 1, 2, ..., nμήτρες ΕΝΑ, που βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία, το τελευταίο συμπίπτει με την ορίζουσα του πίνακα ΕΝΑ.

Κριτήριο Θετικής Οριστικότητας (κριτήριο Sylvester)

Χ) = x T Ahήταν θετική οριστική, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα ΕΝΑήταν θετικά, δηλαδή: Μ 1 > 0, Μ 2 > 0, …, M n > 0. Αρνητικό κριτήριο βεβαιότητας Για τον τετραγωνικό τύπο j ( Χ) = x T Ahήταν αρνητική οριστική, είναι αναγκαίο και επαρκές οι κύριες δευτερεύουσες άρτιες τάξεις του να είναι θετικές και περιττής τάξης - αρνητικές, δηλ.: Μ 1 < 0, Μ 2 > 0, Μ 3 < 0, …, (–1)n

Με τη βοήθεια αυτού ηλεκτρονική αριθμομηχανήμπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών. Δεδομένος αναλυτική λύσημε εξηγήσεις. Για να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών, ορίστε τη διάσταση (2 εάν λαμβάνεται υπόψη μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο, 3 εάν εξετάζεται μια ευθεία γραμμή στο διάστημα), εισαγάγετε τα στοιχεία της εξίσωσης στα κελιά και κάντε κλικ στο "Επίλυση" κουμπί. Δείτε το θεωρητικό μέρος παρακάτω.

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να εισαχθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, κ.λπ.

1. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών σε επίπεδο

Οι γραμμές ορίζονται από κανονικές εξισώσεις

1.1. Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών

Αφήστε τις γραμμές σε δισδιάστατο χώρο μεγάλο 1 και μεγάλο

Έτσι, από τον τύπο (1.4) μπορούμε να βρούμε τη γωνία μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2. Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, οι τεμνόμενες γραμμές σχηματίζουν γειτονικές γωνίες φ Και φ 1 . Εάν η γωνία που βρέθηκε είναι μεγαλύτερη από 90°, τότε μπορείτε να βρείτε την ελάχιστη γωνία μεταξύ ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2: φ 1 =180-φ .

Από τον τύπο (1.4) μπορούμε να εξαγάγουμε τις προϋποθέσεις για παραλληλισμό και καθετότητα δύο ευθειών.

Παράδειγμα 1. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας απλοποιήσουμε και ας λύσουμε:

1.2. Συνθήκη για παράλληλες ευθείες

Αφήνω φ =0. Επειτα cosφ=1. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση (1.4) θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Παράδειγμα 2: Προσδιορίστε εάν οι ευθείες είναι παράλληλες

Η ισότητα (1.9) ικανοποιείται, επομένως οι γραμμές (1.10) και (1.11) είναι παράλληλες.

Απάντηση. Οι ευθείες (1.10) και (1.11) είναι παράλληλες.

1.3. Συνθήκη για καθετότητα γραμμών

Αφήνω φ =90°. Επειτα cosφ=0. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση (1.4) θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε εάν οι ευθείες είναι κάθετες

Η συνθήκη (1.13) ικανοποιείται, επομένως οι γραμμές (1.14) και (1.15) είναι κάθετες.

Απάντηση. Οι γραμμές (1.14) και (1.15) είναι κάθετες.

Οι γραμμές ορίζονται με γενικές εξισώσεις

1.4. Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών

Αφήστε δύο ευθείες γραμμές μεγάλο 1 και μεγάλο 2 δίνονται με γενικές εξισώσεις

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινόμενου δύο διανυσμάτων, έχουμε:

Παράδειγμα 4. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Τιμές αντικατάστασης ΕΝΑ 1 , σι 1 , ΕΝΑ 2 , σι 2 σε (1,23), παίρνουμε:

Αυτή η γωνία είναι μεγαλύτερη από 90°. Ας βρούμε την ελάχιστη γωνία μεταξύ ευθειών. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε αυτή τη γωνία από 180:

Από την άλλη, η συνθήκη των παράλληλων ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλοΤο 2 είναι ισοδύναμο με την συνθήκη της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων n 1 και n 2 και μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Η ισότητα (1,24) ικανοποιείται, επομένως οι ευθείες (1,26) και (1,27) είναι παράλληλες.

Απάντηση. Οι ευθείες (1.26) και (1.27) είναι παράλληλες.

1.6. Συνθήκη για καθετότητα γραμμών

Συνθήκη για καθετότητα γραμμών μεγάλο 1 και μεγάλο 2 μπορεί να εξαχθεί από τον τύπο (1.20) με υποκατάσταση cos(φ )=0. Στη συνέχεια το βαθμωτό γινόμενο ( n 1 ,n 2)=0. Οπου

Η ισότητα (1,28) ικανοποιείται, επομένως οι γραμμές (1,29) και (1,30) είναι κάθετες.

Απάντηση. Οι γραμμές (1.29) και (1.30) είναι κάθετες.

2. Γωνία μεταξύ ευθειών στο διάστημα

2.1. Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών

Αφήστε να υπάρχουν ευθείες γραμμές στο χώρο μεγάλο 1 και μεγάλο 2 δίνονται με κανονικές εξισώσεις

όπου | q 1 | και | q 2 | διανυσματικές ενότητες κατεύθυνσης q 1 και q 2 αντίστοιχα, φ -γωνία μεταξύ διανυσμάτων q 1 και q 2 .

Από την έκφραση (2.3) παίρνουμε:

Ας απλοποιήσουμε και ας λύσουμε:

Ας βρούμε τη γωνία φ

Αφήστε τις ευθείες γραμμές να δίνονται στο διάστημα μεγάλοΚαι Μ. Μέσα από κάποιο σημείο Α του χώρου τραβάμε ευθείες γραμμές μεγάλο 1 || μεγάλοΚαι Μ 1 || Μ(Εικ. 138).

Σημειώστε ότι το σημείο Α μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα, μπορεί να βρίσκεται σε μία από αυτές τις γραμμές. Αν ευθεία μεγάλοΚαι Μτέμνονται, τότε το Α μπορεί να ληφθεί ως σημείο τομής αυτών των γραμμών ( μεγάλο 1 = λΚαι Μ 1 = m).

Γωνία μεταξύ μη παράλληλων γραμμών μεγάλοΚαι Μείναι η τιμή της μικρότερης από τις παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από τεμνόμενες ευθείες μεγάλο 1 Και Μ 1 (μεγάλο 1 || μεγάλο, Μ 1 || Μ). Η γωνία μεταξύ παράλληλων ευθειών θεωρείται ίση με μηδέν.

Γωνία μεταξύ ευθειών μεγάλοΚαι Μσυμβολίζεται με $\widehat((l;m))$. Από τον ορισμό προκύπτει ότι αν μετρηθεί σε μοίρες, τότε 0° < $\widehat((l;m)) $ < 90° και αν σε ακτίνια, τότε 0 < $\widehat((l;m)) $ < π / 2 .

Εργο.Δίνεται ένας κύβος ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Εικ. 139).

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1.

Διέλευση απευθείας γραμμών AB και DC 1. Εφόσον η ευθεία γραμμή DC είναι παράλληλη με την ευθεία AB, η γωνία μεταξύ των ευθειών AB και DC 1, σύμφωνα με τον ορισμό, είναι ίση με $\widehat(C_(1)DC)$.

Επομένως, $\widehat((AB;DC_1))$ = 45°.

Απευθείας μεγάλοΚαι Μλέγονται κάθετος, εάν $\widehat((l;m)) $ = π / 2. Για παράδειγμα, σε έναν κύβο

Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών.

Το πρόβλημα του υπολογισμού της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως σε ένα επίπεδο. Ας συμβολίσουμε με φ το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 Και μεγάλο 2, και μέσω ψ - το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ΕΝΑ Και σι αυτές τις ευθείες γραμμές.

Τότε αν

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Εικ. 206.6), μετά φ = 180° - ψ. Προφανώς και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα cos φ = |cos ψ|. Σύμφωνα με τον τύπο (το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των μη μηδενικών διανυσμάτων a και b είναι ίσο με κλιμακωτό προϊόναπό αυτά τα διανύσματα διαιρούμενα με το γινόμενο των μηκών τους) έχουμε

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

ως εκ τούτου,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Αφήστε τις ευθείες να δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Και \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Στη συνέχεια, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Εάν μία από τις γραμμές (ή και οι δύο) δίνεται από μη κανονικές εξισώσεις, τότε για να υπολογίσετε τη γωνία πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (1).

Εργασία 1.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;και\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών έχουν συντεταγμένες:

a = (-√2 ; √2 ; -2), σι = (√3 ; √3 ; √6 ).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) βρίσκουμε

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 60°.

Εργασία 2.Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

$$ \begin(περιπτώσεις)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(περιπτώσεις) και \begin(περιπτώσεις)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(περιπτώσεις) $$

Πίσω από το διάνυσμα οδηγού ΕΝΑ πάρτε την πρώτη ευθεία διανυσματικό προϊόνκανονικά διανύσματα n 1 = (3; 0; -12) και n 2 = (1; 1; -3) επίπεδα που ορίζουν αυτή τη γραμμή. Χρησιμοποιώντας τον τύπο $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ παίρνουμε

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Ομοίως, βρίσκουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεύτερης ευθείας:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Αλλά χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) υπολογίζουμε το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Επομένως, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι 90°.

Εργασία 3.ΣΕ τριγωνική πυραμίδαΟι νευρώσεις MABC MA, MB και MS είναι αμοιβαία κάθετες (Εικ. 207).

τα μήκη τους είναι αντίστοιχα 4, 3, 6. Το σημείο D είναι το μέσο [MA]. Βρείτε τη γωνία φ μεταξύ των ευθειών CA και DB.

Έστω CA και DB τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών CA και DB.

Ας πάρουμε το σημείο Μ ως την αρχή των συντεταγμένων. Με την προϋπόθεση της εξίσωσης έχουμε A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Επομένως $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3). Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα συνημιτόνων, βρίσκουμε ότι η γωνία μεταξύ των ευθειών CA και DB είναι περίπου 72°.

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Θεωρήστε δύο επίπεδα α 1 και α 2, που ορίζονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις:

Κάτω από γωνίαανάμεσα σε δύο επίπεδα θα καταλάβουμε μία από τις δίεδρες γωνίες που σχηματίζουν αυτά τα επίπεδα. Είναι προφανές ότι η γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων και των επιπέδων α 1 και α 2 είναι ίση με μία από τις υποδεικνυόμενες γειτονικές διεδρικές γωνίες ή . Να γιατί . Επειδή Και , Οτι

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων Χ+2y-3z+4=0 και 2 Χ+3y+z+8=0.

Συνθήκη για παραλληλισμό δύο επιπέδων.

Δύο επίπεδα α 1 και α 2 είναι παράλληλα αν και μόνο αν τα κανονικά τους διανύσματα είναι παράλληλα και επομένως .

Άρα, δύο επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους αν και μόνο αν οι συντελεστές των αντίστοιχων συντεταγμένων είναι ανάλογοι:

Συνθήκη καθετότητας επιπέδων.

Είναι σαφές ότι δύο επίπεδα είναι κάθετα εάν και μόνο εάν τα κανονικά τους διανύσματα είναι κάθετα, και επομένως, ή .

Ετσι, .

Παραδείγματα.

ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΓΡΑΜΜΗ.

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΜΕΣΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Η θέση μιας ευθείας στο χώρο καθορίζεται πλήρως καθορίζοντας οποιοδήποτε από τα σταθερά σημεία της Μ 1 και ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτή τη γραμμή.

Ένα διάνυσμα παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται οδηγούςδιάνυσμα αυτής της γραμμής.

Αφήστε λοιπόν την ευθεία γραμμή μεγάλοδιέρχεται από ένα σημείο Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1), που βρίσκεται σε μια γραμμή παράλληλη με το διάνυσμα.

Σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y,z)σε ευθεία γραμμή. Από το σχήμα είναι σαφές ότι .

Διανύσματα και είναι συγγραμμικά, οπότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός t, τι , πού είναι ο πολλαπλασιαστής tμπορεί να πάρει οποιαδήποτε αριθμητική τιμή ανάλογα με τη θέση του σημείου Μσε ευθεία γραμμή. Παράγοντας tονομάζεται παράμετρος. Έχοντας ορίσει τα διανύσματα ακτίνας των σημείων Μ 1 και Μαντίστοιχα, μέσω και , λαμβάνουμε . Αυτή η εξίσωση ονομάζεται διάνυσμαεξίσωση ευθείας γραμμής. Δείχνει ότι για κάθε τιμή παραμέτρου tαντιστοιχεί στο διάνυσμα ακτίνας κάποιου σημείου Μ, ξαπλωμένος σε ευθεία γραμμή.

Ας γράψουμε αυτή την εξίσωση σε μορφή συντεταγμένων. Σημειώσε ότι , και από εδώ

Οι εξισώσεις που προκύπτουν καλούνται παραμετρικήεξισώσεις ευθείας γραμμής.

Όταν αλλάζετε μια παράμετρο tοι συντεταγμένες αλλάζουν Χ, yΚαι zκαι περίοδος Μκινείται σε ευθεία γραμμή.

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΑΜΕΣΗΣ

Αφήνω Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) – ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή μεγάλο, Και είναι το διάνυσμα κατεύθυνσής του. Ας πάρουμε πάλι ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή M(x,y,z)και λάβετε υπόψη το διάνυσμα.

Είναι σαφές ότι τα διανύσματα είναι επίσης συγγραμμικά, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ανάλογες, επομένως,

– κανονικόςεξισώσεις ευθείας γραμμής.

Σημείωση 1.Σημειώστε ότι οι κανονικές εξισώσεις της γραμμής θα μπορούσαν να ληφθούν από τις παραμετρικές εξαλείφοντας την παράμετρο t. Πράγματι, από τις παραμετρικές εξισώσεις παίρνουμε ή .

Παράδειγμα.Γράψτε την εξίσωση της γραμμής σε παραμετρική μορφή.

Ας υποδηλώσουμε , από εδώ Χ = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Σημείωση 2.Έστω η ευθεία γραμμή κάθετη σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα τον άξονα Βόδι. Τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας είναι κάθετο Βόδι, ως εκ τούτου, Μ=0. Κατά συνέπεια, οι παραμετρικές εξισώσεις της γραμμής θα πάρουν τη μορφή

Εξαίρεση της παραμέτρου από τις εξισώσεις t, λαμβάνουμε τις εξισώσεις της ευθείας στη μορφή

Ωστόσο, και σε αυτήν την περίπτωση, συμφωνούμε να γράψουμε επίσημα τις κανονικές εξισώσεις της γραμμής στη μορφή . Έτσι, εάν ο παρονομαστής ενός από τα κλάσματα είναι μηδέν, αυτό σημαίνει ότι η ευθεία είναι κάθετη στον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων.

Παρόμοια με τις κανονικές εξισώσεις αντιστοιχεί σε μια ευθεία κάθετη στους άξονες ΒόδιΚαι Oyή παράλληλα προς τον άξονα Οζ.

Παραδείγματα.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΩΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΤΟΜΗΣ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Μέσα από κάθε ευθεία γραμμή στο διάστημα υπάρχουν αμέτρητα επίπεδα. Οποιαδήποτε δύο από αυτά, που τέμνονται, το ορίζουν στο χώρο. Συνεπώς, οι εξισώσεις οποιωνδήποτε δύο τέτοιων επιπέδων, θεωρούμενων μαζί, αντιπροσωπεύουν τις εξισώσεις αυτής της ευθείας.

Γενικά, οποιαδήποτε δύο μη παράλληλα επίπεδα δίνονται από τις γενικές εξισώσεις

προσδιορίστε την ευθεία της τομής τους. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσειςευθεία.

Παραδείγματα.

Κατασκευάστε μια γραμμή που δίνεται από τις εξισώσεις

Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να βρούμε οποιαδήποτε δύο σημεία της. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να επιλέξετε τα σημεία τομής της ευθείας με αεροπλάνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το σημείο τομής με το επίπεδο xOyλαμβάνουμε από τις εξισώσεις της ευθείας, υποθέτοντας z= 0:

Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα, βρίσκουμε το νόημα Μ 1 (1;2;0).

Ομοίως, υποθέτοντας y= 0, παίρνουμε το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο xOz:

Από τις γενικές εξισώσεις μιας ευθείας μπορεί κανείς να προχωρήσει στις κανονικές ή παραμετρικές της εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο Μ 1 σε μια ευθεία γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής.

Συντεταγμένες σημείων Μ 1 λαμβάνουμε από αυτό το σύστημα εξισώσεων, δίνοντας σε μία από τις συντεταγμένες μια αυθαίρετη τιμή. Για να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης, σημειώστε ότι αυτό το διάνυσμα πρέπει να είναι κάθετο και στα δύο κανονικά διανύσματα Και . Επομένως, πέρα από το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας μεγάλομπορείτε να πάρετε το διανυσματικό γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων:

Παράδειγμα.Οδηγω γενικές εξισώσειςευθεία στην κανονική μορφή.

Ας βρούμε ένα σημείο που βρίσκεται σε μια γραμμή. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε αυθαίρετα μία από τις συντεταγμένες, για παράδειγμα, y= 0 και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων που ορίζουν τη γραμμή έχουν συντεταγμένες Επομένως, το διάνυσμα κατεύθυνσης θα είναι ευθύ

. Ως εκ τούτου, μεγάλο: .

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΘΕΙΑΣ

Ας δίνονται δύο γραμμές στο διάστημα:

Αυτό το υλικό είναι αφιερωμένο σε μια τέτοια έννοια όπως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών. Στην πρώτη παράγραφο θα εξηγήσουμε τι είναι και θα το δείξουμε σε εικονογραφήσεις. Στη συνέχεια, θα δούμε πώς μπορείτε να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο αυτής της γωνίας και την ίδια τη γωνία (θα εξετάσουμε χωριστά περιπτώσεις με επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο), θα δώσουμε τους απαραίτητους τύπους και θα δείξουμε με παραδείγματα πώς ακριβώς είναι χρησιμοποιείται στην πράξη.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Για να καταλάβουμε ποια είναι η γωνία που σχηματίζεται όταν τέμνονται δύο ευθείες, πρέπει να θυμόμαστε τον ίδιο τον ορισμό της γωνίας, της καθετότητας και του σημείου τομής.

Ορισμός 1

Καλούμε δύο ευθείες που τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο τομής δύο ευθειών.

Κάθε ευθεία διαιρείται από ένα σημείο τομής σε ακτίνες. Και οι δύο ευθείες σχηματίζουν 4 γωνίες, δύο από τις οποίες είναι κάθετες και δύο γειτονικές. Αν γνωρίζουμε το μέτρο ενός από αυτά, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε και τα υπόλοιπα.

Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι μία από τις γωνίες είναι ίση με α. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία που είναι κατακόρυφη ως προς αυτήν θα είναι επίσης ίση με α. Για να βρούμε τις υπόλοιπες γωνίες, πρέπει να υπολογίσουμε τη διαφορά 180 ° - α. Αν το α είναι ίσο με 90 μοίρες, τότε όλες οι γωνίες θα είναι ορθές. Οι ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία ονομάζονται κάθετες (ένα ξεχωριστό άρθρο είναι αφιερωμένο στην έννοια της καθετότητας).

Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του κύριου ορισμού.

Ορισμός 2

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι το μέτρο της μικρότερης από τις 4 γωνίες που σχηματίζουν αυτές τις δύο ευθείες.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα πρέπει να εξαχθεί από τον ορισμό: το μέγεθος της γωνίας σε αυτή την περίπτωση θα εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό στο διάστημα (0, 90]. Εάν οι γραμμές είναι κάθετες, τότε η γωνία μεταξύ τους θα είναι σε κάθε περίπτωση ίσο με 90 μοίρες.

Η ικανότητα εύρεσης του μέτρου της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι χρήσιμη για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Η μέθοδος λύσης μπορεί να επιλεγεί από διάφορες επιλογές.

Αρχικά, μπορούμε να πάρουμε γεωμετρικές μεθόδους. Αν γνωρίζουμε κάτι για τις συμπληρωματικές γωνίες, τότε μπορούμε να τις συσχετίσουμε με τη γωνία που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ίσων ή παρόμοιων σχημάτων. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε τις πλευρές ενός τριγώνου και πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στις οποίες βρίσκονται αυτές οι πλευρές, τότε το θεώρημα συνημιτόνου είναι κατάλληλο για την επίλυσή του. Αν έχουμε την προϋπόθεση ορθογώνιο τρίγωνο, τότε για τους υπολογισμούς θα χρειαστούμε και γνώσεις ημιτόνου, συνημίτονος και εφαπτομένης γωνίας.

Η μέθοδος συντεταγμένων είναι επίσης πολύ βολική για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου. Ας εξηγήσουμε πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά.

Έχουμε ένα ορθογώνιο (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων O x y, στο οποίο δίνονται δύο ευθείες γραμμές. Ας τα συμβολίσουμε με τα γράμματα α και β. Οι ευθείες γραμμές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας κάποιες εξισώσεις. Οι αρχικές γραμμές έχουν σημείο τομής Μ. Πώς να προσδιορίσετε την απαιτούμενη γωνία (ας τη συμβολίσουμε α) μεταξύ αυτών των ευθειών;

Ας ξεκινήσουμε διατυπώνοντας τη βασική αρχή της εύρεσης γωνίας υπό δεδομένες συνθήκες.

Γνωρίζουμε ότι η έννοια της ευθείας γραμμής συνδέεται στενά με έννοιες όπως ένα διάνυσμα κατεύθυνσης και ένα κανονικό διάνυσμα. Εάν έχουμε μια εξίσωση μιας συγκεκριμένης ευθείας, μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων από αυτήν. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό για δύο τεμνόμενες ευθείες ταυτόχρονα.

Η γωνία που υποτείνεται από δύο τεμνόμενες ευθείες μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας:

γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.
γωνία μεταξύ κανονικών διανυσμάτων.
τη γωνία μεταξύ του κανονικού διανύσματος της μιας ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης της άλλης.

Τώρα ας δούμε κάθε μέθοδο ξεχωριστά.

1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ευθεία a με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y) και μια ευθεία b με διάνυσμα κατεύθυνσης b → (b x, b y). Τώρα ας σχεδιάσουμε δύο διανύσματα a → και b → από το σημείο τομής. Μετά από αυτό θα δούμε ότι το καθένα θα βρίσκεται στη δική του ευθεία. Τότε έχουμε τέσσερις επιλογές για αυτούς σχετική θέση. Δείτε την εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν είναι αμβλεία, τότε θα είναι η γωνία που χρειαζόμαστε μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b. Εάν είναι αμβλεία, τότε η επιθυμητή γωνία θα είναι ίση με τη γωνία δίπλα στη γωνία a →, b → ^. Έτσι, α = a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° , και α = 180 ° - a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .

Με βάση το γεγονός ότι τα συνημίτονα ίσες γωνίεςείναι ίσες, μπορούμε να ξαναγράψουμε τις ισότητες που προκύπτουν ως εξής: cos α = cos a → , b → ^ , εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, εάν a →, b → ^ > 90 °.

Στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν τύποι αναγωγής. Ετσι,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Ας γράψουμε τον τελευταίο τύπο με λέξεις:

Ορισμός 3

Το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες θα είναι ίσο με το μέτρο συνημίτονος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής του.

Η γενική μορφή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) μοιάζει με αυτό:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Από αυτό μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο δεδομένων ευθειών:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Στη συνέχεια, η ίδια η γωνία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Εδώ a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος.

Παράδειγμα 1

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, δίδονται δύο τεμνόμενες ευθείες a και b. Μπορούν να περιγραφούν με τις παραμετρικές εξισώσεις x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R και x 5 = y - 6 - 3. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.

Λύση

Έχουμε μια παραμετρική εξίσωση στην συνθήκη μας, που σημαίνει ότι για αυτή τη γραμμή μπορούμε να γράψουμε αμέσως τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής της. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε τις τιμές των συντελεστών για την παράμετρο, δηλ. η ευθεία x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R θα έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (4, 1).

Η δεύτερη ευθεία περιγράφεται χρησιμοποιώντας κανονική εξίσωση x 5 = y - 6 - 3 . Εδώ μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες από τους παρονομαστές. Έτσι, αυτή η ευθεία έχει διάνυσμα κατεύθυνσης b → = (5 , - 3) .

Στη συνέχεια, προχωράμε απευθείας στην εύρεση της γωνίας. Για να γίνει αυτό, απλώς αντικαταστήστε τις υπάρχουσες συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων στον παραπάνω τύπο α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Παίρνουμε τα εξής:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Απάντηση: Αυτές οι ευθείες σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.

Μπορούμε να λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων. Αν έχουμε μια ευθεία a με κανονικό διάνυσμα n a → = (n a x , n a y) και μια ευθεία b με κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y), τότε η μεταξύ τους γωνία θα είναι ίση με τη γωνία μεταξύ n a → και n b → ή τη γωνία που θα είναι δίπλα στο n a →, n b → ^. Αυτή η μέθοδος φαίνεται στην εικόνα:

Οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών και αυτής της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων μοιάζουν με αυτό:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n xn by + n by 2

Εδώ τα n a → και n b → δηλώνουν τα κανονικά διανύσματα δύο δεδομένων γραμμών.

Παράδειγμα 2

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, δίδονται δύο ευθείες γραμμές χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 3 x + 5 y - 30 = 0 και x + 4 y - 17 = 0. Βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας και το μέγεθος αυτής της ίδιας της γωνίας.

Λύση

Οι αρχικές γραμμές καθορίζονται χρησιμοποιώντας εξισώσεις κανονικών γραμμών της μορφής A x + B y + C = 0. Συμβολίζουμε το κανονικό διάνυσμα ως n → = (A, B). Ας βρούμε τις συντεταγμένες του πρώτου κανονικού διανύσματος για μια ευθεία και ας τις γράψουμε: n a → = (3, 5) . Για τη δεύτερη ευθεία x + 4 y - 17 = 0, το κανονικό διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες n b → = (1, 4). Τώρα ας προσθέσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο και ας υπολογίσουμε το σύνολο:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Αν γνωρίζουμε το συνημίτονο μιας γωνίας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Εφόσον η γωνία α που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές δεν είναι αμβλεία, τότε sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Σε αυτή την περίπτωση, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Απάντηση: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Ας το τακτοποιήσουμε τελευταία περίπτωση– εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθειών εάν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας και του κανονικού διανύσματος της άλλης.

Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία a έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) , και η ευθεία b έχει ένα κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) . Πρέπει να παραμερίσουμε αυτά τα διανύσματα από το σημείο τομής και να εξετάσουμε όλες τις επιλογές για τις σχετικές θέσεις τους. Δείτε στην εικόνα:

Αν η γωνία μεταξύ δεδομένων διανυσμάτωνόχι περισσότερο από 90 μοίρες, αποδεικνύεται ότι θα συμπληρώσει τη γωνία μεταξύ a και b σε ορθή γωνία.

a → , n b → ^ = 90 ° - α εάν a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Αν είναι μικρότερη από 90 μοίρες, τότε έχουμε τα εξής:

a → , n b → ^ > 90 ° , μετά a → , n b → ^ = 90 ° + α

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της ισότητας των συνημιτόνων ίσων γωνιών, γράφουμε:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = αμαρτία α για a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α για a → , n b → ^ > 90 ° .

Ετσι,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^, a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Ας διατυπώσουμε ένα συμπέρασμα.

Ορισμός 4

Για να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται σε ένα επίπεδο, πρέπει να υπολογίσετε το συντελεστή συνημιτόνων της γωνίας μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και του κανονικού διανύσματος της δεύτερης.

Ας γράψουμε τους απαραίτητους τύπους. Εύρεση του ημιτόνου μιας γωνίας:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εύρεση της ίδιας της γωνίας:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εδώ a → είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και n b → είναι το κανονικό διάνυσμα της δεύτερης.

Παράδειγμα 3

Δύο τεμνόμενες ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις x - 5 = y - 6 3 και x + 4 y - 17 = 0. Βρείτε τη γωνία τομής.

Λύση

Παίρνουμε τις συντεταγμένες του οδηγού και του κανονικού διανύσματος από τις δεδομένες εξισώσεις. Αποδεικνύεται a → = (- 5, 3) και n → b = (1, 4). Παίρνουμε τον τύπο α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 και υπολογίζουμε:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Σημειώστε ότι πήραμε τις εξισώσεις από το προηγούμενο πρόβλημα και λάβαμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Απάντηση:α = a r c sin 7 2 34

Ας παρουσιάσουμε έναν άλλο τρόπο για να βρούμε την επιθυμητή γωνία χρησιμοποιώντας τους γωνιακούς συντελεστές δεδομένων ευθειών.

Έχουμε μια ευθεία a, η οποία ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας την εξίσωση y = k 1 x + b 1, και μια ευθεία b, που ορίζεται ως y = k 2 x + b 2. Αυτές είναι εξισώσεις γραμμών με κλίσεις. Για να βρούμε τη γωνία τομής, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, όπου k 1 και k 2 είναι συντελεστές γωνίαςδίνονται ευθείες γραμμές. Για να ληφθεί αυτή η εγγραφή, χρησιμοποιήθηκαν τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων.

Παράδειγμα 4

Υπάρχουν δύο ευθείες που τέμνονται σε ένα επίπεδο, δίνονται με εξισώσεις y = - 3 5 x + 6 και y = - 1 4 x + 17 4 . Υπολογίστε την τιμή της γωνίας τομής.

Λύση

Οι γωνιακοί συντελεστές των ευθειών μας είναι ίσοι με k 1 = - 3 5 και k 2 = - 1 4. Ας τα προσθέσουμε στον τύπο α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 και υπολογίσουμε:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Απάντηση:α = a r c cos 23 2 34

Στα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τύποι για την εύρεση της γωνίας που δίνονται εδώ δεν χρειάζεται να μάθουν από πάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των οδηγών και/ή τα κανονικά διανύσματα δεδομένων γραμμών και να μπορούμε να τις προσδιορίσουμε με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙεξισώσεις. Αλλά είναι καλύτερα να θυμάστε ή να γράψετε τους τύπους για τον υπολογισμό του συνημιτόνου μιας γωνίας.

Πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών στο χώρο

Ο υπολογισμός μιας τέτοιας γωνίας μπορεί να περιοριστεί στον υπολογισμό των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης και στον προσδιορισμό του μεγέθους της γωνίας που σχηματίζεται από αυτά τα διανύσματα. Για τέτοια παραδείγματα, χρησιμοποιείται ο ίδιος συλλογισμός που δώσαμε προηγουμένως.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε τρισδιάστατο χώρο. Περιέχει δύο ευθείες α και β με σημείο τομής Μ. Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης, πρέπει να γνωρίζουμε τις εξισώσεις αυτών των γραμμών. Ας συμβολίσουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Για να βρούμε την ίδια τη γωνία, χρειαζόμαστε αυτόν τον τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Παράδειγμα 5

Έχουμε μια γραμμή που ορίζεται σε τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Είναι γνωστό ότι τέμνεται με τον άξονα O z. Υπολογίστε τη γωνία τομής και το συνημίτονο αυτής της γωνίας.

Λύση

Ας υποδηλώσουμε τη γωνία που πρέπει να υπολογιστεί με το γράμμα α. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης για την πρώτη ευθεία – a → = (1, - 3, - 2) . Για την εφαρμογή άξονα μπορούμε να πάρουμε διάνυσμα συντεταγμένων k → = (0, 0, 1) ως οδηγός. Έχουμε λάβει τα απαραίτητα δεδομένα και μπορούμε να τα προσθέσουμε στον επιθυμητό τύπο:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ως αποτέλεσμα, βρήκαμε ότι η γωνία που χρειαζόμαστε θα είναι ίση με a r c cos 1 2 = 45 °.

Απάντηση: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter