Να γράψετε μια εξίσωση του επιπέδου χρησιμοποιώντας 3 σημεία. Εξίσωση ενός αεροπλάνου. Πώς να γράψετε μια εξίσωση ενός επιπέδου; Αμοιβαία διάταξη αεροπλάνων. Καθήκοντα

Μπορείτε να ορίσετε διαφορετικοί τρόποι(ένα σημείο και ένα διάνυσμα, δύο σημεία και ένα διάνυσμα, τρία σημεία κ.λπ.). Με αυτό κατά νου μπορεί να έχει η εξίσωση του επιπέδου διαφορετικά είδη. Επίσης, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, τα επίπεδα μπορεί να είναι παράλληλα, κάθετα, τεμνόμενα κ.λπ. Θα μιλήσουμε για αυτό σε αυτό το άρθρο. Θα μάθουμε πώς να δημιουργήσουμε μια γενική εξίσωση ενός επιπέδου και πολλά άλλα.

Κανονική μορφή εξίσωσης

Ας πούμε ότι υπάρχει ένα διάστημα R 3 που έχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων XYZ. Ας ορίσουμε το διάνυσμα α, που θα απελευθερωθεί από το αρχικό σημείο Ο. Μέσα από το άκρο του διανύσματος α σχεδιάζουμε ένα επίπεδο P, που θα είναι κάθετο σε αυτό.

Ας υποδηλώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο στο P ως Q = (x, y, z). Ας υπογράψουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Q με το γράμμα p. Στην περίπτωση αυτή, το μήκος του διανύσματος α είναι ίσο με ρ=IαI και Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Αυτό είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που κατευθύνεται στο πλάι, όπως το διάνυσμα α. α, β και γ είναι οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ του διανύσματος Ʋ και των θετικών κατευθύνσεων των διαστημικών αξόνων x, y, z, αντίστοιχα. Η προβολή οποιουδήποτε σημείου QϵП στο διάνυσμα Ʋ ​​είναι μια σταθερή τιμή που ισούται με p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Η παραπάνω εξίσωση έχει νόημα όταν p=0. Το μόνο πράγμα είναι ότι το επίπεδο P σε αυτή την περίπτωση θα τέμνει το σημείο O (α=0), που είναι η αρχή των συντεταγμένων, και το μοναδιαίο διάνυσμα Ʋ ​​που απελευθερώνεται από το σημείο O θα είναι κάθετο στο P, παρά την κατεύθυνσή του, η οποία σημαίνει ότι το διάνυσμα Ʋ ​​προσδιορίζεται με ακρίβεια στο πρόσημο. Η προηγούμενη εξίσωση είναι η εξίσωση του επιπέδου μας P, εκφρασμένη σε διανυσματική μορφή. Αλλά στις συντεταγμένες θα μοιάζει με αυτό:

Το P εδώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0. Βρήκαμε την εξίσωση του επιπέδου στο διάστημα σε κανονική μορφή.

Γενική εξίσωση

Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση σε συντεταγμένες με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, προκύπτει μια εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν, που ορίζει αυτό ακριβώς το επίπεδο. Θα μοιάζει με αυτό:

Εδώ τα Α, Β, Γ είναι αριθμοί που διαφέρουν ταυτόχρονα από το μηδέν. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση γενικού επιπέδου.

Εξισώσεις επιπέδων. Ειδικές περιπτώσεις

Εξίσωση σε γενική εικόναμπορεί να τροποποιηθεί υπό πρόσθετους όρους. Ας δούμε μερικά από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι ο συντελεστής Α είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με τον δεδομένο άξονα Ox. Σε αυτήν την περίπτωση, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει: Ву+Cz+D=0.

Ομοίως, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει υπό τις ακόλουθες συνθήκες:

• Πρώτον, εάν B = 0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Ax + Cz + D = 0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον άξονα Oy.
• Δεύτερον, αν C=0, τότε η εξίσωση θα μετατραπεί σε Ax+By+D=0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον δεδομένο άξονα Oz.
• Τρίτον, εάν D=0, η εξίσωση θα μοιάζει με Ax+By+Cz=0, που θα σημαίνει ότι το επίπεδο τέμνει το O (την αρχή).
• Τέταρτον, αν A=B=0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Cz+D=0, που θα αποδειχθεί παράλληλη με το Oxy.
• Πέμπτον, αν B=C=0, τότε η εξίσωση γίνεται Ax+D=0, που σημαίνει ότι το επίπεδο προς το Oyz είναι παράλληλο.
• Έκτον, αν A=C=0, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή Ву+D=0, δηλαδή θα αναφέρει παραλληλισμό στο Oxz.

Τύπος εξίσωσης σε τμήματα

Στην περίπτωση που οι αριθμοί A, B, C, D είναι διαφορετικοί από το μηδέν, η μορφή της εξίσωσης (0) μπορεί να είναι η εξής:

x/a + y/b + z/c = 1,

στο οποίο a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Λαμβάνουμε ως αποτέλεσμα Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτό το επίπεδο θα τέμνει τον άξονα Ox σε ένα σημείο με συντεταγμένες (a,0,0), Oy - (0,b,0) και Oz - (0,0,c. ).

Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση x/a + y/b + z/c = 1, δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς οπτικά την τοποθέτηση του επιπέδου σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Κανονικές διανυσματικές συντεταγμένες

Το κανονικό διάνυσμα n στο επίπεδο P έχει συντεταγμένες που είναι συντελεστές γενική εξίσωσηενός δεδομένου επιπέδου, δηλαδή n (A, B, C).

Για να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κανονικού n, αρκεί να γνωρίζουμε τη γενική εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου.

Όταν χρησιμοποιείτε μια εξίσωση σε τμήματα, που έχει τη μορφή x/a + y/b + z/c = 1, όπως όταν χρησιμοποιείτε μια γενική εξίσωση, μπορείτε να γράψετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε κανονικού διανύσματος ενός δεδομένου επιπέδου: (1/a + 1/b + 1/ Με).

Αξίζει να σημειωθεί ότι το κανονικό διάνυσμα βοηθά στην επίλυση ποικίλων προβλημάτων. Τα πιο συνηθισμένα περιλαμβάνουν προβλήματα που περιλαμβάνουν την απόδειξη της καθετότητας ή παραλληλισμού των επιπέδων, προβλήματα εύρεσης γωνιών μεταξύ επιπέδων ή γωνιών μεταξύ επιπέδων και ευθειών.

Τύπος εξίσωσης επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες του σημείου και του κανονικού διανύσματος

Ένα μη μηδενικό διάνυσμα n κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο ονομάζεται κανονικό για ένα δεδομένο επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι στον χώρο συντεταγμένων (ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων) δίνονται τα Oxyz:

• σημείο Mₒ με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ);
• μηδενικό διάνυσμα n=A*i+B*j+C*k.

Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση για ένα επίπεδο που θα διέρχεται από το σημείο Mₒ κάθετο στην κανονική n.

Επιλέγουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο του χώρου και το συμβολίζουμε M (x y, z). Έστω το διάνυσμα ακτίνας οποιουδήποτε σημείου M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k και το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Το σημείο M θα ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο εάν το διάνυσμα MₒM είναι κάθετο στο διάνυσμα n. Ας γράψουμε τη συνθήκη ορθογωνικότητας χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο:

[MₒM, n] = 0.

Εφόσον MₒM = r-rₒ, η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου θα μοιάζει με αυτό:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να έχει άλλη μορφή. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος και ο μετασχηματισμός είναι αριστερή πλευράεξισώσεις

= - . Αν το συμβολίσουμε ως c, προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση: - c = 0 ή = c, η οποία εκφράζει τη σταθερότητα των προβολών στο κανονικό διάνυσμα των διανυσμάτων ακτίνας δεδομένων σημείων που ανήκουν στο επίπεδο.

Τώρα μπορούμε να πάρουμε τη μορφή συντεταγμένων γράφοντας τη διανυσματική εξίσωση του επιπέδου μας = 0. Αφού r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, και n = A*i+B *j+С*k, έχουμε:

Αποδεικνύεται ότι έχουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στην κανονική n:

A*(x- x2)+B*(y- y2)C*(z-z2)=0.

Τύπος εξίσωσης επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες δύο σημείων και ενός διανύσματος συγγραμμικού με το επίπεδο

Ας προσδιορίσουμε δύο αυθαίρετα σημεία M′ (x′,y′,z′) και M″ (x″,y″,z″), καθώς και ένα διάνυσμα a (a′,a″,a‴). Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα δεδομένο επίπεδο, το οποίο θα διέρχεται από τα υπάρχοντα σημεία M′ και M″, καθώς και από οποιοδήποτε σημείο M με συντεταγμένες (x, y, z) παράλληλα.δεδομένο διάνυσμα

ΕΝΑ.

Στην περίπτωση αυτή, τα διανύσματα M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) και M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) πρέπει να είναι συνεπίπεδα με το διάνυσμα a=(a′,a″,a‴), που σημαίνει ότι (M′M, M″M, a)=0.

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου μας στο διάστημα θα μοιάζει με αυτό:

Τύπος εξίσωσης επιπέδου που τέμνει τρία σημεία

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία σημεία: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Είναι απαραίτητο να γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από δεδομένα τρία σημεία. Η θεωρία της γεωμετρίας ισχυρίζεται ότι αυτό το είδος επιπέδου υπάρχει πραγματικά, αλλά είναι το μοναδικό και μοναδικό. Εφόσον αυτό το επίπεδο τέμνει το σημείο (x′,y′,z′), η μορφή της εξίσωσής του θα είναι η εξής:

Εδώ τα Α, Β, Γ διαφέρουν από το μηδέν ταυτόχρονα. Επίσης, το δεδομένο επίπεδο τέμνει δύο ακόμη σημεία: (x″,y″,z″) και (x‴,y‴,z‴). Ως προς αυτό, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα ομοιογενές σύστημα με αγνώστους u, v, w: Στο δικό μαςή το z λειτουργεί ως αυθαίρετο σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση (1). Δεδομένης της εξίσωσης (1) και του συστήματος των εξισώσεων (2) και (3), το σύστημα των εξισώσεων που υποδεικνύεται στο παραπάνω σχήμα ικανοποιείται από το διάνυσμα N (A,B,C), το οποίο είναι μη τετριμμένο. Γι' αυτό η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Η εξίσωση (1) που λάβαμε είναι η εξίσωση του επιπέδου. Περνά από 3 σημεία ακριβώς, και αυτό είναι εύκολο να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επεκτείνουμε την ορίζοντά μας στα στοιχεία της πρώτης σειράς. Από τις υπάρχουσες ιδιότητες της ορίζουσας προκύπτει ότι το επίπεδό μας τέμνει ταυτόχρονα τρία αρχικά δεδομένα σημεία (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Δηλαδή έχουμε λύσει την εργασία που μας έχει ανατεθεί.

Διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων

Μια διεδρική γωνία αντιπροσωπεύει ένα χωρικό γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το μέρος του χώρου που περιορίζεται από αυτά τα ημιεπίπεδα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα με τις ακόλουθες εξισώσεις:

Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα N=(A,B,C) και N1=(A1,B1,C1) είναι κάθετα σύμφωνα με τα δεδομένα επίπεδα. Από αυτή την άποψη, η γωνία φ μεταξύ των διανυσμάτων N και N1 είναι ίση με τη γωνία (διεδρική) που βρίσκεται μεταξύ αυτών των επιπέδων. Scalar προϊόνέχει τη μορφή:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ακριβώς επειδή

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B1)²+(C1)²)).

Αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι 0≤φ≤π.

Στην πραγματικότητα, δύο επίπεδα που τέμνονται σχηματίζουν δύο γωνίες (διεδρικές): φ 1 και φ 2. Το άθροισμά τους είναι ίσο με π (φ 1 + φ 2 = π). Όσον αφορά τα συνημίτονά τους, οι απόλυτες τιμές τους είναι ίσες, αλλά διαφέρουν ως προς το πρόσημο, δηλαδή cos φ 1 = -cos φ 2. Αν στην εξίσωση (0) αντικαταστήσουμε τα Α, Β και Γ με τους αριθμούς -Α, -Β και -Γ αντίστοιχα, τότε η εξίσωση που θα πάρουμε θα καθορίσει το ίδιο επίπεδο, το μοναδικό, τη γωνία φ στην εξίσωση συν. φ= NN 1 /|. N||N 1 | θα αντικατασταθεί από το π-φ.

Εξίσωση κάθετου επιπέδου

Τα επίπεδα μεταξύ των οποίων η γωνία είναι 90 μοίρες ονομάζονται κάθετα. Χρησιμοποιώντας το υλικό που παρουσιάστηκε παραπάνω, μπορούμε να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου σε ένα άλλο. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα: Ax+By+Cz+D=0 και A¹x+B1y+C1z+D=0. Μπορούμε να πούμε ότι θα είναι κάθετοι αν cosφ=0. Αυτό σημαίνει ότι NN1=AA1+BB1+CC1=0.

Εξίσωση παράλληλου επιπέδου

Δύο επίπεδα που δεν περιέχουν κοινά σημεία ονομάζονται παράλληλα.

Η προϋπόθεση (οι εξισώσεις τους είναι ίδιες με την προηγούμενη παράγραφο) είναι ότι τα διανύσματα N και N1, που είναι κάθετα σε αυτά, είναι συγγραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις αναλογικότητας:

A/A1=B/B1=C/C1.

Εάν επεκταθούν οι όροι αναλογικότητας - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

αυτό δείχνει ότι αυτά τα αεροπλάνα συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις Ax+By+Cz+D=0 και A1x+B1y+C1z+D1=0 περιγράφουν ένα επίπεδο.

Απόσταση σε αεροπλάνο από σημείο

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο P, το οποίο δίνεται από την εξίσωση (0). Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση σε αυτό από ένα σημείο με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Για να γίνει αυτό, πρέπει να φέρετε την εξίσωση του επιπέδου P σε κανονική μορφή:

(ρ,v)=р (р≥0).

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηρ (x,y,z) είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου μας Q που βρίσκεται στο P, p είναι το μήκος της κάθετης P που απελευθερώθηκε από το σημείο μηδέν, v είναι το μοναδιαίο διάνυσμα, το οποίο βρίσκεται στην κατεύθυνση a.

Το διάνυσμα διαφοράς ρ-ρº ακτίνας κάποιου σημείου Q = (x, y, z), που ανήκει στο P, καθώς και το διάνυσμα ακτίνας ενός δεδομένου σημείου Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) είναι ένα τέτοιο διάνυσμα, το απόλυτη τιμή της προβολής της οποίας στο v ισούται με την απόσταση d που πρέπει να βρεθεί από Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) έως P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, αλλά

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Έτσι αποδεικνύεται

d=|(ρ 0 ,v)-ρ|.

Έτσι, θα βρούμε την απόλυτη τιμή της παράστασης που προκύπτει, δηλαδή το επιθυμητό d.

Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα παραμέτρων, έχουμε το προφανές:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Αν σημείο ρύθμισηςΤο Q 0 βρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου P, όπως η αρχή των συντεταγμένων, τότε μεταξύ του διανύσματος ρ-ρ 0 και v βρίσκεται επομένως:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-ρ>0.

Στην περίπτωση που το σημείο Q 0, μαζί με την αρχή των συντεταγμένων, βρίσκεται στην ίδια πλευρά του P, τότε η γωνία που δημιουργείται είναι οξεία, δηλαδή:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι στην πρώτη περίπτωση (ρ 0 ,v)>р, στη δεύτερη (ρ 0 ,v)<р.

Εφαπτομενικό επίπεδο και η εξίσωσή του

Το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια στο σημείο επαφής Mº είναι ένα επίπεδο που περιέχει όλες τις πιθανές εφαπτόμενες στις καμπύλες που χαράσσονται μέσω αυτού του σημείου στην επιφάνεια.

Με αυτόν τον τύπο επιφανειακής εξίσωσης F(x,y,z)=0, η εξίσωση του εφαπτομενικού επιπέδου στο εφαπτομενικό σημείο Mº(xº,yº,zº) θα μοιάζει με αυτό:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Εάν καθορίσετε την επιφάνεια σε ρητή μορφή z=f (x,y), τότε το εφαπτομενικό επίπεδο θα περιγραφεί από την εξίσωση:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Τομή δύο επιπέδων

Στο σύστημα συντεταγμένων (ορθογώνιο) βρίσκεται το Oxyz, δίνονται δύο επίπεδα П′ και П″, τα οποία τέμνονται και δεν συμπίπτουν. Εφόσον οποιοδήποτε επίπεδο βρίσκεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από μια γενική εξίσωση, θα υποθέσουμε ότι τα P′ και P″ δίνονται από τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x +B″y+ С″z+D″=0. Στην περίπτωση αυτή, έχουμε το κανονικό n′ (A′,B′,C′) του επιπέδου P′ και το κανονικό n″ (A″,B″,C″) του επιπέδου P″. Δεδομένου ότι τα επίπεδά μας δεν είναι παράλληλα και δεν συμπίπτουν, αυτά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των μαθηματικών, μπορούμε να γράψουμε αυτή τη συνθήκη ως εξής: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Έστω η ευθεία που βρίσκεται στη τομή των P′ και P″ συμβολίζεται με το γράμμα a, στην περίπτωση αυτή a = P′ ∩ P″.

Η α είναι μια ευθεία που αποτελείται από το σύνολο όλων των σημείων των (κοινών) επιπέδων P′ και P″. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στην ευθεία a πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούν τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x+B″y+C″z+D″=0 . Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι μια μερική λύση του ακόλουθου συστήματος εξισώσεων:

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι η (γενική) λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων θα καθορίσει τις συντεταγμένες καθενός από τα σημεία της ευθείας, τα οποία θα λειτουργήσουν ως το σημείο τομής των P′ και P″, και θα καθορίσει την ευθεία α στο σύστημα συντεταγμένων Oxyz (ορθογώνιο) στο διάστημα.

Σε αυτό το υλικό, θα δούμε πώς να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου εάν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τριών διαφορετικών σημείων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε τι είναι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, θα εισαγάγουμε τη βασική αρχή αυτής της εξίσωσης και θα δείξουμε ακριβώς πώς να τη χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αρχικά, πρέπει να θυμηθούμε ένα αξίωμα, το οποίο ακούγεται ως εξής:

Ορισμός 1

Εάν τρία σημεία δεν συμπίπτουν μεταξύ τους και δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε στον τρισδιάστατο χώρο διέρχεται μόνο ένα επίπεδο από αυτά.

Με άλλα λόγια, εάν έχουμε τρία διαφορετικά σημεία των οποίων οι συντεταγμένες δεν συμπίπτουν και τα οποία δεν μπορούν να συνδεθούν με ευθεία γραμμή, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το επίπεδο που διέρχεται από αυτήν.

Ας πούμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Ας το συμβολίσουμε O x y z. Περιέχει τρία σημεία M με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), τα οποία δεν μπορούν να συνδεθούν ευθεία. Με βάση αυτές τις συνθήκες, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που χρειαζόμαστε. Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

1. Η πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιεί την εξίσωση γενικού επιπέδου. Σε μορφή γράμματος, γράφεται ως A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να ορίσετε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ένα συγκεκριμένο επίπεδο άλφα που διέρχεται από το πρώτο δεδομένο σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1). Αποδεικνύεται ότι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου α θα έχει συντεταγμένες A, B, C.

Ορισμός του Ν

Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος και τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται το επίπεδο, μπορούμε να γράψουμε τη γενική εξίσωση αυτού του επιπέδου.

Από αυτό θα προχωρήσουμε στο μέλλον.

Έτσι, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, έχουμε τις συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου (έστω και τριών) από το οποίο διέρχεται το επίπεδο. Για να βρείτε την εξίσωση, πρέπει να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματός της. Ας το συμβολίσουμε n → .

Ας θυμηθούμε τον κανόνα: οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα ενός δεδομένου επιπέδου είναι κάθετο στο κανονικό διάνυσμα του ίδιου επιπέδου. Τότε έχουμε ότι το n → θα είναι κάθετο στα διανύσματα που αποτελούνται από τα αρχικά σημεία M 1 M 2 → και M 1 M 3 → . Τότε μπορούμε να συμβολίσουμε το n → ως διανυσματικό γινόμενο της μορφής M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Αφού M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) και M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (οι αποδείξεις αυτών των ισοτήτων δίνονται στο άρθρο που είναι αφιερωμένο στον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες των σημείων), τότε αποδεικνύεται ότι:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Αν υπολογίσουμε την ορίζουσα, θα λάβουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος n → που χρειαζόμαστε. Τώρα μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση που χρειαζόμαστε για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία.

2. Η δεύτερη προσέγγιση για την εύρεση της εξίσωσης που διέρχεται από M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), βασίζεται σε μια έννοια όπως η συνεπίπεδη διανυσμάτων.

Αν έχουμε ένα σύνολο σημείων M (x, y, z), τότε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίζουν ένα επίπεδο για δεδομένα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) μόνο στην περίπτωση που τα διανύσματα M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) και M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) θα είναι ομοεπίπεδα .

Στο διάγραμμα θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό θα σημαίνει ότι το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → θα είναι ίσο με μηδέν: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , αφού αυτή είναι η κύρια συνθήκη της ομοεπίπεδης: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) και M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Ας γράψουμε την εξίσωση που προκύπτει σε μορφή συντεταγμένων:

Αφού υπολογίσουμε την ορίζουσα, μπορούμε να λάβουμε την εξίσωση επιπέδου που χρειαζόμαστε για τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Από την εξίσωση που προκύπτει, μπορείτε να μεταβείτε στην εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα ή στην κανονική εξίσωση του επιπέδου, εάν το απαιτούν οι συνθήκες του προβλήματος.

Στην επόμενη παράγραφο θα δώσουμε παραδείγματα για το πώς εφαρμόζονται στην πράξη οι προσεγγίσεις που υποδείξαμε.

Παραδείγματα προβλημάτων για τη σύνθεση εξίσωσης επιπέδου που διέρχεται από 3 σημεία

Προηγουμένως, εντοπίσαμε δύο προσεγγίσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε την επιθυμητή εξίσωση. Ας δούμε πώς χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων και πότε πρέπει να επιλέξετε το καθένα.

Παράδειγμα 1

Υπάρχουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, με συντεταγμένες M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Να γράψετε μια εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από αυτά.

Λύση

Χρησιμοποιούμε και τις δύο μεθόδους εναλλάξ.

1. Βρείτε τις συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων που χρειαζόμαστε M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Τώρα ας υπολογίσουμε το διανυσματικό γινόμενο τους. Δεν θα περιγράψουμε τους υπολογισμούς της ορίζουσας:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Έχουμε ένα κανονικό διάνυσμα του επιπέδου που διέρχεται από τα τρία απαιτούμενα σημεία: n → = (- 5, 30, 2) . Στη συνέχεια, πρέπει να πάρουμε ένα από τα σημεία, για παράδειγμα, M 1 (- 3, 2, - 1) και να γράψουμε την εξίσωση για το επίπεδο με διάνυσμα n → = (- 5, 30, 2). Παίρνουμε ότι: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Αυτή είναι η εξίσωση που χρειαζόμαστε για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία σημεία.

2. Ας ακολουθήσουμε μια διαφορετική προσέγγιση. Ας γράψουμε την εξίσωση για ένα επίπεδο με τρία σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) σε την παρακάτω φόρμα:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Εδώ μπορείτε να αντικαταστήσετε δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος. Αφού x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Πήραμε την εξίσωση που χρειαζόμασταν.

Απάντηση:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Τι γίνεται όμως αν τα δεδομένα σημεία εξακολουθούν να βρίσκονται στην ίδια ευθεία και πρέπει να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για αυτά; Εδώ πρέπει να πούμε αμέσως ότι αυτή η συνθήκη δεν θα είναι απολύτως σωστή. Ένας άπειρος αριθμός επιπέδων μπορεί να περάσει από τέτοια σημεία, επομένως είναι αδύνατο να υπολογιστεί μια μόνο απάντηση. Ας εξετάσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα για να αποδείξουμε την ανακρίβεια μιας τέτοιας διατύπωσης της ερώτησης.

Παράδειγμα 2

Έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε τρισδιάστατο χώρο, στο οποίο τοποθετούνται τρία σημεία με συντεταγμένες M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από αυτό.

Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο και ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων M 1 M 2 → και M 1 M 3 →. Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες τους: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Το διασταυρούμενο γινόμενο θα είναι ίσο με:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Εφόσον M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, τότε τα διανύσματά μας θα είναι συγγραμμικά (διαβάστε ξανά το άρθρο σχετικά με αυτά εάν ξεχάσατε τον ορισμό αυτής της έννοιας). Έτσι, τα αρχικά σημεία M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το πρόβλημά μας έχει άπειρα πολλά επιλογές απάντηση.

Εάν χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη μέθοδο, θα λάβουμε:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Από την προκύπτουσα ισότητα προκύπτει επίσης ότι τα δεδομένα σημεία M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εάν θέλετε να βρείτε τουλάχιστον μία απάντηση σε αυτό το πρόβλημα από τον άπειρο αριθμό των επιλογών του, τότε πρέπει να ακολουθήσετε τα εξής βήματα:

1. Γράψτε την εξίσωση της ευθείας M 1 M 2, M 1 M 3 ή M 2 M 3 (αν χρειάζεται, δείτε το υλικό για αυτήν την ενέργεια).

2. Πάρτε ένα σημείο M 4 (x 4, y 4, z 4), το οποίο δεν βρίσκεται στην ευθεία M 1 M 2.

3. Να γράψετε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία διαφορετικά σημεία Μ 1, Μ 2 και Μ 4 που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Προκειμένου ένα μόνο επίπεδο να τραβηχτεί μέσω οποιωνδήποτε τριών σημείων στο χώρο, είναι απαραίτητο αυτά τα σημεία να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Θεωρήστε τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) στο γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Για να βρίσκεται ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία M 1, M 2, M 3, είναι απαραίτητο τα διανύσματα να είναι συνεπίπεδα.

Ορισμός 2.1.

Δύο ευθείες στο διάστημα ονομάζονται παράλληλες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Αν δύο ευθείες a και b είναι παράλληλες, τότε, όπως στην επιπεδομετρία, γράψτε a || σι. Στο διάστημα, οι γραμμές μπορούν να τοποθετηθούν έτσι ώστε να μην τέμνονται ή να είναι παράλληλες. Αυτή η θήκη είναι ειδική για τη στερεομετρία.

Ορισμός 2.2.

Οι ευθείες που δεν έχουν κοινά σημεία και δεν είναι παράλληλες ονομάζονται τεμνόμενες.

Θεώρημα 2.1.

Μέσα από ένα σημείο έξω από μια δεδομένη ευθεία, μπορεί κανείς να χαράξει μια ευθεία παράλληλη στη δεδομένη και μόνο μία.

25.Σημάδι παραλληλισμού μεταξύ ευθείας και επιπέδου

Θεώρημα

Εάν μια ευθεία που δεν ανήκει σε ένα επίπεδο είναι παράλληλη με κάποια ευθεία σε αυτό το επίπεδο, τότε είναι παράλληλη με το ίδιο το επίπεδο.

Απόδειξη

Έστω α ένα επίπεδο, a μια ευθεία που δεν βρίσκεται σε αυτό, και a1 μια ευθεία στο επίπεδο α παράλληλη στην ευθεία a. Ας σχεδιάσουμε το επίπεδο α1 μέσα από τις ευθείες a και a1. Τα επίπεδα α και α1 τέμνονται κατά μήκος της ευθείας a1. Αν ευθεία ένα τέμνον επίπεδο α, τότε το σημείο τομής θα ανήκει στην ευθεία a1. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού οι ευθείες a και a1 είναι παράλληλες. Κατά συνέπεια, η ευθεία α δεν τέμνει το επίπεδο α, και επομένως είναι παράλληλη με το επίπεδο α. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

27.Ύπαρξη επιπέδου παράλληλου σε δεδομένο επίπεδο

Θεώρημα

Μέσα από ένα σημείο έξω από ένα δεδομένο επίπεδο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε ένα επίπεδο παράλληλο στο δεδομένο και μόνο ένα.

Απόδειξη

Ας σχεδιάσουμε σε αυτό το επίπεδο α οποιεσδήποτε δύο τεμνόμενες ευθείες a και b. Μέσα από ένα δεδομένο σημείο Α τραβάμε ευθείες a1 και b1 παράλληλες σε αυτές. Το επίπεδο β που διέρχεται από τις ευθείες a1 και b1, σύμφωνα με το θεώρημα για τον παραλληλισμό των επιπέδων, είναι παράλληλο στο επίπεδο α.

Έστω ότι ένα άλλο επίπεδο β1 διέρχεται από το σημείο Α, επίσης παράλληλο στο επίπεδο α. Ας σημειώσουμε κάποιο σημείο C στο επίπεδο β1 που δεν βρίσκεται στο επίπεδο β. Ας σχεδιάσουμε το επίπεδο γ μέσα από τα σημεία Α, Γ και κάποιο σημείο Β του επιπέδου α. Αυτό το επίπεδο θα τέμνει τα επίπεδα α, β και β1 κατά μήκος των ευθειών b, a και c. Οι ευθείες a και c δεν τέμνουν την ευθεία b, αφού δεν τέμνουν το επίπεδο α. Επομένως, είναι παράλληλοι με την ευθεία β. Αλλά στο επίπεδο γ μόνο μία ευθεία παράλληλη στην ευθεία b μπορεί να περάσει από το σημείο Α. που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

28.Ιδιότητες παράλληλων επιπέδωνου

29.

Κάθετες γραμμές στο χώρο. Δύο ευθείες στο χώρο ονομάζονται κάθετες εάν η μεταξύ τους γωνία είναι 90 μοίρες. ντο. Μ. κ. κ. Μ. ντο. κ. Τέμνονται. Διασταύρωση.

Θεώρημα 2 1η ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΚΑΘΕΤΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΩΝ. Αν ένα επίπεδο είναι κάθετο σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι και κάθετο στην άλλη.
Απόδειξη: Έστω το 1 και το 2 - 2 να είναι παράλληλες ευθείες και ένα επίπεδο κάθετο στην ευθεία a 1. Ας αποδείξουμε ότι αυτό το επίπεδο είναι κάθετο στην ευθεία a 2. Ας σχεδιάσουμε μια αυθαίρετη ευθεία x 2 στο επίπεδο μέσω του σημείου A 2 της τομής της ευθείας a 2 με το επίπεδο. Ας σχεδιάσουμε στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο A 1 την τομή της ευθείας a 1 με την ευθεία x 1 παράλληλη στην ευθεία x 2. Εφόσον η ευθεία a 1 είναι κάθετη στο επίπεδο, τότε οι ευθείες a 1 και x 1 είναι κάθετες. Και σύμφωνα με το Θεώρημα 1, οι τεμνόμενες ευθείες παράλληλες σε αυτές, a 2 και x 2, είναι επίσης κάθετες. Έτσι, η ευθεία a 2 είναι κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία x 2 στο επίπεδο. Και αυτό (εξ ορισμού) σημαίνει ότι η ευθεία α 2 είναι κάθετη στο επίπεδο. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Δείτε επίσης την εργασία υποστήριξης Νο. 2.
Θεώρημα 3 2η ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΚΑΘΕΤΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΩΝ. Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες.
Απόδειξη: Έστω a και b 2 ευθείες κάθετες στο επίπεδο. Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες a και b δεν είναι παράλληλες. Ας επιλέξουμε ένα σημείο C στην ευθεία b που δεν βρίσκεται στο επίπεδο. Ας σχεδιάσουμε μια ευθεία b 1 έως το σημείο C, παράλληλη στην ευθεία a. Η ευθεία b 1 είναι κάθετη στο επίπεδο σύμφωνα με το Θεώρημα 2. Έστω B και B 1 τα σημεία τομής των ευθειών b και b 1 με το επίπεδο. Τότε η ευθεία BB 1 είναι κάθετη στις τεμνόμενες ευθείες b και b 1. Και αυτό είναι αδύνατο. Φτάσαμε σε μια αντίφαση. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

33.Κάθετος, χαμηλωμένο από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο, είναι ένα τμήμα που συνδέει ένα δεδομένο σημείο με ένα σημείο του επιπέδου και βρίσκεται σε μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο. Το άκρο αυτού του τμήματος που βρίσκεται στο επίπεδο ονομάζεται βάση της κάθετης.
Κεκλιμένοςσχεδιασμένο από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο είναι κάθε τμήμα που συνδέει ένα δεδομένο σημείο με ένα σημείο του επιπέδου που δεν είναι κάθετο στο επίπεδο. Το άκρο ενός τμήματος που βρίσκεται σε ένα επίπεδο ονομάζεται κεκλιμένη βάση. Το τμήμα που συνδέει τις βάσεις μιας κάθετης με μια κεκλιμένη από το ίδιο σημείο ονομάζεται λοξή προβολή.

Το ΑΒ είναι κάθετο στο επίπεδο α.
AC – λοξό, CB – προβολή.

Δήλωση του θεωρήματος

Αν μια ευθεία που χαράσσεται σε ένα επίπεδο διαμέσου της βάσης μιας κεκλιμένης γραμμής είναι κάθετη στην προβολή της, τότε είναι κάθετη στην κεκλιμένη.

Απόδειξη

Αφήνω ΑΒ- κάθετη στο επίπεδο α, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.- κλίση και ντο- ευθεία γραμμή στο επίπεδο α που διέρχεται από το σημείο ντοκαι κάθετα στην προβολή ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.. Ας κάνουμε ένα άμεσο CKπαράλληλα με τη γραμμή ΑΒ. Ευθεία CKείναι κάθετο στο επίπεδο α (αφού είναι παράλληλο ΑΒ), και επομένως οποιαδήποτε ευθεία αυτού του επιπέδου, επομένως, CKκάθετη σε ευθεία γραμμή ντο. Ας τραβήξουμε παράλληλες γραμμές ΑΒΚαι CKεπίπεδο β (παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο και μόνο ένα). Ευθεία ντοκάθετες σε δύο τεμνόμενες ευθείες που βρίσκονται στο επίπεδο β, αυτό είναι ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ανάλογα με την κατάσταση και CKαπό κατασκευή, σημαίνει ότι είναι κάθετο σε οποιαδήποτε ευθεία που ανήκει σε αυτό το επίπεδο, που σημαίνει ότι είναι κάθετο στη γραμμή ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ..

Προκειμένου ένα μόνο επίπεδο να τραβηχτεί μέσω οποιωνδήποτε τριών σημείων στο χώρο, είναι απαραίτητο αυτά τα σημεία να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Θεωρήστε τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) στο γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Για να βρίσκεται ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία M 1, M 2, M 3, είναι απαραίτητο τα διανύσματα να είναι συνεπίπεδα.

(
) = 0

Ετσι,

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Εξίσωση ενός επιπέδου με δύο σημεία και ένα διάνυσμα συγγραμμικό με το επίπεδο.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) και το διάνυσμα
.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία M 1 και M 2 και ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y, z) παράλληλο στο διάνυσμα .

Διανύσματα
και διάνυσμα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη, δηλ.

(
) = 0

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί ένα σημείο και δύο διανύσματα,

ευθύγραμμο προς το επίπεδο.

Έστω δύο διανύσματα
Και
, συγγραμμικά επίπεδα. Στη συνέχεια, για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, τα διανύσματα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη.

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου προς σημείο και κανονικό διάνυσμα .

Θεώρημα. Αν στο διάστημα δίνεται σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0 ), τότε η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 κάθετο στο κανονικό διάνυσμα (ΕΝΑ, σι, ντο) έχει τη μορφή:

ΕΝΑ(Χ – Χ 0 ) + σι(y – y 0 ) + ντο(z – z 0 ) = 0.

Απόδειξη. Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, συνθέτουμε ένα διάνυσμα. Επειδή διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα, τότε είναι κάθετο στο επίπεδο και, επομένως, κάθετο στο διάνυσμα
. Στη συνέχεια το βαθμωτό γινόμενο

= 0

Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0 διαιρούμε και τις δύο πλευρές με (-D)

,

αντικαθιστώντας
, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα:

Οι αριθμοί a, b, c είναι τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες x, y, z, αντίστοιχα.

Εξίσωση επιπέδου σε διανυσματική μορφή.

Οπου

- διάνυσμα ακτίνας του τρέχοντος σημείου M(x, y, z),

Ένα μοναδιαίο διάνυσμα που έχει τη διεύθυνση μιας κάθετης πέσει σε ένα επίπεδο από την αρχή.

,  και  είναι οι γωνίες που σχηματίζει αυτό το διάνυσμα με τους άξονες x, y, z.

p είναι το μήκος αυτής της καθέτου.

Σε συντεταγμένες, αυτή η εξίσωση μοιάζει με:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Απόσταση από ένα σημείο σε ένα αεροπλάνο.

Η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο M 0 (x 0, y 0, z 0) στο επίπεδο Ax+By+Cz+D=0 είναι:

Παράδειγμα.Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4; -3; 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Άρα Α = 4/13; Β = -3/13; C = 12/13, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από δύο σημεία P(2; 0; -1) και

Q(1; -1; 3) κάθετο στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0.

Κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0
παράλληλα με το επιθυμητό επίπεδο.

Παίρνουμε:

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Α(2, -1, 4) και

B(3, 2, -1) κάθετα στο επίπεδο Χ + στο + 2z – 3 = 0.

Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: Α Χ+Β y+C z+ D = 0, κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο (Α, Β, Γ). Διάνυσμα
(1, 3, -5) ανήκει στο επίπεδο. Το επίπεδο που μας δίνεται, κάθετο στο επιθυμητό, ​​έχει κανονικό διάνυσμα (1, 1, 2). Επειδή Τα σημεία Α και Β ανήκουν και στα δύο επίπεδα, και τα επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα, λοιπόν

Άρα το κανονικό διάνυσμα (11, -7, -2). Επειδή Το σημείο Α ανήκει στο επιθυμητό επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση αυτού του επιπέδου, δηλ. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Συνολικά, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου: 11 Χ - 7y – 2z – 21 = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4, -3, 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος
= (4, -3, 12). Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: 4 Χ – 3y + 12z+ D = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή D, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου P στην εξίσωση:

16 + 9 + 144 + D = 0

Συνολικά, παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση: 4 Χ – 3y + 12z – 169 = 0

Παράδειγμα.Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Βρείτε το μήκος της ακμής A 1 A 2.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ακμών A 1 A 2 και A 1 A 4.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ακμής A 1 A 4 και της όψης A 1 A 2 A 3.

Πρώτα βρίσκουμε το κανονικό διάνυσμα στο πρόσωπο A 1 A 2 A 3 ως διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων
Και
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Ας βρούμε τη γωνία μεταξύ του κανονικού και του διανύσματος
.

-4 – 4 = -8.

Η επιθυμητή γωνία  μεταξύ του διανύσματος και του επιπέδου θα είναι ίση με  = 90 0 - .

Βρείτε την περιοχή του προσώπου A 1 A 2 A 3.

Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου A 1 A 2 A 3.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Όταν χρησιμοποιείτε την έκδοση υπολογιστή " Ανώτερο μάθημα μαθηματικών” μπορείτε να εκτελέσετε ένα πρόγραμμα που θα λύσει το παραπάνω παράδειγμα για τυχόν συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας.

Για να ξεκινήσετε το πρόγραμμα, κάντε διπλό κλικ στο εικονίδιο:

Στο παράθυρο του προγράμματος που ανοίγει, πληκτρολογήστε τις συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας και πατήστε Enter. Με αυτόν τον τρόπο, όλα τα σημεία απόφασης μπορούν να ληφθούν ένα προς ένα.

Σημείωση: Για να εκτελέσετε το πρόγραμμα, πρέπει να έχετε εγκατεστημένο στον υπολογιστή σας το πρόγραμμα Maple ( Waterloo Maple Inc.), οποιαδήποτε έκδοση ξεκινά με το MapleV Release 4.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Δηλώνοντας τα διανύσματα ακτίνας τους με και το διάνυσμα ακτίνας ρεύματος με , μπορούμε εύκολα να λάβουμε την απαιτούμενη εξίσωση σε διανυσματική μορφή. Στην πραγματικότητα, τα διανύσματα πρέπει να είναι ομοεπίπεδα (βρίσκονται όλα στο επιθυμητό επίπεδο). Επομένως, το διανυσματικό βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων πρέπει να είναι ίσο με μηδέν:

Αυτή είναι η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, σε διανυσματική μορφή.

Προχωρώντας στις συντεταγμένες, παίρνουμε την εξίσωση σε συντεταγμένες:

Εάν τρία δεδομένα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε τα διανύσματα θα ήταν συγγραμμικά. Επομένως, τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο τελευταίων γραμμών της ορίζουσας στην εξίσωση (18) θα ήταν ανάλογα και η ορίζουσα θα ήταν πανομοιότυπα ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, η εξίσωση (18) θα γίνει πανομοιότυπη για οποιεσδήποτε τιμές των x, y και z. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι από κάθε σημείο του χώρου διέρχεται ένα επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα τρία δεδομένα.

Παρατήρηση 1. Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση διανυσμάτων.

Δηλώνοντας τις συντεταγμένες των τριών δεδομένων σημείων, αντίστοιχα, γράφουμε την εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου που διέρχεται από το πρώτο σημείο:

Για να ληφθεί η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου, είναι απαραίτητο να απαιτηθεί ότι η εξίσωση (17) ικανοποιείται από τις συντεταγμένες δύο άλλων σημείων:

Από τις εξισώσεις (19), είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η αναλογία δύο συντελεστών προς τον τρίτο και να εισαγάγετε τις τιμές που βρέθηκαν στην εξίσωση (17).

Παράδειγμα 1. Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία.

Η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το πρώτο από αυτά τα σημεία θα είναι:

Οι συνθήκες για να περάσει το επίπεδο (17) από δύο άλλα σημεία και το πρώτο σημείο είναι:

Προσθέτοντας τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη, βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (17) αντί των A, B, C, αντίστοιχα, 1, 5, -4 (αριθμοί ανάλογοι με αυτούς), παίρνουμε:

Παράδειγμα 2. Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Η εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου που διέρχεται από το σημείο (0, 0, 0) θα είναι]

Οι συνθήκες για τη διέλευση αυτού του επιπέδου από τα σημεία (1, 1, 1) και (2, 2, 2) είναι:

Μειώνοντας τη δεύτερη εξίσωση κατά 2, βλέπουμε ότι για τον προσδιορισμό δύο αγνώστων, υπάρχει μία εξίσωση με

Από εδώ παίρνουμε . Τώρα αντικαθιστώντας την τιμή του επιπέδου στην εξίσωση, βρίσκουμε:

Αυτή είναι η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου. εξαρτάται από αυθαίρετο

ποσότητες B, C (δηλαδή, από τη σχέση, δηλ. υπάρχει άπειρος αριθμός επιπέδων που διέρχονται από τρία δεδομένα σημεία (τρία δεδομένα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία).

Παρατήρηση 2. Το πρόβλημα της σχεδίασης ενός επιπέδου μέσω τριών δεδομένων σημείων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία μπορεί εύκολα να λυθεί σε γενική μορφή εάν χρησιμοποιήσουμε ορίζουσες. Πράγματι, εφόσον στις εξισώσεις (17) και (19) οι συντελεστές A, B, C δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, τότε, θεωρώντας αυτές τις εξισώσεις ως ένα ομοιογενές σύστημα με τρία άγνωστα A, B, C, γράφουμε ένα απαραίτητο και επαρκές προϋπόθεση για την ύπαρξη λύσης αυτού του συστήματος, διαφορετική από το μηδέν (Μέρος 1, Κεφάλαιο VI, § 6):

Έχοντας επεκτείνει αυτήν την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, λαμβάνουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες συντεταγμένες, η οποία θα ικανοποιηθεί, ειδικότερα, από τις συντεταγμένες των τριών δεδομένων σημείων.

Μπορείτε επίσης να επαληθεύσετε αυτό το τελευταίο απευθείας αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες οποιουδήποτε από αυτά τα σημεία αντί για . Στην αριστερή πλευρά παίρνουμε μια ορίζουσα στην οποία είτε τα στοιχεία της πρώτης σειράς είναι μηδενικά είτε υπάρχουν δύο ίδιες σειρές. Έτσι, η εξίσωση που κατασκευάστηκε αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο που διέρχεται από τα τρία δεδομένα σημεία.