Πώς να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο στο διαδίκτυο. Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, που ξεκινήσαμε στην ενότητα «LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα». Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του LCM για τρεις ή περισσότερους αριθμούς και θα εξετάσουμε το ερώτημα πώς να βρείτε το LCM ενός αρνητικού αριθμού.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Έχουμε ήδη καθορίσει τη σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Τώρα ας μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε το LCM μέσω του GCD. Αρχικά, ας καταλάβουμε πώς να το κάνουμε αυτό για θετικούς αριθμούς.

Ορισμός 1

Μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη χρησιμοποιώντας τον τύπο LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Παράδειγμα 1

Πρέπει να βρείτε το LCM των αριθμών 126 και 70.

Διάλυμα

Ας πάρουμε a = 126, b = 70. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Βρίσκει το gcd των αριθμών 70 και 126. Για αυτό χρειαζόμαστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, επομένως GCD (126 , 70) = 14 .

Ας υπολογίσουμε το LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Απάντηση: LCM(126, 70) = 630.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον αριθμό 68 και 34.

Διάλυμα

GCD σε σε αυτή την περίπτωσηΑυτό δεν είναι δύσκολο, αφού το 68 διαιρείται με το 34. Ας υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Απάντηση: LCM(68, 34) = 68.

Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των θετικών ακεραίων a και b: εάν ο πρώτος αριθμός διαιρείται με τον δεύτερο, το LCM αυτών των αριθμών θα είναι ίσο με τον πρώτο αριθμό.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Τώρα ας δούμε τη μέθοδο εύρεσης του LCM, η οποία βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 2

Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από απλά βήματα:

• Συνθέτουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων των αριθμών για τους οποίους πρέπει να βρούμε το LCM.
• Εξαιρούμε όλους τους κύριους παράγοντες από τα προκύπτοντα προϊόντα.
• το γινόμενο που προκύπτει μετά την εξάλειψη των κοινών πρώτων παραγόντων θα είναι ίσο με το LCM των δεδομένων αριθμών.

Αυτή η μέθοδος εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου βασίζεται στην ισότητα LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Αν κοιτάξετε τον τύπο, θα γίνει σαφές: το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετέχουν στην αποσύνθεση αυτών των δύο αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, το gcd δύο αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις παραγοντοποιήσεις αυτών των δύο αριθμών.

Παράδειγμα 3

Έχουμε δύο αριθμούς 75 και 210. Μπορούμε να τις συνυπολογίσουμε ως εξής: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Αν συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων των δύο αρχικών αριθμών, λαμβάνετε: 2 3 3 5 5 5 7.

Αν εξαιρέσουμε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς 3 και 5, παίρνουμε ένα γινόμενο της ακόλουθης μορφής: 2 3 5 5 7 = 1050. Αυτό το προϊόν θα είναι το LCM μας για τους αριθμούς 75 και 210.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών 441 Και 700 , παραγοντοποιώντας και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Διάλυμα

Ας βρούμε όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών που δίνονται στην συνθήκη:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Παίρνουμε δύο αλυσίδες αριθμών: 441 = 3 3 7 7 και 700 = 2 2 5 5 7.

Το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετείχαν στην αποσύνθεση αυτών των αριθμών θα έχει τη μορφή: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ας βρούμε κοινούς παράγοντες. Αυτός είναι ο αριθμός 7. Ας τον αποκλείσουμε από συνολικό προϊόν: 2 2 3 3 5 5 7 7. Αποδεικνύεται ότι ο ΝΟΚ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Απάντηση: LOC(441, 700) = 44.100.

Ας δώσουμε μια άλλη διατύπωση της μεθόδου εύρεσης του LCM αποσυνθέτοντας αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 3

Προηγουμένως, εξαιρέσαμε από τον συνολικό αριθμό των κοινών παραγόντων και στους δύο αριθμούς. Τώρα θα το κάνουμε διαφορετικά:

• Ας συνυπολογίσουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:
• προσθέστε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων του πρώτου αριθμού τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό.
• παίρνουμε το γινόμενο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό LCM δύο αριθμών.

Παράδειγμα 5

Ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 75 και 210, για τους οποίους ήδη αναζητήσαμε το LCM σε ένα από τα προηγούμενα παραδείγματα. Ας τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Στο γινόμενο των παραγόντων 3, 5 και 5 οι αριθμοί 75 προσθέτουν τους παράγοντες που λείπουν 2 Και 7 αριθμοί 210. Παίρνουμε: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Αυτό είναι το LCM των αριθμών 75 και 210.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αριθμών 84 και 648.

Διάλυμα

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς από την συνθήκη σε απλούς παράγοντες: 84 = 2 2 3 7Και 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ας προσθέσουμε στο γινόμενο τους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 αριθμοί 84 που λείπουν παράγοντες 2, 3, 3 και
3 αριθμοί 648. Παίρνουμε το προϊόν 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απάντηση: LCM(84, 648) = 4.536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Ανεξάρτητα από το πόσους αριθμούς έχουμε να κάνουμε, ο αλγόριθμος των ενεργειών μας θα είναι πάντα ο ίδιος: θα βρίσκουμε διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Υπάρχει ένα θεώρημα για αυτή την περίπτωση.

Θεώρημα 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ακέραιους αριθμούς a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kΑυτοί οι αριθμοί βρίσκονται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Παράδειγμα 7

Πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250 .

Διάλυμα

Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Ας εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε το GCD των αριθμών 140 και 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Παίρνουμε: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Επομένως, m 2 = 1.260.

Τώρα ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Κατά τους υπολογισμούς λαμβάνουμε m 3 = 3 780.

Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Ακολουθούμε τον ίδιο αλγόριθμο. Παίρνουμε m 4 = 94 500.

Το LCM των τεσσάρων αριθμών από την συνθήκη του παραδείγματος είναι 94500.

Απάντηση: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι υπολογισμοί είναι απλοί, αλλά αρκετά απαιτούν εργασία. Για να εξοικονομήσετε χρόνο, μπορείτε να ακολουθήσετε άλλο τρόπο.

Ορισμός 4

Σας προσφέρουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:

• Αποσυνθέτουμε όλους τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
• Στο γινόμενο των παραγόντων του πρώτου αριθμού προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν από το γινόμενο του δεύτερου αριθμού.
• στο προϊόν που λήφθηκε στο προηγούμενο στάδιο προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν του τρίτου αριθμού κ.λπ.
• το γινόμενο που προκύπτει θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από τη συνθήκη.

Παράδειγμα 8

Πρέπει να βρείτε το LCM πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Διάλυμα

Ας συνυπολογίσουμε και τους πέντε αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Οι πρώτοι αριθμοί, που είναι ο αριθμός 7, δεν μπορούν να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες. Τέτοιοι αριθμοί συμπίπτουν με την αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2, 2, 3 και 7 του αριθμού 84 και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό. Διασπάσαμε τον αριθμό 6 σε 2 και 3. Αυτοί οι παράγοντες είναι ήδη στο γινόμενο του πρώτου αριθμού. Επομένως, τα παραλείπουμε.

Συνεχίζουμε να προσθέτουμε τους πολλαπλασιαστές που λείπουν. Ας περάσουμε στον αριθμό 48, από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του οποίου παίρνουμε το 2 και το 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε τον πρώτο παράγοντα του 7 από τον τέταρτο αριθμό και τους συντελεστές του 11 και του 13 του πέμπτου. Παίρνουμε: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών πέντε αριθμών.

Απάντηση: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αρνητικών αριθμών

Για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρνητικών αριθμών, αυτοί οι αριθμοί πρέπει πρώτα να αντικατασταθούν από αριθμούς με το αντίθετο πρόσημο και στη συνέχεια να γίνουν οι υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τους παραπάνω αλγόριθμους.

Παράδειγμα 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) και LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Τέτοιες ενέργειες είναι επιτρεπτές λόγω του γεγονότος ότι αν δεχθούμε ότι έναΚαι − α– αντίθετοι αριθμοί,
τότε το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού έναταιριάζει με το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού − α.

Παράδειγμα 10

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αρνητικών αριθμών − 145 Και − 45 .

Διάλυμα

Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς − 145 Και − 45 στους αντίθετους αριθμούς τους 145 Και 45 . Τώρα, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, υπολογίζουμε το LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, έχοντας προηγουμένως καθορίσει το GCD χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο.

Παίρνουμε ότι το LCM των αριθμών είναι − 145 και − 45 ισοδυναμεί 1 305 .

Απάντηση: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι βασικές αριθμητικές έννοιες που σας επιτρέπουν να λειτουργείτε αβίαστα συνηθισμένα κλάσματα. LCM και χρησιμοποιούνται συχνότερα για την εύρεση του κοινού παρονομαστή πολλών κλασμάτων.

Βασικές Έννοιες

Ο διαιρέτης ενός ακέραιου X είναι ένας άλλος ακέραιος αριθμός Y με τον οποίο το X διαιρείται χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Για παράδειγμα, ο διαιρέτης του 4 είναι 2 και του 36 είναι 4, 6, 9. Πολλαπλάσιο ενός ακέραιου Χ είναι ένας αριθμός Υ που διαιρείται με το Χ χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, το 3 είναι πολλαπλάσιο του 15 και το 6 είναι πολλαπλάσιο του 12.

Για οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών μπορούμε να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες και πολλαπλάσια τους. Για παράδειγμα, για το 6 και το 9, το κοινό πολλαπλάσιο είναι 18 και ο κοινός διαιρέτης είναι 3. Προφανώς, τα ζεύγη μπορούν να έχουν πολλούς διαιρέτες και πολλαπλάσια, επομένως οι υπολογισμοί χρησιμοποιούν τον μεγαλύτερο διαιρέτη GCD και το μικρότερο πολλαπλάσιο LCM.

Ο ελάχιστος διαιρέτης δεν έχει νόημα, αφού για οποιονδήποτε αριθμό είναι πάντα ένα. Το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο είναι επίσης χωρίς νόημα, αφού η ακολουθία των πολλαπλασίων πηγαίνει στο άπειρο.

Εύρεση gcd

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη, οι πιο γνωστές από τις οποίες είναι:

• διαδοχική αναζήτηση διαιρετών, επιλογή κοινών για ένα ζευγάρι και αναζήτηση του μεγαλύτερου από αυτούς.
• αποσύνθεση αριθμών σε αδιαίρετους παράγοντες.
• Ευκλείδειος αλγόριθμος;
• δυαδικός αλγόριθμος.

Σήμερα στις εκπαιδευτικά ιδρύματαΟι πιο δημοφιλείς είναι οι μέθοδοι παραγοντοποίησης πρώτων και ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Το τελευταίο, με τη σειρά του, χρησιμοποιείται κατά την επίλυση εξισώσεων Διοφαντίνης: απαιτείται αναζήτηση για GCD για να ελεγχθεί η εξίσωση για τη δυνατότητα ανάλυσης σε ακέραιους αριθμούς.

Εύρεση του NOC

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο προσδιορίζεται επίσης με διαδοχική απαρίθμηση ή παραγοντοποίηση σε αδιαίρετους παράγοντες. Επιπλέον, είναι εύκολο να βρεθεί το LCM εάν έχει ήδη προσδιοριστεί ο μεγαλύτερος διαιρέτης. Για τους αριθμούς X και Y, το LCM και το GCD σχετίζονται με την ακόλουθη σχέση:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Για παράδειγμα, εάν GCM(15,18) = 3, τότε LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Το πιο προφανές παράδειγμα χρήσης LCM είναι να βρείτε τον κοινό παρονομαστή, που είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του δοσμένα κλάσματα.

Συμπρώτοι αριθμοί

Εάν ένα ζεύγος αριθμών δεν έχει κοινούς διαιρέτες, τότε ένα τέτοιο ζεύγος λέγεται συμπρώτος. Το gcd για τέτοια ζεύγη είναι πάντα ίσο με ένα, και με βάση τη σύνδεση μεταξύ διαιρετών και πολλαπλασίων, το gcd για τα συμπρωτεύοντα ζεύγη είναι ίσο με το γινόμενο τους. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 25 και 28 είναι σχετικά πρώτοι, επειδή δεν έχουν κοινούς διαιρέτες, και LCM(25, 28) = 700, που αντιστοιχεί στο γινόμενο τους. Τυχόν δύο αδιαίρετοι αριθμοί θα είναι πάντα σχετικά πρώτοι.

Κοινός διαιρέτης και πολλαπλή αριθμομηχανή

Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή μας, μπορείτε να υπολογίσετε το GCD και το LCM για έναν αυθαίρετο αριθμό αριθμών για να διαλέξετε. Οι εργασίες για τον υπολογισμό κοινών διαιρετών και πολλαπλασίων βρίσκονται στην αριθμητική της 5ης και 6ης τάξης, αλλά το GCD και το LCM είναι βασικές έννοιες στα μαθηματικά και χρησιμοποιούνται στη θεωρία αριθμών, την επιπεδομετρία και την επικοινωνιακή άλγεβρα.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Κοινός παρονομαστής των κλασμάτων

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε τον κοινό παρονομαστή πολλών κλασμάτων. Αφήνω μέσα αριθμητικό πρόβλημαπρέπει να αθροίσεις 5 κλάσματα:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Για να προσθέσετε κλάσματα, η έκφραση πρέπει να μειωθεί σε κοινός παρονομαστής, το οποίο περιορίζει το πρόβλημα εύρεσης του LCM. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε 5 αριθμούς στην αριθμομηχανή και εισαγάγετε τις τιμές των παρονομαστών στα κατάλληλα κελιά. Το πρόγραμμα θα υπολογίσει το LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Τώρα πρέπει να υπολογίσετε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα, οι οποίοι ορίζονται ως ο λόγος του LCM προς τον παρονομαστή. Έτσι οι πρόσθετοι πολλαπλασιαστές θα μοιάζουν με:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Μετά από αυτό, πολλαπλασιάζουμε όλα τα κλάσματα με τον αντίστοιχο πρόσθετο παράγοντα και παίρνουμε:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Μπορούμε εύκολα να αθροίσουμε τέτοια κλάσματα και να πάρουμε το αποτέλεσμα ως 159/360. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 και βλέπουμε την τελική απάντηση - 53/120.

Επίλυση γραμμικών Διοφαντικών εξισώσεων

Οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις είναι εκφράσεις της μορφής ax + by = d. Αν ο λόγος d / gcd(a, b) είναι ακέραιος, τότε η εξίσωση είναι επιλύσιμη σε ακέραιους αριθμούς. Ας ελέγξουμε μερικές εξισώσεις για να δούμε αν έχουν ακέραια λύση. Αρχικά, ας ελέγξουμε την εξίσωση 150x + 8y = 37. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, βρίσκουμε GCD (150,8) = 2. Διαιρέστε 37/2 = 18,5. Ο αριθμός δεν είναι ακέραιος, επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Ας ελέγξουμε την εξίσωση 1320x + 1760y = 10120. Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή για να βρείτε GCD(1320, 1760) = 440. Διαιρέστε 10120/440 = 23. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν ακέραιο, επομένως, η εξίσωση συντελεστή Diophantine is .

Σύναψη

Το GCD και το LCM παίζουν μεγάλο ρόλο στη θεωρία αριθμών και οι ίδιες οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως σε μια μεγάλη ποικιλία τομέων των μαθηματικών. Χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή μας για να υπολογίσετε μεγαλύτεροι διαιρέτεςκαι ελάχιστα πολλαπλάσια οποιουδήποτε αριθμού αριθμών.

Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο με τίτλο LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σύνδεση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), Και ιδιαίτερη προσοχήΑς επικεντρωθούμε στην επίλυση παραδειγμάτων. Αρχικά, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών χρησιμοποιώντας το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Υπάρχουσα σύνδεσημεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων χρησιμοποιώντας έναν γνωστό μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος είναι LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών 126 και 70.

Διάλυμα.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σύνδεση μεταξύ LCM και GCD, που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών χρησιμοποιώντας τον γραπτό τύπο.

Ας βρούμε το GCD(126, 70) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, επομένως, GCD(126, 70)=14.

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Με τι ισούται το LCM(68, 34);

Διάλυμα.

Επειδή Το 68 διαιρείται με το 34, τότε το GCD(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68.

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν συνθέσετε ένα γινόμενο από όλους τους πρώτους συντελεστές δεδομένων αριθμών και στη συνέχεια εξαιρέσετε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις αποσυνθέσεις των δεδομένων αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών .

Ο αναφερόμενος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών α και β είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση των αριθμών α και β. Με τη σειρά του, το GCD(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (όπως περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας την επέκταση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Ας συνθέσουμε το γινόμενο από όλους τους συντελεστές αυτών των επεκτάσεων: 2·3·3·5·5·5·7 . Τώρα από αυτό το γινόμενο εξαιρούμε όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2·3·5·5·7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 75 και του 210, δηλαδή NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Διάλυμα.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3·3·7·7 και 700=2·2·5·5·7.

Τώρα ας δημιουργήσουμε ένα προϊόν από όλους τους παράγοντες που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των αριθμών: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ετσι, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Απάντηση:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Εάν οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b προστεθούν στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού α, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2·3·5·5·7, η τιμή του οποίου είναι ίσο με LCM(75, 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Διάλυμα.

Λαμβάνουμε πρώτα τις αποσυνθέσεις των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2·2·3·7 και 648=2·2·2·3·3·3·3. Στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2, 3, 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648, παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7, που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4,536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Ας θυμηθούμε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρούμε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250.

Διάλυμα.

Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε το GCD(140, 9), έχουμε 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, επομένως, GCD(140, 9)=1 , από όπου GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Δηλαδή, m 2 = 1 260.

Τώρα βρίσκουμε m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του GCD(1 260, 54), το οποίο προσδιορίζουμε επίσης χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Τότε gcd(1,260, 54)=18, από το οποίο gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Δηλαδή, m 3 = 3 780.

Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3,780, 250) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Επομένως, GCM(3,780, 250)=10, από όπου GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Δηλαδή m 4 =94.500.

Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, είναι βολικό να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών χρησιμοποιώντας πρώτους παραγοντοποιήσεις των δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρείτε τον ακόλουθο κανόνα. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο συντίθεται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του τρίτος αριθμός προστίθενται στους συντελεστές που προκύπτουν και ούτω καθεξής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση πρώτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Διάλυμα.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις αποσυνθέσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (το 7 είναι πρώτος αριθμός, συμπίπτει με την αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες) και 143=11·13.

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2, 2, 3 και 7), πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6. Η αποσύνθεση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην αποσύνθεση του πρώτου αριθμού 84. Στη συνέχεια, στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48, παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2, 2, 2, 2, 3 και 7. Δεν θα χρειαστεί να προσθέσετε πολλαπλασιαστές σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2, 2, 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143. Παίρνουμε το γινόμενο 2·2·2·2·3·7·11·13, που ισούται με 48.048.

Πολλαπλάσιος είναι ένας αριθμός που διαιρείται με δεδομένου αριθμούχωρίς ίχνος. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) μιας ομάδας αριθμών είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε αριθμό της ομάδας χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να βρείτε τους πρώτους παράγοντες των δεδομένων αριθμών. Το LCM μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό άλλων μεθόδων που ισχύουν για ομάδες δύο ή περισσότερων αριθμών.

Βήματα

Σειρά πολλαπλών

Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί, καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος από 10. Εάν δίνεται μεγάλα νούμερα, χρησιμοποιήστε άλλη μέθοδο.

• Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 8. Αυτοί είναι μικροί αριθμοί, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.

1. Πολλαπλάσιος είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Τα πολλαπλάσια μπορούν να βρεθούν στον πίνακα πολλαπλασιασμού.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 είναι: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Γράψτε μια σειρά αριθμών που είναι πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού.Κάντε το κάτω από τα πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού για να συγκρίνετε δύο σύνολα αριθμών.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 8 είναι: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 και 64.

3. Βρείτε τον μικρότερο αριθμό που υπάρχει και στα δύο σύνολα πολλαπλών.Ίσως χρειαστεί να γράψετε μεγάλες σειρές πολλαπλών για να βρείτε τον συνολικό αριθμό. Ο μικρότερος αριθμός που υπάρχει και στα δύο σύνολα πολλαπλών είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

   • Για παράδειγμα, ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται στη σειρά των πολλαπλασίων του 5 και του 8 είναι ο αριθμός 40. Επομένως, το 40 είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 8.

   Πρωταρχική παραγοντοποίηση

   1. Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί, καθένας από τους οποίους είναι μεγαλύτερος από 10. Εάν δίνονται μικρότεροι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 20 και 84. Καθένας από τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από το 10, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.

   2. Υπολογίστε τον πρώτο αριθμό σε πρώτους παράγοντες.Δηλαδή πρέπει να βρεις τέτοια πρώτους αριθμούς, όταν πολλαπλασιαστεί, προκύπτει αυτός ο αριθμός. Αφού βρείτε τους πρώτους παράγοντες, γράψτε τους ως ισότητες.

      • Για παράδειγμα, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 10=20)Και 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Ετσι, απλοί παράγοντεςοι αριθμοί 20 είναι οι αριθμοί 2, 2 και 5. Γράψτε τους ως έκφραση: .

   3. Υπολογίστε τον δεύτερο αριθμό σε πρώτους παράγοντες.Κάντε το με τον ίδιο τρόπο που συνυπολογίσατε τον πρώτο αριθμό, δηλαδή βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν τον δεδομένο αριθμό.

      • Για παράδειγμα, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\φορές 6=42)Και 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 84 είναι οι αριθμοί 2, 7, 3 και 2. Γράψτε τους ως έκφραση: .

   4. Καταγράψτε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς.Γράψτε τέτοιους παράγοντες ως πράξη πολλαπλασιασμού. Καθώς γράφετε κάθε παράγοντα, διαγράψτε τον και στις δύο παραστάσεις (εκφράσεις που περιγράφουν την παραγοντοποίηση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

      • Για παράδειγμα, και οι δύο αριθμοί έχουν κοινό παράγοντα 2, οπότε γράψτε 2 × (\displaystyle 2\φορές)και διαγράψτε το 2 και στις δύο εκφράσεις.
      • Αυτό που έχουν και οι δύο αριθμοί κοινό είναι ένας άλλος παράγοντας του 2, οπότε γράψτε 2 × 2 (\splaystyle 2\φορές 2)και διαγράψτε το δεύτερο 2 και στις δύο εκφράσεις.

   5. Προσθέστε τους υπόλοιπους παράγοντες στην πράξη πολλαπλασιασμού.Πρόκειται για παράγοντες που δεν διαγράφονται και στις δύο εκφράσεις, δηλαδή παράγοντες που δεν είναι κοινοί και στους δύο αριθμούς.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 20 = 2 × 2 × 5 (\style display 20=2\φορές 2\φορές 5)Και τα δύο (2) διαγράφονται επειδή είναι κοινοί παράγοντες. Ο παράγοντας 5 δεν είναι διαγραμμένος, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 (\προβολή στυλ 2\ φορές 2\ φορές 5)
      • Στην έκφραση 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\φορές 7\φορές 3\φορές 2)και τα δύο δύο (2) διαγράφονται επίσης. Οι συντελεστές 7 και 3 δεν διαγράφονται, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\style display 2\φορές 2\φορές 5\φορές 7\φορές 3).

   6. Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς στη γραπτή πράξη πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\style display 2\φορές 2\φορές 5\φορές 7\φορές 3=420). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 84 είναι το 420.

   Εύρεση κοινών παραγόντων

   1. Σχεδιάστε ένα πλέγμα όπως για ένα παιχνίδι τικ-τακ.Ένα τέτοιο πλέγμα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται (σε ​​ορθή γωνία) με άλλες δύο παράλληλες ευθείες. Αυτό θα σας δώσει τρεις σειρές και τρεις στήλες (το πλέγμα μοιάζει πολύ με το εικονίδιο #). Γράψτε τον πρώτο αριθμό στην πρώτη γραμμή και στη δεύτερη στήλη. Γράψτε τον δεύτερο αριθμό στην πρώτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 18 και 30. Γράψτε τον αριθμό 18 στην πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη και γράψτε τον αριθμό 30 στην πρώτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

   2. Βρείτε τον διαιρέτη κοινό και στους δύο αριθμούς.Γράψτε το στην πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη. Είναι καλύτερα να αναζητήσετε πρωταρχικούς παράγοντες, αλλά αυτό δεν είναι απαίτηση.

      • Για παράδειγμα, το 18 και το 30 είναι ζυγούς αριθμούς, οπότε ο κοινός συντελεστής τους θα είναι 2. Γράψτε λοιπόν 2 στην πρώτη σειρά και την πρώτη στήλη.

   3. Διαιρέστε κάθε αριθμό με τον πρώτο διαιρέτη.Καταγράψτε κάθε πηλίκο κάτω από τον κατάλληλο αριθμό. Ένα πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), οπότε γράψτε 9 κάτω από 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), οπότε σημειώστε 15 κάτω από 30.

   4. Βρείτε τον κοινό διαιρέτη και στα δύο πηλίκα.Εάν δεν υπάρχει τέτοιος διαιρέτης, παραλείψτε τα επόμενα δύο βήματα. Διαφορετικά, γράψτε τον διαιρέτη στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, το 9 και το 15 διαιρούνται με το 3, οπότε γράψτε το 3 στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη.

   5. Διαιρέστε κάθε πηλίκο με τον δεύτερο διαιρέτη του.Γράψτε κάθε αποτέλεσμα διαίρεσης κάτω από το αντίστοιχο πηλίκο.

      • Για παράδειγμα, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), οπότε γράψτε 3 κάτω από 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), οπότε γράψτε 5 κάτω από 15.

   6. Εάν είναι απαραίτητο, προσθέστε επιπλέον κελιά στο πλέγμα.Επαναλάβετε τα βήματα που περιγράφονται μέχρι τα πηλίκα να έχουν κοινό διαιρέτη.

   7. Κυκλώστε τους αριθμούς στην πρώτη στήλη και την τελευταία σειρά του πλέγματος.Στη συνέχεια, γράψτε τους επιλεγμένους αριθμούς ως λειτουργία πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2 και 3 βρίσκονται στην πρώτη στήλη και οι αριθμοί 3 και 5 βρίσκονται στην τελευταία σειρά, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 3 × 3 × 5 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5).

   8. Βρείτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών.Αυτό θα υπολογίσει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο δεδομένων αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5=90). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 18 και του 30 είναι το 90.

   Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

   1. Θυμηθείτε την ορολογία που σχετίζεται με τη λειτουργία διαίρεσης.Το μέρισμα είναι ο αριθμός που διαιρείται. Ο διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται. Ένα πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών. Ένα υπόλοιπο είναι ο αριθμός που απομένει όταν διαιρεθούν δύο αριθμοί.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        Το 15 είναι το μέρισμα
        Το 6 είναι διαιρέτης
        2 είναι πηλίκο
        3 είναι το υπόλοιπο.

Δεύτερος αριθμός: b=

Διαχωριστής χιλιάδωνΧωρίς διαχωριστικό χώρου "'

Αποτέλεσμα:

Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης gcd( ένα,σι)=6

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του LCM( ένα,σι)=468

Μεγαλύτερο φυσικός αριθμός, με το οποίο διαιρούνται οι αριθμοί a και b χωρίς υπόλοιπο, καλείται μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης(GCD) αυτών των αριθμών. Συμβολίζεται με gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ή hcf(a,b).

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοΤο LCM δύο ακεραίων a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με το a και το b χωρίς υπόλοιπο. Συμβολίζεται LCM(a,b) ή lcm(a,b).

Οι ακέραιοι α και β λέγονται αμοιβαία πρωταρχική, αν δεν έχουν κοινούς διαιρέτες εκτός από +1 και −1.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης

Έστω δύο θετικοί αριθμοί ένα 1 και ένα 2 1). Απαιτείται να βρεθεί ο κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών, δηλ. βρείτε έναν τέτοιο αριθμό λ , που διαιρεί αριθμούς ένα 1 και ένα 2 ταυτόχρονα. Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο.

1) Σε αυτό το άρθρο, η λέξη αριθμός θα γίνει κατανοητή ως ακέραιος.

Αφήνω ένα 1 ≥ ένα 2 και ας

Οπου m 1 , ένα 3 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ένα 3 <ένα 2 (υπόλοιπο διαίρεσης ένα 1 ανά ένα 2 θα πρέπει να είναι μικρότερο ένα 2).

Ας υποθέσουμε ότι λ χωρίζει ένα 1 και ένα 2 τότε λ χωρίζει m 1 ένα 2 και λ χωρίζει ένα 1 −m 1 ένα 2 =ένα 3 (Δήλωση 2 του άρθρου «Διαιρετότητα αριθμών. Δοκιμασία διαιρετότητας»). Από αυτό προκύπτει ότι κάθε κοινός διαιρέτης ένα 1 και έναΤο 2 είναι ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3. Το αντίστροφο ισχύει επίσης αν λ κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3 τότε m 1 ένα 2 και ένα 1 =m 1 ένα 2 +έναΤο 3 διαιρείται επίσης με λ . Επομένως ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και έναΤο 3 είναι επίσης κοινός διαιρέτης ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 3 <ένα 2 ≤ένα 1, τότε μπορούμε να πούμε ότι η λύση στο πρόβλημα της εύρεσης του κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ανάγεται στο απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης του κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 2 και ένα 3 .

Αν ένα 3 ≠0, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε ένα 2 σε ένα 3. Τότε

,

Οπου m 1 και ένα 4 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ( ένα 4 απομένουν από τη διαίρεση ένα 2 σε ένα 3 (ένα 4 <ένα 3)). Με παρόμοιο συλλογισμό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 3 και έναΤο 4 συμπίπτει με κοινούς διαιρέτες αριθμών ένα 2 και ένα 3, και επίσης με κοινούς διαιρέτες ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ένα 4, ... είναι αριθμοί που μειώνονται συνεχώς, και δεδομένου ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός ακεραίων μεταξύ ένα 2 και 0, μετά σε κάποιο βήμα n, υπόλοιπο της διαίρεσης ένα n επάνω ένα n+1 θα είναι ίσο με μηδέν ( ένα n+2 =0).

.

Κάθε κοινός διαιρέτης λ αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 2 και ένα 3 , ένα 3 και ένα 4 , .... ένα n και ένα n+1 . Αληθεύει και το αντίστροφο, κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτες αριθμών ένα n−1 και ένα n , .... , ένα 2 και ένα 3 , ένα 1 και ένα 2. Αλλά ο κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι ένας αριθμός ένα n+1 , επειδή ένα n και έναΤα n+1 διαιρούνται με ένα n+1 (θυμηθείτε ότι ένα n+2 =0). Οθεν έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 1 και ένα 2 .

Σημειώστε ότι ο αριθμός έναΤο n+1 είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης των αριθμών ένα n και ένα n+1 , αφού ο μεγαλύτερος διαιρέτης ένα n+1 είναι ο ίδιος ένα n+1 . Αν έναΤο n+1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο ακεραίων, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι επίσης κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 1 και ένα 2. Αριθμός ένα n+1 καλείται μεγαλύτερος κοινός διαιρέτηςαριθμοί ένα 1 και ένα 2 .

Αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 μπορεί να είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί αριθμοί. Εάν ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με μηδέν, τότε ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών θα είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του άλλου αριθμού. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μηδενικών αριθμών είναι απροσδιόριστος.

Ο παραπάνω αλγόριθμος ονομάζεται Ευκλείδειος αλγόριθμοςνα βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων.

Ένα παράδειγμα εύρεσης του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών 630 και 434.

• Βήμα 1. Διαιρέστε τον αριθμό 630 με 434. Το υπόλοιπο είναι 196.
• Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμό 434 με το 196. Το υπόλοιπο είναι 42.
• Βήμα 3. Διαιρέστε τον αριθμό 196 με το 42. Το υπόλοιπο είναι 28.
• Βήμα 4. Διαιρέστε τον αριθμό 42 με 28. Το υπόλοιπο είναι 14.
• Βήμα 5. Διαιρέστε τον αριθμό 28 με 14. Το υπόλοιπο είναι 0.

Στο βήμα 5, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0. Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 630 και 434 είναι το 14. Σημειώστε ότι οι αριθμοί 2 και 7 είναι επίσης διαιρέτες των αριθμών 630 και 434.

Συμπρώτοι αριθμοί

Ορισμός 1. Έστω ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ισούται με ένα. Τότε καλούνται αυτοί οι αριθμοί συμπρώτους αριθμούς, χωρίς κοινό διαιρέτη.

Θεώρημα 1. Αν ένα 1 και ένα 2 συμπρώτοι αριθμοί, και λ κάποιος αριθμός και μετά οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης αριθμών λα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης ένας κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .

Απόδειξη. Εξετάστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη αριθμών ένα 1 και ένα 2 (βλ. παραπάνω).

.

Από τις συνθήκες του θεωρήματος προκύπτει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 και επομένως ένα n και ένα n+1 είναι 1. Δηλαδή ένα n+1 =1.

Ας πολλαπλασιάσουμε όλες αυτές τις ισότητες επί λ , Τότε

.

Έστω ο κοινός διαιρέτης ένα 1 λ Και ένα 2 ναι δ . Τότε δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα 1 λ , m 1 ένα 2 λ και σε ένα 1 λ -m 1 ένα 2 λ =ένα 3 λ (βλ. «Διαιρετότητα αριθμών», Δήλωση 2). Επόμενος δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα 2 λ Και m 2 ένα 3 λ , και, ως εκ τούτου, είναι ένας παράγοντας σε ένα 2 λ -m 2 ένα 3 λ =ένα 4 λ .

Συλλογιζόμενοι έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο ένα n−1 λ Και m n−1 ένα n λ , και επομένως σε ένα n−1 λ −m n−1 ένα n λ =ένα n+1 λ . Επειδή ένα n+1 =1, τότε δ περιλαμβάνεται ως πολλαπλασιαστής στο λ . Επομένως ο αριθμός δ είναι ο κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .

Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήματος 1.

Συνέπεια 1. Αφήνω έναΚαι ντοΟι πρώτοι αριθμοί είναι σχετικά σι. Μετά το προϊόν τους acείναι πρώτος αριθμός σε σχέση με σι.

Πραγματικά. Από το Θεώρημα 1 acΚαι σιέχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες με ντοΚαι σι. Αλλά οι αριθμοί ντοΚαι σισχετικά απλό, δηλ. έχουν έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Τότε acΚαι σιέχουν επίσης έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Επομένως acΚαι σιαμοιβαία απλή.

Συνέπεια 2. Αφήνω έναΚαι σισυμπρώτοι αριθμοί και ας σιχωρίζει ακ. Τότε σιδιαιρεί και κ.

Πραγματικά. Από την προϋπόθεση έγκρισης ακΚαι σιέχουν κοινό διαιρέτη σι. Δυνάμει του Θεωρήματος 1, σιπρέπει να είναι κοινός διαιρέτης σιΚαι κ. Οθεν σιχωρίζει κ.

Το συμπέρασμα 1 μπορεί να γενικευτεί.

Συνέπεια 3. 1. Αφήστε τους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ..., έναΤα m είναι πρώτοι σε σχέση με τον αριθμό σι. Τότε ένα 1 ένα 2 , ένα 1 ένα 2 · ένα 3 , ..., ένα 1 ένα 2 ένα 3 ··· ένα m, το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι πρώτος ως προς τον αριθμό σι.

2. Ας έχουμε δύο σειρές αριθμών

έτσι ώστε κάθε αριθμός της πρώτης σειράς να είναι πρώτος στην αναλογία κάθε αριθμού της δεύτερης σειράς. Στη συνέχεια το προϊόν

Πρέπει να βρείτε αριθμούς που να διαιρούνται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς.

Αν ένας αριθμός διαιρείται με ένα 1, τότε έχει τη μορφή sa 1 όπου μικρόκάποιο νούμερο. Αν qείναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2, λοιπόν

Οπου μικρόΤο 1 είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Τότε

είναι ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια αριθμών ένα 1 και ένα 2 .

ένα 1 και έναΟι 2 είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 και ένα 2:

Πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο αριθμών ένα 1 , ένα 2 , έναΤο 3 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε Και ένα 3 και πίσω. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε Και ένα 3 ναι ε 1. Στη συνέχεια, πολλαπλάσια αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , έναΤο 4 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε 1 και ένα 4. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε 1 και ένα 4 ναι ε 2. Έτσι, ανακαλύψαμε ότι όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m συμπίπτει με πολλαπλάσια ενός συγκεκριμένου αριθμού ε n, που ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών.

Στην ειδική περίπτωση που οι αριθμοί ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 , ένα 2, όπως φαίνεται παραπάνω, έχει τη μορφή (3). Στη συνέχεια, από τότε ένα 3 πρώτοι σε σχέση με αριθμούς ένα 1 , ένα 2 τότε ένα 3 πρώτος αριθμός ένα 1 · ένα 2 (Συνέπεια 1). Σημαίνει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 ,ένα 2 ,έναΤο 3 είναι ένας αριθμός ένα 1 · ένα 2 · ένα 3. Συλλογιζόμενοι με παρόμοιο τρόπο, φτάνουμε στις ακόλουθες δηλώσεις.

Δήλωση 1. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι ίσο με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· ένα m.

Δήλωση 2. Κάθε αριθμός που διαιρείται με καθέναν από τους συμπρώιμους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m διαιρείται επίσης με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· ένα m.