Μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων Να βρείτε τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου χρησιμοποιώντας διανύσματα

20.06.2020

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε δύο ακόμη πράξεις με διανύσματα: διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων (άμεσος σύνδεσμος για όσους το χρειάζονται). Δεν πειράζει, μερικές φορές συμβαίνει ότι για πλήρη ευτυχία, επιπλέον κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων, απαιτούνται όλο και περισσότερα. Αυτό είναι διανυσματικός εθισμός. Μπορεί να φαίνεται ότι μπαίνουμε στη ζούγκλα της αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτό είναι λάθος. Σε αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών υπάρχει γενικά λίγο ξύλο, εκτός ίσως από αρκετό για τον Πινόκιο. Στην πραγματικότητα, το υλικό είναι πολύ κοινό και απλό - δύσκολα πιο περίπλοκο από το ίδιο προϊόν με κουκκίδες, ακόμη και τυπικές εργασίεςθα είναι λιγότερα. Το κυριότερο στην αναλυτική γεωμετρία, όπως πολλοί θα πειστούν ή έχουν ήδη πειστεί, είναι ΝΑ ΜΗ ΚΑΝΟΥΜΕ ΛΑΘΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Επαναλάβετε σαν ξόρκι και θα είστε χαρούμενοι =)

Αν τα διανύσματα αστράφτουν κάπου μακριά, σαν αστραπή στον ορίζοντα, δεν πειράζει, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελανα επαναφέρουν ή να αποκτήσουν εκ νέου βασικές γνώσεις για τα διανύσματα. Οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να εξοικειωθούν με τις πληροφορίες που προσπάθησα να συγκεντρώσω την πιο ολοκληρωμένη συλλογή παραδειγμάτων που βρίσκονται συχνά πρακτική εργασία

Τι θα σας κάνει ευτυχισμένο αμέσως; Όταν ήμουν μικρός, μπορούσα να κάνω ταχυδακτυλουργικά δύο ή και τρεις μπάλες. Λειτουργούσε καλά. Τώρα δεν θα χρειαστεί να κάνετε ταχυδακτυλουργίες, αφού θα εξετάσουμε μόνο χωρικά διανύσματα, Α επίπεδα διανύσματαμε δύο συντεταγμένες θα μείνουν εκτός. Γιατί; Έτσι γεννήθηκαν αυτές οι ενέργειες - το διάνυσμα και το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται και λειτουργούν σε τρισδιάστατο χώρο. Είναι ήδη πιο εύκολο!

Αυτή η λειτουργία, όπως και το βαθμωτό προϊόν, περιλαμβάνει δύο διανύσματα. Ας είναι αυτά άφθαρτα γράμματα.

Η ίδια η δράση συμβολίζεται μεως εξής: . Υπάρχουν και άλλες επιλογές, αλλά έχω συνηθίσει να δηλώνω το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο, σε αγκύλες με σταυρό.

Και αμέσως ερώτηση: εάν μέσα κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνεμπλέκονται δύο διανύσματα, και εδώ πολλαπλασιάζονται επίσης δύο διανύσματα, τότε ποια είναι η διαφορά? Η προφανής διαφορά είναι, πρώτα απ' όλα, στο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ:

Το αποτέλεσμα του βαθμωτού γινόμενου των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ:

Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ: , δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και παίρνουμε πάλι διάνυσμα. Κλειστό κλαμπ. Στην πραγματικότητα, από αυτό προέρχεται το όνομα της επέμβασης. Σε διάφορα εκπαιδευτική βιβλιογραφίαΟι ονομασίες μπορεί επίσης να διαφέρουν, θα χρησιμοποιήσω το γράμμα .

Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος

Πρώτα θα υπάρχει ορισμός με εικόνα και μετά σχόλια.

Ορισμός: Διανυσματικό προϊόν μη γραμμικόφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, που ονομάζεται VECTOR, μήκοςπου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα. διάνυσμα ορθογώνιο προς διανύσματα, και κατευθύνεται έτσι ώστε η βάση να έχει σωστό προσανατολισμό:

Ας αναλύσουμε τον ορισμό, υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα εδώ!

Έτσι, μπορούν να επισημανθούν τα ακόλουθα σημαντικά σημεία:

1) Τα αρχικά διανύσματα, που υποδεικνύονται με κόκκινα βέλη, εξ ορισμού όχι συγγραμμική. Θα είναι σκόπιμο να εξετάσουμε την περίπτωση των συγγραμμικών διανυσμάτων λίγο αργότερα.

2) Λαμβάνονται διανύσματα με αυστηρά καθορισμένη σειρά: – Το "a" πολλαπλασιάζεται με το "be", όχι «είναι» με «α». Το αποτέλεσμα του διανυσματικού πολλαπλασιασμούείναι VECTOR, το οποίο υποδεικνύεται με μπλε χρώμα. Αν τα διανύσματα πολλαπλασιαστούν με αντίστροφη σειρά, λαμβάνουμε ένα διάνυσμα ίσο σε μήκος και αντίθετο σε φορά (χρώμα βατόμουρου). Δηλαδή η ισότητα είναι αληθινή .

3) Τώρα ας εξοικειωθούμε με τη γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Το ΜΗΚΟΣ του μπλε διανύσματος (και, επομένως, του πορφυρού διανύσματος) είναι αριθμητικά ίσο με το ΕΜΒΑΔΟ του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα. Στο σχήμα, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι σκιασμένο μαύρο.

Σημείωμα : το σχέδιο είναι σχηματικό και, φυσικά, το ονομαστικό μήκος του γινομένου του διανύσματος δεν είναι ίσο με την περιοχή του παραλληλογράμμου.

Ας θυμηθούμε ένα από τα γεωμετρικούς τύπους: Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Επομένως, με βάση τα παραπάνω, ισχύει ο τύπος για τον υπολογισμό του ΜΗΚΟΥΣ ενός διανυσματικού γινομένου:

Τονίζω ότι ο τύπος αφορά το ΜΗΚΟΣ του διανύσματος και όχι το ίδιο το διάνυσμα. Ποιο είναι το πρακτικό νόημα; Και το νόημα είναι ότι σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται συχνά μέσω της έννοιας ενός διανυσματικού γινομένου:

Ας πάρουμε τον δεύτερο σημαντικό τύπο. Η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) το χωρίζει στα δύο ίσο τρίγωνο. Επομένως, η περιοχή ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα (κόκκινη σκίαση) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

4) Όχι λιγότερο σημαντικό γεγονόςείναι ότι το διάνυσμα είναι ορθογώνιο στα διανύσματα, δηλαδή . Φυσικά, το αντίθετα κατευθυνόμενο διάνυσμα (βέλος βατόμουρου) είναι επίσης ορθογώνιο με τα αρχικά διανύσματα.

5) Το διάνυσμα κατευθύνεται έτσι ώστε βάσηέχει δικαίωμαπροσανατολισμός. Στο μάθημα για μετάβαση σε νέα βάσηΜίλησα με αρκετή λεπτομέρεια για επίπεδο προσανατολισμό, και τώρα θα καταλάβουμε τι είναι ο διαστημικός προσανατολισμός. Θα σου εξηγήσω στα δάχτυλά σου δεξιόστροφος . Συνδυάστε διανοητικά δείκτης με διάνυσμα και μεσαίο δάχτυλομε διάνυσμα. Δαχτυλίδι και μικρό δάχτυλοπιέστε το στην παλάμη σας. Ως αποτέλεσμα αντίχειρας – το διανυσματικό προϊόν θα αναζητήσει. Αυτή είναι μια βάση προσανατολισμένη στα δεξιά (είναι αυτή στο σχήμα). Τώρα αλλάξτε τα διανύσματα ( δείκτη και μεσαίο δάχτυλο) σε ορισμένα σημεία, ως αποτέλεσμα ο αντίχειρας θα γυρίσει και το διανυσματικό γινόμενο θα κοιτάζει ήδη προς τα κάτω. Αυτή είναι επίσης μια βάση προσανατολισμένη προς τα δεξιά. Μπορεί να έχετε μια ερώτηση: ποια βάση έχει αριστερό προσανατολισμό; "Ανάθεση" στα ίδια δάχτυλα αριστερό χέριδιανύσματα και λάβετε την αριστερή βάση και τον αριστερό προσανατολισμό του χώρου (σε αυτή την περίπτωση, ο αντίχειρας θα βρίσκεται στην κατεύθυνση του κάτω διανύσματος). Μεταφορικά, αυτές οι βάσεις «στρίβουν» ή προσανατολίζουν το χώρο σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Και αυτή η έννοια δεν πρέπει να θεωρείται κάτι τραβηγμένο ή αφηρημένο - για παράδειγμα, ο προσανατολισμός του χώρου αλλάζει από τον πιο συνηθισμένο καθρέφτη και αν "τραβήξετε το ανακλώμενο αντικείμενο έξω από το γυαλί", τότε στη γενική περίπτωση δεν θα είναι δυνατός ο συνδυασμός του με το «πρωτότυπο». Παρεμπιπτόντως, κρατήστε τρία δάχτυλα στον καθρέφτη και αναλύστε την αντανάκλαση ;-)

...τι καλό είναι αυτό που ξέρετε τώρα δεξιά και αριστεράβάσεις, γιατί οι δηλώσεις ορισμένων εισηγητών για αλλαγή προσανατολισμού είναι τρομακτικές =)

Διασταυρούμενο γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων

Ο ορισμός έχει συζητηθεί λεπτομερώς, μένει να δούμε τι συμβαίνει όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ευθεία και το παραλληλόγραμμό μας επίσης «διπλώνεται» σε μία ευθεία. Η περιοχή τέτοιων, όπως λένε οι μαθηματικοί, εκφυλισμένοςπαραλληλόγραμμο είναι ίσο με μηδέν. Το ίδιο προκύπτει από τον τύπο - το ημίτονο του μηδέν ή των 180 μοιρών είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι η περιοχή είναι μηδέν

Έτσι, αν , τότε Και . Σημειώστε ότι το ίδιο το διανυσματικό γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, αλλά στην πράξη αυτό συχνά αγνοείται και γράφουν ότι είναι επίσης ίσο με μηδέν.

Μια ειδική περίπτωση είναι το διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του:

Χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο, μπορείτε να ελέγξετε τη συγγραμμικότητα των τρισδιάστατων διανυσμάτων και θα αναλύσουμε επίσης αυτό το πρόβλημα, μεταξύ άλλων.

Για να λύσετε πρακτικά παραδείγματα μπορεί να χρειαστείτε τριγωνομετρικός πίνακαςνα βρείτε τις τιμές των ημιτόνων από αυτό.

Λοιπόν, ας ανάψουμε τη φωτιά:

Παράδειγμα 1

α) Να βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων αν

β) Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Διάλυμα: Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, σκόπιμα έκανα τα ίδια τα αρχικά δεδομένα στις ρήτρες. Γιατί ο σχεδιασμός των λύσεων θα είναι διαφορετικός!

α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε μήκοςδιάνυσμα (σταυρό γινόμενο). Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Αν ερωτηθήκατε για το μήκος, τότε στην απάντηση αναφέρουμε τη διάσταση - μονάδες.

β) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε πλατείαπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι αριθμητικά ίσο με το μήκος του διανυσματικού γινομένου:

Απάντηση:

Σημειώστε ότι η απάντηση δεν μιλάει καθόλου για το διανυσματικό γινόμενο περιοχή του σχήματος, κατά συνέπεια, η διάσταση είναι τετράγωνες μονάδες.

Πάντα κοιτάμε ΤΙ πρέπει να βρούμε ανάλογα με την συνθήκη και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε σαφήςαπάντηση. Μπορεί να φαίνεται σαν κυριολεξία, αλλά υπάρχουν πολλοί κυριολεκτικοί μεταξύ των δασκάλων και η εργασία έχει πολλές πιθανότητες να επιστραφεί για αναθεώρηση. Αν και αυτό δεν είναι μια ιδιαίτερα τραβηγμένη κουβέντα - εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, τότε έχει την εντύπωση ότι το άτομο δεν καταλαβαίνει απλά πράγματακαι/ή δεν κατάλαβα την ουσία της εργασίας. Αυτό το σημείο πρέπει πάντα να διατηρείται υπό έλεγχο κατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος στα ανώτερα μαθηματικά, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

Πού πήγε το μεγάλο γράμμα «en»; Κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να είχε προσαρτηθεί επιπλέον στη λύση, αλλά για να συντομεύσω την καταχώρηση, δεν το έκανα. Ελπίζω να το καταλάβουν όλοι και να είναι χαρακτηρισμός για το ίδιο πράγμα.

Δημοφιλές παράδειγμαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω του γινομένου του διανύσματος δίνεται στα σχόλια του ορισμού. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, η εργασία είναι πολύ συνηθισμένη, τα τρίγωνα μπορούν γενικά να σας βασανίσουν.

Για να λύσουμε άλλα προβλήματα θα χρειαστούμε:

Ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων

Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένες ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, ωστόσο, θα τις συμπεριλάβω σε αυτήν τη λίστα.

Για αυθαίρετα διανύσματα και έναν αυθαίρετο αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) Σε άλλες πηγές πληροφοριών, αυτό το στοιχείο συνήθως δεν επισημαίνεται στις ιδιότητες, αλλά είναι πολύ σημαντικό από πρακτική άποψη. Ας είναι λοιπόν.

2) – το ακίνητο συζητείται επίσης παραπάνω, μερικές φορές ονομάζεται αντιμεταθετικότητα. Με άλλα λόγια, η σειρά των διανυσμάτων έχει σημασία.

3) – συνειρμικός ή συνειρμικόςνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Οι σταθερές μπορούν εύκολα να μετακινηθούν έξω από το διανυσματικό γινόμενο. Αλήθεια, τι να κάνουν εκεί;

4) – διανομή ή διανεμητικόςνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με το άνοιγμα των στηριγμάτων.

Για να το αποδείξουμε, ας δούμε ένα σύντομο παράδειγμα:

Παράδειγμα 3

Βρείτε αν

Διάλυμα:Η συνθήκη απαιτεί πάλι την εύρεση του μήκους του γινομένου του διανύσματος. Ας ζωγραφίσουμε τη μινιατούρα μας:

(1) Σύμφωνα με τους συνειρμικούς νόμους, παίρνουμε τις σταθερές εκτός του πεδίου εφαρμογής του διανυσματικού γινομένου.

(2) Παίρνουμε τη σταθερά έξω από το δομοστοιχείο και η ενότητα «τρώει» το σύμβολο μείον. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

(3) Τα υπόλοιπα είναι ξεκάθαρα.

Απάντηση:

Ήρθε η ώρα να προσθέσουμε κι άλλα ξύλα στη φωτιά:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Διάλυμα: Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο . Το πρόβλημα είναι ότι τα διανύσματα «tse» και «de» παρουσιάζονται τα ίδια ως αθροίσματα διανυσμάτων. Ο αλγόριθμος εδώ είναι τυπικός και θυμίζει κάπως τα παραδείγματα Νο. 3 και 4 του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Για λόγους σαφήνειας, θα χωρίσουμε τη λύση σε τρία στάδια:

1) Στο πρώτο βήμα, εκφράζουμε το διανυσματικό γινόμενο μέσω του διανυσματικού γινόμενου, στην πραγματικότητα, ας εκφράσουμε ένα διάνυσμα ως διάνυσμα. Καμία λέξη ακόμα για το μήκος!

(1) Αντικαταστήστε τις εκφράσεις των διανυσμάτων.

(2) Χρησιμοποιώντας νόμους διανομής, ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων.

(3) Χρησιμοποιώντας συνειρμικούς νόμους, μετακινούμε όλες τις σταθερές πέρα από τα διανυσματικά γινόμενα. Με λίγη εμπειρία, τα βήματα 2 και 3 μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα.

(4) Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίσοι με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα) λόγω ευχάριστη ιδιοκτησία. Στον δεύτερο όρο χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της αντιμεταλλαξιμότητας ενός προϊόντος διανύσματος:

(5) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται μέσω ενός διανύσματος, το οποίο ήταν αυτό που έπρεπε να επιτευχθεί:

2) Στο δεύτερο βήμα, βρίσκουμε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου που χρειαζόμαστε. Αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με το Παράδειγμα 3:

3) Βρείτε το εμβαδόν του απαιτούμενου τριγώνου:

Τα στάδια 2-3 της λύσης θα μπορούσαν να είχαν γραφτεί σε μία γραμμή.

Απάντηση:

Το πρόβλημα που εξετάζεται είναι αρκετά κοινό σε δοκιμές, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Βρείτε αν

Μια σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Ας δούμε πόσο προσεκτικοί ήσουν όταν μελετούσες τα προηγούμενα παραδείγματα ;-)

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες

, καθορίζεται στο ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:

Ο τύπος είναι πραγματικά απλός: στην επάνω γραμμή της ορίζουσας γράφουμε διανύσματα συντεταγμένων, στη δεύτερη και τρίτη γραμμή «βάζουμε» τις συντεταγμένες των διανυσμάτων , και βάζουμε με αυστηρή σειρά– πρώτα οι συντεταγμένες του διανύσματος «ve» και μετά οι συντεταγμένες του διανύσματος «double-ve». Εάν τα διανύσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με διαφορετική σειρά, τότε οι σειρές πρέπει να αλλάξουν:

Παράδειγμα 10

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:
ΕΝΑ)
σι)

Διάλυμα: Η επαλήθευση βασίζεται σε μία από τις δηλώσεις αυτό το μάθημα: αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα): .

α) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Έτσι, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Απάντηση: α) όχι συγγραμμικό, β)

Εδώ, ίσως, υπάρχουν όλες οι βασικές πληροφορίες για το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυτό το τμήμα δεν θα είναι πολύ μεγάλο, καθώς υπάρχουν λίγα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων. Στην πραγματικότητα, όλα θα εξαρτηθούν από τον ορισμό, γεωμετρική σημασίακαι μερικές φόρμουλες εργασίας.

Μικτή εργασίαδιανύσματα είναι το γινόμενο τρία διανύσματα :

Έτσι παρατάχθηκαν σαν τρένο και ανυπομονούν να αναγνωριστούν.

Πρώτα, πάλι, ένας ορισμός και μια εικόνα:

Ορισμός: Μικτή εργασία μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, κάλεσε όγκος παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε αυτά τα διανύσματα, εξοπλισμένο με ένα σύμβολο «+» εάν η βάση είναι σωστή και ένα σύμβολο «–» εάν η βάση είναι αριστερά.

Ας κάνουμε το σχέδιο. Οι αόρατες σε εμάς γραμμές σχεδιάζονται με διακεκομμένες γραμμές:

Ας βουτήξουμε στον ορισμό:

2) Λαμβάνονται διανύσματα με μια ορισμένη σειρά, δηλαδή, η αναδιάταξη των διανυσμάτων στο γινόμενο, όπως μπορείτε να μαντέψετε, δεν συμβαίνει χωρίς συνέπειες.

3) Πριν σχολιάσω τη γεωμετρική σημασία, θα σημειώσω ένα προφανές γεγονός: το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: . Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, το σχέδιο μπορεί να είναι ελαφρώς διαφορετικό.

Εξ ορισμού το μικτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε διανύσματα (το σχήμα σχεδιάζεται με κόκκινα διανύσματα και μαύρες γραμμές). Δηλαδή, ο αριθμός είναι ίσος με τον όγκο ενός δεδομένου παραλληλεπίπεδου.

Σημείωμα : Το σχέδιο είναι σχηματικό.

4) Ας μην ανησυχούμε ξανά για την έννοια του προσανατολισμού της βάσης και του χώρου. Το νόημα του τελευταίου μέρους είναι ότι μπορεί να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τόμο. Με απλά λόγια, το μεικτό προϊόν μπορεί να είναι αρνητικό: .

Ακριβώς από τον ορισμό ακολουθεί ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα.

Για διανύσματα , και , που καθορίζονται από τις συντεταγμένες τους , το μικτό γινόμενο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: .

Χρησιμοποιείται μεικτό προϊόν: 1) για τον υπολογισμό των όγκων ενός τετραέδρου και ενός παραλληλεπίπεδου, που βασίζεται στα διανύσματα , και , όπως στις ακμές, χρησιμοποιώντας τον τύπο: ; 2) ως προϋπόθεση για την ομοεπίπεδη των διανυσμάτων , και : και είναι ομοεπίπεδα.

Θέμα 5. Ευθείες γραμμές και αεροπλάνα.

Κανονική γραμμή διάνυσμα , ονομάζεται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Το σκηνοθετικό διάνυσμα είναι ευθύ , ονομάζεται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο σε μια δεδομένη ευθεία.

Ευθεία στο αεροπλάνο

1) - γενική εξίσωση ευθεία, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.

2) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο κάθετα αυτό το διάνυσμα ;

3) κανονική εξίσωση );

5) - εξισώσεις μιας γραμμής Με κλίση , πού είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή; () – η γωνία που κάνει η ευθεία με τον άξονα. - μήκος του τμήματος (με πρόσημο) που αποκόπτεται από την ευθεία στον άξονα (σύμβολο " " εάν το τμήμα είναι αποκομμένο στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό μέρος).

6) - εξίσωση μιας γραμμής σε τμήματα, όπου και είναι τα μήκη των τμημάτων (με το πρόσημο) που αποκόπτονται από τη γραμμή στους άξονες συντεταγμένων και (σύμβολο " " εάν το τμήμα αποκόπτεται στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό).

Απόσταση από σημείο σε γραμμή , που δίνεται από μια γενική εξίσωση στο επίπεδο, βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία, ( )ανάμεσα σε ευθείες γραμμές και , δεδομένο γενικές εξισώσειςή εξισώσεις με συντελεστή κλίσης, βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν από τους ακόλουθους τύπους:

Εάν ή .

Εάν ή

Συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και βρίσκονται ως λύση στο σύστημα γραμμικές εξισώσεις: ή .

Κανονικό διάνυσμα του αεροπλάνου , ονομάζεται κάθε μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Επίπεδο στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση επίπεδο, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου.

2) - εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από σημείο κάθετο σε δεδομένο διάνυσμα.

3) - εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία και .

4) - επίπεδο εξίσωση σε τμήματα, όπου , και είναι τα μήκη των τμημάτων (με πρόσημο) που αποκόπτονται από το επίπεδο στους άξονες συντεταγμένων, και (σύμβολο " " αν το τμήμα είναι αποκομμένο στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό) .

Απόσταση από σημείο σε αεροπλάνο , που δίνεται από τη γενική εξίσωση, βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία,( )μεταξύ αεροπλάνων και , που δίνονται με γενικές εξισώσεις, βρίσκεται με τον τύπο:

Ευθεία στο διάστημα στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση ευθεία ως γραμμή τομής δύο επιπέδων, όπου και είναι τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων και ?

2) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο παράλληλο σε δεδομένο διάνυσμα ( κανονική εξίσωση );

3) - εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, ;

4) - εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο σε ένα δεδομένο διάνυσμα, ( παραμετρική εξίσωση );

Γωνία, ( ) ανάμεσα σε ευθείες γραμμές Και στο διάστημα , που δίνεται από κανονικές εξισώσεις βρίσκεται με τον τύπο:

Συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας , που δίνεται από την παραμετρική εξίσωση και αεροπλάνα , που δίνονται από τη γενική εξίσωση, βρίσκονται ως λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων: .

Γωνία, ( ) μεταξύ της ευθείας γραμμής , που δίνεται από την κανονική εξίσωση και αεροπλάνο , που δίνεται από τη γενική εξίσωση, βρίσκεται με τον τύπο: .

Θέμα 6. Καμπύλες δεύτερης τάξης.

Αλγεβρική καμπύλη δεύτερης τάξηςστο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται καμπύλη, γενική εξίσωση που έχει τη μορφή:

όπου οι αριθμοί - δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα. Υπάρχει η ακόλουθη ταξινόμηση καμπυλών δεύτερης τάξης: 1) αν , τότε η γενική εξίσωση ορίζει την καμπύλη ελλειπτικού τύπου (κύκλος (at), έλλειψη (at), κενό σύνολο, σημείο). 2) αν , τότε - καμπύλη υπερβολικού τύπου (υπερβολία, ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών). 3) αν , τότε - καμπύλη παραβολικού τύπου(παραβολή, κενό σύνολο, γραμμή, ζεύγος παράλληλων γραμμών). Κύκλος, έλλειψη, υπερβολή και παραβολή ονομάζονται μη εκφυλισμένες καμπύλες δεύτερης τάξης.

Η γενική εξίσωση , όπου ορίζοντας μια μη εκφυλισμένη καμπύλη (κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή), πάντα (με τη μέθοδο επιλογής ολόκληρα τετράγωνα) μπορεί να αναχθεί σε μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1α) -εξίσωση κύκλου με κέντρο σε σημείο και ακτίνα (Εικ. 5).

1β)- εξίσωση έλλειψης με κέντρο σε σημείο και άξονες συμμετρίας παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων. Οι αριθμοί και - καλούνται ημιάξονες της έλλειψης το κύριο ορθογώνιο της έλλειψης. κορυφές της έλλειψης .

Για να κατασκευάσετε μια έλλειψη στο σύστημα συντεταγμένων: 1) σημειώστε το κέντρο της έλλειψης. 2) περάσουν από το κέντρο διακεκομμένη γραμμήάξονας συμμετρίας της έλλειψης. 3) κατασκευάζουμε με διακεκομμένη γραμμή το κύριο ορθογώνιο της έλλειψης με το κέντρο και τις πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας. 4) Σχεδιάζουμε μια έλλειψη με μια συμπαγή γραμμή, εγγράφοντας την στο κύριο ορθογώνιο έτσι ώστε η έλλειψη να ακουμπά τις πλευρές της μόνο στις κορυφές της έλλειψης (Εικ. 6).

Με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζεται ένας κύκλος, του οποίου το κύριο ορθογώνιο έχει πλευρές (Εικ. 5).

Εικ.5 Εικ.6

2) - εξισώσεις υπερβολών (ονομάζονται κλίνω) με κέντρο σε σημείο και άξονες συμμετρίας παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων. Οι αριθμοί και - καλούνται ημιάξονες υπερβολών ; ορθογώνιο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας και κέντρο στο σημείο - το κύριο ορθογώνιο των υπερβολών. σημεία τομής του κύριου ορθογωνίου με τους άξονες συμμετρίας - κορυφές υπερβολών. ευθείες γραμμές που διέρχονται από αντίθετες κορυφές του κύριου ορθογωνίου - ασύμπτωτες υπερβολών .

Για να κατασκευάσετε μια υπερβολή σε ένα σύστημα συντεταγμένων: 1) Σημειώστε το κέντρο της υπερβολής. 2) σχεδιάστε τον άξονα συμμετρίας της υπερβολής μέσω του κέντρου με μια διακεκομμένη γραμμή. 3) Κατασκευάζουμε με διακεκομμένη γραμμή το κύριο παραλληλόγραμμο της υπερβολής με το κέντρο και τις πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συμμετρίας. 4) σχεδιάστε ευθείες γραμμές μέσω των απέναντι κορυφών του κύριου ορθογωνίου με μια διακεκομμένη γραμμή, που είναι ασύμπτωτες της υπερβολής, στην οποία οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν απεριόριστα κοντά, σε άπειρη απόσταση από την αρχή των συντεταγμένων, χωρίς να τις τέμνουν. 5) Απεικονίζουμε με συμπαγή γραμμή τους κλάδους της υπερβολής (Εικ. 7) ή της υπερβολής (Εικ. 8).

Εικ.7 Εικ.8

3α)- εξίσωση παραβολής με κορυφή σε σημείο και άξονα συμμετρίας παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων (Εικ. 9).

3β)- εξίσωση παραβολής με κορυφή σε σημείο και άξονα συμμετρίας παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων (Εικ. 10).

Για να κατασκευάσετε μια παραβολή στο σύστημα συντεταγμένων: 1) Σημειώστε την κορυφή της παραβολής. 2) σχεδιάστε τον άξονα συμμετρίας της παραβολής μέσω της κορυφής με μια διακεκομμένη γραμμή. 3) Απεικονίζουμε μια παραβολή με συμπαγή γραμμή, κατευθύνοντας τον κλάδο της, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο της παραμέτρου της παραβολής: όταν - σε θετική πλευράέναν άξονα συντεταγμένων παράλληλο προς τον άξονα συμμετρίας της παραβολής (Εικ. 9α και 10α). στο - στο αρνητική πλευράάξονας συντεταγμένων (Εικ. 9b και 10b).

Ρύζι. 9α Εικ. 9β

Ρύζι. 10α Εικ. 10β

Θέμα 7. Πλήθη. Αριθμητικά σύνολα. Λειτουργία.

Υπό πολοί κατανοούν ένα ορισμένο σύνολο αντικειμένων οποιασδήποτε φύσης, διακριτά μεταξύ τους και νοητά ως ενιαίο σύνολο. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο ονομάζονται στοιχεία . Ένα σύνολο μπορεί να είναι άπειρο (αποτελείται από άπειρο αριθμό στοιχείων), πεπερασμένο (αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων), κενό (δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο). Τα σύνολα συμβολίζονται με: , και τα στοιχεία τους: . Ένα κενό σύνολο συμβολίζεται με .

Το σετ λέγεται υποσύνολο set αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ανήκουν στο σύνολο και γράφουν . Τα σετ καλούνται ίσος , αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και γράφουν . Δύο σύνολα και θα είναι ίσα αν και μόνο αν και .

Το σετ λέγεται παγκόσμιος (στο πλαίσιο αυτής της μαθηματικής θεωρίας) , αν τα στοιχεία του είναι όλα τα αντικείμενα που εξετάζονται σε αυτή τη θεωρία.

Το σετ μπορεί να καθοριστεί: 1) απαριθμώντας όλα τα στοιχεία του, για παράδειγμα: (μόνο για πεπερασμένα σύνολα). 2) καθορίζοντας τον κανόνα για τον προσδιορισμό του εάν ένα στοιχείο ενός καθολικού συνόλου ανήκει σε ένα δεδομένο σύνολο: .

Σχέση

Με τη διέλευση θέτει και ονομάζεται σύνολο

Με διαφορά θέτει και ονομάζεται σύνολο

Συμπλήρωμα σύνολα (πριν από το καθολικό σύνολο) ονομάζεται σύνολο.

Τα δύο σετ καλούνται ισοδύναμος και γράψτε ~ εάν μπορεί να δημιουργηθεί αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων αυτών των συνόλων. Το σετ λέγεται αριθμητός , αν είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών: ~. Το κενό σύνολο, εξ ορισμού, είναι μετρήσιμο.

Η έννοια της καρδιναικότητας ενός συνόλου προκύπτει όταν συγκρίνουμε σύνολα με τον αριθμό των στοιχείων που περιέχουν. Η καρδινάτητα ενός συνόλου συμβολίζεται με . Η καρδινικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του.

Τα ισοδύναμα σύνολα έχουν την ίδια καρδινάτητα. Το σετ λέγεται αμέτρητος , εάν η ισχύς του είναι μεγαλύτερη από την ισχύ του συνόλου.

Εγκυρος (πραγματικός) αριθμός ονομάζεται άπειρο δεκαδικός, λαμβάνονται με ένα σύμβολο "+" ή " ". Οι πραγματικοί αριθμοί προσδιορίζονται με σημεία στην αριθμογραμμή. Μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός:

Το σετ λέγεται αριθμητικός , αν τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί κατά διαστήματα τα σύνολα αριθμών ονομάζονται: , , , , , , , , .

Το σύνολο όλων των σημείων στην αριθμητική γραμμή που ικανοποιούν την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μικρός αριθμός, λέγεται -περίχωρα (ή απλά μια γειτονιά) του σημείου και συμβολίζεται με . Το σύνολο όλων των σημείων με την προϋπόθεση , όπου - αυθαίρετα μεγάλο αριθμό, ονομάζεται - περίχωρα (ή απλά μια γειτονιά) του άπειρου και συμβολίζεται με .

Μια ποσότητα που διατηρεί την ίδια αριθμητική τιμή ονομάζεται συνεχής. Μια ποσότητα που παίρνει διαφορετικές αριθμητικές τιμές ονομάζεται μεταβλητός. Λειτουργία ονομάζεται κανόνας σύμφωνα με τον οποίο κάθε αριθμός συνδέεται με έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό και γράφουν. Το σετ λέγεται τομέα ορισμού λειτουργίες, - πολοί (ή περιοχή ) αξίες λειτουργίες, - επιχείρημα , - τιμή συνάρτησης . Ο πιο συνηθισμένος τρόπος καθορισμού μιας συνάρτησης είναι η αναλυτική μέθοδος, στην οποία η συνάρτηση καθορίζεται από έναν τύπο. Φυσικό πεδίο ορισμού συνάρτηση είναι το σύνολο των τιμών του ορίσματος για το οποίο έχει νόημα αυτός ο τύπος. Γράφημα συνάρτησης , σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες , .

Η συνάρτηση καλείται ακόμη και σε ένα σύνολο συμμετρικό ως προς το σημείο εάν η ακόλουθη συνθήκη ικανοποιείται για όλους: και περιττός , εάν πληρούται η προϋπόθεση. Διαφορετικά - λειτουργία γενική άποψηή ούτε ζυγός ούτε περιττός .

Η συνάρτηση καλείται περιοδικός στο σετ αν υπάρχει αριθμός ( περίοδο λειτουργίας ), έτσι ώστε να ικανοποιείται για όλους η ακόλουθη προϋπόθεση: . Ο μικρότερος αριθμόςονομάζεται η κύρια περίοδος.

Η συνάρτηση καλείται μονότονα αυξανόμενη (μειώνεται ) στο σετ αν υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.

Η συνάρτηση καλείται περιωρισμένος στο σετ, εάν υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη για όλους: . Διαφορετικά η λειτουργία είναι απεριόριστος .

Αντίστροφο να λειτουργήσει , , είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο και για το καθένα

Ταιριάζει τέτοια που . Να βρείτε το αντίστροφο μιας συνάρτησης , πρέπει να λύσουμε την εξίσωση σχετικά . Εάν η συνάρτηση , είναι αυστηρά μονότονη στο , τότε έχει πάντα αντίστροφο, και αν η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε αντίστροφη συνάρτησηεπίσης αυξάνει (μειώνεται).

Μια συνάρτηση που αναπαρίσταται με τη μορφή , όπου , είναι μερικές συναρτήσεις τέτοιες που ο τομέας ορισμού της συνάρτησης περιέχει ολόκληρο το σύνολο τιμών της συνάρτησης ονομάζεται σύνθετη λειτουργία ανεξάρτητο επιχείρημα. Η μεταβλητή ονομάζεται ενδιάμεσο όρισμα. Σύνθετη λειτουργίαονομάζεται επίσης σύνθεση συναρτήσεων και , και γράφεται: .

Βασικό δημοτικό οι λειτουργίες θεωρούνται: εξουσία λειτουργία, ενδεικτικός συνάρτηση ( , ), λογαριθμική συνάρτηση ( , ), τριγωνομετρική λειτουργίες , , , , αντίστροφη τριγωνομετρική λειτουργίες , , , . Στοιχειώδης καλείται μια συνάρτηση που λαμβάνεται από το βασικό στοιχειώδεις λειτουργίεςέναν πεπερασμένο αριθμό των αριθμητικών πράξεων και συνθέσεων τους.

Εάν δοθεί ένα γράφημα μιας συνάρτησης, τότε η κατασκευή ενός γραφήματος της συνάρτησης ανάγεται σε μια σειρά μετασχηματισμών (μετατόπιση, συμπίεση ή τέντωμα, εμφάνιση) του γραφήματος:

1) 2) ο μετασχηματισμός εμφανίζει το γράφημα συμμετρικά, σε σχέση με τον άξονα. 3) ο μετασχηματισμός μετατοπίζει το γράφημα κατά μήκος του άξονα κατά μονάδες ( - προς τα δεξιά, - προς τα αριστερά). 4) ο μετασχηματισμός μετατοπίζει το γράφημα κατά μήκος του άξονα κατά μονάδες ( - πάνω, - κάτω). 5) ο μετασχηματισμός του γραφήματος κατά μήκος του άξονα εκτείνεται κατά έναν παράγοντα, εάν ή συμπιέζεται κατά έναν παράγοντα, εάν; 6) Ο μετασχηματισμός του γραφήματος κατά μήκος του άξονα συμπιέζει κατά έναν παράγοντα αν ή εκτείνεται κατά έναν παράγοντα εάν .

Η ακολουθία μετασχηματισμών κατά την κατασκευή ενός γραφήματος μιας συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως:

Σημείωμα. Κατά την εκτέλεση του μετασχηματισμού, λάβετε υπόψη ότι το μέγεθος της μετατόπισης κατά μήκος του άξονα καθορίζεται από τη σταθερά που προστίθεται απευθείας στο όρισμα και όχι στο όρισμα.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι μια παραβολή με κορυφή στο σημείο , οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω αν ή προς τα κάτω αν . Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής κλασματικής συνάρτησης είναι μια υπερβολή με κέντρο στο σημείο , οι ασύμπτωτες της οποίας διέρχονται από το κέντρο, παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων.

, ικανοποιώντας την προϋπόθεση. κάλεσε. Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, Και
, που αποτελείται ως εξής:

. Εδώ τα δύο πρώτα διανύσματα πολλαπλασιάζονται διανυσματικά και το αποτέλεσμά τους πολλαπλασιάζεται κλιμακωτά με το τρίτο διάνυσμα. Ένα τέτοιο γινόμενο ονομάζεται διανυσματικό βαθμωτό, ή μικτό, γινόμενο τριών διανυσμάτων. Το μικτό προϊόν αντιπροσωπεύει έναν αριθμό.
.

Ας μάθουμε τη γεωμετρική σημασία της έκφρασης . Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα, λαμβανόμενο με πρόσημο συν αν αυτά τα διανύσματα σχηματίζουν δεξιό τριπλό και με αρνητικό πρόσημο αν σχηματίζουν αριστερό τριπλό.

Απόδειξη..Ας κατασκευάσουμε ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι ακμές είναι διανύσματα , , και διάνυσμα
.

Έχουμε:
,
, Πού - εμβαδόν παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, ,
για το δεξιό τριπλό των διανυσμάτων και
για την αριστερά, όπου
- ύψος παραλληλεπίπεδου. Παίρνουμε:
, δηλ.
, Πού - όγκος παραλληλεπίπεδου που σχηματίζεται από διανύσματα , Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, .

Ιδιότητες μικτού προϊόντος

1. Το ανάμεικτο προϊόν δεν αλλάζει πότε κυκλικόςαναδιάταξη των παραγόντων του, δηλ. .

Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση δεν αλλάζει ούτε ο όγκος του παραλληλεπιπέδου ούτε ο προσανατολισμός των άκρων του.

2. Το μικτό γινόμενο δεν αλλάζει όταν ανταλλάσσονται τα πρόσημα του διανυσματικού και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, δηλ.
.

Πραγματικά,
Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων,
. Παίρνουμε το ίδιο πρόσημο στη δεξιά πλευρά αυτών των ισοτήτων, αφού οι τριάδες των διανυσμάτων , , Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, , , - ένας προσανατολισμός.

Οθεν,
. Αυτό σας επιτρέπει να γράψετε ένα μικτό γινόμενο διανυσμάτων
στη μορφή
χωρίς σημάδια διανύσματος, βαθμωτός πολλαπλασιασμός.

3. Το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο όταν οποιαδήποτε δύο διανύσματα παραγόντων αλλάζουν θέσεις, δηλ.
,
,
.

Πράγματι, μια τέτοια αναδιάταξη ισοδυναμεί με την αναδιάταξη των παραγόντων σε ένα διανυσματικό γινόμενο, αλλάζοντας το πρόσημο του γινομένου.

4. Μικτό γινόμενο μη μηδενικών διανυσμάτων , Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, ισούται με μηδέν αν και μόνο αν είναι ομοεπίπεδα.

2.12. Υπολογισμός του μικτού προϊόντος σε συντεταγμένη μορφή σε ορθοκανονική βάση

Αφήστε τα διανύσματα να δοθούν
,
,
. Ας βρούμε το μικτό γινόμενο τους χρησιμοποιώντας εκφράσεις σε συντεταγμένες για το διάνυσμα και κλιμακωτά προϊόντα:

. (10)

Ο τύπος που προκύπτει μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:

αφού η δεξιά πλευρά της ισότητας (10) αντιπροσωπεύει την επέκταση της ορίζουσας τρίτης τάξης σε στοιχεία της τρίτης σειράς.

Άρα, το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με την ορίζουσα τρίτης τάξης, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των πολλαπλασιασμένων διανυσμάτων.

2.13.Ορισμένες εφαρμογές μικτού προϊόντος

Προσδιορισμός του σχετικού προσανατολισμού των διανυσμάτων στο χώρο

Προσδιορισμός του σχετικού προσανατολισμού των διανυσμάτων , Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, με βάση τις ακόλουθες σκέψεις. Αν
, Αυτό , , - δεξιά τρία? Αν
, Αυτό , , - αριστερά τρία.

Συνθήκη για συνεπίπεδο διανυσμάτων

Διανύσματα , Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν (
,
,
):

φορείς , , ομοεπίπεδη.

Προσδιορισμός των όγκων παραλληλεπίπεδου και τριγωνικής πυραμίδας

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου βασίζεται σε διανύσματα , Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων, υπολογίζεται ως
και τον όγκο τριγωνική πυραμίδα, χτισμένο στα ίδια διανύσματα, ισούται με
.

Παράδειγμα 1.Αποδείξτε ότι διανύσματα
,
,
ομοεπίπεδη.

Διάλυμα.Ας βρούμε το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα
ομοεπίπεδη.

Παράδειγμα 2.Δεδομένων των κορυφών του τετραέδρου: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Να βρείτε το μήκος του ύψους του χαμηλωμένο από την κορυφή .

Διάλυμα.Ας βρούμε πρώτα τον όγκο του τετραέδρου
. Χρησιμοποιώντας τον τύπο παίρνουμε:

Εφόσον η ορίζουσα είναι ίση με αρνητικό αριθμό, τότε in σε αυτή την περίπτωσηΠρέπει να βάλετε ένα σύμβολο μείον μπροστά από τον τύπο. Οθεν,
.

Η απαιτούμενη ποσότητα ηπροσδιορίζουμε από τον τύπο
, Πού μικρό – περιοχή βάσης. Ας προσδιορίσουμε την περιοχή μικρό:

Οπου

Από

Αντικατάσταση στη φόρμουλα
αξίες
Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων,
, παίρνουμε η= 3.

Παράδειγμα 3.Να σχηματιστούν διανύσματα
βάση στο διάστημα; Αναπτύξτε το διάνυσμα
με βάση διανύσματα.

Διάλυμα.Εάν τα διανύσματα αποτελούν βάση στο χώρο, τότε δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. είναι μη ομοεπίπεδες. Ας βρούμε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων
:
,

Κατά συνέπεια, τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα και αποτελούν βάση στο χώρο. Εάν τα διανύσματα αποτελούν βάση στο χώρο, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης, δηλαδή
,Οπου
διανυσματικές συντεταγμένες σε διανυσματική βάση
. Ας βρούμε αυτές τις συντεταγμένες συνθέτοντας και λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων

Λύνοντάς το με τη μέθοδο Gauss, έχουμε

Από εδώ
. .

Τότε
.

Ετσι,Παράδειγμα 4.
,
,
,
Οι κορυφές της πυραμίδας βρίσκονται στα σημεία:

. Υπολογίζω:
;

α) περιοχή του προσώπου
;

β) όγκος της πυραμίδας
γ) διανυσματική προβολή
;

προς την κατεύθυνση του διανύσματος
;

δ) γωνία
,
,
ομοεπίπεδη.

Διάλυμα

δ) ελέγξτε ότι τα διανύσματα

α) Από τον ορισμό του διανυσματικού γινομένου είναι γνωστό ότι:
Θεωρήστε το γινόμενο των διανυσμάτων,
Εύρεση διανυσμάτων

,
.

, χρησιμοποιώντας τον τύπο

, Πού
.

Για διανύσματα που καθορίζονται από τις προβολές τους, το γινόμενο του διανύσματος βρίσκεται από τον τύπο

Για την περίπτωσή μας

,
.

Βρίσκουμε το μήκος του διανύσματος που προκύπτει χρησιμοποιώντας τον τύπο
και μετά

(τετρ. μονάδες). , , β) Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου χτισμένου σε διανύσματα

όπως στα πλευρά.

Το μικτό προϊόν υπολογίζεται με τον τύπο:
,
,
Ας βρούμε διανύσματα :

, που συμπίπτει με τις άκρες της πυραμίδας που συγκλίνουν προς την κορυφή

Το μικτό γινόμενο αυτών των φορέων
,
,
, Αυτό
Δεδομένου ότι ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με μέρος του όγκου του παραλληλεπίπεδου χτισμένου στα διανύσματα

(κυβικές μονάδες).
γ) Χρησιμοποιώντας τον τύπο , , ορίζοντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων

Οπου
, μπορεί να γραφτεί ως εξής:
;

, μπορεί να γραφτεί ως εξής:
.

ή
γ) διανυσματική προβολή
Να βρείτε την προβολή ενός διανύσματος
,
βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

, και στη συνέχεια εφαρμόζοντας τον τύπο

παίρνουμε
δ) Να βρεθεί η γωνία
,
ορίζουν διανύσματα έχονταςγενική αρχή :

στο σημείο

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο βαθμωτών προϊόντων

,
,

ε) Για τρία διανύσματα

ήταν ομοεπίπεδες, είναι απαραίτητο και επαρκές το μικτό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.
.

Στην περίπτωσή μας έχουμε

Επομένως, τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα. δίνονται από συντεταγμένες, , το μικτό προϊόν υπολογίζεται με τον τύπο: .

Θέμα 5. Γραμμές σε ένα αεροπλάνο.

Ευθεία στο αεροπλάνο στο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

1) - γενική εξίσωση ευθεία, όπου είναι το κανονικό διάνυσμα της ευθείας.

2) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο κάθετο σε δεδομένο διάνυσμα.

3) - εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο παράλληλο σε δεδομένο διάνυσμα ( κανονική εξίσωση );

4) - εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, ;

5) - εξισώσεις μιας γραμμής με κλίση , πού είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή; () – η γωνία που κάνει η ευθεία με τον άξονα. - μήκος του τμήματος (με πρόσημο) που αποκόπτεται από την ευθεία στον άξονα (σύμβολο " " εάν το τμήμα είναι αποκομμένο στο θετικό μέρος του άξονα και " " εάν στο αρνητικό μέρος).

Απόσταση από σημείο σε γραμμή , που δίνεται από μια γενική εξίσωση στο επίπεδο, βρίσκεται με τον τύπο:

Γωνία, ( )ανάμεσα σε ευθείες γραμμές και , που δίνονται από γενικές εξισώσεις ή εξισώσεις με γωνιακό συντελεστή, βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν από τους ακόλουθους τύπους:

Εάν ή .

Εάν ή

Συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και βρίσκονται ως λύση σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή .

Θέμα 10. Πλήθη. Αριθμητικά σύνολα. Λειτουργίες.

Το σετ λέγεται υποσύνολο set αν όλα τα στοιχεία του συνόλου ανήκουν στο σύνολο και γράφουν .

Τα σετ καλούνται ίσος , αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία και γράφουν . Δύο σύνολα και θα είναι ίσα αν και μόνο αν και .

Σχέση

Με τη διέλευση θέτει και ονομάζεται σύνολο

Με διαφορά θέτει και ονομάζεται σύνολο

Συμπλήρωμα σύνολα (πριν από το καθολικό σύνολο) ονομάζεται σύνολο.

Εγκυρος (πραγματικός) αριθμός Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα που λαμβάνεται με πρόσημο «+» ή «» ονομάζεται. Οι πραγματικοί αριθμοί προσδιορίζονται με σημεία στην αριθμογραμμή.

Μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή) ενός πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός:

Το σετ λέγεται αριθμητικός , αν τα στοιχεία του είναι πραγματικοί αριθμοί. Αριθμητικός κατά διαστήματα ονομάζονται σύνολα

αριθμοί: , , , , , , , , , .

Το σύνολο όλων των σημείων στην αριθμητική γραμμή που ικανοποιούν την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μικρός αριθμός, λέγεται -περίχωρα (ή απλά μια γειτονιά) του σημείου και συμβολίζεται με . Το σύνολο όλων των σημείων με την συνθήκη , όπου είναι ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός, ονομάζεται - περίχωρα (ή απλά μια γειτονιά) του άπειρου και συμβολίζεται με .

Η συνάρτηση καλείται ακόμη και σε ένα σύνολο συμμετρικό ως προς το σημείο εάν η ακόλουθη συνθήκη ικανοποιείται για όλους: και περιττός , εάν πληρούται η προϋπόθεση. Διαφορετικά, συνάρτηση γενικής μορφής ή ούτε ζυγός ούτε περιττός .

Η συνάρτηση καλείται μονότονα αυξανόμενη (μειώνεται ) στο σύνολο εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.

Αντίστροφο να λειτουργήσει , , είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο και εκχωρεί σε καθένα τέτοια ώστε . Να βρείτε το αντίστροφο μιας συνάρτησης , πρέπει να λύσουμε την εξίσωση σχετικά . Εάν η συνάρτηση , είναι αυστηρά μονότονη στο , τότε έχει πάντα αντίστροφο, και αν η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται), τότε αυξάνεται (μειώνεται) και η αντίστροφη συνάρτηση.

Μια συνάρτηση που αναπαρίσταται με τη μορφή , όπου , είναι μερικές συναρτήσεις τέτοιες που ο τομέας ορισμού της συνάρτησης περιέχει ολόκληρο το σύνολο τιμών της συνάρτησης ονομάζεται σύνθετη λειτουργία ανεξάρτητο επιχείρημα. Η μεταβλητή ονομάζεται ενδιάμεσο όρισμα. Μια σύνθετη συνάρτηση ονομάζεται επίσης σύνθεση συναρτήσεων και , και γράφεται: .

Βασικό δημοτικό οι λειτουργίες θεωρούνται: εξουσία λειτουργία, ενδεικτικός συνάρτηση ( , ), λογαριθμική συνάρτηση ( , ), τριγωνομετρική λειτουργίες , , , , αντίστροφη τριγωνομετρική λειτουργίες , , , . Στοιχειώδης είναι μια συνάρτηση που λαμβάνεται από βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις από έναν πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων και συνθέσεων τους.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι μια παραβολή με κορυφή στο σημείο , οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω αν ή προς τα κάτω αν .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, κατά την κατασκευή ενός γραφήματος μιας συνάρτησης, είναι σκόπιμο να διαιρεθεί το πεδίο ορισμού της σε πολλά μη επικαλυπτόμενα διαστήματα και να κατασκευαστεί διαδοχικά ένα γράφημα για καθένα από αυτά.

Κάθε διατεταγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών καλείται σημειοδιάστατη αριθμητική (συντεταγμένη) χώρος και συμβολίζεται με ή , ενώ οι αριθμοί λέγονται ee συντεταγμένες .

Αφήνω και είναι μερικά σύνολα σημείων και . Αν σε κάθε σημείο εκχωρηθεί, σύμφωνα με κάποιον κανόνα, ένας καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός , τότε λένε ότι δίνεται μια αριθμητική συνάρτηση μεταβλητών στο σύνολο και γράφουν ή εν συντομία και , που ονομάζεται τομέα ορισμού , - σύνολο νοημάτων , - επιχειρήματα (ανεξάρτητες μεταβλητές) συναρτήσεις.

Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών συχνά συμβολίζεται με , μια συνάρτηση τριών μεταβλητών με . Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ένα ορισμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο.

Θέμα 7. Ακολουθίες και σειρές αριθμών. Όριο συνέπειας. Όριο λειτουργίας και συνέχεια.

Αν όλοι φυσικός αριθμόςσύμφωνα με κάποιον κανόνα, εκχωρείται ένας καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός, τότε λένε ότι το δεδομένο σειρά αριθμών . Εν συντομία δηλώνει . Ο αριθμός καλείται κοινό μέλος της ακολουθίας . Η ακολουθία ονομάζεται επίσης συνάρτηση φυσικού ορίσματος. Μια ακολουθία περιέχει πάντα άπειρα στοιχεία, μερικά από τα οποία μπορεί να είναι ίσα.

Ο αριθμός καλείται όριο της ακολουθίας , και γράψτε , εάν για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε για όλη την ανίσωση .

Μια ακολουθία που έχει πεπερασμένο όριο ονομάζεται συγκεντρούμενος , αλλιώς - αποκλίνων .

: 1) μειώνεται , Εάν ; 2) αυξανόμενη , Εάν ; 3) μη φθίνουσα , Εάν ; 4) μη αυξανόμενη , Αν . Όλες οι παραπάνω ακολουθίες καλούνται μονότονος .

Η ακολουθία ονομάζεται περιωρισμένος , εάν υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε να ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη για όλους: . Διαφορετικά η σειρά είναι απεριόριστος .

Κάθε μονοτονική οριοθετημένη ακολουθία έχει ένα όριο ( Θεώρημα Weierstrass).

Η ακολουθία ονομάζεται απειροελάχιστος , Αν . Η ακολουθία ονομάζεται απείρως μεγάλο (συγκλίνοντας στο άπειρο) αν .

Αριθμός ονομάζεται όριο της ακολουθίας, όπου

Η σταθερά ονομάζεται αριθμός Neper. Ο λογάριθμος ενός αριθμού στη βάση του ονομάζεται φυσικός λογάριθμοςαριθμοί και συμβολίζεται με .

Μια έκφραση της μορφής , όπου είναι μια ακολουθία αριθμών, ονομάζεται σειρά αριθμών και θα οριστεί . Το άθροισμα των πρώτων όρων της σειράς ονομάζεται -ο μερικό ποσό σειρά.

Η σειρά ονομάζεται συγκεντρούμενος , εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο και αποκλίνων , εάν το όριο δεν υπάρχει. Ο αριθμός καλείται το άθροισμα μιας συγκλίνουσας σειράς , ταυτόχρονα γράφουν.

Αν η σειρά συγκλίνει, τότε (απαραίτητο σημάδι σύγκλισης μιας σειράς ) . Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή.

Αν , τότε η σειρά αποκλίνει ( μια επαρκής ένδειξη της απόκλισης μιας σειράς ).

Γενικευμένες αρμονικές σειρέςείναι μια σειρά που συγκλίνει και αποκλίνει στο .

Γεωμετρική σειρά είναι μια σειρά που συγκλίνει στο , ενώ το άθροισμά της είναι ίσο και αποκλίνει στο . βρείτε έναν αριθμό ή ένα σύμβολο.